Ellipszisekr½ol részletesen

Átírás

1 Ellipszisekr½ol részletesen dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Kivonat A mindennapi életben a kör alakú tárgyakat (is), például közlekedési táblákat, legtöbbször oldalról nézzük, aminek következményeként ellipszisekként látjuk ½oket. Mivel a szakirodalomban az egyenes és ferde ellipszisek egyenletei vagy csak nagyon speciális vagy csak nagyon általános esetekben találhatók meg, s½ot magyar nyelven még kevesebbet, ezért nagyon sok képletet magunknak kellett levezetnünk, amiket most közreadunk. Kutatásunk a GINOP projekt támogatásával készült. Haladvany-Kiadvany,

2 TARTALOM A) Egyenes állású ellipszisek o. I. Egyenes állású ellipszisek egyenlete o. II. Egyenes állású ellipszisek érint½oi o. III. Egyenes állású ellipszis megadása pontjaival o. III.o) Három pontra illeszked½o kör egyenlete o. III.a) Három pontra illeszked½o ellipszis egyenlete o. III.b) Négy pontra illeszked½o ellipszis egyenlete o. III.c) A végeredmény o. III.d) Összefoglalva o. III.e) Példa o. IV. Egyenes állású ellipszisek görbülete o. IV.a) Pontbeli görbület o. IV.b) A görbület függése a távolságtól o. B) Ferde állású ellipszisek o. V. A koordinátarendszer elforgatása o. VI. Ferde ellipszisek egyenlete o. VII. Ferde ellipszisek érint½oi o. VIII. Ferde ellipszisek megadása pontjaival o. VIII.a) Másodfokú görbék o. VIII.b) Általános ellipszisek o. VIII.c) Az ellipszisek adatai o. IX. Ferde ellipszisek görbülete o. X. Lineáris transzformációk o. Hivatkozások o. Függelék o.

3 A) Egyenes állású ellipszisek Legegyszer½ubb eset az, amikor az ellipszis tengelyei párhuzamosak a koordiátatengelyekkel (vagyis a kép éleivel), ekkor egyenes állású ellipszisr½ol beszélünk, és az (1) egyenletet kanonikus egyenletnek nevezzük. I. Egyenes állású ellipszisek egyenlete Közismert, hogy az (u; v) középpontú, a és b féltengely½u ellipszis egyenlete paraméteresen: kör esetén (x u) a + x = a cos (t) + u y = b sin (t) + v (y v) b = 1, (1) (0 t ), () a = b = r és (x u) + (y v) = r. (3) Az ellipszis és tengelyeinek metszéspontjai nyilván az A 1; (u a; v) és B 1; (u; v b) (4) pontok, amelyeket mi "csúcspontok" -nak fogunk hívni. Hasznosak lesznek még az alábbi q hányados és az e excentricitás jelölések is (a b esetén): a q = és e = p 1 q. (5) b 3

4 II. Egyenes állású ellipszisek érint½oi A görbe egy adott P 0 (x 0 ; y 0 ) pontjában (vagyis ha az (x 0 ; y 0 ) pontra (1) teljesül) húzott érint½o egyenes egyenlete ([HGy], [HM1]): vagyis y = y 0 (x 0 u) a (x u) + (y 0 v) b (y v) = 1 (6) b vagy a szokásos alakban: aminek meredeksége v 1 a (u x) (x 0 u) + v (y 0 v) + b b y = b (x 0 u) a (y 0 v) x + b (x 0 u) a (y 0 v) u + b y 0 v + v, (8) (7) m = b (u x 0 ) a (v y 0 ) ha y 0 6= v, (9) és persze y 0 = v esetén az érint½o függ½oleges, pontosabban (1) miatt x 0 = u a, ami a függ½oleges érint½o egyenlete. Másképpen: (6) -ból az érint½o normálvektora és irányvektora:! x0 u y 0 v ne = ;,! y0 v u x 0 ve = ; a b b a (10) Megjegyzés: kör esetén! n e k! P 0 O. 4

5 III. Egyenes állású ellipszis megadása pontjaival III.o) Három pontra illeszked½o kör egyenlete Három adott P i (x i ; y i ) (i = 1; ; 3) pontra illeszked½o kör egyenlete ([Sz1]) ahol vagyis u H = (x u H ) + (y v H ) = r H (11) u H = A1; y det 1 y A 1;3 y 1 y 3 (1) x1 x 4 det y 1 y x 1 x 3 y 1 y 3 A 1; (y 1 y 3 ) A 1;3 (y 1 y ) [(x 1 x ) (y 1 y 3 ) (x 1 x 3 ) (y 1 y )], (13) vagyis és v H = v H = x1 x det A 1; x 1 x 3 A 1;3 (14) x1 x 4 det y 1 y x 1 x 3 y 1 y 3 A 1;3 (x 1 x ) A 1; (x 1 x 3 ) [(x 1 x ) (y 1 y 3 ) (x 1 x 3 ) (y 1 y )] r H = (15) q (x 1 u) + (y 1 v) (16) ahol A 1; = x 1 x + y 1 y, A1;3 = x 1 x 3 + y 1 y 3. (17) 5

6 Megjegyzés: (13) és (15) nevez½oje pontosan akkor 0, ha a det sorai párhuzamosak,!! vagyis P 1 P k P 1 P 3 vagyis a három pont egy egyenesen van (kollineárisak). III.a) Három pontra illeszked½o ellipszis egyenlete Három adott P i (x i ; y i ) (i = 1; ; 3) pontra illeszked½o ellipszis egyenletét keressük. [WE] képlete (nincs [WM]-ban): (x x 1 )(x x ) + q(y y 1 )(y y ) (y y 1 )(x x ) (x x 1 )(y y ) = (x 3 x 1 )(x 3 x ) + q(y 3 y 1 )(y 3 y ) (y 3 y 1 )(x 3 x ) (x 3 x 1 )(y 3 y ), determinánsokkal: (ld. [WE]) (18) (! z! z1 ) q (! z det ((! z! z1 ); (! z! z )! z )) = (! z! 3 z1 ) q (! z! 3 z ) det ((! z! 3 z1 ); (! z! 3 z )) (19) ahol! z i = (x i ; y i ) és! u q! v := u1 v 1 + qu v (0) a módosított skaláris szorzat (q = 1 esetén a szokásos skaláris szorzat). Nyilván körnél q = 1. Figyelem: A (18) bal oldali tört nevez½ojében is van x és y, vagyis (18) egy többszörösen implicit függvény! (18) -at nyilván át kell rendeznünk, hogy (1) alakú legyen, ezt a fejezet végén (33)-(39) között adjuk meg. A jobboldali tört nevez½oje pontosan akkor 0, ha a det sorai párhuzamosak, vagyis!!!! P 3 P 1 k P 3 P illetve P P 1 k P P, vagyis a három pont kollineáris. Ha ismerjük q értékét, akkor három pont (18) -ban megadja az ellipszis egyenletét. Ha q értéke nem ismert, akkor négy pontra van szükségünk, és a következ½o alfejezetben leírt számításokat kell alkalmaznunk. 6

7 III.b) Négy pontra illeszked½o ellipszis egyenlete Ha nem ismerjük q értékét, akkor négy pont szükséges az ellipszis megadásához: a P 4 pont rajta van a P 1 ; P ; P 3 pontok által meghatározott ellipszisen, vagyis (18) -ba behelyettesítve kapjuk: (x 4 x 1 )(x 4 x ) + q (y 4 y 1 )(y 4 y ) (y 4 y 1 )(x 4 x ) (x 4 x 1 )(y 4 y ) vagy rövidebben: = (x 3 x 1 )(x 3 x ) + q (y 3 y 1 )(y 3 y ) (y 3 y 1 )(x 3 x ) (x 3 x 1 )(y 3 y ) (1), ahol B x q B y 414 C 414 = Bx q B y 313 C 313 () B x 414 = (x 4 x 1 ) (x 4 x ), B y 414 = (y 4 y 1 ) (y 4 y ), (3) B x 313 = (x 3 x 1 ) (x 3 x ), B y 313 = (y 3 y 1 ) (y 3 y ), (4) y4 y C 414 = (y 4 y 1 ) (x 4 x ) (x 4 x 1 ) (y 4 y ) = det 1 x 4 x 1 y 4 y x 4 x, (5) y3 y C 313 = (y 3 y 1 ) (x 3 x ) (x 3 x 1 ) (y 3 y ) = det 1 x 3 x 1 y 3 y x 3 x. (6) A () -ben szerepl½o mennyiséget (37)-t½ol kezdve E -vel fogjuk jelölni. A () egyenlet megoldása: 7

8 B x q = 414 B313 x B y 313 B y 414 = C 414 C 313 C 313 C 414 (7) vagy másképpen: vagy q = ( 1) Bx 313C 414 B x 414C 313 B y 313C 414 B y 414C 313 (8) q = illetve, a négy pont koordinátáival közvetlenül felírva: B x det 313 C 313 B414 x C 414 B y, (9) 313 C det 313 B y 414 C 414 q = (x 3 x 1 ) (x 3 x ) (y 4 y 1 ) (x 4 x ) + (x 4 x 1 ) (x 4 x ) (y 3 y 1 ) (x 3 x ) (y 3 y 1 ) (y 3 y ) (y 4 y 1 ) (x 4 x ) (y 4 y 1 ) (y 4 y ) (y 3 y 1 ) (x 3 x ) (30) feltéve, ha a nevez½o nem nulla, azaz, B y 313C 414 6= B y 414C 313, (31) vagy részletesen: (y 3 y 1 ) (y 3 y ) (y 4 y 1 ) (x 4 x ) 6= (y 4 y 1 ) (y 4 y ) (y 3 y 1 ) (x 3 x ). (3) Vigyázzunk: q > 0, azaz q csak pozitív lehet! Továbbá q = a b csak a és b hányadosát adja meg, konkrét értékét nem! A következ½o fejezet (33) - (39) összefüggéseib½ol kapjuk meg a és b pontos értékeit! Nyilvánvalóan q = 1 pontosan akkor, ha a négy pont egy körön van. 8

9 III.c) A végeredmény A (18) egyenletet átalakíthatjuk (1) alakúra, felhasználjuk a (18) és () összefüggéseket és a (3) - (6) rövidítéseket 1). A végeredmény a következ½o: (x U) + q (y V ) = F (33) azaz ahol (x U) + F (y V ) F=q U = E (y y 1 ) + x + x 1 = 1 (34) (35) V = E (x 1 x ) + q (y + y 1 ) q = E (x 1 x ) q + y + y 1 (36) és tehát E = Bx q B y 313 C 313, F = U + qv W (37) W = x 1 x + qy 1 y + E (x 1 y x y 1 ) (38) u = U, v = V, a = F és b = F q, (39) q értékét pedig vagy ismerjük de facto vagy (8) adja meg. Most (18) -ból levezetjük a fenti (33) - (39) végeredményt. Felhasználjuk a (18) és () összefüggéseket és a (3) - (6) és a (35) - (39) rövidítéseket. (x x 1 )(x x ) + q(y y 1 )(y y ) (y y 1 )(x x ) (x x 1 )(y y ) = Bx q B y 313 C 313 = E (40) 1 ) A levezetést (40)-(43) -ban alább adjuk meg. 9

10 (x x 1 )(x x ) + q(y y 1 )(y y ) = E ((y y 1 )(x x ) (x x 1 )(y y )) (41) qy xx xx 1 + x 1 x + x qyy 1 qyy + xey 1 yex 1 xey + yex + qy 1 y + Ex 1 y Ex y 1 = 0 x + (Ey 1 x x 1 Ey ) x + qy + (Ex qy Ex 1 qy 1 ) y+ + (x 1 x + qy 1 y + Ex 1 y Ex y 1 ) = 0 x U x + qy qv y + W = 0 (4) vagyis (x U) + q (y V ) = U + qv W (43) ahol E; U; V; W értékét (36) - (38) -ban de niáltuk, q értékét vagy ismerjük vagy (8) -ban kapjuk meg. III.d) Összefoglalva Ha ismerjük q értékét, akkor három adott pont elég: P i (x i ; y i ), i = 1; ; 3, ekkor csak a (4), (6) és (36) - (38) képleteket kell használnunk. Ha q értékét nem ismerjük, akkor négy adott pontra, P i (x i ; y i ), i = 1; ; 3; 4 van szükségünk. Ekkor ((3) - (6) kiszámítása után (8) megadja q értékét. Ezután az (36) - (38) kifejezéseket kell kiszámítanunk, és végül (39) és (1) megadja az ellipszis egyenletét. 10

11 III.e) Példa vagyis A fenti képletek használatát a következ½o ellipszis közelítésével mutatjuk be: (x 1) + a =, b = 3, q = Az ellipszist az 1.a) ábrán láthatjuk. Legyenek a P i pontok a következ½ok: (y ) 3 = 1, (44) t 0:44_4. (45) 3 P 1 (1:5 ; 4:9), P ( ; 4:6), P 3 ( 0:8 ; 0:69), P 4 ( 0:5 ; 4). (46) A fenti pontok nem elemei a (44) ellipszisnek, hiszen kett½o tizedesjegyre kerekítettünk, de nagyon közel vannak a görbéhez. A (48) - (71) számolás végén (7) - (73) -ban ellen½orizzük a hibát (amely 3% -nak adódott). HÁROM PONT Egyel½ore csak a P 1 (1:5; 4:9), P (; 4:6), P 3 ( 0:8; 0:69) pontokat tekintjük, q = 3 ismert. Most használhatjuk a (18) képletet: (x 1:5)(x ) + 3 (y 4:9)(y 4:6) = (47) (y 4:9)(x ) (x 1:5)(y 4:6) = ( 0:8 1:5)( 0:8 ) + 3 (0:69 4:9)(0:69 4:6), (0:69 4:9)( 0:8 ) ( 0:8 1:5)(0:69 4:6) amely (implicit) görbét az 1.b) ábrán láthatjuk. Saját számolásaink (4) - (6) szerint a következ½ok: 11

12 B x 313 = (x 3 x 1 ) (x 3 x ) = ( 0:8 1:5) ( 0:8 ) = 6:44 (48) B y 313 = (y 3 y 1 ) (y 3 y ) = (0:69 4:9) (0:69 4:6) = 16:4611 (49) C 313 = (y 3 y 1 ) (x 3 x ) (x 3 x 1 )(y 3 y ) = = (0:69 4:9) ( 0:8 ) ( 0:8 1:5) (0:69 4:6) = :795 (50) 16:4611 E = Bx q B y 313 = 6:44+(=3) t 4: (51) :795 C 313 u = U = E (y y 1 ) + x 1 + x 4: (4:6 4:9)+1:5+ t t 1: (5) v = V = E (x 1 x ) + y 1 + y 4: (1:5 ) t + 4:9+4:6 q (=3) t 1: (53) W = x 1 x + q y 1 y + E (x 1 y x y 1 ) t 1: :9 4:6 + 4: (1:5 4:6 4:9) (54) t 1: a = F = U + qv W t t 1: : : (55) t 4: a t p 4: t : (56) 1

13 b = F q t 4: (=3) t 9: (57) b t p 9: t 3: (58) NÉGY PONT Legyenek a P i pontok (46) szerint a következ½ok: P 1 (1:5 ; 4:9), P ( ; 4:6), P 3 ( 0:8 ; 0:69), P 4 ( 0:5 ; 4). Ekkor a (48) - (50) számolások után, (3) - (8) szerint a következ½oket kell kiszámolnunk: B x 414 = (x 4 x 1 ) (x 4 x ) = ( 0:5 1:5) ( 0:5 ) = 5:0 (59) B y 414 = (y 4 y 1 ) (y 4 y ) = (4 4:9) (4 4:6) = 0:54 (60) C 414 = (y 4 y 1 ) (x 4 x ) (x 4 x 1 )(y 4 y ) = (4 4:9) ( 0:5 ) ( 0:5 1:5) (4 4:6) = 1:05 (61) q = ( 1) Bx 313C 414 B x 414C 313 B y 313C 414 B y 414C 313 t ( 1) 6:441:05 5:0:795 16:46111:05 0:54:795 továbbá (36) - (38) szerint: t 0: , (6) E = Bx q B y 313 C 313 t 6:44+0: :4611 :795 t 4: (63) u = U = E (y y 1 ) + x 1 + x 4: (4:6 4:9)+1:5+ t t 1: (64) v = V = E (x 1 x ) q t + y 1 + y 4: (1:5 ) 0: :9+4:6 t : (65) 13

14 W = x 1 x + qy 1 y + E (x 1 y x y 1 ) t 1:5 + 0: :9 4:6 + 4: (1:5 4:6 4:9) (66) t 1: a = F = U + qv W t 1: : : : (67) t 4: a t p 4: t : (68) b = F q t 4: : t 8: (69) b t p 8: t : , (70) tehát az ellipszis egyenlete a fentiek és (34) alapján : (x 1: ) 4: ezt a görbét az 1.c) ábrán láthatjuk. + (y : ) 8: = 1, (71) q értékének (6) -beli közelítésének abszolút és relatív hibája: = q t 0: : t 0: , (7) = (=3) 0: t 0: t 0: < 3%. (73) 14

15 y 4 y 4 y 4 4 x 4 x 4 x 1. ábra: A vizsgált ellipszisek és a (46) pontok a) (44) -, b) (47) -, c) (71) - szerint 15

16 IV. Egyenes állású ellipszisek görbülete IV.a) Pontbeli görbület Általában egy görbe g görbülete y = f (x) esetén g (x) = y" 1 + (y 0 ) 3= (74) = (x (t) ; y (t)) esetén g (t) = Tehát (a számításokat lásd [Sz]-ben) a () ellipszis görbülete g (t) = _xy _yx ( _x) + ( _y). (75) 3= ab q a sin (t) + b cos (t) 3. (76) Az (1) ellipszis görbülete ([Sz]) g (x; y) = q a 4 b 4 a 4 (y v) + b 4 (x u) 3 (77) ahol (x; y) az ellipszis bármelyik pontja (vagyis kielégíti az (1) vagy () egyenletet). [WE] -ben csak az origó középpontú (azaz (u; v) = (0; 0)) ellipszis görbülete található: ami megegyezik (77) -tel. g (x; y) = 1 r, (78) 3 a b x + y a 4 b 4 A görbület az x 0 = u illetve y 0 = v "csúcs"-pontokban minimális illetve maximális. Tehát (1) és (77) alapján: x 0 = u esetén y u = v b, ekkor g (u; y u ) = a 4 b 4 q(a 4 b + 0) 3 = b a, (79) 16

17 y 0 = v esetén x v = u a, ekkor g (x v ; v) = a 4 b 4 q(0 + a b 4 ) 3 = a b. (80) IV.b) A görbület függése a távolságtól Szemléletesen is látjuk, hogy az elllipszis középpontjától távolodva az ellipszis görbülete n½o (a simulókör sugara csökken). Most ezt az összefüggést számítjuk ki részletesen. A () összefüggés alapján az ellipszis P pontjának az (u; v) középponttól való d = d (t) távolsága q d (t) = a cos (t) + b sin (t). (81) A (76) képlet nevez½ojét ennek megfelel½oen alakítjuk át: a sin (t) + b cos (t) = a 1 cos (t) + b 1 sin (t) = a + b d, (8) tehát g (d) = ab q( (83) a + b d ) 3 17

18 B) Ferde állású ellipszisek Cél: olyan ellipszisek vizsgálata, amelyek tengelyei ' szöget zárnak be az x és y koordinátatengelyekkel, vagyis a kép éleivel. V. A koordinátarendszer elforgatása Ismert, hogy egy tetsz½oleges P (x; y) = [x; y] T pontot az origó körül ' szöggel cos ' sin ' elforgatva az P 0 = MP pontot kapjuk, ahol M ' = a forgatás sin ' cos ' mátrixa. A visszaforgatás mátrixa nyilván cos ' sin ' M ' = = M' 1 (84) sin ' cos ' hiszen cos ( ') = cos ' és sin ( ') = sin '. Bevezetjük a rövidítéseket, ekkor P 0 = (x 0 ; y 0 ) = [x 0 ; y 0 ] T esetén és c ' := cos ' és s ' := sin ' (85) x 0 = x c ' y s ', y 0 = x s ' + y c ' (86) x = x 0 c ' + y 0 s ', y = x 0 s ' + y 0 c ', (87) majd utána egy! w = (u; v) vektorú eltolást alkalmazva és x 0 = x c ' y s ' + u, y 0 = x s ' + y c ' + v (88) x = (x 0 u) c ' + (y 0 v) s ', y = (x 0 u) s ' + (y 0 v) c '. (89) 18

19 Görbék általános elforgatása Ha az F (x; y) = 0 (implicit) egyenlet½u görbét elforgatjuk az origó körül ' szöggel és utána eltoljuk egy! w = (u; v) vektorral, akkor a kapott P 0 = (x 0 ; y 0 ) pontok által alkotott 0 görbe pontjaira (89) alapján az F 0 (x 0 ; y 0 ) = F (x; y) = (90) = F ((x 0 u) c ' + (y 0 v) s ' ; (x 0 u) s ' + (y 0 v) c ' ) = 0 (implicit) egyenlet teljesül. Ha pedig a görbe pontjait az x = f (t) y = g (t) (t 1 t t ) (91) paraméteres alakban adtuk meg, akkor az elforgatott és eltolt 0 görbe pontjait az x 0 = f (t) c ' g (t) s ' + u y 0 = f (t) s ' + g (t) c ' + v paraméteres egyenletrendszer adja meg. (t 1 t t ) (9) VI. Ferde ellipszisek egyenlete (1), (), (90) és (9) alapján az (u; v) középpontú és ' tengelyállású ellipszis egyenlete: illetve [(x 0 u) c ' + (y 0 v) s ' ] a + [ (x0 u) s ' + (y 0 v) c ' ] b = 1 (93) x 0 = a cos (t) c ' b sin (t) s ' + u y 0 = a cos (t) s ' + b sin (t) c ' + v (0 t ). (94) Természetesen az egyenletek felírásakor egyszer½uen csak x és y -t írunk x 0 és y 0 helyett. Az ellipszis és tengelyeinek metszéspontjait az "eredeti" A 1; (a; 0) és B 1; (0; b) "csúcspontok" elforgatásával és eltolásával kapjuk meg, vagyis (88) alapján A ' 1; = (a c ' + u ; a s ' + v) (95) 19

20 és B ' 1; = (b s ' + u ; b c ' + v). (96) Például: a = 1:5, b = 3, ' = 0 o = 9 (93) szerint: és! w = (u; v) = ( 0:5; 1) esetén, (x 0 + 0:5) cos 9 + (y 0 + 1) sin (x 0 + 0:5) sin (y 0 + 1) cos 9 + = 1 1:5 3 (97) illetve ugyanez az ellipszis paraméteres formában: 1:5 cos (t) cos 3 sin (t) sin 9 0:5 9 1:5 cos (t) sin sin (t) cos (98) 1 9 A fenti ellipszisek "csúcspontjai" (95) és (96) alapján: A 0o 1 = 1:5 cos 0:5 ; 1:5 sin 9 9 A 0o = t (0: ; 0: ) 1:5 cos 9 0:5 ; 1:5 sin 9 t ( 1: ; 1: ) 1 1 (99) (100) B ' 1; = B ' 1; = 3 sin 9 0:5 ; 3 cos 9 t ( 1: ; 1: ) 3 sin 9 0:5 ; 3 cos 9 t (0: ; 3: ). Az eredeti és az elforgatott ellipsziseket láthatjuk a. ábrán. 1 1 (101) (10) 0

21 y 3 y 1 y x x x. ábra: a) az eredeti és elforgatott ellipszis, b) a (97) implicit egyenlet c) a (98) paraméteres egyenletrendszer VII. Ferde ellipszisek érint½oi A (6) és (88) - (90) eredmények alapján a (93) egyenlet½u ellipszis P 0 (x 0 0; y0) 0 pontjához (azaz ha P 0 (x 0 0; y0) 0 kielégíti a (93) egyenletet) húzott érint½ojének implicit egyenlete [(x 0 0 u) c ' + (y 0 0 v) s ' ] a [(x 0 u) c ' + (y 0 v) s ' ] + [ (x0 0 u) s ' + (y 0 0 v) c ' ] b [ (x 0 u) s ' + (y 0 v) c ' ] (103) = 1, y 0 -re megoldva (ha a nevez½o nem nulla): y 0 = b (vs '+c '(u x 0 ))(c '(u x 0 0)+s '(v y 0 0))+ a c '(c '(v y 0 0) s '(u x 0 0))+b s '(c '(u x 0 0)+s '(v y 0 0)) + a + (vc ' s '(u x 0 ))(c '(v y0) 0 s '(u x 0 0)) 1 a c '(c '(v y0) 0 s '(u x 0 0))+b s '(c '(u x 0 0)+s '(v y0)) 0 (104) azaz szokásos alakban felírva 1

22 y 0 = a s '[c '(v y 0 0) s '(u x 0 0)] b c '[c '(u x 0 0)+s '(v y 0 0)] a c '[c '(v y 0 0) s '(u x 0 0)]+b s '[c '(u x 0 0)+s '(v y 0 0)] x0 + (105) + (vc' us')(c'(v y0 0) s '(u x 0 0))a +(uc '+vs ')(c '(u x 0 0)+s '(v y 0 0))b 1 a c '[c '(v y 0 0) s '(u x 0 0)]+b s '[c '(u x 0 0)+s '(v y 0 0)] amelynek meredeksége láthatóan m = a s ' [c ' (v y 0 0) s ' (u x 0 0)] b c ' [c ' (u x 0 0) + s ' (v y 0 0)] a c ' [c ' (v y 0 0) s ' (u x 0 0)] + b s ' [c ' (u x 0 0) + s ' (v y 0 0)]. (106) Ha felhasználjuk a azonosságot, akkor (9) alapján tan ( + ) = tan () + tan () 1 tan () tan () (107) m = tan (') + b [(x 0 0 u)c'+(y0 v)s'] 0 a [ (x 0 0 u)s'+(y0 v)c'] 0 b 1 tan (') [(x 0 0 u)c'+(y0 v)s'] = 0 a [ (x 0 0 u)s'+(y0 v)c'] 0 (108) = a s ' [ (x 0 0 u) s ' + (y 0 0 v) c ' ] b c ' [(x 0 0 u) c ' + (y 0 0 v) s ' ] a c ' [ (x 0 0 u) s ' + (y 0 0 v) c ' ] + b s ' [(x 0 0 u) c ' + (y 0 0 v) s ' ] ami megegyezik (106) -tal. Természetesen a fenti törtek nevez½oje pontossan akkor 0, ha az érint½o függ½oleges. Ez pontosan akkor teljesül, ha a c ' [ (x 0 0 u) s ' + (y 0 0 v) c ' ] + b s ' [(x 0 0 u) c ' + (y 0 0 v) s ' ] = 0 (109) azaz vagyis ahol (y 0 0 v) a c ' + b s ' = (x 0 0 u) c ' s ' a b (110) y0 0 v x 0 0 u = (a b ) s ' c ' a c ' + b s ' = (q 1) s ' c ' q c ' + s ' y0 0 v x 0 0 u a! P0 K vektor iránytangense és K (u; v) az ellipszis középpontja, (111)

23 q = a b. Mivel a P 0 (x 0 0; y 0 0) pont rajta van a (93) -al ekvivalens (94) egyenlet½u ellipszisen, ezért (111) így írható: as ' cos (t) + bc ' sin (t) ac ' cos (t) bs ' sin (t) = (a b ) s ' c ' a c ' + b s ' (11) azaz (as ' cos (t) + bc ' sin (t)) a c ' + b s ' = a b s ' c ' (ac' cos (t) bs ' sin (t)) (113) ab (bs ' cos t + ac ' sin t) c ' + s ' = 0 (114) tehát vagyis a! P 0 K sin t cos t = bs ' cos t + ac ' sin t = 0 (115) bs ' azaz tan (t) = b tan ('), (116) ac ' a vektor iránytangensét a fenti (116) képlet adja meg. A következ½o tétel segítségével a görbe kis darabjáról eldönthetjük, hogy milyen kúpszelet (ellipszis, parabola, hiperbola vagy egyenes) részlete: 7.1. Tétel [HGy] Ha a közönséges másodrend½u görbe AB húrjának felez½opontja H, az A; B pontokban vont érint½ok metszéspontja a közönséges E pont és az EH szakasz a görbét C pontban metszi, akkor a görbe pontosan akkor elliptikus, ha C az E; H pontok közül E -t½ol van messzebb. 3

24 VIII. Ferde ellipszisek megadása pontjaival Már a III. fejezet bevezetésében említettük, hogy az egyenes állású ellipszisek (1) -beli kanonikus egyenletét sem sikerült egyenletrendszerrel közvetlenül meghatároznunk (lásd az [Sz1] kéziratot), ezért reménytelen a (93) egyenletben szerepl½o paramétereket egyenletrendszerrel meghatározni az adott P i (x i ; y i ) pontokból. Meglep½o módon a másodfokú görbék általános elmélete alapján kapjuk meg a P i (x i ; y i ) pontokra illeszked½o ellipszis egyenletét, amit el½oször röviden ismertetünk a következ½o alfejezetben, els½osorban [HGy] alapján. VIII.a) Másodfokú görbék A másodfokú görbék általános egyenlete vagy a mátrix alakhoz megfelel½oen Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, (117) a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0, (118) vagyis a mátrix alak: a 11 a 1 3 a 13 [x; y; 1] A [x; y; 1] T = 0 ahol A = 4a 1 a a 3 5 (119) a 31 a 3 a 33 a következ½o feltétellel: a 1 = a 1 ; a 13 = a 31 ; a 3 = a 3. (10) Többször fogunk hivatkozni az a 33 -hoz tartozó A 33 részmátrix aldeterminánsára: a11 a A 33 := det 1 = a a 1 a 11 a (a 1 ) = AC B 4, (11) (10) alapján. 4

25 8.1. Észrevétel: Ha néhány P i (x i ; y i ), (i n) ponttal akarunk meghatározni egy másodfokú görbét, akkor a következ½o egyenletrendszernek teljesülnie kell (n = 6 esetén): 8 Ax 1 + Bx 1 y 1 + Cy1 + Dx 1 + Ey 1 + F = 0 Ax >< + Bx y + Cy + Dx + Ey + F = 0 Ax 3 + Bx 3 y 3 + Cy3 + Dx 3 + Ey 3 + F = 0 Ax 4 + Bx 4 y 4 + Cy, (1) 4 + Dx 4 + Ey 4 + F = 0 Ax >: 5 + Bx 5 y 5 + Cy5 + Dx 5 + Ey 5 + F = 0 Ax 6 + Bx 6 y 6 + Cy6 + Dx 6 + Ey 6 + F = 0 és mivel ez az egyenletrendszer homogén lineáris az A; B; :::; F ismeretlenekre, ezért a rendszer determinánsa szükségszer½uen 0 : 3 x 1 x 1 y 1 y1 x 1 y 1 1 x x y y x y 1 det x 3 x 3 y 3 y3 x 3 y 3 1 6x 4 x 4 y 4 y4 x 4 y 4 1 = 0. (13) 7 4x 5 x 5 y 5 y5 x 5 y 5 15 x 6 x 6 y 6 y6 x 6 y 6 1 Azonban ellipszisek meghatározásához kihasználhatjuk az ellipszisek és a kúpszeletek speciális tulajdonságait. 8.. Tétel: ([HGy]) Ha öt pont között nincs három egy egyenesen, akkor egyetlenegy olyan kúpszelet van, amely ezt az öt pontot tartalmazza. Könnyen látható, hogy három pont Z 1 (x 1 ; y 1 ), Z (x ; y ), Z 3 (x 3 ; y 3 ) pontosan!! akkor van egy egyenesen, ha Z 1 Z k Z 1 Z 3 azaz x x det 1 x 3 x 1 = (x y y 1 y 3 y x 1 ) (y 3 y 1 ) (x 3 x 1 ) (y y 1 ) = 0 (14) 1 azaz (x x 1 ) (y 3 y 1 ) = (x 3 x 1 ) (y y 1 ). (15) (13) -ból azonnal következik: 5

26 8.3. Tétel: A P i (x i ; y i ), (i 5) pontok által meghatározott kúpszelet egyenlete (x és y az utolsó sorban van): 3 x 1 x 1 y 1 y1 x 1 y 1 1 x x y y x y 1 det x 3 x 3 y 3 y3 x 3 y 3 1 6x 4 x 4 y 4 y4 x 4 y 4 1 = x 5 x 5 y 5 y5 x 5 y 5 15 x xy y x y 1 (16) Ne feledjük, hogy a 8.3. Tétel kúpszeletr½ol szól, tehát akár (1) akár (16) megoldása el½ott ellen½oriznünk kell, hogy az öt pont valóban ellipszist ad-e meg. Ezzel a kérdéssel a következ½o alfejezetben foglalkozunk. (16) tehát azt jelenti, hogy a (1) 6 -ismeretlenes egyenletrendszer megoldása helyett választhatjuk (16) -t, ami azonnal megadja a görbe (117) egyenletét. Azonban a gyakorlatban 6 6 méret½u determinánsok számolása már id½oigényes, ezért célszer½ubb az A; B; :::; F együtthatók értékeit el½ore (egyszer) kiszámolnunk a rajzolás el½ott. A végeredményt a Függelékben adjuk meg. VIII.b) Általános ellipszisek 8.4. Tétel: ([HGy]) A (118) görbe pontosan akkor ellipszis, ha A 33 = a 11 a (a 1 ) = AC B 4 > 0. (17) Következ½o feladatunk a (117) alakban megtalált görbe egyenletéb½ol a; b; u; v; ' megtalálása, amiket a (117) és (93) egyenletek összehasonlítása alapján tudunk kiszámolni. 6

27 tehát A (93) egyenletet 0 -ra rendezzük és kifejtjük: 1 a c ' + 1 b s ' x + a c 1 's ' b c 's ' xy + b c ' + 1 a s ' y + b vc 's ' b us ' a vc 's ' a uc ' x + b uc 's ' a vs ' a uc 's ' b vc ' y (18) 1 + a u c ' + 1 b v c ' + 1 a v s ' + 1 b u s ' + a uvc 's ' b uvc 's ' 1 = 0 A = c ' a + s ' (19) b 1 1 B = c ' s ' (130) a b C = c ' b + s ' D = b vc 's ' b us ' E = b uc 's ' a vs ' (131) a a vc 's ' a uc ' (13) a uc 's ' b vc ' (133) F = 1 a u c ' + 1 b v c ' + 1 a v s ' + 1 b u s ' + a uvc 's ' b uvc 's ' 1 (134) Ez NEM egy reménytelen, bár nemlineáris egyenletrendszer, mert (19) - (131) - ben csak a; b és ' szerepel, (13) - (134) -ben pedig u és v csak els½o hatványon szerepelnek. A (19) - (134) egyenletrendszer megoldása: A C = c ' a + s ' b = c ' s ' B = sin (') c ' b s ' 1 a 1 b 1 1 a b (135) (136) a 1 1 = cos (') a b 7

28 tehát cos (') 6= 0 azaz ' 6= 4 (137) esetén vagyis ' = 1 B arctan A C B A C = tan (') (138) vagy ' = 1 arctan B A + C. (139) Ezután A és C, azaz (19) és (131) alapján 8 >< A = c ' a + s ' b ahonnan ahol >: 1 a = és 1 b = A s = det ' C c ' C = s ' a + c ' b (140) vagyis a = c, = det ' s ' A C és ne feledjük, hogy 6= 0 ekvivalens a (137) feltétellel. Ezután (13), (133), (134) így írható: s ' D = b + c ' 1 1 u + c a ' s ' b a E = c ' s ' 1 b 1 a s ' u a + c ' b r s és b = c, = det ' s ' s ' c ' (141), (14) v = A u Bv (143) v = Bu Cv (144) ahonnan u = és v = (145) ahol D = det E B, = det C A D B E 8, = det A B B C, (146)

29 és lényeges: a 8.4. Tétel (17) szerint elllipszisek esetében AC B > 0, vagyis 4 A B = det = 4AC B 6= 0. (147) B C A (134) egyenletet már csak ellen½orzésre tudjuk / kell felhasználni. VIII.c) Az ellipszisek adatai A fentieken túl, [WP] -ben a következ½oket olvashatjuk (felhasználjuk az (1), (117)-(11) és a (153)-(157) jelöléseket). A (118) görbe akkor ellipszis, ha a 11 = a esetén kör. A 33 > 0, det (A) 6= 0 és det (A) A 33 < 0, (148) Az ellipszis (u; v) = (x 0 ; y 0 ) középpontjának koordinátái: továbbá a féltengelyek ahol u = det (J x) det (A 33 ) = a 1a 3 a 13 a a 11 a (a 1 ), (149) v = det (J y) det (A 33 ) = a 11a 3 a 1 a 13 a 11 a (a 1 ), (150) s a = det (A 33 ) [I ], (151) s b = det (A 33 ) [I + ], (15) a1 a J x = det 13 = a a a 1 a 3 3 a 13 a, (153) a11 a J y = det 13 = a a 1 a 11 a 3 3 a 1 a 13, (154) 9

30 és = a 11 (a 3 ) + a (a 13 ) + a 33 (a 1 ) a 1 a 13 a 3 a 11 a a 33, (155) q q = (a c) + 4b = (a 11 a ) + 4a 1, (156) IX. Ferde ellipszisek görbülete I = a 11 + a. (157) A IV.a) alfejezet paraméteres (76) képletében t helyett egyszer½uen csak (t + ') -t kell írnunk. A derékszög½u koordinátáktól függés sokkal bonyolultabb: (77) és (89) alapján a (93) egyenlet½u ellipszis P 0 0 (x 0 0; y 0 0) pontjában a görbület: g (x 0 0; y 0 0) = a4 b 4 pg 3 (158) ahol G = a 4 [ (x 0 0 u) s ' + (y 0 0 v) c ' v] + b 4 [(x 0 0 u) c ' + (y 0 0 v) s ' u], (159) és g (x 0 0; y 0 0) az A ' 1; és B ' 1; "csúcspontokban" (lásd (95), (96)) veszi fel széls½oértékeit: P0 0 = A ' 1; esetén G = a 4 [ ((u a) c ' v s ' ) s ' + ((u a) s ' + v c ' ) c ' v] + +b 4 [((u a) c ' v s ' ) c ' + ((u a) s ' + v c ' ) s ' u] = = a 4 (v v) + b 4 ((u a) u) = 0 + b 4 a tehát g A ' a 4 b 4 1; = p 3 = a b4 a b, (160) P 0 0 = B ' 1; esetén pedig 30

31 G = a 4 [ (u c ' (v b) s ' ) s ' + (u s ' + (v b) c ' ) c ' v] + b 4 [ (u c ' (v b) s ' ) c ' + (u s ' + (v b) c ' ) s ' u] = = a 4 (v b v) + b 4 (u u) = a 4 b + 0 tehát g B ' a 4 b 4 1; = p 3 = b a4 b a. (161) A távolság és görbület IV.b) alfejezetben ismertetett (83) összefüggése változatlan marad, hiszen csak elforgatás történt: a távolság és a görbület "együtt fordulnek el ' szöggel". 31

32 X. Lineáris transzformációk Végül megvizsgáljuk azt a kérdést, hogy egy A : R! R lineáris transzformáció mikor eredményez ellipszist. Legyen tehát az A leképezés mátrixa a1;1 a A = 1; e f =, (16) a ;1 a ; c d ekkor az egyenlet½u ellipszis képe azaz (x (t) ; y (t)) = (x 0 ; y 0 ) + ( cos (t) ; sin (t)), 0 t (163) [x 0 (t) ; y 0 (t)] = A [x 0 ; y 0 ] T + A [ cos (t) ; sin (t)] T (164) x 0 (t) = x e cos (t) + f sin (t) y 0 (t) = y c cos (t) + d sin (t), 0 t. (165) Mivel a ' szöggel elforgatott, általános helyzet½u ellipszis egyenlete (94) szerint x 0 = a cos (t) cos (') b sin (t) sin (') + u y 0, (166) = a cos (t) sin (') + b sin (t) cos (') + v ezért a (16) ellipszis képe akkor és csak akkor ellipszis, ha 8 a 1;1 = e = a cos (') >< a 1; = f = b sin ('), (167) a ;1 = c = a sin (') >: a ; = d = b cos (') vagyis azaz a 1;1 a 1; = ab sin (') cos (') = a ;1 a ; (168) (a 1;1 a 1; + a ;1 a ; ) = 0 (169) Megjegyzés: Könnyen látható, hogy a fenti (169) -ben szerepl½o a 1;1 a 1; +a ;1 a ; kifejezés az A mátrisz oszlopainak skaláris szorzata, vagyis (169) pontosan akkor teljesül, ha az Ae 1? Ae 1, vagyis az A mátrix (leképezés) ortogonális vagyis szögtartó. 3

33 Tehát, annak ellenére, hogy sok esetben (mint a következ½o példában) a transzformált görbét ellipszisnek látjuk, az valójában nem ellipszis. Pontosabban: nem egymásra derékszög½u, hanem ferdeszög½u tengelyekkel rendelkez½o ellipszis. A ferdeszög½u tengelyekkel rendelkez½o ellipszisek tárgyalása már nem fér bele jelen cikkünkbe. 3 Példa: A = vagyis (x ; y 0 ) = (x + 3y; 7x + 4y), tehát (169) NEM teljesül, de az origó közep½u egységkör képe: y x ábra: A x 0 (t) = cos (t) + 3 sin (t) y 0 (t) = 7 cos (t) + 4 sin (t) egyenlet½u görbe 33

34 Hivatkozások [HGy] Hajós György: Bevezetés a geometriába, [HM1] Hujter Mihály: Ellipszisek és hiperbolák érint½oi, Haladvány Kiadvány, [Sz1] Szalkai István: Négy pont ellipszise, kézirat, 019. [Sz] Szalkai István: Ellipszisek görbülete, kézirat, 019. [WE] Wikipedia: Ellipse (angolul), [WM] Wikipedia: Ellipszis_(görbe), [WP] Wikipedia: (perzsa nyelven), Függelék A (1) egyenletrendszer megoldása (117) és a (16) determináns összehasonlítása alapján: A = x 1 x y 1 y 3y 4 x 1 x y 1 y 3 y 4+x 1 x 3 y 1 y y 4 x 1 x 3 y 1 y y 4 x 1 y 1 x 4 y y 3+x 1 y 1 x 4 y y 3 + x 1 x y 1 y 3 y 5 x 1 x y 1 y 3y 5 + x 1 x y y 3 y 4 x 1 x y y 3y 4 x 1 x 3 y 1 y y 5 + x 1 x 3 y 1 y y 5 + x 1 y 1 y x 5 y 3 x 1 y 1 y x 5 y 3 x x 3 y 1 y y 4 + x x 3 y 1y y 4 + x y 1 x 4 y y 3 x y 1x 4 y y 3 x 1 x y 1 y 4 y 5 + x 1 x y 1 y 4y 5 x 1 x y y 3 y 5 + x 1 x y y 3y 5 x 1 x 3 y y 3 y 4 + x 1 x 3 y y 3 y 4 + x 1 y 1 x 4 y y 5 x 1 y 1 x 4 y y 5 x 1 y 1 y x 5 y 4 + x 1 y 1 y x 5 y 4 + x x 3 y 1 y y 5 + x x 3 y 1 y 3 y 4 x x 3 y 1y y 5 x x 3 y 1y 3 y 4 x y 1 y x 5 y 3 + x y 1y x 5 y 3 x 3 y 1 x 4 y y 3 + x 3 y 1x 4 y y 3 + x 1 x y y 4 y 5 x 1 x y y 4y 5 + x 1 x 3 y 1 y 4 y 5 x 1 x 3 y 1 y 4y 5 + x 1 x 3 y y 3 y 5 x 1 x 3 y y 3 y 5 x 1 y 1 x 4 y 3 y 5 + x 1 y 1 x 4 y 3y 5 + x 1 y 1 x 5 y 3 y 4 x 1 y 1 x 5 y 3y 4 + x 1 x 4 y y 3y 4 x 1 x 4 y y 3 y 4 x x 3 y 1 y 3 y 5 + x x 3 y 1y 3 y 5 x y 1 x 4 y y 5 x y 1 x 4 y 3y 4 + x y 1 y x 5 y 4 + x y 1x 4 y y 5 + x y 1x 4 y 3 y 4 x y 1y x 5 y 4 + x 3 y 1 x 4 y y 4 + x 3 y 1 y x 5 y 3 x 3 y 1x 4 y y 4 x 3 y 1y x 5 y 3 x 1 x 3 y 3 y 4 y 5 + x 1 x 3 y 3 y 4y 5 x 1 x 4 y y 4 y 5 + x 1 x 4 y y 4 y 5 x 1 y x 5 y 3y 5 + x 1 y x 5 y 3 y 5 x x 3 y y 4 y 5 + x x 3 y y 4y 5 + x y 1 x 4 y 4 y 5 + x y 1 x 5 y 3y 5 + x x 4 y y 3 y 5 x x 4 y y 3y 5 x y x 5 y 3 y 4 + x y x 5 y 3y 4 x y 1x 4 y 4 y 5 x y 1x 5 y 3 y 5 + x 3 y 1 x 4 y 3 y 5 x 3 y 1 x 5 y 3 y 4 34

35 x 3 y 1 y x 5 y 5 x 3 y 1x 4 y 3 y 5 + x 3 y 1y x 5 y 5 + x 3 y 1x 5 y 3 y 4 y 1 x 4 y x 5 y 4 + y 1x 4 y x 5 y 4 + x 1 x 4 y 3 y 4 y 5 x 1 x 4 y 3y 4 y 5 + x 1 y x 5 y 4y 5 x 1 y x 5 y 4 y 5 + x x 3 y 3 y 4 y 5 x x 3 y 3 y 4y 5 x y 1 x 5 y 4y 5 + x y 1x 5 y 4 y 5 x 3 y 1 x 4 y 4 y 5 x 3 x 4 y y 3 y 5 + x 3 x 4 y y 3 y 5 + x 3 y x 5 y 3 y 4 + x 3 y 1x 4 y 4 y 5 x 3 y x 5 y 3 y 4 + y 1 x 4 x 5 y 3y 4 + y 1 x 4 y x 5 y 5 y 1x 4 y x 5 y 5 y 1x 4 x 5 y 3 y 4 x 1 x 5 y 3 y 4y 5 + x 1 x 5 y 3y 4 y 5 x x 4 y 3 y 4 y 5 + x x 4 y 3y 4 y 5 + x 3 y 1 x 5 y 4y 5 + x 3 x 4 y y 4 y 5 x 3 x 4 y y 4 y 5 x 3 y 1x 5 y 4 y 5 y 1 x 4 x 5 y 3y 5 x 4 y x 5 y 3y 4 + x 4 y x 5 y 3 y 4 + y 1x 4 x 5 y 3 y 5 + x x 5 y 3 y 4y 5 x x 5 y 3y 4 y 5 x 3 y x 5 y 4y 5 + x 3 y x 5 y 4 y 5 + x 4 y x 5 y 3y 5 x 4 y x 5 y 3 y 5, B = x 1x y3y 5 x 1x y3y 4 +x 1x y 3 y4 x 1x y 3 y5 x 1x y4y 5 +x 1x y 4 y5 +x 1x 3 yy 4 x 1x 3 yy 5 x 1x 3 y y4+x 1x 3 y y5+x 1x 3 y4y 5 x 1x 3 y 4 y5 x 1x 4 yy 3 +x 1x 4 yy 5 +x 1x 4 y y3 x 1x 4 y y5 x 1x 4 y3y 5 +x 1x 4 y 3 y5+x 1yx 5 y 3 x 1yx 5 y 4 x 1y x 5 y3+x 1y x 5 y4+x 1x 5 y3y 4 x 1x 5 y 3 y4+x 1 x y3y 4 x 1 x y3y 5 x 1 x y 3 y4+x 1 x y 3 y5+x 1 x y4y 5 x 1 x y 4 y5 x 1 x 3yy 4 + x 1 x 3yy 5 +x 1 x 3y y4 x 1 x 3y y5 x 1 x 3y4y 5 +x 1 x 3y 4 y5+x 1 x 4yy 3 x 1 x 4yy 5 x 1 x 4y y3+ x 1 x 4y y5+x 1 x 4y3y 5 x 1 x 4y 3 y5 x 1 yx 5y 3 +x 1 yx 5y 4 +x 1 y x 5y3 x 1 y x 5y4 x 1 x 5y3y 4 + x 1 x 5y 3 y4 x x 3 y1y 4 +x x 3 y1y 5 +x x 3 y 1 y4 x x 3 y 1 x x 3 y4y 5 +x x 3 y 4 y5+x y1x 4 y 3 x y1x 4 y 5 x y1x 5 y 3 +x y1x 5 y 4 x y 1 x 4 y3+x y 1 x 4 y5+x y 1 x 5 y3 x y 1 x 5 y4+x x 4 y3y 5 x x 4 y 3 y5 x x 5 y3y 4 +x x 5 y 3 y4+x x 3y1y 4 x x 3y1y 5 x x 3y 1 y4+x x 3y 1 y5+x x 3y4y 5 x x 3y 4 y5 x y1x 4y 3 +x y1x 4y 5 +x y1x 5y 3 x y1x 5y 4 +x y 1 x 4y3 x y 1 x 4y5 x y 1 x 5y3+ x y 1 x 5y4 x x 4y3y 5 +x x 4y 3 y5+x x 5y3y 4 x x 5y 3 y4 x 3y1x 4 y +x 3y1x 4 y 5 +x 3y1y x 5 x 3y1x 5 y 4 +x 3y 1 x 4 y x 3y 1 x 4 y5 x 3y 1 yx 5 +x 3y 1 x 5 y4 x 3x 4 yy 5 +x 3x 4 y y5+x 3yx 5 y 4 x 3y x 5 y4+x 3 y1x 4y x 3 y1x 4y 5 x 3 y1y x 5+x 3 y1x 5y 4 x 3 y 1 x 4y+x 3 y 1 x 4y5+x 3 y 1 yx 5 x 3 y 1 x 5y4+x 3 x 4yy 5 x 3 x 4y y5 x 3 yx 5y 4 +x 3 y x 5y4 y1x 4y x 5 +y1x 4x 5 y 3 +y1x 4 y x 5 y1x 4 x 5y 3 +y 1 x 4yx 5 y 1 x 4x 5 y3 y 1 x 4 yx 5+y 1 x 4 x 5y3 x 4yx 5 y 3 +x 4y x 5 y3+x 4 yx 5y 3 x 4 y x 5y3, C = x 1 x y 1 x 4y 3 x 1 x x 3y 1 y 4 x 1 x 3 y 1 x 4y +x 1 x x 3 y 1 y 4 x 1 x y 1 x 4 y 3 +x 1 x 3y 1 x 4 y x 1 x y 1 x 5y 3 + x 1 x x 3y 1 y 5 + x 1 x x 3y y 4 x 1 x x 4y y 3 + x 1 x 3 y 1 y x 5 x 1 x x 3 y 1 y 5 + x 1 x y 1 x 5 y 3 x 1 x 3y 1 y x 5 + x x 3 y 1 x 4y x x 3y 1 x 4 y x 1x x 3 y y 4 + x 1x x 4 y y 3 x 1 x y 1 x 4y 5 + x 1 x y 1 x 5y 4 + x 1 x y x 5y 3 x 1 x x 3y y 5 + x 1 x 3 x 4y y 3 x 1 y 1 x 4 y x 5 + x 1 y 1 x 4y x 5 x 1 x x 3 y 3 y 4 + x 1 x y 1 x 4 y 5 x 1 x y 1 x 5 y 4 x x 3 y 1 y x 5 x x 3 y 1 x 4y 3 + x x 3y 1 y x 5 + x 1x x 3 y y 5 + x 1x x 3 y 3 y 4 x 1x y x 5 y 3 x 1x 3 x 4 y y 3 + x x 3 y 1 x 4 y 3 x 1 x y x 5y 4 + x 1 x x 4y y 5 + x 1 x 3 y 1 x 4y 5 x 1 x 3 y 1 x 5y 4 x 1 x 3 y x 5y 3 + x 1 y 1 x 4 x 5y 3 x 1 y 1 x 4x 5 y 3 + x 1 x x 3 y 3 y 5 + x 1 x x 4 y 3 y 4 x 1 x 3y 1 x 4 y 5 + x 1 x 3y 1 x 5 y 4 x 1 x 3x 4 y y 4 + x x 3 y 1 x 5y 3 + x y 1 x 4 y x 5 x y 1 x 4y x 5 + x x 3y 1 x 4 y 4 x 1x x 3 y 3 y 5 x 1x x 4 y y 5 x 1x x 4 y 3 y 4 + x 1x y x 5 y 4 + x 1x 3 x 4 y y 4 + x 1x 3 y x 5 y 3 x x 3 y 1 x 4 y 4 x x 3 y 1 x 5 y 3 x 1 x 3 x 4y 3 y 5 + x 1 x 3 x 5y 3 y 4 + x 1 x 4 y x 5y 4 x 1 x x 4 y 4 y 5 x 1 x x 5 y 3 y 5 + x 1 x 3y x 5 y 5 + x x 3 y x 5y 4 x x 3 x 4y y 5 x y 1 x 4 x 5y 4 x x 4 y x 5y 3 x x 3y 1 x 5 y 5 + x x 3x 4 y y 5 x x 3y x 5 y 4 + x x 4y x 5 y 3 x 3 y 1 x 4 x 5y 3 + x 3 y 1 x 4x 5 y 3 + x 1x x 4 y 4 y 5 + x 1x x 5 y 3 y 5 + x 1x 3 x 4 y 3 y 5 x 1x 3 y x 5 y 5 x 1x 3 x 5 y 3 y 4 x 1x 4 y x 5 y 4 + x x 3 y 1 x 5 y 5 + x y 1 x 4 x 5 y 4 35

36 x 1 x 4 x 5y 3 y 4 + x 1 x x 5 y 4 y 5 + x 1 x 3x 4 y 4 y 5 x 1 x 4y x 5 y 5 + x x 3 x 4y 3 y 5 x x 3 x 5y 3 y 4 + x y 1 x 4x 5 y 5 + x 3 y 1 x 4 x 5y 4 + x 3 x 4 y x 5y 3 x 3 x 4y x 5 y 3 x 1x x 5 y 4 y 5 x 1x 3 x 4 y 4 y 5 + x 1x 4 y x 5 y 5 + x 1x 4 x 5 y 3 y 4 x x 3 x 4 y 3 y 5 + x x 3 x 5 y 3 y 4 x y 1 x 4 x 5 y 5 x 3y 1 x 4 x 5 y 4 x 1 x 3x 5 y 4 y 5 + x 1 x 4x 5 y 3 y 5 + x x 4 x 5y 3 y 4 x x 3x 4 y 4 y 5 x 3 y 1 x 4x 5 y 5 x 3 x 4 y x 5y 4 + x 1x 3 x 5 y 4 y 5 x 1x 4 x 5 y 3 y 5 + x x 3 x 4 y 4 y 5 x x 4 x 5 y 3 y 4 + x 3y 1 x 4 x 5 y 5 + x 3x 4 y x 5 y 4 + x x 3x 5 y 4 y 5 x x 4x 5 y 3 y 5 + x 3 x 4y x 5 y 5 x x 3 x 5 y 4 y 5 + x x 4 x 5 y 3 y 5 x 3x 4 y x 5 y 5, D = x 1x y y3y 4 x 1x y y3y 5 x 1x y y 3 y4+x 1x y y 3 y5+x 1x y y4y 5 x 1x y y 4 y5 x 1x 3 yy 3 y 4 + x 1x 3 yy 3 y 5 + x 1x 3 y y 3 y4 x 1x 3 y y 3 y5 x 1x 3 y 3 y4y 5 + x 1x 3 y 3 y 4 y5 + x 1x 4 yy 3 y 4 x 1x 4 yy 4 y 5 x 1x 4 y y3y 4 + x 1x 4 y y 4 y5 + x 1x 4 y3y 4 y 5 x 1x 4 y 3 y 4 y5 x 1yx 5 y 3 y 5 + x 1yx 5 y 4 y 5 + x 1y x 5 y3y 5 x 1y x 5 y4y 5 x 1x 5 y3y 4 y 5 + x 1x 5 y 3 y4y 5 x 1 x y 1 y3y 4 + x 1 x y 1 y3y 5 + x 1 x y 1 y 3 y4 x 1 x y 1 y 3 y5 x 1 x y 1 y4y 5 + x 1 x y 1 y 4 y5 + x 1 x 3y 1 yy 4 x 1 x 3y 1 yy 5 x 1 x 3y 1 y y4 + x 1 x 3y 1 y y5 + x 1 x 3y 1 y4y 5 x 1 x 3y 1 y 4 y5 x 1 y 1 x 4yy 3 + x 1 y 1 x 4yy 5 + x 1 y 1 x 4y y3 x 1 y 1 x 4y y5 x 1 y 1 x 4y3y 5 + x 1 y 1 x 4y 3 y5 + x 1 y 1 yx 5y 3 x 1 y 1 yx 5y 4 x 1 y 1 y x 5y3 + x 1 y 1 y x 5y4 + x 1 y 1 x 5y3y 4 x 1 y 1 x 5y 3 y4 + x x 3 y1y 3 y 4 x x 3 y1y 3 y 5 x x 3 y 1 y 3 y4 + x x 3 y 1 y 3 y5 + x x 3 y 3 y4y 5 x x 3 y 3 y 4 y5 x y1x 4 y 3 y 4 + x y1x 4 y 4 y 5 + x y1x 5 y 3 y 5 x y1x 5 y 4 y 5 + x y 1 x 4 y3y 4 x y 1 x 4 y 4 y5 x y 1 x 5 y3y 5 + x y 1 x 5 y4y 5 x x 4 y3y 4 y 5 + x x 4 y 3 y 4 y5 + x x 5 y3y 4 y 5 x x 5 y 3 y4y 5 x x 3y1y y 4 + x x 3y1y y 5 + x x 3y 1 y y4 x x 3y 1 y y5 x x 3y y4y 5 + x x 3y y 4 y5 + x y1x 4y y 3 x y1x 4y y 5 x y1y x 5y 3 + x y1y x 5y 4 x y 1 x 4y y3 + x y 1 x 4y y5 + x y 1 y x 5y3 x y 1 y x 5y4 + x x 4y y3y 5 x x 4y y 3 y5 x y x 5y3y 4 + x y x 5y 3 y4 + x 3y1x 4 y y 4 x 3y1x 4 y 4 y 5 x 3y1y x 5 y 5 + x 3y1x 5 y 4 y 5 x 3y 1 x 4 yy 4 + x 3y 1 x 4 y 4 y5 + x 3y 1 yx 5 y 5 x 3y 1 x 5 y4y 5 + x 3x 4 yy 4 y 5 x 3x 4 y y 4 y5 x 3yx 5 y 4 y 5 + x 3y x 5 y4y 5 x 3 y1x 4y y 3 + x 3 y1x 4y 3 y 5 + x 3 y1y x 5y 3 x 3 y1x 5y 3 y 4 + x 3 y 1 x 4yy 3 x 3 y 1 x 4y 3 y5 x 3 y 1 yx 5y 3 + x 3 y 1 x 5y 3 y4 x 3 x 4yy 3 y 5 + x 3 x 4y y 3 y5 + x 3 yx 5y 3 y 4 x 3 y x 5y 3 y4 + y1x 4y x 5 y 5 y1x 4x 5 y 3 y 5 y1x 4 y x 5y 4 + y1x 4 x 5y 3 y 4 y 1 x 4yx 5 y 5 + y 1 x 4x 5 y3y 5 + y 1 x 4 yx 5y 4 y 1 x 4 x 5y3y 4 + x 4yx 5 y 3 y 5 x 4y x 5 y3y 5 x 4 yx 5y 3 y 4 + x 4 y x 5y3y 4, E = x 1x x 3 y y4 x 1x x 3 y y5 x 1x x 3 y 3 y4+x 1x x 3 y 3 y5 x 1x x 4 y y3+x 1x x 4 y y5+ x 1x x 4 y3y 4 x 1x x 4 y 4 y5 + x 1x y x 5 y3 x 1x y x 5 y4 x 1x x 5 y3y 5 + x 1x x 5 y4y 5 + x 1x 3 x 4 yy 3 x 1x 3 x 4 yy 4 x 1x 3 x 4 y 3 y5 + x 1x 3 x 4 y 4 y5 x 1x 3 yx 5 y 3 + x 1x 3 yx 5 y 5 + x 1x 3 x 5 y 3 y4 x 1x 3 x 5 y4y 5 + x 1x 4 yx 5 y 4 x 1x 4 yx 5 y 5 x 1x 4 x 5 y3y 4 + x 1x 4 x 5 y3y 5 x 1 x x 3 y 1 y4 + x 1 x x 3 y 1 y5 + x 1 x x 3 y 3 y4 x 1 x x 3 y 3 y5 + x 1 x y 1 x 4 y3 x 1 x y 1 x 4 y5 x 1 x y 1 x 5 y3 + x 1 x y 1 x 5 y4 x 1 x x 4 y3y 4 + x 1 x x 4 y 4 y5 + x 1 x x 5 y3y 5 x 1 x x 5 y4y 5 + x 1 x x 3y 1 y4 x 1 x x 3y 1 y5 x 1 x x 3y y4 + x 1 x x 3y y5 x 1 x y 1 x 4y3 + x 1 x y 1 x 4y5 + x 1 x y 1 x 5y3 x 1 x y 1 x 5y4 + x 1 x x 4y y3 x 1 x x 4y y5 x 1 x y x 5y3 + x 1 x y x 5y4 x 1 x 3y 1 x 4 y + x 1 x 3y 1 x 4 y5 + x 1 x 3y 1 yx 5 x 1 x 3y 1 x 5 y4 + x 1 x 3x 4 yy 4 x 1 x 3x 4 y 4 y5 x 1 x 3yx 5 y 5 + x 1 x 3x 5 y4y 5 + x 1 x 3 y 1 x 4y x 1 x 3 y 1 x 4y5 x 1 x 3 y 1 yx 5 + x 1 x 3 y 1 x 5y4 x 1 x 3 x 4yy 3 + x 1 x 3 x 4y 3 y5 + x 1 x 3 yx 5y 3 x 1 x 3 x 5y 3 y4 x 1 y 1 x 4yx 5 + x 1 y 1 x 4x 5 y3 + 36

37 x 1 y 1 x 4 yx 5 x 1 y 1 x 4 x 5y3 + x 1 x 4yx 5 y 5 x 1 x 4x 5 y3y 5 x 1 x 4 yx 5y 4 + x 1 x 4 x 5y3y 4 x x 3 y1x 4 y 3 + x x 3 y1x 4 y 4 + x x 3 y1x 5 y 3 x x 3 y1x 5 y 5 + x x 3 x 4 y 3 y5 x x 3 x 4 y 4 y5 x x 3 x 5 y 3 y4 + x x 3 x 5 y4y 5 x y1x 4 x 5 y 4 + x y1x 4 x 5 y 5 + x x 4 x 5 y3y 4 x x 4 x 5 y3y 5 + x x 3y1x 4 y x x 3y1x 4 y 4 x x 3y1y x 5 + x x 3y1x 5 y 5 x x 3x 4 y y5 + x x 3x 4 y 4 y5 + x x 3y x 5 y4 x x 3x 5 y4y 5 x x 3 y1x 4y + x x 3 y1x 4y 3 + x x 3 y1y x 5 x x 3 y1x 5y 3 + x x 3 x 4y y5 x x 3 x 4y 3 y5 x x 3 y x 5y4 + x x 3 x 5y 3 y4 + x y1x 4y x 5 x y1x 4x 5 y 5 x y1x 4 y x 5 + x y1x 4 x 5y 4 x x 4y x 5 y3 + x x 4x 5 y3y 5 + x x 4 y x 5y3 x x 4 x 5y3y 4 + x 3y1x 4 x 5 y 4 x 3y1x 4 x 5 y 5 x 3x 4 yx 5 y 4 + x 3x 4 yx 5 y 5 x 3 y1x 4x 5 y 3 + x 3 y1x 4x 5 y 5 + x 3 y1x 4 x 5y 3 x 3 y1x 4 x 5y 4 + x 3 x 4yx 5 y 3 x 3 x 4yx 5 y 5 x 3 x 4 yx 5y 3 + x 3 x 4 yx 5y 4, F = x 1x x 3 y y 4 y5 x 1x x 3 y y4y 5 +x 1x x 3 y 3 y4y 5 x 1x x 3 y 3 y 4 y5 +x 1x x 4 y y3y 5 x 1x x 4 y y 3 y5 x 1x x 4 y3y 4 y 5 +x 1x x 4 y 3 y 4 y5 x 1x y x 5 y3y 4 +x 1x y x 5 y 3 y4+x 1x x 5 y3y 4 y 5 x 1x x 5 y 3 y4y 5 x 1x 3 x 4 yy 3 y 5 +x 1x 3 x 4 yy 4 y 5 +x 1x 3 x 4 y y 3 y5 x 1x 3 x 4 y y 4 y5+x 1x 3 yx 5 y 3 y 4 x 1x 3 yx 5 y 4 y 5 x 1x 3 y x 5 y 3 y4+x 1x 3 y x 5 y4y 5 x 1x 4 yx 5 y 3 y 4 +x 1x 4 yx 5 y 3 y 5 +x 1x 4 y x 5 y3y 4 x 1x 4 y x 5 y3y 5 +x 1 x x 3 y 1 y4y 5 x 1 x x 3 y 1 y 4 y5 x 1 x x 3 y 3 y4y 5 +x 1 x x 3 y 3 y 4 y5 x 1 x y 1 x 4 y3y 5 + x 1 x y 1 x 4 y 3 y5+x 1 x y 1 x 5 y3y 4 x 1 x y 1 x 5 y 3 y4+x 1 x x 4 y3y 4 y 5 x 1 x x 4 y 3 y 4 x 1 x x 5 y3y 4 y 5 + x 1 x x 5 y 3 y4y 5 x 1 x x 3y 1 y4y 5 +x 1 x x 3y 1 y 4 y5+x 1 x x 3y y4y 5 x 1 x x 3y y 4 y5+x 1 x y 1 x 4y3y 5 x 1 x y 1 x 4y 3 y5 x 1 x y 1 x 5y3y 4 +x 1 x y 1 x 5y 3 y4 x 1 x x 4y y3y 5 +x 1 x x 4y y 3 y5+x 1 x y x 5y3y 4 x 1 x y x 5y 3 y4+x 1 x 3y 1 x 4 yy 5 x 1 x 3y 1 x 4 y y5 x 1 x 3y 1 yx 5 y 4 +x 1 x 3y 1 y x 5 y4 x 1 x 3x 4 yy 4 y 5 + x 1 x 3x 4 y y 4 y5+x 1 x 3yx 5 y 4 y 5 x 1 x 3y x 5 y4y 5 x 1 x 3 y 1 x 4yy 5 +x 1 x 3 y 1 x 4y y5+x 1 x 3 y 1 yx 5y 4 x 1 x 3 y 1 y x 5y4+x 1 x 3 x 4yy 3 y 5 x 1 x 3 x 4y y 3 y5 x 1 x 3 yx 5y 3 y 4 +x 1 x 3 y x 5y 3 y4+x 1 y 1 x 4yx 5 y 3 x 1 y 1 x 4y x 5 y3 x 1 y 1 x 4 yx 5y 3 +x 1 y 1 x 4 y x 5y3 x 1 x 4yx 5 y 3 y 5 +x 1 x 4y x 5 y3y 5 +x 1 x 4 yx 5y 3 y 4 x 1 x 4 y x 5y3y 4 +x x 3 y1x 4 y 3 y 5 x x 3 y1x 4 y 4 y 5 x x 3 y1x 5 y 3 y 4 +x x 3 y1x 5 y 4 y 5 x x 3 y 1 x 4 y 3 y5+ x x 3 y 1 x 4 y 4 y5+x x 3 y 1 x 5 y 3 y4 x x 3 y 1 x 5 y4y 5 +x y1x 4 x 5 y 3 y 4 x y1x 4 x 5 y 3 y 5 x y 1 x 4 x 5 y3y 4 + x y 1 x 4 x 5 y3y 5 x x 3y1x 4 y y 5 +x x 3y1x 4 y 4 y 5 +x x 3y1y x 5 y 4 x x 3y1x 5 y 4 y 5 +x x 3y 1 x 4 y y5 x x 3y 1 x 4 y 4 y5 x x 3y 1 y x 5 y4+x x 3y 1 x 5 y4y 5 +x x 3 y1x 4y y 5 x x 3 y1x 4y 3 y 5 x x 3 y1y x 5y 4 + x x 3 y1x 5y 3 y 4 x x 3 y 1 x 4y y5+x x 3 y 1 x 4y 3 y5+x x 3 y 1 y x 5y4 x x 3 y 1 x 5y 3 y4 x y1x 4y x 5 y 3 + x y1x 4x 5 y 3 y 5 +x y1x 4 y x 5y 3 x y1x 4 x 5y 3 y 4 +x y 1 x 4y x 5 y3 x y 1 x 4x 5 y3y 5 x y 1 x 4 y x 5y3+ x y 1 x 4 x 5y3y 4 x 3y1x 4 y x 5 y 4 +x 3y1x 4 y x 5 y 5 +x 3y 1 x 4 yx 5 y 4 x 3y 1 x 4 yx 5 y 5 +x 3 y1x 4y x 5 y 3 x 3 y1x 4y x 5 y 5 x 3 y1x 4 y x 5y 3 +x 3 y1x 4 y x 5y 4 x 3 y 1 x 4yx 5 y 3 +x 3 y 1 x 4yx 5 y 5 +x 3 y 1 x 4 yx 5y 3 x 3 y 1 x 4 yx 5y 4. 37