Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet
|
|
- Gréta Szőkené
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak tekitjük a ehezebb feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legye A = { 3 4} B = { 5 6} C = {5 6 } D = {6}. (a) Melyik igaz az alábbi állítások közül: 4 C A B D C B = C A = B. (b) Határozzuk meg az A B A B A \ B (A B) \ (A B) A B C halmazokat! () (a) A költők között a legagyobb festő és a festők között a legagyobb költő vajo ugyaaz a személy-e? (b) A költők között a legöregebb festő és a festők között a legöregebb költő vajo egy és ugyaaz a személy? (3) Legye X a DE hallgatóiak összessége L a hallgatóláyok halmaza K a közgazdászhallgatók halmaza C az egyetemi kórus tagjaiak halmaza B a biológia tárgyat felvett hallgatók halmaza T pedig a teiszezőké. Fogalmazzuk meg az alábbi állításokat a halmazelmélet yelvé: (a) Mide biológiát tauló hallgató közgazdász. (b) Az egyetem kórusába va biológiát felvett hallgató. (c) Azo hallgatóláyok akik se em teiszezek se em éekkarosok mid taulak biológiát. (4) Egy társaságba végzett felmérés szerit a társaságból ötvee kávézak és egyvee teázak. Harmicöt olya személy va aki kávézi és teázi is szokott valamit tíz olya személy va aki egyiket sem. Háy tagú a társaság? (5) Legye A B := (A \ B) (B \ A) az A és B halmazok szimmetrikus differeciája. Igazoljuk hogy bármely két halmaz eseté A B = B A A B = (A B) \ (A B). (6) Az alábbi halmazazooságok közül az egyik em igaz. Melyik? (A B) C = A (B C) (A C) B = (A B) (C B) A A =. (7) Igazoljuk hogy ha A \ B = B \ A akkor A = B. (8) Állapítsuk meg hogy a következő összefüggések közül melyek igazak tetszőleges A B és C halmazokra. (a) A (B \ C) = (A B) \ C (b) (c) A B C = A B (B C) [ ( A \ A \ B)] B = A B. (9) Legye A = { N páros} B = { N < 4} C = { N > }. Állapítsuk meg mik leszek az X = [A \ (B C)] [(A \ B) \ C] halmaz elemei. () Hozzuk egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket: (a) (b) (c) (A B) (A B) (A B) (B C) (A B) (B Ā) (A B).
2 () Vizsgáljuk meg hogy milye kapcsolat áll fe az A és B halmazok között ha teljesül az A B = A egyelőség. () Állapítsuk meg milye esetbe állhat fe az A B = Ā egyelőség. (3) Vizsgáljuk meg hogy milye kapcsolat áll fe az A és B halmazok között ha teljesül az A B = A egyelőség. (4) Vizsgáljuk meg milye A és B kapcsolata ha A B = A B teljesül. (5) Milye kapcsolat áll fe az A és B halmazok között ha az A (B Ā) = B igaz? (6) Vizsgáljuk meg hogy milye esetbe teljesül az (A B) \ B = A egyelőség. (7) Mutassuk meg hogy tetszőleges A és B eseté [A \ (A B)] B = A B. (8) Legye A = { } B = { 3}. Írjuk fel az halmazok elemeit. (A B) (B A) és az (A B) \ (B A) (9) Legye A = {( y) R R y = a + b} és B = {( y) R R y = c + d}. Mit modhatuk az a b c és d paraméterekről ha tudjuk hogy (a) A \ B = A (b) A B = {( )} (c) A \ B = (d) {( ) ( )} A B. () Ábrázoljuk a Z R és R Z halmazokat a koordiátasíko. () Lássuk be hogy tetszőleges A B és C halmazokra (a) (b) (c) (d) A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) (A B) C = (A C) (B C) (A B) C = (A C) (B C). () Igazoljuk hogy tetszőleges A és B B... B halmazokra A (B B B ) = A (B B B ) = B i = i= B i = i= (A B i ) i= (A B i ) i= B i B i. i= i= (3) Legye A egy elemű halmaz. Igazoljuk hogy az A részhalmazaiak száma. (4) Legye m N eseté m O ha m osztható 7-tel. Igazolja hogy O ekvivalecia reláció N-e. Mik leszek az ekvivalecia osztályok? (5) Legye a D reláció N-e az alábbi Igazolja hogy D féligredezés N-e. ( m N)(m D ha m osztója -ek.
3 3 (6) Tekitsük a következő leképezéseket: F : N N F () = ( N) G : Q Q G() = ( Q) H : R R H() = ( R) L : N N L() = ( N). Állapítsuk meg közülük melyik ijektív szürjektív ill. bijektív. (7) Legye A és B véges halmaz. Mit modhatuk A és B elemeiek a számáról ha tudjuk hogy létezik olya F : A B leképzés amely: (a) ijektív (b) szürjektív (c) bijektív. Idukció (8) Bizoyítsuk be teljes idukcióval hogy mide N re vagy a megadott ekre ( + ) (a) = (b) ( + )( + ) = 6 [ ] ( + ) (c) = ( + )( + ) (d) ( + ) = 3 (e)! +! + +! = ( + )! (f) ( + ) = + (g) ( ) ( + ) = + (h) = ( ) (i) j (j) j= j= j ( + ) (k) 4 +4 > ( + 4) 4 (l) + j > 3 ( ) 4 j= (m) 3 < + ( > 8) () (o) ( + )! > +3 ( 5) (p) egész szám (q) osztható 9-cel (r) osztható 3-mal.
4 4 (9) Mutassuk meg hogy ahol ( )! = k k!( k)!. ( ) + = k + ( ) ( ) + k k + (3) Bizoyítsuk be a biomiális tételt: ( ) ( ) (a + b) = a + a b + + ( ) ab + ( ) b ahol tetszőleges természetes szám a b tetszőleges valós számok. A feti egyelőség tömörebb formája: ( ) (a + b) = a k b k. k k= (3) Bizoyítsuk be hogy mide természetes szám és szám eseté teljesül a Beroulli egyelőtleség: ( + ) + és itt egyelőség akkor és csakis akkor teljesül ha = vagy =. (3) Bizoyítsuk be hogy ha... ( ) emegatív valós számok akkor teljesül a számtai és mértai közép közötti egyelőtleség: Egyelőség potosa akkor teljesül ha = = =. Valós számok (33) Bizoyítsuk be következő egyelőtleségeket (a > b > ): (a) ab a+b ab a (b) +b a+b (c) a. b + b a (34) Mutassuk meg hogy < <. (35) A valós számok (test)aiómáit felhaszálva igazolja hogy bármely y z R eseté továbbá ha + y = + z akkor y = z ha y = z akkor y = z ha + y = akkor y = ha y = akkor y = ha + y = akkor y = ha y = akkor y = ( ) = ha akkor ( ) = = y y ( )y = (y) = ( y) ( )( y) = y. (36) A valós számok (redezett test) aiómáit felhaszálva igazolja hogy bármely y z R eseté akkor és csakis akkor ha ha y z akkor y yz ha y z akkor y yz ha akkor > speciálisa > ha < y akkor < y és y. (37) Bizoyítsuk be hogy ha r Q R Q akkor r + és ha r akkor r R \ Q.
5 5 (38) Bizoyítsuk be hogy irracioális ha a) = b) = 6 c) 3 = 5. (39) Mivel egyelő if H sup H mi H ma H ha H = ( {( ) ) } { 3 : N! { m + 4 } m : m N (Utóbbi két feladatál helyettesítsük r = m -et!) (4) Legye } : N E = [ ] { 3} F = { r : r Q r < } G = { } + m : m N Z. [ Határozzuk meg e halmazok belső izolált torlódási és határpotjait! Sorozatok = + (4) Állapítsuk meg hogy az alábbi sorozatok közül melyek kovergesek melyek divergesek. a = ( ) b = c = log ( + ) d = 8 si(7 ) e = si(π ) f = ( N). (4) Vizsgáljuk meg a következő sorozatokat mootoitás és korlátosság szempotjából. Határozzuk meg a sorozatok határértékét is. (a) a = ( + )( + ) (b) a = ] (c) a = 5+.! (43) Vizsgáljuk meg hogy háyadik tagtól kezdve esek a sorozat elemei a határérték ε > sugarú köryezetébe: (a) a = (b) a = ( ). (44) Határozzuk meg az alábbi a ( N) sorozatok határértékét ameyibe az létezik (a) a = + (b) a = + (c) a = (d) a = 5 + (e) a = ( ) 5 3 (f) a = 5 ( ) + +5 (g) a = + 3 (h) a = ( + ) ( + ) ( + 3 (i) a = (j) a = )... ( + )
6 6 (k) a = (l) a = log (m) a = a + 3 () a = log 3( + + ) log 3 (o) a = log ( + 3) log ( + ) (p) a = + 3. ( ) (a R adott) (45) Tudjuk hogy lim (log ( + + 4)) = +. Tetszőleges K > számhoz határozzuk meg egy olya N természetes számot hogy log( + + 4) > K ha > N. (46) Tegyük fel hogy a + b. Lehetséges-e hogy a b a b 3 a b a b? (47) Tegyük fel hogy a /. Képezzük a b = a b = a a b 3 = a a a 3 b 4 = a a a 3 a 4... sorozatot. Bizoyítsuk be hogy b. (48) Bizoyítsuk be hogy ha a a és a > bármely N-re akkor a a. (49) Tegyük fel hogy a +. Bizoyítsuk be hogy log a +. (5) Tegyük fel hogy a 3. Bizoyítsuk be hogy lim (a + a ) =. (5) Tegyük fel hogy egy sorozatak végtele sok pozitív és végtele sok egatív eleme va. Lehet-e ez a sorozat koverges? (5) Legye a = a = koverges. + 3 a 3 = Bizoyítsuk be hogy az a sorozat (53) Legye a = a = + a 3 = Bizoyítsuk be hogy az a sorozat koverges. (54) Számítsuk ki a lim s határértéket ahol (a) s = ( )( + ) (b) s = ( + ). (55) Tegyük fel hogy az a sorozat koverges. Mutassuk meg hogy tetszőleges ε > -hoz létezik olya N hogy a a m < ε ha > N és m > N. (56) Igazoljuk az előző állítás megfordítását! Tegyük fel hogy tetszőleges ε > -hoz létezik olya N hogy a a m < ε ha > N. Bizoyítsuk be hogy a koverges.
7 7 Sorok (57) Határozzuk meg hogy az alábbiak közül melyik geometriai sor és a kovergesekek számítsuk ki az összegét! (a) (b) (c) (e) p + p + p (d) ( + ) (f) (58) Határozzuk meg a sor összegét. k= ( b + p ) k (59) 97-be a világ teljes vasfelhaszálása kb. 794 millió toa volt. Ha a világ teljes vas-készlete 49 milliárd toa és a felhaszálás évi 5%-kal ő akkor meyi ideig lesz elég a készlet? (6) Számítsuk ki a következő végtele sorok összegét: (a) 5 + (b) + ( ) = = (c) = ( + ) (d) ( + ). = (6) Mutassuk meg hogy az alábbi sorok divergesek! (a) + (b) ( ) (c) = = ( ) +. = (6) Kovergesek-e a következő sorok: (alkalmazzuk a majorás háyados vagy gyök tesztet) (a) (b) (c) + 3 = = = (d) k= l k (e) k= k (f) k! = ()! (g) p= p (h) ( ) = (i) k= k + k(k + ) (j) = 3 + (k) s= (s)! s s (l) = ( ) +. 3 (63) Számítsuk ki a következő hatváysorok kovergeciasugarát: (a) (b) 3 + (c) = = k= k (k)!.
8 8 Függvéyek határértéke és folytoossága (64) Az f() = 5 függvéy az = helye ics értelmezve. Közelítsük meg a -t először az = + + sorozattal majd az y = + ( N) sorozattal és határozzuk meg a megfelelő függvéyértékek sorozatáak határértékét. Értelmezzük az eredméyt. (65) Határozzuk meg a következő határértékeket: 3 (a) lim 3 (b) lim (c) (e) (g) lim 3 + (d) lim + ( lim 3 ) 3 (f) lim + lim + 4 [ ( (h) lim a + a )] (i) ( lim + 5 ) (j) lim + (k) lim (l) lim (m) lim ( ) + + () lim (66) Igazoljuk hogy feállak a következő összefüggések: ( ) (a) (c) lim( + y) y = e (b) lim + 3 = e 3 y log lim a ( + ) = log a e (a > a ) (d) lim ( + a) = e a (a > N). (67) Dötsük el mootook-e a következő függvéyek: (a) f() = ( < ) (b) f() = + ( ) (c) f() = 4 ( < < ) (d) f() = ( > ). (68) Lehetséges-e hogy em folytoos függvéyek összege illetve szorzata folytoos? (69) Bizoyítsuk be hogy mide páratla fokú valós együtthatós egyeletek va valós gyöke. (7) Vizsgáljuk meg hogy viselkedek a következő függvéyek szakadási helyeik köryezetébe és a végtelebe:
9 9 (a) f() = 3 ha f() = (b) f() = ( ) (c) f() = 3 + ha f( ) = (d) f() = ha ha (e) f() = (f) f() = ( ) ha < ha > 4 ha >. (7) Állapítsuk meg hogy vaak-e olya potok melybe az 4 ha racioális f() = 4 + ha irracioális függvéy folytoos. (7) Hol vaak értelmezve és hol folytoosak a következő függvéyek? (a) f() = (b) f() = (c) f() = (d) f() = + (e) f() = + (f) f() = + ( + ) 3/. (73) Legye f() := ( ] ]) g() := ( [ [). Igazoljuk hogy midkét függvéy folytoos (mideütt ahol értelmezve va) de f em korlátos g em veszi fel a függvéyértékek potos alsó korlátját. (74) Melyek azok a függvéyek amelyek valósziűleg az időek folytoos függvéyei? (a) Egy ucia aray ára a zürichi aray piaco. (b) Egy övekedő gyermek magassága. (c) Egy repülőgép föld feletti magassága. (d) Egy autó által megtett út.
10 Differeciálszámítás Deriváltak kiszámítása (75) Számítsuk ki az f() = / függvéy deriváltját = -be a defiíció segítségével azaz / / határozzuk meg a lim határértéket. (76) Bizoyítsuk be hogy az f() = függvéy em differeciálható = -ba. Ez pl. igazolható egy olya sorozat megadásával melyre az = sorozat em koverges. (77) Ábrázoljuk az ha < ha < f() = és a g() = ha ha függvéyeket. Differeciálható-e f és g az = -ba? (78) Deriváljuk a következő függvéyeket: f() = ; g() = ; h() = + ; i() = si ; j() = si cos ; k() = si 3 ; l() = si(cos ); m() = l(si ); () = ; o() = tg ; p() = ( tg + cos ) 3 ; q() = tg / cos. (79) Adjuk meg a következő függvéyek deriváltját: ( ) + cos si() f() = l ; g() = l si 3 + (3 ) ; h() = cos ; i() = + (si ) si ; j() = (l ) 3 ; k() = (3 ) 3 4 ; (( ) ) 3 4 l() = lg{ si 7 ( )}; m() = ( 4) 6. (8) Hol em differeciálhatók az alábbi függvéyek? Számítsuk ki a differeciálháyadosukat ott ahol differeciálhatók! f() = 3 ; g() = l ; h() = l 3 ; i() = 3. (8) Létezik-e a deriváltja az ha f() = e ha > függvéyek az = potba? (8) Határozzuk meg a következő függvéyek magasabbredű deriváltjait: (a) f() = f (5) () = (b) f() = e f () () = (c) f() = e cos f (3) () = (d) f() = l f () () = (e) f() = arc tg f (3) () =
11 Középértéktételek Taylor tétel (83) Legye f() =. Lagrage tétele szerit létezik egy olya ξ ( ) szám hogy = 3 = f (ξ). Keressük meg ξ-t. (84) Határozzuk meg az y = cos függvéy Maclauri-sorát valamit az = π körül a Taylor sorát. (85) Legye g() = Írjuk fel a függvéy = körüli Taylor-formuláját azaz alakítsuk át a függvéyt úgy hogy bee csak az ( ) hatváyai szerepeljeek. (86) Határozzuk meg az y = e függvéy Taylor-sorát az = pot körül. Függvéyvizsgálat mootoitás koveitás szélsőérték (87) Vizsgáljuk meg a következő függvéyeket. (Határozzuk meg a zérushelyeket határértékeket azokat az itervallumokat ahol mooto övekvő illetve csökkeő kove illetve kokáv végül ábrázoljuk a függvéyt.) (a) f () = 8( 3 9); (b) f () = ( ) ( + 3) ; (c) f 3 () = + ; (e) f 5 () = (g) f 7 () = si cos (d) f 4() = + 3 ; ( )e ; (f) f 6() = si + cos ; < < π. (88) Határozzuk meg a következő függvéyek lokális szélsőértékeit és azokat az itervallumokat amelyekbe a függvéy mooto kove/kokáv. (a) f() = 4 ; (b) f() = ; (c) f() = ; (d) f() = si + cos ; + (e) f() = ; (f) f() = l. (89) A következő függvéyekél vizsgáljuk meg hogy a függvéy görbéje mely itervallumba kove illetve kokáv. Határozzuk meg a függvéy ifleiós helyeit is. (a) f() = ; (b) g() = ( ) 5; (c) h() = 4 ; (d) i() = + + (e) j() = + l ; (f) k() = arc tg ; ( ) + ; (g) l() = (e e ); (h) m() = (l ) ; (k) () = 3 + ; o() = 5 5. (9) Ha f differeciálható az belső potba és f-ek ott helyi szélső értéke va akkor f ( ) =. Adjuk meg egy olya kokrét függvéyt hogy f ( ) = de f-ek ics helyi szélsőértéke -ba.
12 (9) L Hospital szabály alkalmazásával határozzuk meg az alábbi határértékeket: cos k (a) lim ; (b) lim cos m (d) lim π (g) lim (j) l tg si ( ) ; (e) lim ; (h) lim l( + ) l a l ; (f) lim π e ; (c) lim si ; tg tg 5 ; arc tg 7 5 ; (i) lim + ; lim l ; (k) lim + + si ; (l) lim ctg 3; (m) lim + (si ) ; () lim e (p) (s) si lim ; (q) lim lim ; (t) lim 5 / (9) Bizoyítsuk be az alábbi egyelőtleségeket ( ) e si tg tg 5 ; 3 ; (o) lim 5 4 ; ; (r) lim (u) lim (a) log a < ( ) log a e ha > a > ; (b) l( + ) > + ha > ; (c) (a + )e a < ha a > > ; / ; 7 3 cos. (d) + > e ha < <. (93) A K = cm kerületű téglalapok közül melyikek a legagyobb a területe? (94) Az m területű téglalapok közül melyikek a legagyobb a kerülete? (95) Az r = m sugarú körbe írható téglalapok közül melyikek a legagyobb a területe? És a kerülete? (96) Határozza meg az f() = + függvéy ifimumát és szuprémumát a ] [ itervallumo! + 4 (97) Egy d átmérőjű kör alakú fatörzsből geredát faragak melyek keresztmetszete b alapú és h magasságú téglalap. Mikor lesz a gereda (bh -tel aráyos) szilárdsága a maimális? (98) Az R sugarú gömbbe írjuk maimális térfogatú hegert! (99) Határozzuk meg azt a legagyobb térfogatú kúpot amelyek alkotója adott l hosszúságú! () Egymással ϑ szöget bezáró egyeesek meté egy-egy hajó halad álladó u ill. v sebességgel. Határozzuk meg a hajók közti legrövidebb távolságot ha egy adott időpillaatba a hajók távolsága az egyeesek metszéspotjától számítva a ill. b! () Egy személy Ft bruttó jövedelme utái A() Ft adóját az A() = a(b + c) p + k képlettel számolhatjuk ahol a b c pozitív álladók p > k R. Milye jövedelem mellett lesz az átlagos adóháyad Ā() = A() miimális? () Adott darab szám a a... a. Keressük meg azt az számot amely ezeket legjobba közelíti abba az értelembe hogy a d() := ( a ) + ( a ) + + ( a )
13 3 a lehető legkisebb legye! (3) Keressük meg az f() = függvéy (globális) maimumát és miimumát a [ ] itervallumo. (4) Egy cég egyféle terméket gyárt. Egy adott időszakba termelt és eladott meyiségű termékből B() bevétele va míg költségei K()-t teszek ki (valamilye pézegységbe). Az meyiségű termék eladásából származó P () profit P () = B() K(). Techikai korlátok miatt a cég egy adott időszakba legfeljebb meyiségű terméket tud előállítai így [ ]. Milye [ 5] mellett lesz a profit maimális ha (a) B() = 84 K() = (b) B() = 4 K() = (c) B() = 84 K() = (5) Az előző feladatba legye K() = a 3 + b + c + d ahol a > b c d > adott kostasok. Igazolja hogy az A() := K() átlagos költségfüggvéyek va miimuma a ] [ itervallumba. Keressük meg ezt a miimumhelyet ha b =. (6) Legye most K() = a b + c ahol a > b > c >. Igazolja hogy az átlagos költségfüggvéyek va miimuma a ] [ itervallumba és keresse is meg ezt a miimumhelyet! (elég az első deriváltat kiszámoli!) Határozatla itegrál (7) Az alapitegrálok elemi átalakítások és lieáris helyettesítések segítségével számítsuk ki a következő itegrálokat! a) d b) + d + c) d d) ( + e )d e) ( ) d f) ( ) d g) ( )( ) d h) ( ) d i) d /3 + j) d k) (t + 6t 5)dt l) d ( m) e ) cos d ) + 5 d o) ( 3) d p) 3 3 d q) d 5 r) 5 + d s) + 3 d t) d 3 (8) Az f α f = f α+ α + (α ) és f = l f f
14 4 formulák segítségével határozzuk meg a következő itegrálokat! a) b) c) d) e) f) + + d ( 4) d l d tg d si + si d d g) h) i) j) k) l) e + e + d + 3 d 5 d d d d (9) Számítsuk ki (parciális itegrálással) a következő határozatla itegrálokat! a) e d e) e cos d b) 3 e d f) e cos d c) si d g) e si d d) l d h) l d i) ( )e d m) 7 l d j) ( + ) cos d ) arc tg d k) ( 3 3 7) si d o) arc tg d l) ( + ) l d p) arcsi d () Alkalmas helyettesítésekkel határozzuk meg a következő határozatla itegrálokat! a) e d 3 b) ( + 3 ) 3 d c) ( + ) d d) d (8 + 7) 3 e) d f) si 3 cos d 3 + g) d 5 si h) cos3 d arc tg 3 i) + d tg j) cos d () Itegráljuk a következő racioális törtfüggvéyeket!
15 5 () Botsa fel a 3 a) + d b) 3 d c) d + 3 d) + 3 d e) f) g) h) 5 ( )( + 5) d + 3 ( )( + 5) d 3 d d 3 ( + ) ( + ) 5 ( ) 3 ( + ) ( + + ) racioális törteket parciális törtekre és az együtthatók kiszámolása élkül (határozatla együtthatókkal) határozza meg e függvéyek itegrálját! (3) Alkalmas helyettesítéssel számítsuk ki az alábbi határozatla itegrálokat! a) + cos d (t = tg 3 i) ( + ) 4 d b) d d k) + + ( + ) 3 + si e 4 c) + e d d l) + cos e l d) d (e = t ) m) + l d e) tg 3 d d (t = tg ) ) cos e f) d d o) cos g) d ( = si t) p) si(l ) d h) + d Határozott itegrál (4) Számítsuk ki a következő határozott itegrálokat! 3 d ; π si d ; cos d ; π d ; d. (5) Legye ha < f() = 3 ha = ha > ; g() = { ha < ha >. Meyi a következő itegrálok értéke? 3 5 f() d ; g() d.
16 6 (6) Számítsuk ki a következő itegrálokat! 3 e d ; ( ) 7 d ; π/ π/3 ctg () d. (7) Számítsuk ki a következő határozott itegrálokat! 3 e d ; 4 d ; e e 4 + e d ; 4 3 d. Improprius itegrálok (8) Létezek-e a következő improprius itegrálok? Ha ige számítsuk ki őket! l d ; e l d ; l d ; d ; d ; e d ; + e d ; d ; d ; 3 d ; 3 d d +. (9) Létezek-e az alábbi improprius itegrálok? Ha ige számítsuk ki őket! d 3 ; d ( ) ; 4 e d ; d ; + 6 e /3 d ; 3 d ; d ; + d. Az itegrál alkalmazásai () Egy mukás bére egy adott év -edik apjá b() = forit. Meyit keres így egy év alatt? Helyes-e az itegrálszámítást haszáli a feladat megoldásához? () Egy üzem raktárába r egység ayagmeyiség va és ezt T ap alatt dolgozzák fel. A redelkezésre álló adatok szerit a raktárkészlet fogyásáak grafikoja jól közelíthető egy y = a( b) parabolával a [ T ] itervallumo. Számítsuk ki a -t és b -t majd határozzuk meg a T apra fizetedő raktározási költségeket ha egy egység raktározása R foritba kerül apokét. () Legye A = {( y) y } és B = {( y) y + }. Meyi A B területe? (3) Meyi az a + y = ellipszis területe? b (4) Meyi az f() = 4 függvéy görbéjéek a hossza = 5 és = között?
17 7 (5) Ha egy [a b]- értelmezett f() függvéy görbéjét megforgatjuk az -tegely körül akkor az általa határolt forgástest térfogata V = b a f () π d. Ezt felhaszálva számítsuk ki egy gömb és egy kúp térfogatát! (6) Forgassuk meg az y tegely körül az y = 8 egyeletű paraboláak az első síkegyedbe eső részét! Mekkora térfogatú test keletkezik? Kettős itegrál (7) Számítsuk ki a következő itegrálokat: y d dy ; e +y dy d ; b d y d dy a c (8) Itegrálja a következő függvéyeket a megadott A tartomáyo! ( + y ) d dy A = {( y) y } A (a + by + c) d dy A = {( y) ( ) + (y ) } A cos( + y) d dy A = {( y) y + y π} A ( + y + ) d dy A = {( y) + y y} ( > adott). A (9) Határozza meg a ddy kettős itegrál értéket ahol A A = { ( y) y y }! (3) Határozza meg a ddy kettős itegrál értéket ahol A az y = 3 és az y = + 4 A parabolák által közrezárt tartomáy! (3) Határozza meg a ( + y) ddy kettős itegrál értéket ahol A az = y = és az A A + y = egyeletű egyeesek által határolt háromszög! (3) Határozza meg a e y ddy kettős itegrál értéket ahol A az = y = és az y = egyeletű görbék által határolt síkrész!
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ
FELADATOK A KALKULUS C. TÁRGYHOZ. HALMAZOK RELÁCIÓK FÜGGVÉNYEK. Bizoyítsuk be a halmaz-műveletek alapazoosságait! 2. Legye adott az X halmaz legye A B C X. Ha A B := (A B) (B A) akkor bizoyítsuk be hogy
Részletesebben18. Differenciálszámítás
8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke
Részletesebben(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.
PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /
RészletesebbenIII. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK
Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar
RészletesebbenV. GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL
86 Összefoglaló gyaorlato és feladato V GYAKORLATOK ÉS FELADATOK ALGEBRÁBÓL 5 Halmazo, relácó, függvéye Bzoyítsd be, hogy ha A és B ét tetszőleges halmaz, aor a) P( A) P( B) P( A B) ; b) P( A) P ( B )
RészletesebbenGAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS
SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba, Lektorálták: DR. PATAY
RészletesebbenVII. A határozatlan esetek kiküszöbölése
A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely
RészletesebbenKevei Péter. 2013. november 22.
Valószíűségelmélet feladatok Kevei Péter 2013. ovember 22. 1 Tartalomjegyzék 1. Mérhetőség 4 2. 0 1 törvéyek 12 3. Vektorváltozók 18 4. Véletle változók traszformáltjai 28 5. Várható érték 33 6. Karakterisztikus
Részletesebben(arcsin x) (arccos x) ( x
ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c
RészletesebbenPÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ. Írta Dr. Huzsvai László
PÉLDATÁR A SZÁMÍTÓGÉPES TESZTHEZ Írta Dr. Huzsvai László Debrece 2012 Tartalomjegyzék Bevezetés...1 Viszoyszámok...1 Középértékek (átlagok)...2 Szóródási mutatók...4 Idexek...7 Furfagos kérdések...8 Bevezetés
RészletesebbenANALÍZIS 1. I. VIZSGA január 11. Mérnök informatikus szak α-variáns Munkaidő: 90 perc., vagyis z 2 1p = i 1p = ( cos 3π 2 2
ANALÍZIS. I. VIZSGA. jauár. Mérök iformatikus szak α-variás Mukaidő: perc. feladat pot) Adja meg az z 4 i)z i egyelet összes megoldását. i + i) + 4i + 4 i +, vagyis z p i p cos 3 + i si ) 3 vagy z p i
Részletesebben2. Hatványozás, gyökvonás
2. Hatványozás, gyökvonás I. Elméleti összefoglaló Egész kitevőjű hatvány értelmezése: a 1, ha a R; a 0; a a, ha a R. Ha a R és n N; n > 1, akkor a olyan n tényezős szorzatot jelöl, aminek minden tényezője
RészletesebbenPályázat címe: Pályázati azonosító: Kedvezményezett: Szegedi Tudományegyetem Cím: 6720 Szeged, Dugonics tér 13. www.u-szeged.hu www.palyazat.gov.
Pályázat címe: Új geerációs sorttudomáyi kézés és tartalomfejlesztés, hazai és emzetközi hálózatfejlesztés és társadalmasítás a Szegedi Tudomáyegyeteme Pályázati azoosító: TÁMOP-4...E-5//KONV-05-000 Sortstatisztika
Részletesebben10.M ALGEBRA < <
0.M ALGEBRA GYÖKÖS KIFEJEZÉSEK. Mutassuk meg, hogy < + +... + < + + 008 009 + 009 008 5. Mutassuk meg, hogy va olya pozitív egész szám, amelyre 99 < + + +... + < 995. Igazoljuk, hogy bármely pozitív egész
RészletesebbenFeladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához. Halmazelmélet
Debreceni Egyetem, Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a levelező tagozat Gazdasági matematika I. tárgyához a megoldásra feltétlenül ajánlott feladatokat jelöli Halmazelmélet () Legyen A = {, 3, 4}, B =
RészletesebbenSorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága
Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt
RészletesebbenIngatlanfinanszírozás és befektetés
Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoiformatikai Kar Igatlameedzser 8000 Székesfehérvár, Pirosalma u. 1-3. Szakiráyú Továbbképzési Szak Igatlafiaszírozás és befektetés 2. Gazdasági matematikai alapok Szerzı:
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor
RészletesebbenKalkulus I. Első zárthelyi dolgozat 2014. szeptember 16. MINTA. és q = k 2. k 2. = k 1l 2 k 2 l 1. l 1 l 2. 5 2n 6n + 8
Név, Neptu-kód:.................................................................... 1. Legyeek p, q Q tetszőlegesek. Mutassuk meg, hogy ekkor p q Q. Tegyük fel, hogy p, q Q. Ekkor létezek olya k 1, k 2,
RészletesebbenA primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,
6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos
Részletesebben(anyagmérnök nappali BSc + felsőf. szakk.) Oktatók: Dr. Varga Péter ETF (előtan. feltétel): ---
A ttárgy eve: Mtemtik I Heti órszám: 3+3 (6 kredit) Ttárgy kódj: GEMAN0B (ygmérök ppli BSc + felsőf szkk) A tárgy lezárás: láírás + kollokvium Okttók: Dr Vrg Péter ETF (előt feltétel): --- Algebr, lieáris
Részletesebben1. Adatok közelítése. Bevezetés. 1-1 A közelítő függvény
Palácz Béla - Soft Computig - 11-1. Adatok közelítése 1. Adatok közelítése Bevezetés A természettudomáyos feladatok megoldásához, a vizsgált jeleségek, folyamatok főbb jellemzői közötti összefüggések ismeretére,
RészletesebbenA tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és
Részletesebben(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):
A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak
RészletesebbenFeladatok matematikából 3. rész
Debreceni Egyetem Matematikai Intézet Feladatok matematikából 3. rész fizika és villamosmérök alapszakos hallgatók részére Debrecen, 6 ősz Határozatlan integrál. Számítsuk ki a következő integrálokat!
RészletesebbenVALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR
védőeryő az ismeretleek záporába VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS KÉPLETTÁR www.matektaitas.hu www.matektaitas.hu ifo@matektaitas.hu 1 védőeryő az ismeretleek záporába Kombiatorika Permutáció Ismétlés élküli permutáció
RészletesebbenALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.
ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az
Részletesebben(d) x 6 3x 2 2 = 0, (e) x + x 2 = 1 x, (f) 2x x 1 = 8, 2(x 1) a 1
. Bevezető. Oldja meg az alábbi egyeleteket: (a cos x + si x + cos x si x = (b π si x = x π 4 x 3π 4 cos x (c cos x + si x = si x (d x 6 3x = 0 (e x + x = x (f x + 5 + x = 8 (g x + + x + + x + x + =..
RészletesebbenA statisztika részei. Példa:
STATISZTIKA Miért tauljuk statisztikát? Mire haszálhatjuk? Szakirodalom értő és kritikus olvasásához Mit állít egyáltalá a cikk? Korrektek-e a megállaítások? Vizsgálatok (kísérletek és felmérések) tervezéséhez,
RészletesebbenMATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 2003. május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ
MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK 00 május 9 du JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ Oldja meg a rendezett valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! + y = 6 x + y = 9 x A nevezők miatt az alaphalmaz
Részletesebben3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.
3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.
RészletesebbenEGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK
X. Témakör: feladatok 1 Huszk@ Jenő X.TÉMAKÖR EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK Téma Egyenletek, egyenlőtlenségek grafikus megoldása Egyszerűbb modellalkotást igénylő, elsőfokú egyenletre
RészletesebbenSorozatok. [a sorozat szigorúan monoton nő] (b) a n = n+3. [a sorozat szigorúan monoton csökken] (c) B a n = n+7
Bodó Beáta 1 Sorozatok 1. Írja fel az a = 1 +4 sorozat 10. és ( + 1)-edik elemét! [a 10 = 4 14, a +1 = 4 +. Írja fel az a = +4 1 sorozat ( + 1)-edik és ( )-edik tagját! [a +1 = +7 +4, a = 11. Vizsgálja
RészletesebbenPélda: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0
Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,
RészletesebbenGyakorló feladatok II.
Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,
RészletesebbenElső sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a. cos x + sin2 x cos x. +sinx +sin2x =
2000 Írásbeli érettségi-felvételi feladatok Első sorozat (2000. május 22. du.) 1. Oldjamegavalós számok halmazán a egyenletet! cos x + sin2 x cos x +sinx +sin2x = 1 cos x (9 pont) 2. Az ABCO háromszög
RészletesebbenMatematika I. 9. előadás
Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája
Részletesebben5. Kombinatorika. 8. Legfeljebb hány pozitív egész számot adhatunk meg úgy, hogy semelyik kettő összege és különbsége se legyen osztható 2015-tel?
5. Kombiatorika I. Feladatok. Háyféleképpe olvashatók ki az alábbi ábrákról a PAPRIKAJANCSI, a FELADAT és a MATEMATIKASZAKKÖR szavak, ha midig a bal felső sarokból kell iduluk, és mide lépésük csak jobbra
RészletesebbenEötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli tételek. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis. Írásbeli tételek Készítette: Szátó Ádám 20. Tavaszi félév . Archimedes tétele. Tétel: a > 0 és b R : N : b < a. Bizoyítás: Idirekt úto tegyük fel, hogy
RészletesebbenTartalomjegyzék. Pemutáció 5 Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció 11 Kombináció 12 Ismétléses kombináció 13
Tartalomjegyzék I Kombiatorika Pemutáció Ismétléses permutáció 8 Variáció 9 Ismétléses variáció Kombiáció Ismétléses kombiáció II Valószíségszámítás M/veletek eseméyek között 6 A valószí/ség fogalma 8
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter
Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................
Részletesebben2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...
. Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk
Részletesebbenx + 3 sorozat első hat tagját, ha
Soroztok, soroztok megdás rekurzív módo.. Az ( ) soroztot rekurzív módo dtuk meg 7 -, sorozt első két tgj ( < ) egybe gyökei következő egyeletek: sorozt első öt tgját. y.adott ( ). Írd fel ( ) x 0 x. Htározd
Részletesebbenn akkor az n elem összes ismétléses ... k l k 3 k 1! k 2!... k l!
KOMBINATORIKAI ALAPFOGALMAK A ombiatoria általába a véges halmazora voatozó redezési és leszámlálási feladatoal foglalozi. Az elemi ombiatoria legtöbb esetbe a övetező ét érdés egyiére eresi a választ:
RészletesebbenA függvénysorozatok olyanok, mint a valós számsorozatok, csak éppen a tagjai nem valós számok,
l.ch FÜGGVÉNYSOROZATOK, FÜGGVÉNYSOROK, HATVÁNYSOROK Itt egy függvéysorozat: f( A függvéysorozatok olyaok, mit a valós számsorozatok, csak éppe a tagjai em valós számok, 5 haem függvéyek, f ( ; f ( ; f
RészletesebbenV. Deriválható függvények
Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája
RészletesebbenInnen. 2. Az. s n = 1 + q + q 2 + + q n 1 = 1 qn. és q n 0 akkor és csak akkor, ha q < 1. a a n végtelen sor konvergenciáján nem változtat az, ha
. Végtele sorok. Bevezetés és defiíciók Bevezetéskét próbáljuk meg az 4... végtele összegek értelmet adi. Mivel végtele sokszor em tuduk összeadi, emiatt csak az első tagot adjuk össze: legye s = 4 8 =,
Részletesebben10. évfolyam, harmadik epochafüzet
0. évfolyam, harmadik epochafüzet (Sorozatok, statisztika, valószíűség) Tulajdoos: MÁSODIK EPOCHAFÜZET TARTALOM I. Sorozatok... 4 I.. Sorozatok megadása, defiíciója... 4 I.. A számtai sorozat... 0 I...
RészletesebbenAnalízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév
Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak 2008-2009. tanév 2. félév Valós számok 1. Hogyan szól a Bernoulli-egyenl tlenség? Mikor van egyenl ség? Válasz. Minden h 1 valós számra
Részletesebbenmin{k R K fels korlátja H-nak} a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát is:
. A szupréum elv. = H R felülr l körlátos H fels korlátai között va legkisebb, azaz A és B a A és K B : a K Ekkor ξ-re: mi{k R K fels korlátja H-ak} } a A : a ξ : ξ fels korlát A legkisebb fels korlát
RészletesebbenMetrikus terek. továbbra is.
Metrius tere továbbra is. Defiíció: Legye X egy halmaz, d : X X R egy függvéy. Azt modju, hogy d metria (távolság), ha.. 3. 4. d d d d x, x 0, x, y 0 x y, x, y dy, x, x, z dx, y dy, z. Az X halmazt a d
Részletesebben1.1 Példa. Polinomok és egyenletek. Jaroslav Zhouf. Első rész. Lineáris egyenletek. 1 A lineáris egyenlet definíciója
Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle
RészletesebbenMiskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény
Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR Analízis I. példatár kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény Összeállította: Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia Miskolc, 013. Köszönetnyilvánítás
RészletesebbenRajzolja fel a helyettesítő vázlatot és határozza meg az elemek értékét, ha minden mennyiséget az N2 menetszámú, szekunder oldalra redukálunk.
Villams Gépek Gyakrlat 1. 1.S = 100 kva évleges teljesítméyű egyfázisú, köpey típusú traszfrmátr (1. ábra) feszültsége U 1 /U = 5000 / 400 V. A meetfeszültség effektív értéke U M =4,6 V, a frekvecia f=50hz.
RészletesebbenFüggvény deriváltja FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS. lim határértékkel egyenlő, amennyiben az létezik ( lásd Fig. 16).
FÜGGVÉNY DERIVÁLTJA - DIFFERENCIÁLHÁNYADOS Definíció Definíció Az f ( ) függvény pontban értelmezett deriváltja a f ( + ) f ( ) lim határértékkel egyenlő amennyiben az létezik ( lásd Fig 6) df A deriváltat
RészletesebbenDebreceni Egyetem. Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz. Határozatlan integrál
Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Matematika II. tárgy gyakorlataihoz Határozatlan integrál. z alapintegrálok, elemi átalakítások és lineáris helyettesítések segítségével számítsuk
RészletesebbenKalkulus II., második házi feladat
Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: http://maxwellszehu/~ugert Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi,
RészletesebbenKAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsôn
A FIZIKA TANÍTÁSA KAOTIKUS VAGY CSAK ÖSSZETETT? Labdák pattogása lépcsô Griz Márto ELTE Elméleti Fizikai Taszék Meszéa Tamás Ciszterci Red Nagy Lajos Gimázima Pécs, a Fizika taítása PhD program hallgatója
RészletesebbenAnalízis I. gyakorlat
Aalízis I. gyakorlat Kocsis Albert Tihamér, Németh Adriá 06. március 4. Tartalomjegyzék Előszó.................................................... Sorozatok és sorok.............................................
RészletesebbenSOROK Feladatok és megoldások 1. Numerikus sorok
SOROK Feladatok és megoldások. Numerikus sorok I. Határozza meg az alábbi, mértai sorra visszavezethető sorok esetébe az S -edik részletösszeget és a sor S összegét! )...... k 5 5 5 5 )...... 5 5 5 5 )......
RészletesebbenTranziens káosz nyitott biliárdasztalokon
Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Természettudomáyi kar Vicze Gergely Trazies káosz yitott biliárdasztaloko Msc szakdolgozat Témavezető: Tél Tamás, egyetemi taár Elméleti Fizikai Taszék Budapest, 2012 1 Tartalom
RészletesebbenA gyakorlatok HF-inak megoldása Az 1. gyakorlat HF-inak megoldása. 1. Tagadások:
. Tagadások: A gyakorlatok HF-inak megoldása Az. gyakorlat HF-inak megoldása "Nem észak felé kell indulnunk és nem kell visszafordulnunk." "Nem esik az es, vagy nem fúj a szél." "Van olyan puha szilva,
RészletesebbenJANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok
JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok Pécs, 1994 Lektorok: Dr. FEHÉR JÁNOS egyetemi docens, kandidtus. Dr. SIMON PÉTER egyetemi docens, kandidtus 1 Előszó Ez a jegyzet
RészletesebbenHÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai
HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;
RészletesebbenSorozatok begyakorló feladatok
Sorozatok begyakorló feladatok I. Sorozatok elemeinek meghatározása 1. Írjuk fel a következő sorozatok első öt elemét és ábrázoljuk az elemeket n függvényében! a n = 4n 5 b n = 5 n 2 c n = 0,5 n 2 d n
RészletesebbenB1 teszt 87. 1, x = 0 sorozat határértéke
B teszt 87 B teszt A világot csak hat szám vezérli. (Marti Rees) Ezt a köyvet öt betű.. Az = + +,, = sorozat határértéke ( + ) a) ; b) ; c) d) ; e) em létezik.. A lim{ e } határérték ({ } az törtrésze)
Részletesebben2 x. Ez pedig nem lehetséges, mert ilyen x racionális szám nincs. Tehát f +g nem veszi fel a 0-t.
Ászpóke csapat Kalló Beát, Nagy Baló Adás Nagy Jáos, éges Máto Fazekas tábo 008. Igaz-e, hogy ha az f, g: Q Q függvéyek szigoúa ooto őek és étékkészletük a teljes Q, akko az f g függvéy étékkészlete is
RészletesebbenTöbbváltozós függvények Riemann integrálja
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós
Részletesebben2. fejezet. Számsorozatok, számsorok
. fejezet Számsorozatok, számsorok .. Számsorozatok és számsorok... Számsorozat megadása, határértéke Írjuk fel képlettel az alábbi sorozatok -dik elemét! mooto, korlátos, illetve koverges-e! Vizsgáljuk
RészletesebbenSztochasztikus folyamatok 1. házi feladat
Sztochasztikus folyamatok 1. házi feladat 1. Egy borfajta alkoholtartalmának meghatározására méréseket végzünk. Az egyes mérések eredményei egymástól független valószínûségi változók, melyek normális eloszlásúak,
RészletesebbenKalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok
Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális
RészletesebbenA logaritmus függvény bevezetése és alkalmazásai
Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka A logaitmus függvéy bevezetése és alkalmazásai Szakdolgozat Készítette: Témavezető: Lebaov Dóa Mezei Istvá Adjuktus Matematika Bs Alkalmazott Aalízis és Matematikai
Részletesebbenképzetes t. z = a + bj valós t. a = Rez 5.2. Műveletek algebrai alakban megadott komplex számokkal
5. Komplex számok 5.1. Bevezetés Taulmáyaik sorá többször volt szükség az addig haszált számfogalom kiterjesztésére. Először csak természetes számokat ismertük, később haszáli kezdtük a törteket, illetve
RészletesebbenI. rész. Valós számok
I. rész Valós számok Feladatok 3 4 Teljes idukció Igazolja a teljes idukcióval a következ állítások helyességét!.. k 2 = k= ( + )(2 + ). 6.2. 4 + 2 7 + + (3 + ) = ( + ) 2..3. a) b) ( + ) = +. k ( ) =
RészletesebbenHatárértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.
Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos
Részletesebbenmegoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!
megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások
RészletesebbenA HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS
A HŐMÉRSÉKLETI SUGÁRZÁS 1. Törtéeti összefoglaló A tizekilecedik század végé a fizikát lezárt tudomáyak tartották. A sikeres Newto-i mechaika és gravitációs elmélet alapjá a Napredszer bolygóiak mozgása
RészletesebbenMatematika B4 I. gyakorlat
Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a
Részletesebben7. el adás Becslések és minta elemszámok. 7-1. fejezet Áttekintés
7. el adás Becslések és mita elemszámok 7-1. fejezet Áttekités 7-1 Áttekités 7- A populáció aráy becslése 7-3 A populáció átlag becslése: σismert 7-4 A populáció átlag becslése: σem ismert 7-5 A populáció
RészletesebbenHajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011
1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }
Részletesebben1 n. 8abc (a + b) (b + c) (a + c) 8 27 (a + b + c)3. (1 a) 5 (1 + a)(1 + 2a) n + 1
A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Ha N és h R, akkor + h + h Mikor va itt egyelőség? Léyeges-e a h feltétel? Számtai-mértai közép Bármely N és,, R, k 0 k =,, választással k
RészletesebbenRudas Tamás: A hibahatár a becsült mennyiség függvényében a mért pártpreferenciák téves értelmezésének egyik forrása
Rudas Tamás: A hibahatár a becsült meyiség függvéyébe a mért ártrefereciák téves értelmezéséek egyik forrása Megjelet: Agelusz Róbert és Tardos Róbert szerk.: Mérésről mérésre. A választáskutatás módszertai
RészletesebbenVillamos gépek tantárgy tételei
Villamos gépek tatárgy tételei 7. tétel Mi a szerepe az áram- és feszültségváltókak? Hogya kapcsolódak a hálózathoz, milye előírások voatkozak a biztoságos üzemeltetésükre, kiválasztásukál milye adatot
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 05 ÉRETTSÉGI VIZSGA 006. május 9. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Formai előírások: Fontos tudnivalók A dolgozatot
RészletesebbenNevezetes középértékek megjelenése különböző feladatokban Varga József, Kecskemét
Vrg József: Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Nevezetes középértékek megjeleése külöböző feldtokb Vrg József, Kecskemét Hrmic éves tári pályámo sokszor tpsztltm, hogy tehetséges tulók
RészletesebbenTanmenetjavaslat. az NT-11580 raktári számú Matematika 5. tankönyvhöz. Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet, Budapest
Tameetjavaslat az NT-11580 ratári sú Matematia 5. taöyvhöz Otatásutató és Fejlesztő Itézet, Budapest A tameetjavaslat 144 órára lebotva dolgozza fel a taayagot. Ameyibe eél több idő áll a redelezésüre,
RészletesebbenANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK
ANALÍZIS I. DEFINÍCIÓK, TÉTELEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2012. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add el! - Így add
RészletesebbenANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA
ANALÍZIS I. TÉTELBIZONYÍTÁSOK ÍRÁSBELI VIZSGÁRA Szerkesztette: Balogh Tamás 202. július 2. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a ifo@baloghtamas.hu e-mail címe! Ez a Mű a Creative Commos Nevezd meg! - Ne add
RészletesebbenA PÉNZ IDİÉRTÉKE. Egy jövıbeni pénzösszeg jelenértéke:
A PÉNZ IDİÉRTÉKE A péz értéke többek között az idı függvéye. Ha idıbe késıbb jutuk hozzá egy jövedelemhez, akkor elveszítjük aak lehetıségét, hogy az eltelt idıbe azt befektessük, azaz elesük aak hozamától,
RészletesebbenKalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév
Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok
RészletesebbenGEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET
ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(
RészletesebbenFELADATOK a Bevezetés a matematikába I tárgyhoz
FELADATOK a Bevezetés a matematiába I tárgyhoz a számítástechia taár főisolai és a programozó matematius szao számára 2004 ovember 4 FIGYELEM: a számtech szaosoa csa a övetező feladato ellee: 2,6,7,8,9-13,16-25,27,31-33
RészletesebbenEgy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged
Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged A 01. május 8.-i emelt szintű matematika érettségin szerepelt az alábbi feladat. Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást
RészletesebbenMőbiusz Nemzetközi Meghívásos Matematika Verseny Makó, március 26. MEGOLDÁSOK
Mőbiusz Nemzetözi Meghívásos Matematia Versey Maó, 0. március 6. MEGOLDÁSOK 5 700. Egy gép 5 óra alatt = 000 alatt 000 csavart. 000 csavart észít, így = gép észít el 5 óra 000. 5 + 6 = = 5 + 5 6 5 6 6.
RészletesebbenAnalízis előadás és gyakorlat vázlat
Analízis előadás és gyakorlat vázlat Készült a PTE TTK GI szakos hallgatóinak Király Balázs 00-. I. Félév . fejezet Számhalmazok és tulajdonságaik.. Nevezetes számhalmazok ➀ a) jelölése: N b) elemei:
RészletesebbenFELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.
FELADATOK A RELÁCIÓK, GRÁFOK TÉMAKÖRHÖZ 1. rész A feladatsorban használt jelölések: R = {r R r < 0}, R + = {r R r>0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b. 4.1. Feladat. Adja meg az α = {(x, y) x +
RészletesebbenMATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
Matematika emelt szint 0 ÉRETTSÉGI VIZSGA 00. február. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ OKTATÁSI MINISZTÉRIUM Matematika emelt szint Fontos tudnivalók Formai
Részletesebben4b 9a + + = + 9. a a. + 6a = 2. k l = 12 évfolyam javítóvizsgára. 1) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket!
) Alakítsd szorzattá a következő kifejezéseket! 4 c) d) e) f) 9k + 6k l + l = ay + 7ay + 54a = 4 k l = b 6bc + 9c 4 + 4y + y 4 4b 9a évfolyam javítóvizsgára ) Végezd el az alábbi műveleteket és hozd a
Részletesebben2. gyakorlat - Hatványsorok és Taylor-sorok
. gyakorlat - Hatváysorok és Taylor-sorok 9. március 3.. Adjuk meg az itt szereplő sorok kovergeciasugarát és kovergeciaitervallumát! + a = + Azaz a hatváysor kovergeciasugara. Az biztos, hogy a (-,) yílt
Részletesebben2. OPTIKA 2.1. Elmélet 2.1.1. Geometriai optika
2. OPTIKA 2.1. Elmélet Az optika tudománya a látás élményéből fejlődött ki. A tárgyakat azért látjuk, mert fényt bocsátanak ki, vagy a rájuk eső fényt visszaverik, és ezt a fényt a szemünk érzékeli. A
Részletesebben