GAZDASÁGI MATEMATIKA 1. ANALÍZIS

Átírás

1 SZENT ISTVÁN EGYETEM GAZDASÁGI, AGRÁR- ÉS EGÉSZSÉGTUDOMÁNYI KAR Dr. Szakács Attila GAZDASÁGI MATEMATIKA. ANALÍZIS Segédlet öálló mukához. átdolgozott, bővített kiadás Békéscsaba,

2 Lektorálták: DR. PATAY ZOLTÁN őiskolai taár, a matematikai tudomáy kadidátusa HÓDINÉ SZÉL MARGIT őiskolai doces Kiadja Szet Istvá Egyetem Gazdasági, Agrár- és Egészségtudomáyi Kar, Békéscsaba,. Felelős kiadó Dr. Bíró Tibor, egyetemi doces, mb. déká

3 Tartalomjegyzék Bevezetés Logikai alapismeretek Elleőrző kérdések az. ejezethez Gyakorló eladatok az. ejezethez Halmazelméleti alapismeretek Elleőrző kérdések a. ejezethez Gyakorló eladatok a. ejezethez Függvéyek A üggvéy ogalma A üggvéy megadása Elsőokú lieáris) üggvéy Függvéytulajdoságok Középiskolába ismertetett üggvéyek Másodokú kvadratikus) üggvéy Hatváy üggvéy Reciprok üggvéy Epoeciális üggvéy Logaritmus üggvéy Trigoometrikus üggvéyek Racioális egész üggvéy poliom) Racioális törtüggvéy Elleőrző kérdések a. ejezethez Gyakorló eladatok a. ejezethez Sorozatok, sorok A számsorozat ogalma és tulajdoságai A koverges számsorozat tulajdoságai Nevezetes számsorozatok Valós számsor Elleőrző kérdések a. ejezethez Gyakorló eladatok a. ejezethez Pézügyi és gazdaságossági számítások

4 . A péz időértéke Az egyszerű és a kamatos kamat számítása Diszkotálás Nomiális, eektív és koorm kamatláb Az iláció igyelembevétele Járadékszámítás Gyűjtőjáradék Törlesztőjáradék Beruházás gazdaságossági számítások, beruházási dötések Elleőrző kérdések az. ejezethez Gyakorló eladatok az. ejezethez Függvéyek határértéke, olytoos üggvéyek Elleőrző kérdések a 6. ejezethez Gyakorló eladatok a 6. ejezethez Diereciálszámítás A diereciálháyados ogalma és geometriai jeletése Elemi üggvéyek deriváltja, diereciálási szabályok A diereciálható üggvéyek vizsgálata A mootoitás és a derivált kapcsolata, a lokális szélsőértékhely létezéséek eltételei Kove és kokáv üggvéyek Teljes üggvéyvizsgálat Elleőrző kérdések a. ejezethez Gyakorló eladatok a. ejezethez Itegrálszámítás Határozatla itegrál primitív üggvéy) Határozott itegrál Improprius itegrál Elleőrző kérdések a 8. ejezethez Gyakorló eladatok a 8. ejezethez Mita vizsgadolgozatok

5 Megoldások Az. ejezet gyakorló eladataiak megoldása A. ejezet gyakorló eladataiak megoldása A. ejezet gyakorló eladataiak megoldása A. ejezet gyakorló eladataiak megoldása Az. ejezet gyakorló eladataiak megoldása A 6. ejezet gyakorló eladataiak megoldása A. ejezet gyakorló eladataiak megoldása A 8. ejezet gyakorló eladataiak megoldása Felhaszált irodalom

6 Bevezetés A mideapi élet évezredek óta elképzelhetetle gazdasági tevékeységek élkül. Szite ősidők óta létezik a csere ogalma, midig voltak kereskedők és árusok. A közgazdasági ogalmak évszázadoko át leírhatóak voltak a matematika egyszerű yelvezetével, a gazdaság szereplői számára elegedőek voltak az egész és a tört számok a rajtuk végzett műveletekkel ahhoz, hogy bizoyos tevékeységeket számlák vezetése, árak kalkulálása, kamatszámítás) elemezhessék. Azoba a közgazdaságta ejlődése a tizeyolcadik századba már túlőtt eze, és a külöböző gazdasági kölcsöhatások elemzésére a közgazdászokak egyre gyakrabba matematikai módszerek alkalmazásához kellett olyamodiuk. Például a keresleti görbék eplicit ábrázolása, külöböző közgazdasági szélsőérték eladatok megoldása ma már elképzelhetetle a diereciálszámítás eszközeiek alkalmazása élkül. Léo Warras volt például az, aki elállította és meg is oldotta a piaci kereslet és kíálat általáos egyesúlyára voatkozó első egyeletredszert. Napjaikba az alapvető matematikai műveltség, a klasszikus és a moder a számítógéppel is egyre jobba támogatott matematikai modellezés elegedhetetle és élkülözhetetle mide közgazdász hallgató számára. A jegyzet agyobb részébe a matematikáak azt a részét tárgyalom, amit a szakirodalom matematikai aalízis éve ismer. Összegyűjtöttem bee a több évtizedes s azo belül az 99 óta a békéscsabai közgazdasági képzésbe szerzett oktatási tapasztalataimat. Mukám sorá az eddig széles körbe haszált Dr. Cseryák László által szerkesztett Aalízis jegyzetet valamit a Sydsaeter, Kut és Hammod, Peter által írt Matematika közgazdászokak jegyzet magyar ordítását vettem alapul. A klasszikus ogalmak ismertetését követőe igyekeztem példák segítségével szemlélteti azokat, a matematikai elemzéseke túl a közgazdasági alkalmazásokat is bemutati esetekét számítástechikai eszközök és módszerek elhaszálásával. A jegyzetet olyamatosa javítai és bővítei kíváom, ezért mide észrevételek, javító szádékú javaslatak örülök, és szívese látom azokat a szakacs.attila@gk.szie.hu vagy a szakacs.attila.dr@gmail.com címe). Békéscsaba,. szeptember A szerző 6

7 . Logikai alapismeretek A matematika mit mide más tudomáyág megalapozásához kiépítéséhez, az iduláshoz ) szükségük va olya ogalmakra, amelyek más ogalmakkal em deiiálhatóak: ezeket evezzük alapogalmakak pl.: halmaz, elem, egy elem eleme egy halmazak, tulajdoság, pot, egyees, sík). Alapogalomkét általába a legegyszerűbb ogalmakat szokás választai. A logikába és a matematikába ilye alapogalom az ítélet, állítás, kijeletés). A logikai állításról midig egyértelműe eldöthető, hogy igaz-e vagy hamis, azaz egy kijeletés em lehet egyszerre igaz is meg hamis is, és ha em igaz, akkor hamis harmadik lehetőség ics). Jelölése: A, B, C. Azt, hogy egy ítélet igaz-e vagy hamis, az adott ítélet logikai értékéek evezzük. Az igaz logikai értéket, a hamis logikai értéket -val ogjuk jelöli. Matematikai ítélet például az aióma bizoyítás élkül igazak elogadott állítás) és a tétel amelyek igaz voltát az aiómák és korábba bizoyított tétetek elhaszálásával bizoyítjuk). az ítélet állítás) ogalma logikai értéke aióma tétel A logikai állításokat külöböző műveletek kapcsolhatják össze, amelyeket mi az alábbiakba ú. igazságtáblájukkal is megaduk. Ezek a műveletek a következők.. Deiíció Az A állítás egációja tagadása) a em A állítás, amely abba és csak abba az esetbe igaz, ha A hamis. Jele: A, igazságtáblája: A egáció, tagadás A A. Deiíció Az A és B logikai állítások diszjukciója az A vagy B állítás, ami abba és csak abba az esetbe hamis, ha midkét állítás hamis. Jele: A B, igazságtáblája: A B diszjukció, vagy A B A B

8 A B kojukció, és. Deiíció Az A és B logikai állítások kojukciója az A és B állítás, ami abba és csak abba az esetbe igaz, ha midkét állítás igaz. Jele: A B, igazságtáblája: A B A B A etieke kívül meg kell említei még két műveletet, két szót, amelyek szité otos szerepe va a matematikába, ezek a mide és a létezik. A két művelet em más, mit a kojukció és a diszjukció általáosítása végtele sok téyezőre. Kezdjük egy példával. Nézzük az alábbi végtele sok kiejezést tartalmazó, összetett állítást: a páratla prímszám, a páratla prímszám, az páratla prímszám. Ez rövidebbe így ogalmazható meg: Mide prímszám páratla. Nyilvávalóa ez az állítás hamis, mert létezik legalább egy) olya prímszám mégpedig a ), amely em páratla. T ) uiverzális kvator, mide. Deiíció Legye H egy alaphalmaz és T egy tulajdoság. Ekkor a mide H-beli elem redelkezik a T tulajdosággal'' állítás abba és csak abba az esetbe hamis, ha a H halmazak va legalább egy) olya eleme, amely em redelkezik a T tulajdosággal. Ez tulajdoképpe a kojukció általáosítása). Jele: T ). T ) ekziszteciális kvator, létezik. Deiíció Legye H egy alaphalmaz és T egy tulajdoság. Ekkor a létezik olya H-beli elem, amely redelkezik a T tulajdosággal'' állítás abba és csak abba az esetbe hamis, ha a H halmaz egyetle eleme sem redelkezik a T tulajdosággal. Ez tulajdoképpe a diszjukció általáosítása). Jele: T ). Köye belátható, hogy a etebb deiiált műveletekre ézve teljesülek az alábbi azoosságok. Tetszőleges A, B és C állításokra: ) A B B A, A B B A ; kommutativitás) ) A B) C A B C), A B) C A B C) ; asszociativitás) 8

9 ) A A A, A A A ; idempotecia). ) A B) C A C) B C), A B) C A C) B C) ; disztributivitás) Létezik továbbá két olya O és I kitütetett állítás ezek a hamis és az igaz állításokat jelölik, amelyekre ) O A A, I A A; 6) I A I, O A O ; ) A A I, A A O. A logikai állítások halmazá értelmeztük tehát három műveletet egáció, diszjukció, kojukció), létezik továbbá két kitütetett állítás: az O és az I. Ezek a elsorolt azoosságak teszek eleget az ilye halmazokat a rajtuk értelmezett műveletekkel együtt Boole-algebráak evezzük George Boole 8-86) agol matematikus tiszteletére). Megjegyezzük, hogy a számítógép működési elvéek alapjai a Boole-algebra azoosságai, tételei yugszaak. A eti azoosságoko kívül megemlítjük még az ú. de Morga-éle azoosságokat: mide A és B állításra: A B A B, A B A B. Az első azoosság igaz voltát szemlélteti az alábbi példa. A sikeres gazdaságmatematika vizsgához elméleti és gyakorlati részből is külö-külö legalább %-os teljesítméyt kell eléri. Mikor sikertele tehát a vizsga? Ha vagy az elméleti részből, vagy a gyakorlati részből, vagy egyikből sem sikerült %-os teljesítméyt elérük. Beszélük kell még két olya logikai műveletről, amelyek a matematikai tételek túlyomó többségéek megogalmazásaiba szerepelek..6 Deiíció Az A és B logikai állítások implikációja a ha A, akkor B állítás, ami abba és csak abba az esetbe hamis, ha A igaz és B hamis. Más szavakkal: A-ból következik B, ami azt jeleti, hogy ha A igaz, akkor B is igaz. Jele: A B, igazságtáblája: A B implikáció A B A B 9

10 Ez a deiíció első ráézésre kissé urcsáak tűik. Hogya lehet igaz az A B állítás abba az esetbe, amikor az A állítás hamis és a B igaz? Erre egyszerűe az a válasz, hogy a deiíció alapjá. Az implikáció deiíciójáak helyességét szemlélteti az alábbi példa. Milye esetbe em modok igazat az alábbi kijeletésemmel: ha vasárap jó idő lesz, akkor elmegyek kiráduli? Nyilvá csak akkor, ha vasárap jó az idő, és é mégsem metem el kiráduli. elégséges eltétel szükséges eltétel. Deiíció Tegyük el, hogy az A állításból következik a B állítás. Ekkor A-t a B elégséges eltételéek, és ugyaekkor B-t az A szükséges eltételéek evezzük. Például, a őiskolai diploma megszerzéséek szükséges eltétele a középokú C típusú yelvvizsga bizoyítváy. Tehát valakiről elegedő azt tuduk, hogy redelkezik közgazdasági őiskolai diplomával, ebből következtethetük a yelvvizsga bizoyítváy meglétére is. Viszot akiek ics yelvvizsga bizoyítváya, az em kaphat diplomát. Az utóbbi godolatmeetet támasztja alá az alábbi azoosság: mide A és B logikai állításra A B B A, ami az idirekt bizoyítási eljárás alapját is képezi..8 Példa Igazoljuk a eti azoosságot! Az azoosság igazolására elkészítjük az egyelőség bal és jobb oldalá lévő kiejezések igazságtábláját. Esetükbe a bal oldal az A B implikáció. Készítsük el a jobb oldali kiejezés igazságtábláját! Ehhez a tábla első két oszlopába elvesszük a kiejezésbe szereplő változók esetükbe A és B) összes lehetséges értékeit, majd a következő két oszlopba a B és a A összes megelelő értékeit, és végül az utolsó oszlopba képezzük a B A implikációt: A B B A B A Amit látjuk, az utolsó oszlop megegyezik az azoosságukat igazoltuk. A B implikáció deiíciójával ezzel

11 .9 Deiíció Az A és B logikai állítások ekvivaleciája az A akkor és csak akkor, ha B állítás, ami abba és csak abba az esetbe igaz, ha az A és a B állítások logikai értéke megegyezik. Jele: A B, igazságtáblája: A B ekvivalecia A B A B E művelettel kapcsolatba meg kell említei az alábbi azoosságot: mide A és B logikai állításra A B A B) B A). Megjegyezzük, hogy a továbbiakba az és, a vagy, a mide, a létezik, a ha, az akkor, az akkor és csak akkor szavakat a etebb deiiált értelembe ogjuk haszáli. A ejezetet egy érdekes törtéettel zárjuk, amely talá jól szemlélteti, hogy a matematika yelvezetébe meyire otos a potos megogalmazás. Egy csillagász, egy izikus és egy matematikus utazik a voato. Skóciá keresztül haladva a mező meglátak egy legelésző birkayájat. Megszólal a csillagász: Skóciába eketék a birkák. A izikus potosít: Skóciába létezek ekete birkák. Mire a matematikus: Skóciába létezik egy birkayáj, amelybe mide birkáak legalább az egyik oldala ekete.

12 Elleőrző kérdések az. ejezethez E.. Fogalmazzuk meg a egáció deiícióját! E.. Fogalmazzuk meg a kojukció deiícióját! E.. Fogalmazzuk meg a diszjukció deiícióját! E.. Fogalmazzuk meg a szükséges eltétel deiícióját! E.. Fogalmazzuk meg az elégséges eltétel deiícióját! E..6 Fogalmazzuk meg az implikáció deiícióját! E.. Fogalmazzuk meg az ekvivalecia deiícióját! E..8 Hozzuk el példát olya A és B állításokra, amelybe A elégséges eltétele B-ek! E..9 Hozzuk el példát olya A és B állításokra, amelybe A szükséges eltétele B-ek! E.. Igazoljuk a logikai állításokra voatkozó ) azoosságot! E.. Igazoljuk a logikai állításokra voatkozó ) azoosságot! E.. Igazoljuk a de Morga-éle azoosságokat! E.. Igazoljuk az idirekt bizoyítási eljárás alapjául szolgáló logikai azoosságot! E.. Igazoljuk az ekvivalecia és az implikációval kapcsolatos azoosságot!

13 Gyakorló eladatok az. ejezethez G.. Dötsük el az alábbi állításokról, hogy igaz-e vagy hamis: a) Mide égyzet rombusz b) Mide rombusz égyzet. c) Ha egy égyszög rombusz, akkor az égyzet. d) Ha egy égyszög égyzet, akkor az rombusz. e) Mide -re végződő természetes szám osztható -tel. ) Mide -tel osztható természetes szám -re végződik. g) Ha egy természetes szám -re végződik, akkor osztható -tel. h) Ha egy természetes szám -tel osztható, akkor -re végződik. G.. Tekitsük a következő állításokat: A: Megszereztük a élév végi aláírást gazdasági matematikából. Z: Teljesítettük a zárthelyi dolgozat követelméyeit legalább %-os eredméy). H: Teljesítettük a házi eladat követelméyeit legalább %-os eredméy). K: Megszereztük a kreditpotot gazdasági matematikából. V: Sikerült a vizsgák legalább elégséges osztályzat) gazdasági matematikából. Fogalmazzuk meg a következő kijeletéseket, értelmezzük azokat! Vaak-e közöttük egyelők? Állapítsuk meg, mi miek a szükséges, illetve elégséges eltétele! a) A Z H) b) Z H) A c) A Z H) d) Z H Z H e) V K ) A V g) K V h) Z K i) H K G.. A G.. eladat igyelembevételével dötsük el az alábbi állítások igaz vagy hamis voltát: a) Ha em teljesítjük a házi eladatot, akkor em szerezzük meg a kreditpotot. b) A sikeres vizsga a kreditpot megszerzéséek szükséges eltétele. c) A élév végi aláírás megléte a sikeres vizsga szükséges eltétele. d) Ha megva a élév végi aláírásuk, akkor sikeres a vizsgák. e) Ha megva a kreditpotuk, akkor teljesítettük a zárthelyi dolgozatot.

14 G.. Dötsük el az alábbi állítások igaz vagy hamis voltát: a) Ha a szám ullára végződik, akkor páros. b) Létezik ullára végződő páros szám. c) Mide ullára végződő szám páros szám. d) Ha a szám páros, akkor ullára végződik. e) Ha szám ullára végződik, akkor osztható tízzel. ) Ha szám tízzel osztható, akkor ullára végződik. g) Mide tízzel osztható szám ullára végződik. h) Ha a szám ötre végződik, akkor osztható öttel. i) Ha szám osztható öttel, akkor ötre végződik. j) Létezik olya öttel osztható szám, amely ötre végződik. G.. Állapítsuk meg az alábbi állítások logikai értékét, ogalmazzuk meg az állítások tagadását: a) Mide valós szám égyzete pozitív. b) Mide y valós számhoz létezik olya valós szám, amelyre y. c) Mide pozitív y valós számhoz létezik olya valós szám, amelyre y.

15 . Halmazelméleti alapismeretek Mideapjaik sorá is egyre gyakrabba ordul elő a halmaz szó haszálata, egyebet sem teszük, mit adott dolgokat bizoyos szempotok tulajdoságok) szerit azoos vagy éppe külöböző osztályokba soroluk. Beszélhetük például egy adott őiskola első évolyamos appali tagozatos hallgatóiról. A halmaz ogalma jeletős szerepet játszik a matematikába, mivel belőle kiidulva aiomatikus úto e tudomáyak mide ága elépíthető. A jegyzet céljaiak megelelőe em követhetjük ezt az utat, azoba az alapvető ogalmak és összeüggések tárgyalása mideképpe szükséges a továbbiakhoz. Ahogy az előző ejezetbe is említettük, a halmaz, az elem, egy elem eleme egy halmazak jele: A) és a tulajdoság ogalmakat alapogalomak tekitjük a matematikába. A halmazokat általába agybetűkkel, az elemeiket pedig kisbetűkkel jelöljük. Ha hagsúlyozi akarjuk, hogy egy halmaz elemei is halmazok, akkor a halmaz helyett halmazredszerről beszélük: ilyekor ezt a halmazt esetleg írott agybetűvel, elemeit yomtatott agybetűkkel, ezek elemeit pedig kisbetűkkel jelöljük, hogy a közöttük lévő hierarchiát érzékeltessük. Azt a halmazt, amelyek egyetle eleme sics, üres halmazak evezzük, és szimbólummal jelöljük. Ha A egy halmaz és T egy olya tulajdoság, amely mide dologra elemre) vagy igaz, vagy hamis, akkor létezik egy olya A: T ) vagy A T ) módo jelölt halmaz, amelyek potosa akkor eleme, ha A és T) igaz. A halmazt megadhatjuk még elemeiek elsorolásával is, például: {,,, } az egyjegyű prímszámok halmaza. üres halmaz halmazok megadása. Deiíció Az A és a B halmaz egyelő, ha A akkor és csak akkor teljesül, ha B. halmazok egyelősége A deiíció alapjá, például, az {,, } és az {,,,, } halmazok egyelők.. Deiíció Az A halmazt a B halmaz részhalmazáak evezzük, ha mide A eseté B is teljesül. Jele: A B. A B részhalmaz. Deiíció A H halmaz összes részhalmazaiak halmazát a H halmaz hatváyhalmazáak evezzük. Jele: H). Ekkor H-t alaphalmazak is szokás evezi. alaphalmaz hatváyhalmaz Például, ha H,,, akkor H ),,,,,,,,,, H.

16 . Feladat Bizoyítsuk be, hogy ha a H halmaz elemből áll, akkor a H hatváyhalmaza elemet tartalmaz. Megjegyzés. Bármely A halmaz eseté A A. Ha A B és A B, akkor A-t a B valódi részhalmazáak is szokták evezi. Az üres halmaz bármely halmazak részhalmaza. Jegyzetükbe a középiskolából megismert számhalmazokra az alábbi jelöléseket ogjuk alkalmazi: N ={,,, } a természetes számok halmaza; Z ={,,,,, } az egész számok halmaza; Q a racioális számok halmaza; R a valós számok halmaza. A továbbiakba legye H egy alaphalmaz, A H, B H. A komplemeter halmaz. Deiíció Az A halmaz H alaphalmazra voatkozó komplemeter kiegészítő) halmazáak azt a halmazt evezzük, amely H-ak A-hoz em tartozó elemeiből áll. Jelbe: A H A. Az A halmaz komplemeterét az alábbi ábrá ú. Ve-diagramo) a voalkázott rész jelöli.. ábra AU B uió.6 Deiíció Az A és B halmaz uiójáak egyesítéséek) azt az A B halmazt evezzük, amelyek akkor és csak akkor eleme, ha az A és B közül legalább az egyikek eleme. Jelbe: A B { H a A B} Megjegyezzük, hogy a diszjukció deiíciója értelmébe az A B halmaz az összes olya elemből áll, amelyek elemei vagy A-ak, vagy B-ek, vagy midkét említett halmazak. 6

17 . Deiíció Az A és B halmaz metszetéek közös részéek) azt az A B halmazt evezzük, amelyek akkor és csak akkor eleme, ha az A-ak is és a B-ek is eleme. Jelbe: A B { H A B}. A B metszet Az uió és metszet műveletét az alábbi Ve-diagramoko a sötétebb részek szemléltetik:. ábra. ábra Köye belátható, hogy a etebb deiiált halmazműveletekre ézve teljesülek az alábbi a logikaiakhoz hasoló azoosságok. Tetszőleges A, B és C H alaphalmazbeli halmazokra: ) A B B A, A B B A; kommutativitás) ) A B) C A B C), A B) C A B C) ; asszociativitás) ) A B) C AC) B C), A B) C AC) B C) ; disztributivitás) ) A A, H A A ; ) H A H, A ; 6) A A A, A A A; idempotecia). ) A A H, A A. Így tehát a H alaphalmaz összes részhalmazaiak halmaza a H halmaz hatváyhalmaza) az uió, a metszet és a komplemeter-képzés műveletére ézve Boole-algebrát alkot, amelyet halmazalgebráak evezük. halmazalgebra

18 A eti azoosságoko kívül itt is megemlítjük még az ú. de Morga-éle azoosságokat. Mide A és B adott H alaphalmazbeli halmazra: A B A B, A B A B. A \ B halmazok külöbsége.8 Deiíció Az A és B halmaz A \ B külöbségéek azt a halmazt evezzük, amely az A halmazak a B halmazba em tartozó elemeiből áll. Jelbe: A \ B { H A B}. A halmaz külöbségéek műveletét az alábbi Ve-diagramo a sötét rész szemlélteti. belül. ábra.9 Példa Legye H a pozitív egyjegyű természetes számok halmaza, eze A a páros számok halmaza, B a páratla számok halmaza, C a prímszámok halmaza, vagyis Ekkor például: H={,,,,, 6,, 8, 9}, A={,, 6, 8}, B={,,,, 9}, C={,,, }. A B, B C {,, }, B C {,,,,, 9}, B\C={, 9}. 8

19 E.. E.. E.. E.. E.. E..6 E.. E..8 E..9 Elleőrző kérdések a. ejezethez Mit értük halmaz, illetve elem alatt? Hogya adjuk meg a halmazokat? Fogalmazzuk meg a hatváyhalmaz deiícióját! Fogalmazzuk meg a halmaz komplemeteréek a deiícióját! Fogalmazzuk meg két halmaz metszetéek a deiícióját! Fogalmazzuk meg két halmaz uiójáak a deiícióját! Soroljuk el a halmazok uiójáak és metszetéek tulajdoságait! Fogalmazzuk meg két halmaz külöbségéek deiícióját! Ve-diagramo szemléltessük az uió és a metszet disztributív tulajdoságát! E.. Ve-diagramo szemléltessük a de Morga-éle azoosságot! E.. Ve-diagramo szemléltessük, hogy a halmazkivoás művelete em kommutatív, em asszociatív! 9

20 Gyakorló eladatok a. ejezethez G.. Vizsgáljuk meg korlátosság szempotjából az alábbi halmazokat, állapítsuk meg azok potos alsó és potos első korlátját! Va-e miimális legkisebb), illetve maimális legagyobb) eleme a halmazokak? a) A,,,,,, 9 {az egy és a kétjegyű prímszámok halmaza} b) B,, 6, 8,,, a páros számok halmaza c) d) C :,,, 6 D :,,, e) E ) :,,, G.. Adjuk meg az alábbi egyelőtleségek megoldását valós itervallumok segítségével! a) 8 b) c) d) e) 8 ) 8

21 . Függvéyek A mideapi életbe is gyakra találkozuk a üggvéy ogalmával, ha em is evezzük evé azt. Godoljuk csak például őiskolák első évolyamos hallgatóiak születésapjaira: egy adott évbe mide hallgatóak va egy és csakis egy születésapja. Ezzel, hogy a hallgatókhoz hozzáredeltük a születésapjukat, máris egy üggvéyt deiiáltuk. Itt megjegyezzük, hogy lehetek olya hallgatók, akik születésapja megegyezik, illetve lehetek olya apok, amelyeke sekiek sics születésapja. Akárcsak a matematikába, úgy a közgazdaságtaba is, a üggvéyek agyo otos szerepe va. Rátérük e ogalom ismertetésére, eek jobb megértéséhez és a korrekt deiícióhoz) szükségük va az alábbi éháy deiícióra.. A üggvéy ogalma. Deiíció Legye A, B halmaz, a A, b B. Az a,b) szimbólumot redezett elempárak evezzük, ha az a, b ) a, b ) egyelőség akkor és csak akkor teljesül, amikor a a és b b. redezett elempár. Deiíció Legye A, B halmaz, a A, b B. Az A és B halmaz A B Descartes szorzata az A és B halmazok elemeiből képzett összes redezett elempár halmaza. Jelbe: A B a, b) a A; b B olvasd: A kereszt B). A B Descartes szorzat és. Példa Ha a,a A B B A A és B b, b b, akkor a, b ); a, b ); a, b ); a, b ); a, b ); a, b ), b, a); b, a); b, a); b, a); b, a); b, a) Amit az a eti példából is látszik A B eseté: A B B A.. Deiíció Az A B Descartes szorzat bármely A B részhalmazát relációak evezzük. Ha a, b), akkor a az relációba áll b-vel más szavakkal az az a-hoz a b-t redeli hozzá. reláció hozzáredelés

22 üggvéy üggvéyérték képhalmaz értelmezési tartomáy értékkészlet. Deiíció Az A B Descartes szorzat részhalmazát üggvéyek evezzük, ha mide a A elemhez legeljebb egy olya b B elem létezik, amelyre a, b) ; ekkor az a, b) jelölés helyett az a)=b jelölést ogjuk alkalmazi. Ekkor b-t az a elem képéek az a helye vett üggvéyértékek, a potbeli helyettesítési értékek), az a-t pedig a b elem ősképéek evezzük. A üggvéy tulajdoképpe egyértelmű hozzáredelés.).6 Deiíció A B halmazt a üggvéy képhalmazáak evezzük.. Deiíció Az üggvéy értelmezési tartomáya a D halmaz. { a A létezik olya b B, amelyre a) b}.8 Deiíció Az üggvéy értékkészlete az R = { b B létezik olya a A, amelyre a) b} halmaz. Legye üggvéy A B. Ha D = A, akkor A-t a B-be képező üggvéyről beszélük. Jele: : AB. Más szavakkal: : AB A-t a B-be képező üggvéy A-t a B-re képező üggvéy.9 Deiíció Az : AB A-t a B-be képező üggvéy) az A B Descartes szorzat olya részhalmaza, amelyre mide a A elemhez egy és csakis egy olya b B elem létezik, amelyre a, b), vagy, ahogy etebb említettük, a)=b). Ha D A és R B, akkor -et az A-t a B-re képező üggvéyek evezzük. Az alábbi két ábra az : AB A-t a B-be képező üggvéy és az : AB A-t a B-re képező üggvéy közötti léyegi külöbséget szemlélteti.. ábra. ábra

23 . A üggvéy megadása A továbbiakba a üggvéy ogalmát midig a.9 deiíció értelmébe ogjuk haszáli. Ezek szerit a üggvéy megadásához három dolog szükséges: ) egy A halmaz mit értelmezési tartomáy ) egy B halmaz mit képhalmaz; ) egy hozzáredelési szabály, amely az A halmaz mide eleméhez a B halmaz potosa egy elemét redeli hozzá. A üggvéy megadása. Példa Legye A={a, b, c, d} és B={,, 6, 8}. Ekkor például az A B Descartes szorzat ={ c, ), b, ), a, 8) } részhalmaza üggvéy. A deiícióba említett jelöléssel élve: c)=, b)=, a)=8. Azoba a g ={ b, ), b, ), c, 8) } részhalmaz em üggvéy, mivel a b A elemhez két olya külöböző B-beli elem tartozik a és a ), amellyel b,) g és b,) g. Megjegyezzük még, hogy az üggvéy eseté egyetle olya B-beli y elem sem létezik, amelyre d, y) teljesüle. Az üggvéyt és a g relációt alábbi ábra szemlélteti:. ábra. ábra. Deiíció Legye A tetszőleges halmaz. Az : A R üggvéyt valós üggvéyek és D R eseté az : D R üggvéyt egyváltozós valós valós-valós) üggvéyek evezik. Ekkor a kétdimeziós koordiátaredszerbe az, )), D potok halmazát az üggvéy graikojáak ábrájáak, görbéjéek, grájáak) evezzük. valós üggvéy a üggvéy graikoja

24 Megjegyzés: a halmazok egyelőségéből következik, hogy két : AB és g: CD üggvéy akkor és csak akkor egyelő, ha A=C és )=g) mide A eseté. Például az és a : R R ) = g:, R két külöböző üggvéy, íme a graikojuk: g) =. ábra.6 ábra Megjegyezzük, hogy a példába szereplő g üggvéy az üggvéy leszűkítése. Íme a üggvéy leszűkítéséek potos deiíciója. a üggvéy leszűkítése. Deiíció Legye : A B A-t a B-be képező üggvéy és H A. Ekkor a H : H B, )=) H ) H üggvéyt az üggvéy H-ra voatkozó leszűkítéséek evezzük. ivertálható üggvéy a üggvéy iverz. Deiíció Az : A B A-t a B-re képező üggvéyt ivertálhatóak kölcsööse egyértelmű leképezések) evezzük, ha mide a A, a A és a a eseté a) a). Ekkor azt a : B A üggvéyt, amely mide a)=b eseté a b-hez az a-t redeli hozzá, az üggvéy iverzéek evezzük. A em ivertálható és az ivertálható üggvéy közötti külöbséget az alábbi két ábra szemlélteti.

25 . ábra.8 ábra Az előző példáál maradva, az : R R, ) = üggvéy em ivertálható, mert például ) ). Azoba g: [,] R, g) = üggvéy ivertálható, és eek iverze a g : [;] [;], ) üggvéy. g =.9 ábra. Deiíció Legye g: A B A-t a B-re képező üggvéy és : B C B-t a C-be képező üggvéy. Ekkor az g : A C, g) ) g )) A) üggvéyt az és a g üggvéy összetett üggvéyéek evezzük. Ekkor az -et külső és a g-t belső üggvéyek evezzük. összetett üggvéy külső üggvéy belső üggvéy A deiícióba közölt kostrukciót az alábbi ábra szemlélteti.. ábra

26 Ahogy a eti ábrából is látszik, az összetett üggvéy eseté em midegy, hogy melyik a belső, és melyik a külső üggvéy. Az alábbiakba ezt a külöbséget a üggvéyek graikojaival szemléltetjük.. Példa Legye : R R, ) si és g : R R, g ).. ábra. ábra Ekkor h g R R, h ) ) si :. ábra és h g : R R, h ) gsi ) si ) si. ábra Az alábbiakba bemutatjuk a legegyszerűbb egyváltozós valós üggvéyt. 6

27 Az alakú üggvéy, ahol a és b valós számok.. Elsőokú lieáris) üggvéy : R R, ) = a +b Az a számot a üggvéy meredekségéek is szokták modai; a= esetbe kostas üggvéyről beszélük.. ábra A üggvéy graikoja egy egyees, amely az y tegelyt a b potba metszi. Pozitív a eseté a üggvéy szigorúa mooto övekvő, egatív meredekség eseté pedig szigorúa mooto csökkeő. Értékkészlete a eseté a valós számok halmaza..6 Példa A ogyasztási üggvéy) A Keyes-i makroökoómiába a javakra és a szolgáltatásokra ordított C teljes ogyasztási kiadást az Y emzeti jövedelem üggvéyéek tekitik, azaz C = Y). Számos modellbe eltételezik, hogy a ogyasztási üggvéy lieáris, vagyis C = a + b Y. Itt a b meredekséget ogyasztási határhajladóságak evezik.. Példa A közgazdaságtaba a keresleti-kíálati redszerbe általába szité lieáris modellt eltételezek: D = a b P, S = + P, ahol P az egységár, továbbá a és b a D keresleti üggvéy pozitív paraméterei, és pedig az S kíálati üggvéy szité pozitív) paraméterei. Az ehhez hasoló üggvéyek otos szerepet játszaak az ú. kvatitatív közgazdaságtaba, ahol egy kokrét árucikk piacát a eti keresleti és kíálati üggvéyekkel modellezik. Vizsgáljuk meg, mikor va a kereslet egyesúlyba a kíálattal. Nyilvá a P egyesúlyi árak a keresletet a kíálattal egyesúlyba kell hozia, azaz P P eseté D S, vagyis a bp P. Ie a b ) P. Az egyesúlyi meyiséget jelölje Q a bp P. Következésképpe az egyesúly eltétele

28 a P, b a a b Q a b =. b b Ismerve az a, b, és paraméterek értékeit modellük teljes lee meg tudák modai az egyesúlyi árat és az egyesúlyi meyiséget. A későbbiekbe ogjuk még említei az abszolútérték-üggvéyt. Íme a graikoja: : R R, ) abs,, ha ha ;..6 ábra 8

29 . Függvéytulajdoságok Most megismerkedük az egyváltozós valós üggvéyek éháy jellemző tulajdoságával..8 Deiíció Legye D R és :D R. Azt az a D számot, amelyre a)= az üggvéy zérushelyéek evezzük. zérushely.9 Deiíció Az üggvéyt mooto övekvőek evezzük az X D halmazo, ha mide, X, eseté ) ). Ha a üggvéyértékek között szigorú egyelőtleség jel va, akkor szigorúa mooto övekvő üggvéyről beszélük. mooto övekvő üggvéy. Deiíció Az üggvéyt mooto csökkeőek evezzük az X D halmazo, ha mide, X, eseté ) ). Ha a üggvéyértékek között szigorú egyelőtleség jel va, akkor szigorúa mooto csökkeő üggvéyről beszélük. mooto csökkeő üggvéy. Deiíció Az a D számot az üggvéy lokális vagy helyi miimumhelyéek evezzük, ha a-ak létezik olya K köryezete, hogy mide K D a) eseté a) ). lokális miimumhely. Deiíció Az a D számot az üggvéy lokális vagy helyi maimumhelyéek evezzük, ha a-ak létezik olya K köryezete, hogy mide K D a) eseté a) ). A lokális miimumhely és a lokális maimumhely közös elevezése lokális szélsőértékhely.. Deiíció Az :D R üggvéyt párosak evezzük, ha mide D eseté D és ) ). lokális maimumhely lokális szélsőértékhely páros üggvéy. Deiíció Az :D R üggvéyt páratlaak evezzük, ha mide D eseté D és ) ). páratla üggvéy 9

30 Folytatjuk a evezetes egyváltozós valós üggvéyek bemutatását. Az alábbiakba éháy a középiskolából megismert egyváltozós valós üggvéyt részletezük. Az. Középiskolába ismertetett üggvéyek.. Másodokú kvadratikus) üggvéy : R R, ) a b c a, b, c R, a ) üggvéy. E üggvéy graikoját paraboláak evezik. Itt is mit általába a üggvéy graikojáak vázolásakor haszos megadi a választ az alábbi kérdésekre:. Vaak-e a üggvéyek zérushelyei?. Hol pozitív, hol egatív a üggvéy jeltartási itervallumok)?. Hol övekvő, hol csökkeő a üggvéy mootoitási itervallumok)?. Hol vaak a üggvéy lokális szélsőértékhelyei? Az első kérdésre b ac eseté a választ az a b c másodokú egyelet megoldó-képlete szolgáltatja: b b ac a,. A második és harmadik kérdéssel most em oglakozuk, a egyedik kérdésre a választ bizoyítás élkül közöljük a későbbiekbe ezeket majd részletese tárgyaljuk). Az : R R, ) a b c üggvéy lokális szélsőértékhelye az b b pot, amelyek értéke ) c. Ez a pot a eseté lokális a a miimumpot, míg a eseté lokális maimumpot.. Példa Az : R R, ) a b c üggvéy graikoja, ha ) 8 ) 6) és ) 8 ) 6). ábra.8 ábra

31 .. Hatváy üggvéy : R R, ) =, N Páros kitevő eseté a üggvéy a,] itervallumo szigorúa mooto csökkeő, a [, ) itervallumo szigorúa mooto övekvő, az = pot lokális miimumhely az ábrá eseté a olyamatos voal szemlélteti). Páratla kitevő eseté a üggvéy mideütt szigorúa mooto övekvő eseté az ábra szaggatott voala szemlélteti). Páros kitevő eseté a üggvéy páros, míg páratla kitevő eseté páratla..9 ábra.. Reciprok üggvéy : R \ {} R, ) Graikoját hiperboláak evezik. Értelmezési tartomáyáak midkét,) és, ) részitervallumá szigorúa mooto csökkeő, értékkészlete a ullától külöböző valós számok halmaza. Páratla üggvéy.. ábra

32 .. Epoeciális üggvéy : R R, ) a, a, a Az a esetbe szigorúa mooto övekvő, míg a eseté szigorúa mooto csökkeő. Értékkészlete a pozitív valós számok halmaza. a a. ábra.. Logaritmus üggvéy a : R R, ) log, a, a Az : R R, ) a epoeciális üggvéy iverz üggvéye. Az a esetbe szigorúa mooto övekvő, míg a eseté szigorúa mooto csökkeő. Értékkészlete a valós számok halmaza. Zérushelye. a a. ábra

33 ..6 Trigoometrikus üggvéyek : R R, ) si, : R R, ) cos, A siusüggvéy. ábra) periodikus, periódusa. Páratla üggvéy. Zérushelyei: k, maimumhelyei: k, miimumhelyei k, k Z). Értékkészlete: [, ]. A cosiusüggvéy. ábra) periodikus, periódusa. Páros üggvéy. Zérushelyei: k, maimumhelyei: k, miimumhelyei k, k Z). Értékkészlete: [, ].. ábra. ábra : R \ k ) R, ) tg : R \ k R, ) ctg A tagesüggvéy. ábra) értékkészlete a valós számok halmaza. A üggvéy periodikus, periódusa. Páratla üggvéy. Zérushelyei: k, k Z). A, itervallumo olytoos, szigorúa mooto övekvő. A cotagesüggvéy.6 ábra) értékkészlete a valós számok halmaza. A üggvéy periodikus, periódusa. Páratla üggvéy. Zérushelyei: k, k Z). A, itervallumo olytoos, szigorúa mooto csökkeő.

34 . ábra.6 ábra

35 .6 Racioális egész üggvéy poliom) R R, ) a a a a, a R. : Az a esetbe az a -t őegyütthatóak és -t a poliom okáak evezik, jele: deg =. Ilyekor -edokú valós együtthatójú poliomról beszélük. i gyöktéyező.6 Tétel Ha a az -edokú poliom zérushelye, akkor elírható alakba, ahol g valamely ) -ed okú poliom. Ekkor az a) ) a) g ) -t gyöktéyezőek evezzük. k Ameyibe ) a) g ) és g a), akkor k-adokú gyöktéyezőről vagy k-szoros zérushelyről beszélük. Bizoyítás. Ha a az poliom zérushelye, akkor a) és ) ) a) a a a a aa aa aa a) a a ) a a ) a a). Felhaszálva az a a) a a a ) azoosságot, az utóbbi összeg mide tagjából kiemelhető az a) téyező, és a megmaradt rész ) -ed okú poliom lesz. Állításukat igazoltuk. a poliom zérushelyeiek száma. Tétel Az -edokú valós együtthatójú poliomak legeljebb valós gyöke va, mégpedig páros eseté páros számú, míg páratla eseté páratla számú gyöke a többszörös gyökök igyelembevételével)..8 Példa Írjuk el az poliomot gyöktéyezős alakba. : R R, ) 8 Megoldva az ) egyeletet, vagyis megkeresve a 8 egyelet gyökeit kapjuk, hogy és. Ekkor a.6 tétel alapjá ) 8 ) ).

36 .9 Példa Vázoljuk az : R R, ) ) ) ) üggvéy graikoját. Először meghatározzuk a üggvéy zérushelyeit, majd a jeltartási itervallumait: vagyis azokat az itervallumokat, amelyeke a üggvéy értéke egatív, illetve azokat amelyeke pozitív. Köye látható, hogy az kétszeres, az egyszeres és az háromszoros zérushelye -ek. A üggvéy értéke ezekbe a potokba ulla, és csakis ezekbe a potokba egyelő ulla. Tehát az összes többi potba em ulla, vagyis vagy pozitív, vagy egatív. A üggvéy zérushelyei a számegyeest égy itervallumra osztják:, ),, ),, ),, ). Ezek midegyiké a üggvéy álladó előjelű: vagy pozitív, vagy egatív. Kiszámítva a üggvéy értékét például az 6 potba kapjuk, hogy 6)>, ezért az egész, ) itervallumo a üggvéy pozitív. Ugyais, ha valamilye -től agyobb, például az potba a üggvéy értéke egatív lee, akkor az üggvéyek az, ) itervallumo még egy zérushelye lee. Hasoló módo kapjuk, hogy mivel például ), ezért a, ) itervallumo a üggvéy egatív. A, ) itervallumo az szité egatív, mivel például ) és végül az ) egyelőtleségből kapjuk, hogy a, ) itervallumo a üggvéy pozitív. A kapott eredméyeket az alábbi ábrá szemléltetjük:. ábra Most megvizsgáljuk, hogya viselkedik a üggvéy a zérushelyek köryezetébe. Az potba a üggvéy pozitívból megy át egatívba, az = potba egatívból pozitívba, míg az = pot köryezetébe az graikoja alulról ériti az tegelyt. Az eredméyt a.8 ábra szemlélteti. Végül összekötjük a hiáyzó részeket, és a többi helye úgy vázoljuk, mit a hatodokú hatváyüggvéyt. Az graikoját a.9 ábrá láthatjuk..8 ábra.9 ábra 6

37 . Racioális törtüggvéy : DR ) a... a a a g ) =, ahol m bm... b b b h ) a, b. m E üggvéy három evezetes potját otos ismeri. zérushely hézagpot póluspot. Deiíció Ha g ) és h ), akkor zérushelye az -ek. Ha k-szoros zérushelye g-ek és l-szeres zérushelye h- ak, akkor k ) g ) )= l ) h ) és k l eseté -t az üggvéy hézagpotjáak, k < l eseté pedig az póluspotjáak evezzük. Megjegyezzük, hogy a hézagpot és póluspot em tartozik a üggvéy értelmezési tartomáyához. poliomok maradékos osztása. Tétel Legyeek P és Q poliomok, és tegyük el, hogy a P okszáma agyobb vagy egyelő, mit a Q okszáma. Ekkor létezek olya q és r egyértelműe meghatározott poliomok, amelyekre mide R eseté P ) q ) Q ) r ), ahol az r poliom okszáma kisebb, mit a Q poliomé, továbbá Q ) eseté P ) r ) q ). Q ) Q ). Példa Vázoljuk az : R\ ; ; R g ) ) h ).) üggvéy graikoját. A eladatot több lépésbe oldjuk meg.. Lépés Meghatározzuk a üggvéy evezetes potjait hézagpot, póluspot, zérushely). Ehhez a számláló és a evező gyökeit szükséges ismeri. A számláló gyökei legyeek,, és. Ekkor a.6 tétel alapjá g ) = ) ) ) ) Felbotva a zárójelet, továbbá eltételezve, hogy a gyökök egész számok, kapjuk, hogy a g poliom gyökei a poliom szabad tagjáak -ek) az osztói közül kerülek ki.

38 Kiszámítva a h poliom értékét a,,,, 6, 8,, helyeke kapjuk, hogy g) = = és =. Ezért a.6 tétel szerit g ) ) g ). A g poliomot a. tétel alapjá ú. poliom-osztással határozzuk meg: : 8 8 poliom-osztás 8 6 Hasolóa elleőrizhető, hogy a poliom gyöke az és g ) 8 Ie már a másodokú egyelet megoldó-képlete alapjá köye kapjuk, hogy és. Összeoglalva, az racioális törtüggvéy számlálója elírható gyöktéyezős alakba és eek gyökei: - kétszeres, és egyszeres gyök. Hasolóa kapjuk, hogy az adott racioális törtüggvéy h evezőjéek gyökei: vagyis a h elírható alakba. Következésképpe: ) g ) 8 ) 6) g ) ) ) ), és, h ) ) ) ) g ) h ) ) ) ) ) ) ) a üggvéy hézagpotja: a számláló és a evező közös gyöke), a üggvéy póluspotjai: és csak a evező gyökei), a üggvéy zérushelyei: és csak a számláló gyökei)., 8

39 Megjegyzés: A törtüggvéyt, hézagpotjáak ismeretébe, egyszerűbb alakba lehet elíri, és ezt javasoljuk midig megtei! Célszerű a további elemzésél a üggvéyek az egyszerűsítés utá kapott alakját vizsgáli. Folytatva a példa megoldását a továbbiakba üggvéyükek az : R\-; -; R g ) ) ) ) ).) h ) ) ) alakba elírt változatát vizsgáljuk. Felhívjuk a igyelmet arra, hogy az.) és a.) elírás egy és ugyaazt a üggvéyt adja meg.. Lépés Határozzuk meg a üggvéy jeltartási itervallumait hol pozitív, hol egatív a üggvéy értéke)! Ehhez a poliom vázolásáál már ismertetett eljárásukat ogjuk alkalmazi. Függvéyük a póluspotba, ) és a hézagpotba ) ics értelmezve, ulla értéket csak a zérushelyeke és ) vesz el. Tehát az összes többi potba a üggvéy értéke vagy pozitív, vagy egatív. Esetükbe a üggvéy evezetes potjai a számegyeest hat itervallumra botják:, ),, ),,),, ),,),, ) és az elmodottakat igyelembe véve, eze itervallumok midegyiké a üggvéy értéke álladó előjelű vagy mideütt pozitív, vagy mideütt egatív). Tehát aak megállapításához, hogy az említett itervallumoko milye előjelű a üggvéy, elegedő az adott itervallum egy potjába kiszámítai a üggvéy értékét. Elvégezve a számításokat kapjuk, hogy például ),,), ),,),,) és ). Ezért a üggvéy értéke a, ), az, ) és a, ) itervallumoko pozitív, míg a, ), a,) és a,) itervallumoko egatív. A üggvéy jeltartási itervallumait szemléletese így ogjuk ábrázoli:. Lépés Hogya viselkedik a üggvéy a evezetes potjai köryezetébe? A zérushely köryezetébe törtéő vizsgálat hasoló a poliom zérushelyéek köryezetébe végzett vizsgálathoz. A póluspotba a üggvéyek ú. üggőleges aszimptotája va ezekbe a potokba a üggvéy hasolóa viselkedik, mit a reciprok-üggvéy az = pot köryezetébe: a -hez vagy a -hez tart, attól üggőe, hogy pozitív vagy egatív értéket vesz-e el. A hézagpotba a üggvéy ics értelmezve, így ezt a potot a üggvéy graikojá egy üres körrel szemléltetjük: 9

40 . ábra Ezek utá, ahol ez már lehetséges esetükbe a és a pot között), megrajzoljuk a graikot összekötjük aak hiáyzó részeit.. Lépés. Hogya viselkedik a üggvéy a -be és a -be, va-e vízszites vagy erde aszimptotája, metszi-e a üggvéy graikoja az aszimptotáit? Megit csak poliom-osztást alkalmazva kapjuk, hogy így a. tétel alapjá ++ : + = ) + 8. Köye belátható, hogy az abszolút-értékbe elég agy -ekre a 8 8, ) ha elég agy kiejezés értéke közel áll a ullához, és ezért a -be és a -be az üggvéy úgy viselkedik, mit az F : R R, F ) üggvéy. Ilyekor az y = egyeest a üggvéy erde aszimptotájáak is evezik. Az elmodottakat összeoglalva kapjuk a üggvéy graikojáak vázlatát:

41 . ábra Az alábbi ábra az üggvéy graikojáak a Mapple V. szotvercsomag segítségével szerkesztett változatát mutatja:. ábra. Példa Vázoljuk az üggvéy graikoját. : R\ ; ; ; R, ) ) ) ) ) ) Az előző példába bemutatott eljáráshoz hasolóa a részletes elemzéseket mellőzve az alábbiakat kapjuk. A számláló gyökei:,,. A evező gyökei:,,,. Hézagpot:. Póluspot:, és üggőleges aszimptoták). Zérushely: és.

42 A hézagpot ismeretébe most is mit mide esetbe egyszerűsítük. Tehát ) ) ) ) ) ). Jeltartási itervallumok: A üggvéy graikojáak vázolása a evezetes potok köryezetébe:. ábra Végül a üggvéy viselkedése a -be és a -be:, vagyis az y= egyees az tegely) a üggvéy vízszites aszimptotája. Az elmodottakat összeoglalva kapjuk a üggvéy graikojáak vázlatos alakját:. ábra 6 6 ) ) ) ) ) )

43

44 illetve a Mapple V. szotvercsomag által készített változatát:. ábra. Példa Vázoljuk az üggvéy graikoját. : R\ ; ; ; R ) ) ) ) ) ) Az előző példába ismertetettekhez hasolóa az alábbiakat kapjuk első ráézésre ez a üggvéy em sokba külöbözik a. példába szereplő üggvéytől ez így is va, meg ics is így). A számláló gyökei:, kétszeres gyök,. A evező gyökei:,,,. Hézagpot:. Póluspotok:, és üggőleges aszimptoták). Zérushelyek: és. A hézagpot ismeretébe most is mit mide esetbe egyszerűsítük. Ekkor Jeltartási itervallumok: ) ) ). ) ) ) A üggvéy graikojáak vázolása a evezetes potok köryezetébe:

45 .6 ábra Végül a üggvéy viselkedése a -be és a -be: ) ) 8 8 ) ) ) ) vagyis az y= egyees a üggvéy vízszites aszimptotája. Az alábbi ábrá a üggvéy graikoját láthatjuk.. ábra Megjegyzés: A racioális törtüggvéy vízszites és erde aszimptotáiak meghatározásáál az alábbi három esetet külöböztethetjük meg. ) Ha a számláló okszáma kisebb a evező okszámáál, akkor az y= egyees az tegely) a üggvéy vízszites aszimptotája pl. a. példa). ) Ha a számláló okszáma megegyezik a evező okszámával, akkor az y=c alakú egyees a üggvéy vízszites aszimptotája, ahol C a számláló őegyütthatójáak és a evező őegyütthatójáak háyadosa pl. a. példa). ) Ha a számláló okszáma eggyel agyobb a evező okszámáál, akkor egy y=k+b alakú egyees a üggvéy erde aszimptotája, amit poliom-osztással kaphatuk meg. Ekkor a üggvéy graikojáak és a erde aszimptotájáak metszéspotjait a poliom-osztáskor keletkezett maradék zérushelyei adják pl. a. példa).

46 Elleőrző kérdések a. ejezethez E.. A redezett elempár deiíciója. E.. A Descartes szorzat deiíciója. E.. Határozzuk meg az {,,, } és az {, 6, } halmazok Descartes szorzatát! E.. A üggvéy deiíciója. E.. A üggvéy értelmezési tartomáyáak deiíciója. E..6 A üggvéy értékkészletéek deiíciója. E.. Az A-t a B-be képező üggvéy deiíciója. E..8 Az A-t a B-re képező üggvéy deiíciója. E..9 Mi a külöbség az A-t a B-be és az A-t a B-re képező üggvéy között? E.. Az ivertálható üggvéy deiíciója. E.. A üggvéy iverzéek a deiíciója. E.. A üggvéy leszűkítéséek deiíciója. E.. Az összetett üggvéy deiíciója. E.. A mooto övekvő üggvéy deiíciója. E.. A mooto csökkeő üggvéy deiíciója. E..6 A üggvéy lokális miimumhelyéek deiíciója. E.. A üggvéy lokális maimumhelyéek deiíciója. E..8 A páros üggvéy deiíciója. E..9 A páratla üggvéy deiíciója. E.. Jellemezzük a lieáris üggvéyt! E.. Jellemezzük a másodokú üggvéyt! E.. Jellemezzük a hatváy üggvéyt! E.. Jellemezzük a reciprok üggvéyt! E.. Jellemezzük az epoeciális üggvéyt! E.. Jellemezzük a logaritmus üggvéyt! E..6 Jellemezzük a trigoometrikus üggvéyeket! 6

47 Gyakorló eladatok a. ejezethez G.. Jellemezzük az alábbi lieáris üggvéyt, vázoljuk aak graikoját. G...a) : R R, ) G...b) : R R, ) G...c) : R R, ) G...d) : R R, ) G...e) : R R, ) G...) : R R, ) G...g) : R R, ) G...h) : R R, ) 8 G...i) : R R, ) 8 G...j) : R R, ) 8 G...k) : R R, ) 8 G.. Jellemezzük az alábbi üggvéyt, vázoljuk aak graikoját. G...a) : R\{} R, G...b) : R\{} R, G...c) : R\{} R, G...d) : R\{-6} R, ) ) ) 6 ) 6 G.. Jellemezzük az alábbi másodokú üggvéyt, vázoljuk aak graikoját. G...a) : R R, ) G...b) : R R, ) G...c) : R R, ) G...d) : R R, G...e) : R R, ) ) ) ) G...) : R R, ) ) G...g) : R R, ) ) G...h) : R R, )

48 G...i) : R R, ) G...j) : R R, ) G...k) : R R, G...l) : R R, ) ) ) ) G...m) : R R, ) ) G...) : R R, ) ) G...o) : R R, ) ) G...p) : R R, ) ) G...q) : R R, ) G...r) : R R, ) G...s) : R R, ) G...t) : R R, ) G.. Valamely termék ezer darabjáak előállítási költségét a üggvéy, árbevételét pedig a K : K ) B : B ) 8 üggvéy adja meg ezer euróba, ahol. a) Ábrázoljuk a K és a B üggvéyt közös koordiátaredszerbe)! b) Meyi bevétel övekedéssel jár, ha ezer darab helyett + ezer darab terméket értékesítük? c) Legalább háy ezer) terméket kell gyártauk és értékesíteük ahhoz, hogy a termelés yereséges legye? d) Mekkora lesz a termelés sorá a yereségük? Adjuk meg és ábrázoljuk az N yereség-üggvéyt? e) Háy ezer) termék gyártásáál lesz a költség miimális? ) Mikor háy ezer termék gyártása eseté) lesz a termelés gazdaságos? g) Mikor háy ezer termék gyártása eseté) lesz a yereség maimális? G.. Valamely termék ezer darabjáak előállítási költségét a 8

49 üggvéy, árbevételét pedig a K : K ), B : B ),,8 üggvéy adja meg euróba, ahol. a) Ábrázoljuk a K és a B üggvéyt közös koordiátaredszerbe)! b) Legalább háy terméket kell gyártauk és értékesíteük ahhoz, hogy a termelés yereséges legye? c) Mekkora lesz a termelés sorá a yereségük? Adjuk meg és ábrázoljuk az N yereség-üggvéyt? d) Háy termék gyártásáál lesz a költség miimális? e) Mikor háy termék gyártása eseté) lesz a termelés gazdaságos? ) Mikor háy termék gyártása eseté) lesz a yereség maimális? G..6 Vázoljuk az alábbi racioális egész üggvéyek poliomok) graikoját. G..6.a) : R R, ) G..6.b) : R R, ) 6 G..6.c) : R R, ) 6 G..6.d) : R R, ) ) ) ) ) G..6.e) : R R, ) ) ) ) ) G..6.) : R R, ) ) ) ) ) G..6.g) : R R, ) ) ) ) ) G..6.h) : R R, ) ) ) ) ) G..6.i) : R R, G..6.j) : R R, G..6.k) : R R, ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) G..6.l) : R R, ) ) ) ) ) G..6.m) : R R, G..6.) : R R, ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) G..6.o) : R R, ) ) ) ) ) G..6.p) : R R, ) ) ) 6 8) 9

50 G..6.q) ) 8 6 ) ) ), : R R G..6.r) ) 6 6) ) ), : R R G..6.s) ) ) ), : R R G..6.t) ) ) 6 ), : R R G..6.u) ) ) 6 ), : R R G..6.v) ) ) 6 ), : R R G.. Vázoljuk az alábbi racioális törtüggvéyek graikoját. G...a) : R\ ; R, ) ) ) ) ) G...b) : R\ ; R, ) ) ) G...c) : R\ ; R, ) ) ) ) ) G...d) : R\ ; R, ) ) ) G...e) : R\ ; R, ) ) 8 ) G...) : R\; R, ) ) 6 ) G...g) : R\ ; R, ) ) ) ) ) G...h) : R\ ; R, ) ) ) ) ) ) G...i) : R\; R, ) ) ) ) ) ) G...j) : R\{} R, ) G...k) : R\{} R, ) G...l) : R\{, } R, 8 6 )

51 G...m) : R\{, } R, ) G...) : R\{, } R, ) G...o) : R\{, } R, ) G...p) : R\{, } R, ) G...q) : R\{-, } R, ) G...r) : R\{} R, ) ) G...s) : R\{} R, ) ) G...t) : R\{} R, ) ) G...u) : R\{, 6} R, 8 6 ) G...v) : R\{, 6} R, 8 ) G...w) : R\{} R, ) G...) : R\{} R, ) G...y) : R\{} R, ) G...z) : R\{-} R, ) G...aa) : R\{-, } R, ) ) ) ) )

52 . Sorozatok, sorok. A számsorozat ogalma és tulajdoságai Ebbe a ejezetbe a üggvéyek egy speciális ajtájával oguk megismerkedi a számsorozattal: ez olya üggvéy, amelyekek értelmezési tartomáya a természetes számok halmaza N) és értékkészlete a valós számok R) halmazából kerül ki. számsorozat. Deiíció Az a : NR üggvéyt számsorozatak evezzük. Ekkor az a k) jelölés helyett az a k jelölést ogjuk alkalmazi. A számsorozatot általába úgy adjuk meg, hogy megadjuk a sorozat -edik eleméek tagjáak) kiszámításához szükséges képletet.. Példa Legye a E sorozat első éháy eleme: : NR, a ). a ; a ; a ; a ; a. Mivel a számsorozatok speciális egyváltozós valós üggvéyek, ezért rájuk voatkozóa a otosabb üggvéy-tulajdoságok az általáostól egyszerűbbe megogalmazhatók. mooto övekvő sorozat mooto csökkeő sorozat. Deiíció Az a : NR számsorozatot mooto övekvőek evezzük, ha mide természetes számra a a. Ameyibe a a, akkor szigorúa mooto övekvő sorozatról beszélük.. Deiíció Az a : NR számsorozatot mooto csökkeőek evezzük, ha mide természetes számra a a. Ameyibe a a, akkor szigorúa mooto csökkeő sorozatról beszélük.. Példa Az a sorozat szigorúa mooto csökkeő, a : NR, b : NR, a b

53 sorozat szigorúa mooto övekvő, azoba a. példába szereplő sorozat em mooto..6 Deiíció Az a : NR számsorozatot elülről korlátosak evezzük, ha létezik olya R, hogy mide természetes számra a. Az valós számot a sorozat első korlátjáak evezzük. A legkisebb első korlátot a számsorozat potos első korlátjáak első határáak, szuprémumáak) evezzük, és supa -el jelöljük.. Deiíció Az a : NR számsorozatot alulról korlátosak evezzük, ha létezik olya R, hogy mide természetes számra a. Az valós számot a sorozat alsó korlátjáak evezzük. A legagyobb alsó korlátot a számsorozat potos alsó korlátjáak alsó határáak, iimumáak) evezzük, és i a -el jelöljük. Ha egy számsorozat alulról és elülről is korlátos, akkor azt rövide korlátosak modjuk. elülről korlátos sorozat supa potos első korlát supremum) alulról korlátos sorozat i a potos alsó korlát, iimum) A. és a. példába szereplő sorozatok korlátosak, azoba például az a : NR, a sorozat elülről em korlátos. Most bevezetjük a határérték ogalmát, amely a matematikai aalízis egyik legotosabb ogalma, tulajdoképpe eze alapszik a későbbi ejezetekbe tárgyaladó diereciál- és itegrálszámítás..8 Deiíció Az a : NR számsorozatot kovergesek evezzük, ha létezik olya A valós szám, amelyre teljesül az alábbi állítás: mide valós számhoz létezik olya természetes szám, hogy mide N, > eseté teljesül az a A egyelőtleség. Ekkor az A számot a számsorozat határértékéek evezzük és a a jelölést alkalmazzuk olvasd: esz tart a végtelebe egyelő A). A Azt is modjuk továbbá, hogy az a sorozat tart vagy kovergál az A-hoz, -t hibakorlátak, -t az -hoz tartozó) küszöbszámak evezzük. a koverges számsorozat a sorozat határértéke a A hibakorlát küszöbszám

54 ).9 Példa Legye a : NR, a. Köye igazolható, hogy a. Valóba, bármely pozitív -ra legye. Ekkor eseté a ) Például, eseté 9, ugyais, eseté 99, mert a. a ; a ; a ; a ; ; ; ; a a a Megjegyezzük, hogy a kovergecia ogalma megtalálható a gazdasági életbe is. A api híradásokba gyakra találkozhatuk az euro bevezetéséek eltételéül szabott ú. kovergecia-kritériumok teljesüléséről otos gazdasági mutatókak egy bizoyos időpottól küszöbszám) kezdődőe előre rögzített határok hibakorlát) között kell maradiuk. A kovergecia-kritériumok teljesülése az euro bevezetéséek szükséges de em elégséges) eltétele. A számsorozatok vizsgálatához haszos lesz számukra az alábbi három állítás... Tétel A koverges számsorozatak potosa egy határértéke va. Bizoyítás. Tegyük el, hogy az a : NR számsorozatak két határértéke va A, B és A B. Legye az A és B szám közötti távolság egyharmada: A B. Ekkor az A, A ) és a B, B ) itervallumok em metszik egymást.. ábra Abból a eltételezésből, hogy a számsorozat határértéke A, következik, hogy egy bizoyos idetől kezdődőe a sorozat valameyi tagja az A, A ) itervallumo belül helyezkedik el. Feltételezésük szerit azoba a számsorozat határértéke B is, vagyis egy bizoyos másik idetől kezdődőe a sorozat valameyi tagja a B, B ) itervallumo belül va. Ez viszot lehetetle, mivel az kiválasztása szerit e két itervallumak ics közös potja. Tehát eltételezésük,

55 miszerit a számsorozatak két külöböző határértéke va, elletmodáshoz vezetett, ami bizoyítja a tétel állításáak igaz voltát.. Tétel Ha a számsorozat koverges, akkor korlátos. Más szavakkal: Mide koverges sorozat egybe korlátos is. Bizoyítás. Legye a számsorozat határértéke A és a rögzített pozitív -hoz tartozó küszöbszámot jelöljük m-mel. Ekkor a határérték deiíciójából következik, hogy a sorozat valameyi m-től agyobb ideű tagja az A, A ) itervallumo belül helyezkedik el, vagyis A a, a a A m m, és így az { a m, a m, a m } halmaz korlátos. Az { a, a, a,, am} véges halmaz yilvávalóa korlátos, és így a számsorozatuk értékkészletéből álló { a, a, a,, am, am, am, am } { a, a, a,, am} { am, am, am halmaz korlátos. Állításukat igazoltuk. Megjegyezzük, hogy a tételbe szereplő állítás megordítása em igaz, vagyis em mide korlátos sorozat koverges például ilye az a : NR, a ) sorozat). Azoba ha a számsorozatra a korlátosság mellett a mootoitás tulajdosága is teljesül, akkor az ilye sorozat koverges. Következő állításukat bizoyítás élkül közöljük. m. Tétel Ha a számsorozat mooto és korlátos, akkor koverges. Ilyekor a mooto övekvő sorozat határértéke em más, mit aak potos első korlátja és a mooto csökkeő sorozat határértéke megegyezik aak potos alsó korlátjával. }. Példa Deiiáljuk az alábbi állításokat: A a számsorozat koverges, B számsorozat korlátos, C a számsorozat mooto. Fejezzük ki logikai műveletekkel az előző két tételbe szereplő állítást. Megoldás:. tétel A B,. tétel C B) A.. Deiíció Divergesek evezzük azt a számsorozatot, amely em koverges. diverges sorozat Diverges például a már említett a : NR, a ) sorozat, ugyais e sorozat valameyi páratla ideű tagja és valameyi páros ideű tagja. Tehát

56 a -ek és az -ek is például a,-sugarú köryezetébe sorozatukak végtele sok tagja helyezkedik el, ezért a sorozat em lehet koverges.. Példa Vizsgáljuk meg mootoitás, korlátosság és kovergecia szempotjából az 6 a : NR, a számsorozatot, kovergecia eseté, -hoz keressük meg a küszöbszámot! Először is számítsuk ki a sorozat egyéháy elemét: a, a 9, a, a 9, a, a. Úgy tűik, hogy ez a sorozat szigorúa mooto övekvő. Igazoljuk ezt, vagyis az a a egyelőtleséget! 6 6 ), ) 6 6, 9 6 ) 9) 6 ) ) Az utolsó egyelőtleségbe, elbotva a zárójeleket, a yilvávalóa mide természetes számra teljesülő egyelőtleséget kapjuk. Tehát sorozatuk valóba szigorúa mooto övekvő. Ezért alulról korlátos, és potos alsó korlátja a. Vajo elülről korlátos-e ez a sorozat? Első ráézésre azt modaák, hogy em. Hogya lehet elülről korlátos egy szigorúa mooto övekvő számsorozat, hisze a a a a a a. Azoba köyű beláti, hogy a sorozat mide tagja kisebb, mit és kisebb, mit 6. Sőt a <, mivel 6 ) 6. Vajo va-e a sorozatak a -tól kisebb első korlátja? Felső korlát-e például,99? Nem, mivel például a,9988,99. Felső korlát-e,9999? Nem, mivel például a,9999,9999. Akármilye kis pozitív -t is választuk, a már em lesz első korlátja sorozatukak. Valóba, átalakítva az egyelőtleséget kapjuk, hogy 6, 6 ), 6 6, a. Felbotva az abszolút-értéket és az ismeretlere ézve megoldva az egyelőtleséget lépésről lépésre kapjuk, hogy:,,,,. 6

57 Vagyis mide olya -re, amely agyobb, mit, egész része teljesül az a egyelőtleség. Ezzel tulajdoképpe azt is bebizoyítottuk, hogy sorozatuk határértéke egyelő -mal. Valóba, mide pozitív -hoz létezik olya szám az előbbiek szerit, egész része), hogy mide N, > eseté teljesül az a egyelőtleség. Összeoglalva a etieket, és válaszolva a eltett kérdésekre elmodhatjuk, hogy: a számsorozat szigorúa mooto övekvő, a számsorozat korlátos, potos alsó korlátja a számsorozat koverges és határértéke ; az, -hoz tartozó küszöbszám 996. a és potos első korlátja ; Ez utóbbi szemléletes alátámasztására kiszámítjuk sorozatuk 996-ik és 99-ik elemét: a, ,99, a,99998, Példa Vizsgáljuk meg mootoitás, korlátosság és kovergecia szempotjából az 6 b : NR, b ) számsorozatot, kovergecia eseté, -hoz keressük meg a küszöbszámot! Először itt is elírjuk a sorozat első éháy elemét: b, b, 9 b, 9 b, b, b. Nyilvá a sorozat em mooto. Köye észrevehető, hogy e sorozat mide páros ideű tagja megegyezik a. példába szereplő sorozat azoos sorszámú tagjával és mide páratla ideű tagja megegyezik az említett sorozat azoos ideű tagjáak 6 6 elletettjével: b, ha,,,6,8, és b, ha,,,,9. Az előző példába elmodottakat igyelembe véve kapjuk, hogy a sorozat páros ideű tagjai mooto övekedve tartaak balról a -hoz és a páratla ideű tagok mooto csökkeve tartaak jobbról a -hoz. Vagyis a sorozat diverges. Ilyekor a és a számokat a számsorozat torlódási potjaiak szokás evezi. A etiekből az is kiderül, hogy a sorozat korlátos: potos alsó korlátja és potos első korlátja. Az elmodottakat az alábbi ábra szemlélteti.. ábra

58 8

59 . A koverges számsorozat tulajdoságai Az előzőekbe láttuk, hogy mide koverges sorozat korlátos valamit mide mooto és korlátos sorozat koverges. Ismerkedjük meg a koverges számsorozat éháy további tulajdoságával. E tulajdoságok haszosak leszek számukra a sorozatok határértékeiek kiszámításához.. Tétel Legye az a : NR számsorozat határértéke és a b : NR sorozat korlátos. Ekkor az a b sorozat is koverges és a b ). Bizoyítás. Mivel a amelyre K mide N eseté. b sorozat korlátos, ezért létezik olya K valós szám, Legye tetszőleges valós szám. A a eltételezésből következik, hogy mide pozitív valós számhoz így az -hoz is létezik olya természetes K szám, amelyre mide vagyis a b N, eseté a. Ekkor K a b a b K, K b ). Állításukat igazoltuk..8 Tétel Legye az a : NR koverges számsorozat és a koverges és A. Mide k valós számra a k a sorozat is k a ) ka. Bizoyítás. k eseté az állítás yilvávaló. Legye k és tetszőleges valós szám. A A eltételezésből következik, hogy mide pozitív a valós számhoz így az -hoz is létezik olya k mide N, eseté a A. Ekkor k ka ka k a A k k vagyis k a ) ka. Állításukat igazoltuk. természetes szám, amelyre, 9

60 .9 Tétel Legye az a : NR és a b : NR koverges számsorozat, továbbá A és B. Ekkor: ) az a b sorozat is koverges és a b ) A B ; ) az a b sorozat is koverges és a b ) A B ; ) B és b eseté az a a b b sorozat is koverges és műveleti tételek a b A B. Bizoyítás. ) Legye a A és b B. Ekkor mide pozitív valós számhoz létezik olya a, és b, természetes szám, hogy mide a, -ál agyobb -re és mide b, e N, eseté a A. b B. Jelölje a agyobbikat az a, és b, számok közül. Ekkor mide N, eseté teljesül midkét egyelőtleség, továbbá a két szám összegéek abszolút értékére voatkozó y y tulajdoság alapjá a b ) A B) a A) b B) a A b B. ) Most ézzük a sorozatok szorzatáak határértékét. Köye igazolható, hogy a A egyelőség ekvivales a A) összeüggéssel. Vizsgáljuk meg a az a b A B) sorozatot, és bizoyítsuk be, hogy a határértéke. Egyszerű átalakítással kapjuk, hogy a b A B a b Ab Ab A B a A) b A b B). Eze egyelőség jobb oldaláak első tagja egy -hoz kovergáló a A és a koverges b sorozat szorzata. A. tétel értelmébe a b korlátos sorozat, így alkalmazva. tételt kapjuk, hogy a a A) b. 6

61 Hasolóa kapjuk, hogy A b B). Mivel tételük ) potja értelmébe a koverges sorozatok összegéek határértéke megegyezik a határértékek összegével, kapjuk hogy vagyis a a b b A tétel bizoyítását beejeztük. AB) a A B. A háyadosra voatkozó állítás bizoyításától eltekitük. A eti tételeket gyakra alkalmazzák a határértékek kiszámításához. 6. Példa Számítsuk ki a határértéket! Ilye racioális törtüggvéy alakú határértékek kiszámolásához a számlálóba és a evezőbe lévő összegből vigyük ki a zárójel elé az -ek a legagyobb kitevőjű hatváyát, jele esetbe az -et: 6 6 =. Köye látható, hogy -re lehet egyszerűsítei, továbbá A) b A b és. B) Ezért a.8 és a.9 tételek alapjá 6 = 6. A koverges sorozatok taulmáyozásához szükségük lehet a diverges sorozatok vizsgálatára is. Külö igyelmet érdemel a diverges sorozatok egy speciális ajtája. 6

62 . Deiíció Az a : NR számsorozat -hez - hez) divergál, vagy azt is modjuk, hogy a határértéke plusz végtele míusz végtele), ha igaz a következő állítás: mide valós számhoz létezik olya szám, hogy mide a a ) egyelőtleség. természetes N, eseté teljesül az a a Jele: a illetve a. A deiíció alapjá köye igazolható az alábbi a határértékek kiszámításához haszos állítás.. Tétel Legye a vagy a. Ekkor a. A továbbiakba ézzük éháy evezetes számsorozatot, illetve határértéket.. Nevezetes számsorozatok Először egy em csak a matematikába, de a pézügyi számításba is otos szerepet betöltő számsorozattal ismerkedük meg. Ehhez azoba szükségük lesz bizoyos kamatszámítással kapcsolatos ismeretekre.. Példa Tegyük el, hogy most elhelyeztük a takarékba K Ft-ot. Meyi pézük lesz a mostatól számított harmadik év végé, ha az éves kamatláb 9%? Meyi pézük lesz az -edik év végé? Az első év végé tőkék utá a pézitézet Ft kamatot izet az orit 9%-át), azaz az első és végére összese K K Kr K ), ahol r, 9 r összegük lesz a takarékba. Így a második év elejé K Ft-uk lesz és eek az év végi kamata K r,9 9 Ft. Vagyis a második év végére a tőkék már K 9 9 K Kr K r) K r) összegre övekszik. Hasolóa kapjuk, hogy a harmadik év végé K K Kr K r) K r),9,9 6 Ft-uk lesz a takarékba. Az elmodottakból köye látszik és teljes matematikai idukcióval bizoyítható az alábbi állítás. 6

63 kamatos kamat számítás. Tétel Az évekéti p%-os kamattal övekvő jelelegi összeg az -edik év végére K K r), r p ) összegre változik amely természetese agyobb K -ál). K. Példa Tegyük el, hogy va K mft-uk és valamilye bakál elhelyezhetjük azt éves %-os kamatláb mellett de jó lee!). Ekkor az év végére K mft-uk lesz. Tegyük el, hogy valamely más bak élévekéti %-os kamatot ígér. E bakba helyezve pézüket a. tétel alapjá az év végére millió orituk lee. Tegyük el, hogy egy harmadik bak egyedévekéti %-os kamatot ígér. Ezzel a kíálattal élve, ugyacsak a. tétel alapjá az év végére K K,), millió orituk lee. Folytatva ezt a godolatmeetet havi %-os kamattal számolva az év végé K K,69 millió orituk, és api %-os kamattal számolva az év végé 6 K6 K,6 6 6 millió orituk lesz. Látszik, hogy övelve a kamatidőszakok számát egy adott éve belül egyre több pézhez juthatuk. A választ erre a kérdésre az K K,), Itt va a határtala meggazdagodás lehetősége? a : NR, a sorozat vizsgálata adja. Bizoyítható a eti példából is látszik), hogy ez a számsorozat szigorúa mooto övekvő, továbbá elülről korlátos. Így a. tételből következik, hogy koverges, vagyis va határértéke. E sorozat határértékét Euler-éle számak evezik és e betűvel jelölik. Ez egy irracioális szám, közelítő értéke e, Tétel Euleréle 6

64 6 e, Tétel Tetszőleges R a eseté. szám az e szám.8 Példa Számítsuk ki a határértéket! A megoldáshoz először is vegyük észre, hogy a zárójelbe lévő kiejezés határértéke = = = =, míg a + kitevő a -be divergál. Ezt úgy is modhatjuk, hogy egy típusú határértéket kell megállapítauk. A hatváyozás azoosságait alkalmazva a.8 és.9 tételek alapjá = =. Mit etebb beláttuk, =, ezért a kapott szorzatba szereplő második határérték egyelő -gyel. Számításaikat olytatva kapjuk = = =. Most már, alkalmazva a. tételt és a hatváyozás azoosságait, köye beejezhetjük számításaikat: = = e e = 8 9 e e. Folytassuk egyes evezetes határérték típusok vizsgálatát! A. példába kiszámítottuk a a e a

65 6 6 határértéket és beláttuk, hogy az ilye racioális törtüggvéy alakú határérték agymértékébe ügg a számláló és a evező okszámától. Eek további alátámasztására ézzük az alábbi példákat..9 Példa Számítsuk ki a 6, 6 és a 6 határértékeket! A. példába említett eljárást alkalmazva kapjuk, hogy 6 = 6 = = =, 6 = 6 = = és 6 = 6 = =. Most vizsgáljuk meg az : NR, q a, ahol R q számsorozatot. Ez a sorozat agymértékbe hasolít a harmadik ejezetbe már ismertetett epoeciális üggvéyre, q eseté aak leszűkítése a természetes számok halmazára. Eek elhaszálásával és e ejezetbe megszerzett ismereteiket elhaszálva köye bizoyítható az alábbi állítás. a

66 66. Tétel ha em létezik, ha, ha, ha, q q q q q. Példa Számítsuk ki a határértéket! Először is vegyük észre, hogy 9 9, majd a tört számlálójából és evezőjéből is vigyük ki zárójel elé az -ek a legagyobb alapú hatváyát, esetükbe a 9 -t = = Nyilvá 9 -re lehet egyszerűsítei, továbbá a. tétel alapjá 9 9 és 9 9. Következésképpe = = = 8 6.

67 . A valós számsor Fejezetüket egy kitalált törtéettel kezdjük. Egy matematikus elmegy a bakárhoz, és elajálja, hogy beizet a bakár számlájára október hóap mide apjá oritot. Cserébe csak ayit kér, hogy a bakár apota írjo jóvá a matematikus számlájá elsejé egy illért, másodiká két illért, harmadiká égy illért, egyediké 8 illért, ötödiké 6 illért, és így tovább az egész hóapba, mide ap az előző api jóváírás dupláját. A bakár örömmel elogadja az ajálatot. Ki jár jobba Őrült ez a matematikus)? A választ az olvasótól várjuk, de e hamarkodja azt el! Mi va akkor, ha a törtéet ebruárba játszódik? Segítségül megoldjuk a következő eladatot, amiből általáosítással kapjuk majd a. tételt.. Példa Tegyük el, hogy ebbe a ulladik) évbe egy vállalat bevétele a mft, a bevételét a vállalat az elkövetkező három évbe évete p=6%-kal tervezi öveli. Mekkora lesz a vállalat bevétele a harmadik évbe, és mekkora az összes bevétel a égy éves időszak alatt? Legye r p, 6 és q r, 6. Ekkor a. példába közölt számításokhoz hasolóa kapjuk, hogy a vállalatak az első évbe a másodikba és a harmadik évbe a a, 6 6, q a a q, 6,6 a a q, 6 9,6 mft lesz a bevétele. Így összese a égy év alatt a vállalat s a a a a a a q a q a q = +6+,6+9,6 =,66 mft bevételre tesz szert. Ezeket a számításokat köye elvégezhetjük számológép segítségével. Általáosítva, ily módo + év elteltével a ulladik évet is beszámítva) a vállalat összbevétele s a a a a a a q a q a mft lesz. Az ilye összeget q kvóciesű véges geometriai sorak is szokták evezi. Nagy eseté az s kiszámítása ehézkes. Keresük erre egy egyszerűbb képletet. Ehhez ézzük a q s kiejezést q q s q a q a q a q a a q a q a q a q és vojuk ki belőle az s összeget. Elvégezve a számításokat, a következőt kapjuk: q s s a q a q a q a q a q 6

68 Tehát a a q a q a q a q ) a q a. q s s a q a, mivel mide más tag kiesik. Ha q, akkor az s összegbe mide összeadadó egyelő a -val és s a ). Tegyük el, hogy q. Ekkor és q s s s a q ) s a q a q q Ezzel bebizoyítottuk a következő állítást. a q q a.. Tétel A véges geometriai sor összege). Legye a R és q. Ekkor s a a q a q a q a q a q q q. a véges geometriai sor összege Elérkeztük a valós számsor ogalmáak bevezetéséhez.. Deiíció Az a : NR sorozatból képzett sorozatot az evezzük és s : NR, s a a a a a sorozatból alkotott valós számsorak valós számsor a a a a vagy a vagy a szimbólummal jelöljük. Ekkor a -t a sor -edik tagjáak, s - t pedig a sor -edik részletösszegéek evezzük. Ha az sorozatak létezik véges) határértéke, akkor ezt a valós számsor összegéek evezzük, és azt modjuk, hogy valós számsor koverges. Ellekező esetbe diverges sorról beszélük. s a valós számsor összege Pézügyi számításokál gyakra előordul, így külöös igyelmet érdemel az alábbi speciális valós számsor. végtele geometriai sor. Deiíció Legye a R. A 68

69 a q a a q a q a q a q valós számsort végtele geometriai sorak evezzük. A deiíció alapjá valamit a. tételt elhaszálva kapjuk, hogy a végtele geometriai sor összege egyelő s a a q a q a q = a q q q. q q Az utóbbi, zárójelbe kapott kiejezések eseté a. tétel szerit csak akkor létezik véges határértéke, ha q. Ezzel bebizoyítottuk a következő állítást..6 Tétel Legye a R és q. Ekkor a a a q ) végtele geometriai sor összege a q a a q a q a q a q végtele geometriai sor koverges és összege egyelő a a q a q a q a a q. q E.. E.. E.. E.. E.. E..6 E.. E..8 E..9 Elleőrző kérdések a. ejezethez A mooto övekvő sorozat deiíciója. A mooto csökkeő sorozat deiíciója. A számsorozat potos első korlátjáak deiíciója. A számsorozat potos alsó korlátjáak deiíciója. Lehet-e egy mooto övekvő csökkeő) sorozat alulról/elülről em korlátos? A koverges számsorozat a határérték) deiíciója. Fogalmazzuk meg a számsorozat kovergeciájáak, korlátosságáak és mootoitásáak kapcsolatáról szóló tételeket. Fogalmazzuk meg és bizoyítsuk be a koverges számsorozatokról szóló tételeket! Adjuk meg aak a deiícióját, hogy a számsorozat határértéke plusz míusz) végtele. E.. A kamatos kamat számításáak képlete. E.. Az Euler-éle szám deiíciója. E.. A véges geometriai sor összegéek képlete. E.. A valós számsor deiíciója. E.. A végtele geometriai sor összegéek képlete. Gyakorló eladatok a. ejezethez 69

70 G.. Végezzük el az alábbi számsorozatok teljes vizsgálatát mootoitás, korlátosság, kovergecia; kovergecia eseté adott -hoz keressük küszöbszámot)! G...a) G...b) G...c) G...d) G...e) G...) G...g) G...h) a a a a a a a a : NR, : NR, : NR, : NR, : NR, : NR, : NR, : NR, 9 a., ;, ;, ) a ) 9. 8 a., ;, ;, ) a ) 8. a., ) a )., ) 9 a., ) 9 a )., ) G...i) G...j) G...k) G...l) G...m) a a a a a : NR, : NR, : NR, : NR, : NR, 6 a., ) 6 a )., ) 9 a., ) 9 a. 8 9, ) 6 a., ) 6 G...) a : NR, 6 a., )

71 G...o) a : NR, 6 a. G...p) a : NR, 6 ) a. G.. Vizsgáljuk meg kovergecia, mootoitás és korlátosság szempotjából az alábbi sorozatokat, kovergecia eseté, -hoz keresük küszöbszámot! G...a) : N + R, 6 a G...b) : N + R, 9 8 a G...c) : N + R, a G...d) : N + R, 8 a G...e) b : N + R, 8 ) b G...) : N + R, 9 8 a G...g) b : N + R, 9 8 ) b G...h) : N + R, 8 a G...i) b : N + R, 8 ) b G.. Számítsuk ki az alábbi határértékeket! G...a) 9 6 G...b) 9 6 G...c) 6 G...d) 6 8 G...e) G...) 9 6 G...l) 9 6 G...m) 9 6 G...) 6 G...o) 9 6 ) G...p) 6 8 ) G...q) 9 6 ) a a a a a a 6 8

72 G...g) G...h) G...i) G...j) G...k) G...r) G...s) 6 G...t) 9 8 G...u) G...v) 8

73 . Pézügyi és gazdaságossági számítások. A péz időértéke Mideek előtt elhívjuk az olvasó igyelmét a következő agyo otos dologra. A izetési kötelezettségek teljesítése esetébe a izetedő összeg agysága mellett a izetés esedékességéek időpotja a mikor ) is otos szerepet játszik. A jelelegi péz többet ér, mit a omiálisa ugyaayi jövőbeli péz egy orit többet ér ma, mit egy orit holap). Eek okai többek között a következők: - az iláció, - a ogyasztó idő preereciája, - a jelelegi péz hozammal gyarapodhat, - a mai péz likviddé tesz. A péz időértékét a kamattal szokás jellemezi... Az egyszerű és a kamatos kamat számítása kamat kamatláb kamatidő egyszerű kamat A kamat a kölcsö utá az adós által időaráyosa izetedő pézösszeg. A kamatláb pézegység egy meghatározott időre kamatidőre) voatkozó kamata. Egyszerű kamatak hívjuk azt a kamatot, amelyet csak egy kamatidőre vagy aak egy részére számítuk. A kamatidőt általába egy évek szokták vei, ilyekor egy évet 6 apak és egy hóapot apak számítaak. az egyszerű kamat számítása. Tétel Legye az éves kamatláb p%. Ekkor a jelelegi összeg 6 ) apra esedékes kamata K K r, ahol r p, 6 illetve m m ) hóapra esedékes kamata K m m K r, ahol r p. K Megjegyezzük, hogy a gyakorlatba általába havi kamatozás eseté a kamatjóváírás ügg a hóap apjaiak számától, vagyis jauárba apra voatkozó kamatot, míg ebruárba 8 apra esedékes kamatot írak jóvá betétszámláko ilyekor egy évet 6 apak számítaak). Az elmodottakat a következő példa szemlélteti.

74 hóapra. Példa Legye az éves kamatláb 8%. Ekkor Ft kamata ebruár március hóapra és április hóapra K ebr K márc 8,8 6 6, Ft, Ft K ápr,8 68 Ft. 6 Az előző ejezetbe igazoltuk lásd:. tétel), de a teljesség kedvéért megismételjük az alábbi állítást.. Tétel Az évekéti p%-os kamattal övekvő jelelegi összeg az -edik év végé K összegre gyarapodik el. K r), r p ) K kamatos kamat számítás. Példa Egy elektromos beredezés vásárlására két árajálatot kaptuk:. a vásárláskor izetük Ft-ot;. a vásárláskor Ft-ot izetük, majd két év múlva kell izetük újabb Ft-ot. Melyik a kedvezőbb ajálat, ha az éves kamatláb %? A megoldáshoz többéleképpe juthatuk el. Tegyük el, hogy redelkezük Ft-tal, de mégis a második izetési lehetőséget választjuk. Ekkor az ár első részletéek kiizetése utá megmaradt Ft-ot elhelyezhetjük a takarékba. Ez az összeg két év alatt éves %-os kamatláb mellett az. tétel alapjá), = Ft-ra gyarapodik el. Ebből köye ki tudjuk izeti az esedékes Ft-ot, még Ft meg is marad. Tehát a második ajálat a kedvezőbb. Vizsgáljuk meg a két árajálatot más kamatlábakat eltételezve. Legye az éves kamatláb %. Ekkor a Ft két év múlva, = Ft-t ér, és így a két árajálat potosa megegyezik egymással. Tegyük el, hogy az éves kamatláb 8%. Talá a etiek alapjá sejthető, hogy az első árajálat a kedvezőbb természetese, ha redelkezük a megelelő összeggel). Valóba, ha csak Ft-tal redelkezük, a második izetési módot em tudjuk teljesítei, mivel az első részlet kiizetése utá a megmaradt Ft az éves 8%-os kamatláb mellett két év alatt midössze,8 =6 6 Ft-ra övekszik el. De meyi pézzel kell redelkezük most ahhoz, hogy teljesítei tudjuk a második izetési ajálatot? Másképpe ogalmazva: meyit ér ma a két év múlva esedékes Ft? A választ az,8 = egyeletből kapjuk:

75 ,8,8 Elvégzett számításaikat az alábbi ábra szemlélteti: = 8 Ft.. ábra Általáosa is eltehetjük a kérdést: meyit ér ma az év múlva esedékes összeg? A kérdésre a választ az ú. diszkotálás adja: egyszerűe az. tételbe szereplő összeüggésből ejezzük ki a értéket. K K.. Diszkotálás diszkotált érték diszkottéyező. Tétel Az év múlva esedékes K összeg mai értéke p%-os éves kamatláb mellett K K, ahol r. r p Ezt a jeleértéket diszkotált értékek, az diszkottéyezőek evezzük. r számot pedig Megemlítjük, hogy pézügyta jegyzetekbe a kamatos kamat számítást jövőérték számításak Future Value, FV), a diszkotálást pedig jeleérték számításak Preset Value, PV) szokták evezi.

76 .. Nomiális, eektív és koorm kamatláb, olytoos kamatozás Már az Euler-éle szám bevezetésekor láttuk, hogy a éléves %-os kamatláb többet ér, mit az éves %-os. Valóba, ha az éves kamatláb p% és évete m-szer p törtéik a tőkésítés a kamatjóváírás) %-kal, akkor mide kamatjóváírást követőe a m elövekedett tőke kamatozik tovább, vagyis a téyleges eektív) kamatláb kiszámításához a kamatos kamat számítás képletét kell alkalmazuk..6 Tétel Legye az éves omiális kiyilváított, jegyzett) p om kamatláb p om%. Ha évete m-szer törtéik a tőkésítés m %-kal, akkor az eektív téyleges) % kamatlábat az alábbi összeüggésből kaphatjuk meg: ahol r p, r p. e Ekkor a e r e r m om om om p e p om %-ot koorm kamatlábak evezzük. m m, omiális kamatláb eektív kamatláb koorm kamatláb. Példa Legye az éves omiális kamatláb %. Ekkor a havi m=) koorm kamatláb % és az,),68 összeüggésből kapjuk, hogy az éves eektív kamatláb 6,8%. Megjegyezzük, hogy az Ecel-be az eektív kamatlábat az EFFECT beépített üggvéyel számíthatjuk ki. Az. példába szereplő eredméyt az =EFFECT%;) utasítással kaphatjuk meg..8 Példa Számítsuk ki a %-os eektív kamatlábak megelelő éves omiális kamatlábat, ha a tőkésítés egyedévete m=) törtéik! Ekkor az r, om összeüggésből kell kiejezi az rom p om / értéket: rom,, r om Tehát az éves omiális kamatláb,%.,, Az Ecel-be a omiális kamatlábat a NOMINAL beépített üggvéyel kaphatjuk meg, például az =NOMINAL%;) utasítás a eti,% eredméyt adja.. 6

77 olytoos kamatozás Tegyük el, hogy az.6 tételbe az évekéti tőkésítési részidőszakok száma m) tart a végtelebe. Ekkor olytoos kamatozásról beszélük és az éves eektív % kamatlábat az r e r m m om m e összeüggésből kapjuk meg, ahol r p, r p. e e p e r om om om.9 Példa Az éves omiális %-os kamatlábak az, m m m e,, összeüggés alapjá évi,%-os eektív kamatláb elel meg. A olytoos kamatozás például az opciós értékelés vagy az árolyam meghatározásakor ordul elő. Megjegyezzük, hogy Ecel-be az e szám hatváyait a KITEVŐ beépített üggvéyel számíthatjuk ki. Az.9 példába szereplő eredméyt például az =KITEVŐ,) utasítás adja.

78 .. Az iláció igyelembevétele Vizsgáljuk meg a következő esetet.. Példa Legye a havi bérük Ft és egy kilogramm hús ára Ft. Ekkor izetésükből kg húst vásárolhatuk a reálbérük egység). Tegyük el, hogy a izetésüket megemelték %-kal, Ft-ra és az iláció az árszívoal övekedése) %. Ekkor egy kg hús Ft-ba kerül, és a megemelt izetésükből : = kg húst tuduk csak) vásároli. Mivel :=,, ezért a változások eredméyeképpe izetésük vásárlóértéke a reálbér),-del, azaz %-kal lett agyobb. Hibát követ el az, aki a % és a % külöbségével számolva % %=%-os övekedésről beszél!!! Az eltérés jeletősek modható százalékpot ami a tíz százalékos) övekedések a %-a. Általáos esetbe a következőt kapjuk. Tegyük el, hogy éves p o%-os omiális kamatláb és éves p i %- os iláció árszívoal-emelkedés) eseté tőkék vásárlóértéke m év alatt p %-kal övekszik. Ekkor re r m o rre r, i ahol rre p re, ro p o és ri p i. az iláció igyelembevétele a vásárlóérték övekedése. Példa Meyire övekszik el tőkék vásárló értéke öt év alatt %-os kamatláb és 8%-os iláció eseté? Megoldás: körülbelül %-kal, ugyais,,8,. Meg kell jegyezük, hogy úgy a mideapi életbe, mit a közgazdaságipézügyi gyakorlatba sőt gyakra a szakirodalomba is az. példába közölt helyes válasz helyett tévese azt modják, hogy a omiális %-os béremelés 8%-os iláció mellett 6%-os reálbér-övekedést eredméyez. E téves elogás szerit öt év alatt izetésük reálértékbe az,6, összeüggés alapjá %-kal emelkede. Itt is látszik, akárcsak a bevezető. példába, hogy e hibás godolatmeet által kapott övekedések %) a téyleges övekedéstől %) való eltérése elég jeletős közel %-os három százalékpotos). 8

79 . Járadékszámítás Az egyelő időközökét izetett összegek sorozatát járadékak evezik. A járadék izetés törtéhet egy bizoyos pézösszeg gyűjtése céljából gyűjtőjáradék, vagy egy elvett kölcsö törlesztése céljából törlesztőjáradék. Az előző ejezetbe láttuk, hogy a külöböző pézösszegek összehasolításakor a izetedő összeg mellett a teljesítés időpotját és a kamatlábat is igyelembe kell vei. A több évre végzett elemzések külöböző összegekre más-más kamatláb mellett eléggé boyolult számításokkal járak. Ezért járadékszámításál két egyszerűsítő eltételezést szoktak alkalmazi:. a izetési időközök megegyezek a kamatidővel,. mide alkalommal ugyaakkora összeget izetük... Gyűjtőjáradék Tegyük el, hogy éve át mide év elejé beizetük a takarékba a összeget p%-os éves kamatláb mellett. Meyi pézük lesz az -edik év végé? Itt is a kamatos kamat számítás képletét alkalmazzuk. Az -edik év elejé beizetett a összeg egy éve át kamatozik, így év végére összegre gyarapodik el, ahol r p és q r. Az ) -edik év elejé beizetett a összeg két éve át kamatozik, és az -edik év végére ez a r) a q összegre övekszik el. Folytatva a godolatmeetet kapjuk, hogy az első beizetés eseté -szer törtéik a tőkésítés, így az -edik év végére az első év elejé beizetett a összeg összegre gyarapodik el. Összeadva a kapott értékeket, kapjuk, hogy az -edik év végére S a q a q összeg áll redelkezésükre. A. tétel alapjá S a q a q Ezzel igazoltuk a következő állítást. a q a r) a q a r) a q a q a q q q q q a q. q. Tétel Ha éve át mide év elejé beizetük a összeget p%- os éves kamatláb mellett, akkor az -edik év végé gyűjtőjáradék S q a q q összeg áll redelkezésükre, ahol q r és r p. 9

80 8 A eti számítások szemléltetésére készítettük az alábbi ábrát, amely talá segít jobba megértei az elmodottakat.. ábra.. Törlesztőjáradék Tegyük el, hogy elvettük egy összegű kölcsöt p%-os éves kamatláb mellett, amelyet éve keresztül kell törleszteük egy év múlva kezdődőe mide év elejé azoos a összegekbe törlesztő részletekbe). Mekkora a törlesztő részlet? A válaszhoz megvizsgáljuk, hogy milye összeüggés va a eti adatok között. A legegyszerűbb úgy eljári, hogy a törlesztő részleteket diszkotáljuk a kölcsö elvételéek időpotjára jele idő). Az egy év múlva esedékes a összeg most összeget ér, ahol és. Hasolóa kapjuk, hogy a két év múlva esedékes a összeg jeleértéke, és így tovább, az év múlva esedékes a összeg jeleértéke q a r a. Így a elvett kölcsö egyelő. Az előző pothoz hasolóa alkalmazzuk a. tételt q q q q a q a q a q a K =. K q a r a p r r q q a r a K q a q a q a r a r a r a K q q q a q q q a

81 Itt az utolsó egyelőséget úgy kaptuk meg, hogy az előző kiejezésbe szereplő tört számlálóját és evezőjét beszoroztuk -gyel, ugyais ezek a q r összeüggés miatt egatívak. törlesztőjáradék K. Tétel Tegyük el, hogy összegű kölcsöt vettük el p%-os éves kamatláb mellett, amelyet éve keresztül törlesztük egy év múlva kezdődőe mide év elejé azoos a összegekbe. Ekkor q K a q, q ahol q és r p. r A végzett számításokat megit ábrával szemléltetjük.. ábra Megjegyezzük, hogy pézügytaba az adott számú éve keresztül esedékes álladó tagú járadékot auitásak évjáradékak) evezik. Törlesztőjáradék eseté az q pézegységű éves auitás jeleértékét ami egyelő q q r r r) auitási téyezőek evezik. Mivel az auitási téyező értékeiek kiszámítása viszoylag boyolult, azokat a utamidő és a kamatláb üggvéyébe táblázatba szokták megadi. Íme a táblázat egy részlete: Auitás-táblázat: egy év múlva kezdődő éve keresztül esedékes évi $ jeleértéke Éves kamatláb Évek,%,%,%,%,%,%,% 6,%,%,99,98,98,96,99,96,9,9,96,9,99,96,9,9,886,89,8,88,9,9,889,86,886,,,6,6,9,8,8,6,,699,6,6,8,8,86,,68,9,8,9,, 8

82 Éves kamatláb Évek,%,%,%,%,%,%,% 6,%,% 6,9,69,6,8,,,,9,66 6,8 6,98 6, 6,9 6, 6,,86,8,89 8,6,89,,,9 6, 6,6 6,98,9 9 8,66 8,6 8,6,99,86,,8 6,8 6, 9, 9, 8,986 8, 8, 8,9,,6,6,66, 9,868 9, 9,6 8,6 8,6,8869,98,,9,,8 9,9 9,8 8,86 8,88,9,,,8,98,6 9,986 9,96 8,8 8,,,,6,699,96,6 9,8986 9,9 8,,86,,89,8,99,8,9 9, 9,9 6,9,,,,6,6,88,9 9,66,6,96,99,,66,6,, 9,6 8 6,98,66,99,,,69,6896,86,9 9,6 6,6,68,989,8,9,8,8,6 8,6,686 6,,89,8,9,6,699,9 8,8,9, 6,8,,9,8,6,8 9,66 8,68,68 6,6,969,,6,6,6,8 9,9 8,9, 6,6,868,886,,,, 8,99,88 6,9,,986,,69,,96 9, 8,,,6,99,8,66. Példa Meyi a havi törlesztő részlete Ft kölcsöek, ha a utamidő két év és az éves kamatláb 8%? Ekkor a havi kamatláb,% ami ahogy láttuk ezt az.. ejezetbe téylegese több, mit az éves 8%) és kamatidőszakok száma. Adataik és az ismeretle a törlesztő részlet között az. tétel alapjá az alábbi összeüggés áll e: ahol a q a q a q q a q q q. Számítsuk ki az auitási téyező értékét a képlet szerit:, q q q =,98,699,98 =,98,.,98,8 Amit látjuk, ez a szám megegyezik a táblázat második,%-kal jelölt) oszlopáak a Évek) sorába szereplő értékkel azért a -gyel jelölt sorba keressük, mert két év alatt havi törlesztés eseté összese részletizetés törtéik. Tehát és a havi törlesztő részlet a, a 99, Ft).,, 8

83 Megjegyezzük, hogy így összese visszaizetük. 8 99, 9 8,8 Ft-ot kell Elemezzük a havi törlesztő részletek agyságát alaposabba, kiszámítva azt évtől 9 évig terjedő törlesztések eseté a havi kamatláb változatlaul,%). A példába leírtakak megelelőe három éves 6 hóapos) utamidő eseté a havi törlesztő részlet a 6, Ft),66 és így a visszaizetedő összeg 6 6, 8,6 Ft). Hasolóa végezzük el számításaikat más utamidőkre. A kapott eredméyeket oglaljuk táblázatba. Hóapok száma Havi törlesztő részlet 6, 9, 9, 8,8,8 9, 8,69 Visszaizeted ő összeg 8,6, 6, 6 66, 69,8 89,8 6, 9 A számítások megköyítésére haszálhatjuk az Ecel RÉSZLET beépített üggvéyét, például a Ft havi,% kamatláb melletti 6 hóapra esedékes 6, Ft havi törlesztő részletet köye megkapjuk az utasítással. =RÉSZLET,%;6;- ) Látszik, hogy a havi törlesztő részlet em lieárisa csökke aál lassabba, miél hosszabb a utamidő. A számok ömagukért beszélek. Három év alatt a elvett kölcsö midössze egyharmadával több összeget izetük vissza, míg kilec év alatt kölcsö összegéek több mit dupláját kell visszaizetük, mideközbe a havi törlesztő részlet csak a elére csökke. Megemlítjük még, hogy a tíz éves utamidőre esedékes havi 8,8 Ft törlesztő részlet a utamidő megduplázásakor húsz év eseté) midössze, Ft-ra csökke. A húsz év alatt viszot összese 9 Ft-ot oguk visszaizeti. Folytatva a godolatmeetet kapjuk, hogy Ft havi törlesztő részlete,% havi kamatláb mellett harmic évre 9,9 Ft, egyve évre,8 Ft és ötve évre, Ft. Így eljutuk az örökjáradék ogalmához. A példákból látszik, hogy elhelyezve a takarékba Ft-ot havi,% kamatláb mellett mide hóap végé elvehetjük a havi Ft kamatot és a pézük soha em og elogyi.. Feladat Mekkora összeget kell elhelyezük a takarékba ahhoz, hogy havi p%-os kamatláb mellett mide hóap végé K összeget vehessük el? Más szavakkal: határozzuk meg a K összegű örökjáradék jeleértékét, ha a kamatláb p%!.6 Feladat Határozzuk meg a K kezdőösszegű övekvő örökjáradék a periódusokét egyelő ütembe övekvő pézáramok sorozatáak jeleértékét, ha a kamatláb p% és a periódusokéti övekedés üteme q%!. Feladat Határozzuk meg a K kezdőösszegű csökkeő örökjáradék a periódusokét egyelő ütembe csökkeő pézáramok sorozatáak jeleértékét, ha a kamatláb p% és a periódusokéti csökkeés üteme q%!

84 A járadékszámítással kapcsolatosa megemlítjük még az Ecelbe beépített RÁTA, JBÉ, MÉ, PRÉSZLET, RRÉSZLET és a PER.SZÁM üggvéyeket, amelyekek részletes leírása megtalálható az Ecel súgójába.. Beruházás gazdaságossági számítások, beruházási dötések Pézügytaba a tárgyi eszközök beszerzésére, létesítésére ordított tőkekiadásokat beruházásak evezik. A beruházás gazdaságosságáak eldötésekor elmerül a kérdés, hogy a tervezett hozamok edezik-e a ráordítást. Mit már többször említettük, pézügyi számításokál a elmerülő pézösszegek agysága mellett az esedékesség időpotjáak is otos szerepe va. Ezért a külöböző időpotokba elmerülő pézösszeget egy rögzített időpotba kell összehasolítai. A legpraktikusabb úgy eljári, hogy a beruházás sorá esedékes pézösszegeket diszkotáljuk a beruházás kezdetéek időpotjára jele idő)..8 Példa Tegyük el, hogy beruházásuk iaszírozása két ütembe törtéik: most azoal kell izetük mft-ot, majd egy év múlva mft-ot. Terveik szerit a beruházás két év múlva mft, három év múlva mft és égy év múlva mft hozadékot eredméyez. Gazdaságos-e a beruházás, ha az éves kamatláb %? Járjuk el a etebb leírtak szerit.. ábra Végezzük el a számításokat! Példákba a kamatláb %, így a diszkottéyező q,8., 6 Tehát a beruházás kiadások diszkotált összege és a hozadékok diszkotált összege B q,, mft) H q q q 6,9 8,686 9,6, mft) 8

85 A beruházás yilvávalóa gazdaságos, hisze a B, mft-os beektetés H, mft hozadékot eredméyez. ettó jeleértékmutató NPV-szabály A beruházások B diszkotált összegéek és a hozamok H diszkotált összegéek H B külöbségét ettó jeleértékmutatóak Net Preset Value NPV) evezzük: NPV H B. A beruházás akkor gazdaságos, ha a ettó jeleérték-mutatója pozitív. Egymást kizáró beruházások közül az a leggazdaságosabb, amelyek ettó jeleérték-mutatója a legagyobb. Példákba a ettó jeleérték-mutató NPV H B,,, mft). Ecel-be a ettó jeleérték-mutatót az NMÉ beépített üggvéy segítségével számíthatjuk ki. Azoba va egy kis probléma. Az NMÉ olya eltételezéssel számol, hogy a beruházás megvalósítása egy év múlva kezdődik, vagyis a jele idő egy évvel korábbra tolódik. A példákál maradva az =NMÉ%; ; ;;;) utasítás a,88 mft eredméyt adja. Az egy évvel korábbi,88 mft-ból yilvá kamatszámítással kapjuk meg a jelelegi időpotba esedékes ettó jeleértékmutatót: NPV,88,, mft). A ettó jeleérték-mutató potosabb kiszámítására haszálhatjuk az Ecel XNPV beépített üggvéyét. Az NPV-szabály szerit két beruházás közül az a gazdaságosabb, amelyek agyobb a ettó jeleérték-mutatója. De melyik beruházást válasszuk akkor, ha a ettó jeleérték-mutatójuk megegyezik? Tegyük el például, hogy a, mft ettó jeleérték-mutatót a már említett, mft ráordítást igéylő beruházás mellett egy mft ráordítást igéylő beruházással is el tudjuk éri? Sejthető, hogy a második beruházás a gazdaságosabb. Valóba, eek igazolására alkalmazható a következő mutató. megtérülési ráta PI-szabály A beruházások B diszkotált összegéek és a hozamok H H diszkotált összegéek háyadosát megtérülési rátáak B jövedelmezőségi ide, Proitability Ide PI) evezzük: MR. A beruházás akkor gazdaságos, ha a megtérülési rátája -él agyobb. H B 8

86 Térjük vissza az.9 példa elemzéséhez. A beruházás megtérülési rátája H, MR,. B, Ez azt jeleti, hogy a megtérülés kb. %-os. Változtassuk meg a kamatlábat %-ról %-ra. Ekkor a ettó jeleérték-mutató NPV H B,, mft). Sőt, 6% kamatláb eseté a ettó jeleérték-mutató már egatív: NPV H B,,9, mft). Látszik, hogy va olya kamatláb, példákba ez kb.,6%, amelyél a ettó jeleérték-mutató egyelő ullával. Azt a kamatlábat, amelyél a beruházások B diszkotált összege és a hozamok H diszkotált összege megegyezik egymással a ettó jeleérték mutató ulla), belső megtérülési rátáak Iteral Rate o Retur IRR) evezzük: A beruházás általába akkor gazdaságos, ha a belső megtérülési rátája agyobb, mit a p% kalkulatív kamatláb. Két beruházás közül általába az a gazdaságosabb, amelyek agyobb a belső megtérülési rátája. belső megtérülési ráta IRRszabály Az IRR-szabály alkalmazása eltérőe az NPV- és a PI-szabálytól akkor is lehetséges, ha em ismert a diszkotáláshoz szükséges kamatláb a beruházástól elvárt hozam). Felhívjuk azoba az olvasó igyelmét a belső megtérülési ráta kiszámításáak ehézségeire és a szabály alkalmazásáak veszélyeire. A belső megtérülési ráta kiszámítása boyolult, sőt egy beruházásak több belső megtérülési rátája is lehetséges. Egy évig tartó beruházás eseté a B beruházások és a H hozamok diszkotált összegébe szereplő ismeretle p% kamatláb meghatározásához egy H B - edokú egyelethez jutuk, amelyek általáos esetbe külöböző megoldása lehet!!!). Tovább boyolítja a helyzetet az a bizoyított téy, hogy az -edokú egyeletre eseté em is létezik megoldó-képlet. A belső megtérülési ráta kiszámításához legegyszerűbb az Ecel-t hívi segítségül, aak is a BMR beépített üggvéyét..9 Példa Számítsuk ki az.9 példába szereplő beruházás belső megtérülési rátáját. A eltételezésük szerit a beruházás iaszírozása két ütembe törtéik: most azoal kell izetük mft-ot, majd egy év múlva mft-ot. Terveik szerit a beruházás két év múlva mft, három év múlva mft és égy év múlva mft hozadékot eredméyez. A megoldáshoz az Ecel-t alkalmazzuk. Helyezzük el a beruházás sorá elmerülő pézáramokat cash low) egymás utá például az A:E cellákba úgy, hogy a ráordítási összegeket egatív előjellel vesszük. Ekkor az =BMRA:E) utasítás a,669% eredméyt adja. Íme az Ecel mukalap számításhoz szükséges részlete, ahol az A cellába az =BMRA:E) utasítást gépeltük: 86

87 A B C D E - -,669%. Feladat Igazoljuk, hogy az előző példába szereplő beruházásak csak egy belső megtérülési rátája va!. Feladat Igazoljuk, hogy az egyszeri ráordítást igéylő beruházásak csak egy belső megtérülési rátája va! Íme egy példa arra, hogy egy beruházásak több belső megtérülési rátája is lehetséges.. Példa Tegyük el, hogy beruházásuk iaszírozása két ütembe törtéik: most azoal kell izetük, mft-ot majd két év múlva 9, mft-ot. Terveik szerit a beruházás egy év múlva, mft és három év múlva mft hozadékot eredméyez. Számítsuk ki a beruházás belső megtérülési rátáját! A diszkotáláshoz szükséges ismeretle diszkottéyező legye q. Ekkor a beruházások diszkotált összege és a hozadékok diszkotált összege így a H B összeüggésből a q B, 9, q H, q q 9, q, q, harmadokú egyelethez jutuk. Köye igazolható, hogy eek az egyeletek három gyöke va q, 8, q, 6 és q,. Vagyis az ismeretle kamatlábra három egyelethez jutuk: Ie kapjuk, hogy r,8,, 6 r és,. r r,, r, 6 és r, tehát beruházásukak három belső megtérülési rátája va: p %, p 6% és p %. Az alábbi ábra a beruházás ettó jeleérték-mutatóját ábrázolja a kamatláb üggvéyébe. Látszik, hogy a NPV % kamatláb alatt, valamit 6% és % kamatláb között pozitív, vagyis ilye kamatlábak eseté gazdaságos a beruházás. 8

88 NPV,,6,,,,, -, -, -, % % % % % % % % % % Nettó jeleérték-mutató % % 6 % 6 % % % 8 % 8 % 9 % 9 % % % % % %. ábra A beruházás gazdaságosságáak eldötéséhez három szabályt ismertettük, oglaljuk most össze ezeket. Elogadi Dötés Elutasítai Nettó jeleérték-mutató NPV-szabály NPV> NPV< Megtérülési ráta MR) PI-szabály MR> MR< Belső megtérülési ráta IRR-szabály IRR>p% IRR<p% Elleőrző kérdések az. ejezethez E.. Miért ér többet egy orit ma, mit holap? E.. Az egyszerű kamat ogalma és kiszámítása. E.. A kamatos kamat számítás képlete. E.. A diszkotálás ogalma. E.. A omiális, eektív és koorm kamatláb ogalma. E..6 Az eektív kamatláb kiszámítása. E.. A omiális kamatláb kiszámítása. E..8 A olytoos kamatozás ogalma és gyakorlati alkalmazása. E..9 A vásárlóérték övekedéséek meghatározása az iláció igyelembevétele). E.. A gyűjtőjáradék kiszámítása. E.. Törlesztőjáradék, a törlesztő részlet kiszámítása. E.. Az auitás ogalma. E.. Az örökjáradék ogalma. E.. Beruházási dötési szabályok. E.. A ettó jeleérték-mutató ogalma. E..6 A megtérülési ráta ogalma. E.. A belső megtérülési ráta ogalma. E..8 Soroljuk el éháyat az Ecel pézügyi üggvéyei közül. 88

89 Gyakorló eladatok az. ejezethez. G.. Kamatszámítás és diszkotálás G...a) G...b) G...c) G...d) G...e) G...) Elhelyeztük a takarékba Ft-ot. Meyi pézük lesz egy év múlva, ha az éves kamatláb 8% és A) egyszerű kamatozással számoluk, B) a tőkésítés egyedévete törtéik, C) havi, olyamatos lekötést kértük. Meyi pézzel kell redelkezük most ahhoz, hogy égy év múlva Ft álljo redelkezésükre? Az éves kamatláb %. Háy év alatt duplázódik meg a pézük éves 9%-os kamat mellett? Egy árucikk vásárlására két árajálatot kaptuk: A) most izessük Ft-ot; B) most izessük Ft előleget, majd három év múlva Ft-ot. Melyik a kedvezőbb árajálat, ha az éves kamatláb: a) %; b) %; c) %? Egy árucikk vásárlására két árajálatot kaptuk: A) most izessük Ft-ot; B) most izessük Ft előleget, majd égy év múlva Ft-ot. Melyik a kedvezőbb árajálat, ha az éves kamatláb: a) %; b) 8%; c) 6,8%? Állítsuk övekedő sorredbe az alábbi pézösszegeket, ha az éves kamatláb %: A) a most esedékes Ft; B) az egy év múlva esedékes Ft; C) a két év múlva esedékes 6 Ft; D) a három év múlva esedékes 9 Ft. 89

90 G...g) Állítsuk övekedő sorredbe az alábbi pézösszegeket, ha az éves kamatláb %: A) a most esedékes Ft; B) az egy év múlva esedékes Ft; C) a két év múlva esedékes 9 Ft; D) a három év múlva esedékes Ft. G.. Nomiális, eektív és koorm kamatláb G...a) G...b) G...c) G...d) G...e) G...) G...g) Számítsuk ki a egyedévi %-os koorm kamatlábak megelelő éves eektív kamatlábat! Melyik a agyobb kamatláb: a havi % vagy az éves %? Válaszukat idokoljuk! Elhelyeztük a takarékba Ft-ot éves 8%-os kamatláb mellett. Meyi pézük lesz a egyedik év végé, ha A) a tőkésítés évete törtéik? B) havi lekötéssel helyeztük el pézüket? C) heti lekötést eltételezük? D) olytoos kamatozással számoluk? Elhelyeztük a takarékba Ft-ot éves %-os kamatláb mellett. Meyi pézük lesz az ötödik év végé, ha A) a tőkésítés évete törtéik? B) havi lekötéssel helyeztük el pézüket? C) heti lekötést eltételezük? D) olytoos kamatozással számoluk? Kölcsöt vettük el éves %-os kamatra, de a törlesztés havi redszerességgel törtéik. Mekkora az éves eektív kamatláb? Állítsuk övekvő sorredbe az alábbi kamatlábakat: A) havi %; B) egyedévi 9,%; C) élévi %; D) éves %. Állítsuk övekvő sorredbe az alábbi kamatlábakat: A) havi %; B) egyedévi 6%; C) élévi %; D) éves 8%. 9

91 G.. Az iláció igyelembe vétele G...a) G...b) Tegyük el, hogy a yugdíjasok %-os yugdíjemelést kaptak és az iláció %. Mekkora a yugdíjak vásárlóértékéek a övekedése? Tegyük el, hogy a közalkalmazottak -be %-os, 6-ba %-os és -be 6%-os béremelést kaptak. Az iláció mértéke ezekbe az évekbe megelelőe: %, % és 8% volt. Számítsuk ki a reálbérövekedést mide évbe külö-külö, és a három év alatt összese! G...c) Tegyük el, hogy jövőre 6%-os iláció várható és a vasutas dolgozók %- os reálbér-övekedést kérek. Mekkora omiális béremelés szükséges ehhez? G...d) G...e) %-os omiális béremelés %-os reálbér-övekedést eredméyez. Mekkora az iláció? Elhelyeztük a takarékba a pézüket havi lekötéssel éves 8% kamat mellett két évre. Mekkorára őtt pézük vásárlóértéke a két év alatt, ha az iláció az első évbe 9% és a második évbe 8% volt? G.. Gyűjtőjáradék és törlesztőjáradék Megjegyzés: Az alábbi eladatok gyorsabb és köyebb megoldásához haszálhatjuk az Ecel táblázatkezelőt, esetleg aak beépített pézügyi üggvéyeit. G...a) G...b) G...c) G...d) G...e) Egy éve át mide hóap elejé elhelyezük a takarékba Ft-ot. Mekkora pézösszeg áll a redelkezésükre az év végé, ha az éves kamatláb %? Koorm havi kamatlábbal számoljuk! Mekkora az a %-s éves kamatra elvett kölcsö összege, amit egy éve át kell törleszteük havi Ft-os részletekbe? Koorm havi kamatlábbal számoljuk! Számítsuk ki Ft három éves utamidejű kölcsö havi törlesztőrészletét, ha az éves kamatláb 8%! Ft egy éves kölcsö havi törlesztő részlete 9 68 Ft. Meyi a havi kamatláb?. jauár elejé először, aztá mide év elejé elhelyezük a takarékba Ft-ot, utoljára 6-ba.. jauár elejé egy személygépkocsit vásároltuk. Ehhez az összegyűjtött pézükhöz akkora kölcsöt vettük el, melyet havi egyelő Ft-os részletekbe törlesztettük vissza. Meyibe került a vásárolt személygépkocsi, ha a kamatláb az első három évbe %, majd két évig 8% és a törlesztés idejé havi %? G.. Beruházás gazdaságossági számítások G...a) Egy most iduló mft-os beruházás egy év múlva újabb mft-t igéyel. Ez a beruházás két év múlva mft, három év múlva mft és égy múlva 9

92 mft hozadékot eredméyez. A kamatláb 8%. Gazdaságos-e a beruházás? Számítsuk ki a ettó jeleérték-mutatóját és megtérülési rátáját! G...b) G...c) G...d) G...e) G...) G...g) G...h) Egy most iduló mft-os beruházás egy év múlva újabb mft-t igéyel. Ez a beruházás két év múlva mft, három év múlva mft és égy múlva mft hozadékot eredméyez. A kamatláb %. Gazdaságos-e a beruházás? Számítsuk ki a ettó jeleérték-mutatóját és megtérülési rátáját! Egy most iduló mft-os beruházás egy év múlva újabb mft-t igéyel. Ez a beruházás két év múlva mft, három év múlva 9 mft és égy múlva 8 mft hozadékot eredméyez. A kamatláb %. Gazdaságos-e a beruházás? Számítsuk ki a ettó jeleérték-mutatóját és megtérülési rátáját! Adjuk becslést a beruházás belső megtérülési rátájára! Egy most iduló mft-os beruházás egy év múlva újabb mft-t igéyel. Ez a beruházás két év múlva mft, három év múlva mft és égy múlva mft hozadékot eredméyez. A kamatláb %. Gazdaságos-e a beruházás? Számítsuk ki a ettó jeleérték-mutatóját és megtérülési rátáját! Adjuk becslést a beruházás belső megtérülési rátájára! Egy most iduló mft-os beruházás egy év múlva újabb mft-t igéyel. Ez a beruházás két év múlva mft, három év múlva mft és égy múlva mft hozadékot eredméyez. A kamatláb %. Gazdaságos-e a beruházás? Számítsuk ki a ettó jeleérték-mutatóját és megtérülési rátáját! Egy most iduló mft-os beruházás egy év múlva újabb mft-t igéyel. Ez a beruházás két év múlva mft, három év múlva mft és égy múlva mft hozadékot eredméyez. A kamatláb %. Gazdaságos-e a beruházás? Számítsuk ki a ettó jeleérték-mutatóját és megtérülési rátáját! Egy 8 mft beruházás megtérülési rátája,. Számítsuk ki a ettó jeleértékmutatóját! Egy 8 mft beruházás ettó jeleérték-mutatója mft. Számítsuk ki a megtérülési rátáját! G..6 G.. Az év elejé elhelyeztük a takarékba Ft-ot %-os kamatláb mellett. a) Meyi pézük lesz a hatodik év végé? b) Meyi pézük lesz a hatodik év végé, ha a tőkésítés havota törtéik a %-ak megelelő azoos kamatlábbal)? c) Meyi pézük lesz a hatodik év végé olytoos kamatozást eltételezve? Állítsuk övekvő sorredbe az alábbi kamatlábakat! A) havi %; B) éves %; C) egyedévi % G..8 Állítsuk övekvő sorredbe az alábbi pézösszegeket, ha az éves kamatláb %! A) a most esedékes eft; B) egy év múlva esedékes 8 eft; 9

93 C) két év múlva esedékes eft. G..9. jauár elejé először, aztá mide év elejé elhelyezük a takarékba Ft-ot, utoljára 6-ba.. jauár elejé szereték egy házi mozi redszert vásároli. Ehhez az összegyűjtött pézükhöz akkora kölcsöt veszük el, melyet mide év elejé egyelő Ft-os részletekbe törlesztük vissza öt éve keresztül, először 8-ba. Meyibe került a vásárolt készülék, ha a kamatláb az első három évbe %, majd három évig 8% és a törlesztés idejé %? G... jauár elejé elhelyeztük pézüket éves 6% kamatláb mellett. Mekkorára övekszik pézük vásárlóértéke 8. végére, ha az iláció az első égy évbe átlagosa 8%, majd a további évekbe %? G.. Beruháztuk égy éve át, mide év elejé 8 mft-ot. A harmadik évtől kezdődőe két éve át mft, majd a következő égy évbe mft hozadékkal számolhatuk. Gazdaságos-e a beruházás, ha a kamatláb végig %. Számítsuk ki a beruházás ettó jeleérték-mutatóját és megtérülési rátáját! G.. Számítsuk ki azokat a havi és éves) kamatlábakat, amelyeket az alábbi adatok jellemezek: Kölcsöösszeg hóap hóap 6 hóap 8 hóap 6 hóap hóap Ft 6 Ft 9 Ft 86 Ft 8 Ft 6 9 Ft 6 9 Ft Ft 6 Ft Ft Ft Ft Ft 9 Ft Ft 9 Ft 9 6 Ft 6 Ft Ft Ft Ft Kölcsöö sszeg Ft Ft Ft Ft Ft Havi törlesztőrészlet Futamidő Ft/hó 6 hóap Ft/hó 6 hóap 8 Ft/hó 6 hóap 6 Ft/hó 6 hóap 9 Ft/hó 6 hóap 9

94 6. Függvéyek határértéke, olytoos üggvéyek Mit korábba említettük, a határérték a matematikai aalízis kulcsotosságú ogalma, és ugyacsak agyo otos a matematika közgazdasági problémákál való alkalmazásaiba. A. ejezetbe a számsorozat határértékéek a ogalmát tárgyaltuk. A számsorozat a természetes számok halmazá értelmezett üggvéy. Ebbe a ejezetbe megismerkedük az egyváltozós valós üggvéy határértékéek és a vele szorosa kapcsolatos olytoosságak a ogalmával. Határérték élkül a valós számredszer meglehetőse hiáyos lee, léyegébe csak a racioális számok halmazára korlátozóda. Az irracioális számok, mit például a, csak végtele tizedes tört alakba írhatóak el. Tulajdoképpe az irracioális számok a racioális számok sorozataiak határértékei. 6. Deiíció Az a R torlódási potja a D R halmazak, ha a mide köryezetébe va D-ek a-tól külöböző eleme. 6. Deiíció Az :D R egyváltozós üggvéyek az a potba ahol a torlódási potja D -ek létezik határértéke, ha mide olya sorozat eseté, amelyre a D, a, a megelelő ) sorozat koverges. Ekkor az ) sorozatok midegyike egy és ugyaahhoz az A számhoz kovergál, amit az üggvéy a potbeli határértékéek evezük. Jele: ) A vagy ) A. a a torlódási pot üggvéy potbeli) határértéke ) A a Más szavakkal, a ) A azt jeleti, hogy a-hoz elegedőe közeli, de a- a tól külöböző értékek választásával elérhető, hogy a megelelő ) helyettesítési érték A-hoz tetszőlegese közeli legye. 6. Példa Számítsuk ki az alábbi határértékeket: ), és. Először is próbáljuk meg úgy eljári, hogy kiszámítjuk a megelelő üggvéyértékeket -ek -höz közeli értékeire. Az eredméyeket oglaljuk táblázatba. Számításaikhoz hívjuk segítségül az Ecelt. A táblázat első sorába szereplő számokat írjuk be például egy mukalap A:M celláiba, majd következő három sorba az egyes üggvéyértékek kiszámításához szükséges képleteket gépeljük. Például a C cellába az =*A^-*A+)/A-) utasítást gépelve kapjuk a táblázat harmadik sorába szereplő, értéket.,,8,9,99,999,9999,,,,,, 9

95 ,,,9,99, , 8, 8, 8, 9,,,,,9,99,999 ####,,,,,6 6, #### A táblázat második sorába szereplő értékekből azt a következtetést vohatjuk le, hogy az első határérték egyelő 8-cal. Valóba, bármilye -höz kovergáló sorozatot is veszük, a megelelő ) sorozat határértéke a.8 és.9 tételek alapjá egyelő lesz 8-cal. Nézzük a második határértéket, vagyis a táblázat harmadik sorát. Az itt szereplő #### azt jeleti, hogy eek a celláak az értéke em értelmezhető ú. ZÉRÓOSZTÓ). Eek elleére va egy olya sejtésük, hogy a második határérték egyelő -tel. Ez valóba így is va. Legye tetszőleges kovergáló olya számsorozat, amelyek tagjai em egyelők -vel: Ekkor a megelelő ) sorozat határértéke : N R, és. ) ) ) Ez a határérték ú. típusú, de mivel az sorozat tagjai a választás szerit em egyelők -vel, így az ) kiejezésre lehet egyszerűsítei. Következésképpe a.8 és.9 tételek alapjá ) ) ) ). Most vizsgáljuk meg a harmadik határértéket. A táblázatból is látszik, hogy ha jobbról közelítük a -hoz, akkor a üggvéyértékek egyre agyobbak leszek és tartaak a plusz végtelebe, míg ha balról közelítük a -höz, akkor a üggvéyértékek tartaak a míusz végtelebe. Ebből azt a következtetést vohatjuk le, hogy a harmadik határérték em létezik. Mit látjuk, a határérték deiíció szeriti kiszámítása elég hosszadalmas. Nem kell azoba megijedi, vaak egyszerűbb módszerek is a üggvéyek határértékeiek kiszámítására ezeket a későbbiekbe ismertetjük. Az előző példába eljutottuk másajta határértékek bevezetéséek szükségességéhez is. A további állítások egyszerűbb megogalmazásához célszerű most bevezeti a olytoosság ogalmát. Ha a üggvéy valamilye természeti vagy közgazdasági jeleség időbeli változását szemlélteti, akkor a üggvéy olytoossága azt tükrözi, hogy a változás olyamatos, hirtele ugrások em következek be. Godoljuk csak például a testsúlyuk vagy hőmérséklet változására, mit az idő üggvéyére. Itt a változást yilvá olyamatosak eltételezzük a üggvéy értéke em ugrik egyik értékről a másikra úgy, hogy a közbülső értékeket el e veé. Másrést azoba ez a üggvéy em olytoos, mivel a súlyt a hőmérsékletet) kilogrammba okokba) szoktuk megadi és ilyekor általába egész vagy racioális számértékeket eltételezük em szoktuk azt modai például, hogy a hőmérséklet Celsius ok. Vagy ézzük a Budapesti Érték Tőzsde api záró értékeit, ezek mid 9

96 egész számok. Külöböző közgazdasági elemzésekél mégis köyebb a számításokat elvégezi olytoos üggvéyek eltételezése mellett. 6. Deiíció Az :D R egyváltozós üggvéyt az a D potba olytoosak evezzük, ha mide a-hoz kovergáló : N D sorozat eseté a megelelő ) sorozat koverges. Ekkor az ) sorozatok midegyike a)-hoz kovergál. Az a szakadási helye - ek, ha em olytoos a-ba. üggvéy potbeli) olytoossága szakadási hely 6. Tétel Az :D R egyváltozós üggvéy akkor és csak akkor olytoos értelmezési tartomáyáak valamely a D potjába, ha ott létezik határértéke és ez a határérték egyelő a)-val létezik ) a és ) a). a 6.6 Deiíció Az :D R egyváltozós üggvéyt olytoosak evezzük, ha értelmezési tartomáyáak mide potjába olytoos. üggvéy potbeli) olytoossága ) a olytoos üggvéy a) A üggvéyek határértékéek kiszámítását agymértékbe megköyítik az alábbi a számsorozatok határértékeiek tulajdoságaihoz hasoló, azokból egyszerűe közvetkező állítások. 6. Tétel Legyeek g, : D R egyváltozós üggvéyek, a torlódási potja D-ek, továbbá Ekkor ) A és g ) B. a a ) az g üggvéyek is létezik határértéke az a potba, és a ) g ) ) g ) A B a a ) az g üggvéyek is létezik határértéke az a potba, és a ) B eseté az g ) g ) ) g ) A B a a üggvéyek is létezik határértéke az a műveleti tételek potba, és ) ) a A a g ) g ). B a Megjegyzés: Hasoló állítás ogalmazható meg az összetett 96

97 üggvéy határértékéről is. üggvéyek olytoossága 6.8 Tétel Tegyük el, hogy a g, : D R egyváltozós üggvéyek olytoosak az a potba. Ekkor ) az g üggvéy is olytoos az a potba, ) az g üggvéy is olytoos az a potba, ) g a) eseté az g üggvéy is olytoos az a potba, ) ha g olytoos az helye és olytoos az y g ) potba, akkor az g összetett üggvéy olytoos az potba, ahol g) ) g )) g ). y olytoos üggvéyek 6.9 Tétel Az alábbi üggvéyek olytoosak. Más szavakkal: az alábbi üggvéyekek értelmezési tartomáyuk mide potjába létezik határértéke, és ez a határérték egyelő az adott potba elvett helyettesítési értékkel, azaz ) a a). ) : R R, ) C, ahol C R ; ) : R R, ) ; ) : R R, ) si ; ) : R R, ) e ; ) : R R, ) l. 6. Következméy A poliomok, a racioális törtüggvéyek, a trigoometrikus üggvéyek, az epoeciális üggvéyek és a logaritmus üggvéyek olytoos üggvéyek. Az utóbbi állítás első ráézésre urcsá hagzik hogy lehet például a tages üggvéy olytoos, hisze vaak szakadási potjai). Még egyszer elhívjuk a igyelmet arra, hogy itt és a továbbiakba a olytoosságot mi a 6.6 deiícióba megogalmazottak szerit értjük. A üggvéy határértékéek és olytoosságáak a deiícióját a számsorozatok határértékéek segítségével adtuk meg. Létezik egy másik megközelítési módszer is, a deiíciókak ú. -yelve való megogalmazása. 9

98 6. Deiíció Azt modjuk, hogy :D R egyváltozós üggvéyek az a potba vett határértéke A, azaz ) A, ha mide számhoz létezik olya a -tól üggő) valós szám, hogy mide, a eseté ) A. üggvéy potbeli) határértéke -yelve ) A a Ez a deiíció azt jeleti, hogy bármilye kis is választuk, midig tuduk olya a választott -tól üggő ) számot találi, hogy ameyibe közelebb va a-hoz mit és a ), akkor az ) érték A-tól vett távolsága kisebb -ál. Megjegyezzük, hogy a 6. és a 6. deiícióba megogalmazott két állítás ekvivales egymással. Nézzük most a olytoosság ogalmáak a 6. deiícióba és a 6. tételbe megogalmazott állításokkal ekvivales ú. -yelve törtéő megadását. 6. Deiíció Az :D R egyváltozós üggvéyt az a D potba olytoosak evezzük, ha mide számhoz létezik olya -tól üggő) valós szám, hogy mide, a eseté ) a). üggvéy potbeli) olytoossága -yelve ) a a) Már a 6. példába láttuk, hogy üggvéyek a véges helye vett véges határértéke mellett találkozhatuk más típusú határértékekkel is. Deiiáljuk most ezeket. 6. Deiíció Az :D R egyváltozós üggvéyek az a potba ahol a torlódási potja, a] D -ek létezik bal oldali határértéke, ha mide olya sorozat eseté, amelyre megelelő a D, a ) a sorozat koverges. Ekkor az ) sorozatok midegyike egy és ugyaahhoz az A számhoz kovergál, amit az üggvéy a potbeli bal oldali határértékéek evezük. Jele: ) A vagy A. a ) ) a üggvéy bal oldali határértéke a ) A 98

99 üggvéy jobb oldali határértéke a ) A 6. Deiíció Az :D R egyváltozós üggvéyek az a potba ahol a torlódási potja D [ a, ) -ek létezik jobb oldali határértéke, ha mide olya sorozat eseté, amelyre a D, a ) a megelelő sorozat koverges. Ekkor az ) sorozatok midegyike egy és ugyaahhoz az A számhoz kovergál, amit az üggvéy a potbeli jobb oldali határértékéek evezük. Jele: ) A vagy A. a ) a ) balról jobbról) olytoos üggvéy 6. Deiíció Az :D R egyváltozós üggvéyt az a D potba balról jobbról) olytoosak evezzük, ha az üggvéy, a] D halmazra D [ a, ) halmazra) való leszűkítése olytoos a-ba. Köye igazolható az alábbi állítás. 6.6 Tétel Az :D R egyváltozós üggvéyek az a potba akkor és csak akkor létezik határértéke, ha az a potba létezik bal oldali és jobb oldali határértéke, és ezek egyelőek. Szimbólumokkal: a ) A ) ) ) a a A B. ) A; ) B; Vizsgáljuk meg az alábbi üggvéyt, potosabba e üggvéy határértéke létezéséek kérdését az potba. Szigumüggvéy előjel-üggvéy) : R R, ) sg,,, ha ha ha ; ;. 99

100 6. ábra A üggvéy értelmezéséből látszik, hogy mide egatív szám eseté a üggvéy értéke és mide pozitív szám eseté. Így a deiíció alapjá a üggvéy potba vett bal oldali határértéke ) és jobb oldali határértéke ). Mivel ez a két egyoldali határérték em egyezik meg egymással, ezért a üggvéyek em létezik határértéke az potba, következésképpe olytoos sem lehet ebbe a potba. Vegyük észre, hogy a 6., a 6. és a 6. deiíciók csak az a eltételekbe külöbözek egymástól. a, az a és az Rövide ogalmazva úgy is modhaták, hogy az üggvéy a potbeli határértéke ) A bal oldali határértéke ) A, jobb oldali határértéke ) A ), ha a mide olya a számsorozatra, amelyre ) számsorozat A-hoz tart. a a D, a és a, a megelelő a Most a üggvéyhatárértékek deiíciójáak azo eseteire térük át, amelyek a végteleel kapcsolatosak. 6. Deiíció Legye :D R egyváltozós üggvéy, és a torlódási potja D -ek. Az -ek az a potba a határértéke illetve, ha mide olya sorozat eseté, amelyre a D, a, a megelelő ) sorozat határértéke illetve. Jelöléseket alkalmazva: ) vagy a ) vagy a ) illetve a ). a Megjegyzés. A 6. és a 6. deiícióhoz hasolóa deiiáljuk azt, hogy a üggvéy valamely a potba vett bal oldali jobb oldali) határértéke illetve. üggvéy potbeli) határértéke, végtele ) a ) a üggvéy 6.8 Deiíció Legye az :D R egyváltozós üggvéy D

101 határértéke végtelebe véges ) A ) A végtelebe végtele értelmezési tartomáya elülről alulról) em korlátos halmaz. Azt modjuk, hogy az üggvéyek a plusz míusz) végtelebe létezik határértéke, ha mide olya sorozat eseté, amelyre ), a megelelő sorozat koverges. Ekkor eze ) sorozatok midegyike egy és ugyaahhoz az A számhoz kovergál, amit az üggvéy plusz míusz) végtelebe vett határértékéek evezük. Jelbe: ) A vagy ) A illetve ) A vagy ) A. ) Megjegyzés. Értelemszerűe 6. deiícióhoz hasolóa deiiáljuk azt, hogy a üggvéy plusz míusz)végtelebe vett határértéke illetve. A et deiiált határértékek émelyikéek szemléltetésére mely határértékekből összese tizeöt va lásd a 6. gyakorló eladatot) vegyük az ismert reciprok-üggvéyt : R \ {} R, ). Ekkor ), ), ), ). 6. ábra Bizoyítás élkül megemlítük még éháy evezetes határértéket, valamit azokat a otos az állításokat, amelyeket már tudat alatt) haszáltuk a. ejezetbe a üggvéyek vázolásakor. si a 6.9 Tétel és l a, ahol a.

102 6. Tétel a, ahol a és R. 6. Tétel,,, ha, ha, ha. 6. Tétel a a e, ahol R a. 6. Tétel Legye [ a, b] R és :[ a, b] R. Ha olytoos, akkor korlátos. 6. Tétel Weierstrass-tétel) Legye [ a, b] R és :[ a, b] R. Ha olytoos, akkor létezik olya, [ a, b], amelyekkel ) i R és ) sup R. 6. Tétel Bolzao-tétel) Legye [ a, b] R és :[ a, b] R. Ha olytoos, és a) b) akkor mide értéket elvesz az a) és b) között.

103 Elleőrző kérdések a 6. ejezethez E.6. E.6. E.6. E.6. E.6. E.6.6 E.6. E.6.8 E.6.9 A számhalmaz torlódási potjáak deiíciója. A üggvéy potbeli határértékéek deiíciója. A üggvéy potbeli olytoosságáak deiíciója. A üggvéy szakadási helyéek deiíciója. A olytoos üggvéy deiíciója. Fogalmazzuk meg a üggvéy határértéke és műveletek kapcsolatáról szóló tételeket. A üggvéy potbeli határértékéek deiíciója -yelve. A üggvéy bal jobb) oldali határértékéek deiíciója. A balról jobbról) olytoos üggvéy deiíciója. E.6. Fogalmazzuk meg az alábbi deiíciókat! E.6..a) ) A E.6..b) ) A E..6.c) ) A a a a E.6..d) a ) E.6..e) a ) E..6.) a ) E.6..g) a ) E.6..h) a ) E..6.i) a ) E.6..j) ) A E.6..k) ) A E.6..j) ) E.6..k) ) E.6..l) ) E.6..m) )

104 Gyakorló eladatok a 6. ejezethez G.6. G.6..a) G.6..b) Számítsuk ki az alábbi határértékeket! 6 9, ahol a ;; ; ; ; vázoljuk a graikoját!) a 8 6 8, ahol a 6; ; ; 6; ; vázoljuk a graikoját!) a G.6..c) 6 8, ahol a 6; ; ; 6; ; a G.6..d) 6 6 6, ahol a ; ; ;; ; vázoljuk a graikoját!) a 6 G.6..e) a 6, ahol a ; ; ;; ; G.6. Számítsuk ki az alábbi határértékeket! G.6..a) si 9 G.6..b) tg9 G.6..c) si 9 si G.6..d) tg9 tg G.6..e) ctg 9 ctg G.6..) si G.6..g) tg G.6..h) si si G.6..i) tg tg G.6..j) ctg ctg si 9 G.6..k) G.6..m) si 9 si G.6..o) si 9 G.6..q) si 9 si tg9 G.6..l) G.6..) tg9 tg G.6..p) tg 9 G.6..r) tg 9 tg

105 G.6..a) Folytoos-e az alábbi üggvéy? Vázoljuk a üggvéy graikoját! Határozzuk meg a üggvéy határértékét a -be és a -be! ƒ: R R, ) 6 ha { ; } ha ha G.6..b) Folytoos-e az alábbi üggvéy az potba? Vázoljuk a üggvéy graikoját! Határozzuk meg a üggvéy határértékét a be! -be és a - ƒ: R R, 8 6 ) ha { ; } ha ha G.6..c) Folytoos-e az alábbi üggvéy az potba? Vázoljuk a üggvéy graikoját! Határozzuk meg a üggvéy határértékét a be! -be és a - ƒ: R R, ) 8 ha {; 6} ha ha 6 G.6..d) Folytoos-e az alábbi üggvéy? Vázoljuk a üggvéy graikoját! Határozzuk meg a üggvéy határértékét a -be és a -be! ƒ: R R, ) ) ) ha { ; } ha ha

106 G.6..e) Folytoos-e az alábbi üggvéy? Vázoljuk a üggvéy graikoját! Határozzuk meg a üggvéy határértékét a -be és a -be! ƒ: R R, ) 9 ha {; } ha ha G.6..) Folytoos-e az alábbi üggvéy? Vázoljuk a üggvéy graikoját! Határozzuk meg a üggvéy határértékét a -be és a -be! ƒ: R R, ) ha {; } ha ha G.6..g) Folytoos-e az alábbi üggvéy az potba? Vázoljuk a üggvéy graikoját! Határozzuk meg a üggvéy határértékét a -be és a - be! Számítsuk ki a üggvéy bal oldali és jobb oldali határértékét az 6 potba! ƒ: R R, 8 ) 9 ha { ; 6} ha ha 6 G.6..h) Folytoos-e az alábbi üggvéy? Vázoljuk a üggvéy graikoját! Határozzuk meg a üggvéy határértékét a -be és a -be! ƒ: R R, ) 9) ) 6 ha { ; } ha ha 6

107 G.6. Számítsuk ki az alábbi határértékeket! 66 G.6..a) si) G.6..c) si) G.6..e) si) 9 8 G.6..g) si) G.6..i) si) G.6..k) si) 9 6 G.6..m) si) G.6..b) si) G.6..d) si) 9 8 G.6..) si) 8 G.6..h) si) G.6..j) si) G.6..l) si) 6 G.6..) si) 6 G.6..o) si) 6 G.6. Az A, B és C paraméterek alkalmas választásával adjuk meg az R azo legbővebb részhalmazát, amelye az alábbi üggvéy olytoos! G.6..a) ƒ: R R, si 6 ) A B C,, G.6..b) ƒ: R R, si 8 ) A B C,,

108 8 G.6..c) ƒ: R R,,, si ) C B A G.6..d) ƒ: R R,,, si 6 8 ) C B A G.6..e) ƒ: R R,,, si 8 ) C B A G.6..) ƒ: R R,,, si ) C B A

109 . Diereciálszámítás Szite mide tudomáyágba, így a természettudomáyokba, a műszaki tudomáyokba és a közgazdaságtaba is, otos aak vizsgálata, hogy milye gyorsa változak bizoyos meyiségek. A változás mértékéek leírására szolgáló ogalom a diereciálháyados derivált), amely a matematikai aalízis egyik közpoti ogalma. Segítségével számos elméleti és gyakorlati probléma válik köye megoldhatóvá. Ebbe a ejezetbe megismerkedük a üggvéy deriváltjáak a ogalmával és aak gyakorlati alkalmazásával a üggvéyek vizsgálatához. A diereciálszámítás és a vele szoros kapcsolatba lévő itegrálszámítás alapjait Isaac Newto 6-) és Gottried Leibiz 66-6) ektette le egymástól üggetleül.. A diereciálháyados ogalma, geometriai jeletése és közgazdasági értelmezése A diereciálháyados ogalmáak megadásához iduljuk ki a geometriai értelmezésből. Tekitsük az üggvéy graikoját görbéjét) az y-síkba és rögzítsük rajta egy P potot. Válasszuk a görbé egy P-től külöböző Q potot. A P és Q potoko átmeő egyeest a görbe szelőjéek evezzük. Ha a Q pot a graiko meté a rögzített P pot elé mozog, akkor a szelő a P körül ordul el. A üggvéygraiko P potjába húzott éritőjéek azt az PS egyeest evezzük, amelyhez a szelők tartaak, amikor a Q pot a P-hez tart. Határozzuk meg az éritő meredekségét, vagyis a szög agyságát!.. ábra A godolatmeetet a. ábra szemlélteti. A graiko rögzített P potjáak koordiátái legyeek, ) és a Q pot koordiátái pedig, ). A szelő és az tegely által alkotott szög megegyezik a QPR szöggel. A PQR derékszögű 9

110 háromszögbe a QPR szöggel szembe lévő és evezett szög melletti beogó aráya adja e szög tagesét: QR ) ) tg tgqpr. PR Amit a Q potot közelítjük a P-hez, úgy az abszcissza tegelye tart az -hoz és a szelő átmegy az éritőbe. Következésképpe a P potba húzott éritő meredeksége, vagyis az éritő és az tegely által alkotott szög tagese egyelő ) ) tg.. Deiíció Az :D R egyváltozós üggvéyt az értelmezési tartomáyáak belső potjába diereciálhatóak evezzük, ha létezik a ) ) véges határérték. Ekkor ezt a számot az üggvéy potbeli diereciálháyadosáak ) d evezzük. Jele: ' ) ) ) d ) ). Megjegyzés. A d : D \ { } R, d ) ) üggvéyt az üggvéy -hoz tartozó diereciaháyados-üggvéyéek evezzük. Ha a d üggvéyek -ba bal, illetve jobb oldali határértéke létezik, akkor bal, illetve jobb oldali diereciál-háyadosról beszélük, melyeket ), illetve ) módo jelölük. ' ) ' diereciálható üggvéy Megjegyezzük, hogy a eti határértéket bevezetve a h jelölést) a következőképpe is elírhatjuk: ' ) h h) h ). A diereciálháyados geometriai jeletése: ) az ' üggvéy graikojához az, ) potba húzott éritő ú. iráytagese, azaz az éritő és az tegely által alkotott szög tagese. Az éritő egyelete: y ) ' ) ). diereciálháyados diereciaháyadosüggvéy diereciálháyados geometriai jeletése

111 Közgazdaságtaba a határ szót haszálják a derivált jelölésére. Legye például C) valamilye termék egységéek előállítási költsége, R) az egység eladásából származó bevétel és P) az egység eladásából származó proit. Ekkor C' ) -et határköltségek, R' ) -et határbevételek és P' ) -et határproitak evezik be). A C ' ) határköltséget például a következőképpe kapjuk meg: C h) C ) C' ). h h Ha agy számú terméket állítuk elő, azaz elég agy ahhoz, hogy hozzá képest a h ullához közeli értékek tekithető, akkor C ) C ) C' ) C ) C ). A határköltség tehát közelítőe egyelő a C ) C ) költségövekedéssel azzal a többletköltséggel, ami ahhoz szükséges, hogy az számú termék helyett -et állítsuk elő. Olya elemi közgazdaságta jegyzetekbe, ahol a diereciálszámítás potos ogalmait mellőzik, a határköltséget éppe a C ) C ) külöbségkét deiiálják. diereciálháyados üggvéy derivált. Deiíció Legye :D R egyváltozós üggvéy és Az D diereciálható A ': A R, ' ) ba. ) üggvéyt az üggvéy diereciálháyados üggvéyéek vagy deriváltjáak evezzük. Megjegyzés. Nem tévesztedő össze a diereciaháyadosüggvéy és a diereciálháyados üggvéy. ). Példa Számítsuk ki az : R R, ) üggvéy diereciálháyadosát az potba! A deiíció értelmébe: ) ) ) ') 6 ) ) ). A következőkbe megadjuk az elemi üggvéyek deriváltjait, valamit az összeg, a szorzat, a háyados és az összetett üggvéy deriválásáak szabályait, amelyek jeletőse megköyítik az egyes üggvéyek kokrét potokba vett diereciálháyadosaiak kiszámítását. Ezeket megelőzőe most vizsgáljuk meg, milye kapcsolatba va a üggvéy diereciálhatósága a olytoossággal.

112 . Tétel Ha az egyváltozós üggvéy diereciálható az értelmezési tartomáyáak egy belső potjába, akkor olytoos is ebbe a potba. a deriválhatóság és a olytoosság kapcsolata Bizoyítás. Adva, hogy létezik a R ) ' ) ) véges határérték. Bizoyítadó, hogy ekkor olytoos az potba, azaz ) ). Nyilvá az értelmezési tartomáy mide potjára igaz a következő egyelőség: ) ) ) ) ). Számítsuk ki a ) határértéket elhaszálva a eti egyelőséget és a 6. tételt: ) ) ) ) ) ) ) ) ). Mivel a eltételezés szerit létezik a ) ' ) ) véges határérték, ezért ). Állításukat igazoltuk. Az állítás megordítása em igaz. Például az R R, : abszolútérték-üggvéy olytoos, de az potba em diereciálható.. ábra :D R ) ) ' ) ) ) ' ) )

113 Köye látható ugyais, hogy az potba a bal oldali diereciálháyados ) ) ') és ugyaott a jobb oldali diereciálháyados ') ) ). második derivált -edik derivált. Deiíció Legye az :D R egyváltozós üggvéy diereciálható az A D halmazo, és deriváltját jelölje '. Ha az ' üggvéy diereciálható az A D halmazo, akkor azt modjuk, hogy az A halmazo kétszer diereciálható, és az ' üggvéy deriváltját az üggvéy második deriváltjáak evezzük. Jele: ''. Hasolóa deiiáljuk a üggvéy -edik deriváltját: ) ) ' ', '' ') ) ),, '. A gyakorlati mukák sorá, amikor a természeti vagy gazdasági jeleségek közötti összeüggéseket próbáljuk vizsgáli, általába boyolult üggvéyekkel kell dolgozuk. Mukák megköyítésére célszerű ezeket a boyolult összeüggéseket leíró üggvéyeket olya egyszerűbb üggvéyekkel helyettesítei, amelyek valamilye értelembe) jól közelítik az eredetit. A legegyszerűbb a lieáris üggvéy, így természetese adódik, hogy a boyolult üggvéyekre először lieáris közelítést keressük. A diereciálháyados bevezetéséél láttuk, hogy az üggvéy graikojához az ) potba húzott éritő egyelete: y ) ' ) ). Ha az, üggvéy graikoját az, ) potba húzott éritővel, vagyis a üggvéyt az éritő-egyeest leíró lieáris üggvéyel helyettesítjük, akkor lieáris közelítésről beszélük. lieáris közelítés.6 Deiíció Legye D valós itervallum és az :D R üggvéy diereciálható. Az üggvéy lieáris közelítése az a pot köryezetébe ha közel va a -hoz): ) a) ' a) a). A másodokú közelítés ogalma boyolultabb, de a lieáristól potosabb. másodokú közelítés. Deiíció Legye D valós itervallum és az :D R üggvéy kétszer diereciálható. Az üggvéy másodokú közelítése az a pot köryezetébe: ) a a) ' a) a) '' a) ).

114 A üggvéy harmad-, va a következő ogalomra., -edokú közelítéséek bevezetéséhez szükségük.8 Deiíció Legye N. Az! szimbólummal jelölt, és! ;! )! ) képlettel megadott számot aktoriálisak evezzük. aktoriális.9 Deiíció Legye D valós itervallum és az :D R üggvéy -szer diereciálható. Az üggvéy -edokú közelítése az a pot köryezetébe: ' a)! '' a)! ) a)! ) a) a) a) a). Az egyelőség jobb oldalá lévő poliomot az üggvéy a köryezetébe vett -edredű Taylor-poliomjáak evezzük. -edokú közelítés Taylorpoliom Közelítő számításokál midig agyo otos megvizsgáli azt, mekkora hibát követük el. Ehhez yújt segítséget a következő állítás.. Tétel Taylor-tétel) Legye D valós itervallum és az :D R üggvéy ) -szer diereciálható. Ha, D, akkor létezik olya az és által meghatározott yílt itervallumba illetve eseté ), amellyel ) ) ) k) ) k ) ) ) k k! )!. Deiíció A eti egyelőséget Taylor-ormuláak, a bee szereplő utolsó tagot pedig maradéktagak evezzük.. Taylorormula Megjegyezzük, hogy a Taylor-poliom maradéktagja agyo gyorsa tart a 6 ullához, ugyais például, és! 688! 668 már kisebb, mit 8.! 9866 A számítógépek a Taylor-ormulá alapuló módszerek segítségével végzik el az ismert üggvéyekkel si, cos, log stb.) való számításokat.

115 . Elemi üggvéyek deriváltja, diereciálási szabályok. Tétel Az :D R egyváltozós üggvéy ': D R deriváltja a következő: ) : R R, ) C C R) ': R R, ' ), ) : R \{} R, ) Z) ': R \{} R, ' ), ) : R R, ) R) ': R R, ' ), ) : R R, ) e ': R R, ' ) e, ) : R R, ) a a R ) ': R R, ' ) a l a, 6) : R R, ) l ': R R, ' ), ) : R R, ) log a R a \ { }) ': R R, ' ), l a 8) : R R, 9) : R R, ) si ': R R, ) cos ': R R, ' ) cos, ' ) si, ) : R \ k ) R, ) : R \ k R, ) ctg ) tg ': D R, ': D R, ' ), cos ' ). si Felhívjuk a igyelmet arra, hogy a eti táblázat második oszlopába is üggvéyek szerepelek, tehát az üggvéy diereciálháyadosa az potba egyelő az ' üggvéy potba vett helyettesítési értékével. R R, ) üggvéy diereciál-. Példa Számítsuk ki az háyadosát az potba! : A táblázat második sora szerit ': R R, ' ), tehát ') 8.

116 . Tétel Legye az : R és a g : R D egyváltozós üggvéy diereciálható az értelmezési tartomáyáak potjába. Ekkor ebbe a potba ) mide c R eseté a c üggvéy is diereciálható, és c )' ) c ' ) ; ) az g is diereciálható, és g)' ) ' ) g' ) ; ) az g üggvéy is diereciálható, és D g g)' ) ' ) g ) ) g' ) ; ) g ) eseté az és g ' g üggvéy is diereciálható, ' ) g ) ) g' ) ). g ) ) Ha g diereciálható az Dg potba és diereciálható az y g ) D potba, akkor az g üggvéy is diereciálható -ba, és diereciálási szabályok c )' c ' g)' ' g' g)' ' g g' g ' ' g g' g g)' ) g ) ' g )) g' ). '. Példa Az : D R, ': D R, ' ) ) ctg üggvéy deriváltja: si ctg )' )'..6 Példa Az : R R, ) si üggvéy deriváltja: ': R R, ' ) l si cos.. Példa Az : R \ k R, ) ctg üggvéy deriváltja: ': R \ k R, cos ' si si cos cos ' ). si si si 6

117 . Diereciálható üggvéyek vizsgálata Most rátérük a üggvéy azo tulajdoságaiak mootoitás, szélsőérték stb.) vizsgálatára, amelyek a üggvéy diereciálháyadosáak segítségével köye elemezhetők. lokálisa övekvő csökkeő) üggvéy.8 Deiíció Az :D R egyváltozós üggvéyt az értelmezési tartomáyáak potjába lokálisa övekvőek csökkeőek) evezzük, ha létezik olya valós szám, hogy, ) D, továbbá mide, ) eseté ) ) ) ) és mide, ) eseté ) ). ) ) Megjegyezzük, hogy a lokális változás övekedés vagy csökkeés) a üggvéy értelmezési tartomáyáak belső potjára voatkozóa értedő, amire a deiícióba az, ) D eltétel utal. Köye igazolható az alábbi állítás, amely a potbeli lokális övekedés illetve csökkeés valamit a üggvéy itervallumo vett) mootoitása közötti kapcsolatot jellemzi..9 Tétel Az :D R egyváltozós üggvéy az értelmezési tartomáyáak I D yílt itervallumá akkor és csak akkor mooto övekvő csökkeő), ha az I itervallum mide potjába lokálisa övekvő csökkeő).

118 .. A mootoitás és a derivált kapcsolata, a lokális szélsőértékhely létezéséek eltételei Elérkeztük végre ahhoz a üggvéyvizsgálatál agyo otos állításhoz, amely a üggvéy mootoitását a üggvéy deriváltjáak előjelével jellemzi.. Tétel Legye az :D R egyváltozós üggvéy az értelmezési tartomáyáak I D yílt itervallumá diereciálható. Ha a üggvéy deriváltja pozitív az I itervallumo, vagyis ' ) mide I potba, akkor a üggvéy szigorúa mooto övekvő eze az itervallumo. Ha a üggvéy deriváltja egatív az I itervallumo, akkor a üggvéy szigorúa mooto csökkeő eze az itervallumo. a mooto övekedés csökkeés) elégséges eltétele Bizoyítás. Tegyük el, hogy a üggvéy deriváltja pozitív az I itervallumo, vagyis ) ) ' ) mide I potba. Igazolható, hogy ekkor létezik olya valós szám, amelyre ) ), ha, ),. Egy tört akkor és csak akkor pozitív, ha a számlálója és a evezője azoos előjelű, vagyis ) ), ) ), vagy. Következésképpe mide, ) eseté ) ) és mide, ) eseté ) ). Tehát a üggvéy mide I potba szigorúa lokálisa övekvő, és így a.9 tétel alapjá az szigorúa mooto övekvő az I itervallumo. Hasolóa igazolható állításuk második része. Felhívjuk a igyelmet arra, hogy az állítás megordítása em igaz. A szigorú mooto övekedésből em következik, hogy a derivált mideütt pozitív. Például, a szigorúa mooto övekvő : R R, ) üggvéy deriváltja az potba egyelő ullával. Az előző tételhez hasolóa igazolható a következő állítás. 8

119 a mooto övekedés csökkeés) szükséges eltétele. Tétel Legye az :D R egyváltozós üggvéy az értelmezési tartomáyáak I D yílt itervallumá diereciálható. Ha a üggvéy szigorúa mooto övekvő csökkeő) az I itervallumo, akkor a üggvéy deriváltja emegatív empozitív) eze az itervallumo, vagyis ' ) ' ) mide I eseté. A mootoitás vizsgálata utá térjük át a üggvéy szélsőértékhelyeiek meghatározására. a lokális szélsőértékhely létezéséek szükséges eltétele. Tétel Legye az :D R egyváltozós üggvéy az értelmezési tartomáyáak valamely belső potjába diereciálható. Ha lokális szélsőértékhelye -ek, akkor ' ). Bizoyítás. Legye lokális szélsőértékhelye -ek és tegyük el, hogy az állítással elletétbe ' ). Legye ' ). Ekkor a. tétel alapjá az üggvéy lokálisa övekvő az potba. Hasolóa kapjuk, hogy ' ) eseté az üggvéy lokálisa csökkeő az potba. Midkét eset kizárja azt, hogy lokális szélsőértékhelye legye -ek. Tehát eltételezésük miszerit ' ) elletmodáshoz vezet. Következésképpe ' ). A tételt bebizoyítottuk. stacioárius potok. Deiíció Legye az :D R egyváltozós üggvéy az értelmezési tartomáyáak valamely belső potjába diereciálható. Azokat az potokat, ahol ' ), az üggvéy stacioárius potjaiak evezzük. Ha a üggvéy diereciálható, akkor szélsőértékhelye csak a stacioárius potokba lehet. Azoba a üggvéyek lehet szélsőértéke olya potba is, ahol em diereciálható. Például az : R R, ) üggvéyek az lokális miimumhelye lásd. ábra), de az potba em diereciálható. Megjegyezzük, hogy az ' ) eltétel csak szükséges, de em elégséges eltétele aak, hogy az pot lokális szélsőértékhelye legye -ek. Például az : R R, ) üggvéy deriváltja az pot mégsem lokális szélsőértékhelye -ek. helye egyelő ullával, de az 9

120 . Tétel Legye az :D R egyváltozós üggvéy az értelmezési tartomáyáak valamely belső potjába és aak valamely köryezetébe diereciálható. Ha ' ) és ' előjelet vált -ba, akkor lokális szélsőértékhelye -ek. Mégpedig a lokális szélsőértékhely létezéséek elégséges eltétele a) ha ' egatív értékből pozitívba megy át -ba, akkor lokális miimumpotja -ek, b) ha ' pozitív értékből egatívba megy át -ba, akkor lokális maimumpotja -ek. Bizoyítás. Tegyük el, hogy át. Ekkor létezik olya, hogy és ' az potba egatív értékből pozitívba megy ' ) mide, ) eseté ' ) mide, ) eseté. Ezért, a. tétel alapjá, szigorúa mooto csökkeő az, ) itervallumo és szigorúa mooto övekvő az, ) itervallumo. Következésképpe -ek az potba lokális miimuma va. Hasolóa igazolható állításuk a lokális maimumpotra voatkozóa. Megogalmazuk egy másik, a. tételből közvetleül adódó, elégséges eltételt a lokális szélsőértékhely létezésére.. Tétel Legye az :D R egyváltozós üggvéy az értelmezési tartomáyáak valamely belső potjába kétszer diereciálható. Ha ' ) és '' ), akkor lokális szélsőértékhelye -ek, mégpedig a lokális szélsőértékhely létezéséek elégséges eltétele a) '' ) eseté lokális miimumpotja -ek, b) '' ) eseté lokális maimumpotja -ek. Bizoyítás. Az '' ) eltételből a. tétel szerit következik, hogy az ' üggvéy az potba lokálisa övekvő, és mivel ' ), ezért ' az potba egatív értékből pozitív értékbe megy át. Következésképpe, a. tétel értelmébe, lokális miimumpotja -ek. A lokális maimumpotra voatkozó állításuk hasolóa igazolható.

121 .6 Példa Határozzuk meg az : R R, üggvéy mootoitási itervallumait és lokális szélsőértékhelyeit! Először is elírjuk a üggvéy deriváltját: ': R R, ' ) 8. Az 8 másodokú egyeletet megoldva kapjuk, hogy a derivált zérushelyei az üggvéy stacioárius potjai) és. Ezért a derivált elírható ' ) ) ) alakba, amiből köye látszik, hogy ' egatív az, ) itervallumo és pozitív a,), ) halmazo. Ezért a. tétel alapjá szigorúa mooto csökkeő az, ) itervallumo és szigorúa mooto övekvő a,), ) halmazo. A. tétel alapjá lokális maimumpotja -ek és ) ) 6, míg lokális miimumpotja -ek és ) ) 6. ) Az alábbi két. és. ábra az üggvéyt és aak ' deriváltját ábrázolja. Javasoljuk, hogy godoljuk át a példát úgy, hogy közbe szem előtt tarjuk a. és a. tétel bizoyítását. A,) itervallumo ' pozitív, ezért az szigorúa mooto övekvő. Az, ) itervallumo ' egatív, ezért az szigorúa mooto csökkeő. Az, ) itervallumo ' pozitív, ezért az szigorúa mooto övekvő. Mivel ') és ' pozitív értékből egatív értékbe megy át az helye, ezért lokális maimumpot és ) ) 6. Továbbá, az helye ') és ' egatív értékből pozitív értékbe megy át, ezért lokális miimumpot és ) ) 6. Az elmodottak vázlatos összeoglalása: 9 9 lok. ma, ) 6 ; lok. mi ) 6. az üggvéy graikoja az ' üggvéy graikoja.. ábra.. ábra

122 Köye látszik az is, hogy az üggvéy második deriváltja '': R R, '' ) 6 8 az helye egatív értéket, az helye pedig pozitív értéket vesz el. Így a. tétel szerit is megállapíthatóak a üggvéy lokális szélsőértékhelyei... Kove és kokáv üggvéyek A üggvéy övekedése illetve csökkeése kétéleképpe törtéhet olya értelembe, hogy a változás üteme lehet övekvő vagy csökkeő. Eek jellemzésére alkalmazható a következő ogalom.. Deiíció Az :D R egyváltozós üggvéyt koveek kokávak) evezzük, ha graikojáak bármely két potját összekötő szakasz ics a graiko alatt elett). kove üggvéy kokáv üggvéy A deiíciót az alábbi két ábra szemlélteti... ábra kove.. ábra kokáv Nézzük a eti deiíció algebrai megogalmazását. Az alábbi deiíció megalapozottságát em részletezzük, midössze megemlítjük, hogy bármely [ a, b] itervallum potja a következőképpe írható el: a ) b, ahol [,]..8 Deiíció Az :D R egyváltozós üggvéyt koveek kokávak) evezzük értelmezési tartomáyáak valamely I itervallumá, ha mide, y I, y és mide [,] eseté ) y) ) ) y) ) y) ) ) y). Ha e eltételbe egyelőség csak és eseté teljesül, akkor szigorúa kove kokáv) az I itervallumo. kove üggvéy kokáv üggvéy

123 Diereciálható üggvéyek eseté a kove kokáv) üggvéy graikoja az éritési potoktól eltekitve midig az éritője elett alatt) va. Ezt szemlélteti az alábbi két ábra.,, tg tg,, tg tg.6. ábra kove.. ábra kokáv Észrevehetjük azt is, hogy kove üggvéy eseté övekvő és abszcisszájú potokba húzott éritők meredeksége az éritők és az tegely által alkotott és szögek agysága övekvő: eseté. Ekkor viszot a tages üggvéy szigorú mooto övekedése miatt tg tg. De tg ' ) és tg ' ). Következésképpe, mide, és eseté ' ) ' ). Ez azt jeleti, hogy potosa akkor kove, ha ' övekvő. Hasolóa kapjuk, hogy potosa akkor kokáv, ha ' csökkeő. Tulajdoképpe igazoltuk a következő állítást..9 Tétel Legye az :D R egyváltozós üggvéy az értelmezési tartomáyáak valamely I D yílt itervallumá diereciálható. Az üggvéy az I itervallumo akkor és csak akkor szigorúa) kove, illetve kokáv, ha ' szigorúa) mooto övekvő, illetve csökkeő. Alkalmazzuk az g ' üggvéyre a. tételt. Legye g' '' pozitív az I itervallumo. Ekkor g ' szigorúa mooto övekvő. Következésképpe a.9 tétel alapjá szigorúa kove. Hasoló godolatmeet ogalmazható meg kokáv üggvéy eseté. Az elmodottakat összeoglalva kapjuk a következőt.

124 . Tétel Legye az :D R egyváltozós üggvéy az értelmezési tartomáyáak I D yílt itervallumá kétszer diereciálható. Ha a üggvéy második deriváltja pozitív az I itervallumo, vagyis '' ) mide I potba, akkor a üggvéy szigorúa kove eze az itervallumo. Ha a üggvéy második deriváltja egatív az I itervallumo, akkor a üggvéy szigorúa kokáv eze az itervallumo. koveitás- kokávitás elégséges eltétele Megjegyezzük, hogy a koveitás és a kokávitás megelelőjekét a koveség és a kokávság megevezések is haszálatosak. E tulajdoságokkal kapcsolatosa jellegzetes potja a üggvéyek az ú. ileiós pot.. Deiíció Az :D R egyváltozós üggvéy értelmezési tartomáyáak belső potját ileiós potak evezzük, ha létezik az potot tartalmazó olya a, b) D itervallum, amelyre az a, ] itervallumo az üggvéy kove és az [, b) itervallumo kokáv, vagy ordítva az a, ] itervallumo kokáv és az [, b) itervallumo kove. ileiós pot Ez azt jeleti, hogy az graikojáak az, ) potba húzott éritő ebbe a potba metszi a üggvéy graikoját. A koveitás-kokávitás és az ' mootoitásáak etebb említett kapcsolatából a. tétel mitájára kapjuk a következőt.. Tétel Legye az :D R egyváltozós üggvéy az értelmezési tartomáyáak valamely belső potjába és aak valamely köryezetébe kétszer diereciálható. Ha '' ) és '' előjelet vált -ba, akkor ileiós potja -ek. az ileiós pot létezéséek elégséges eltétele Az elmodottak szemléltetésére olytassuk a.6 példába elírt üggvéyek az ott elkezdett vizsgálatát.. Példa Határozzuk meg az

125 : R R, ) üggvéy kove és kokáv itervallumait, illetve ileiós potját! Először is elírjuk a üggvéy második deriváltját: ': R R, ' ) 8, '': R R, '' ) 6 8. Köye látható, hogy a második derivált az helye egyelő ullával, amelytől balra egatív értékeket, míg jobbra pozitív értékeket vesz el. Így a. tétel alapjá az, ) itervallumo kokáv, és a, ) itervallumo kove. A. tétel alapjá kapjuk, hogy ileiós potja -ek, és ) ). A leírtakat yomo követhetjük a. ábrá. Mit a.6 példáál tettük, úgy most is elkészítjük az elmodottak rövid vázlatos összeoglalását. 9 9 il.p. )... Teljes üggvéyvizsgálat A közölt tételek segítségével megismerhetjük egy üggvéy sok jellemző tulajdoságát. Nézzük most ezeket részletese. Egy üggvéy részletesebb vizsgálata a korábba már említett kérdéseket elidézve és azoko túlmeőe a következőket oglalja magába teljes üggvéyvizsgálat): ) a üggvéy evezetes potjaiak zérushelyeiek és szakadási helyeiek póluspot, hézagpot) meghatározása; ) a üggvéy jeltartási itervallumaiak meghatározása: hol pozitív és hol egatív a üggvéy; ) a üggvéy viselkedése a evezetes potjaiak a köryezetébe előjelváltás, jobb és bal oldali) határérték; ) a üggvéy mootoitási itervallumaiak meghatározása: hol övekvő és hol csökkeő a üggvéy; ) a üggvéy lokális szélsőértékhelyeiek meghatározása; 6) a üggvéy kove és kokáv itervallumaiak meghatározása; ) a üggvéy ileiós potjaiak meghatározása; 8) aak vizsgálata, hogya viselkedik a üggvéy a -be és a -be létezik-e vízszites és erde aszimptotája, metszi-e a üggvéy graikoja azokat); 9) a üggvéy értékkészletéek meghatározása, aak eldötése, hogy a üggvéy páros-e, páratla-e, periodikus-e; ) a üggvéy vázlatos graikojáak elkészítése. Az elmodottak szemléltetésére ézzük a következő példát.

126 . Példa Végezzük el az alábbi üggvéy teljes vizsgálatát: : R \, ) R, ). ) ) Haladjuk az elmodottak szerit lépésről-lépésre.. Lépés A üggvéy evezetes potjaiak zérushelyeiek és szakadási helyeiek póluspot, hézagpot) meghatározása. Köye látható, hogy a számláló gyökei:, és ; a evező gyökei: és kétszeres gyök. A üggvéy evezetes potjai: hézagpot a számláló és a evező közös gyökei, kezdjük midig ezzel):, póluspot csak a evező gyökei):, zérushely csak a számláló gyökei): és. A hézagpot ismeretébe lehet egyszerűsítei ezt midig tegyük is meg! és írjuk el ) -et gyöktéyezős alakba, majd a továbbiakba ) -ek az egyszerűsítés utái alakját vizsgáljuk. ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ). Lépés A üggvéy jeltartási itervallumaiak meghatározása. Ehhez a. ejezet. példájába már ismertetett eljárást alkalmazva kapjuk, hogy pozitív a, ) és a, ) itervallumo, egatív a,) és az,) itervallumo.. Lépés A üggvéy viselkedése a evezetes potjaiak a köryezetébe. Először is kiszámítjuk a üggvéy határértékét az hézagpotba. ) ) 9 ). ) Az zérushelye a üggvéy értéke pozitívból egatívba megy át, tehát a graiko etről leelé metszi az tegelyt. A másik zérushelye viszot alulról elelé, mivel itt az ) egatív értékből pozitívba megy át. Az póluspotba ami csak a evező gyöke) a üggvéyek üggőleges aszimptotája va, vagyis a üggvéy értékei e pot köryezetébe tartaak a -hez vagy a -hez. Az előjelet a. lépésbe meghatározott jeltartási itervallum alapjá olvassuk le. Az pottól balra is és jobbra is egatív értéket vesz el a üggvéy, ezért ) és 6 ).. Lépés A üggvéy mootoitási itervallumaiak meghatározása. Ehhez először elírjuk a üggvéy deriváltját.

127 ': R \, R, ' ) ) ' ) ) ) ) ) )) 6 ). ) Most meghatározzuk a derivált zérushelyeit és jeltartási itervallumait: ' pozitív az,) itervallumo, ' egatív a,) és a, ) itervallumo. Következésképpe a üggvéy az,) itervallumo szigorúa mooto övekvő, míg a,) és a, ) itervallumo szigorúa mooto csökkeő.. Lépés A üggvéy lokális szélsőértékhelyeiek meghatározása. Az előző lépésbe végzett elemzésekből közvetleül kapjuk, hogy ) ) 6 lokális maimumpot és ). ) 9 Felhívjuk a igyelmet arra, hogy az em lokális miimumpot, hisze póluspot. A. és. lépés összesített rövid vázlatos összeoglalása:, lok. ma. ). 6. és. Lépés A üggvéy kove és kokáv itervallumaiak, valamit ileiós potjaiak meghatározása. Ehhez megkeressük a második deriváltat: '': R \, R, '' ) 6 '' ) ) 6 6 ) ) ) ) 6 ) 6 6 ). ) Köye látszik, hogy '' az potba ics értelmezve, az, potba egyelő ullával, tőle balra egatív értékeket, míg jobbra pozitív értékeket vesz el.

128 Következésképpe szigorúa kove az, itervallumo, míg szigorúa kokáv a a,) és az, itervallumo. Továbbá, ileiós potja -ek és Lépés Hogya viselkedik a üggvéy a -be és a -be? Köye látszik, hogy ) ), következésképpe az y egyees a üggvéy vízszites aszimptotája. Íme a üggvéy Mapple által készített graikoja:.8. ábra Az elmodottak alapjá látszik az is, hogy a üggvéy értékkészlete:,, továbbá em páros, em páratla és em periodikus. Bár em tartozik a megoldáshoz, de az érdekesség kedvéért az alábbi két ábrá vázoljuk az ' és az '' üggvéy graikoját. első deriváltjáak graikoja második deriváltjáak graikoja.9. ábra.. ábra Elleőrző kérdések a. ejezethez 8

129 E.. A üggvéy diereciálháyadosáak deiíciója. E.. A üggvéy diereciálháyadosáak geometriai jeletése. E.. A üggvéy diereciálháyados üggvéyéek a deiíciója. E.. A diereciálhatóság és a olytoosság kapcsolatáról szóló tétel. E.. Az -edik derivált deiíciója. E..6 Az aktoriális deiíciója. E.. Soroljuk el az elemi üggvéyek deriváltjait! E..8 Az összeg diereciálháyadosáak kiszámítása. E..9 A szorzat diereciálháyadosáak kiszámítása. E.. A háyados diereciálháyadosáak kiszámítása. E.. Az összetett üggvéy diereciálháyadosáak kiszámítása. E.. A üggvéy lokális övekedéséek deiíciója. E.. A üggvéy lokális csökkeéséek deiíciója. E.. A üggvéy mooto övekedéséek elégséges eltétele. E.. A üggvéy mooto csökkeéséek elégséges eltétele. E..6 A üggvéy mooto övekedéséek szükséges eltétele. E.. A üggvéy mooto csökkeéséek szükséges eltétele. E..8 A üggvéy lokális miimumhelye létezéséek szükséges eltétele. E..9 A üggvéy lokális maimumhelye létezéséek szükséges eltétele. E.. A stacioárius pot deiíciója. E.. A üggvéy lokális miimumhelye létezéséek elégséges eltétele. E.. A üggvéy lokális maimumhelye létezéséek elégséges eltétele. E.. A kove üggvéy deiíciója. E.. A kokáv üggvéy deiíciója. E.. Az ileiós pot deiíciója. E..6 A koveitás elégséges eltétele. E.. A kokávitás elégséges eltétele. E..8 Az ileiós pot létezéséek elégséges eltétele. E..9 Soroljuk el a teljes üggvéyvizsgálat lépéseit! 9

130 Gyakorló eladatok a. ejezethez G.. Határozzuk meg az alábbi üggvéyek diereciálháyados-üggvéyét! G...a) G...b) G...c) G...d) G...e) G...) G...g) G...h) G...i) G...j) : D R, ) si 9 8e ctg : D R, ) cos 6 8tg 8 : D R, ) 9l ctg 6si : D R, ) log e tg : D R, ) 6 9 ctg 6 : D R, ) 9si 6log : D R, ) cos 99 tg : D R, ) l 8 si log : D R, ) 8 ctg 6 : D R, ) si 8 6log G...k) : D R, 9 cos ) G...l) e 6 tg si ) 6l ctg G...m) : D R, 9 8 log 6 ) G...) 6 ctg ) si G...o) G...p) G...q) G...r) G...s) G...t) : D R, ) si 6 : D R, ) si 6 : D R, ) log si : D R, ) cos 6 : D R, ) cos 6 : D R, ) lcos 6

131 G.. Végezzük el az alábbi üggvéyek teljes vizsgálatát! G...a) ƒ: R R, ) 8 ) G...b) ƒ: R R, ) 9 8 ) G...c) ƒ: R R, ) ) G...d) ƒ: R R, ) ) G...e) ƒ: R R, ) 6 G...) ƒ: R R, ) G...g) ƒ:r\{-; } R, ) G...h) ƒ: R R, ) G...i) ƒ: R R, ) G...j) ƒ: R R, ) G...k) ƒ: R R, ) l G...l) : R R, ) e G...m) ƒ: R\{} R, ) l G...) R R, e ) e 8 G...o) ƒ:r\{} R, ) G...p) ƒ:r\{} R, ) ) ) G...q) ƒ:r\{} R, ) G...r) ƒ:r\{} R, ) ) ) G...s) ƒ:r\{} R, ) G...t) ƒ:r\{} R, ) G...u) : R\ R, ) G...v) : R\ R, ) 8 6 G...w) : R\ R, )

132 8. Itegrálszámítás A üggvéy graikoja adott potbeli meredekségéek geometriai vizsgálata a derivált ogalmához vezetett. Mit említettük, közgazdaságtaba agyo otos a deriváltak az az értelmezése, amely a üggvéy változásáak a gyorsaságával ügg össze. A deriválttal agyo szoros kapcsolatba lévő itegrál ogalmáak bevezetéséhez is leggyakrabba a geometriai értelmezést választják. Iduljuk ki abból, hogy egy em csupá szakaszokkal határolt) síkidom területét szereték meghatározi. Ehhez már az ókori görögök is azt a módszert alkalmazták, hogy az adott alakzatokhoz beírt és körülírt egyszerűbb geometriai alakzatokat pl. háromszög, téglalap, sokszög) szerkesztettek, amelyek területét köye meg tudták méri. Ha egyre kisebb a körülírt és a beírt alakzat területe közötti külöbség, vagyis ez a két terület közelítőleg egyelő egymással, akkor ez bizoyos potossággal az adott síkidom területéek tekithető. A XVII. századba jutott el a tudomáy ahhoz, hogy ezt a problémát véglegese megoldja, mégpedig a deriválás és az itegrálás közötti szoros kapcsolat eledezése által. 8. Határozatla itegrál primitív üggvéy) 8. Deiíció Legye D R egy itervallum vagy itervallumok egyesítése és, F : D R. Ha F diereciálható és deriváltja az üggvéy, akkor F-et az D halmaz eletti) primitív üggvéyéek vagy határozatla itegráljáak evezzük Jele: vagy ) d. primitív üggvéy határozatla itegrál 8. Példa Nevezzük meg az : R R, üggvéyét! ) üggvéy primitív Egy olya F üggvéyt kell keresük, amelyek deriváltja. Szerecsék va, köye látszik ugyais, hogy az F : R R, F ) üggvéy deriváltja az adott üggvéy, tehát az üggvéy egy primitív üggvéyét megeveztük. Köye észrevehető, hogy pl. a G : R R, G ) üggvéy is primitív üggvéye -ek. A két megevezett primitív üggvéye -ek ayiba tér el egymástól, hogy külöbségük kostas üggvéy. Ez általáos esetbe is így va. 8. Tétel Legye D R egy itervallum vagy itervallumok egyesítése és, F : D R. Ha F primitív üggvéye - ek, akkor mide C R eseté az F C üggvéy is primitív üggvéye -ek. Jelbe: ) d F ) C. primitív üggvéy határozatla itegrál

133 Az előző példára eleletüket tehát így is megadhatjuk: d C, ahol C R. Meg kell jegyezi, hogy az ) d jelölésbe a szimbólum az itegráljel, az ) az itegradus és a d azt jelöli, hogy az itegradus változója. A határozatla itegrál deiíciójából közvetleül következik, hogy az itegrál deriváltja megegyezik az itegradussal: sőt ) d ' = ), F' ) d F ) C. Felhívjuk a igyelmet arra, hogy jegyzetükbe a primitív üggvéy és a határozatla itegrál egy és ugyaaak a ogalomak két külöböző elevezése. Úgy is modhattuk vola, hogy az üggvéy bármely primitív üggvéyét az határozatla itegráljáak evezzük. Egyes jegyzetekbe a üggvéy határozatla itegrálja alatt a primitív üggvéyek összességét értik, ez az értelmezés azoba egyes esetekbe boyodalmakhoz vezethet lásd például a parciális itegrálás tételét). Az alábbi határozatla itegrálokat, amelyeket a deiíció alapjá köye elleőrizhetük, alapitegrálokak szokás evezi. 8. Tétel alap- itegrálok ) d C N, D R, C R ). ) d C R,, D R, C R ). ) d l C ) e d e C a ) a d C l a D R \, C R ). D R, C R ). a R, a, D R, C R ). 6) si d cos C D R, C R ). ) cos d si C D R, C R ). 8) d ctg C si D R \ k C R, ). 9) d tg C D R \ k ), C R. cos A tételbe D a szóba orgó primitív üggvéy értelmezési tartomáyát jelöli.

134 Általába ics olya szerecsék, hogy alapitegrálokat kellje meghatározuk. Megemlítjük azt is, hogy icse olya eljárás, amellyel egy tetszőleges üggvéyek meg tudák adi a primitív üggvéyét. Sőt bizoyított téy, hogy vaak olya üggvéyek, amelyekek em is létezik elemi üggvéyek segítségével kiejezhető primitív üggvéye. Ilye például az : R R, üggvéy. ) e Függvéyek határozatla itegráljaiak előállításához yújtaak segítséget az alábbi tételek, amelyekek helyessége deriválással köye elleőrizhető. 8. Tétel Legye D R egy itervallum és, g : D R. Ha -ek és g-ek létezik primitív üggvéye, akkor a c ahol c R ) és az g üggvéyek is létezik primitív üggvéye, és a) b) c c, g) g, vagy részletesebbe elírva: a ) b ) c ) d c ) d, ) g )) d ) d g ) d. itegrálási szabályok 8.6 Példa cos d d cos d = d cos d si C. 8. Tétel Legye A és B valós itervallum. Ha az : A R üggvéyek létezik primitív üggvéye, és g : B A egy diereciálható üggvéy, akkor az g) g' üggvéyek is létezik primitív üggvéye, továbbá va olya C R, hogy mide B eseté g ) g' ) d F g C )), ahol F az primitív üggvéye. helyettesítéssel való itegrálás g) g' F g 8.8 Példa si si cos d C. 8.9 Tétel Legye I valós itervallum, : I R és g : I R

135 parciális itegrálás g ' g ' g diereciálható üggvéyek, továbbá ' és g ' olytoos. Ha az ' g üggvéyek létezik primitív üggvéye, akkor az g' üggvéyek is létezik primitív üggvéye, továbbá va olya C R, hogy mide I eseté ) g' ) d ) g ) ' ) g ) d C. Az utóbbi két tételt itegrálási módszerekek szokás evezi. A parciális itegrálás módszerét legikább akkor szokás alkalmazi, ha két olya üggvéy szorzatáról va szó, ahol az egyik egy poliom, a másik az epoeciális, a sziusz vagy a kosziusz üggvéy. Ilyekor az g ' g ' g képletbe a poliomot kell -ek és a másik üggvéyt g' -ek választai. 8. Példa Számítsuk ki az cos d határozatla itegrált! A 8.9 tétel jelöléseit alkalmazva legye és g' cos. Ekkor ' és g si, továbbá cos d = si si d si cos C. 8. Határozott itegrál Legye :[ a, b] R egy korlátos üggvéy. Határozzuk meg az a, b, y és y ) görbék által alkotott ú. görbevoalú trapéz területét 8. ábra). Ehhez az [ a, b] itervallumot osszuk el részre. Az { a,,, b }, halmazt az [ a, b] itervallum elosztásáak, a részitervallumok hosszáak maimumát pedig a elosztás iomságáak evezzük. Az, ] itervallumból válasszuk ki [ i i egy tetszőleges i [ i, i ] potot és közelítsük a keresett területet a i i i alapú és i ) magasságú téglalapok területeiek összegével, ahol i,,, 8. ábra). A keresett terület tehát megközelítőleg egyelő T i ). i i Nyílvá miél kisebb a elosztás iomsága, aál potosabb a közelítés.

136 8. ábra 8. ábra 8. Deiíció Legye :[ a, b] R korlátos üggvéy, { a,,,, b } az [ a, b] itervallum elosz-tása, i i i, ma i a elosztás iomsága és i i [ i, i ] i,,, ). Az üggvéyt az [ a, b] itervallumo Riema-)itegrálhatóak evezzük, ha mide ullához kovergáló iomságú elosztássorozathoz tartozó mide i ) i i itegrálközelítő összegekből álló sorozat koverges. Ekkor ezek határértéke egyelő, és ezt a határértéket az üggvéy [ a, b] itervallumo vett határozott itegráljáak vagy Riema-itegráljáak evezzük. b b Jele: vagy ) d. a a Geometriai jeletése: az b ) d határozott itegrál az a a, b, y és y ) görbék által alkotott ú. görbevoalú trapéz területe, ameyibe emegatív. itegrálható üggvéy határozott itegrál b a ) d A következőkbe egy eljárást mutatuk a határozott itegrál közvetle kiszámítására. Ehhez szükségük va éháy deiícióra. 8. Deiíció a a a ) d, ) d = ) d. b b a 6