A másod- és harmadfokú egyenletek nomogramjai

Átírás

1 A másod- és harmadfokú egyenletek nomogramjai Bálint Roland és Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, Kivonat A másodfokú egyenletet megoldó számolóábra elemzésekor érdekes összefüggéseket találtunk a másodfokú egyenlet és a koordinátarendszer kapcsolatáról, amik alapján megszerkesztettük a harmadfokú egyenlet nomogramját. Haladvány Kiadvány, ,6:05 0. Bevezetés Egy régi középiskolai "Függvénytáblázatok" könyvben ([0]) találtuk az alábbi számolóábrát ("nomogram"): egy vonalzót a vízszintes és függ½oleges tengelyek p -nek és -nak megfelel½o pontokra illesztve azonnal leolvashatjuk a másodfokú egyenlet gyökeit ) a skálázott parabolán. z + pz + 0 () ) Az x és y változókat a tengelyek eredeti elnevezéseinek tartjuk fenn, ezért mi inkább a z + pz + 0 egyenlet z ; z gyökeir½ol beszélünk.

2

3 Honlapunkon [] közlünk még néhány üres, megvonalazott, nagyfelbontású számolóábrát az Olvasóknak, használják egészséggel! Használata egyszer½u és gyors, s½ot az analóg számolóeszközök el½onyeit is "élvezhetjük": p és/vagy változtatása esetén azonnal látjuk a gyökök változásának irányát és mértékét. Ez a gyökképletb½ol másodfokú egyenlet esetében [3] még megy csakcsak, de harmad- és negyedfokú egyenletek esetében ((43),[6]) már aligha. A m½uszaki tudományokban és gyakorlatban most is használnak számolóábrákat (például Nyuist diagram [8],[]). De hogyan m½uködik? Miért metszik az egyenesek épp a gyököknél a görbét, ami miért parabola, stb. Ezekre a kérdésekre adott elemzéseket és érdekes felfedezéseket mutatjuk be az Olvasónak (követnie és átugornia is lehet). Az interneten err½ol semmit, még a fenti számolóábrát sem találtuk, csak az [] és [] nomogramokat, amik kicsit más elven m½uködnek. Az alapos elemzések végén felfedeztük és megszerkesztettük a harmadfokú egyenletet megoldó ábrát is! Érdekességképpen kiemeljük, hogy sem a másodfokú sem a harmadfokú számolóábra elemzéséhez és elkészítéséhez egyszer sem volt szükségünk a megoldóképletekre, s½ot a Viète formulákat ((9), (4), (4), [5]) is csak ellen½orzéshez használtuk!. Bevezet½o számítások Ezek a bevezet½o számolások nem a másodfokú egyenlet megoldó nomogramjának konstruálását vagy lényegét tartalmazzák, hanem csak "ellen½orzést", a nomogram "jóságát". Figyelem: A számolóábra használatakor a p; ; x; y; z változók egyike sem lehet 0, pontosabban a 0 esetet külön meg kell vizsgálnunk. p 0 esetén az A pont végtelen távol van, az AB egyenes vízszintes és a parabolát < 0 esetén valóban a p pontokban metszi, míg 0 esetén a B pont végtelen távol van, az AB egyenes függ½oleges és a parabolát tényleg a p és a végtelen távoli 0 pontban metszi. Számolóábráknál (nomogramok) és logarléceknél a tengelyekre és a görbékre felírt számok általában nem egyeznek meg a geometriai (valódi) távolság-értékekkel. Ezeket körültekint½oen meg kell különböztetnünk, ezért az alábbi jelölést vezetjük be: Jelölés: Minden (geometriai) ponthoz írt értékeket, azaz a feliratokat p F ; F ; x F ; y F ; z F ; ::: () 3

4 -el jelöljük, míg ugyanezen pontok geometriai értékei, azaz a valódi távolságok az origótól p g ; g ; x g ; y g ; z g ; :::. (3) Tehát nagyon gyeljünk az alsó indexekre! A számolóábra (nomogram) nyilván akkor használható könnyen, ha a p F, F, z F és z F értékeket találjuk meg rajta, tehát () precízen az alábbi egyenlet jelenti: z F + p F z F + F 0. (4). Észrevétel: A bemutatott nomogramon a tengelyeken reciprok skálák vannak, vagyis p F p g és F g. (5) A parabola egyenlete y x azaz g p g, vagyis F p F. F p F azaz p F. Észrevétel: a parabolára írt "z" számok éppen az adott (geometriai) P (x; y) pont x koordinátáihoz írt p F értékek, vagyis z F p F ahol P x ; x ; ;. (6) p F z F p F z F ÁLLÍTÁS: a számolóábra jó. (Ellen½orzés.) Tehát azt kell igazolnunk, hogy az egyenes vonalzónk illesztéséhez használt A (p F ) ; 0 és B ( F ) 0 ; p F F (7) pontok, valamint a parabolán jelölt C (z ) ; és C z F zf (z ) ; (8) z F zf! pontok egy egyenesbe esnek. Vagyis: AB k AC!!! i azaz det AB ; ACi 0 (i ; ). Az alábbi bizonyításban elhagyjuk az F alsó indexeket. Fel fogjuk használni a Viète összefüggéseket (ld.pl. [5]): z z és z + z p, (9) 4

5 azaz p + z z és p + z z : (0) Mivel z és z szerepe szimmetrikus, ezért elég a C pontra bizonyítanunk:! AB ;!, AC p ; p z z p z pz ;, z!! det AB ; AC p z p z pz pz z + p+z pz z pz + z 0.. Készítése z z z + z De hogyan készült, vagyis hogyan találták fel a fenti egyszer½u de hasznos kis segédeszközt? Ebben a fejezetben egy lehetséges szerkesztést elemzünk. Ha a nomogramot a fenti módon szeretnénk használni ("p F és F az x és y tengelyeken, vonalzó ide és metsz a görbén", (5) és z F p F ), akkor a görbe nyilván mértani helye az AB egyenesek és a z és z -nél függ½olegesen húzott egyenesek metszéspontjainak. Az AB egyenes egyenlete (Salmon-féle tengelymetszetes egyenlet és (5) alapján): x + y vagyis y p F x, () p F F F ennek metszete (9) szerint a függ½oleges x z z y + p z ( + pz ) z hiszen z + pz + 0 miatt pz + z. y Tehát a görbe tényleg egy közönséges parabola. Megfordítva: Az AB egyenes és az y px x, ahonnan 0 x p x + x p x + F egyenessel: z x x parabola metszéspontját vizsgáljuk:! x, () melynek x ; gyökei az eredeti x + px + 0 egyenlet gyökeinek negatív reciprokai: x i z i. 5

6 3. További észrevételek 3. Észrevétel: A parabola és az y tengely által az AB egyenesb½ol kimetszett szakaszok aránya épp a z és z gyökök aránya. Ez szemléletesen belátható a számolóábrán: a vízszintes tengelyen (x ) F és (x ) F van, az AB egyenest és a vízszintes (x) tengelyt egy szögtartománynak tekinthetjük, a parabola és az AB egyenes metszéspontjaiban húzott függ½oleges egyenesek az x tengelyen épp a gyökök értékeit mutatják: z F z g és z F z g, ezek aránya valóban z z, és a szögtartományra a függ½oleges egyenesekkel a párhuzamos szel½ok tételét alkalmazva épp a bizonyítandó állítást kapjuk. Az állítást azonban számolással is megkaphatjuk: (7) és (8) alapján: Ha a D pont az AB és y tengely metszéspontja, akkor nyilván D 0 ; 0 ; z z, és ekkor a keresett arány: C D C D v z u + t z + z z z z z z + z z z + z v u t z z z + z + z z s z z + (z + z ) z z + (z + z ) z z. z +z z z z +z z z v u t z z z 4z z z z z4 + (z +z ) z 4 z + (z +z ) z z4 4. Kérdés: miért kellett a tengelyeken reciprok skálákat felvenni? Talán ekkor már az AB egyenes képe nem lenne egyenes, hanem ennek inverziós képe, egy kör. Erre a "Lineáris léptékkel" fejezetben keresünk választ. 5. Kérdés: D 0 azaz p F 4 F esetében az AB egyenesnek a parabola érint½ojét kell adnia. Ezt is érdekes lenne végigszámolni. 4. Lineáris léptékkel Próbáljunk meg egy nomogramot szerkeszteni úgy, hogy a tengelyeken lineáris lépékeket alkalmazunk, azaz p F p g és F g. El½oször is vizsgáljuk meg az () egyenletet közelebbr½ol. Kis átalakítás után: px + x, tehát a gyökök a következ½o két függvény metszéspontjainak els½o koordinátái: y px + egyenes és y x parabola. 6

7 Ez egy hagyományos gra kus megoldás lehetne. Az y x parabolát könny½u felrajzolni (csak egyszer kell), az egyenes az y tengelyt a értéknél metszi, és p az egyenes meredeksége, amit "kicsit" nehéz és pontatlan beállítani a gra kus megoldásnál: már derékszög½u háromszöget kellene szerkeszteni, stb. Sajnos, nem túl praktikus, annak ellenére, hogy a tengelyeken a szokásos lineáris skála (millliméterpapír) mellett ésszer½u tartományok ábrázolhatóak. Tehát: a tetsz½oleges A(u; 0) és B (0; v) pontokon átmen½o egyenes egyenlete x + u y vagyis y v x v u v v x, aminek metszete az y u x parabolával: x v v x azaz 0 x v x + v u u vx +, amely másodfokú v u x x egyenlet gyökei z i x i, és az együtthatók p és. u v Ez (is) magyarázza a reciprok lépték szükségességét a tengelyeken! 5. Villamosmérnöki gondolatok Feltesszük, hogy a nomogram használatakor az x, x gyököket az f (x) x parabola és a C, C pontokon átmen½o egyenes metszéspontjaiként kapjuk meg, és a tengelyeken vannak p és értékei. Lineáris skálák esetén: A C (x ; x ), C (x ; x ) pontokon átmen½o egyenes egyenlete f(x) y x (x x ) + y (x x ) (x x ) x (3) x x (x + x ) x + x x amely az x tengelyt az f(x 0 ) 0 vagyis x 0 x x x + x x + x azaz x 0 x + x. (4) Ez mellesleg az elekronikából jól ismert replusz (reciprok plusz) m½uvelet ), ami pl. két párhuzamos ellenállás (R ; R ) ered½o ellenállását adja meg: R e R + R vagyis R e R R R + R. (5) ) ami éppen a harmonikus középérték fele 7

8 Továbbá a C C egyenes az y tengelyt az f (0) x x (6) pontban metszi. A (9) Viète összefüggéseknek (6) ugyan eleget tesz, de (4) nem, ha a tengelyeken p -t és -t szeretnénk látni. Villamosmérnökként gondolkozva a gyökökre úgy tekinthetünk mint ellenállások, és ha p a kett½o replussza, akkor tudjuk "linearizálni" a feladatot, ha vesszük a reciprokokat, tehát vezetésekkel számolunk ellenállások helyett. Reciprok skálák esetén: Tehát vegyünk mindkét tengelyen reciprok skálákat ((5) és (3) szerint). f (x) függvény marad a x függvény. A két metszéspont C x ; és C x x ;. x A C C egyenes egyenlete: x f (x) x x ( + ) x +, (7) x x x x x x melynek metszéspontja x tengellyel f (x 0 ) 0 ahonnan x x 0 x x + x. (8) Mivel p -re is reciprok skálánk van, ezért (x 0 ) g (x 0 vagyis a metszéspontnál ) F lev½o (x 0 ) F felirat éppen p F! A C C egyenes y tengellyel vett metszéspontja f(0) x x, ami szintén megegyezik F -el! Megfordítva: az x tengelyen lev½o reciprok skála p F -ek értékét adja meg, a gyököknél pedig (x F ) és (x F ) feliratokat kell elhelyeznünk! 6. A felfedezés Már talán eleget tudtunk meg a másodfokú számolóábráról, tehát akár fel is fedezhetjük, minden el½ozetes információ nélkül ("a semmib½ol"). Tehát az () x F + p F x F + F 0 egyenletünk van. Pár ügyes átalakítással: x F + p F x F + F 0 : x F (feltéve, hogy x F 6 0) 8

9 + p F + F x F x F 0, HA most (ismét) AKKOR és HA még AKKOR () geometriai jelentése ami pedig az p F p F x F + F x F. (9) y F x F, (0) x F x F y F () + F. () y F x F x g, y F y g, p F p g és F g, (3) x g p g + y g g, (4) A (p g ; 0) és B (0; g ) (5) pontokon áthaladó egyenes "tengelymetszetes" (vagy Salmon-féle) egyenlete, és () pedig geometriailag x g y g (6) a "lefelé álló parabola" egyenlete. Összefoglalva: az () egyenlet nemnulla x ;F (és x ;F ) gyökei éppen az (), azaz (6) lefelé álló parabolának és az AB pontokra (5) fektetett (4) egyenesnek a metszéspontjai, ráadásul ezen metszéspontok pontosan a vízszintes tengelynek az x ;F (és x ;F ) feliratok alatt (függ½olegesen) lev½o pontjai! Ez pedig éppen a bevezet½oben bemutatott számolóábra! 9

10 7. Harmadfokú egyenletek Minden harmadfokú egyenlet standard módon alakítható át x 3 + px + 0 azaz x 3 F + p F x F + F 0 (7) alakra ([6], [7]). Próbáljuk meg az el½oz½o fejezetben alkalmazott módon átalakítani: x 3 F + p F x F + F 0 : x 3 (feltéve, hogy x F 6 0) + p F x F + F x 3 F 0, Legyen most p F x F + F x 3 F. (8) p F p g és F g (9) és ekkor és és (8) jelentése ami az y g x 3 F pontokon áthaladó egyenes egyenlete. x F x g és x 3 F y g, (30) x F x g (3) p x g 3 ( xg ) 3 (3) x g p g + y g g, (33) A (p g ; 0) és B (0; g ) (34) Tehát megint van az AB egyenesünk és a (3) egyenlet½u görbénk. 0

11 3 y 3 x 0 Az y ( x g ) 3 egyenlet½u görbék 3 Összefoglalva: A harmadfokú nomogram elkészítése. i) a vízszintes és függ½oleges tengelyeken p és beosztása reciprok skála (9) szerint - mint a másodfokú számolóábránál, ii) megrajzoljuk az y g ( x g ) 3 görbéket (szimmetrikus az x tengelyre), iii) a vízszintes tengelyen (3) alapján x F részére felveszünk egy x F x g (35) beosztást (azaz az origótól x g távolságra x F feliratot írunk), iv) az x F feliratokat függ½olegesen levetítjük és ráírjuk a ii) görbére. A nomogram használata: v) a megfelel½o p F, F pontokra fektetett AB egyenes kimetszi az ii) görbén a gyököket.

12

13 Ha nem tudjuk vagy nem akarjuk a görbére közvetlenül ráírni a számokat, akkor az AB egyenes és a görbe kapott metszéspontjait függ½olegesen vetítjük a vízszintes tengelyre és ott olvassuk le x F értékeit. Sajnos (3) miatt már az iii) pontban sem tudtuk az x F értékek el½ojeleit egyértelm½uen felírni. Tehát számolóábránk csak a gyökök abszolút értékeit adja meg, a gyökök el½ojeleit nekünk kell behelyettesítéssel vagy a Viète összefüggések (4) alapján meghatároznunk. Honlapunkon [] közöljük a nagyfelbontású számolóábrákat. Az ábrát biztosan feltalálták már el½ottünk, csak esetleg a négyzetes-reciprok skála miatt nehézkes és pontatlan a használata, ezért nem tartották ½oseink megörökítésre méltónak. 7.. Megjegyzések, kérdések. Megjegyzés: Már az el½oz½o alfejezet végén tárgyaltuk a gyökök el½ojeleinek problémáját. Sajnos erre jobb választ nem tudunk, nyitott kérdés, hogy van-e el½ojelhelyes nomogram a harmadfokú egyenlet megoldásához.. Kérdés: Mit jelent (30), azaz mennyi y F? Tulajdonképpen lényegtelen, vagyis y F skálára nincs szükségünk. Az y g f (x g ) görbét viszont (3) egyértelm½uen meghatározza. 3. Megjegyzés: A nomogram megtervezése sokkal egyszer½ubb lenne az x 3 + px + 0 (36) alakú egyenletekre, de sajnos nem minden harmadfokú egyenlet hozható ilyen alakra. 4. Kérdés: Ha tudtunk nomogramot szerkeszteni másodfokú egyenletre síkban, akkor tudunk-e térbeli nomogramot készíteni az általános z 3 +z +z + 0 alakú harmadfokú egyenletek megoldására? Erre sem tudjuk még a választ. 5. Kérdés: A p; értékekre illesztett AB egyenes hogyan metszi a két görbét három pontban? Az ábrán láthatjuk, hogy a fels½o görbe konvex, az alsó konkáv! A diszkrimináns (44) alapján pedig akkor van három különböz½o valós gyök, ha < 0. Ez pedig ugye akkor van, ha p er½osen negatív, és ebben az esetben az egyenes valóban metszheti az egyik görbét kett½o, a másik görbét pedig egy pontban. Tehát van három gyökünk! Mivel a két görbe együtt szimmetrikus a vízszintes tengelyre, ezért el½ojele (a függ½oleges tengelyen) lényegtelen: a gyökök ugyanazok. Ez összhangban van a Cardano képlettel (43), mert miatt ott sem lényeges el½ojele, és természetesen -ban sem. 6. Kérdés: A három gyök lehet-e egy egyenesen? 3

14 A három gyök mindegyike kielégíti (7) és (8) -et, amik ekvivalensek (ha egyik gyök sem 0). (9), (3) és (3) esetén a fenti (8) ekvivalens (33) -el, ami egy valóságos geometriai egyenes, méghozzá (34)-beli pontokkal, tehát OK, vagyis a három (vagy amennyi van) gyök mindenképpen egy egyenesre esik! 7. Kérdés: Ha csak az egyik gyököt változtatom meg, a másik két gyökön áthaladó egyenes "mit csinál"? Ez egy fogas kérdés. De ne feledjük: nomogramunk csak a (7) alakú egyenletekre m½uködik, márpedig ha csak az egyik gyököt változtatjuk meg, akkor - a (4) Viète összefüggés alapján ezt a három gyököt megadó egyenlet már nem lesz (7) alakú! 7.. Diszkriminánsok Ebben az alfejezetben néhány hasznos képletet és tudnivalót sorolunk fel a harmadfokú egyenletekr½ol.. Állítás: Minden alakú egyenlet a Z : z + 3 z 3 + z + z + 0 (37) helyettesítéssel ekvivalens módon átalakítható Z 3 + pz + 0 (38) alakú egyenletté. (Bizonyítás: Házi Feladat vagy [6],[7].). Állítás (Viète formulák): Ha a fenti egyenletek (akár komplex akár valós) gyökei z ; z ; z 3 illetve Z ; Z ; Z 3, akkor a és összefüggések alapján és (z z ) (z z ) (z z 3 ) z 3 + z + z + (39) (Z Z ) (Z Z ) (Z Z 3 ) Z 3 + pz + (40) (z + z + z 3 ) z z + z z 3 + z 3 z (4) z z z 3 Z + Z + Z 3 0 Z Z + Z Z 3 + Z 3 Z p (4) Z Z Z 3. 4

15 3. Tétel (Cardano-Fontana 3) formula, [6]): A (40) egyenlet gyökei r r z i p p 3 3. (43) 4. De níció: A harmadfokú egyenlet diszkriminánsa ([8], [9]) : + p 3 3. (44) 5. Tétel ([6]-[9]): HA > 0 akkor a Cardano formulában lev½o négyzetgyökvonás elvégezhet½o és az egyenletnek mindig egy valós és két (igazi) konjugált komplex gyöke van, HA 0 akkor és csak akkor ha legalább két gyök azonos (van többszörös gyök), HA < 0 akkor a négyzetgyök alatt negatív szám van, DE az egyenletnek három valós gyöke van Példák A nomogram kipróbálásához néhány egyenletet el½ore megoldottunk a Cardano- Fontana képlettel. x 3 + 0:3 x + 0:5 x3 3:3333x + 0 (p F azaz p 0:3 g 0:3), Megoldása: (x i ) F :3680, 0:705, :073, (x i ) g (:3680) 0:53435, (0:705) :00 7, ( :073) 0:366, x 3 + 0:4 x + 0:8 x3 :5x + :5 0, Megoldása: (x i ) F :8, 0:57673, :7885, (x i ) g (:8) 0:68099, (0:57673) 3:006 5, ( :7885) 0:36, x 3 + 0: x + 0:3 x3 5x + 3:3333 0, Megoldása: (x i ) F :7635, 0:7557, :55 3 ) A képletet általában Cardano-Tartaglia vagy csak Cardano képletnek hívják. A képletet valójában Tartaglia találta fel, akinek eredeti neve Niccoló Fontana, Tartaglia csak a gúnyneve ("dadogós"). 5

16 (x i ) g (:7635) 0:355, (0:7557) :7704, ( :55) 0:580, x 3 + 0: x + x3 5x + 0, Megoldása: (x i ) F :84, 0:064, :330 (x i ) g (:84) 0:075, (0:064) 4:595, ( :330) 0:848, x 3 + 0:45 x + :5 0, Megoldása: (x i ) F :3088, 0:339, :6 7 (x i ) g (:3088) 0:58379, (0:339) 0:48, ( :6 7) 0: Hivatkozások [0] Függvénytáblázatok, matematikai és zikai összefüggések, Tankönyvkiadó, 968. [] Martel, P.: Nomograms, és [] [3] [4] [5] [6] [7] (redirected from Cardano formula) [8] [9] [0] [] Görbe Péter: Villamosságtan jegyzet, Pannon Egyetem, Kézirat, 07. [] 6