Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,"

Átírás

1 // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 21. lecke: A feltételes valószínűség, események függetlensége Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 4.7., 4.8. fejezet Elméleti összefoglaló Ha A és B egy kísérlettel kapcsolatos két tetszőleges esemény és P( B )>0, akkor az A esemény B-re vonatkozó feltételes valószínűségét a P( A B )= P( A B ) P( B ) kifejezéssel definiáljuk. Egy más megfogalmazás: feltéve, hogy B bekövetkezik, mi a valószínűsége, hogy A bekövetkezik. A fentiekből kifejezett P( A B )=P( A B ) P( B ) egyenlőséget a valószínűségek szorzási szabályának nevezzük. Kidolgozott feladatok Egy versenyen 4 magyar, 5 orosz és 3 amerikai állt rajthoz. Mekkora annak a valószínűsége, hogy az első helyezett magyar, a második orosz, a harmadik szintén magyar lett, ha a versenyzők azonos esélyekkel indultak? Megoldás: Tekintsük a következő eseményeket: A 1 : az első magyar lett A 2 : a második orosz lett A 3 : a harmadik magyar lett A három esemény együttes bekövetkezésének valószínűségét kell kiszámítani, azaz P( A 1 A 2 A 3 ) értékét. A valószínűségek szorzási szabályát felhasználva: P( A 1 A 2 A 3 )=P( A 1 A 2 A 3 ) P( A 2 A 3 )=P( A 1 A 2 A 3 ) P( A 2 A 3 ) P( A 3 ) Számítsuk ki a jobboldalon álló tényezőket! Összesen 12 versenyző indult, ebből 4 magyar, vagyis P( A 3 )= 4 12 = 1 3. P( a második orosz, feltéve, hogy a harmadik magyar )=P( A 2 A 3 )= 5 11, mivel a jó esetek száma 5 (hiszen ennyi orosz versenyző indult), az összes eset pedig 11 (mivel feltételeztük, hogy a harmadik helyezett magyar lett, így már csak 11 versenyző közül választhatunk). P( az első magyar, feltéve, hogy a második orosz és a harmadik magyar )=P( A 1 A 2 A 3 )= 3 10, mert ekkor a jó esetek száma 3, az összes esetek száma pedig 10. coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 1/7

2 A fentiekből következik, hogy P( A 1 A 2 A 3 )= = , Igazoljuk, hogy tetszőleges A, B, C eseményekre ( P( C ) 0 esetén) teljesül a következő egyenlőség: P( A+B C )=P( A C )+P( B C ) P( AB C ). Megoldás: Alakítsuk át a baloldali kifejezést: P( A+B C )= P( ( A+B ) C ) P( C ). A számláló: P( ( A+B ) C )=P( AB+BC )=P( AB )+P( BC ) P( ABC ). Ezt felhasználva kapjuk: P( A+B C )= P( AC )+P( BC ) P( ABC ) P( C ) = P( A C ) P( C )+P( B C ) P( C ) P( AB C ) P( C ) P( C ) = P( A C )+P( B C ) P( AB C ), ami megegyezik a jobb oldalon álló kifejezéssel. Tehát az állítást igazoltuk Ismertek a következő valószínűségek: P( A B )= 8 10, P( B A )= 1 4 és P( A B )= 1 7. Határozzuk meg a P( A ) és P( B ) értékét! Megoldás: A feltételes valószínűségek definíciója alapján P( AB ) kétféleképpen is felírható: P( AB )=P( A B ) P( B ), illetve P( AB )=P( B A ) P( A ). Vagyis P( A B ) P( B )=P( B A ) P( A ). Behelyettesítve a megadott értékeket: 8 10 P( B )= 1 4 P( A ) P( A )= 16 5 P( B ). Fejezzük ki P( A ) -t P( B ) segítségével! P( A )=P( AB+A B )=P( AB )+P( A B ) (itt felhasználtuk, hogy AB és A B egymást kizáró események) =P( A B ) P( B )+P( A B ) P( B )= 8 10 P( B )+ 1 7 ( 1 P( B ) ) Ezt visszahelyettesítjük az előzőleg kapott összefüggésbe: 16 5 P( B )= 8 10 P( B )+ 1 7 ( 1 P( B ) ) 16 5 P( B )= 8 10 P( B ) P( B ) P( B )= P( B ) P( B ) P( B )= 1 7 P( B )= 5 89 Ebből P( A )= 16 5 P( B )= = Vagyis a kérdéses valószínűségek: P( A )= és P( B )= Feltéve, hogy egy háromgyerekes családban van fiú, mi a valószínűsége annak, hogy 1, 2 vagy 3 fiú van? Megoldás: Tegyük fel, hogy a fiúgyermek születésének valószínűsége 1 2 (lányé szintén 1 2 ). A1: 1 fiú van A2: 2 fiú van A3: 3 fiú van B: van fiú P( A 1 B )= P( A 1 B ) P( B ) = P( 1 fiú és 2 lány van ) ( 1 P( nincs fiú ) ) = ( 3 1 ) 1 2 ( 1 2 ) 2 1 ( 1 2 ) 3 = = 3 7 Ugyanis a 3 közül kell kiválasztani azt az egyet, amelyik fiú és ezt ( 3 1 ) -féleképpen tehetjük meg. Hasonlóan P( A 2 B )= P( A 2 B ) P( B ) = ( 3 2 ) ( 1 2 ) = = 3 7 coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 2/7

3 P( A 3 B )= P( A 3 B ) P( B ) = ( 1 2 ) = = 1 7 Vagyis a kapott valószínűségek: 3 7 ; 3 7 ; Az 52 lapos francia kártyát 4 játékos között osztják szét. Jancsi kezében 5 pikk van. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a sorrendben előtte ülőnek is 5 pikk van a kezében? (Francia kártya: 4 szín (káró, pikk, treff, kör), minden színből 13 különböző lap.) Megoldás: Vezessük be a következő eseményeket: A: Jancsi kezében 5 pikk van B: az előtte ülő kezében is 5 pikk van Ezek szerint keresett a P( B A ) valószínűség. P( B A )= P( AB ) P( A ) Az összes lehetséges leosztások száma: ( ) ( ) ( ) ( ) (az első 52 lapból kap 13-at, a második a maradék 39-ből 13- at stb.) Azon esetek száma, mikor Jancsinál 5 pikk van: [ ( 13 5 ) ( 39 8 ) ] ( ) ( ) ( ) (Jancsi a 13 pikkből kap 5-öt, majd a 39 nem pikkből még 8-at, a többiek a maradék 39 lapon osztozkodnak) Vagyis annak a valószínűsége, hogy Jancsi kezében 5 pikk van: P( A )= ( 13 5 ) ( 39 8 ) ( ) 0,1247. Azon esetek száma, mikor Jancsinál is és az előtte ülőnél is 5 pikk van: [ ( 13 5 ) ( 39 8 ) ] [ ( 8 5 ) ( 31 8 ) ] ( ) ( ) (A 13 pikk közül 5-öt kap Jancsi és még 8- at a nem pikkekből; a maradék 8 pikkből 5-öt megkap az előtte ülő és még 8 lapot kap a nem pikkekből; a másik két játékosnak a maradék 26 lapot osztják ki) Vagyis így P( AB )= ( 13 5 ) ( 39 8 ) ( 8 5 ) ( 31 8 ) ( ) ( ) 0,0068. Ezzel P( B A )= P( AB ) P( A ) 0,0545. Tehát a kérdéses esemény valószínűsége 0, Hasonlóan az előző feladathoz most is kiosztjuk a francia kártya 52 lapját négy játékos között. Feltéve, hogy Jancsinál van pikk, mi a valószínűsége, hogy 2-nél több van nála? Megoldás: Vezessük be a következő eseményeket: A: Jancsinál van pikk; A : Jancsinál nincs pikk. B: Jancsinak 2-nél több pikkje van Így a keresett valószínűség: P( B A ). P( A )=1 P( A )=1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =1 ( ) ( ) 0,987. (Ugyanis Jancsi csak a 39 nem pikk közül kaphat lapot, majd a többiek a megmaradt 39 lapon osztozhatnak.) P( AB )=P( B ) coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 3/7

4 (Ugyanis P( AB ) jelentése Jancsinál van pikk (A) és 2-nél több van nála (B), ha B esemény teljesül (2-nél több van nála), akkor az A esemény is biztosan teljesül). P( B )=1 P( B )=1 P( legfeljebb 2 pikk van nála ) P( legfeljebb 2 pikk van nála )= P( nincs pikk nála )+P( 1 pikk van nála )+P( 2 pikk van nála )= ( ) ( ) + ( 13 1 ) ( ) ( ) + ( 13 2 ) ( ) ( ) 0,0127+0,08+0,2 0,298. Ezzel P( B A )= P( AB ) P( A ) = 0,298 0,987 0,3. Tehát a kérdéses esemény valószínűsége 0, A és B legyenek független események, P( A )=0,6 és P( B )=0,3. Határozzuk meg az alábbiakat: a) P( A B )=? b) P( A B )=? c) P( A B )=? d) P( A B )=? e) P( B A )=? Megoldás: a) Mivel A és B függetlenek, ezért P( A B )=P( A ) P( B ), így P( A B )=0,6 0,3=0,18. b) Tudjuk, hogy ha A és B függetlenek, akkor A és B is függetlenek, így P( A B )=P( A ) P( B )=( 1 P( A ) ) P( B )=0,4 0,3=0,12. c) Hasonlóan az előzőhöz A és B is függetlenek, így P( A B )=P( A ) P( B )=( 1 P( A ) ) ( 1 P( B ) )=0,4 0,7=0,28. d) Definíció szerint P( A B )= P( A B ) P( B ), a függetlenség miatt pedig P( A B ) P( B ) = P( A ) P( B ) P( B ) =P( A )=0,6. e) Az előző mintájára P( B A )= P( B A ) P( A ) = P( B ) P( A ) P( A ) =P( B )=0,7. Ellenőrző feladatok 1. feladat Egy kockával háromszor dobunk egymás után. Feltéve, hogy dobunk hatost, mi a valószínűsége, hogy pontosan kétszer dobunk hatost? 0,1648 coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 4/7

5 0,1388 0,0277 0, feladat Jancsi 0,7 valószínűséggel visz virágot Juliskának. Ha Juliska virágot kap, 0,6 valószínűséggel puszit ad érte. Mi a valószínűsége, hogy Jancsi virágot visz és puszit is kap érte? 0,18 0,42 0,85 0,46 3. feladat Holnap 0,8 valószínűséggel esni fog az eső. Annak valószínűsége, hogy esik az eső és kirándulni megyünk 0,6. Feltéve, hogy holnap esik az eső, mekkora valószínűséggel megyünk kirándulni? 0,75 0,5 0,48 0,6 4. feladat Egy osztályban 10 fiú és 12 lány van. Három tanuló felel egy órán. Mi a valószínűsége, hogy az első fiú, a második lány, a harmadik ismét fiú, ha mindenki ugyanakkora valószínűséggel felel (egy tanuló legfeljebb egyszer felehet az órán)? 0,0183 coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 5/7

6 0,3381 0,1168 0, feladat A fenti osztályban mi annak a valószínűsége, hogy egymás után három fiú felel (egy tanuló legfeljebb egyszer felelhet)? 0,0779 0,0922 0,2315 0, feladat Egy bajnokságban 4 budapesti és 12 vidéki csapat játszik. Mi a valószínűsége, hogy az első helyezett budapesti, a második vidéki, és a harmadik is vidéki csapat lesz? (Feltételezzük, hogy a csapatok azonos eséllyel versenyeznek a bajnoki címért.) 0,0740 0,1406 0,1289 0, feladat A és B legyenek független események, P( A )=0,5 és P( B )=0,4. Ekkor P( A B )=? 0,2 0,3 coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 6/7

7 0,4 0,5 8. feladat Ha A és B független események, és P( A )=0,1, P( B )=0,7, akkor P( A B )=? 0,1 0,7 0,9 0,27 coedu.sze.hu/print.php4?print_items= 7/7

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 16. lecke: Kombinatorika (alapfeladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 22. lecke: A teljes valószínűség tétele és a Bayes-tétel Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Részletesebben

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,

Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, // KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.

Részletesebben

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások az 1. sorozat Építőkari Matematika A3 1. Tegyük fel, hogy A és B egymást kölcsönösen kizáró események, melyekre P{A} = 0.3 és P{B} = 0.. Mi a valószínűsége, hogy (a A vagy B bekövetkezik;

Részletesebben

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3

Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 Feladatok és megoldások a 8. hétre Építőkari Matematika A3 1. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet rendszert: x + 2y 3x + 4y = 2 sin t 2x + y + 2x y = cos t. (1 2. Oldjuk meg a következő differenciálegyenlet

Részletesebben

23. Kombinatorika, gráfok

23. Kombinatorika, gráfok I Elméleti összefoglaló Leszámlálási alapfeladatok 23 Kombinatorika, gráfok A kombinatorikai alapfeladatok esetek, lehetőségek összeszámlálásával foglalkoznak Általában n jelöli a rendelkezésre álló különbözőfajta

Részletesebben

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség.

1. tétel. Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. 1. tétel Valószínűségszámítás vizsga Frissült: 2013. január 19. Valószínűségi mező, véletlen tömegjelenség. A valószínűségszámítás tárgya: véletlen tömegjelenségek vizsgálata. véletlen: a kísérlet kimenetelét

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós

Részletesebben

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai. 81f 2 + 90l 2 f 2 + l 2 Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2005-2006. tanévi első fordulójának feladatmegoldásai matematikából, a II. kategória számára 1. Két iskola tanulói műveltségi vetélkedőn vettek részt. A 100

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségszámítási alapok Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségszámítási alapok Bevezetés A tudományos életben vizsgálódunk pontosabb megfigyelés, elırejelzés, megértés reményében. Ha egy kísérletet végzünk, annak

Részletesebben

3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy

3. Egy szabályos dobókockával háromszor dobunk egymás után. Legyen A az az esemény, hogy Valószínűségszámítás. zárthelyi dolgozat 009. október 5.. Egy osztályba 3-an járnak. Minden fizikaórán a a többi órától függetlenül a tanár kisorsol egy felelőt, véletlenszerűen, egyenletesen, azaz mindig

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2012/2013-as tanév kezdők III. kategória I. forduló Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/013-as tanév kezdők I II. kategória II. forduló kezdők III. kategória I. forduló Megoldások és javítási útmutató 1. Egy osztályban

Részletesebben

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II. 8 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II Elméleti összefoglaló Az a + b+ c, a egyenletet másodfokú egyenletnek nevezzük A D b ac kifejezést az egyenlet diszkriminánsának nevezzük Ha D >, az

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások 1. Határozd meg az a és b vektor skaláris szorzatát, ha a = 5, b = 4 és a közbezárt szög φ = 55! Alkalmazzuk a megfelelő képletet: a b = a b cos φ = 5 4 cos 55 11,47. 2. Határozd meg a következő

Részletesebben

Matematika érettségi emelt 2008 október. x 2 0. nem megoldás. 9 x

Matematika érettségi emelt 2008 október. x 2 0. nem megoldás. 9 x Matematika érettségi emelt 8 október ( ) lg( 8) 8 8 nem megoldás lg( 8) 8 9 ] ; [ ] ; [, M {;} Matematika érettségi emelt 8 október 6 I. eset II. eset ;[ ] 5 5 6 ;[ ], [ [; 5 5 6 [ [; 4, {;} M Matematika

Részletesebben

Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44.

Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44. Dr. Vincze Szilvia Az ész természetéhez tartozik, hogy a dolgokat nem mint véletleneket, hanem mint szükségszerűeket szemléli (Spinoza: Etika, II. rész, 44. tétel) Környezetünkben sok olyan jelenséget

Részletesebben

Egyenletek, egyenlőtlenségek X.

Egyenletek, egyenlőtlenségek X. Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak

Részletesebben

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét!

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! Megoldások. Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 7 49 = c A feladatok megoldásához használjuk a definíciót: log a b = c b = a c. log 4 = c 4

Részletesebben

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!

Részletesebben

Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1

Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 Bodó Beáta - MATEMATIKA II 1 FELTÉTELES VALÓSZÍNŰSÉG, FÜGGETLENSÉG 1. Legyen P (A) = 0, 7; P (B) = 0, 6 és P (A B) = 0, 5. Határozza meg a következő valószínűségeket! (a) B,V P (A B) 0, 8333 (b) B,V P

Részletesebben

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged

Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Magas szintű matematikai tehetséggondozás Elemi algebrai eszközökkel megoldható versenyfeladatok Ábrahám Gábor, Szeged Ahhoz, hogy egy diák kimagasló eredményeket érhessen el matematika versenyeken, elengedhetetlenül

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2007. október 25. EMELT SZINT I. 1) x x MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. október 5. EMELT SZINT I. a) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! (5 pont) b) Oldja meg a valós számpárok halmazán az alábbi egyenletrendszert! lg x

Részletesebben

Matematika B4 II. gyakorlat

Matematika B4 II. gyakorlat Matematika B II. gyakorlat 00. február.. Bevezető kérdések. Feldobunk egy kockát és egy érmét. Ábrázoljuk az eseményteret! Legyenek adottak az alábbi események: -ast dobunk, -est dobunk, fejet dobunk,

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Gráfok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Gráfok MTEMTIK ÉRETTSÉGI TÍPUSFELDTOK MEGOLDÁSI KÖZÉP SZINT Gráfok 1) Egy gráfban 4 csúcs van. z egyes csúcsokból 3; 2; 2; 1 él indul. Hány éle van a gráfnak? Egy lehetséges ábrázolás: gráfnak 4 éle van. (ábra

Részletesebben

Próba érettségi feladatsor április I. RÉSZ

Próba érettségi feladatsor április I. RÉSZ Név: osztály: Próba érettségi feladatsor 2007 április 17-18 I RÉSZ Figyelem! A dolgozatot tollal írja; az ábrákat ceruzával is rajzolhatja A megoldást minden esetben a feladat szövege melletti keretbe

Részletesebben

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk:

11. Sorozatok. I. Nulladik ZH-ban láttuk: 11. Sorozatok I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Egy számtani sorozat harmadik eleme 15, a nyolcadik eleme 30. Mely n természetes számra igaz, hogy a sorozat első n elemének összege 6? A szokásos jelöléseket

Részletesebben

Gráfelmélet Megoldások

Gráfelmélet Megoldások Gráfelmélet Megoldások 1) a) Döntse el az alábbi négy állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Válaszát írja a táblázatba! A: Egy 6 pontot tartalmazó teljes gráfnak 15 éle van B: Ha egy teljes gráfnak

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg?

AGRÁRMÉRNÖK SZAK Alkalmazott matematika, II. félév Összefoglaló feladatok 2. 4. A síkban 16 db általános helyzetű pont hány egyenest határoz meg? KOMBINATORIKA FELADATSOR 1 1. Hányféleképpen rendezhető egy sorba egy óvodás csoport ha 9 lány és 6 fiú van és a lányokat mindig előre akarjuk állítani? 2. Hány 6-jegyű telefonszám van ahol mind 35-tel

Részletesebben

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. október 25. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc

Azonosító jel: MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA. 2007. október 25. 8:00. Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc ÉRETTSÉGI VIZSGA 2007. október 25. MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI VIZSGA 2007. október 25. 8:00 Az írásbeli vizsga időtartama: 240 perc Pótlapok száma Tisztázati Piszkozati OKTATÁSI ÉS KULTURÁLIS MINISZTÉRIUM

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Logaritmus Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Bármely pozitív

Részletesebben

(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak

(Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak (Diszkrét idejű Markov-láncok állapotainak osztályozása) March 21, 2019 Markov-láncok A Markov-láncok anaĺızise főként a folyamat lehetséges realizációi valószínűségeinek kiszámolásával foglalkozik. Ezekben

Részletesebben

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész

MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 2013 I. rész MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI 203 I. rész. Oldja meg a következő egyenletet: x 2 25. Az egyenlet megoldása: 2. Egy vállalat 280 000 Ft-ért vásárol egy számítógépet. A számítógép évente 5%-ot veszít az értékéből.

Részletesebben

5. feladatsor megoldása

5. feladatsor megoldása megoldása I. rész ( ) = 1. x x, azaz C) a helyes válasz, mivel a négyzetgyökvonás eredménye csak nemnegatív szám lehet.. A húrnégyszögek tétele szerint bármely húrnégyszög szemközti szögeinek összege 180.

Részletesebben

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:...

Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... Matematika kisérettségi I. rész 45 perc NÉV:... 1. Az A halmaz elemei a háromnál nagyobb egyjegyű számok, a B halmaz elemei pedig a húsznál kisebb pozitív páratlan számok. Sorolja fel az halmaz elemeit!

Részletesebben

Ismétlés nélküli permutáció

Ismétlés nélküli permutáció Ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböz elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ezt n elem ismétlés nélküli permutációjának nevezzük.) Például hány féleképpen lehet sorba

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

A III. forduló megoldásai

A III. forduló megoldásai A III. forduló megoldásai 1. Egy dobozban pénzérmék és golyók vannak, amelyek vagy ezüstből, vagy aranyból készültek. A dobozban lévő tárgyak 20%-a golyó, a pénzérmék 40%-a ezüst. A dobozban levő tárgyak

Részletesebben

(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A)

(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A) A póker matematikája Mostanában egyre közkedveltebb kártyajáték lett a (Holdem) Poker, melynek az is oka lehet, hogy a televízióban megjelent a nagyobb versenyek közvetítése. Mint minden kártyajátékban,

Részletesebben

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt?

1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? skombinatorika 1. Három tanuló reggel az iskola bejáratánál hányféle sorrendben lépheti át a küszöböt? P = 3 2 1 = 6. 3 2. Hány különböző négyjegyű számot írhatunk föl 2 db 1-es, 1 db 2-es és 1 db 3-as

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II. Vektorok II. DEFINÍCIÓ: (Vektorok hajlásszöge) Két vektor hajlásszögének azt a φ (0 φ 180 ) szöget nevezzük, amelyet a vektorok egy közös pontból felmért reprezentánsai által meghatározott félegyenesek

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:

Részletesebben

Számelmélet Megoldások

Számelmélet Megoldások Számelmélet Megoldások 1) Egy számtani sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pont) Kiszámoltuk ebben a sorozatban az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e,

Részletesebben

Példa a report dokumentumosztály használatára

Példa a report dokumentumosztály használatára Példa a report dokumentumosztály használatára Szerző neve évszám Tartalomjegyzék 1. Valószínűségszámítás 5 1.1. Események matematikai modellezése.............. 5 1.2. A valószínűség matematikai modellezése............

Részletesebben

Matematika 8. osztály

Matematika 8. osztály ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Hat évfolyamos Matematika 8. osztály I. rész: Algebra Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2018 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék I. rész: Algebra................................

Részletesebben

Valószínűségszámítás feladatok

Valószínűségszámítás feladatok Valószínűségszámítás feladatok Klasszikus valószínűség./ Eg csomag magar kártát jól összekeverünk. Menni annak a valószínűsége, hog a ász egmás után helezkedik el?./ 00 alma közül 0 férges. Menni a valószínűsége,

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szoálhatnak fontos információval

Részletesebben

2) Egy háromszög két oldalának hossza 9 és 14 cm. A 14 cm hosszú oldallal szemközti szög 42. Adja meg a háromszög hiányzó adatait!

2) Egy háromszög két oldalának hossza 9 és 14 cm. A 14 cm hosszú oldallal szemközti szög 42. Adja meg a háromszög hiányzó adatait! Szinusztétel 1) Egy háromszög két oldalának hossza 3 és 5 cm. Az 5 cm hosszú oldallal szemközti szög 70. Adja ) Egy háromszög két oldalának hossza 9 és 14 cm. A 14 cm hosszú oldallal szemközti szög 4.

Részletesebben

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 2. : Eseményalgebra Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027 Tananyagfejlesztéssel

Részletesebben

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6

Néhány kockadobással kapcsolatos feladat 1 P 6 Néhány kockadobással kapcsolatos feladat Feldobunk egy kockát. Az eseménytér: ; 2; ; ; ; Az összes esetek száma:. Feldobunk egy kockát. Mi a valószínűsége, hogy hatost dobunk? A kedvező esetek száma: (hatost

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 3 III NUmERIkUS SOROk 1 Alapvető DEFInÍCIÓ ÉS TÉTELEk Végtelen sor Az (1) kifejezést végtelen sornak nevezzük Az számok a végtelen sor tagjai Az, sorozat az (1) végtelen sor

Részletesebben

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek 3. Előadás Megyesi László: Lineáris algebra, 47. 50. oldal. Gondolkodnivalók Determinánsok 1. Gondolkodnivaló Determinánselméleti tételek segítségével határozzuk meg a következő n n-es determinánst: 1

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 0. és 1. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév 1. Kombinatorikus módszer ismétlés nélküli ismétléses permutáció k 1!k 2!...k r! n futó beérkezésének sorrendje n golyót ennyiféleképpen

Részletesebben

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x =

} számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! A = { } 1 pont. B = { } 1 pont. x = . Az { a n } számtani sorozat első tagja és differenciája is 4. Adja meg a sorozat 26. tagját! a = 26 2. Az A és B halmazokról tudjuk, hogy A B = {;2;3;4;5;6}, A \ B = {;4} és A B = {2;5}. Sorolja fel

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 1. MA3-1 modul. Kombinatorika Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof. Dr. Závoti József Matematika III. 1. MA3-1 modul Kombinatorika SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999. évi LXXVI.

Részletesebben

Lineáris algebra. (közgazdászoknak) T C T = ( 1 ) ; , D T D =

Lineáris algebra. (közgazdászoknak) T C T = ( 1 ) ; , D T D = Lineáris algebra (közgazdászoknak) 10A103 FELADATOK A GYAKORLATRA (1.) 2018/2019. tavaszi félév Mátrixok 1.1. Feladat. Legyen A = 1 2 1, B = 1 2 3 1 2 1 1, C = ( 1 2 0 ), D = 1 3 1 1 2 1 ( ) 10/2 0.6 1

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Exponenciális és Logaritmikus kifejezések MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Eponenciális és Logaritmikus kifejezések A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos

Részletesebben

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula

KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematika tanár hallgatók számára. Szita formula KOMBINATORIKA ELŐADÁS osztatlan matematka tanár hallgatók számára Szta formula Előadó: Hajnal Péter 2015. 1. Bevezető példák 1. Feladat. Hány olyan sorbaállítása van a a, b, c, d, e} halmaznak, amelyben

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

= 163, 63V. Felírható az R 2 ellenállásra, hogy: 163,63V. blokk sorosan van kapcsolva a baloldali R 1 -gyel, és tudjuk, hogy

= 163, 63V. Felírható az R 2 ellenállásra, hogy: 163,63V. blokk sorosan van kapcsolva a baloldali R 1 -gyel, és tudjuk, hogy Határozzuk meg és ellenállások értékét, ha =00V, = 00, az ampermérő 88mA áramot, a voltmérő,v feszültséget jelez! Az ampermérő ellenállását elhanyagolhatóan kicsinek, a voltmérőét végtelen nagynak tekinthetjük

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint

1. megold s: A keresett háromjegyű szám egyik számjegye a 3-as, a két ismeretlen számjegyet jelölje a és b. A feltétel szerint A 004{005. tan vi matematika OKTV I. kateg ria els (iskolai) fordul ja feladatainak megold sai 1. feladat Melyek azok a 10-es számrendszerbeli háromjegyű pozitív egész számok, amelyeknek számjegyei közül

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 29. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. május 9. KÖZÉPSZINT 1) Mely x valós számokra igaz, hogy x I. 9? x 1 3. x 3. Összesen: pont ) Egy háromszög egyik oldalának hossza 10 cm, a hozzá tartozó magasság hossza 6 cm.

Részletesebben

Érdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel)

Érdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel) Kombi/2 Egy bizonyos bulin n lány és n fiú vesz részt. Minden fiú pontosan a darab lányt és minden lány pontosan b darab fiút kedvel. Milyen (a,b) számpárok esetén létezik biztosan olyan fiúlány pár, akik

Részletesebben

Matematika A1a Analízis

Matematika A1a Analízis B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E T E M Matematika A1a Analízis BMETE90AX00 Vektorok StKis, EIC 2019-02-12 Wettl Ferenc ALGEBRA

Részletesebben

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( )

Trigonometria Megoldások. 1) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) Trigonometria Megoldások Trigonometria - megoldások ) Igazolja, hogy ha egy háromszög szögeire érvényes az alábbi összefüggés: sin : sin = cos + : cos +, ( ) ( ) akkor a háromszög egyenlő szárú vagy derékszögű!

Részletesebben

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás

Matematikai alapok és valószínőségszámítás. Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Matematikai alapok és valószínőségszámítás Valószínőségi eloszlások Binomiális eloszlás Bevezetés A tudományos életben megfigyeléseket teszünk, kísérleteket végzünk. Ezek többféle különbözı eredményre

Részletesebben

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M)

= 3 és az y = 1 egyenletű egyenesek metszéspontjának (M) Matematika PRÉ megoldókulcs 04. január 8. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi feladat megoldása kötelező volt! ) Adja meg az x+ y = 3 és az y = egyenletű egyenesek metszéspontjának

Részletesebben

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló Haladók III. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Az a és b befogójú derékszögű háromszögnek

Részletesebben

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24

M/D/13. Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát a közös nevezővel, 12-vel; így a következő egyenlethez jutunk: = 24 OKTATÁSI MINISZTÉRIUM M/D/13 Dolgozók gimnáziuma Dolgozók szakközépiskolája Szakmunkások szakközépiskolája intenzív tagozat) 003. május ) Határozza meg a következő egyenlet racionális gyökét! 1 3 4 + 5

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html

Részletesebben

1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.

1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be. IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI május 8. KÖZÉPSZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. KÖZÉPSZINT ) Egyszerűsítse a következő törtet! (a; b valós szám, ab 0)! a b ab ab ab ( a ) a ab I. Összesen: pont ) Egy mértani sorozat második eleme 3, hatodik eleme.

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Trigonometria A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett

Részletesebben

Klasszikus valószínűségszámítás

Klasszikus valószínűségszámítás Klasszikus valószínűségi mező 1) Egy építőanyag raktárba vasúton és teherautón szállítanak árut. Legyen az A esemény az, amikor egy napon vasúti szállítás van, B esemény jelentse azt, hogy teherautón van

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

V. Laurel kupa - Versenykiírás -

V. Laurel kupa - Versenykiírás - V. Laurel kupa - Versenykiírás - Rendezés Verseny szervezője Magyar Bowling Szövetség megbízásából Brunswick-FiveX Verseny elnevezése Egyéni pontszerző verseny Helyszín Fivex Bowling Center Székesfehérvár

Részletesebben

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete?

Az egyenes egyenlete: 2 pont. Az összevont alak: 1 pont. Melyik ábrán látható e függvény grafikonjának egy részlete? 1. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely áthalad az (1; 3) ponton, és egyik normálvektora a (8; 1) vektor! Az egyenes egyenlete: 2. Végezze el a következő műveleteket, és vonja össze az egynemű

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Számelmélet A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)

Részletesebben

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban

Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban Egy általános iskolai feladat egyetemi megvilágításban avagy mit kell(ene) tudnia egy 8.-osnak a matematika versenyeken Kunos Ádám Középiskolás pályázat díjkiosztó SZTE Bolyai Intézet 2011. november 12.

Részletesebben

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz

Gyakorló feladatok a 2. dolgozathoz Gyakorló feladatok a. dolgozathoz. Tíz darab tízforintost feldobunk. Mennyi annak a valószínűsége hogy vagy mindegyiken írást vagy mindegyiken fejet kapunk? 9. Egy kör alakú asztal mellett tízen ebédelnek:

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI október 25. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 005. október 5. EMELT SZINT 1) Egy háromszög két csúcsa A B I. 8; ; 1;5 a C csúcs pedig illeszkedik az y tengelyre. A háromszög köré írt kör egyenlete: x y 6x 4y 1 0. a) Adja meg a

Részletesebben

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei

Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara. Prof. Dr. Závoti József. Matematika III. 3. MA3-3 modul. A valószínűségszámítás elemei Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kara Prof Dr Závoti József Matematika III 3 MA3-3 modul A valószínűségszámítás elemei SZÉKESFEHÉRVÁR 2010 Jelen szellemi terméket a szerzői jogról szóló 1999

Részletesebben

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 2008. október 21. EMELT SZINT MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 008. október. EMELT SZINT ) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: a) b) lg 8 0 6 I. (5 pont) (5 pont) a) A logaritmus értelmezése alapján: 80 ( vagy ) Egy szorzat

Részletesebben

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József

Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Matematika III. 3. : A valószínűségszámítás elemei Prof. Dr. Závoti, József Lektor : Bischof, Annamária Ez a modul a TÁMOP - 4.1.2-08/1/A-2009-0027

Részletesebben

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.

1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b. 1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy

Részletesebben

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I. KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 4 IV. FÜGGVÉNYEk 1. LEkÉPEZÉSEk, függvények Definíció Legyen és két halmaz. Egy függvény -ből -ba egy olyan szabály, amely minden elemhez pontosan egy elemet rendel hozzá. Az

Részletesebben

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I. Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:

Részletesebben

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták)

A 2015/2016. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA (a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták) A 205/206. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny döntő forduló MATEMATIKA III. KATEGÓRIA a speciális tanterv szerint haladó gimnazisták Javítási-értékelési útmutató. feladat Az {,2,...,n} halmaz

Részletesebben

Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny

Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Való szí nű sé gi va ltózó, sű rű sé gfű ggvé ny, élószla sfű ggvé ny Szűk elméleti összefoglaló Valószínűségi változó: egy függvény, ami az eseményteret a valós számok halmazára tudja vetíteni. A val.

Részletesebben

DÖNTŐ MEGOLDÁSOK 5. OSZTÁLY

DÖNTŐ MEGOLDÁSOK 5. OSZTÁLY 5. OSZTÁLY 1.) A páratlan számjegyek száma 5, közülük 1 db, illetve 3 db lehet a háromjegyű számunkban. Ha mindhárom számjegy páratlan, akkor az 5 lehetőségből választhatunk mindhárom helyiértékre. Így

Részletesebben

Szerencsejátékok. Elméleti háttér

Szerencsejátékok. Elméleti háttér Szerencsejátékok A következőekben a Szerencsejáték Zrt. által adott játékokat szeretném megvizsgálni. Kiszámolom az egyes lehetőségeknek a valószínűségét, illetve azt, hogy mennyi szelvényt kell ahhoz

Részletesebben

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a

1000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a A merész játékok stratégiája A következő problémával foglalkozunk: Tegyük fel, hogy feltétlenül ki kell fizetnünk 000 forintos adósságunkat, de csak 600 forintunk van. Egyetlen lehetőségünk, hogy a még

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@math.elte.hu fogadóóra: szerda 10-11 és 13-14, D 3-415 2018/2019. tavaszi félév Bevezetés A valószín ségszámítás

Részletesebben

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1

Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1 Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados

Részletesebben

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT

Matematika PRÉ megoldókulcs 2013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT Matematika PRÉ megoldókulcs 013. január 19. MATEMATIKA PRÓBAÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS KÖZÉPSZINT I. rész: Az alábbi 1 feladat megoldása kötelező volt! 1) Adott A( 1; 3 ) és B( ; ) 7 9 pont. Határozza meg

Részletesebben