KOMBINATORIKA. Készítette: Bordi István Tóth Árpád Gimnázium Debrecen,

Átírás

1 KOMBINATORIKA 1 Készítette: Bordi Istvá Tóth Árpád Gimázium Debrece, boi@tagdebr.suliet.hu

2 Kérdések: A KOMBINATORIKA TÁRGYA 1. elemet háyféleképpe lehet egymás mellé tei (permutáció). 2. elemből háyféleképpe lehet kiválasztai k elemet úgy, hogy a sorred em számít (kombiáció). 3. elemből háyféleképpe lehet kiválasztai k elemet úgy, hogy a sorred számít (variáció). 2

3 Példák: a) Háyféleképpe tölthető ki egy lottószelvéy? b) Háy értelmes vagy értelmetle szó képezhető a MATEMATIKA szó betűiből? c) Háyféleképpe lehet égy játékos között kiosztai az 52 lapos fracia kártyát? d) Háy háromjegyű szám képezhető az 1, 2, 3, 5 számjegyekből? e) Háyféle módo ülhet le 6 személy egy padra egymás mellé, és háyféleképpe helyezkedhet el egy kerek asztal körül? 3

4 1. PERMUTÁCIÓK 1.1. ISMÉTLÉS NÉLKÜLI ESET DEFINÍCIÓ: külöböző elem egy sorredjét az elem egy permutációjáak evezzük. 4

5 Példa: Legye: a, b, c. Permutációk pl.: b c a, c a b, a c b, stb. Meyi a permutációk száma? Vegyük az {1,2,3} halmazt. A lehetséges permutációk

6 T: számú elem összes permutációiak száma P. P = ( - 1)( - 2) =!!= ( - 1)( - 2) Megjegyzés. 1.! = (-1)! ezért a feti képlet így is írható: P = P -1 (rekurzív képlet). 2. Defiíció szerit 0! = 1, és 1!=1. Példa. Írjuk le 4 elem lehetséges permutációit. abcd bacd cabd dabc abdc badc cadb dacb acbd bcad cbad dbac acdb bcda cbda dbca adbc bdac cdab dcab adcb bdca cdba dcba 6

7 MEGJEGYZÉS 1. Az övekedésével az! agyo erőse övekszik. Például 10!= Az! közelítésére a Stirlig formulát haszálhatjuk:! 2e 1 2 7

8 1.2. ISMÉTLÉSES ESET DEFINÍCIÓ: Ismétléses permutáció, em feltétle külöböző elem egy sorredjét az elem ismétléses permutációjáak evezzük. 8

9 T: elem ismétléses permutációiak száma: P k, k2,..., k! k! k!... k! 1 2 ( k 1 k 2... k 1 r Példa. Az 1, 1, 2, 3 elemek eseté: P 4! 2! r ;2 r ). 12. Példa. A MATEMATIKA szó betűiből alkotott összes ismétléses permutációk száma: 10! !2!2! 9

10 2. VARIÁCIÓK 2.1. ISMÉTLÉS NÉLKÜLI ESET DEFINÍCIÓ: Az külöböző elem közül kiválasztott k külöböző elem ( k) egy sorredjét az elem k-ad osztályú ismétlés élküli variációjáak evezzük. 10

11 2.1. ISMÉTLÉS NÉLKÜLI ESET T: Az ismétlés élküli variációk száma V k, V k! ( k)! k-1 k (-1)-féleképpe -féleképpe 1... k 1 11

12 Példa: Háy háromjegyű szám képezhető az 1,2,3,4,5 számjegyekből, ha ugyaaz a számjegy mide számba csak egyszer fordul elő? Megoldás: V 5! 2! ! 2! 5;3 60. Példa: Egy 30 fős csoportból háyféleképpe állíthatuk össze elökből, alelökből, titkárból és péztárosból álló vezetőséget? Megoldás: V 30 ; 4 = =

13 PÉLDA Egy 30 fős csoportból háyféleképpe állíthatuk össze elökből, alelökből, titkárból és péztárosból álló vezetőséget? Megoldás: V 30 ; 4 = =

14 DEFINÍCIÓ: Az külöböző elemből kiválasztott k, em feltétle külöböző elem egy sorredjét az elem k-ad osztályú ismétléses variációjáak evezzük. T: Az elem k-ad osztályú ismétléses variációiak a száma:, i k V k. 14

15 Példa: Írjuk fel az 1, 2, 3, 4 elemek másodosztályú ismétléses variációit! Megoldás: Példa: Háy totószelvéyt kell kitölteük (külöböző módo) ahhoz, hogy biztosa legye köztük 13 találatos? Megoldás: Ismétléses variációról va szó tehát i V ;

16 3. KOMBINÁCIÓK 3.1. ISMÉTLÉS NÉLKÜLI ESET DEFINÍCIÓ: Az külöböző elemből kiválasztott k elemet az elem k-ad osztályú ismétlés élküli kombiációjáak evezzük. T: Az ismétlés élküli kombiációk száma:! ( 1) ( k 1) C ; k k k! k! k! Megjegyzés: 1 0 Példa: Háyféleképpe lehet kitöltei egy lottószelvéyt? 16

17 Megoldás: ISMÉTLÉSES ESET DEFINÍCIÓ: Az külöböző elem közül kiválasztott k, em feltétle külöböző elemet az elem k-ad osztályú ismétléses kombiációjáak evezzük. T: Az elem k-ad osztályú ismétléses kombiációi száma: C i ; k k 1 k Példa: 7 elemből háy olya hármas csoport yerhető, ahol az elemek sorredjére em kell tekitettel lei, és ugyaazt az elemet egy csoportba akár 3-szor is fel lehet tüteti? 17

18 Megoldás: C i 7;3 84. Példa: 4 pézérmét dobuk fel egyszerre. Háyféle eset lehetséges a fej, írás kombiációkra? Megoldás:

19 4. A BINOMIÁLIS TÉTEL ÉS A PASCAL-HÁ- ROMSZÖG a b a 0 a 1 b a k ab 1 k b k0 a k biomiális együttható; Biomiális tétel Ezekből az alábbi Pascal háromszöget kapjuk. b k b 19

20

21 Tulajdoságok: 1. Szélső elemek: 2. Szimmetria: 0 k 1 k 3. Összeg tulajdoság: k k 1 k Az -edik sor elemeiek összege: (1 1) k0 k 2 21

22 22