Valószínűség számítási feladatok és megoldásaik

Átírás

1 Valószínűség számítási feladatok és megoldásaik Egy szabályos dobókockával egyszer dobunk Milyen esemény valószínűsége lehet az illetve az érték? P(a dobott szám prím) = P(a dobott szám -mal nem osztható) = P(a dobott szám -mal osztható) = Egy dodekaéder lapjaira ráírtuk a számokat --ig Mekkora a valószínűsége, hogy a) a dobott szám 4-gyel osztható, b) a dobott szám -mal osztható, c) a dobott szám 4-gyel és -mal osztható, d) a dobott szám 4-gyel vagy -mal osztható, e) a dobott szám sem -mal, sem -vel nem osztható, f) a dobott szám jegyeinek összege legfeljebb 4, g) a dobott szám nem négyzetszám? a A tizenkét számból három osztható 4-gyel : 4, 8, 4 b A tizenkét számból négy osztható -mal :, 6, 9, 4 c Csak a osztható -mal és 4-gyel, tehát, a, d Azt már láttuk, hogy három 4-gyel, illetve négy -mal osztható szám van a tizenkét szám között A kettőt összeadva azt kapjuk, hogy 4+=7 olyan szám van, ami 4-gyel vagy -mal osztható De a -t kétszer is beleszámoltuk, ezért valójában csak 7-=6 ilyen szám van Vagyis 6

2 e Nem osztható sem -vel, sem -mal az, az, a 7 és a, ezért 4 f A számjegyek összege legfeljebb 4 az,a, a, a 4, a 0, a és a számoknál, ezért 7 g Négyzetszámok az, a 4, a 9, a többi kilenc nem az, tehát 9 4 Fanni a zsebében lévő két szem citromos és két szem málnás cukorkából kivesz kettőt Mekkora a valószínűsége annak, hogy különböző ízűek? A négy cukorkából kettőt 4 6 módon lehet kiválasztani Ezekből nekünk két eset nem felel meg: ha a két citromosat, vagy a két málnásat választja Ezek valószínűsége esetben különböző a két cukor íze Ennek a valószínűsége: ) A többi négy (Ezt így is megkaphattuk volna: 4 Két tálban 0-0 darab alma van, mindegyikben egy sárga, a többi piros Bekötött szemmel választunk egy-egy almát mindkét tálból a) Mekkora a valószínűsége annak, hogy a két sárgát választjuk? b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy egy sárgát és egy pirosat választunk? c) Mekkora a valószínűsége annak, hogy legalább az egyik választott alma piros? a) Annak a valószínűsége, hogy az egyik tálból a sárga almát választjuk 0, A két tálból egymástól függetlenül választunk, ezért annak a valószínűsége, hogy mindkét tálból a sárgát vesszük ki 0, 0, 0,0 b) Annak a valószínűsége, hogy az egyik tálból a sárga almát választjuk 0,; annak, hogy a pirosat 0,9 A sárga almát vagy az első, vagy a második tálból választhatjuk, ezért a két különböző színű alma választásának valószínűsége: 0, 0,9+0,9 0,= 0, 0,9=0,8 c) Ha legalább az egyik alma piros, akkor vagy az egyik piros és a másik sárga, vagy mindkettő piros Annak a valószínűsége, hogy az egyik választott alma piros, a másik pedig sárga a b feladat szerint 0,8 Annak a valószínűsége, hogy mindkét választott alma piros 0,9 0,9=0,8 Így annak a valószínűsége, hogy legalább az egyik választott alma piros: 0,8+0,8=0,99 Ugyanerre az eredményre jutunk, ha azt mondjuk, hogy akkor nem lenne egy piros alma sem, ha mind a kétszer sárgát választunk Tehát P(legalább az egyik piros)=-p(mindkettő sárga)=-0,0=0,99 Az számkártyákat összekeverjük, majd egymás után letesszük az asztalra Mekkora a valószínűsége annak, hogy az így kirakott négyjegyű szám

3 a) páratlan, b) hárommal osztható, c) néggyel osztható? A négy számkártyát 4 =4 különböző sorrendben tudjuk egymás után letenni a) Akkor páratlan, ha -re vagy -ra végződik, ez a 4 lehetséges eset fele, vagyis a valószínűsége 0, b) A számjegyek összege +++4=0, azaz egyik szám sem lesz hárommal osztható, a valószínűség 0 c) Akkor osztható néggyel, ha az utolsó két számjegy vagy 4 vagy Mindhárom esetben a maradék két számjegy kétféle sorrendben állhat elöl, tehát a kedvező esetek száma =6 A valószínűség tehát Két dobókockával dobunk egyszerre és összeadjuk a dobott számokat Tomi arra fogad, hogy az összeg 6 lesz, Laci arra, hogy az összeg 7 lesz, Feri pedig arra, hogy az összeg 8 lesz Melyiküknek van nagyobb esélye a nyerésre? Két kockával egyszerre dobva 6 6=6 a lehetséges esetek száma Ebből a 6-ból kell kiválasztanunk azokat, amelyeknél a dobott számok összege 6, vagy 7, vagy 8 Az ; ; ; 4; ; 6 számokból a 6 is, a 7 is és a 8 is háromféle módon állítható elő két szám összegeként: 6 = + 7 = +6 8 = +6 6 = +4 7 = + 8 = + 6 = + 7 = +4 8 = 4+4 Jelöljük meg az egyik dobókockát! Amikor a két összeadandó azonos, akkor a jelöletlen és a jelölt kockán is ugyanaz a szám áll, vagyis ez az eset egyféleképpen jöhet létre Amikor a két összeadandó különböző, akkor két lehetőség van: a jelölt kockán van az első összeadandó és a jelöletlenen a második, vagy fordítva Így a hat ++=, a hét ++=6, a nyolc ++= esetben jöhet létre a 6 lehetséges esetből Ezért a tippelt összegek valószínűsége: Tehát Laci a legesélyesebb a nyerésre, Tomi és Feri esélye egyforma (Egy dobókocka szemközti lapjain mindig 7 a számok összege Tehát, ha áll fölül, akkor 6 alul; ha fölül, akkor alul Így az + összegnek megfeleltethető egy +6 összeg Ugyanígy bármelyik 6-os összegnek megfeleltethető egy 8-as összeg; így látható, hogy ugyanannyiféleképpen lesz az összeg 6, mint 8) 7 Két dobókockával dobunk Mennyi a valószínűsége annak, hogy a dobott számok

4 a) szorzata, b) szorzata prímszám? Az egyik kockával is hatféle számot dobhatunk, a másikkal is, ezért összesen 6 6 = 6 elemi esemény lehetséges a = A szorzat négyféleképpen állhat elő, ezért P(a szorzat ) = b A szorzatok között három prímszám van, a, a és az Mindegyik kétféleképpen jöhet ki: = =, = =, = =, ez 6 eset Tehát P(a szorzat prímszám) = Két dobókockával dobunk Adjunk meg olyan elemi eseményeket, amelyek valószínűsége a b c d a P(a dobott számok összege ) = = b P(a dobott számok összege páros négyzetszám) = = c P(a dobott számok összege -nél nagyobb prímszám) = = d P(a dobott számok szorzata legfeljebb 6) = 9 Egy fiókban van hat pár kesztyű a Csukott szemmel kiveszünk belőle két darabot Mekkora a valószínűsége annak, hogy két jobbkezes kesztyűt választunk? b A hat pár kesztyűből kivettünk két darab jobbkezest, majd a maradékból megint húzunk két darabot csukott szemmel Mekkora a valószínűsége annak, hogy két balkezest választunk? a 6 db jobbkezes és 6 db balkezes kesztyű van a fiókban Közülük kettőt 4!!0! lehetséges módon tudunk kiválasztani Kedvező az az eset, ha mindkét kesztyű a 6 6! jobbkezesek közül kerül ki Ez esetben fordulhat elő Így két jobbkezes kesztyű!4! kiválasztásának valószínűsége: P JJ 66

5 b Most 4 db jobbkezes és 6 db balkezes kesztyű van a fiókban Közülük kettőt 0 0!!8! lehetséges módon tudunk kiválasztani Most az a kedvező, ha mindkét kesztyű a balkezesek közül kerül ki Ez 6 6!!4! esetben fordulhat elő Így két balkezes kesztyű kiválasztásának valószínűsége: P BB 4 0Karesz pénztárcájában db 0 Ft-os van Édesanyja betett a húszasok mellé néhány 0 Ft-ost is Hány db tízest kapott Karesz, ha ezek után a pénztárcájából találomra kiválasztott érme 0,8 valószínűséggel 0 Ft-os? Ha édesanyja x db 0 Ft-ost tesz a pénztárcába, akkor x + db érem lesz benne Így P(0-est választunk) = tett a pénztárcába 8 0 x x innen x = 0, tehát Karesz édesanyja 0 db 0 Ft-ost A virágoskertben tavasszal háromféle tulipán (piros, sárga, rózsaszín) és kétféle nárcisz (fehér és sárga) nyílik egyszerre A szobában a váza mellett egy kosárkában mindig van öt cédula, a következő feliratokkal: piros tulipán, sárga tulipán, rózsaszín tulipán, fehér nárcisz, sárga nárcisz Mama minden nap egy cédula kihúzásával dönti el, melyikből szedjen a vázába Mekkora a valószínűsége annak, hogy két egymást követő napon a sárga nárciszt; b ugyanolyan virágot; c tulipánt szed? a Mama első nap öt cédulából húz, a sárga nárcisz valószínűsége cédulából húz, a sárga nárcisz valószínűsége ismét nárcisz valószínűsége: Másnap szintén öt Így két egymást követő napon a sárga b Ha a két napon ugyanolyan virágot szed, akkor a második napi húzásnál ugyanazt a cédulát kell kihúzni, amit első nap Egy adott cédula kihúzásának a valószínűsége Tehát annak a valószínűsége, hogy két egymást követő napon ugyanolyan virágot szed mama a vázába c Az ötféle virágból három tulipán, így annak a valószínűsége, hogy mama tulipános cédulát húz A második napon is ugyanazokból a cédulákból húz, így két egymást követő napon a tulipán valószínűsége: 9