DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR
|
|
- Erik Rácz
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 SZILÁGYI BRIGITTA DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető Lektor Technikai szerkesztő Copyright
2 A differenciálgeometria klasszikus felépítését követõ példatár elsõ részében a görbékhez, második részében a felületekhez kapcsolódó példák szerepelnek. Minden feladatot általában részletes megoldás is követ, összetettebb feladatok megoldásai a szükséges elméleti ismereteket és formulákat is tartalmazzák. A görbékrõl szóló öt, egymásra épülõ, az alkalmazásokban is fontos ismeretek gyakorlását segítõ fejezetre tagolódik. Minden fejezet elején elméleti összefoglalót találunk. A felületelméleti rész elsõ két fejezete a felületek paraméterezését, a felületi normálissal, érintõsíkkal kapcsolatos példákat foglalja magában,tárgyalásra kerülnek az alkalmazás szempontjából fontos felülettípusok. Majd a követõ két fejezet a mélyebb differenciálgeometriai fogalmak (intrinsic geometria) megértését hivatott segíteni. Kulcsszavak: paraméterezés, reguláris görbe, görbület, torzió, reguláris felület, alapforma, Gauss-görbület, Minkowski-görbület
3 Támogatás: Készült a TÁMOP-4..-8//A/KMR-9-8 számú, a Természettudományos (matematika és fizika) képzés a műszaki és informatikai felsőoktatásban című projekt keretében. Készült: a BME TTK Matematika Intézet gondozásában Szakmai felelős vezető: Ferenczi Miklós Lektorálta: Prok István Az elektronikus kiadást előkészítette: Torma Lídia Boglárka Címlap grafikai terve: Csépány Gergely László, Tóth Norbert ISBN: Copyright: CC 6, A CC terminusai: A szerző nevének feltüntetése mellett nem kereskedelmi céllal szabadon másolható, terjeszthető, megjelentethető és előadható, de nem módosítható.
4 Tartalomjegyzék I. Görbék. A görbe és előállításai 4.. Elméleti összefoglaló Feladatok Érintőegyenes és normálsík.. Elméleti összefoglaló Feladatok Ívhossz és ívhossz szerinti paraméterezés Elméleti összefoglaló Feladatok Görbület és torzió 4.. Feladatok Frenet-apparátus, kísérő triéder Görbe megadása a Frenet-apparátusból I. Felületek A felület Feladatok Felületi görbék, érintősík Feladatok Alapmennyiségek, görbületek Első, második alapforma Főgörbületek, szorzat- és összeggörbület Felszínszámítás 75
5 Előszó Ez a feladatgyűjtemény a görbe- és felületelmélet tanulásában kíván segítséget nyújtani, de hasznos lehet azok számára is, akik mérnöki tanulmányaik folyamán találkoznak ezen témakörökkel. A példatár részletes elméleti anyagot nem tartalmaz, viszont rövid összegzéseket igen. A könnyebb memorizálás érdekében, a megoldáshoz szükséges képleteket szinte minden előfordulásukkor kiírtuk. Minden feladatot részletes megoldás követ. Az Olvasó munkája akkor lesz a legeredményesebb, ha ezt a segítséget önellenőrzésre használja. A példatárban szereplő feladatok mindegyike megoldható az egyetemi matematikus alapképzésben helyet kapó differenciálgeometria kurzus elemi differenciálgeometriát tárgyaló fejezeteinek ismeretében, valamint a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetemen a mérnök hallgatók számára szabadon választható differenciálgeometria tárgy elvégzése után. Önálló tanulás esetén a szükséges elmélet elsajátításához Szőkefalvi Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria című tankönyvét (Műszaki Könyvkiadó), vagy Manfredo Do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces könyvét ajánljuk. Ez utóbbi sok érdekes feladatot is tartalmaz, amelyeknek megoldásával az érdeklődő Olvasó is sikerrel próbálkozhat a jelen jegyzetben kidolgozott példák megoldása után. Mind a görbeelmélethez, mind a felületelmélethez tartozik egy-egy interaktív Mathematica notebook( : amelyekben az elsajátított ismeretek vizualizálódnak. Javasoljuk azonban, hogy ezeket ne csak szemlélődésre, hanem a paraméterek változtatásával önálló kisérletezésre is használja az Olvasó. A jegyzet többnyire a legelterjedtebb jelöléseket használja. A formulákat igyekeztünk többször is feltüntetni. A vektorokat fölül húzott nyíllal jelöljük: v. Elterjedt jelölés még a vastagon szedés, és (inkább kézzel írva) az alá-, illetve föléhúzás: v, v, v. Az e, e, e 3, néhol i, j, k az E 3 -beli ortonormált bázist jelöli. Az első- és második alapmennyiségek jelölésére a Gauss által javasolt E, F, G és L, M, N betűket alkalmaztuk, azzal a különbséggel, hogy a második alapmennyiségeket helyenként l, m, n betűk jelölik. (Ezt a felületi normálistól való könnyebb megkülönböztetés indolkolja.) Ha az Olvasó e példatár feladataihoz hasonlókkal szeretné tudását tovább gyarapítani, akkor V. T. Vodnyev: Differenciálgeometria feladatgyűjteményét forgathatja haszonnal, mely 974-ben jelent meg a Műszaki Könyvkiadónál.
6 I. rész Görbék 3
7 . fejezet A görbe és előállításai.. Elméleti összefoglaló. DEFINÍCIÓ Reguláris görbén egy olyan Γ ponthalmazt értünk, amely előállítható egy I intervallumon értelmezett r(t) vektor-függvény helyzetvektorainak végpontjaiként, ahol r(t) egy topologikus (kölcsönösen egyértelmű és mindkét irányban folytonos) leképezés, folytonosan differenciálható és a differenciálhányados vektora sehol sem tűnik el.. TÉTEL Egy t = ϕ(τ) paramétertranszformáció akkor és csak akkor viszi át egy tetszőleges görbe bármely r(t) reguláris előállítását reguláris r(τ) előállításba, ha ϕ(τ) C és dϕ dτ..3 DEFINÍCIÓ Térbeli, derékszögű koordinátarendszerben egy görbe paraméteres egyenlete általánosan r = r(t) = f (t) i + f (t) j + f 3 (t) k alakban írható... Feladatok. FELADAT Írjuk fel annak a P (x,y,z ) középpontú, ρ sugarú körnek egy paraméteres egyenletét, mely az a és b egymásra merőleges, egységvektorok által kifeszített síkban van!. MEGOLDÁS r(t) = r + ρ cost a + ρ sint b, ahol r = (x,y,z ) T.. FELADAT Írjuk fel az.. feladatban szereplő kör implicit egyenletét abban a koordinátarendszerben, melynek origója a P pont, bázisvektorai az a, b, a b vektorok!. MEGOLDÁS Az adott koordinátarendszerben egy origó középpontú, [x, y] síkban fekvő, ρ sugarú kör egyenletét kell felírnunk: x + y = ρ z =. 4
8 A görbe és előállításai 5.3 FELADAT Mutassuk meg, hogy az r(t) = r + r cosht + r sinht vektorfüggvény hiperbolát állít elő, ha az r és r vektorok linerárisan függetlenek!.3 MEGOLDÁS Legyen a koordinátarendszerünk origója az r vektor végpontja, a bázisvektorok pedig az r és r vektorok (ezek lineárisan függetlenek). Ebben a rendszerben a görbe paraméteres egyenletrendszere: x(t) = cosht y(t) = sinht. Az egyszerűség kedvéért a változókat a továbbiakban elhagyjuk. Emeljük négyzetre a két egyenletet és vonjuk ki őket egymásból. Felhasználva a hiperbolikus függvényekre érvényes cosh t sinh t = azonosságot, kapjuk: x y =. Ez nem más, mint a hiperbola egyenlete, tehát a görbe pontjai egy hiperbolán vannak..4 FELADAT Keressük meg az implicit egyenletét az alább megadott görbének, a Descartes-féle levélnek: r(t) = 3t +t 3 e + 3t +t 3 e.4 MEGOLDÁS Az e és e bázisvektorok által kifeszített rendszerben a görbe paraméteres egyenlete: x = y = 3t +t 3 3t +t 3. Látható, hogy y = tx, amiből x esetén t = y x. Ezt visszahelyettesítve a második egyenletbe, kapjuk a görbe implicit egyenletét: y = 3 xy x 3 + y 3 = x 3 + y 3 3yx. Ha pedig x =, akkor y = is fennáll. Láthatjuk, hogy a (,) pont koordinátái is kielégítik a kapott egyenletet..5 FELADAT Adott az x = t 3 t y = t
9 6 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR görbe. Vizsgáljuk meg, hogy az M(, ), N(4, ), P(, ) pontok rajta vannak-e a görbén! Keressük meg, hogy hol metszi a görbe a koordinátatengelyeket! Határozzuk meg a legkisebb ordinátájú pontot a görbén. Írjuk fel a görbe implicit egyenletét!.5 MEGOLDÁS. Első lépésben írjuk fel a görbe implicit egyenletét. Vegyük észre, hogy x = yt, amiből y esetén t = x y. Ezt visszahelyettesítve a második egyenletbe, rendezés után adódik a görbe implicit egyenlete: y 3 + y = x. Ha pedig y =, akkor x = is fennáll. Láthatjuk, hogy a (,) pont koordinátái is kielégítik a kapott egyenletet.. Helyettesítsük be az M, N és P pontok koordinátáit az implicit egyenletbe. Az első két esetben az egyenlet két oldala megegyezik, tehát az M és N pontok rajta vannak a görbén. A harmadik esetben ez nem teljesül, ezért a P pont nem eleme a görbének. 3. A görbe az x tengelyt abban a pontban (azokban a pontokban) metszi, ahol y =. Ebből adódik, hogy x =, vagyis x =. A metszéspont koordinátái (,). Az y tengellyel való metszéspont esetén x = = t 3 t = t(t ), amiből t = vagy t =. Az első esetben y =, a másodikban y =. Tehát két metszéspontot kaptunk, melyek koordinátái (, ) és (,). 4. A legkisebb ordinátájú pontban y minimális. Látható, hogy y = t, tehát t = esetén veszi fel y a minimumát. Ebben az esetben x =. A keresett pont koordinátái: (, )..6 FELADAT Adjuk meg az x + y ax = kör paraméteres előállítását, ha paraméterként a.) a kör tetszőleges P pontját az origóval összekötő egyenes iránytangensét, b.) a kör tetszőleges P pontját a kör középpontjával összekötő egyenes és az x tengely szögét választjuk!.6 MEGOLDÁS a.) Jelöljük k-val a paramétert. A feladat szövege alapján k = y x, amiből y = kx. Helyettesítsük ezt vissza a kör egyenletébe és a kapott kifejezést alakítsuk szorzattá: x + k x ax = x[x( + k ) a] =. Az utóbbi egyenletnek minden x-re teljesülnie kell. Ezért x( + k ) a =, amiből x = a + k y = kx = ak + k.
10 A görbe és előállításai 7 Érdemes megvizsgálnunk, hogy hogyan futja be a fönti paraméterezés a görbét. Könnyen észrevehető az is, hogy az origó csak k ± határátmenet esetén adódik. b.) Jelöljük a paraméterünket φ-vel. Ekkor érvényes, hogy sinφ = y a a kör paraméteres előállítása: x = a( + cosφ) y = asinφ. és cosφ = x a a. Ebből Ha φ [ π, π ), akkor a fönti paraméterezés egyszer futja be a teljes görbét..7 FELADAT Adjuk meg az analitikus leírását azon síkbeli pontok halmazának, amelyeknek két adott F és F pontoktól mért távolságainak szorzata adott a állandó! (Cassini-féle ovális).7 MEGOLDÁS Oldjuk meg a feladatot Descartes-koordinátarendszerben, F és F pontok koordinátái legyenek rendre ( b, ), (b, ). Tekintsük a Cassini-féle ovális egy tetszőleges P(x, y) pontját. A távolságok szorzatának állandóságát a következőképpen írhatjuk fel: (x + b) + y (x b) + y = a. A fenti egyenlet a Cassini-féle ovális egyenlete. Az egyenletet a következő alakokban szokás megadni: ((x + b) + y )((x b) + y ) = a 4, amiből (x + y + b ) 4b x = a 4. (Lássuk be, hogy a két utóbbi egyenlet ekvivalens egymással!).8 FELADAT Adjuk meg a Cassini-féle ovális egyenletét polárkoordinátákban!.8 MEGOLDÁS Érdemes az (x + y + b ) 4b x = a 4 egyenletből kiindulni. Helyettesítsünk be x = r cosϕ-t és y = r sinϕ-t. A sin x + cos x = azonosság alapján a következő alakot kapjuk: (r + b ) 4b r cos ϕ = a 4. Rendezés után a cos ϕ = cosϕ azonosság felhasználásával kapjuk a végső alakot: r 4 r b cosϕ = a 4 b 4. Megjegyzések:
11 8 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR a b > esetén a görbének egyetlen zárt ága van, a b = esetén a Bernoulli-féle lemniszkátát kapjuk, a b < esetén két nem összefüggő zárt ágból áll, a b = esetén a két fókuszponttá fajul. a b > esetén a görbe ovális, > b a > esetén négy inflexiós pontja van..9 FELADAT Adott az OA = a átmérőjü kör, O az origó, A az x tengelyen fekszik. C legyen a kör A-beli érintőjének egy tetszőleges pontja. Legyen P a kör és az A-beli érintő C pontját az origóval összekötő egyenes metszéspontja. Mérjünk fel az OC félegyenesre egy OM = PC szakaszt! A C pont mozgatásával M kirajzolja a Dioklész-féle cisszoidot. Írjuk fel a cisszoid egyenletét! a a A M P.. ábra. A Dioklész-féle cisszoid.9 MEGOLDÁS A kör egyenlete (x a) + y = a, a futó OC félegyenes egyenlete legyen y = tx, ahol a t R változót paraméternek választjuk. A félegyenes és a kör metszéspontjaira: (x a) + (tx) = a. Az egyenletet rendezve: Tehát P koordinátái C koordinátái pedig x (( +t ) x a ) =. ( ) a +t, at +t, (a, at).
12 A görbe és előállításai 9 Mivel OM és PC egy egyenesen fekszenek, ezért az OM szakasz x és y vetületének hossza rendre megegyezik a PC szakasz x és y vetületének hosszával. Ezért M pont koordinátái: ( ( M(t) = a ) ( +t, at )) +t. Az egyenletet egyszerűsítve: M(t) = ) (a t t3, a +t +t. Ezzel megadtuk a t R paraméter függvényében a Dioklész-féle cisszoidot. A t paraméter eliminálásával a görbe implicit egyenletét kapjuk. Fejezzük ki t-t az x koordinátából: t (x a) + x = x t = ± a x. Ezt y-ba behelyettesítve: x t y = ±a a x +t = ±a Ebből az implicit egyenlet alábbi alakját kapjuk: x y = ± a x x. x a x x a x + a x x. További átalakításokkal az implicit egyenletet végül a következő alakra lehet hozni: x 3 + y (x a) =.. FELADAT Adott a koordinátarendszer x tengelyét az origóban, O-ban érintő, a sugarú kör. A kör O-val átellenes pontja C. Legyen E a C-beli érintő egyenes egy tetszőleges pontja, az OE félegyenes messe a kört a D pontban. A D pontból húzzunk az x tengellyel, az E pontból pedig az y tengellyel párhuzamos egyenest, a két egyenes metszéspontját jelölje M. Adjuk meg paraméteresen, majd implicit módon az M pont által kirajzolt görbét, miközben E végigfut a C-beli érintőn! (Agnesi-féle fürt (görbe)). MEGOLDÁS A kör egyenlete: ( x + y a ) ( a ) =. A C-beli érintő egyelete: y = a.
13 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR C E a O D M.. ábra. Az Agnesi-féle fürt Válasszuk paraméternek az OE egyenes t meredekségét: y = tx. Az M pont első koordinátája megegyezik az E pont első koordinátájával, a második koordinátája pedig a D pont második koordinátájával. E első koorinátájára könnyen adódik x = a t a fenti egyenletekből. A D pont kielégíti az és az ( x + y a ) ( a = ) y = tx egyenleteket. A kör egyenletébe x = y t -t (t ) helyettesítve: Innen D második koordinátája: y t + y ay + a 4 = a 4 (( y + ) ) t y a =. y = a + = a t +t. t Tehát az Agnesi-féle fürt a t paraméter függvényében: ( ) a t, a t +t. A t paraméter könnyen kifejezhető az x koordinátából: t = a x. egyenlete: y = a3 x + a. Innen a görbe implicit
14 . fejezet Érintőegyenes és normálsík.. Elméleti összefoglaló Jelölje X, Y és Z az érintő (illetve normális) futó pontjainak koordinátái ( ρ ennek a pontnak a helyvektora). Az x, y és z pedig az érintési pont (illetve normális talppontjának) koordinátái legyenek. Ekkor a különbözőképpen megadott görbék érintőjének és normálisíkjának egyenleteit az alábbi formulák írják le:. A görbe paraméteres alakban van megadva: r = r(t). Az érintő egyenlete: ρ(λ) = r + λ r. A normálsík egyenlete: ( ρ r) r =.. A görbe megadása: x = f (t), y = f (t), z = f 3 (t). Az érintő egyenlete: A normálsík egyenlete: X x ẋ = Y y ẏ = Z z. ż (X x)ẋ + (Y y)ẏ + (Z z)ż =. 3. A síkgörbe megadása: y = ϕ(x). Az érintő egyenlete: Y y = ϕ (x)(x x). A normális egyenlete: X x + (Y y)ϕ (x) =. 4. A görbe implicit egyenlettel van megadva: F(x,y) =. Az érintő egyenlete: (X x)f x + (Y y)f y =,
15 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR ahol F x = F(x,y) x, F y = F(x,y) y érintő egyenlete más alakban: a megfelelő paraméter szerinti deriváltakat jelöli. Az X x F y = Y y F x.. TÉTEL Ha az érintési pontban r(t) = r(t) =... = r (k ) (t) =, de r (k) (t), akkor az érintő egyenlete ρ(λ) = r(t) + λ r (k ) (t)... Feladatok. FELADAT Adott az r(t) = acost e + asint e + bt e 3 közönséges csavarvonal (a >, b ). a.) Határozzuk meg a csavarvonal tetszőleges pontjában az érintő és a z = sík szögét! b.) Keressük meg a (, a, πb ) pontban a simulósíkot és írjuk fel a simulókör egyenletét! c.) Legyen b >. A csavarvonal minden pontjában, a binormális irányában mérjük fel a c := a a b + b távolságot! Mi lesz a szakaszok végpontjainak mértani helye?. MEGOLDÁS a.) Az érintő egyenes irányvektora: v(t) = r(t) = asint e + acost e + b e 3. A z = sík normálvektora: A sík és az érintő által bezárt szög: n(t) = e 3. cosϕ = n(t) v(t) n(t) v(t) = b a sin t + a cos t + b = b a + b. b.) A simulósík egyenlete ( R r(t)) r(t) r(t) =, ahol R a simulósík pontjainak helyvektora. A sebesség- és gyorsulásvektor: r(t) = asint e + acost e + b e 3 r(t) = acost e asint e. Tudjuk, hogy a (, a, π b) pontok rajta vannak a simulósíkon. Ezt felhasználva meghatározható a t paraméter értéke: z = bt = π b, ahonnan t = π. Ezt és a megfelelő vektorokat behelyettesítve a simulósík általános egyenletébe kapjuk: a bx + Z π b = (Y tetszőleges).
16 Érintőegyenes és normálsík 3 c.) Felírva a binormális egyenletét, és véve a c távolságot, látható, hogy a kapott pontok ugyancsak egy csavarvonalon helyezkednek el.. FELADAT Adjuk meg a következő görbék t paraméterű pontjában az érintővektort: a.) r(t) = (t 3) e + (t ) e +t 3 e 3, t =, b.) r(t) = sint e + cost e + cost e 3, t =, c.) r(t) = +t t e + +t t e +t e 3, t =.. MEGOLDÁS a.) A megoldási módszer mindhárom esetben ugyanaz. A megadott görbét a t paraméter szerint kell deriválni, így kapjuk r(t)-t, majd ebben a t = t helyettesítést kell elvégezni. Az görbe érintővektora: b.) c.) Ez a t = paraméterű pontban.3 FELADAT Írjuk fel az r(t) = (t 3) e + (t ) e +t 3 e 3 r(t) = e + t e + 3t e 3. r() = e + 4 e + e 3. r(t) = sint e + cost e + cost e 3 r(t) = cost e sint e + sint cos t e 3 t = r() = e. r(t) = t +t e + +t e +t e 3 ( t ) ( r(t) = +t t ( +t) e + t +t ) t e + t e 3 r() = 4 e e + e 3. r(t) = (t e t ) e cost e + t e 3 csavarvonal érintőjét, és határozzuk meg azokat a pontokat, amelyekben az érintővektor zérus!
17 4 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR.3 MEGOLDÁS A görbe paraméter szerinti deriváltja az érintővektor: az érintő egyenes egyenlete pedig ebből: r(t) = ( e t ) e + sint e +t e 3, ( t R(λ) = r(t) + λṙ(t) = (t + λ ( + λ)e t ) ) e + (sint cost) e + +t e 3. Jól látható, hogy r = csak a t = választás esetén teljesül..4 FELADAT Írjuk fel az r(t) = t 3 e +t e görbe ( 7, ) ponton átmenő érintőjének az egyenletét!.4 MEGOLDÁS A görbe érintő egyenesének egyenlete r(t) = t 3 e +t e r(t) = 3t e + t e. R(λ) = (3λ +t)t e + (λ +t)t e. A ( 7, ) ponton átmenő érintőhöz tartozó t paraméter meghatározható: (3λ +t)t = 7 (λ +t)t =. A λ = 5 4 és t = a valós megoldás. Tehát a ponton átmenő érintő: R(λ) = (λ + 8) e + (4λ + 4) e..5 FELADAT Az r(t) = (sint t cost) e + (cost +t sint) e + (t + ) e 3 görbe mely pontjaiban párhuzamos az érintő az [y, z] síkkal?.5 MEGOLDÁS x = sint t cost y = cost +t sint z = t + Az r(t) görbe érintővektorai pontosan akkor párhuzamosak az [y, z] síkkal, ha ẋ(t) =. ẋ = cost cost +t sint = t sint t = kπ, k Z pontokban párhuzamos.
18 Érintőegyenes és normálsík 5.6 FELADAT Az r(t) = t4 4 e + t3 3 e + t e 3 görbe mely pontjaihoz tartozó érintője párhuzamos az x + 3y + z = síkkal?.6 MEGOLDÁS Az érintő párhuzamos az adott síkkal, ha az érintőegyenes irányvektora merőleges a sík normálvektorára. r(t) = t4 4 e + t3 3 e + t e 3 r(t) = t 3 e +t e +t e 3 x + 3y + z =. A második és harmadik egyenlőségekből látszik, hogy a t 3 + 3t + t = megoldásai kellenek. Ezek pedig: t =, t =, t 3 =. Ezen paraméterekhez tartozó pontokban párhuzamos a megadott görbe a síkkal. A keresett pontok tehát P (4, 8 3, ), P ( 4, 3, ), P 3 (,, )..7 FELADAT Mekkora szöget zár be az x = R cost, y = R sint, z = λt csavarvonal t paraméterű pontjához tartozó érintője a csavaronalat tartalmazó henger ugyanezen ponton áthaladó alkotójával?.7 MEGOLDÁS A közönséges csavarvonal előállításából x = Rcost, y = Rsint, z = λt r(t) = Rsint e + Rcost e + λ e 3, továbbá tudjuk, hogy az alkotók irányvektora az e 3 vektor. Így a keresett szög: ( ) ( r(t) e3 λ Θ = arccos = arccos ). r(t) e 3 R + λ.8 FELADAT Az r(t) = acost e +asint e +bt e 3 közönséges csavarvonal mely pontjaiban párhuzamos az érintő a 6x + 3y = 5 síkkal, és mi ezen pontokban az érintők egyenlete?.8 MEGOLDÁS A 6x + 3y + 5 = síknak eleme a p = ( /3,,) helyvektorú pont. Ha az érintővektort ebbe a pontba tolva az érintővektor rajta van a síkon, akkor maga az érintő párhuzamos vele. r(t) = asint e + acost e + b e 3 p + r(t) = ( /3 asint) e + (acost ) e + b e 3 6( /3 asint) + 3(acost ) = 5 cost = sint / = tant t, kπ, k Z. Ezekben a pontokban az érintő egyenlete (közelítően): R(λ) = (,8944,447λ)a e + (,447 +,8944λ)a e + (, λ) e 3.
19 6 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR.9 FELADAT Mekkora szögben metszi az r(t) = e t cost e + e t sint e + e t e 3 görbe az őt tartalmazó kúp alkotóit? Hogyan változik ez a szög a t paraméter függvényében?.9 MEGOLDÁS Tudjuk, hogy a görbék hajlásszögét a metszéspontbeli érintők szöge definiálja. Az r(t) = e t cost e + e t sint e + e t e 3 görbe az x + y = z egyenletű kúpra illeszkedik, melynek csúcsa az origó, így: A görbe érintővektora: (e t cost) + (e t sint) = e t (cos t + sin t) = e t. e t (cost sint) e + e t (sint + cost) e + e t e 3. Mivel x + y = z összes alkotója átmegy az origón, csak r(t) és r(t) szögét kell kiszámítanunk: ( ) r(t) r(t) Θ = arccos = r(t) r(t) ( ) e t (cos t sint cost + sin t + sint cost + ) = arccos e t cos t + sin t + e t = (cost sint) + (cost + sint) + ( ) =... = arccos, Tehát t-től független, azaz állandó.. FELADAT Az a állandó mely értéke esetén metszi az x = e at cost y = e at sint z = e at egyenletrendszerű görbe az őt tartalmazó forgáskúp alkotóit π 4 = 45 szögben?. MEGOLDÁS Az x = e at cost, y = e at sint, z = e at görbe érintővektora: r(t) = e at ((acost sint) e + (asint + cost) e + a e 3 ). Hasonlóan az előző feladathoz az origó itt is eleme az összes alkotónak. cos π 4 = = r(t) r(t) r(t) r(t) r(t) r(t) = e at (acos t sint cost + asin t + sint cost + a) = ae at r(t) = e at sin t + cos t + = e at r(t) = e at (acost sint) + (asint + cost) + = e at a + a + = ae at e at e at a + a +.
20 Érintőegyenes és normálsík 7 Megoldva az egyenletet kapjuk, hogy a = és a = 3 esetén metszi egymást 45 -os szögben az alkotó és az érintő.. FELADAT Határozzuk meg a t paraméter függvényében hogy az r(t) = t cos(3lnt) e +t sin(3lnt) e + t e 3 kúpos csavarvonal mekkora szögben metszi az x + y z 4 = körkúp alkotóit!. MEGOLDÁS r(t) = t cos(3lnt) e +t sin(3lnt) e + t e 3 görbe érintője r(t) = [cos(3lnt) t sin(3lnt)3/t] e + [sin(3lnt) +t cos(3lnt)3/t] e + e 3, az adott t paraméterű ponthoz tartozó alkotó irányvektora ugyancsak r(t) = t cos(3lnt) e +t sin(3lnt) e + t e 3. Így a keresett szög az alábbi módon számolható: r(t) r(t) = t cos (3lnt) 3t cos(3lnt)sin(3lnt) +t sin (3lnt)+ + 3t sin(3lnt)cos(3lnt) + 4t = 5t, r(t) = ( cos (3lnt) 6cos(3lnt)sin(3lnt) + 9sin (3lnt) + sin (3lnt)+ r(t) = +6cos(3lnt)sin(3lnt) + 9cos (3lnt) + 4 ) = 4, t cos (3lnt) +t sin (3lnt) + 4t = 5t, ( ) ( ) ( ) r(t) r(t) 5t 5 arccos = arccos = arccos sgn t = r(t) r(t) 7t 7 ( ) 5 = arccos, ,3, 7 ugyanis t >. Tehát a szög t-től független, állandó.. FELADAT Milyen görbén helyezkednek el az alábbi térgörbék érintőinek az [x, y] síkkal vett döféspontjai: a.) r(t) = cost e + sint e + c e 3 b.) r(t) = e t cost e + e t sint e + ce t e 3 c.) r(t) = t e + Bt e +Ct n e 3, ahol c, n, B és C rögzített állandók és n.
21 8 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR. MEGOLDÁS a.) c különben nincs döféspont. Így az érintőegyenes: r(t) = cost e + sint e + ct e 3 r(t) = sint e + cost e + c e 3 R(λ) = r(t) + λ r(t) = (cost λ sint) e + (sint + λ cost) e + c(t + λ) e 3. A z = síkot ezért c(t + λ) =, λ = t paraméterértéknél döfi át. Tehát az alábbi görbe pontjai a döféspontok: b.) Hasonlóan: q(t) = (cost +t sint) e + (sint t cost) e. r(t) = e t cost e + e t sint e + ce t e 3 r(t) = e t (cost sint) e + e t (sint + cost) e + ce t e 3 R(λ) = [ e t cost + λe t (cost sint) ] e + [ e t sint + λe t (sint + cost) ] e + (λ + )ce t e 3 Tehát: vagyis (λ + )ce t =, λ =, q(t) = e t sint e e t cost e. c.) Itt is ugyanúgy eljárva: r(t) = t e + Bt e +Ct n e 3, ahol n, r(t) = e + Bt e +Cnt n e 3, R(λ) = (t + λ) e + (Bt + Bλ)t e + (Ct n + λcnt n ) e 3. Ebből a döféspontokhoz tartozó λ értékek: Ct n + λcnt n =, t + λn = λ = t/n. Így a keresett görbe: ( q(t) = t t ) ) ( e + (Bt Bt e = t ( ) e + Bt ) e n n n n egy parabola.
22 3. fejezet Ívhossz és ívhossz szerinti paraméterezés 3.. Elméleti összefoglaló 3. TÉTEL Az r(t) térgörbe t paraméterű P pontjától a t paraméterű P pontjáig tartó ívének előjeles hossza t s = ẋ (t) + ẏ (t) + ż (t)dt. t 3. ÁLLÍTÁS Az y = ϕ(x) egyenletű síkgörbe esetén a görbe ívhossza x s = + (ϕ (x)) dx. x 3.3 DEFINÍCIÓ A görbe pontjait paraméterezhetjük egy rögzített pontjától mért s ívhosszal. Ezt a paramétert a görbe természetes paraméterénk nevezzük. Ha az ívhosszat egy rögzített P ponttól a t paraméterű P(t) pontig mérjük, akkor s = s(t) t függvénye. Belátható, hogy ekkor létezik a t = t(s) inverz függvény is, ezért minden r(t) görbénél végrehajtható az ívhossz szerinti paramétertranszformáció. 3.4 TÉTEL Ívhossz szerint paraméterezett görbe érintővektorának hossza. 9
23 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR 3.. Feladatok 3. FELADAT Mutassuk meg, hogy az x = t { t sin y = t, ha t >, ha t = z = folytonos görbének nincs ívhossza a t [, ] végtelenbe nyúló íven! 3. MEGOLDÁS Írjuk fel az egyenletek első deriváltjait: A görbe ívhossza s = ẋ =, ẏ = sin t t cos t, ż =. ẋ ( + ẏ + ż dt = + sin t t cos ) dt. t Mivel a fönti improprius integrál divergens, következik, hogy a görbének valóban nincs ívhossza. 3. FELADAT Számítsuk ki a következő térgörbe ívhosszát, és írjuk fel az ívhosszparaméteres egyenletét: r (t) = (t + 3) e + t e + 3 t 3 e3 t 3. MEGOLDÁS A görbe, és a görbe paraméter szerinti deriváltja: t + 3 r(t) = t r(t) = t. t 3 t 3 A görbe sebessége a sebeségvektorának normája: v(t) = r(t) = +t + t = +t = +t. Az utolsó egyenlőség azért áll fenn, mert t esetben +t = + t. Az ívhossz a sebesség paraméter szerinti integrálja: ζ (t) = t v(τ)dτ = t ( + τ)dτ = t + t.
24 Ívhossz és ívhossz szerinti paraméterezés Megjegyzés: Az integrálási változó azért τ, mert az integrálás határa és az integrálási változó lehet azonos, és most az integrálás határát jelöljük t-vel. Így ζ (t) az integrálás felső határának függvénye. Most rátérhetünk az ívhossz szerinti paraméterezés megoldására. Ehhez ζ -el kell paramétertranszformációt végrehajtani: ζ = t + t t = ± + ζ. Mivel t [, ], ezért a + előjelet kell választani. Az átparaméterezéshez az ívhosszfüggvény inverzével kell transzformálni: ζ : t t + t = s 3 ζ : s + + ζ = t. Így az átparaméterezett görbe: + + s + 3 ( ) r(s) = + + s = ( ) 3/ + + s s + s + s ( + s). + s 3s
25 4. fejezet Görbület és torzió 4. TÉTEL Tekintsünk az r(s) kétszer folytonosan deriválható természetes paraméterezésű görbén egy P pontot, továbbá három, nem kollineáris P (s ), P (s ) és P 3 (s 3 ) pontot, melyek mindegyike P (s )-hoz tart. Ezek minden helyzetben egy síkot határoznak meg. A P, P, P 3 pontokon átmenő síkok sorozata egy, a sorozattól független, a görbe és a P pont által meghatározott határsíkhoz tart, melyet a P -beli r (s ) és r (s ) feszít ki. Ezt nevezzük a P ponthoz tartozó simulósíknak. 4. ÁLLÍTÁS A simulósík egyenlete vegyes szorzattal kifejezve: ( R r(s )) r (s ) r (s ) =, ahol R a simulósík pontjainak helyvektora. A görbület a κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3, a görbületi sugár az R(t) = κ(t), a torzió pedig a τ(t) = ( r(t) r(t) r... (t)) r(t) r(t) képlettel számolható tetszőleges paraméterezés esetén. 4.. Feladatok 4. FELADAT Határozzuk meg az r(t) = t e +t e +t 3 e 3 görbe görbületét és torzióját a t = paraméterű pontban!
26 Görbület és torzió 3 4. MEGOLDÁS Számoljuk ki a r(t), r(t) és... r vektorokat: A t = helyen a deriváltak: A görbület és a torzió t = -ban: r(t) = t e +t e +t 3 e 3 r(t) = e + t e + 3t e 3 r(t) = e + 6t e 3... r (t) = 6 e 3. r() = e r(t) = e... r (t) = 6 e 3. κ() = r() r() τ() = 4. FELADAT Határozzuk meg az r() 3 =... ( r(), r(), r () ) r() r() = 3. r(t) = e t cost e + e t sint e + e t e 3 kúpos csavarvonal kísérő triéderét, görbületét és torzióját! 4. MEGOLDÁS b(t) = r(t) = e t cost e + e t sint e + e t e 3 r(t) = e t (cost sint) e + e t (cost + sint) e + e t e 3 r(t) = e t sint e + e t cost e + e t e 3... r (t) = e t (sint + cost) e + e t (cost sint) e + e t e 3. A kísérő triéder: r(t) t(t) = r(t) = r(t) = (cost sint) e 3e t + (cost + sint) e + e r(t) r(t) r(t) r(t) = 6 (sint cost) e + 6 ( sint cost) e + n(t) = b(t) t(t) = ( sint cost) e + ( sint + cost) e. A görbület- és a torziófüggvény: κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3 = τ(t) = ( r(t) r(t) r... (t)) r(t) 3e t r(t) = 3e t. 3 e 3
27 4 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR 4.3 FELADAT Határozzuk meg a r(t) = t e + 6t e + 3t 3 e 3 görbe a.) görbületét és a görbület szélsőértékeit, b.) torzióját és a torzió maximumát, c.) írjuk fel a simulósík, a normálsík és a retifikáló sík egyenletét, a t = paraméterű pontban! 4.3 MEGOLDÁS r(t) = t e + 6t e + 3t 3 e 3 r(t) = t e + 6 e + 9t e 3 r(t) = 4 t 3 e + 8t e 3... r (t) = t 4 e + 8 e 3. A görbének két ága van, amelyek az origóra vonatkozóan középpontosan szimmetrikusan helyezkednek el, hiszen r( t) = r(t). Az alábbiakban a ± jel utal a t > illetve a t < paraméterértékekhez tartozó ágakra. Hasonlóan számolva, mint az előző feladatban: t(t) = + 9t 4 e + 6t + 9t 4 e + 9t4 + 9t 4 e 3 ( 9t 4 b(t) = ± + 9t 4 e + 6t + 9t 4 e + ) + 9t 4 e 3 ( 6t n(t) = ± + 9t 4 e + ) 9t4 + 9t 4 e + 6t + 9t 4 e 3. Így a görbület és a torzió: κ(t) = t 3 ( + 9t 4 ) τ(t) = t3 ( + 9t 4 ). A görbület lehetséges szélsőértékhelyeit a dκ(t) dt = 36t ( 5t 4 ) (+9t 4 ) 3 = egyenletből kapjuk. A második deriváltak helyettesítési értékét is figyelembe véve t = minimumhely, t = ± ( ) 4 ( 5 maximumhely, ahol a görbület: κ() = illetve κ ± ( ) ) 4 5 = 3 5 ( 54 ) 4.
28 Görbület és torzió 5 ( ) ( A τ(t) = κ(t) egyenlőség miatt a torzió minimuma: τ ) 4 5 maximuma: τ ( ( ) ) 4 5 pontjának helyvektora): = 3 5 ( 5 ) 4 4, illetve = 5 3 ( 54 ) 4. A simulósík egyenlete t = -ben ( R a sík változó = ( R r()) ( r() r()) = 8x + 7y 4z 576. Egyszerűsítve: A normálsík egyenlete: 9x + 6y z = 48. = ( R r()) r() = x + 6y + 9z 59. A rektifikáló sík egyenlete: = ( R r()) r() ( r() r()) 6x 7y + 6z + =. 4.4 FELADAT Határozzuk meg a kör tetszőleges pontjához tartozó görbületi középpontot! 4.4 MEGOLDÁS Elég az origó középpontú, R sugarú kört nézni: x + y = R. r(t) r(t) = r(t) = r(t) = r(t) = Rcost Rsint R sint Rcost R cost R sint, t [,π) κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3 i j k R sint R cost R cost R sint r(t) r(t) = r(t) = = i j + k (R sin t + R cos t) = (R ) = R R sin t + R cos t = R R
29 6 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR Görbületi középpont: κ = R R 3 = görbületi sugár: r = R R t(t) = R g(t) = R sint Rcost n(t) = Rcost Rsint + R = cost sint cost sint sint cost. = 4.5 FELADAT Keressük meg az xy = hiperbola legkisebb sugarú simulókörét. 4.5 MEGOLDÁS A simulókör sugarának meghatározásához szükségünk van a görbületre. A görbület meghatározásához tekintsük a hiperbola paraméteres egyenletrendszerét! Egy lehetséges választás: t r(t) =, t R \ {}. t. A szükséges deriváltak: r(t) = t r(t) = t 3. A görbület: κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3 alapján számolható. Ehhez kiszámítjuk az alábbi mennyiségeket: r(t) r(t) i j k = t = i + j + k t 3 = t 3 t 3 ( ) r(t) r(t) = t 3 = t 3
30 Görbület és torzió 7 Így: κ(t) = r(t) = + +t t 4 = 4 t. t 3 A görbületi sugár szélsőértéke: f (t) = = +t 4 (+t 4 ) t 6 t 3 t 6 ( +t 4 ) 3 = ( +t R(t) = 4 ) 3 t 3. R(t) = f (t) = ( +t4 ) 3 t 3 t 3 ( +t 4 ) 3 3 ( +t4 ) 4t 3 t 3 ( +t 4 ) 3 6t 4t 6 = g(t) = ( +t 4 ) t 6 ( +t 4 ) 3 6t = 6t ( +t 4 ) (t 4 ( +t 4 )) = Mivel szorzatuk akkor nulla, ha valamely tényezője nulla, így a következő eseteket kapjuk: t =, ami ellentmondás +t 4 = t 4 =, ami ugyancsak ellentmondás t 4 t 4 = t 4 = t 4 = t = ±. Elegendő t > esetet vizsgálni, a t < esetben a göbületi sugár ugyanakkora: t = R = ( + ) 3 = t t < t = < t < t = < t f (t) f (t) helyi maximum helyi minimum Írjuk fel a simulókör egyenletét! Főnormális vektor: n(t) = b(t) t(t) r(t) t(t) = = t [, [ t r(t) +t 4 t,]t =, ] T, +t 4 +t 4 r(t) b(t) = r(t) = t3 r(t) r(t) t 3 =
31 8 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR n(t) = Simulókör középpontja: t g(t) = r(t) + R n(t) = Ha t =, akkor t i j k = t +t 4 + Ha t =, akkor a középpont koorinátái A körök egyenletei tehát: t +t 4 ( 3 +t 4) g() = g( ) = +t 4 t +t 4 t =.. (x ) + (y ) = (x + ) + (y + ) = t +t 4 t +t 4 = +. +t 4 t +t 4 = t + +t4 t t + +t FELADAT Határozzuk meg az y = sinx simulókörét a ( π, ) pontban! 4.6 MEGOLDÁS Az előző feladat menete szerint: t r(t) = sint r(t) = cost r(t) = sint
32 Görbület és torzió 9 r(t) r(t) κ(t) = r(t) 3 r(t) r(t) i j k = cost sint = r(t) r(t) = ( sint) = sint r(t) = κ(t) = R(t) = + cos t sint ( + cos t) 3 ( + cos t) 3 sint r(t) t(t) = r(t) = + cos t cost n(t) = + cos t sint cost Görbületi középpont a ( π, ) pontban, ami a t = π paraméterű pont π π ( π ) g = + =. A simulókör ekkor: ( x π ) + y =. 4.7 FELADAT Határozzuk meg a következő görbe görbületét és torzióját egy tetszőleges, t paraméterű pontjában! r(t) = e t e + e t e + t e MEGOLDÁS r(t) = e t e + e t e + t e 3 r(t) = e t e e t e + e 3 r(t) = e t e + e t e... r (t) = e t e e t e
33 3 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR κ(t) = r(t) r(t) 4 + e r(t) 3 = t + e t (e t + e t ) 3 = e t τ(t) = ( r(t) r(t) r... (t)) r(t) r(t) = ( + e t ) = 8cosh t. 4cosh t = 8cosh t 4.8 FELADAT Határozzuk meg a következő görbe görbületét és torzióját egy tetszőleges, t paraméterű pontjában! r(t) = a(3t t 3 ) e + 3at e + a(3t +t 3 ) e MEGOLDÁS r(t) = a(3t t 3 ) e + 3at e + a(3t +t 3 ) e 3 r(t) = 3a( t ) e + 6at e + 3a( +t ) e 3 r(t) = 6at e + 6a e + 6at e 3... r (t) = 6a e + 6a e 3 κ(t) = 3a( +t ) τ(t) = 3a( +t ). 4.9 FELADAT Határozzuk meg a következő görbe görbületét és torzióját egy tetszőleges, t paraméterű pontjában! r(t) = cosht e + sinht e +t e MEGOLDÁS r(t) = cosht e + sinht e +t e 3 r(t) = sinht e + cosht e + e 3 r(t) = cosht e + sinht e... r (t) = sinht e + cosht e κ(t) = cosh t τ(t) = cosh t. Megjegyzés: Természetesen az előbbi három feladat végeredményéből nem következik, hogy tetszőleges görbe görbület- és torziófüggvénye megegyezik. Ennek igazolására álljon itt a következő feladat:
34 Görbület és torzió 3 4. FELADAT Határozzuk meg az r(t) = cos t e + cost sint e + sint e 3, t [, π) Viviani-féle görbe görbületét a t = π pontban! Van-e a görbének olyan pontja, amelyben a görbület? Határozzuk meg a görbe torzióját egy tetszőleges t paraméterű pontjában! Keressük meg azokat a pontokat, ahol a torzió zérus! 4. MEGOLDÁS r(t) = cos t e + cost sint e + sint e 3 r(t) = cost sint e + (cos t sin t) e + cost e 3 r(t) = ( cos t + sin t) e 4cost sint e sint e 3... r (t) = 8cost sint e + ( 4cos t + 4sin t) e cost e 3 κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3 = 3 + 3cos(t) (3 + cos(t)) 3/. A görbület a t = π pontban: κ ( ) π = 5. A görbület akkor lehetne, ha a 3 + 3cost =. Ez semmilyen t-re nem teljesül, tehát a göbület minden t-re pozitív. A torzió: τ(t) = ( r(t) r(t) r... (t)) r(t) r(t) = A torzió, ha cost =, vagyis a t = π és a t = 3π cost 3 + 3cost. paraméterű pontokban. 4. FELADAT Határozzuk meg a közönséges csavarvonal tetszőleges pontjában a görbületi középpont koordinátáit. Mi lesz a görbületi középpontok mértani helye? Milyen feltétel(ek) mellett illeszkedik ez a tartó hengerre? 4. MEGOLDÁS A z tengelyű csavarvonal egy lehetséges paraméterezése: acost r(t) = asint bt, t R, ahol a a tartóhenger sugara, b pedig a menetemelkedést jellemző állandó (m = πb). A szükséges mennyiségek: a sint r(t) = acost b r(t) = a cost a sint
35 3 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR r(t) r(t) = κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3 i j k a sint a cost b a cost a sint = ab sint ab cost a r(t) r(t) = a b sin t + a b cos t + a 4 = a b + a 4 = a a + b r(t) = a sin t + a cos t + b = a + b. Ezek ismeretében a görbület: κ = a a + b (a + b ) a + b = a a + b. Vegyük észre, hogy a görbület a paramétertől független, állandó. A görbületi középpont számításához szükséges mennyiségek: a sint t(t) = a + b acost b r(t) b(t) = r(t) r(t) r(t) = a a + b ab sint ab cost a = bsint a +b bcost a +b a a +b n(t) = b(t) t(t) = i j k bsint a +b asint a +b bcost a +b acost a +b a a +b b a +b = cost sint. Így a görbületi középpont: g(t) = r(t) + κ n(t) = acost asint bt + a + b a cost sint = b a cost b a sint bt Ez is csavarvonal, amelynek tartóhengere b a sugarú és menetemelkedése πb, ami azonos az eredeti csavarvonaléval. A két tartóhenger pontsan akkor esik egybe, ha a = b teljesül..
36 5. fejezet Frenet-apparátus, kísérő triéder Már az előző fejezetben megismerkedhettünk a Frenet-féle hároméllel, de míg a 4. fejezetben a görbület és a torzió, vagy éppen a simulókör számítása volt az elsődleges cél, addig az 5. fejezet a kísérő triéderrel kapcsolatos feladatokat tartalmazza. Természetesen a témakör jellegéből fakad, hogy a két fejezet között átfedést tapasztalunk. Egy tetszőleges mozgást sok esetben előnyös a pályához olyan, a pályához rögzített koordinátrednszerben leírni, amelyet három, egymásra kölcsönösen merőleges egységvektor alkot. Ezek lehetnek a t érintő-, n normális-, és b binormális vektor. Amelyek ívhossz szerinti paraméterezés esetén az s = s paraméterű pontban t(s ) = d r(s ) ds n(s ) = d r(s ) ds b(s ) = t(s ) n(s ) alakot öltenek. Tetszőleges paraméter esetén kiszámításuk egy t = t paraméterű pontban a formulák alapján történhet. r(t t(t ) = ) r(t ) r(t b(t ) = ) r(t ) r(t ) r(t ) n(t ) = b(t ) t(t ) 5. FELADAT Határozzuk meg az r(t) = ( t ) e + (t + ) e 3 + ( t 3 t ) e 3 görbe t = paraméterű pontjához tartozó kísérő triédere élegyeneseinek és síkjainak az egyenletét. 5. MEGOLDÁS A görbe, első, és második deriváltja: t r(t) = t + r(t) = t t 3 t 33 3t r(t) =. 6t
37 34 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR A t = -ben a fenti függvények értékei: r(t ) = 3 r(t ) = r(t ) =. 6 Az érintő egységvektort ezek után könnyen ki tudjuk számolni: r(t t(t ) = ) r(t ) =. 3 Megemlítjük, hogy a kísérő triéder érintő egységvektorát igen gyakran csak érintő vektorként emlegetik. Bár az érintő vektor korábbi, normálatlan alakját tekintve ez pontatlan, különösebb zavart azonban nem okoz. A binormális vektorhoz ki kell számolni r r t -t, és a normáját: 6 3 r r t = 4 = 4 így már számolható b(t ): r r = 4( ) = 4 6, t r b(t ) = r 3 t = r r t 4. 6 A normális vektor a fenti kettő keresztszorzatából számolható: 8 ( ) 7 n(t ) = b(t ) t(t ) = 3 6 = ( 8) A triéder síkjait azon meggondolások alapján számolhatjuk ki, hogy minden pontjuk a kísérő triéder megfelelő élére merőleges, és illeszkedik a görbe adott r(t ) helyvektorú pontjára. A simulósíkot t és n feszíti ki, ezért b-re merőleges, azaz minden x pontja kielégíti a következő egyenletet: x b x = b r(t ), ahol x = y. z
38 Frenet-apparátus, kísérő triéder 35 Ekkor a fenti egyenlet koorinátás alakban: 3x 4y z =. A normálsíkot n és b feszíti ki, így t-re merőleges: Koordinátás alakban: t x = t r(t ). x + y + z = 3. A retifikáló síkot t és b feszíti ki, n-re merőleges. Egyenlete vektoros, majd koordinátás alakban: n x = n r(t ), 7x 8y + z = FELADAT Határozzuk meg a következő görbe görbületét, torzióját, kísérő triéderét a t = illetve a t = π pontban r(t) = (t sint) e + ( cost) e + sint e 3! 5. MEGOLDÁS r(t) = (t sint) e + ( cost) e + sint e 3 r(t) = ( cost) e + sint e + cost e 3 r(t) = sint e + cost e sint e 3... r (t) = cost e sint e cost e 3 t = r() = e 3 r() = e... r () = e e 3 érintő egységvektor: binormális egységvektor: r() t() = r() = e 3 r() b() = r() r() r() = e
39 36 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR főnormális egységvektor: n() = b() t() = e görbület: torzió: κ() = r() r() r() 3 = r() τ() = r() r... () r() r() =. t = π érintő egységvektor: ( r π ) = e + e ( r π ) = e e 3...( π ) r = e ( π ) r( t = π ) r( π ) = e + e binormális egységvektor: főnormális egységvektor: ( π ) r( b = π ) r( π ) r( π ) r( π ) = ( π ) ( π ) ( π ) n = b t = e + 3 e 3 e e 6 e 3 e 3 görbület: torzió: ( π ) κ = r( π ) r( π ) 6 r( π = ) 3 4 ( π ) r( τ = π ) r( π )... r ( π ) r( π ) r( π = ) 3.
40 Frenet-apparátus, kísérő triéder FELADAT Határozzuk meg a következő görbe görbületét, torzióját, kísérő triéderét a t = paraméterű pontban! r(t) = t e + lnt e +t e 3, (t > ) 5.3 MEGOLDÁS r(t) = t e + lnt e +t e 3 r(t) = e + t e + t e 3 r(t) = t e + e 3... r (t) = t 3 e Esetünkben t = érintő egységvektor: binormális egységvektor: r() = e + e + e 3 r() = e + e 3... r () = e t() = r() r() = 3 e + 3 e + 3 e 3 r() b() = r() r() r() = 3 e 3 e 3 e 3 főnormális egységvektor: n() = b() t() = 3 e 3 e + 3 e 3 görbület: torzió: κ() = r() r() r() 3 = 9 r() τ() = r() r... () r() r() = 9.
41 38 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR 5.4 FELADAT Határozzuk meg a r(t) = t e + lnt e t e 3, t I = (, ) görbének azokat a pontjait, melyekben a binormális párhuzamos az x y + 8z + = síkkal. 5.4 MEGOLDÁS A görbe, első és második deriváltja: /t r(t) = lnt t, r(t) = /t /t t, r(t) = 4/t 3 /t. Amennyiben a binormális párhuzamos az x y + 8z + = síkkal, akkor merőleges a sík N = normálvektorára. A t paraméterű pontban a binormális párhuzamos r(t) r(t) vektorral: b(t) r(t) r(t) = 8 /t /t /t 8/t 4/t 6/t = λ b(t), /t 4 4/t 4 /t 4 ahol λ zérustól különböző valós szám. Kell tehát, hogy b(t) N = teljesüljön: λ b(t) N = t + 6 t 8 t 4 = t 3 3t + 4 = (t + )(t 4t + 4) = (t + )(t ) =. A fenti egyenletnek két különböző gyöke van, t = és t =, de / I miatt csak a t = gyök ad megoldást. Tehát egyetlen, a feladat feltételét teljesítő pont van, és ez az r() helyvektorú P(, ln, 4) pont. 5.5 FELADAT Bizonyítsuk be, hogy az r(t) = t e + sint e cost e 3 görbe főnormálisa minden t esetén párhuzamos az [y,z] síkkal! 5.5 MEGOLDÁS r(t) = t e + sint e cost e 3 r(t) = e + cost e + sint e 3 r(t) = sint e + cost e 3
42 Frenet-apparátus, kísérő triéder 39 A főnormális vektort a kifejtési tétel alapján számolva: n(t) = b(t) t(t) = r(t) r(t) r(t) r(t) r(t) r(t) = amiből következik az állítás, hiszen e vektor együtthatója. 5.6 FELADAT Határozzuk meg a ϕ(t) függvény alakját úgy, hogy az x = t, y = sint, z = ϕ(t) r( r r) + r( r r) r r r = sint e + cost e 3, görbe főnormálisa a t paraméter minden értéke mellett párhuzamos az [y,z] síkkal! 5.6 MEGOLDÁS r(t) = t e + sint e ϕ(t) e 3 r(t) = e + cost e + ϕ(t) e 3 r(t) = sint e + ϕ(t) e 3 Az 5.5 példának megfelelően kifejtve a főnormális vektort (C konstans): n(t) = r( r r) + r( r r) r r r = C { [ r(t) [cost sint ϕ(t) ϕ(t)] + r(t) + cos t + ( ϕ(t)) ]}. Mivel r párhuzamos az [y,z] síkkal, de r nem, ezért r együtthatójának -nak kell lennie, ami csak úgy lehetséges, ha ϕ(t) = ±cost. cost sint = ϕ(t) ϕ(t), 5.7 FELADAT Határozzuk meg a z = x + y, y = x görbe normálsíkját! 5.7 MEGOLDÁS Paraméterezzük a görbét az x = t változóval: r(t) = t e +t e + t e 3. Így a görbe t paraméterű pontjához tartozó normálsík egyenlete: ( R r(t), r(t) ) = (x t) + (y t) + (z t ) 4t =. 5.8 FELADAT Bizonyítsuk be, hogy az r(t) = acost e + asinα sint e + acosα sint e 3 görbe normálsíkjára illeszkedik az x =, y tan α + z = egyenes!
43 4 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR 5.8 MEGOLDÁS r(t) = acost e + asinα sint e + acosα sint e 3 r(t) = asint e + asinα cost e + acosα cost e 3. A normálsík egyenlete: ( R r(t), r(t) ) = xasint + yasinα cost + zacosα cost =. Ha cosα, akkor átalakítva a normálsík egyenletét a következőt kapjuk: xsint + (ytanα + z)cost =. Behelyettesítve az x =, ytanα + z = egyenes pontjait azonosságot kapunk, tehát az egyenes valóban a normálsíkban van. 5.9 FELADAT Igazoljuk, hogy az r(t) = t e +t e +t 3 e 3 görbének a (,, ) pontbeli kísérő triédere egybeesik a koordináta-egységvektorokkal! 5.9 MEGOLDÁS A 4. példában már kiszámoltuk a megoldáshoz szükséges deriváltakat: r(t) = t e +t e +t 3 e 3 r(t) = e + t e + 3t e 3 r(t) = e + 6t e 3. Vegyük észre, hogy az origó éppen t = paraméterértékhez tartozik, így a kísérő triédert alkotó érintő-, binormális- és normális egységvektor: Ami igazolja állításunkat. 5. FELADAT Határozzuk meg az r() t() = r() = e e = e r() b() = r() r() r() = e e e e = e 3 n() = b() t() = e. r(t) = e t cost e + e t sint e + e t e 3 kúpos csavarvonal kísérő triéderét, görbületét és torzióját!
44 Frenet-apparátus, kísérő triéder 4 5. MEGOLDÁS A kísérő triéder: b(t) = r(t) = e t cost e + e t sint e + e t e 3 r(t) = e t (cost sint) e + e t (cost + sint) e + e t e 3 r(t) = e t sint e + e t cost e + e t e 3... r (t) = e t (sint + cost) e + e t (cost sint) e + e t e 3. r(t) t(t) = r(t) = r(t) = (cost sint) e 3e t + (cost + sint) e + e r(t) r(t) r(t) r(t) = 6 (sint cost) e + 6 ( sint cost) e + n(t) = b(t) t(t) = ( sint cost) e + ( sint + cost) e. A görbület- és a torziófüggvény: κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3 = τ(t) = ( r(t) r(t) r... (t)) r(t) 3e t r(t) = 3e t. 5. FELADAT Határozzuk meg a r(t) = t e + 6t e + 3t 3 e 3 görbe 3 e 3 a.) görbületét és a görbület szélsőértékeit, b.) torzióját és a torzió maximumát, c.) írjuk fel a simulósík, a normálsík és a retifikáló sík egyenletét, a t = paraméterű pontban! 5. MEGOLDÁS r(t) = t e + 6t e + 3t 3 e 3 r(t) = t e + 6 e + 9t e 3 r(t) = 4 t 3 e + 8t e 3... r (t) = t 4 e + 8 e 3. A görbének két ága van, amelyek az origóra vonatkozóan középpontosan szimmetrikusan helyezkednek el, hiszen r( t) = r(t). Az alábbiakban a ± jel utal a t > illetve a t <
45 4 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR paraméterértékekhez tartozó ágakra. Hasonlóan számolva, mint az előző feladatban: t(t) = + 9t 4 e + 6t + 9t 4 e + 9t4 + 9t 4 e 3 ( 9t 4 b(t) = ± + 9t 4 e + 6t + 9t 4 e + ) + 9t 4 e 3 ( 6t n(t) = ± + 9t 4 e + ) 9t4 + 9t 4 e + 6t + 9t 4 e 3. Így a görbület és a torzió: κ(t) = t 3 ( + 9t 4 ) τ(t) = t3 ( + 9t 4 ). A görbület lehetséges szélsőértékhelyeit a dκ(t) dt = 36t ( 5t 4 ) (+9t 4 ) 3 = egyenletből kapjuk. A második deriváltak helyettesítési értékét is figyelembe véve t = minimumhely, t = ± ( ) 4 ( 5 maximumhely, ahol a görbület: κ() = illetve κ ± ( ) ) 4 5 = 3 5 ( 54 ) 4. ( ) ( A τ(t) = κ(t) egyenlőség miatt a torzió minimuma: τ ) 4 5 = 3 5 ( 5 ) 4 4, illetve ( maximuma: τ ( ) ) 4 5 = 3 5 ( 5 ) 4 4. A simulósík egyenlete t = -ben ( R a sík változó pontjának helyvektora): = ( R r()) ( r() r()) = 8x + 7y 4z 576. Egyszerűsítve: A normálsík egyenlete: 9x + 6y z = 48. A rektifikáló sík egyenlete: = ( R r()) r() = x + 6y + 9z 59. ( R r()) r() ( r() r()) = 6x 7y + 6z + =.
46 Frenet-apparátus, kísérő triéder Görbe megadása a Frenet-apparátusból 5. FELADAT Mutassuk meg, hogy a kör természetes egyenletrendszere: κ = r = konstans, τ = = konstans! 5. MEGOLDÁS Számítsuk ki egy r sugarú kör görbületét és torzióját! r(t) = r cost e + r sint e r(t) = r sint e + r cost e r(t) = r cost e r sint e... r (t) = r sint e r cost e κ(t) = r(t) r(t) r(t) 3 = r τ(t) = ( r(t) r(t) r... (t)) r(t) r(t) =. A görbeelmélet alaptétele szerint κ(t) és τ(t) függvények irányítástartó izometriától (egybevágóságtól) eltekintve egyértelműen meghatározzák a görbéket, ezért a κ(t) = r és τ(t) = függvények a kört határozzák meg. 5.3 FELADAT Határozzuk meg azt a síkgörbét, amelynek természetes egyenlete: κ(s) = a a + s! A kezdeti feltételek s = -ban legyenek: α() =, x() =, y() = a. 5.3 MEGOLDÁS Legyen r(s) = (x(s), y(s)) a görbe ívhossz szerint paraméterezett alakja. Legyen t(s) = (t x (s), t y (s)) az érintő egységvektor. Síkgörbe esetén ekkor n(s) = ( t y (s), t y (s)) (vagy ennek ellentettje) lesz a főnormális egységvektor. A Frenet-formulákból tudjuk, hogy d t(s) ds = κ(s) n(s). Így az alábbi differenciálegyenletrendszerhez jutunk: t x = κ(s)t y, t y = κ(s)t x. κ(s)-et behelyettesítve és megoldva az egyenleteket az alábbi függvényeket kapjuk: t x (s) = c a + c s s + a, t y (s) = c s c a s + a.
47 44 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR Határozzuk meg a c és c konstansokat! Tudva, hogy a görbület κ(s) = dα(s) ds, kifejezhető belőle az α(s) irányszög: a ( s ) α(s) = s + a ds = arctan + α. a Behelyettesítve az s = és α() = kezdeti feltételt, α =, vagyis az érintővektor s = - ban: t() = (, ), ami azt jelenti, hogy c = és c =. A görbe paraméteres egyenletét az érintővektor komponenseinek s szerinti integrálásával és az x() =, y() = a feltételek figyelembevételével kapjuk: x(s) = s a ) (s s + a ds = alog + s + a aloga, y(s) = s s s + a ds = s + a a. A kapott paraméterezésű görbe egy láncgörbét határoz meg. s = asinh x a paramétertranszformációval áttérhetünk x szerinti paraméterezésre, és ekkor a megszokott y = acosh x a alakot nyerjük. 5.4 FELADAT Határozzuk meg azt a síkgörbét, amelynek természetes egyenletét a: κ(s) = s a függvény definiálja! A kezdeti feltételek s = -ban: α() =, x() =, y() =. 5.4 MEGOLDÁS Legyen r(s) = (x(s), y(s)) a görbe ívhossz szerint paraméterezett alakja. Legyen t(s) = (t x (s), t y (s)) az érintő egységvektor. Síkgörbe esetén ekkor n(s) = ( t y (s), t y (s)) (vagy ennek ellentettje) lesz a főnormális egységvektor. A Frenet-formulák felhasználásával az előző feladathoz hasonlóan járunk el. Így az alábbi differenciálegyenletrendszerhez juttunk: t x = κ(s)t y, t y = κ(s)t x. κ(s) = s a behelyettesítésével ennek megoldása: t x (s) = c cos s a + c sin s a, t y (s) = c sin s a c cos s a. Határozzuk meg a c és c konstansokat! Az α(s) irányszögre felírhatjuk, hogy: α(s) = s s ds = a a + α.
48 Frenet-apparátus, kísérő triéder 45 Behelyettesítve s = és α() = kezdeti feltételt α = -t kapunk, vagyis az érintővektor s = -ban: t() = (, ). Ebből azonnal adódik, hogy c = és c =. A görbe paraméteres egyenletét az érintővektor komponenseinek s szerinti integrálásával és az x() =, y() = kezdeti feltétellel kapjuk: x(s) = y(s) = cos s a ds, sin s a ds. A kapott integrálok elemi függvényekkel nem írhatók le, csak függvénysor összegeként adhatók meg. Az így nyert görbe a klotoid.
49 II. rész Felületek 46
50 6. fejezet A felület 6.. Feladatok 6. FELADAT Tekintsük a gömb alábbi, Gauss-féle (kétparaméteres) megadását: r(u,v) = acosucosv e + acosusinv e + asinu e 3. Írjuk fel a paramétervonalak egyenletrendszerét! 6. MEGOLDÁS Az u-paramétervonalak meghatározásakor u-t konstansnak tekintjük. Ekkor x = acosucosv = Acosv y = acosusinv = Asinv z = asinu = B, ahol bevezettük az A és B konstansokat. Vegyük észre, hogy x + y = A, vagyis a paramétervonalak a z = síkkal párhuzamos síkú körök (szélességi körök). A v-paramétervonalak esetén v konstans. Ekkor x = acosucosv = Acosu y = acosusinv = Bcosu z = asinu = C sinu. A paramétervonalak ebben az esetben is körök (hosszúsági körök). 6. FELADAT Tekintsük a ferde körhenger alábbi, Gauss-féle (kétparaméteres) megadását: r(u,v) = (cosu + v) e + (sinu 3v) e + 4v e 3. Írjuk fel a paramétervonalak egyenletrendszerét! 47
51 48 DIFFERENCIÁLGEOMETRIA PÉLDATÁR 6. MEGOLDÁS x = cosu + v y = sinu 3v z = 4v. Az u-paramétervonalak: Tehát az u-paramétervonalak egyenesek. A v-paramétervonalak: x = A + v y = B 3v z = 4v. x = cosu +C y = sinu + D z = E. Vegyük észre, hogy cos u+sin u = (x C) +(y D) =, vagyis a v-paramétervonalak körök. (A, B, C, D és E konstansok.) 6.3 FELADAT Tekintsük az elliptikus kúp alábbi, Gauss-féle (kétparaméteres) megadását: r(u,v) = (acosu e + bsinu e )v + 3( v) e 3. Írjuk fel a paramétervonalak egyenletrendszerét! 6.3 MEGOLDÁS Az u-paramétervonalak: Tehát az u-paramétervonalak egyenesek. A v-paramétervonalak: x = avcosu y = bvsinu z = 3( v). x = Av y = Bv z = C 3v. x = Dcosu y = E sinu z = F.
Matematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
RészletesebbenDierenciálgeometria feladatsor
Dierenciálgeometria feladatsor 1. Görbék paraméterezése 1. Határozzuk meg az alábbi ponthalmazok egy paraméteres el állítását: a a, b középpontú, r sugarú kör a síkban; b y = mx + b egyenlettel leírt egyenes
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Paraméter A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenVektorok és koordinátageometria
Vektorok és koordinátageometria Vektorral kapcsolatos alapfogalmak http://zanza.tv/matematika/geometria/vektorok-bevezetese Definíció: Ha egy szakasz két végpontját megkülönböztetjük egymástól oly módon,
RészletesebbenFelületek differenciálgeometriai vizsgálata
Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 8 VIII VEkTOROk 1 VEkTOR Vektoron irányított szakaszt értünk Jelölése: stb Vektorok hossza A vektor abszolút értéke az irányított szakasz hossza Ha a vektor hossza egységnyi akkor
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2006. szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2006. szeptember 29. 1 / 15 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Írd fel a K (0; 2) középpontú 7 sugarú kör egyenletét! A keresett kör egyenletét felírhatjuk a képletbe való behelyettesítéssel: x 2 + (y + 2) 2 = 49. 2. Írd fel annak a körnek az egyenletét,
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT. Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. Koordináta-geometria és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 4
RészletesebbenAz egyenes és a sík analitikus geometriája
Az egyenes és a sík analitikus geometriája Az egyenes a kétdimenziós koordinátarendszerben A kétdimenziós koordinátarendszerben az egyenest egy n(a, B) normálvektorával és egy r 0 helyvektorú P(x 0,y 0
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
Analitikus térgeometria Wettl Ferenc el adása alapján 2015.09.21. Wettl Ferenc el adása alapján Analitikus térgeometria 2015.09.21. 1 / 23 Tartalom 1 Egyenes és sík egyenlete Egyenes Sík 2 Alakzatok közös
Részletesebben8. előadás. Kúpszeletek
8. előadás Kúpszeletek Kör A k kört egyértelműen meghatározza C(a,b) középpontja és r sugara. A P pont pontosan akkor van k-n, ha CP=r. Vektoregyenlet: p-c = r. Koordinátás egyenlet: (X-a)2 + (Y-b)2 =
RészletesebbenKoordináta geometria III.
Koordináta geometria III. TÉTEL: A P (x; y) pont akkor és csak akkor illeszkedik a K (u; v) középpontú r sugarú körre (körvonalra), ha (x u) 2 + (y v) 2 = r 2. Ez az összefüggés a K (u; v) középpontú r
Részletesebben2014/2015. tavaszi félév
Hajder L. és Valasek G. hajder.levente@sztaki.mta.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2014/2015. tavaszi félév Tartalom Geometria modellezés 1 Geometria modellezés 2 Geometria modellezés
Részletesebben, D(-1; 1). A B csúcs koordinátáit az y = + -. A trapéz BD
Kör és egyenes kölcsönös helyzete Kör érintôje 7 9 A húr hossza: egység 9 A ( ) ponton átmenô legrövidebb húr merôleges a K szakaszra, ahol K az adott kör középpontja, feltéve, hogy a kör belsejében van
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenMatematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (emelt szint)
Koordináta-geometria feladatok (emelt szint) 1. (ESZÉV Minta (2) 2004.05/7) Egy ABC háromszögben CAB = 30, az ACB = 45. A háromszög két csúcsának koordinátái: A(2; 2) és C(4; 2). Határozza meg a harmadik
RészletesebbenKoordinátageometria Megoldások
005-0XX Középszint Koordinátageometria Megoldások 1) Adott két pont: A 4; 1 felezőpontjának koordinátáit! AB felezőpontja legyen F. és B 3 1; Írja fel az AB szakasz 1 3 + 4 + 1 3 F ; = F ;1 ) Egy kör sugarának
RészletesebbenFüggvények Megoldások
Függvények Megoldások ) Az ábrán egy ; intervallumon értelmezett függvény grafikonja látható. Válassza ki a felsoroltakból a függvény hozzárendelési szabályát! a) x x b) x x + c) x ( x + ) b) Az x függvény
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Koordináta-geometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenEgy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása
1 Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása Ehhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt az ( u, v, w ) tengelymetszeteivel adott S síkot látjuk, az Oxyz térbeli derékszögű koordináta -
RészletesebbenKoordináta-geometria feladatok (középszint)
Koordináta-geometria feladatok (középszint) 1. (KSZÉV Minta (1) 2004.05/I/4) Adott az A(2; 5) és B(1; 3) pont. Adja meg az AB szakasz felezőpontjának koordinátáit! 2. (KSZÉV Minta (2) 2004.05/I/7) Egy
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
RészletesebbenEgyenes és sík. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Egyenes és sík / 16
Egyenes és sík Wettl Ferenc 2012-09-20 Wettl Ferenc () Egyenes és sík 2012-09-20 1 / 16 Tartalom 1 Egyenes és szakasz Egyenes Szakasz Egyenesvonalú egyenletes mozgás Egyenes és pont távolsága 2 Sík Sík
RészletesebbenVektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Tekintsünk a térben egy P (p 1, p 2, p 3 ) pontot és egy v = (v 1, v 2, v 3 ) = 0 vektort. Ekkor pontosan egy egyenes létezik,
Részletesebben5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék. oktatási segédanyag
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Polárkoordinátás és paraméteres megadású görbék oktatási segédanyag Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 01. Köszönetnyilvánítás Az
Részletesebben5. fejezet. Differenciálegyenletek
5. fejezet Differenciálegyenletek 5.. Differenciálegyenletek 5... Szeparábilis differenciálegyenletek 5.. Oldjuk meg az alábbi differenciálegyenleteket, és ábrázoljunk néhány megoldást. a) y = x. b) y
RészletesebbenAnalitikus térgeometria
5. fejezet Analitikus térgeometria Kezd és végpontjuk koordinátáival adott vektorok D 5.1 A koordináta-rendszer O kezd pontjából a P pontba mutató OP kötött vektort a P pont helyvektorának nevezzük. T
RészletesebbenKoordinátarendszerek
Koordinátarendszerek KO 1 Koordinátarendszerek Ponthalmazok előállításai Koordinátarendszerek KO Két gyakran alkalmazott síkbeli koordinátarendszer Derékszögű (Descartes féle) koordinátarendszer Síkbeli
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
Részletesebben= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1
Egyenes és sík a térben Elméleti áttekintés Az egyenes paraméteres egyenlete: X = u 1 λ + x 0 Y = u λ + y 0, Z = u λ + z 0 ahol a λ egy valós paraméter Az u = (u 1, u, u ) az egyenes irányvektora és P
RészletesebbenFüggvények vizsgálata
Függvények vizsgálata ) Végezzük el az f ) = + polinomfüggvény vizsgálatát! Értelmezési tartomány: D f = R. Zérushelyek: Próbálgatással könnyen adódik, hogy f ) = 0. Ezután polinomosztással: + ) / ) =
Részletesebben1 2. Az anyagi pont kinematikája
1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenAz f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.
Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...
RészletesebbenMatematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
RészletesebbenA képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss)
Gyakorló feladatok (Ép. matek). Komple számok: A képzetes számok az isteni szellem e gyönyörű és csodálatos hordozói már majdnem a lét és nemlét megtestesítői. (Carl Friedrich Gauss) ) Számítsa ki a következő
RészletesebbenVARIÁLHATÓ PÉLDATÁR Matematika2 (A2)
Szép Gabriella VARIÁLHATÓ PÉLDATÁR Matematika2 (A2) 2011 Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó Szakmai vezető, lektor Technikai szerkesztő ISBN Copyright Támogatás: Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0028
Részletesebben10. Koordinátageometria
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 0. Koordinátageometria. Melyek azok a P x; y pontok, amelyek koordinátái kielégítik az Ábrázolja a megoldáshalmazt a koordináta-síkon! x y x 0 egyenlőtlenséget? ELTE 00. szeptember
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenFeladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.
Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás). Feladat. Írjuk fel az f() = függvény 0 = pontbeli érintőjének egyenletét! Az érintő egyenlete y
RészletesebbenSzámítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
RészletesebbenNagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.
Nagy András Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 010. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 1) Döntsd el, hogy a P pont illeszkedik-e az e egyenesre
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenKétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által
Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Határozd meg a szakasz hosszát, ha a végpontok koordinátái: A ( 1; ) és B (5; )! A szakasz hosszához számítsuk ki a két pont távolságát: d AB = AB = (5 ( 1)) + ( ) = 6 + 1 = 7 6,08.. Határozd
Részletesebbenegyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.
Magyar Ifjúság. X. TRIGONOMETRIKUS FÜGGVÉNYEK A trigonometrikus egyenletrendszerek megoldása során kísérletezhetünk új változók bevezetésével, azonosságok alkalmazásával, helyettesítő módszerrel vagy más,
Részletesebben3. Lineáris differenciálegyenletek
3. Lineáris differenciálegyenletek A közönséges differenciálegyenletek két nagy csoportba oszthatók lineáris és nemlineáris egyenletek csoportjába. Ez a felbontás kicsit önkényesnek tűnhet, a megoldásra
RészletesebbenA kör. A kör egyenlete
A kör egyenlete A kör A kör egyenlete 8 a) x + y 6 b) x + y c) 6x + 6y d) x + y 9 8 a) x + y 6 + 9 b) x + y c) x + y a + b 8 a) (x - ) + (y - ) 9, rendezve x + y - 8x - y + b) x + y - 6x - 6y + c) x +
RészletesebbenTrigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )
Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!
RészletesebbenSerret-Frenet képletek
Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor
RészletesebbenMegoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő
RészletesebbenA keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)
55 A kör 87 8 A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = Az adott kör középpontjának koordinátái: K( ; ) és a sugara r =, az adott pont P(; ) Ekkor KP = és KK = () ( u ) + ( v ) =, () ( u ) +
RészletesebbenDifferenciálgeometria feladatok
Differenciálgeometri feldtok 1. sorozt 1. Egy sugrú kör csúszás nélkül gördül egy egyenes mentén. A kör egy rögzített kerületi pontj áltl leírt pályát cikloisnk nevezzük. () Írjuk fel ciklois egy c: R
Részletesebbenleképezés, amely teljesíti a következő feltételeket:
I. fejezet Görbeelmélet 0. Előismeretek Transzformációk 0.1. Definíció. Legyen M egy tetszőleges nemüres halmaz. Metrika M-en egy olyan d : M M R + {0} leképezés, amely teljesíti a következő feltételeket:
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenMatematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,
Matematika II előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II képletek Határozatlan Integrálszámítás x n dx =, sin 2 x dx = sin xdx =, ch 2 x dx = sin xdx =, sh 2 x dx = cos xdx =, + x 2
RészletesebbenBrósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Tekintsük az alábbi szabályos hatszögben a következő vektorokat: a = AB és b = AF. Add meg az FO, DC, AO, AC, BE, FB, CE, DF vektorok koordinátáit az (a ; b ) koordinátarendszerben! Alkalmazzuk
RészletesebbenLineáris algebra mérnököknek
B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Lineáris algebra mérnököknek BMETE93BG20 Vektorok a 2- és 3-dimenziós tér Kf87 2017-09-05
RészletesebbenVektoranalízis Vektor értékű függvények
VS Vektor értékű üggvények VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk azokat a üggvényeket, amelyek értékkészlete a valós számok halmazának egy részhalmaza. Ezek egyrészt az R R típusú egyváltozós, valós
RészletesebbenOktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont
Oktatási Hivatal Öt pozitív egész szám egy számtani sorozat első öt eleme A sorozatnak a különbsége prímszám Tudjuk hogy az első négy szám köbének összege megegyezik az ezen öt tag közül vett páros sorszámú
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 14 XIV NEVEZETES GÖRbÉk 1 AZ EGYEnES EGYEnLETE A és pontokon átmenő egyenes egyenlete: (1), Az hányados neve iránytényező (iránytangens, meredekség) A ponton átmenő, m iránytangensű
RészletesebbenMatematika I. Vektorok, egyenesek, síkok
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I 16 XVI A DIFFERENCIÁLSZÁmÍTÁS ALkALmAZÁSAI 1 Érintő ÉS NORmÁLIS EGYENES, L HOSPITAL-SZAbÁLY Az görbe abszcisszájú pontjához tartozó érintőjének egyenlete (1), normálisának egyenlete
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 8 VIII Elsőrendű DIFFERENCIÁLEGYENLETEk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk Elsőrendű differenciálegyenlet általános és partikuláris megoldása Az vagy (1) elsőrendű differenciálegyenlet
RészletesebbenKoordináta-geometria II.
Koordináta-geometria II. DEFINÍCIÓ: (Alakzat egyenlete) A síkon adott egy derékszögű koordináta rendszer. A síkban levő alakzat egyenlete olyan f (x, y) = 0 egyenlet, amelyet azoknak és csak azoknak a
Részletesebben9. előadás. Térbeli koordinátageometria
9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy
RészletesebbenVektoranalízis Vektor értékű függvények
Vektoranalízis VS Vektoranalízis Vektor értékű üggvények A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK engedélyével használhatók el! Vektoranalízis VS A korábbi ejezetekben tanulmányoztuk
Részletesebben3 m ; a víz sodráé sec. Bizonyítsuk be, hogy a legnagyobb szöge 120 0 -os! α =. 4cos 2
3... Egyenes szíjhatás esetén milyen hosszú szíj szükséges 50 cmes és 6 cm-es sugarú tárcsák összekapcsolásához, ha a tárcsák tengelyeinek távolsága 335 cm? 3... Csónakkal akarunk a folyó túlsó partjára
Részletesebben= 7, a 3. = 7; x - 4y =-8; x + 2y = 10; x + y = 7. C-bôl induló szögfelezô: (-2; 3). PA + PB = PA 1. (8; -7), n(7; 8), 7x + 8y = 10, x = 0 & P 0;
98 Az egyenes egyenletei. a) A( 0) B(0 6) AB_ - 6i& n( ) x + y = b) x - y =- c) 6x - y = 0 d) 6x + y = e) x + y = f) x + y = a g) x - y = a.. A(a 0) B(0 b) AB_ -a bi n (b a) bx + ay = ab osszuk el a $
RészletesebbenKét körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra
Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) Egy korábbi dolgozatunkban címe: Két egyenes körhenger a merőlegesen metsződő tengelyű körhengerek áthatási feladatával foglalkoztunk. Most
Részletesebbenx = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
RészletesebbenSíkbeli egyenesek Egy egyenes az x = 1 4t, y = 2 + t parméteres egyenletekkel adott. Határozzuk meg
Analitikus mértan 5. FELADATLAP Síkbeli egyenesek 5.1. Írjuk fel annak az egyenesnek a paraméteres egyenleteit, amely (i) áthalad az M 0 (1, 2) ponton és párhuzamos a a(3, 1) vektorral; (ii) áthalad az
RészletesebbenVIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag
VIK A1 Matematika BOSCH, Hatvan, 5. Gyakorlati anyag 2018/19 1. félév Függvények határértéke 1. Bizonyítsuk be definíció alapján a következőket! (a) lim x 2 3x+1 5x+4 = 1 2 (b) lim x 4 x 16 x 2 4x = 2
RészletesebbenFizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét
Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét Az F erő által végzett munka, ha a test adott pályán mozog az r 1 helyvektorú P 1 pontból az r helyvektorú P pontba, az alábbi vonalintegrállal számolható:
RészletesebbenÍrja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6
Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = - 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek
RészletesebbenGyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
Részletesebben15. Koordinátageometria
I. Elméleti összefoglaló Koordinátákkal adott vektorok 15. Koordinátageometria Ha a(a ; a ) és b(b ; b ) a sík két vektora, λ valós szám, akkor az a vektor hossza: a = a + a a két vektor összege : a +
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett
RészletesebbenHelyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben
Helyvektorok, műveletek, vektorok a koordináta-rendszerben. Rajzold meg az alábbi helyvektorokat a derékszögű koordináta-rendszerben, majd számítsd ki a hosszúságukat! a) (4 ) b) ( 5 ) c) ( 6 ) d) (4 )
RészletesebbenEgyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások
) Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek - megoldások Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! = 6 (5 pont) b) Oldja
Részletesebben6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?
6. Függvények I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban? f x g x cos x h x x ( ) sin x (A) Az f és a h. (B) Mindhárom. (C) Csak az f.
RészletesebbenMatematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebben0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles
Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)
RészletesebbenEgyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
RészletesebbenFirst Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy
RészletesebbenBevezetés az elméleti zikába
Bevezetés az elméleti zikába egyetemi jegyzet Kúpszeletek Lázár Zsolt, Lázár József Babe³Bolyai Tudományegyetem Fizika Kar 2011 TARTALOMJEGYZÉK 6 TARTALOMJEGYZÉK Azokat a görbéket, amelyeknek egyenlete
RészletesebbenMATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények
MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához!
RészletesebbenA brachistochron probléma megoldása
A brachistochron probléma megoldása Adott a függőleges síkban két nem egy függőleges egyenesen fekvő P 0 és P 1 pont, amelyek közül a P 1 fekszik alacsonyabban. Azt a kérdést fogjuk vizsgálni. hogy van-e
RészletesebbenTranszformáció a főtengelyekre és a nem főtengelyekre vonatkoztatott. Az ellipszis a sík azon pontjainak mértani helye, amelyeknek két adott pontól
Ellipsis.tex, February 9, 01 Az ellipszis Az ellipszis leírása Az ellipszis szerkesztése és tulajdonságai Az ellipszis kanonikus egyenlete A kör vetülete ellipszis Az ellipszis polárkoordinátás egyenlete
Részletesebben