VI.Kombinatorika. Permutációk, variációk, kombinációk

Átírás

1 VI.ombiatorika. ermutációk, variációk, kombiációk VI..ermutációk ismétlés élkül és ismétléssel (sorredi kérdések) l..) Az,, számjegyekből, ismétlés élkül, háy háromjegyű szám írható? F. 6 db. va. A feti példába előállítottuk elem ismétlés élküli permutációit: elemet helyre redeztük úgy, hogy egy elem csak egyszer szerepelhetett. A permutációk számáak megállapítása: -a helyek sorszáma: I. II. III. -ból -ből -ből választok választok választok Tehát a permutációk száma: = ( permutáció elemből ). Ugyaazt jelöli a! ( faktoriális ) is. l..) Az ALOM szó betűiből háy égybetűs, em föltétleül értelmes szót lehet fölíri? (tegyük föl, hogy a betűk kártyáko állak, tehát em ismétlődhetek.) ALOM L M O ALMO L M O AOLM L.. AOML L.. AMLO L.. AMOL L M O Látható, hogy égy oszlop va, mivel a betűből bármelyik állhat az első helye. Hogy a maradék helyre a femaradó betűt 6 féle módo lehet elhelyezi, azt már az előző feladatba láthattuk. Másképpe godolkodva: I. II. III. IV = =! = ( db) ből ból ből ből választuk Tehát a felsorolt formák: elem ismétlés élküli permutációi (valójába a -ből csak 6- ot soroltuk föl, a többi csak el va kezdve). l..)

2 Egy gyerek öt kedvec köyvét (Beedek Elek, Móra Ferec, Gárdoyi Géza, áyádi Sádor, Lázár Ervi) cserélgeti egy köyvespolco. Mide ap egyféle sorredet alakít ki. Háy apig kell cserélgetie, ha azt akarja, hogy mide sorredet kialakítso? hely köyv = =! = 0 F.0 apig tart, amíg az összes sorredet ki tudja alakítai. Egy-egy sorred elemek egy permutációja, ismétlés élkül. l..) Az ALMA szó betűiből égybetűs szavakat alkotuk. Háyat lehet? Fel lehet íri mid a -et, de közülük -t ki kell húzi: eyi esetbe kapuk olyat, amit már előzőleg megkaptuk. Így godolkodhatuk: Vesszük úgy, mitha mid a betű külöböző lee, de az így kapható számot osztai kell!-sal, jele esetbe -vel. Ha rögzítjük két em ismétlődő betű pozícióját: ALMA, mide esetbe potosa feleayi felírás va, mert A-t A-val felcserélve em kapuk új felírásokat. Egésze potosa: ayiszor kevesebb permutáció va, aháyszor az ismétlődő betűk a femaradt helyekre elhelyezhetők leéek, ha azok külöbözők voláak. Amit így felírtuk elem permutációi ( elemet helyre redeztük), amelyek közül kettő ismétlődött.,,! Jele: = = = =! l..) Adottak a következő számkártyák:. Háy ötjegyű szám alkotható ezekből? Itt az kártyák mide rögzített pozíciója eseté hatszor kevesebb eset va ( 6 ).,,! 0 Tehát = = = 0.! 6 l.6.) Az, számjegyekből háy olya ötjegyű szám írható föl, amelybe az -es háromszor, a -es pedig kétszer szerepel?,! 0 = = = 0!! ( ) ( ) A feti példák alapjá foglaljuk össze: - elem em ismétléses permutációja azt jeleti, hogy db külöböző elemből választuk helyre. Ezek száma: =! = ( ) ( )... =

3 : elem permutációiak száma, vagy! faktoriális midkettő ugyaazt a dolgot jelöli. -Az ismétléses permutációál is elem va, és hely va, de az elemek közül redre k db egyforma k db egyforma,..., k db egyforma, tehát k + k k, =. k, k!,..., k A permutációk száma: = k! k!... k! l.7.) a.)a TERELTE szó betűit háyféle módo lehet egymás mellé helyezi? b.)hát az ÉDESAU szó esetébe? a.) TERELTE T = db E = db,,, 7! 7 6 = 7 7 = = = 0 ( db) R = db!!!! ( ) ( ) L = db b.)nics ismétlődés 7 = 7 6 = 00 ( db) VI..Variációk ismétlődés élkül és ismétlődéssel (kiválasztási és sorredi kérdések) l..) Va égy számkártya:. Háy háromjegyű szám rakható ki ezekből? -ből -ból -ből = (db) Választuk db 6 db 6 db 6 db Amit felírtuk elem -ad osztályú variációi, ismétlés élkül. ( elemből helyre választottuk, ismétlődés élkül) Jele: V = = ( db) Tehát külöböző elem k-ad osztályú variációi: elemből választuk k helyre és mide elem csak egyszer szerepelhet.

4 k A variációk száma: V = ( ) ( )... ( k + ) k db szorzótéyezö! Az előbbi képletből levezethető: V k = ( k)! l..) A,,, számjegyek felhaszálásával háy háromjegyű szám írható fel? (a számjegyek ismétlődhetek). -ből -ből -ből Tehát ismétléssel elemből választuk helyre. választok, V i = = = 6( db) Itt elem ismétléses variációiról va szó. Az ismétléses variációál elemből választuk k helyre, de a kiválasztott elemek megit szerepelhetek. k, i k V = l..) Egy yuszika egy öt fokozatú lépcső tetejé áll. Ugrádozik lefelé úgy, hogy bármelyik lépcsőfokra ráugorhat, vagy át is ugorhatja. Háyféle ugráskombiációt próbálhat ki, amíg a földre ér? Mide lépcsőfokál lehetőség közül Választhat: vagy ráugrik, vagy em. Tehát lehetőségből választ helyre:, i V = = 6, vagy: I. II. III. IV. (lépcsőfok) l..) Dobókockával dobuk egymás utá égyszer és az eredméyeket (a dobások számjegyét) egymás mellé írjuk. Így mide égy dobás utá egy-egy égyjegyű számot kapuk. Háy esetbe lesz a kapott égyjegyű szám -gyel osztható? A -gyel való oszthatóság szabálya alapjá a jó végződések:, 6,,, 6,,, 6, 6. Tehát 9 db jó végződés va. I. II. III. IV. Az első két hely eseté 6-ból választuk: 6 6., i V 6 = = ide választuk a 6 ból fix: 9 jó végzödés Tehát Ö = 9 6 = jó szám va. l.. Adott a következő elredezés. Háyféle képpe olvasható ki belőle a MATE szó, ha csak jobbra vagy lefele léphetük?

5 M A T E lépés va M-től -ig. Mide esetbe kétféle lehetőség A T E va. Tehát, i V = = 6. T E E -Másképpe megoldva: Idexeljük a betűket azzal a számmal, amely azt mutatja, hogy az illető betűhöz háyféle módo juthatuk. M A T E T E A T E 6 E Bármelyik -hoz jutuk, az mid jó, tehát a betűk idexeit összeadjuk Ö = = 6 l.6.) Adott a mellékelt elredezés. Háyféleképpe olvasható ki A VIZSGA szó, ha csak jobbra vagy lefelé lehet haladi? V I Z S I Z S G Z S G A A V-től az A-ig haladva lépéslehetőség. Ebből az elredezést figyelve törtéhet,! jobbra és lefelé. Tehát a lépések száma: = = 0!! -A feladat ugyaaz, mitha a j, j, j, l, l betűket redezém helyre (jobbra, lefelé ),, tehát valóba -ről va szó. -Másképpe megoldva: idexeljük a betűket azzal a számmal, amely azt mutatja, hogy az illető betűhöz háyféle módo juthatuk. Az utolsó betű (A) idexe megadja az összlehetőségek számát: V I Z S I Z S G Z S G6 A0 Látható, hogy az eredméy így is 0. VI..ombiációk ismétlés élkül és ismétléssel (kiválasztási kérdések) A feladat: elemből k elemet tartalmazó részhalmazokat alkoti. Másképpe: elemből válasszuk ki k darabot úgy, hogy a kiválasztott elemek sorredje em számít. Bármelyik megfogalmazást tekitjük, elem k-ad osztályú ismétlés élküli kombiációiról va szó.

6 Jelölés: C k, vagy. k Megjegyzés Az első megfogalmazásba azért em kell hagsúlyozi, hogy em fotos a sorred, mert maga a halmaz fogalma tartalmazza azt, hogy az elemek sorredjétől el lehet tekitei. l..) A {,,, } halmazak háy elemes részhalmaza va? F. db, éspedig: {,, }; {,., }; {,, }; {,, }. Megjegyzés A variációk.)-es feladatáál ugyaezekből a számjegyekből alkottuk ismétlődés élkül háromjegyű számokat. Ahhoz viszoyítva most 6 kevesebb eset va. Miért? -Az egyszer kiválasztott számot itt em kell átredezi más sorredbe, mit a variációkál, tehát ayiszor kevesebb eset va. Ez ayi, mit aháyszor a elemet a megadott sorredbe tudtuk vola helyezi, vagyis -szor kevesebb eset va. Amit fölírtuk elemek -ad osztályú ismétlés élküli kombiációi. V C = = = eset va. k k V! Általába a em ismétléses kombiáció képlete: C = = k k!( k)! l..) Osszuk szét tauló között egyforma ajádékot úgy, hogy mide gyerek csak - ajádékot kaphat. Háyféle módo lehet? Most a taulókból választuk az ajádékokhoz. Mivel az ajádékok egyformák, a kiválasztott tauló között em kell cserélgeti az ajádékokat, tehát em variációról, haem kombiációról va szó. V C = = = 0 l..) Ugyaaz a feladat, de egy tauló több ajádékot is kaphat. Megoldás: V -aphatak a taulók - ajádékot (mit az előbb), ezek száma: C = = = 0 -aphat egy tauló ajádékot és egy tauló -et. Így az taulóból -t választuk. Az így kapott számot megduplázzuk, mert az első kaphat kettőt és a második egyet, vagy fordítva. C = = 0 -aphat egy tauló ajádékot - féle képpe. Tehát összese = eset va. 6

7 Amit felírtuk ebbe a. példába az elem -ad osztályú ismétléses kombiációi voltak. 7 6 Megfigyelhető, hogy = C + = C7 = = k, i k Így az ismétléses kombiáció képletét alkalmaztuk, vagyis: C = C+ k. Tehát az ismétléses kombiációk számáak kiszámítása visszavezetődik a em ismétléses kombiáció képletére. Tehát elem k-ad osztályú ismétléses kombiációja azt jeleti, hogy az db elemből k darabot úgy választuk, hogy bármelyik elem többször is előfordul. l..) Egy urába 0 cédula va -0-ig megszámozva. ihúzuk cédulát úgy, hogy mide húzás utá a kihúzott cédulát visszatesszük. Háy esetbe lesz a kihúzott legkisebb szám agyobb hatál? db olya cédula va, amelye hatál agyobb számok vaak. Tehát elemből kell -ös sorozatokat alkoti, ahol a sorred em számít, vagyis kombiációról va szó. Mivel mide húzás utá visszatevődik a már kihúzott cédula, ezért ismétléses a kombiáció., A válasz tehát: C i = C+ = C8 = 868. l..) Háy átlója va egy szabályos oldalú sokszögek? A db hármakét em kollieáris potból --t választva meghúzzuk az összes lehetséges egyeest. Ezek között a sokszög oldalai is ott leszek, tehát ezeket levojuk. Azért va szó kombiációról, mert a két kiválasztott pot sorredje em számít (em számít, hogy oda, vagy vissza húzzuk az egyeest). V C = = = = (db átló) l.6.) Egy polco üveg bor va: 0 fehér és vörös. Háyféle módo lehet kiválasztai ezek közül 6 üveggel, hogy közötte üveg vörös bor legye? C = = 0 ( vörös bor) C0 = = 0 ( fehér bor) Tehát C C0 = 0 0 = 00 féleképpe. l.7.) Egy -es létszámú osztályba létre kell hozi egy tagú bizottságot, amelybe legye titkár, a másik csak tag. Háy olya eset va, amikor ovács Éva: a.) titkára a bizottságak? b.) em titkár, de tag a bizottságba? c.) szerepel a bizottságba? 7

8 a.)ha ovács Éva a titkár, akkor a maradék taulóból választuk helyre: C = = 6. b.)valaki titkár lesz, ovács Éva tag. A titkár helyére féle választás va. A tag helyére C 0 ( helyre választuk, mert a titkárt már kiválasztottuk és ovács Éva is elfoglalt egy helyet.) Tehát Ö = C 0 = = 9 8 = 860. c.)az előző kettőből következik, hogy + = 7. C C 0 8