Klasszikus valószínűségi mező megoldás

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Klasszikus valószínűségi mező megoldás"

Átírás

1 Klasszikus valószínűségi mező megoldás Ha egy Kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek, vagyis az elemi eseményeknek azonos a valószínűségük, akkor a kísérelttel kapcsolatos események és ezek valószínűségei ún. klasszikus valószínűségi mezőt alkotnak. Legyen A a kísérlettel kapcsolatos esemény. Ha az A esemény a kísérlet n elemi eseménye közül k különböző elemi esemény össegéből áll, akkor valőszínűsége: Feladatok: p(a) = k n ( = kedvező elemi események száma összes elemi események száma 1. Ha tíz könyvet helyezünk el tetszőleges sorrendben egy könyvespolcon, és három könyvet előre megjelölünk, akkor mi a valószínűsége annak, hogy az elhelyezés során a megjelölt könyvek egymás mellé kerülnek? Először az össes lehetséges sorrendek számát határozzuk meg. Ez nem lesz más mint 10 elem permutációinak száma: n = 10!. Ezután a kedvező elemi eseményeket határozzuk meg. A három megjelölt könyv egymás közti sorrendjének száma elem permutációinak számával egyenlő: P =!. Minden rögzített egymás közti sorrend a többi könnyvhöz viszonyítva többféle módon történhet meg. Ezek számát úgy állapítjuk meg, hogy a három egymás melletti könyvet most egy elemnek tekintve, és a többi könyvet hét elemnek véve, összesen elemet állíthatunk még tetszőleges sorrendbe. Ezek száma elem permutációinak számával egyenlő: P =!. Így a kedvező elemi események száma k = P P =!!. Ekkor a vizsgált esemény valószínűsége: ) p = k n =!! 10! = 6 90 = Tíz telefonvezeték közül négy beázás miatt használhatatlanná válik. Ezután 4 vonalon hívást kísérelnek meg. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a hívások fele a beázás miatt nem lesz sikeres. Meghatározzuk az összes elemi események n számát. A 10 vonal közül 4 vonalon történik hívás, vagyis 10 elemből 4-et kell kiválasztanunk, sorrendre való tekintet ( ) nélkül. Ezek száma megegyezik elem negyedosztályú kombinációinak számával: n = C10 4 =. Ezután a kedvező elemi események 4 ( ) 6 k számát határozzuk meg. A két sikeres hívás a 6 jó vezetéken történhet. Ezek száma: C6 =. A ( ) 4 két sikertelen hívás a 4 hibás vezetéken megy végbe. Ezek száma: C4 =. Ezek szorzata adja a ( ) ( ) 6 4 kedvező események számát: k = C6 C4 =. Ekkor az adott esemény valószínűsége: p = k n = ( ) ( ) 6 4 ( ) = ! 4!! 10! 6! 4! 4!!! = 6! 6! 4! 4!!!! 4! 4! 10! = Egy 1 tagú diákcsoportban 10 fiú és lány van. Két színházjegyet sorsolnak ki egymás között. A sorsolást úgy végzik, hogy az összes nevet tartalmazó dobozból két nevet húznak ki. Mi a valószínűsége annak, hogy a két lány kapja a jegyeket?

2 Az összes elemi ( ) esemény száma nem lesz más, mint 1 elem másodosztályú kimbinációk száma: 1 n = C1 =. A kedvező elemi események száma pedig k = 1. Ekkor annak valószínűsége, hogy két lányt sorsolnak ki: p = k n = ( 1 1 ) = = 1 1! 1 11 = !! 4. Egy minden oldalán befestett kockát 1000 azonos méretű kis kockára fűrészelnek szét. A kis kockából véletlenszerűen választunk egyet. Mi a valószínűsége annak, hogy ez két oldalán van festve? Az összes elemi események száma n = Most meghatározzuk a kedvező elemi események számát. Az eredeti kocka 1 élén olyan kis kocka keletkezik, amelyeknek pontosan két oldala festett, ezért k = 1 = 96. Így az adott esemény valószínűsége: p = k n = 96 = 0, Dominójátszma esetén egy dominót választunk, mely nem dupla, vagyis kétféle pontérték van a két felén. Ezután a többi dominóból egy második dominót választunk véletlenszerűen. Mi a valószínűsége annak, hogy a második dominót az elsőhöz hozzá lehet tenni? Tudva, hogy egy dominókon 0-tól -ig terjedő pontozás található, az összes elemi esemény száma eggyel kevesebb (hiszen egy dominót már kiválasztottunk), mint 9 elem másodosztályú ismétléses kombinációk száma: n = C 9 1 = ( ) = ( ) 10 1 = 10!!! 1 = = 44 Most a kedvező események számát határozzok meg. A kivett dominóhoz márcsak dominó tehető hozzá, így a kedvező elemi események száma k = = 16. Ekkor a megadott esemény valószínűsége: p = k n = = Egy csomag magyar kártyából kiveszünk egy lapot, megnézzük majd visszatesszük. Ezután jól megkeverjük a csomagot, és ismét választunk egy lapot. Mi a valószínűsége annak, hogy ez utóbbi lap nem azonos színű az elsővel? Az összes elemi események száma nyilván n =. Mivel négy szín van és mindegyikből lap, ezért a kedvező elemi események száma k = = 4. Így annak valószínűsége, hogy a másodszor kihúzott lap más színű lesz, mint az első? p = k n = 4 = Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy 1-től tartó egész számok közül kiválasztott szám négyzete, ill. a negyedik hatványa az egyes számjegyre végződik. Mindkét esetben az elemi események száma n = Az első esetben a kedvező esemény az, ha a kihúzott szám utolsó számjegye 1 vagy 9, hiszen ezek négyzete végződik 1-re. Ezek száma k 1 = 000. Ekkor az adott esemény valószínűsége: p 1 = k 1 n = = 1 5. A második esetben a kedvező elemi esemény az lesz amikor a kihúzott szám utolsó számjegye 1, ; 7; 9 lesz, mert ezek negyedik hatványa végződik 1-re, ezek száma k = Ekkor az adott esemény valószínűsége p 1 = k n = = 5.

3 . Két egész számot választunk véletlenszerűen az 1-től ig terjedő egész számok közül. Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy szorzatuk utolsó számjegye egyes legyen. Az elemi esmények száma n = = 10. Jelölje (a, b) azt az esemény, amelynél az első szám a-ra, a második szám b-re végződik. Jelölje A a kedvező eseményt. Ekkor A = (1; 1) + (; 7) + (7; ) + (9, 9). Így a kedvező elemi események száma k = = Ekkor az adott esemény valószínűsége: p = k n = = = Tíz lapra felírjuk a tíz számjegyet. Mi a valószínűsége annak, hogy két lapot találomra kiválasztva és egymás mellé téve, a kapott szám osztható 1-cal? A lehetséges elemi események száma (sorrendet is figyelembe vesszük) n = 10 9 = 90. A kedvező elemi esmények a következők lehetnek csak: 1, 6, 54, 7, 90. Ezek száma k = 5. Így az adott esemény valószínűsége p = k n = 5 90 = Nyolc azonos lapra felírjuk a következő számokat:, 4, 6, 7, 10, 11, 1, 1. Közülük két lapot találomra kiválasztunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott lapokon levő számokat egy tört számlálójának, illetve nevezőjének véve a tört egyszerűsíthető? A lehetséges ( ) elemi események száma elem másodosztályú kombinációinak számával egyenlő: n = C =. Mivel a páratlan számok prímszámok és semelyik páros szám sem osztható velük, ezért ( ) 5 a kedvező esetek száma megegyezik 5 elem másodosztályú variációinak számával: k = C5 =. Így a keresett valószínűség: ( ) 5 p = k n = ( ) =!! = 10! = !! 11. Öt különböző hosszúságú szakasz hossza rendre 1,, 5, 7, 9 egység. Mi a valószínűsége annak, hogy véletlenszerűen kiválasztva közülük hármat, a kiválasztot szakaszokból háromszög szerkeszthető? A lehetséges ( ) elemi események száma megegyezik öt elem harmadosztályú kondinációinak számával: 5 n = C5 =. A kedvező elemi események a következők lesznek (a sorrendtől eltekintünk): (; 5; 7), (; 5; 9) és (5, 7, 9).Tehát ezek száma k =. A keresett valószínűség pedig: p = k b = ( ) = 5!! = Tíz golyó van egy dobozban. Közülük kettő fehér, a többi fekete. Kiveszünk találomra öt golyót. Mi a valószínűsége annak, hogy fehér golyó is lesz közöttük?

4 Az ( összes ) elemi esemény száma megegyezik 10 elem ötödosztályú kombinációinak számával: n = 10. Most a nem kedvező elemi események számát határozzuk meg, vagyis csak fekete golyót húzhatunk. Ezek száma megegyezik ( ) elem (hiszen ennyi fekete golyó van) másodosztályú kombinációinak 5 számával: k = C 5 =. Ekkor az adott esemény valószínűsége: 5 p = 1 k n = 1!! 10! = ! = = Egy kiállításon a gyel kezdődő ötjegyű számokkal ellátott jegyekből az első sorozat elfogyott. Egy véletlenszerűen kiválasztott látogató jegyét, mely az első sorozatból való, megnézzük. Mi a valószínűsége annak, hogy a jegy számjegyei közt nincs ismétlődés? A lehetséges elemiesemények száma eggyel kevesebb, mint 10 elem ötödosztályú ismétléses permutációinak számával: n = V = Az a kedvező esemény, amelynél a számok nem ismétlődnek. Ezért a kedvező elemi események száma megegyezik 10 elem ötödosztályú variációinak számával: k = V10 5 = 10!. Akkor az adott esemény valószínűsége: p = 10! = = 60 0, Egy lapos magyar kártyából egyszerre lapot húzunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott lapok között legalább egy zöld van? ( ) Az lehetséges elemi események száma elem harmadosztályú kombinációi adják: n = C =. Vegyük az adott esemény ellentett eseményét, vagyis a kivett lapok között a zöld szín nem ( ) szerepel. Ezek száma megegyezik 4 elem harmadosztályú kombinációinak számával: k 4 = C4 =. Ekkor az adott esemény valósznűsége: ( ) 4 p = 1 k n = 1 ) = 1 ( 4! 1!!! 9!! = = , Egyszerre dobuk 6 szabályos dobókockával. Mi a valószínűsége annak, hogy legalább két kockán azonos pontszám lesz? Az összes elemi eseményt megkapjuk, ha vesszük a 6 elem hatodosztályú ismétléses variációit. Ezek száma n = V6 6 = 6 6. Vesszük a kedvező esemény ellentett eseményét, vagyis a dobott számok között nem lesz ismétlődés. Ezek száma viszont 6 permutációinak száma: k = P 6 = 6!. Így az adott esemény valószínűsége: p = 1 k n = 1 6! 0, Adjuk meg annak a valószínűségét, hogy egy totószelvényt vaktában kitöltve, az első 1 mérkőzés eredmény közül 11-et találunk el.

5 A szelvény kitöltésére az összes lehetséges esetek száma mivel 1 helyre választunk az 1,, x elemekből elem 1-adosztályú ismétléses variációinak száma adja: V 1 = 1. Ezután a kedvező elemi eseményeket határozzuk meg. A 1 mérkőzés eredményeiből 11-et a szelvényen el kell találni, kettőt viszont nem találhatunk el. A két el nem talált eredményt a 1-ból annyiféleképpen választható ki, amennyi 1 elem másodosztályú kombinációinak száma. E két mérkőzés mindegyikére hibás tippünk van, vagyis ezekre a tippek számát elem másodosztályú ( variációinak ) száma adja. 1 Így a kedvező elemi események számát ezek szorzata adja: k = C1 V =. Végül az adott esemény valószínűsége: ( ) 1 p = k n = = Egy dobozban 5 korong van, amelyeknek az 1,,, 4, 5 számjegyek közül egy-eg szerepel. Három korongot húzunk ki egymás után úgy, hogy a kihúzottat az új húzás előtt visszatesszük a dobozba. Mi a valószínűsége annak, hogy a három korongról beolvasott számjegyek összege 10? Mivel három helyre választhatunk öt elemből úgy, hogy ismétlődés is lehetséges és a sorrendre is tekintettel vagyunk, ezért az elemi események száma öt elem harmadosztályú ismétléses variációinak számával egyenlő: n = V5 = 5 = 15. Ezután meghatározzuk a kedvező események számát. A három kihúzott számjegyből a következő felbontásokban kaphatunk összegként 10-et: ! = 6-féleképpen, + + 5! = 6-féleképpen,! ! = -féleképpen! + + 4! = -féleképpen összesen: k = = 1 Ekkor az adott esemény valószínűsége: p = k n = Egy dobozban negyven darab boríték van. Ezek közül 15-ben 60 e, 11-ben 50 e, -ban 40-e, -ban 10 evan, a többi üres. Két borítékot találomra kiveszünk a dobozból. Mi a valószínűsége annak, hogy ezekben összesen 60 evan? ( ) 40 Az elemi események számát 40 elem másodosztályú kombinációinak száma adja: n = C40 =. Most összeszámoljuk a kedvező elemi eseményeket, vagyis a két borítékban összesen 60 evan: 60 e + 0 e 14 = 5-féleképpen, 50 e + 10 e 11 = -féleképpen, összesen: k = 5 + = 5. Így az adott esemény valószínűsége p = k n = ( 5 ) = !!! = = Egy 5 lapos kártyacsomagból 1 lapot találomra kihúzunk. Mi a valószínűsége annak, hogy a treff király a 1 lap között lesz?

6 A lehetséges elemi események száma 5 elem 1-adosztályú kombinációinak számával egyezik: ( ) 5 n = C5 1 =. 1 A kedvező elemi események száma pedig 51 elem 1-edosztályú combinációinak számával ( ) egyezik 51 meg, hiszen a treff király közöttük van és a többi 1 lap tetszőleges lehet: k = C51 1 =. Ekkor 1 az adott esemény valószínűsége: ( ) 51 51! p = k n = 1 ( ) = 9! 1! = = ! 1! 0. Egy futballklub edzésének megkezdése előtt az edzésen résztvevő játékost két ccsoportba osztják. Mi a valószínűsége annak, hogy ha találomra történik a szétosztás két 11-es csoportba, a két legjobb játékos egymás ellen játsszik? Előszor meghatározzuk az összes elemi események számát. Az egyik kiemelt ( játékos ) a fenmaradt 1 1-ből 10-et választhat, a fennmaradt 11 lesz a másik csapat: n = C1 10 =. A kedvező elemi 10 események száma pedig megegyezik 0 elem 10-ed osztályú ( ) kombinációinak számával, ugyanis a másik 0 legjobb csak a másik csapatban lehet: k = C0 10 =. Ekkor az adott esemény valószínűsége: 10 ( ) 0 0! p = k n = 10 ( ) = 10! 10! = ! ! 10! 1. Egy sötét helységben 4 egyforma pár cipő össze van keverve. Kiválasztunk ezekből 4 darab cipőt. Mi a valószínűsége annak, hogy egy legalább egy összetartozó pár van a kivettek között? Az összes ( ) elemi események száma megegyezik elem negyedosztályú kombinációinak számával: n = C 4 =. Meghatározzuk az adott esemény ellentett eséményének elemi eseményeinke számát. Ez 4 úgy következhetbe, vagy csupa ballábas, vagy csupa jobblábas cipőt veszünk ki, tehát k =. Így az adott esemény valőszínűsége: p = 1 k n = 1 ( ) = 1! 4 4! 4! = = = 4 5. Egy dobozba 15 cédulát teszünk, amelyeken rendre a következő betűk állnak: A, E, É, É, G, G,I, I, R, S, S, T, T, V, Z. Húzzuk ki a dobozból egyenként a cédulákat, és a kihúzás sorrendjében helyezzök egymás mellé. Mi a valószínűsége annak, hogy aaz ÉRETTSÉGI VIZSGA szót kapjuk. Az elemi események számát 15 elem ismétléses permutációinak száma adja, ahol É, G, I, S, T betűk -szer ismétlődnek: n = P,,,, 1 15 =. Nyilván a kedvező esemény száma k = 1. Így!!!!! az adott esemény valószínűsége: p = k n = 1 1!!!!! = 1

7 . A műhelyben egy műszak alatt elkészített db kulcs közül 50 db selejtes. Találomra kiveszönk 0 darabot. Mi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott kulcsok között nem lesz egyetlen selejtes sem, ill. nem lesz háromnál több selejtes? ( ) 1400 Az elemi események száma elem 0-ad osztályú variációi adják: n = C =. Az első 0 esetben a kedvező elemi események száma megegyezik 1 ( 50 elem ) 0-ad osztályú kombinációinak 150 számával, mivel1 50 nem hibátlan áru van: k 1 = C150 0 =. Így annak valósz0nűsége, hogy a 0 kiválasztott 0 kulcs közül nem lesz selejtes: ( ) 150 p 1 = k 1 n = 0 ( ) Másik esetben a kedvező elemi események számát össze kell számulnunk: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k = Ekkor az adott esemény valószínűsége: ( ) ( ) p = k + n = 0 19 ( ) ( ) ( ) ( ) 50 + ( ) ( ) 50 ( ) Dobjunk fel három szabályos kockát egymástól függetlenül. Mi a valószínűsége annak, hogy az így kapott pontok összege 10 lesz? Mivel három helyre választhatunk hat elemből úgy, hogy ismétlődés is lehetséges és a sorrendre is tekintettel vagyunk, ezért az elemi események száma hat elem harmadosztályú ismétléses variációinak számával egyenlő: n = V6 = 6 = 16. Ezután meghatározzuk a kedvező események számát. A három kihúzott számjegyből a következő felbontásokban kaphatunk összegként 10-et: ! = 6-féleképpen, ! = 6-féleképpen,! + + 6! = -féleképpen + + 5! = 6-féleképpen,! ! = -féleképpen! + + 4! = -féleképpen összesen: k = = 7 Ekkor az adott esemény valószínűsége: p = k n = 7 16 = Egy szabályos dobókockát egymás után kétszer feldobunk, és a dobás eredményét egymás mellé írjuk. Mi a valószínűsége annak, hogy a kapott bszám osztható 9-cel, ill. -cal?

8 Az összes elemi események száma 6 elem másodosztályú ismétléses variációinak számával egyenlő: n = V6 = 6. Első esetben a kedvező elemi eseményeket összeszámoljuk: {6, 45, 54, 6}, vagyis k 1 = 4. Így az adott esemény valószínűsége: p 1 = k 1 n = 4 6 = 1 9. Másik esetben a kevező esemény {16, 4,, 56, 64}, vagyis k = 5. Tehát ebben az esetnben is az adott esemény valószíűsége p = k n = Öt cédulára rendre felírjuk a 0,, 4, 6, számjegyeket, majd egy urnába téve hármat kihúzunk közülük, és ezeket a kihúzás sorrendjében egymás mellé tesszük. Mi a valószínűsége annak, hogy hattal osztható számot kapunk? Az összes elemi események száma megegyezik öt elem harmadosztályú variációinak számával: n = V5 =. Egy szám akkor osztható hattal, ha kettővel és hárommal is osztható. Mivel mindegyik! páros, ezért a kiválasztott számjegyekből csak páros szám állítható elő. Emiatt csak a hárommal való oszthatóságra kell csak figyelnünk. Hárommal csak az alábbi számok oszthatók: 04! = 6-féleképpen, 04! = 6-féleképpen, 46! = 6-féleképpen, 46! = 6-féleképpen, összesen: k = = 4 Ekkor az adott esemény valószínűsége: p = k n = 4! = 4 60 = Egy urnába 10 cédula van, melyre rendre a 0, 1,,, 4, 5, 6, 7,, 9 számjegyeket írtuk. Kihúzunk egymás után hatszor egy-egy cédulát oly módon, hogy a kihúzott cédulát minden húzás után visszatesszük. A húzás eredményeit balról jobbra haladva egymás mellé írjuk. Mi a valószínűsége annak, hogy az így kapott szám jegyei nem csökkenő sorrendben következnek egymás után? Az elemi események száma 10 elem hatodosztályú ismétléses variációi adják: n = V10 6 = A kedvező esemény ellentett eseményeinek elemi eseményeit határozzuk meg, vagyis azokat az elemi eseményeket, amelyekben a kihűzott számok csökkenő sorrenben vannak. Ezek száma viszont 10 elem hatodosztályú ismétléses kombinációinak számával egyezik meg, mert a kihúzott 6 számot csak egyféleképpen tudjuk csökkenő sorrendbe rakni: k = C 6 10 = esemény valószínűsége: p = 1 k n = 1 ( ) = 6 ( ) ( 15 6 ). Ekkor az adott. Egy lapos magyar kártyából egymás után kihúzunk lapot, és a lapokat a kihúzás sorrendjében egymás mellé tesszük. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott lapok között (a) legfeljebb 6 piros van, (b) van a piros hetes? Az elemi események száma elem -adosztályú kombinációi adják: n = C = ( )

9 (a) legfeljebb 6 piros van Ebben az esetben( a kedvező ) ( ) esemény ( ) ellentett eseményének elemi eseményeinek számát határozzuk meg: k 4 a = +. Ekkor az adott esemény valószínűsége: 7 1 p a = k a n = 1 ( ) ( ) ( ) ( ) = 1 ( 19 ) (b) van a piros hetes? Ebben az esetben a kedvező elemi események száma: k b = valószínűsége: ( ) 4 ( ) 4. Ekkor az adott esemény 7 p b = k b n = 7 ( ) 9. Egy osztályból 5 fiú és 5 lány megy moziba. Egymás mellé ülnek mind a tízen Az ülésrendet sorsolással döntik el. Mi a valószínűsége annak, hogy lány lány mellé, fiú fiú mellé nem kerül, ha bármelyik ülésrend egyformán valószínű? Az elemi események számát 10 elem permutációi adják: n = P 10 = 10!. A kedvező elemi események száma k =, ugyanis vagy lány vagy fiú kezdi a sort, továbbá a fiúk, ill. a lányok egymást közt tetszőlegesen permutálüdhatnak. Ekkor az adott esemény valószínűsége: p = k n = 10! = = Négy urna van elhelyezve sorban egymás mellett. Mindegyikben 9 cédula van rendre 1,,, 4, 5, 6, 7,, 9 számjegyekkel megjelölve. Mi a valószínűsége annak, hogy ha mindegyik urnából egy cédulát kihúzunk, és az urna elé helyezzük, az 195-ös számot kapjuk? Az elemi események száma megegyezik 9 elem negyedosztályú ismétléses variációinak számával: n = V 4 9 = 9 4. Nyilván a kedvező esemény száma k = 1. Ekkor a keresett valószínűség p = k n = Egy szabályos dobókocka két oldalán 1-es, két oldalán -es és két oldalán 0-ás van. A kockát ötször földobjuk. Mi a valószínűsége annak, hogy a dobott pontok összege páros lesz? A lehetséges elemi események száma megegyezi elem ötöd psztályú ismétléses variációinak számával: n = V 5 = 5. Ezután meghatározzuk a kedvező események számát. Az öt dobás következő képpen történhet:

10 = 5-féleképpen, 4! = 5-féleképpen, 4!! =10-féleképpen,!! =0-féleképpen,!! =0-féleképpen,!! =10-féleképpen, p + p + p + p + p 5 =-féleképpen, összesen: k = 1 Ekkor az adott esemény valószínűsége: p = k n = 1 5 = Dobjunk fel egy szabályos dobókockát egymás után ötször, és a kapott eredményt a dobások sorrendjében írjuk egymás mellé. Mi a valószínűsége annak, hogy (a) 5-tel osztható, (b) 4-gyel osztható ötjegyű számot kapunk? A lehetséges elemi események száma megegyezi 6 elem ötöd psztályú ismétléses variációinak számával: n = V 5 6 = 6 5. (a) 5-tel osztható: Ebben az esetben az utolsó dobás csak az ötös lehet, a többi tetszőleges, ezért a kedvező elemi események száma megegyezik 6 elem negyedosztályú ismétléses variációinak számával: k a = V6 4 = 6 4. Ekkor az adott esemény valószínűsege: p a = k a n = = 1 6 (b) 4-gyel osztható ötjegyű számot kapunk? Ebben az esetben pedig a kedvező elemi események azok lesznek, melyiknél az utolsó két dobás 1, 16, 4,, 6, 44, 5, 56, 64 valamelyike lehet, a többi dobás tetszőleges, ezért a kedvező események száma k = 9 6. Ekkor az adott esemény valószínűsege: p b = k b n = = 1 4. Egy szabályos dobókockát egymás után hatszor feldobunk. Mi a valószínűsége annak, hogy az 1,,, 4, 5, 6 számok mindegyike előfordul a kapott számok között? Az elemi események számát 6 elem hatodosztályú ismétléses variációi adják: n = V6 6 = 6 6. A kedvező események számát pedig 6 elem permutációi adják: k = P 6 = 6!. Ekkor az adott esemény valószínűsége: p = k n = 6! 6 = 6 6 5

11 4. 15 fiút és 15 lányt sorshúzás útján két azonos létszámú csoportba osztjuk. Mi a valószínűsége annak, hogy az egyik csoportba 5 fiú és 10 lány kerül? Az egyik fiú legyen az egyik csoportban. Márcsak 9-ből kell 14 személyt hozzáválasztani. ( ) Az elemi 9 események száma 9 elem 14-edosztályú kombinációk számával egyenlő: n = C9 14 =. Mivel 14 a kedvező esemény az, amikor 5 fiú van az egyik csoportban, ezért ez úgy történhet meg, hogy 15 fiúból ötöt választunk és ( a) fennmaradó ( ) 10 helyre pedig lányt. Ekkor a kedvező elemi események száma: k = C15 5 C15 10 =. Így az adott esemény valószínűsége: 5 10 p = k n = ( ) 15 5 ( ) ) 5. Egy csomag lapos magyar kártyából egymás után kihúzunk két lapot úgy, hogy az első lapot a húzás után visszatesszük. Mi a valószínűsége annak, hogy mindkét húzáskor ugyanazt a lapot húzzuk ki? Első húzáskor tetszőleges kártyát húzhatunk. Második húzáskor már csak egy kedvező elemi esemény lehet: k = 1. Az összes elemi esemény pedig n =. Ekkor az adott esemény valószínűsége: ( 9 14 p = k n = 1 6. Egy osztályból 0 lány ment az egyik nyáron építőtáborba. Egy-egy brigádban 10 tanuló dolgozhat, és így két brigádot alkot a csapat. Mi a valószínűsége annak, hogy két meghatározott személy egy brigádba kerül? Az egyik lány legyen az első brigádban. Még 19 lányból 9 lányt választhatunk. Ekkor a lehetséges elemi események száma: n = C19 9 = ( ) A kedvező esemény az, ha a két lány egy brigádban van, a többi lány a 1 lány közül bármelyike ( ) lehet. Ezek száma 1 elem nyolcadosztályú kombinációinak 1 számával egyezik meg: k = C1 =. Vagyis az adott esemény valószínűségeí: ( ) 1 p = k n = ( ) Egy szabályos dobókockával ötször dobunk. Mi a valószínűsége annak, hogy ötször ugyanazt a számot dobjuk? Az elemi események száma 6 elem ötödosztályú ismétléses variációinak számával egyezik meg: n = V6 5 = 6 5. A kedvező események száma pedig nyilvánvalóan k = 6. Ekkor az adott esemény valószínűsége: p = k n = = Egy csomag magyar kártyából öt lapot húzunk ki egyszerre. Mi a valószínűsége annak, hogy piros lesz a kihúzott lapok között?

12 Az elemi események száma megegyizik elem ötödosztályú kombinációinak számával: ( ) n = C 5 =. 5 ( ) ( ) 4 A kedvező események száma pedig: k =, hiszen pirosból kettőt kell választanunk, a fennmaradó helyre pedig a többi 4 lapból választunk. Ekkor az adott esemény valószínűsége: ( ) ( ) 4 p = k n = ( ) Egy csomag lapos magyar kártyából kihúzunk egymás után öt lapot úgy, hogy a lapokat minden húzás után visszatesszük. Mi a valószínűsége annak, hogy a kihúzott öt lap között (a) nyolcas lesz, (b) legalább egy piros lesz, (c) legfeljebb három piros lesz? Az elemi események száma megegyezik elem ötödosztályú ismétléses variációinak számával: n = V 5 = 5 (a) nyolcas lesz: A kedvező esemény ellentett eseményének elemi eseményének számát határozzuk meg, amely megegyezik elem ötödosztályú ismétléses variációinak számával, hiszen nyolcas nem szerepelhet benne: k a = V 5 = 5. Ekkor az adott esemény valószínűsége: p a = 1 k a n = 1 5 = = (b) legalább egy piros lesz: A kedvező esemény ellentett eseményének elemi eseményének számát határozzuk meg, amely megegyezik 4 elem ötödosztályú ismétléses variációinak számával, hiszen piros nem szerepelhet benne: k b = V4 5 = 4 5. Ekkor az adott esemény valószínűsége: p b = 1 k b n = 1 45 = = (c) legfeljebb három piros lesz: Négy eset lehetséges: 1. eset: nincs piros a kihúzott lapok között. Ekkor a kedvező elemi események száma megegyezik 4 elem ötödosztályú ismétléses variációinak számával: k c1 = V4 5 = 4 5. eset: egy piros van a kihúzott lapok között. Mivel egy pirosat választhatunk nyolc pirosból és a többi helyre a fennmaradt 4-ből választunk, ezért a kedvező események száma: k c = 4 4 4!, ugyanis figyelembe vesszök a sorrendet.. eset: két piros van a kihúzott lapok között. Mivel két pirosat választhatunk nyolc pirosból és a többi helyre a fennmaradt 4-ből választunk, ezért a kedvező események száma: k c = 4, ugyanis figyelembe vesszök a sorrendet.!! 4. eset: három piros van a kihúzott lapok között. Mivel három pirosat választhatunk nyolc pirosból és a többi helyre a fennmaradt 4-ből választunk, ezért a kedvező események száma: k c4 = 4, ugyanis figyelembe vesszök a sorrendet.!!

13 Ezek összege adja az összes kedvező elemi események számát: k c = k c1 + k c + k c + k c4 = ! 44 +!! 4 +!! 4 = Ekkor az adott esemény valószínűsége: = p c = k c n =

Klasszikus valószínűségszámítás

Klasszikus valószínűségszámítás Klasszikus valószínűségi mező 1) Egy építőanyag raktárba vasúton és teherautón szállítanak árut. Legyen az A esemény az, amikor egy napon vasúti szállítás van, B esemény jelentse azt, hogy teherautón van

Részletesebben

7! (7 2)! = 7! 5! = 7 6 5! 5 = = ből 4 elem A lehetőségek száma megegyezik az 5 elem negyedosztályú variációjának számával:

7! (7 2)! = 7! 5! = 7 6 5! 5 = = ből 4 elem A lehetőségek száma megegyezik az 5 elem negyedosztályú variációjának számával: Kombinatorika Variáció - megoldások 1. Hány kétjegyű szám képezhető a 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9 számjegyekből. ha minden számjegyet csak egyszer használhatunk fel? A lehetőségek száma annyi, mint amennyi 7 elem

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Számelmélet Megoldások

Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,

Részletesebben

Kombinatorika gyakorló feladatok

Kombinatorika gyakorló feladatok Kombinatorika gyakorló feladatok Egyszerűbb gyakorló feladatok 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot

Részletesebben

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k

K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen

Részletesebben

Azaz 56 7 = 49 darab 8 jegyű szám készíthető a megadott számjegyekből.

Azaz 56 7 = 49 darab 8 jegyű szám készíthető a megadott számjegyekből. 1 Kombináció, variáció, permutáció 1. Hányféleképpen rakhatunk be 6 levelet 1 rekeszbe, ha a levelek között nem teszünk különbséget és egy rekeszbe maximum egy levelet teszünk? Mivel egy rekeszbe legfeljebb

Részletesebben

Kombinatorika. I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ismétlés nélküli permutáció)

Kombinatorika. I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ismétlés nélküli permutáció) Kombinatorika Az első n pozitív egész szám szorzatát n faktoriálisnak nevezzük és n! jellel jelöljük: n! := 1 2 3 4... (n 1) n 0! := 1 1! := 1 I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

Valószínűség számítás

Valószínűség számítás Valószínűség számítás 1. Mennyi annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora

Részletesebben

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25

36 0,3. Mo.: 36 0,19. Mo.: 36 0,14. Mo.: 32 = 0,9375 32 = 0,8125 32 = 0,40625. Mo.: 32 = 0,25 Valószínűségszámítás I. Kombinatorikus valószínűségszámítás. BKSS 4... Egy szabályos dobókockát feldobva mennyi annak a valószínűsége, hogy a -ost dobunk; 0. b legalább 5-öt dobunk; 0, c nem az -est dobjuk;

Részletesebben

semelyik kivett golyót nem tesszük vissza később az urnába. Hányféle színsorrendben tehetjük ezt meg?

semelyik kivett golyót nem tesszük vissza később az urnába. Hányféle színsorrendben tehetjük ezt meg? VIII. KOMBINATORIKA VIII.1. Kombinatorikai alapfeladatok 1. Példa. Egy urnában egy piros golyó P, egy fehér golyó F és egy zöld golyó Z van. Egymás után kihúzzuk a három golyót, semelyik kivett golyót

Részletesebben

(6/1) Valószínűségszámítás

(6/1) Valószínűségszámítás (6/1) Valószínűségszámítás 1) Mekkora annak a valószínűsége, hogy szabályos játékkockával páratlan számot dobunk? 2) Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor

Részletesebben

1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI. = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb.

1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI. = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb. 1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI Elméleti áttekintés Ismétlés nélküli variáció. Egy n elemű halmazból képezhető k elemű sorozatok száma, ha a sorozatok nem tartalmaznak ismétlődést n! (1 = n (n 1... (n k (n k

Részletesebben

Környezet statisztika

Környezet statisztika Környezet statisztika Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses)

Részletesebben

Definíció n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük.

Definíció n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük. 9. Kombinatorika 9.1. Permutációk n egymástól megkülönböztethető elem egy sorrendjét az n elem egy (ismétlés nélküli) permutációjának nevezzük. n elem ismétlés nélküli permutációinak száma: P n = =1 2

Részletesebben

Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák

Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák az összes dolgot sorba rakjuk minden dolog különböző ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rakni n különböző dolgot? P=1 2... (n-1) n=n! például:

Részletesebben

1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.

1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be. IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk

Részletesebben

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és

Feladatok 2. zh-ra. 1. Eseményalgebra április Feladat. Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 7 és Feladatok 2 zh-ra 205 április 3 Eseményalgebra Feladat Az A és B eseményekr l tudjuk, hogy P (A) = 0, 7, P (B) = 0, 4 és P (A B) = 0, 5 Határozza meg az A B esemény valószín ségét! P (A B) = 0, 2 2 Feladat

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Gyakorlat. Szokol Patricia. September 24, 2018

Gyakorlat. Szokol Patricia. September 24, 2018 Gyakorlat (Geometriai valószínűség, feltételes valószínűség) September 24, 2018 Geometriai valószínűség 1 Az A és B helységet 5 km hosszú telefonvezeték köti össze. A vezeték valahol meghibásodik. A meghibásodás

Részletesebben

8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA. (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a második számjegy a 2-es?

8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA. (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a második számjegy a 2-es? 8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA 1. Az 1, 2,,,, 6 számjegyekből hány hatjegyű számot alkothatunk, (a) amelyiknek mindegyik számjegye különböző? (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a

Részletesebben

Kombinatorika. Permutáció

Kombinatorika. Permutáció Kombinatorika Permutáció 1. Adva van az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 számjegy. Hány különböző 9-jegyű szám állítható elő ezekkel a számjegyekkel, ha a számjegyek nem ismétlődhetnek? Mi van akkor, ha a szám

Részletesebben

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás

Matematika A4 I. gyakorlat megoldás Matematika A I. gyakorlat megoldás 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció n! n! k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen állíthatunk sorba, ha k

Részletesebben

Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1

Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG 1. Legyen P (A) = 0, 7; P (B) = 0, 6 és P (A B) = 0, 5. Határozza meg a következő valószínűségeket! (a) B,V P (A B) 0, 8333 (b) B,V P

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Ismétlés nélküli kombináció

Ismétlés nélküli kombináció Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen

Részletesebben

Permutáció (ismétlés nélküli)

Permutáció (ismétlés nélküli) Permutáció (ismétlés nélküli) Mi az az ismétlés nélküli permutáció?... 1. Három tanuló, András, Gábor és Róbert együtt mennek az iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a

Részletesebben

Szerencsejátékok. Elméleti háttér

Szerencsejátékok. Elméleti háttér Szerencsejátékok A következőekben a Szerencsejáték Zrt. által adott játékokat szeretném megvizsgálni. Kiszámolom az egyes lehetőségeknek a valószínűségét, illetve azt, hogy mennyi szelvényt kell ahhoz

Részletesebben

Matematika érettségi emelt 2008 október. x 2 0. nem megoldás. 9 x

Matematika érettségi emelt 2008 október. x 2 0. nem megoldás. 9 x Matematika érettségi emelt 8 október ( ) lg( 8) 8 8 nem megoldás lg( 8) 8 9 ] ; [ ] ; [, M {;} Matematika érettségi emelt 8 október 6 I. eset II. eset ;[ ] 5 5 6 ;[ ], [ [; 5 5 6 [ [; 4, {;} M Matematika

Részletesebben

Eseményalgebra, kombinatorika

Eseményalgebra, kombinatorika Eseméyalgebra, kombiatorika Eseméyalgebra Defiíció. Véletle kísérletek evezük mide olya megfigyelést, melyek több kimeetele lehetséges, és a véletletől függ, (azaz az általuk figyelembevett feltételek

Részletesebben

KOMBINATORIKA Permutáció

KOMBINATORIKA Permutáció Permutáció 1) Három tanuló, András, Gábor és Miklós együtt megy iskolába. Hányféle sorrendben léphetik át az iskola küszöbét? Írja fel a lehetséges sorrendeket! 2) Hány különböző négyjegyű számot alkothatunk

Részletesebben

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6 Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladatok Klasszikus valószínűség./ Eg csomag magar kártát jól összekeverünk. Menni annak a valószínűsége, hog a ász egmás után helezkedik el?./ 00 alma közül 0 férges. Menni a valószínűsége,

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika

Részletesebben

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?

7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? 7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.

Részletesebben

3. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva, egyszer páros, egyszer páratlan számot dobunk?

3. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy dobókockával kétszer egymás után dobva, egyszer páros, egyszer páratlan számot dobunk? Valószínűségszámítás, gráfok, statisztika 1. Egy 660 fős iskola tanulóinak 60%-a lány. A lány tanulók 25%-a a 12. évfolyamra jár. Egy tetszőleges tanulót választva az iskola tanulói közül, mennyi a valószínűsége,

Részletesebben

Matematika B4 II. gyakorlat

Matematika B4 II. gyakorlat Matematika B II. gyakorlat 00. február.. Bevezető kérdések. Feldobunk egy kockát és egy érmét. Ábrázoljuk az eseményteret! Legyenek adottak az alábbi események: -ast dobunk, -est dobunk, fejet dobunk,

Részletesebben

Diszkrét matematika 1.

Diszkrét matematika 1. Diszkrét matematika 1. 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

1. melléklet: A tanárokkal készített interjúk főbb kérdései

1. melléklet: A tanárokkal készített interjúk főbb kérdései 12. Mellékletek 1. melléklet: A tanárokkal készített interjúk főbb kérdései 1. Mikor tanít számelméletet és hány órában? (Pl. 9. osztályban a nevezetes azonosságok után 4 órában.) 2. Milyen könyvet használnak

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

Kombinatorika A A B C A C A C B

Kombinatorika A A B C A C A C B . Egy ló, egy tehén, egy cica, egy nyúl és egy kakas megkéri a révészt, hogy vigye át őket a túlsó partra. Hányféle sorrendben szállíthatja át őket a révész, ha egyszerre vagy egy nagy testű állatot, vagy

Részletesebben

Kombinatorika avagy hányféleképp? Piros, fehér zöld színekből hány ország számára tudunk különböző zászlókat készíteni?

Kombinatorika avagy hányféleképp? Piros, fehér zöld színekből hány ország számára tudunk különböző zászlókat készíteni? Kombinatorika avagy hányféleképp? Piros, fehér zöld színekből hány ország számára tudunk különböző zászlókat készíteni? Kombinatorika avagy hányféleképp? Zsuzsi babájának négyféle színes blúza és kétféle

Részletesebben

æ A GYAKORLAT (* feladatok nem kötelezőek)

æ A GYAKORLAT (* feladatok nem kötelezőek) æ A3 6-7. GYAKORLAT (* feladatok nem kötelezőek) 1. Az 1,2,4,5,7 számkártyák mindegyikének felhasználásával hány különböző 5- jegyű szám készíthető? 2. A 0,2,4,5,7 számkártyák mindegyikének felhasználásával

Részletesebben

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA

VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA TANÍTÁSA A VALÓSZÍNŰSÉGI SZEMLÉLET ALAPOZÁSA 1-6. OSZTÁLY A biztos, a lehetetlen és a lehet, de nem biztos események megkülünböztetése Valószínűségi játékok, kísérletek események

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 16. lecke: Kombinatorika (alapfeladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb

Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb Számelmélet, műveletek, egyenletek, algebrai kifejezések, egyéb 2004_02/4 Tegyél * jelet a táblázat megfelelő rovataiba! Biztosan Lehet hogy, de nem biztos Lehetetlen a) b) c) Négy egymást követő természetes

Részletesebben

Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok

Eseme nyalgebra e s kombinatorika feladatok, megolda sok Eseme yalgebra e s kombiatorika feladatok, megolda sok Szűk elméleti áttekitő Kombiatorika quick-guide: - db. elemből db. sorredjeire vagyuk kívácsiak: permutáció - db. elemből m < db. háyféleképp rakható

Részletesebben

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.

OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk. Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :

Részletesebben

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját!

2. Egy mértani sorozat második tagja 6, harmadik tagja 18. Adja meg a sorozat ötödik tagját! 1. Egy 27 fős osztályban mindenki tesz érettségi vizsgát angolból vagy németből. 23 diák vizsgázik angolból, 12 diák pedig németből. Hány olyan diák van az osztályban, aki angolból és németből is tesz

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny

Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val.

Részletesebben

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus

Matematika szintfelmérő dolgozat a 2018 nyarán felvettek részére augusztus Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)

Részletesebben

48. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló HETEDIK OSZTÁLY MEGOLDÁSOK = = 2019.

48. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló HETEDIK OSZTÁLY MEGOLDÁSOK = = 2019. 8. ORSZÁGOS TIT KALMÁR LÁSZLÓ MATEMATIKAVERSENY Megyei forduló HETEDIK OSZTÁLY MEGOLDÁSOK 1. Bizonyítsd be, hogy 019 db egymást követő pozitív egész szám közül mindig kiválasztható 19 db úgy, hogy az összegük

Részletesebben

24. tétel. Kombinatorika. A grá fok.

24. tétel. Kombinatorika. A grá fok. 2009/2010 1 Huszk@ Jenő 24. tétel. Kombinatorika. A grá fok. 1.Kombinatorika A kombinatorika a véges halmazokkal foglalkozik. Olyan problémákat vizsgál, amelyek függetlenek a halmazok elemeinek mibenlététől.

Részletesebben

A sztochasztika alapjai. Szorgalmi feladatok tavaszi szemeszter

A sztochasztika alapjai. Szorgalmi feladatok tavaszi szemeszter A sztochasztika alapjai Szorgalmi feladatok 2011. tavaszi szemeszter 1. feladat Feldobunk egy kockát és egy pénzérmét. Írjuk fel az eseményteret! 2. feladat Egy kockát ötször egymás után feldobunk. Jelöljük

Részletesebben

Pl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.?

Pl.: hányféleképpen lehet egy n elemű halmazból k elemű részhalmazt kiválasztani, n tárgyat hányféleképpen lehet szétosztani k személy között stb.? Dr. Vicze Szilvia A kombiatorika a véges halmazokkal foglalkozik. A véges halmazokkal kapcsolatba számos olya probléma vethető fel, amely függetle a halmazok elemeitől. Pl.: háyféleképpe lehet egy elemű

Részletesebben

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont)

1. tétel. 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója 7 cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont) 1. tétel 1. Egy derékszögű háromszög egyik szöge 50, a szög melletti befogója cm. Mekkora a háromszög átfogója? (4 pont). Adott az ábrán két vektor. Rajzolja meg a b, a b és az a b vektorokat! (6 pont)

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Felte teles való szí nű se g

Felte teles való szí nű se g Felte teles való szí nű se g Szűk elméleti összefoglaló 1. P(A B) = P(AB) P(B) 2. 0 P(A B) 1 3. P(A A) = 1 4. P(A ) = 0 5. egymást kizáró események esetén: P( A I B) = P(A i B). A és B események függetlenek,

Részletesebben

8. OSZTÁLY ; ; ; 1; 3; ; ;.

8. OSZTÁLY ; ; ; 1; 3; ; ;. BEM JÓZSEF Jelszó:... VÁROSI MATEMATIKAVERSENY Teremszám:... 2010. december 7-8. Hely:... 8. OSZTÁLY Tiszta versenyidő: 90 perc. A feladatokat többször is olvasd el figyelmesen! A megoldás menetét, gondolataidat

Részletesebben

Ajánlott szakmai jellegű feladatok

Ajánlott szakmai jellegű feladatok Ajánlott szakmai jellegű feladatok A feladatok szakmai jellegűek, alkalmazásuk mindenképpen a tanulók motiválását szolgálja. Segít abban, hogy a tanulók a tanultak alkalmazhatóságát meglássák. Értsék meg,

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 22. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

Elemi matematika szakkör

Elemi matematika szakkör Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az

Részletesebben

A biomatematika alapjai és a kapcsolódó feladatok megoldása számítógép segítségével Abonyi-Tóth Zsolt, 2005-2006 készült Harnos Andrea, Reiczigel Jenő zoológus előadásainak valamint Fodor János és Solymosi

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás 1. Kombinatorika Valószínűségszámítás 2004.03.01. Készítette: Dr. Toledo Rodolfo 1.1. Tétel. Ha n darab különböző elemet az összes lehetséges módon sorba rendezünk, akkor ezt n! := n (n 1) (n 2) 2 1-féle

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Az alábbi kísérletek közül melyek tekinthetőek valószínűségi kísérleteknek? A: Feldobunk egy érmét. B: Leejtünk egy i. e. 6. századi kínai vázát. C: Eldobunk egy hatoldalú dobókockát. D:

Részletesebben

71) A 32 lapos magyar kártyából kiosztunk 8 lapot. Hányféleképp lehet, hogy pontosan 3 hetes és 4 ász van közöttük? 72) A 32 lapos magyar kártyából

71) A 32 lapos magyar kártyából kiosztunk 8 lapot. Hányféleképp lehet, hogy pontosan 3 hetes és 4 ász van közöttük? 72) A 32 lapos magyar kártyából Permutációk: 1) Egy sakkverseny döntőjébe 6 játékos került be. Hányféleképp alakulhat a játékosok sorrendje, ha a döntőben mindenki azonos esélyekkel indul? 2) A Mekk Elek név betűiből hányféle (nem feltétlen

Részletesebben

12. Kombinatorika, valószínűségszámítás

12. Kombinatorika, valószínűségszámítás I. Nulladik ZH-ban láttuk: 12. Kombinatorika, valószínűségszámítás 1. Bornemissza Gergely elfelejtette a lőporraktár négy számjegyes pinkódját. Csak arra emlékszik, hogy vagy 1552 volt, vagy a számjegyek

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladato A FELADATOK MEGOLDÁSAI A 0. FELADAT UTÁN TALÁLHATÓK.. Egyszerre dobun fel három érmét. Mi anna a valószínűsége, hogy mindegyine ugyanaz az oldala erül felülre?. Két dobóocát

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra

Részletesebben

Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium Vác, Németh László u : /fax:

Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium Vác, Németh László u : /fax: 200 Vác, Németh László u. 4-. : 27-17 - 077 /fax: 27-1 - 09. OSZTÁLY 1.) Hány olyan négyjegyű természetes szám van, melynek jegyei között az 1 és 2 számjegyek közül legalább az egyik szerepel? Négyjegyű

Részletesebben

7. 17 éves 2 pont Összesen: 2 pont

7. 17 éves 2 pont Összesen: 2 pont 1. { 3;4;5} { 3; 4;5;6;7;8;9;10} A B = B C = A \ B = {1; }. 14 Nem bontható. I. 3. A) igaz B) hamis C) igaz jó válasz esetén, 1 jó válasz esetén 0 pont jár. 4. [ ; ] Más helyes jelölés is elfogadható.

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

::JÁTÉKLAP:: Társasjáték Portál. Klánok. (Clans)

::JÁTÉKLAP:: Társasjáték Portál. Klánok. (Clans) Klánok (Clans) Tervezte: Leo Colovini Kiadja: Winning Moves Deutschland GmbH Leugallee 99 40545 Düsseldorf info@winningmoves.de http://www.winningmoves.de/ 2-4 játékos részére, 10 éves kortól, játékidő

Részletesebben

Valószínűségszámítási feladatok (emelt szint)

Valószínűségszámítási feladatok (emelt szint) Valószínűségszámítási feladatok (emelt szint) Klasszikus valószínűség 1. Véletlenszerűen felírunk egy hatjegyű számot a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek felhasználásával, melyekben minden számjegy csak egyszer

Részletesebben

2. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

2. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet TÁMOP-.1.1-11/1-01-0001 XXI. századi közoktatás (fejlesztés, koordináció) II. szakasz MATEMATIKA. MINTAFELADATSOR KÖZÉPSZINT 015 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ Oktatáskutató

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Egyszerűsítsd a következő törteket! 77! 3! 74! n! (n )! (n )! (n 1)! Bontsuk fel a faktoriálist a számlálóban és nevezőben is, majd egyszerűsítsünk: 77! 3! 74! = 1 74 75 76 77 1 3 1 74 =

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Kombinatorika Kombinatorika Modulok: A kombinatorikai feladatok megoldásához három modult használunk: Permutáció (Sorba rendezés) Kombináció (Kiválasztás) Variáció (Kiválasztás és sorba rendezés) DEFINÍCIÓ: (Ismétlés

Részletesebben

Vegyes összeszámlálási feladatok. Gyakorlás

Vegyes összeszámlálási feladatok. Gyakorlás Vegyes összeszámlálási feladatok Gyakorlás Összeszámlálási feladatok Négyjegyű függvénytáblázat 22. oldala 1. FELADAT: Október 6-a Az aradi vértanúk emléknapja nemzeti gyásznap. Hányféle sorrendben hangozhat

Részletesebben

2014. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 9. osztály

2014. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 9. osztály 01. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny A közölt megoldási utak a feladatoknak nem az egyetlen helyes megoldási módját adják meg, több eltérő megoldás is lehetséges. Az útmutatótól eltérő megoldásokat

Részletesebben

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK

FELADATOK ÉS MEGOLDÁSOK 3. osztály Hány olyan háromjegyű szám létezik, amelyben a számjegyek összege 5? 15 darab ilyen szám van. 5 = 5+0+0 = 4+1+0 = 3+2+0 = 3+1+1=2+2+1 A keresett számok: 500, 401, 410, 104, 140, 302, 320,203,

Részletesebben

Levelező Matematika Verseny Versenyző neve:... Évfolyama:... Iskola neve:... Postára adási határidő: január 19. Feladatok

Levelező Matematika Verseny Versenyző neve:... Évfolyama:... Iskola neve:... Postára adási határidő: január 19. Feladatok Postára adási határidő: 2017. január 19. Tollal dolgozz! Feladatok 1.) Az ábrán látható piramis természetes számokkal megszámozott kockákból áll. Az alsó szinten semelyik két kockának nincs ugyanolyan

Részletesebben

Szakács Lili Kata megoldása

Szakács Lili Kata megoldása 1. feladat Igazoljuk, hogy minden pozitív egész számnak van olyan többszöröse, ami 0-tól 9-ig az összes számjegyet tartalmazza legalább egyszer! Andó Angelika megoldása Áll.: minden a Z + -nak van olyan

Részletesebben

ISKOLÁD NEVE:... Az első három feladat feleletválasztós. Egyenként 5-5 pontot érnek. Egy feladatnak több jó megoldása is lehet. A) 6 B) 8 C) 10 D) 12

ISKOLÁD NEVE:... Az első három feladat feleletválasztós. Egyenként 5-5 pontot érnek. Egy feladatnak több jó megoldása is lehet. A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 2. OSZTÁLY 1. Mennyi az alábbi kifejezés értéke: 0 2 + 4 6 + 8 10 + 12 14 + 16 18 + 20 A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 2. Egy szabályos dobókockával kétszer dobok. Mennyi nem lehet a dobott számok összege? A) 1

Részletesebben

Gyakorló feladatok kombinatorikából. 1. Nóri, Robi, Sári, Klári egyszerre érnek a lifthez. Hányféle sorrendben szállhatnak be?

Gyakorló feladatok kombinatorikából. 1. Nóri, Robi, Sári, Klári egyszerre érnek a lifthez. Hányféle sorrendben szállhatnak be? A megoldásokat a lista végén találod meg. Gyakorló feladatok kombinatorikából 1. Nóri, Robi, Sári, Klári egyszerre érnek a lifthez. Hányféle sorrendben szállhatnak be? 2. Réka 3 szelet süteményt szeretne

Részletesebben

Diszkrét matematika II. gyakorlat

Diszkrét matematika II. gyakorlat Diszkrét matematika II. gyakorlat Absztrakt algebra Bogya Norbert Bolyai Intézet 2014. április 23. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat 2014. április 23. 1 / 23 Tartalom 1 1.

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás

Részletesebben

Ismétlés nélküli permutáció

Ismétlés nélküli permutáció Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba

Részletesebben

Valószínűségszámítás és statisztika

Valószínűségszámítás és statisztika Valószínűségszámítás és statisztika Programtervező informatikus szak esti képzés Varga László Valószínűségelméleti és Statisztika Tanszék Matematikai Intézet Természettudományi Kar Eötvös Loránd Tudományegyetem

Részletesebben

Kombinatorika. 1. Ismétlés nélküli permutáció

Kombinatorika. 1. Ismétlés nélküli permutáció Kombinatorika A kombinatorika keretén belül tanuljuk: ismétlés nélküli permutációk, ismétléses permutációk, ismétlés nélküli variációk, ismétléses variációk, ismétlés nélküli kombinációk, ismétléses kombinációk.

Részletesebben

VI. Vályi Gyula Emlékverseny november

VI. Vályi Gyula Emlékverseny november VI. Vályi Gyula Emlékverseny 1999. november 19-1. VI. osztály 1. Ki a legidősebb, ha Attila 10 000 órás, Balázs 8 000 napos, Csanád 16 éves, Dániel 8000000 perces, Ede 00 hónapos. (A) Attila (B) Balázs

Részletesebben

gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége.

gyakorisága. Az a P szám, amely körül egy esemény relatív gyakorisága ingadozik, az esemény valószínűsége. Valószínűségszámítás Egy 10 Ft-os érmét 1000-szer dobtunk fel, és az alábbi táblázatba beleírtuk, hogy bizonyos dobásszámok esetén hányszor fordult elő a fej dobása. Dobások száma 100 200 300 400 500 600

Részletesebben

Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat

Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be

Részletesebben