Elemi matematika 3 c. gyakorlat

Átírás

1 1. feladatsor (Szintetikus síkgeometriai feladatok.) 1) Adva van egy sokszög, amelynek hatszor annyi átlója van, mint oldala. Határozzuk meg a sokszög oldalszámát. ) Igazoljuk, hogy egy háromszög súlyvonalainak összege mindig nagyobb, mint a háromszög kerületének háromnegyede. 3) Vegyünk a síkon egy tetsz leges négyszöget. Tekintsük azt a négy kört a síkban, amelyeknél a négyszög egy-egy oldala képez körátmér t. Igazoljuk, hogy a négy zárt körlemez teljesen lefedi a négyszöget, azaz a négyszögtartomány bármely pontját tartalmazza (legalább) az egyik körlemez. 4) A síkon adva van két egymással párhuzamos egyenes és a két egyenes között két pont. Hogyan lehet megszerkeszteni azt a rombuszt, amelynek két oldala a párhuzamos egyeneseken van, a másik két oldala pedig áthalad az adott pontokon? 5) A síkban adva van két metsz egyenes. Vegyük azon parallelogrammákat a síkban, melyeknek két szomszédos oldala az adott egyenesekre esik és a kerületük állandó. Milyen mértani helyet alkotnak az adott egyenesekre nem illeszked parallelogramma csúcsok? 6) Egy téglalap alakú biliárdasztalon az egyik pontból elindítunk egy golyót az egyik átlóval párhuzamosan. Igazoljuk, hogy az asztal négy oldaláról visszaver dve a golyó mindig visszajut az eredeti pontba. Hogyan válasszuk meg a kezd pontot, hogy a visszatérésig ily módon megtett út minimális legyen? 7) A síkon adva van egy konvex szög és a szögtartomány belsejében egy P pont. Szerkesszük meg azt a P n átmen egyenest, amely a minimális terület háromszöget metszi le a szögtartományból. (Utalás: Hogyan lehet megkapni azt az P n átmen egyenest, amelynél a szögszárak által lemetszett szakasznak P a felez pontja?) 8) A síkon adva van egy konvex szög, annak belsejében egy P pont, és egy k hossz. Szerkesszük olyan P n átmen egyenest, amelynél a szögtartományból lemetszett háromszög kerülete éppen k. (Utalás: Keressünk kapcsolatot a háromszöghöz hozzáírt körök és a kerület között.) ok 9) Adva van a síkon egy ABC hegyesszög háromszög. Azt a P pontot keressük a háromszöglemezen, amelynél a P A + P B + P C összeg minimális. Legyen Q az a pont a háromszög síkjában, amelyb l a háromszög mindhárom oldala 10 os szögben látszik. Igazoljuk ez a Q pont adja a feladat megoldását. 10) A síkon adva van egy hegyeszög és annak belsejében egy P pont. Szerkesszük meg azt a P -n átmen egyenest, amely a minimális kerület háromszöget metszi le a szögtartományból. (A megoldás kapcsolódik a 8. feladathoz.)

2 . feladatsor (Síkbeli transzformációkkal kapcsolatos feladatok.) Soroljuk fel, hogy mely síkbeli egybevágósági és hasonlósági transzformációkról tanulnak a középiskolás diákok. Hogyan célszer ezeket deniálni a diákok számára? Melyek a könnyebben érthet síkbeli transzformációk? Miként lehet értelmezni a középiskolában az eltolást és a középpontos hasonlóságot? Célszer -e olyan feladatokat kit zmi, ahol transzformációk szorzatait kell alkalmazni? 1) Tekintsünk egy ABC háromszöget. Vegyük a B, C csúcsokban a bels és küls szögek szögfelez egyeneseit, és erre a négy egyenesre tükrözzük rá az A pontot. Igaz-e, hogy a négy tükörkép egyazon egyenesen van (azaz a négy pont kollineáris)? Az ABCD négyszögr l ismert, hogy az AC átló felezi az A csúcsnál lév szöget. Adva vannak a négyszög a = AB, b = BC, c = CD, d = DA oldalai. Szerkesszük meg a négyszöget. Mikor nem lehet megoldani a feladatot? 3) A síkban adva van két koncentrikus kör és a kisebb sugarú körön egy P pont. Húzzunk a P ponton át olyan egyenest, amelyb l a két kör három egyenl hosszúságú szakaszt metsz le. 4) A síkban adva van egy egyenes és olyan A, B pontok, amelyek az egyenes más-más oldalára esnek, és az e egyenest l mért távolságuk különböz. Jelöljük ki az egyenes azon P pontját, amelynél az AP BP távolágkülönbség a legnagyobb. (Utalás: Amennyiben a pontok az egyenes egyazon oldalán vannak, akkor egyszer a feladat megoldása.) 5) Egy parallelogramma oldalaihoz kifelé szerkesszünk négyzeteket. Transzformáció alkalmazásával igazoljuk, hogy a négyzetek középpontjai egy további négyzetnek a csúcsai. 6) A síkban adva van egy Q pont és a g, h egyenesek. Szerkesszünk olyan téglalapot, amelynek centruma Q, két szomszédos csúcsa a g, h egyenesekre esik, továbbá az egyik oldala a másiknak kétszerese. 7) T zzünk ki olyan szerkesztési feladatot, amelyet csak eltolással lehet megoldani. 8) A síkban adva van egy ABC háromszög. Szerkesszünk olyan négyzetet, melynek csúcsai a háromszög oldalaira esnek, továbbá a négyzet egyik oldala az AB szakaszon van. 9) A síkban adva van egy konvex szög és annak belsejében egy P pont. Szerkesszünk olyan a P ponton átmen kört, amely érinti a szög szárait. 10) Adva vannak egy ABCD négyszög a, b, c, d, oldalai továbbá a BC, DA oldalak felez pontjai összeköt középvonal k hossza. Szerkesszük meg a négyszöget ebb l az öt adatból.

3 3. feladatsor (A kerületi szögekkel és a háromszögek hasonlóságával kapcsolatos feladatok.) Idézzük fel a kerületi szögek tételét. Soroljuk fel a két háromszög egybevágóságára és hasonlóságára vonatkozó kritériumokat. Hogyan lehet igazolni a Pitagorasz-tételt a területfogalom és a háromszögek egybevágósága alapján? Adjunk hasonlóságon alapuló bizonyítást a befogótételre és a magasságtételre. Miként lehet értelmezni a középiskolában a pont körre vonatkozó hatványát? 1) A síkban egy k 1 kört belülr l érint a kisebb sugarú k kör egy E pontban. A k kör egy P pontjában vett érint az A, B pontokban metszi a k 1 kört. Bizonyítsuk be, hogy az AEP és BEP szögek egyenl ek. ) Az ABC háromszögben az oldalak különböz hosszúságúak. Igazoljuk, hogy a C csúcsnál lév küls szögek szögfelez egyenese és az AB oldal felez mer legese a háromszög köré írt körön metszik egymást. 3) Bizonyítsuk be, hogy egy érint négyszög húrnégyszög akkor és csak akkor, ha a szemközti oldalakra es érintési pontok összeköt szakaszai mer legesek egymásra. 4) Egy ABC háromszögben adva vannak az a = BC, b = AC oldalak és a C csúcsbeli f c szögfelez. Szerkesszük meg a háromszöget. 5) A síkban adva van egy trapéz. Vegyünk egy g szel egyenest, amely párhuzamos a trapéz alapjaival. Tekintsük azt a két szakaszt, melyeket az egyik szár és az egyik átló metsz le a g egyenesb l. Igazoljuk, hogy a két szakasz hossza egyenl. 6) Egy ABC háromszög oldalai a = 4, b = 5, c = 6. Hasonlóság alkalmazásával igazoljuk, hogy a háromszög legnagyobb szöge kétszer akkora, mint a háromszög legkisebb szöge. (Szögfüggvények alkalmazásával miként oldható meg a feladat?) 7) Egy ABC háromszög oldalai a = BC, b = CA, c = AB, a BC oldalhoz tartozó magasság pedig m. Mikor írható a háromszögbe olyan négyzet, amelynek egyik oldala a BC oldalra esik? Fejezzük ki ezen beírt négyzet oldalainak hosszát a háromszög fenti adataiból. 8) Az ABC háromszög szögfelez i a beírt kör Q centrumában metszik egymást. A C csúcsbeli szögfelez talppontját jelölje T. Igazoljuk, hogy fennáll a CQ QT = a + b c összefüggés. 9) Az ABCD négyszög oldalai a = AB, b = BC, c = CD és d = DA, átlói pedig e = AC és f = BD. Bizonyítsuk be, hogy mindig fennáll az ac + bd ef egyenl tlenség, továbbá az ac + bd = ef egyenl ség pontosan akkor teljesül, ha a négyszög egy húrnégyszög.

4 4. feladatsor (Síkgeometriai szintetikus feladatok.) Az alábbi feladatok a hasonlósággal, a körhöz húzott szel szakaszok szorzatával és a Pitagorasztétellel kapcsolatosak. 1) A síkon adva van egy k kör és egy P pont, amely a körnek egy küls pontja. A P pontból a k körhöz húzott egyik érint n az érintési pont legyen E. Húzzunk a P -n át egy szel t, amely a k kört az M 1 és M pontokban metszi. Igazoljuk, hogy fennáll P M 1 P M = P E. ) A síkban adva van egy g egyenes és két pont, melyek a g egyenes egyazon oldalára esnek. Szerkesszünk olyan kört, amely áthalad az adott pontokon és érinti a g egyenest. 3) A síkban adva van két kör, amelyek kívülr l érintik egymást az E pontban. Az E pontbeli közös érint egyenesen vegyünk egy P (P E) pontot. Húzzunk a P pontból egy-egy szel egyenest a két körhöz. Bizonyítsuk be, hogy a szel k és a körök metszéspontjai egy húrnégyszögnek a csúcsai. 4) Adva van egy parallelogramma, melynek oldalai a = 8, b = 6 és az egyik átlója e = 1. Határozzuk meg a parallelogramma másik átlójának a hosszát. (A paralellogramma oldalai és átlói között fennáll egy nevezetes összefüggés.) 5) Vegyünk a síkban egy ABCD konvex négyszöget, amelynél az átlók hossza e és f, a középvonalak hossza pedig k és l. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az e +f = (k +l ) összefüggés. (Milyen négyszög csúcsait képezik az oldalak felez pontjai?) 6) A síkban adva van egy egyenl szárú ABC háromszög (AC = AB), amelynél az alap a = 8 és a háromszög köré írt kör sugara r = 5. Határozzuk meg a háromszög szárainak hosszát. 7) Egy ABC háromszögben az oldalak hosszai a = BC = 1, b = CA = 0 és c = AB = 13. Számítsuk ki a BC oldalhoz tartozó magasságot. 8) Bizonyítsuk be, hogy amennyiben egy tengelyesen szimmetrikus trapéz egyúttal érint négyszög is, akkor a trapézba beírt kör centrumából az érintési pontokba húzott sugarak a trapézt négy egymással páronként hasonló négyszögre bontják fel. 9) Egy ABC háromszögben ismert az A csúcshoz tartozó s a súlyvonal és m a magasság, továbbá az A csúcsbeli α szög. Szerkesszük meg a háromszöget ezen adatokból. (Legyen a súlyvonal talppontja T és a magasságszakasz talppontja Q. Els ként szerkesszük meg a T QA háromszöget.) 10) Egy ABC háromszögben a C csúcsbeli szögfelez hossza f c. A szögfelez AB oldalra es talppontjának az A, B csúcsoktól mért távolsága c 1 és c. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az f c = ab c 1 c összefüggés, amelyben a = BC és b = AC.

5 5. feladatsor (Síkidomok területével kapcsolatos feladatok.) Hogyan lehet értelmezni a középiskolában a sokszögek területét? Hogyan célszer deniálni a körlemez területét a diákok számára? 1) Egy ABC háromszöglemez mely pontjaira igaz az, hogy a csúcsokkal vett összeköt szakaszai három egyenl terület részre osztják fel a háromszöget? ) A síkban adva van egy ABCD konvex négyszög. Hogyan szerkeszthet meg az A csúcson átmen azon egyenes, amely két egyenl terület részre vágja fel a négyszöget. (Vegyük észre, hogy ha a BD átló felez pontját összekötjük az A, C csúcsokkal, akkor ezek a szakaszok két egyenl terület négyszöget vágnak le.) 3) A síkban vegyünk egy ABCD négyzetet, melynél az oldalak hosszát jelölje a. Az A centrumú és a sugarú körlemezb l a négyzet egy negyedkört vág le. Az AB és AD oldalak, mint átmér k, fölé írjunk a négyzetbe egy-egy félkörlemezt. Jelölje t 1 a félkörlemezek metszetének területét, továbbá t azon síkidom területét, melyet úgy nyerünk, hogy a negyedkörb l kivágjuk a két félkörlemezt. Igazoljuk, hogy fennáll t 1 = t, azaz a síkidomok területei egyenl ek. Amennyiben az egyik félkörlemezb l elhagyjuk a másik félkörlemezbe es részt, akkor az így nyert síkidom területe hányszorosa a négyzet területének? 4) Vegyünk egy r = sugarú kört és egy szabályos háromszöget, melynek egyik oldala a körnek átmér je. Számítsuk ki a háromszög körön kívül es részének a területét. 5) A síkban adva van egy ABC háromszög, melynek területe t és kerülete k = s. Tekintsük azt a háromszöghöz hozzáírt kört, amely a BC oldalt kívülr l érinti. Bizonyítsuk be, hogy ezen hozzáírt kör ϱ a sugarára fennáll a ϱ a = t s a összefüggés. 6) Egy ABC háromszögben a beírt kör sugarát jelölje ϱ, a hozzáírt körök sugarát pedig ϱ a, ϱ b és ϱ c. Igazoljuk, hogy teljesül az 1 ϱ = 1 ϱ a + 1 ϱ b + 1 ϱ c összefüggés. 7) Vegyünk egy ABCD trapézt, melynek párhuzamos oldalai AB és CD, átlói pedig az M pontban metszik egymást. Az ABM háromszög területe legyen t 1, a CDM háromszög területe pedig t. Igazoljuk, hogy az AMD háromszög területére fennáll T (AMD ) = t 1 t. 8) Adva van egy ABC háromszög, melynek területe t és a köré írt kör sugara r. Bizonyítsuk be, hogy a háromszög oldalaival fennáll az r = a b c összefüggés. 4 t 9) Szögfüggvények alkalmazása nélkül igazoljuk, hogy az ABC háromszög területére fennáll a t = s(s a)(s b)(s c) összefüggés, ahol s = 1 (a + b + c). (Ezt a formulát nevezik a területre vonatkozó Heron-képletnek.)

6 6. feladatsor (Vektorokkal és szögfüggvényekkel kapcsolatos feladatok.) Miként értelmezzük a szabad vektort a középiskolában? Hogyan deniáljuk két vektor összegét és különbségét? Miként adhatjuk meg a vektor skalárral való szorzásának a fogalmát? 1) A térben adva vannak az egymástól különböz O, A, B pontok, továbbá az α, β pozitív számok. Az AB szakaszon vegyük azt a P pontot, amelyre fennáll AP P B = α β. Fejezzük ki az OP helyvektort az a = OA, b = OB vektorokkal. ) Vegyük a nem párhuzamos a és b vektorokat. Adjunk egy szükséges és elégséges feltételt arra, hogy az a + b és a b vektorok mer legesek legyenek egymásra. 3) Egy ABC háromszögnél legyen O a köré írt kör középpontja. A háromszög csúcsainak az O-ra vonatkozó helyvektorai legyenek a, b és c. Jelölje M a háromszög magasságpontját. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az OM = a + b + c összefüggés. 4) Adva van a térben egy AB és egy CD szakasz, melyek felez pontjai legyenek E és F. Az AC szakasz felez pontját jelölje P, a BD szakasz felez pontját jelölje Q, az EF szakasz felez pontja pedig legyen S. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy a P, Q, S pontok kollineárisak. 5) Tekintsünk egy ABC háromszöget és egy λ (λ > 1) számot. A háromszög AB, BC, CA oldalait tartalmazó egyeneseken vegyük azon B, C, A pontokat, melyekre fennáll AB = λ AB, BC = λ BC és CA = λ CA Bizonyítsuk be, hogy az ABC és A B C háromszögek súlypontja egybeesik. 6) Egy tetraéderben az egyik csúcsot a szemközti lap súlypontjával összeköt szakaszt a tetraéder egyik súlyvonalának nevezzük. Vektorok felhasználásával igazoljuk, hogy a tetraéder négy súlyvonala egyazon pontban metszi egymást. (Ezt a közös pontot mondjuk a tetraéder súlypontjának.) 7) Vegyünk egy ABC háromszöget. A BC és CA oldalakhoz kifelé írjunk egy-egy négyzetet, melyek csúcspontjai sorrendben legyenek BCDE és CAF G. Vektorok alkalmazásával igazoljuk, hogy a DG szakasz és a háromszög C csúcshoz tartozó súlyvonala mer legesek egymásra. 8) Egy ABC derékszög háromszögnél (γ = 90 ) a háromszög köré írt kör sugara 13 -szerese a beírt kör sugarának. Adjuk meg a derékszög háromszög egyik hegyesszögének szinuszát és 4 koszinuszát. 9) Egy ABC háromszögben az oldalakra fennáll a b + c = a összefüggés. Bizonyítsuk be, hogy az a oldallal szemközti α szög nem lehet nagyobb, mint ) A szinusz és koszinusz függvények összegzési képleteire, azaz sin(α + β) és cos(α + β) kifejezésére, adjunk egy szintetikus bizonyítást abban az esetben, amikor α, β és α + β hegyesszögek. (Ne használjunk vektorokat és koordináta-rendszert.)

7 7. feladatsor (Szögfüggvényekkel kapcsolatos feladatok.) Miként értelmezzük a középiskolában a szögfüggvényeket? Van-e el nye annak, ha els lépésben csak a hegyesszögekre deniáljuk ket? Mely nevezetes szögeknél illik tudni egy diáknak a szögfüggvények értékét? π 1) Adjuk meg szögfüggvények értékét a 1 helyen (vagyis a 15 -os szögnél). ) Igazoljuk, hogy fennáll a cos 36 sin 18 = 1 egyenl ség. (Utalás: Ismeretes, hogy a szabályos tízszög esetében az oldalhossz és a tízszög köré írt kör sugara egy aranymetszés két szeletének felelnek meg.) 3) Bizonyítsuk be, hogy tetsz leges ABC háromszögben az oldalakra és a szögekre fennáll a b cos γ c cos β = b c összefüggés. a 4) Mutassuk meg, hogy egy ABC háromszög területére mindig fennáll a t = r sin α sin β sin γ összefüggés, ahol r a háromszög köré írt kör sugara. 5) Igazoljuk, hogy amennyiben egy ABC háromszög szögeire fennáll cos α = sin γ, akkor a háromszög egyenl szárú. sin β 6) Igazoljuk, hogy tetsz leges x, y valós számokra fennállnak az alábbi egyenl ségek: sin x + sin y = sin x + y cos x y, cos x + cos y = cos x + y cos x y. 7) Egy háromszög szögei egy számtani sorozat egymást követ elemei. Mekkorák a háromszög szögei, ha fennáll sin α + sin β + sin γ = összefüggés? 8) Adjuk meg az összes olyen valós számot, melyekkel teljesül az alábbi egyenlet: tg 3 x + tg x 3 tg x = 3. 9) A valós számok halmazán oldjuk meg az alábbi egyenletet: sin 6 x + cos 6 x = ) Egy ABCD konvex négyszögben az oldalak sorrendben a = AB, b = BC, c = CD és d = DA, az átlók pedig e = AC, f = BD. Bizonyítsuk be, hogy fennáll az e f = a c + b d a b c d cos(α + γ) egyenl ség, ahol α és γ a négyszögnek az A, C csúcsbeli szögeit jelölik.

8 8. feladatsor (Koordinátageometriai feladatok.) Miként értelmezzük a középiskolában két vektor skaláris szorzatát? Miként értelmezzük a síkbeli derékszög koordináta-rendszert és abban a síkbeli pontok koordinátáit? Az alábbi feladatoknál feltesszük, hogy a síkban adva van egy derékszüg koordinátarendszer, melynek kezd pontja O, az alapvektorai pedig i és j. 1) Adva van egy sík és abban az egymásra mer leges i, j egységvektorok, melyeket bázisvektoroknak tekintünk. Az a = 7 i + j és b = 4 i + y j vektorokról tudjuk, hogy a hajlásszögük 135. Határozzuk meg az y vektorkoordináta értékét. ) A koordinátázott síkban adva van egy ABC háromszög, meylnél a csúcsok koordinátái A(5, ), B(8, 6), C( 3, 8). Határozzuk meg az A csúcsban vett szögfelez egyenes egyenletét. 3) A koordinátázott síkban adva van két egymásra nem mer leges egyenes, melyek iránytangense m 1 és m (m 1 m ). Igazoljuk, hogy a két metsz egyenes ϕ hajlásszögének tangensére fennáll a tg ϕ = m 1 m összefüggés. 1 + m 1 m 4) Tekintsük a síkban az (x 5) + (y 8) = 34 egyenlet kört. Határozzuk meg az x tengely azont pontjait, amelyekre igaz az, hogy a pontból a körhöz húzott két érint egyenes mer leges egymásra. 5) A koordináta-rendszerrel ellátott síkban mely síkbeli alakzatot írja le a 4x + 4 x y + y 4x y = 0 egyenlet? 6) Tekintsük a síkban az x + 4x + y + y 4 = 0 egyenlet kört és a P (4, ) pontot. Határozzuk meg a kör P ponton átmen érint egyeneseinek az egyenletét, továbbá az érint kön az érintési pontok koordinátáit. 7) Bizonyítsuk be, hogy nincs a síkban olyan szabályos háromszög, amelynél az csúcspontok összes koordinátája racionális szám. 8) Vegyük a síkban az y = 1 p x egyenlet parabolát, ahol p (p > 0) a parabola paramétere. Legyen a P (a, b) pont a parabola egyik pontja. Igazoljuk, hogy a p(y + b) a x = 0 egyenlet egyenes érinti a parabolát a P pontban. 9) Tekintsük a síkban az y = 1 0 x egyenlet parabolát, továbbá a P (5, ) pontot. Adjuk meg azon P -n átmen egyenes egyenletét, amlynél P felez pontja a parabola által az egyenesb l kimetszett szakasznak. 10) A síkban adva van egy háromszög, melynek egyik csúcsa a koordináta-rendszer O kezd pontja (azaz A = O), súlypontja S(6, 0) és magasságpontja M(4, ). Határozzuk meg a háromszög másik két csúcsának a koordinátáit.

9 9. feladatsor (Térfogat és felszínszámítási feladatok.) 1) Adva van egy ferde körkúp, amelynél az alapkör sugara r = 6, a leghosszabb kúpalkotó a = 5 és a legrövidebb kúpalkotó b = 17. Határozzuk meg ezen ferde körkúp térfogatát. ) Egy körhenger alakú hordó (amely felülr l nyitott) tele van vízzel. A henger alapkörének sugara r = 3 dm és magassága m = 5 dm. A hordót lassan megdöntjük oly módon, hogy végül az alaplap síkjának a vízszinttel bezárt szöge α = 30 legyen. Hány liter víz folyik ki ekkor a hordóból? 3) Igazoljuk, hogy amennyiben a 1, a és a 3 tetsz leges pozitív valós számok, akkor a számtani és mértani közepükre fennáll az 1 3( a1 + a + a 3 ) 3 a 1 a a 3 egyenl tlenség. 4) Vegyük azon körhengereket, melyek térfogata V = 64 π. Dierenciálszámítás alkalmazása nélkül döntsük el, hogy mely henger esetében lesz az alapkör területének és a palást felszínének az összege minimális. Adjuk meg ezen hengernél az alapkör r sugarát és az m magasságot. 5) A V = 64 π térfogatú hengerek közül jelöljük ki most azt, amelynek a teljes felszíne minimális. (A minimális felszínü henger alapköri sugarának és magasságának meghatározásához ezúttal se használjunk dierenciálszámítást.) 6) Egy R sugarú és O centrumú gömböt két olyan párhuzamos síkkal metszünk el, melyeknek az O középpont egyazon oldalukra esik. A két párhuzamos sík egymástól mért távolsága d = 7. Az els sík által a gömbb l kimetszett kör sugara r 1 = 5, a második sík által a gömbb l kimetszett kör sugara pedig r = 1. Határozzuk meg a gömb felszínét. 7) Adva van egy egyenes csonkakúp, amelynél az alapkör sugara R, a fed kör sugara pedig r (r < R). Írjunk ebbe olyan hengert, amelynek sugara r és magassága megegyezik a csonkakúp magasságával. Határozzuk meg a R/r hányados értékét ha ismert, hogy a csonkakúp és a henger térfogatának aránya V csk : V h = 13 : 4. Transzformációk a Gaussféle számsíkon 8) A derékszög koordinátarendszerrel ellátott σ síkon egy tetsz leges P (x, y) pontnak feleltessük meg a z = x + i y komplex számot. Ily módon a sík egy olyan ξ : σ C koordinátázásához jutunk, ahol a sík pontjaihoz nem valós számpárokat, hanem komplex számokat rendelünk. Vegyük a c = i komplex számot. Tekintsük azt az η : σ σ bijektív leképezést, amely a z C koordinátájú ponthoz a cz koordinátájú pontot rendeli. Jellemezzük az η síkbeli transzformációt. 9) Vegyük a c = i komplex számot. Tekintsük azt az η : σ σ bijektív leképezést, amely a z C koordinátájú ponthoz a c z pontot rendeli, ahol z a z komplex szám konjugáltját jelöli. Jellemezzük az η síkbeli transzformációt.