Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Átírás

1 Megoldások 1. Az alábbi kísérletek közül melyek tekinthetőek valószínűségi kísérleteknek? A: Feldobunk egy érmét. B: Leejtünk egy i. e. 6. századi kínai vázát. C: Eldobunk egy hatoldalú dobókockát. D: Kihúzunk egy lapot a pakli kártyából. E: Világbajnokként dobunk egy darts táblára. F: Tekegolyót gurítunk a bábuk felé, de előtte még soha nem játszottunk ilyet. G: Egy gyufásdobozban megszámoljuk, mennyi szál gyufa van benne. A B nem valószínűségi kísérlet, mert nem lehet bármennyiszer végrehajtani. Az E nem valószínűségi kísérlet, mert eredménye nem lesz véletlenszerű. Ezek alapján a megoldások: A; C; D; F; G. 2. Határozd meg, hogy az alábbi valószínűségi kísérleteknek milyen elemi eseményei lehetnek, illetve milyen eseménytér tartozik hozzájuk! A: Feldobunk két érmét. B: Eldobunk egy hatoldalú dobókockát. C: Dobunk egy beosztás nélküli táblára, feltételezve, hogy a táblát eltaláljuk. Megfoldás: Az A elemi eseményei: {FF}; {ÍÍ}; {FÍ}; {ÍF}. Eseménytere: H = {(FF); (ÍÍ); (FÍ); (ÍF)}. A B elemi eseményei: {1}; {2}; {3}; {4}; {5}; {6}. Eseménytere: H = {(1); (2); (3); (4); (5); (6)}. A C elemi eseményei: {A céltábla pontjai}. Eseménytere: H = {A teljes céltábla}. 1

2 3. Tekintsd azt a kísérletet, amikor kockával dobunk egy számot. Ehhez kapcsolódóan adj példát a következő fogalmakra: eseménytér, elemi esemény, összetett esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, egymást kizáró események, egymást maga után vonó események, egyenlő események! A megfelelő fogalmakat tekintve egy egy lehetséges megoldás a következő: Eseménytér: Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Elemi esemény: A = {4 - est dobunk} Összetett esemény: B = {páros számot dobunk} Biztos esemény: C = {10 - nél kisebb számot dobunk} Lehetetlen esemény: D = {6 - nál nagyobb számot dobunk} Egymást kizáró események: E = {5 - tel osztható számot dobunk} F = {páros számot dobunk} Egymást maga után vonó események: G = {1 est dobunk} H = {páratlant dobunk} Egyenlő események: I = {a dobott szám 2, 3 vagy 5} J = {a dobott szám prímszám} 4. Feldobunk egy érmét, illetve egy dobókockát. Adjuk meg az összes elemi eseményt, ha a kísérlet kimenetelének a) a kockával dobott szám 5 tel vett osztási maradékát tekintjük b) fej dobás esetén a dobott számot, írás esetén a dobott szám ellentettjét tekintjük! Az elemi események a következők: a) {0}; {1}; {2}; {3}; {4} b) { 6}; { 5}; { 4}; { 3}; { 2}; { 1}; {1}; {2}; {3}; {4}; {5}; {6} 2

3 5. Add meg a következő kísérletek eseményterét! a) Egy urnában 3 kék, 4 piros és 8 zöld golyó van. Visszatevés nélkül kétszer egymás után húzunk egy egy golyót. b) Egy dobókockával négyszer dobunk, s a kísérlet kimenetele a számok összege. Az eseménytér az összes elemi eseménynek halmaza. a) H = {(k, k); (k, p); (k, z); (p, k); (p, p); (p, z); (z, k); (z, p); (z, z)} b) H = {4; 5; 6; ; 22; 23; 24} 6. Egy csomag francia kártyából addig húzunk visszatevés nélkül, míg a húzott lap király nem lesz. Az esemény kimenetelének azt a sorszámot tekintjük, ahanyadikra a királyt kihúzzuk. Sorold fel a következő események elemi eseményeit: A = {legfeljebb harmadikra húzunk királyt} B = {legalább 40. re húzunk királyt} A csomag 52 lapból áll, melyben 4 király található, így az elemi események a következők: A: {1}; {2}; {3} B: {40}; {41}; {42}; {43}; {44}; {45}; {46}; {47}; {48}; {49} 7. Jelentse A azt az eseményt, hogy egy kockával prímszámot dobunk, a B pedig azt, hogy 3 nál nem dobunk nagyobbat. Mit jelentenek a következő műveletek: A + B; A B; A B; B A? Soroljuk fel a két esemény elemi eseményeit: A: {2}; {3}; {5} és B: {1}; {2}; {3}. Ezek alapján a megoldások a következők: A + B: {1}; {2}; {3}; {5} A B: {2}; {3} A B: {5} B A: {1} 3

4 8. A lottón az 1, 2,, 89, 90 számok közül ötöt húznak ki. A számok kihúzásának sorrendje nem számít. Jelentse A azt az eseményt, hogy a kihúzott számok között szerepel a 7, 49. A B azt, hogy a kihúzott számok között van az 1, 11. A C pedig azt, hogy a következő öt számot húzták ki: 1, 7, 11, 49, 64. Mit jelent az (A + B) C és az (A + B) C esemény? A megoldások a következők: (A + B) C = {a kihúzott számok 1,7,11,49,64} (A + B) C = {a kihúzott számok között van a 7,49, vagy az 1,11, de nem az 1,7,11,49,64 számötös} 9. A 0, 1,, 8, 9 számjegyek közül válasszunk ki négy számjegyet úgy, hogy egy egy számjegy ismétlődhet is. Jelöljük A val azt az eseményt, hogy a kiválasztott számjegyek között nem szerepel a 0; B pedig azt, hogy pontosan egy 1 es van köztük. Mit jelent az A B esemény? A megoldás a következő: A B = {a kiválasztott számok között szerepel a 0, s pontosan egy 1 es}. 10. Egy pizzériában 3 asztalhoz lehet leülni. Legyen az A esemény az, hogy az elsőtől; a B esemény az, hogy a másodiktól; a C esemény pedig az, hogy a harmadiktól fut be rendelés. Milyen eseményeket jelentenek a következő formulák? a) A B C b) A B C c) A B C + A B C + A B C + A B C A megoldások a következők: a) A B C = {csak az első és a harmadik asztaltól jön rendelés} b) A B C = {legfeljebb két asztaltól rendelnek} c) A B C + A B C + A B C + A B C = {legalább kétasztaltól rendelnek} 4

5 11. Egy számegyenesen véletlenszerűen felvillannak a [ 3; 13] intervallumban egyes pontok. Jelentse A azt az eseményt, hogy a felvillanó pont a [ 1; 6] intervallumba esik, a B esemény pedig azt, hogy a ]2; 9[ intervallumba. Mit jelentenek a következő események: A B; A + B; A B; B A; B; A + B? A megoldások a következők: A B = {a pont a ]2; 6] intervallumba esik} A + B = {a pont a [ 1; 9[ intervallumba esik} A B = {a pont a [ 1; 2] intervallumba esik} B A = {a pont a ]6; 9[ intervallumba esik} B = {a pont a [ 3; 2] [9; 13] intervallumba esik} A + B = {a pont a [ 3; 1[ ]2; 13] intervallumba esik} 12. Egy számítógép monitorján egy koordináta rendszer részlete látható: azon pontok, amelyek mindkét koordinátájára igaz, hogy a [ 5; 5] intervallumba esnek. Véletlenszerűen felvillannak a monitoron egyes pontok. Jelentse A, B és C a következő eseményeket a felvillanó pont koordinátáitól függően: A: x 2 + (y 1) 2 9; B: x > 2 és C: y > x + 1. Ábrázold koordináta rendszerben a következő eseményeket: C; A B; A + C; B C? A szaggatott vonal pontjai már nem tartoznak az adott eseménybe. C: 5

6 A B: A + C: B C: 6

7 13. Tekintsük a következő eseményeket: A jelenti azt, hogy Anna megbukott; B azt, hogy Balázs átment; C pedig azt, hogy Csongor megbukott matematikából. Írd fel eseményalgebrai kifejezéssel a következőket: D: Csak egyikük bukott meg év végén, E: Mindhárman átmentek év végén! A megoldások a következők: D = A B C + A B C + A B C és E = A B C. 14. Legyenek A és B nem lehetetlen események. Adottak az A B; A B és A + B események. Milyen negyedik eseményt kell felvennünk, hogy a 4 esemény teljes eseményrendszert alkosson? Teljes eseményrendszer esetén az események összege a biztos esemény. Tekintsük az adott események összegét: A B + A B + A + B = A B. Ebből adódik, hogy a negyedik esemény: A B. Ezt követően még annak kell teljesülnie, hogy az események páronként kizárják egymást. A B A B = A B A B = A B A + B = A B A B = A B A + B = A B A + B = 15. A magyar kártyából húzunk egy lapot, s tekintsük a következő eseményeket: A = {pirosat húzunk}; B = {ászt húzunk}; C = {zöld figurás lapot húzunk}. Fogalmazd meg a következő eseményeket szövegesen, majd számítsd ki a valószínűségüket: A + B; C B; A B; C; A + (B C)! A + B = {pirosat vagy ászt húzunk} P (A + B) = (11 1 ) ( 32 1 ) = ,34 C B = {zöld figurás lapot húzunk, de nem ászt} P (C B) = (3 1 ) ( 32 1 ) = ,09 A B = {piros ászt húzunk} P (A B) = (1 1 ) ( 32 1 ) = ,03 C = {nem húzunk zöld figurás lapot} P (C) = (28 1 ) ( 32 1 ) = = 0,875 A + (B C) = {ászt (zöldet kivéve) vagy pirosat húzunk} P(A + (B C)) = (10 1 ) ( 32 1 ) = ,31 7

8 16. Egy dobozban 7 piros és 13 zöld golyó van. Ha találomra kihúzunk egyet közülük, akkor mekkora a valószínűsége, hogy zöld golyót húzunk? Az összes eset száma: ( 20 ) = 20. A kedvező esetek száma: ( ) = 13. Ezek alapján a megoldás: P = = 0, Egy urnában 4 fekete és 3 piros golyó van. Kihúzunk kettőt visszatevés nélkül. Mennyi a valószínűsége, hogy a két golyó ugyanolyan színű lesz? Az összes eset száma: ( 7 2 ) = 21. A kedvező esetek a következők lehetnek: a 4 feketéből húzunk 2 - t, amit ( 4 2 ) = 6 - féleképpen tehetünk meg, vagy a 3 pirosból húzunk 2 - t, amit ( 3 ) = 3 - féleképpen tehetünk meg. Ebből 2 a kedvező esetek száma: = 9. Ezek alapján a megoldás: P = , A magyar kártyából kihúzunk 3 lapot. Mi a valószínűsége, hogy mind piros lesz? Az összes eset száma: ( 32 3 ) = A kedvező esetek száma: ( 8 3 ) = 56. Ezek alapján a megoldás: P = , Egy francia kártyából kihúzunk két lapot: a pakli tetejéről és a pakli aljáról. Az egyiket a mellény zsebébe a másikat a kabát zsebébe tesszük. Másnap megtaláljuk őket és látjuk, hogy azonos színűek. Ezek információk birtokában mennyi a valószínűsége, hogy mind a kettő számozott? Az összes eset száma: ( 13 2 ) = 78. A kedvező esetek száma: ( 9 2 ) = 36. Ezek alapján a megoldás: P = ,46. 8

9 20. A magyar kártyából kihúzunk 4 lapot. Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan 3 zöld lesz köztük? Az összes eset száma: ( 32 ) = A kedvező esetek száma: ( 8 3 ) (24 1 ) = Ezek alapján a megoldás: P = , A magyar kártyából kihúzunk 4 lapot. Mi a valószínűsége, hogy mind különböző színű lesz? Az összes eset száma: ( 32 ) = A kedvező esetek száma: ( 8 1 ) (8 1 ) (8 1 ) (8 1 ) = Ezek alapján a megoldás: P = , A francia kártyából kiválasztunk 3 lapot. Mi a valószínűsége, hogy mind különböző színű lesz? Az összes eset száma: ( 52 ) = A kedvező esetek számánál először azt kell kiszámolnunk, hogy melyik 3 színt húzzuk ki, ezt ( 4 ) = 4 - féleképpen tehetjük meg. Ezt követően a 3 színből kell egy - egy lapot kiválasztanunk, 3 amit ( 13 1 ) (13 1 ) (13 ) = Ebből a kedvező esetek száma: = Ezek alapján a megoldás: P = , Egy csomag magyar kártyából kétszer húzunk, úgy, hogy az elsőnek húzott lapot visszatesszük. Mi a valószínűség, hogy mindkétszer ugyanazt húzzuk? Az összes eset száma: 32 2 = A kedvező esetek száma: ( 32 1 ) 12 = 32. Ezek alapján a megoldás: P = ,031. 9

10 24. Egy magyarkártya paklit megkeverünk. Mekkora a valószínűsége, hogy az első két helyre nem kerül piros lap? Az összes eset száma: 32!. A kedvező esetek száma: !. Ezek alapján megoldás: P = ! 32! 0, Magyar kártyából Kriszta és Vera is kap 8 8 lapot. Vera arra fogad, hogy 2 - nél több pirosa van, Kriszti pedig legfeljebb 2 - re. Kinek nagyobb az esélye? A két esemény egymás ellentettje, ezért elegendő az egyiket kiszámolnunk. Kriszti esetében az összes eset száma: ( 32 ) = A kedvező esetek száma: ( 24 8 ) + (8 1 ) (24 7 ) + (8 2 ) (24 ) = Ezek alapján Kriszti P (K) = 0,69, míg Vera P (V) = 1 0,69 = 0, valószínűséggel nyer, vagyis Krisztinek nagyobb az esélye a fogadásnál. 26. Egy dobókockával kétszer dobunk. Mi a valószínűsége, hogy mindkét szám prím lesz? Az összes eset száma: 6 2 = 36. A kedvező esetek száma: 3 3 = 9. Ezek alapján a megoldás: P = 9 36 = 0, Egy kockával hatszor dobunk. Mennyi a valószínűsége, hogy az utolsó helyen a többitől különböző szám áll? Az összes eset száma: 6 6 = A kedvező esetek száma: ( 6 1 ) 55 = Ezek alapján a megoldás: P = ,

11 28. Melyiknek nagyobb az esélye: Egy kockával elsőre 6 ost dobni, vagy egy kockával harmadjára 1 est dobni? Először számítsuk ki a 6 os dobás valószínűségét. Ekkor az összes eset száma: 6. A kedvező esetek száma: 1. Ebből a következőt kapjuk: P (A) = 1 6. Most számítsuk ki az 1 - es dobás valószínűségét. Ekkor az összes esetek száma: 6 3 = 216. A kedvező esetek száma: = 25, mert az első két dobás nem lehet 1 es. Ebből a következőt kapjuk: P (B) = Ezek alapján a megoldás: 1 > 25, vagyis elsőre 6 ost dobni nagyobb az esélye Három dobókockával dobva, mennyi a valószínűsége, hogy a dobott szánok összege legalább 16 lesz? Az összes eset száma: 6 3 = 216. A kedvező esetek számát megkapjuk, ha kiszámoljuk, hogy mennyi olyan dobás van, ahol 16, 17 vagy 18 a számok összege. 18: (6; 6; 6) Ezt 1 - féleképpen dobhatjuk ki. 17: (5; 6; 6) Ezt 3 - féleképpen dobhatjuk ki. 16: (5; 5; 6) és (4; 6; 6) Mindkettőt 3 3 féleképpen dobhatjuk ki. Ebből a kedvező esetek száma: = 10. Ezek alapján a megoldás: P = ,

12 30. Kétszer dobunk egy kockával és leírjuk egymás mellé a számokat. Mennyi a valószínűsége, hogy a) az így kapott kétjegyű szám négyzetszám lesz? b) a második szám lesz a nagyobb? c) így egy kétjegyű páros számot kapunk? d) a számok szorzata páros lesz? a) Az összes eset száma: 6 2 = 36. A kedvező esetek száma: 4 (16, 25,36, 64). Ezek alapján a megoldás: P = ,11. b) Az összes eset száma: 6 2 = 36. A kedvező esetek száma: = 15. Ezek alapján a megoldás: P = ,42. c) Az összes eset száma: 6 2 = 36. A kedvező esetek száma: 6 3 = 18. Ezek alapján a megoldás: P = = 0,5. d) Az összes eset száma: 6 2 = 36. A kedvező esetek a következők lehetnek: Két páros számot dobunk, amit 3 3 = 9 - féleképpen tehetünk meg, vagy egy páros és egy páratlan számot dobunk, amit = 18 - féleképpen tehetünk meg. Ebből a kedvező esetek száma: = 27. Ezek alapján a megoldás: P = = 0, Egy dobókockával addig dobunk, míg 5 ös nem lesz a dobott szám. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy egy dobássorozat legfeljebb 4 dobásból fog állni! Az összes eset száma: = A kedvező esetek száma: = 155. Ezek alapján a megoldás: P = ,

13 32. Egy dobókockával, ha párosat dobunk 0 - t írunk le, ha páratlant, akkor 1 - est. Mennyi annak a valószínűsége, hogy 6 dobás után egy 6 - tal osztható számot kapunk? Az összes eset száma: 2 6 = 64. A kedvező esetek számához az kell, hogy a leírt hatjegyű szám 2 - vel és 3 - mal is osztható legyen. Az előbbi kritérium miatt az utolsó számjegy biztosan 0. A számképzés miatt az első számjegy biztosan 1 - es. A 3 - mal való oszthatóság miatt 2 darab 0 és 2 darab 1 - es szerepel 4! még a számjegyek között, amit = 6 féleképpen dobhatunk ki. Ebből a kedvező esetek 2! 2! száma: 6. Ezek alapján a megoldás: P = , Egy dobókockával ötször dobva mi a valószínűsége, hogy minden dobás páros lesz? Az összes eset száma: 6 5 = A kedvező esetek száma: 3 5 = 243. Ezek alapján a megoldás: P = , Négyszer dobunk egy dobókockával. Mennyi a valószínűsége, hogy a) egyszer dobunk 3 - ast? b) legalább egyszer dobunk 6 - ost? a) Az összes eset száma: 6 4 = A kedvező esetek száma: ( 4 1 ) 53 = 500. Ezek alapján a megoldás: P = ,39. b) Mivel most a megoldáshoz 1, 2, 3 vagy 4 darab 6 - ost is dobhatunk, így egyszerűbb, ha az ellentett esemény valószínűségét számoljuk ki. Az állítás ellentettje az, hogy nem lesz a dobott számok között 6 - os. Ekkor az összes eset száma 6 4 = 1 296, míg a kedvező esetek száma 5 4 = 625. Ezek alapján a megoldás: P (A) = 1 P (A) = ,52. 13

14 35. Egy 125 darab egybevágó kis kockából épített nagyobb kocka lapjait kékre festjük. Ezután szétszedjük a kockát és a darabjait összekeverjük. Mennyi a valószínűsége, hogy egyet kiválasztva a) pontosan 1 kék lapja van? b) nincs kék lapja? c) legalább 2 kék lapja van? a) Az összes eset száma: ( 125 ) = 125. A kedvező esetek száma: ( ) = 54. Ezek alapján a megoldás: P = = 0,432. b) Az összes eset száma: ( 125 ) = 125. A kedvező esetek száma: ( ) = 27. Ezek alapján a megoldás: P = = 0,216. c) Az összes eset száma: ( 125 ) = 125. A kedvező esetek száma: ( ) = 44. Ezek alapján a megoldás: P = = 0, Ötször dobunk egy érmével. Mekkora a valószínűsége, hogy a) több írást dobunk, mint fejet? b) mindegyik ugyanaz az oldal lesz? a) Az összes eset száma: 2 5 = 32. A kedvező esetek a következők lehetnek: 3 írás és 2 fej, ezt = 10 - féleképpen 2! 3! dobhatjuk ki; 4 írás és 1 fej, ezt 5 - féleképpen dobhatjuk ki és 5 írás, amit 1 - féleképpen dobhatunk ki. Ebből a kedvező esetek száma: = 16. Ezek alapján a megoldás: P = = 0,5. b) Az összes eset száma: 2 5 = 32. A kedvező esetek száma: 2 (mind fej, vagy mind írás). Ezek alapján a megoldás: P = 2 32 = 0, ! 14

15 37. A 0, 1, 1, 1, 2, 2 számjegyekből hatjegyű számokat képzünk. Az így kapott számok közül kiválasztva egyet, mennyi a valószínűsége, hogy 4 - gyel osztható lesz? 6! Az összes eset száma: 5! = 50. 1! 2! 3! 2! 3! A kedvező esetek a következők lehetnek: A 4 - gyel való oszthatóság miatt a számok csak 4! 12 - re vagy 20 - ra végződhetnek. A 12 - re végződő számokból 3! = 9 van, míg 1! 1! 2! 1! 2! 4! a 20 - ra végződő számokból = 4. Ebből a kedvező esetek száma: = 13. 1! 3! Ezek alapján a megoldás: P = = 0, Egy osztálynak szerdán 5 órája van: Matematika, Biológia, Rajz, Testnevelés, Angol. Mennyi a valószínűsége, hogy az Angolt Biológia követi és Testnevelés az utolsó? Az összes eset száma: 5! = 120. A kedvező esetek száma: 3! = 6. Ezek alapján a megoldás: P = = 0, Moziba megy 3 fiú és 3 lány. Mi a valószínűsége, hogy lányok és fiúk felváltva ülnek le egymás mellé? Az összes eset száma: 6! = 720. A kedvező esetek száma: 3! 3! 2 = 72. Ezek alapján a megoldás: P = = 0, A hét napjait összekeverve, mennyi a valószínűsége, hogy Kedd és Szerda egymás mellé kerül? Az összes eset száma: 7! = A kedvező esetek száma: 6! 2! = Ezek alapján a megoldás: P = ,

16 41. Kiválasztunk egy x49y alakú számot. Mennyi a valószínűsége, hogy a szám néggyel osztható lesz? Az összes eset száma: 9 10 = 90 (az első számjegy nem lehet 0). A kedvező esetek száma: 9 2 = 18 (az utolsó számjegy csak 2, vagy 6 lehet). Ezek alapján a megoldás: P = = 0, Ha 5 házaspárból kiválasztunk 3 embert, mennyi a valószínűsége, hogy lesz egy pár közöttük? Az összes eset száma: ( 10 3 ) = 120. A kedvező esetek számához előbb el kell döntenünk, hogy melyik házaspárt választjuk ki, amit ( 5 ) = 5 - féleképpen tehetünk meg, majd a megmaradó 8 ember közül kell még kiválasztanunk 1 egyet, s ezt ( 8 ) = 8 - féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: 5 8 = Ezek alapján a megoldás: P = , Egy osztályba 25 - en járnak, s az egyik napon 7 - en hiányoznak. Kiválasztva 5 felelőt, mennyi a valószínűsége, hogy csak 3 - an felelnek? Az összes eset száma: ( 25 ) = A kedvező esetek száma: ( 18 3 ) (7 ) = Ezek alapján a megoldás: P = , Egy osztályba jár 20 tanuló, s két azonos létszámú csoportba osztjuk őket. Mi a valószínűsége, hogy Hanna és János ugyanabba a csoportba kerülnek? Az összes eset száma: ( 20 ) = A kedvező esetek száma: ( 18 ) = Ezek alapján a megoldás: P = ,24. 16

17 45. Egy nyelvi csoportba 7 fiú és 8 lány jár. A tanár kihív 3 felelőt. Mekkora a valószínsűége, hogy fiú és lány is lesz a felelők között? Először számítsuk ki az ellentett esemény valószínűségét, vagyis azt, amikor azonos neműeket választunk ki. Az összes eset száma: ( 15 3 ) = 455. A kedvezőtlen esetek száma: ( 7 3 ) + (8 3 ) = 91. Ezek alapján a megoldás: P = = = 0, Egy villamosjegyen az 5 - ös és 6 - os ki van lyukasztva. Mennyi a valószínűsége, hogy elfogadják utazáskor, ha a gép legalább 2 - t, de legfeljebb 4 - et lyukaszt ki? Az összes eset száma: ( 9 2 ) + (9 3 ) + (9 4 ) = 246. A kedvező esetek száma: 1 + ( 7 1 ) + (7 2 ) = 29. Ezek alapján a megoldás: P = , Sorshúzás útján 15 fiút és 15 lányt azonos létszámú csoportokba osztunk. Mennyi a valószínűsége, hogy egyikben 5 fiú és 10 lány lesz? Az összes eset száma: ( 30 ) = A kedvező esetek száma: ( 15 5 ) (15 ) = Ezek alapján a megoldás: P = , Egy urnában 3 kék, 2 zöld és 1 fekete golyó van, s kihúzunk 2 - t visszatevéssel. Mennyi a valószínűsége, hogy azonos színűek lesznek? Az összes eset száma: 6 2 = 36. A kedvező esetek száma = 14. Ezek alapján a megoldás: P = ,39. 17

18 49. Egy csoportban van 14 lány: 3 szőke, 4 fekete, 6 barna, 1 vörös. Mennyi a valószínűsége, hogy 2 lányt kiválasztva, a hajuk színe különböző lesz? Először számítsuk ki az ellentett esemény valószínűségét, vagyis azt, amikor azonos hajszínű lányokat választunk ki. Az összes eset száma ( 14 2 ) = 91. A kedvezőtlen esetek száma: ( 3 2 ) + (4 2 ) + (6 2 ) = 24. Ezek alapján a megoldás: P = , Egy dobozban 2 kék, 3 zöld, 3 piros és 1 sárga golyó van. Háromszor húzunk visszatevéssel, mennyi a valószínűsége, hogy mind különböző színű lesz? Az összes eset száma: 9 3 = 729. A kedvező esetek száma: 3! (( 2 1 ) (3 1 )(3 1 ) + (2 1 )(3 1 )(1 1 ) + (2 1 )(3 1 )(1 1 ) + (3 1 )(3 1 )(1 )) = Ezek alapján a megoldás: P = , Az iskolában 9. évfolyamra 126 tanuló jár. Közöttük kétszer annyian sportolnak, mint amennyien nem. Az iskolaújságot a sportolók harmada, a nem sportolók fele olvassa. Két diákot kiválasztva mi a valószínűsége, hogy mindkettő olvassa az újságot, de csak az egyik sportol? Legyen a nem sportolók száma x, s ekkor a sportolók száma 2x. A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: x + 2x = 126. Ezt megoldva azt kapjuk, hogy x = 42. Ebből adódik, hogy összesen 84 sportoló van, melyek közül 28 olvas újságot és 42 nem sportoló, melyek közül 21 olvas újságot. Az összes eset száma: ( ) = A kedvező esetek száma: ( 28 1 ) (21 1 ) = 588. Ezek alapján a megoldás: P = ,

19 52. Egy osztályba 30 tanuló jár. A történelmet 20 - an, a matematikát csak 13 - an, s mindkettőt összesen 5 en szeretik. Kiválasztva 2 diákot, mi a valószínűsége, hogy egyik csak a matematikát, másik csak a történelmet szereti? Mivel 5 - en mindkettőt szeretik, ezért a csak történelmet kedvelők száma 20 5 = 15, míg a csak matematikát kedvelők száma pedig 13 5 = 8. Ebből az összes eset száma: ( 30 2 ) = 435. A kedvező esetek száma: ( 15 1 ) (8 1 ) = 120. Ezek alapján a megoldás: P = , Az egyik 20 fős osztályba 16 angolos és 4 németes jár. Az osztályba járó mindhárom lány angolos. Ha ebből az osztályból kisorsolnánk 4 fiút és 1 lányt, akkor mekkora lenne a valószínűsége annak, hogy a kisorsoltak közül pontosan 2 németes? Az összes eset száma: ( 17 4 ) (3 1 ) = A kedvező esetek számánál először ki kell választanunk a 4 németesből 2 - t, majd a fennmaradó 13 angolos fiúból is választanunk kell 2 - t, s végül a 3 lányból kell még kiválasztanunk 1 - t. Ebből a kedvező esetek száma: ( 4 2 ) (13 2 ) (3 1 ) = Ezek alapján a megoldás: P = , Zoli és Gyuri játszik. Gyuri dob egyszer, Zoli kétszer. Zoli 1 pontot kap, ha 3 - mal osztható az összeg, Gyuri ha párosat dobott. Kinek nagyobb az esélye a nyerésre? Annak az esélye, hogy Gyuri nyer 1 pontot az adott körben: P (GY) = 3 6. Zoli akkor nyer 1 pontot, ha a két szám összege: 3, amit 2 - féleképpen; 6, amit 5 - féleképpen; 9, amit 4 - féleképpen és 12, amit 1 féleképpen dobhat ki. Ebből a kedvező esetek száma: = 12. Ebből annak a valószínűsége, hogy Zoli nyer 1 pontot az adott körben: P (Z) = = 2 6. Ezek alapján Gyuri esélye a nagyobb a nyerésre. 19

20 55. Egy versmondó versenyen a döntőbe jutott 16 versenyző, s ezek közül a negyedik osztályba a következő diákok járnak: Ágnes, Irén, Rozália, Béla, Sándor. Mi a valószínűsége, hogy Irén nyer és fiú lesz a második? Az összes eset száma: ( 16 1 ) (15 1 ) = 240. A kedvező esetek száma: 1 ( 2 1 ) = 2. Ezek alapján a megoldás: P = , Peti vizsgázik, de a 20 tételből csak 16 ot tudott megtanulni. Ő az első vizsgázó, és három tételt kell húzzon sorban egymás után. A tételek közül legalább kettőt tudnia kell ahhoz, hogy sikerüljön a vizsgája. Számítsd ki, mekkora valószínűséggel sikerült Peti vizsgája? Az összes eset száma: ( 20 3 ) = A kedvező eseteknél a következők lehetnek: mind a 3 tétel jó, ezt ( 16 ) = 560 féleképpen 3 húzhatja ki, 2 tétel jó és 1 nem, ezt ( 16 2 ) (4 ) = 480 féleképpen húzhatja ki. Ebből a kedvező 1 esetek száma: = Ezek alapján a megoldás: P = , Egy pálcán bolha ugrál úgy, hogy ugrásainak hossza 10 cm. Minden ugrása véletlenszerűen balra, vagy jobbra történik. Határozd meg, hogy 10 ugrád után mekkora valószínűséggel tartózkodik a kiindulási helytől jobbra 40 cm re, illetve balra 50 cm re? Mivel 10 szer ugrik, így csak 20 cm; 40 cm; 60 cm; 80 cm; 100 cm lehet a távolság. Ebből adódik, hogy az 50 cm valószínűsége: 0. Számítsuk ki a 40 cm valószínűségét. Ekkor az összes eset száma: 2 10 = 1 024, mert mindig két irányból választhat. A kedvező esetek száma: 10! = 120, mert 7 jobbra és 3 balra ugrás szükséges. 7! 3! Ezek alapján a megoldás: P = ,

21 58. Egy 12 fős társaság száll fel egy 3 kocsiból álló metrószerelvényre. A sietség miatt senki nem nézi, hogy a többiek hova szállnak. a) Mekkora a valószínűsége, hogy minden kocsiba a társaságból 4 ember száll fel? b) Mekkora a valószínűsége, hogy van olyan kocsi, amelyikre senki nem szállt fel? a) Minden ember 3 kocsi közül választhat, így az összes eset száma: 3 12 = A kedvező esetek száma: ( 12 4 ) (8 4 ) (4 ) = Ezek alapján a megoldás: P = ,65. b) Minden ember 3 kocsi közül választhat, így az összes eset száma: 3 12 = A kedvező eseteknél először ki kell választanunk a két vagont, amibe felszállnak, amit ( 3 ) = 3 - féleképpen tehetünk meg, majd ezek közül választhatnak az emberek, s ezt = féleképen tehetik meg. Ekkor azonban azon eseteket kétszer számoltuk, amelyeknél mindenki ugyanabba a vagonba száll. Ebből a kedvező esetek száma: = Ezek alapján a megoldás: P = , A háromjegyű, vagy a négyjegyű számokból választva nagyobb a valószínűsége annak, hogy az adott számban lesz 9 es? Először számítsuk ki a háromjegyű számok valószínűségét. Ekkor az összes eset száma: = 900. A kedvezőtlen esetek száma: = 648. Ebből a következőt kapjuk: P (A) = = Most számítsuk ki a négyjegyű számok valószínűségét. Ekkor az összes eset száma: = A kedvezőtlen esetek száma: = Ebből a következőt kapjuk: P (B) = = Ezek alapján a megoldás: 7 < 81, vagyis a négyjegyű számokból választva lesz nagyobb

22 60. Egy 8 fős klub a megalakulásakor sorsolással dönti el, hogy ki milyen pozíciót kapjon a társaságban: 2 elnököt, 2 alelnököt, 1 titkárt és 3 tagot sorsolnak ki úgy, hogy betesznek egy urnába 8 papírt (kettőt elnök, kettőt alelnök, egyet titkár és hármat tag felirattal), majd ezeket sorban kihúzzák. A klub 5 férfiból és 3 nőből áll, akik között 2 házaspár van, a többiek egyedülállóak (nőtlenek, illetve hajadonok). a) Dávid és Gábor jó barátok, szeretnének együtt elnökölni. Mi a valószínűsége, hogy ezt megtehetik? b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a tagok mindegyike egyedülálló? c) Mennyi annak a valószínűsége, hogy a két házaspár tölti be az elnöki és az alelnöki posztokat? d) Mennyi a valószínűsége, hogy nő lesz a titkár? a) Az összes eset száma: ( 8 2 ) = 28. A kedvező esetek száma: 1 (amennyiben ők az elnökök). Ezek alapján a megoldás: P = ,036. b) Az összes eset száma: 8! 2! 2! 1! 3! = A kedvező eseteknél először ki kell választanunk az egyedülállóak közül 3 - at tagnak, amit ) = 4 - féleképpen tehetünk meg, majd ezután a megmaradó embereket a posztoknak ( 4 3 megfelelően sorba kel rendeznünk, s ezt kedvező esetek száma: 4 30 = ! 2! 2! 1! Ezek alapján a megoldás: P = ,071. = 30 - féleképpen tehetjük meg. Ebből a c) Az összes eset száma: 8! 2! 2! 1! 3! = A kedvező eseteknél először el kell döntenünk, hogy melyik házaspár melyik pozíciót kapja, amit 2 - féleképpen tehetünk meg, majd ezután a megmaradó embereket a 4! posztoknak megfelelően sorba kel rendeznünk, s ezt = 4 - féleképpen tehetjük meg. 1! 3! Ebből a kedvező esetek száma: 2 4 = 8. Ezek alapján a megoldás: P = ,

23 d) Az összes eset száma: ( 8 2 ) = 28. A kedvező eseteknél először ki kell választanunk a 3 nőből a titkárt, amit ) = 3 - féleképpen tehetünk meg, majd ezután a megmaradó embereket a posztoknak ( 3 1 megfelelően sorba kel rendeznünk, s ezt a kedvező esetek száma: = ! 2! 2! 3! Ezek alapján a megoldás: P = = 0,375. = féleképpen tehetjük meg. Ebből 61. Négy urna mindegyikben 1 - től 9 - ig találhatóak cédulák. Mindegyikből kiválasztunk 1 - et, s azokat lerakjuk egymás mellé. Mi a valószínűsége, hogy öt kapunk? Az összes eset száma: 9 4 = A kedvező esetek száma: 1 (maga a szám). Ezek alapján a megoldás: P = , Kati néni a piacon eladta a zöldségeket, utána a parkolásra véletlenszerűen kivett a pénztárcájából két érmét. Mi a valószínűsége, hogy legalább 100 Ft ot kivett, ha a tárcában 10 db 100 FT os, 4 db 50 Ft os, 7 db 20 Ft os, 6 db 10 Ft os, 4 db 5 Ft os, 24 db 2 Ft os és 17 db 1 Ft os volt? Az összes eset száma: ( 72 2 ) = A kedvező esetek a következők lehetnek: mindkettő 100 FT - os, amit ( 10 ) = 45 féleképpen 2 tehet meg, mindkettő 50 Ft - os, amit ( 4 ) = 6 féleképpen tehet meg, illetve az egyik Ft os, a másik pedig bármilyen más értékű lehet, erre ( 10 1 ) (62 ) = 620 lehetősége van. 1 Ebből a kedvező esetek száma: = 671. Ezek alapján a megoldás: P = , Egy osztálykiránduláson a 20 tanuló ebédre A, B, C menüből választhat. Mennyi a valószínűsége, hogy legalább egy valaki A menüt rendel? Az összes esetek száma: A kedvezőtlen esetek száma: 2 20, amikor senki nem rendel A menüt. Ezek alapján a megoldás: P (A) = ,

24 64. Egy karácsonyfán 28 darab zselés szaloncukor található. Mennyi kókuszost tegyünk a fára, hogy a zselés választásának valószínűsége 4 7 legyen? Legyen a kókuszos szaloncukrok száma x. Ekkor az összes esetek száma 28 + x, a kedvező esetek száma pedig 28. Ebből felírhatjuk a következő egyenletet: Ezek alapján a megoldás: x = x = Egy ládában 4 citrom és néhány narancs van. A narancs húzásának valószínűsége 3 4. Hány narancsot kell még beletenni a ládába, hogy a citrom húzásának valószínűsége 0, 1 nél kisebb legyen? A citrom húzásának valószínűsége: = 1 4 = Ebből adódik, hogy jelenleg 16 gyümölcs, vagyis 12 narancs van a ládában. Legyen a szükséges narancsok száma x. Ekkor felírhatjuk a következő egyenlőtlenséget: Ezt megoldva kapjuk, hogy x > x < 0,1. Ezek alapján legalább 25 narancsot kell még a ládába tenni. 66. Egy osztályban kiválasztva egy diákot nyelvtudást tekintve a következő események adódhatnak: A = {tud angolul}; B = {tud németül}; C = {tud franciául}. Ismertek a következő valószínűségek: P (A) = 0, 4; P (B) = 0, 35; P (C) = 0, 3; P (AB) = 0, 25; P (A C) = 0, 15; P (B C) = 0, 2; P (A B C) = 0, 1. Határozd meg annak a valószínűségét, hogy egy diákot kiválasztva, az legalább egy idegen nyelven beszél? Alkalmazzuk az események összegére vonatkozó képletet: P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (B C) P (A C) + P (A B C) = = 0,4 + 0,35 + 0,3 0,25 0,2 0,15 + 0,1 = 0,55. 24

25 67. Egy dobókockával kétszer dobunk. Legyen az A esemény az, hogy az összeg legalább 10, a B esemény pedig az, hogy legalább egyszer 6 ost dobtunk. Határozd meg az A + B esemény valószínűségét! Először számítsuk ki az A esemény valószínűségét. Ekkor az összes esetek száma: 6 2 = 36. A kedvező esetek száma: 10 összeg 3 féleképpen, 11 összeg 2 féleképpen, 12 összeg 1 féleképpen jöhet ki, vagyis az eredmény = 6. Ebből a következőt kapjuk: P (A) = Most számítsuk ki a B esemény valószínűségét. Ekkor az összes esetek száma: 6 2 = 36. A kedvező esetek száma: 1 darab 6 os 2 5 = 10 - féleképpen, 2 darab 6 os 1 féleképpen jöhet ki, vagyis az eredmény = 11. Ebből a következőt kapjuk: P (B) = Végül számítsuk ki az A B esemény valószínűségét. Ekkor az összes esetek száma: 6 2 = 36. A kedvező esetek száma: 5 darab olyan van, amikor szerepel 6 os, s az összeg legalább 10. Ebből a következőt kapjuk: P (A B) = Ezek alapján a megoldás: P (A + B) = P (A) + P (B) P (A B) = = Lilla és Rudi a következő játékot játsszák. Dobnak két kockával és ha a dobott számok szorzata vagy összege 3 - mal osztható, akkor Lilla nyer, más esetben pedig Rudi nyeri a játékot. Kinek van nagyobb esélye a győzelemre? Legyen az A esemény az, hogy a számok szorzata osztható 3 - mal, a B esemény pedig az, hogy a számok összege osztható 3 - mal. 25

26 Először számítsuk ki az A esemény valószínűségét. Az összes eset száma: 6 2 = 36. A kedvező esetek száma: 20. Ebből a következőt kapjuk: P (A) = ,56. Most számítsuk ki a B esemény valószínűségét. Az összes eset száma 6 2 = 36. A kedvező esetek száma: 12. Ebből a következőt kapjuk: P (B) = ,33. Végül számítsuk ki az A B esemény valószínűségét. Az összes eset száma 6 2 = 36. A kedvező esetek száma: 4. Ebből a következőt kapjuk: P (A B) = ,11. Ekkor a játékosok esélye: P (L) = P (A + B) = P (A) + P (B) P (A B) = 0,56 + 0,33 0,11 = 0,78 P (R) = 1 P (L) = 1 0,78 = 0,22. Ezek alapján Lilla esélye a nagyobb a győzelemre. 69. A gimnázium udvarán álló szobor szelleme igazat mond, ha válaszol egy kérdésre, de annak a valószínűsége, hogy válaszol egy adott kérdésre, csupán 1. Egy diák azt 3 tervezi, hogy háromszor megkérdezi a szellemet az érettségije eredményéről. Mi a valószínűsége, hogy a szellem válaszol? Legyen az A esemény az, hogy az első kérdésre válaszol, a B esemény az, hogy a második kérdésre válaszol, a C esemény pedig az, hogy a harmadik kérdésre válaszol. Az események egymástól függetlenek, így a kérdéses valószínűség a következő: P (A + B + C) = P (A) + P (B) + P (C) P (A B) P (A C) P (B C) + P (A B C) Ezek alapján a megoldás: P (A + B + C) = ,7. 26

27 70. Legyen P (A) = 0, 5 annak a valószínűsége, hogy Anna 16 és 17 óra között elmegy sétálni, P (B) = 0, 6 annak, hogy Béla ebben az időben sétál, P (A B) = 0, 4 annak, hogy mindketten sétálnak. a) Független eseményeknek tekinthetjük e Anna, illetve Béla délutáni sétáját? b) Mi a valószínűsége, hogy legalább az egyik fiatal sétál délután 16 és 17 óra között? a) Két esemény független, ha P (A B) = P (A) P (B). Mivel 0,4 0,5 0,6, így ezek nem független események. b) A kérdéses valószínűség: P (A + B) = P (A) + P (B) P (A B). Ezek alapján a megoldás: P (A + B) = 0,5 + 0,6 0,4 = 0, Egy kockával dobunk. Független - e a következő két esemény egymástól? a) A = {A dobott szám páros.} és B = {A dobott szám 3 - mal osztható.} b) A = {A dobott szám páros.} és B = {A dobott szám 4 - gyel osztható.} Két esemény független, ha P (A B) = P (A) P (B). a) Az A esemény valószínűsége: P (A) = 1 2. Az B esemény valószínűsége: P (B) = 1 3. Az A B esemény valószínűsége: P (A B) = 1 6. Mivel 1 = 1 1, így ezek független események b) Az A esemény valószínűsége: P (A) = 1 2. Az B esemény valószínűsége: P (B) = 1 6. Az A B esemény valószínűsége: P (A B) = 1 6. Mivel 1 1 1, így ezek nem független események

28 72. Legyen az A esemény az, hogy holnap nyerek a Tipp Mixen, a B pedig az, hogy nem nyerek. Függetlenek e ezek az események? Nem függetlenek, mert az egyik esemény bekövetkezéséből adódik, hogy a másik nem következhet be: P (A B) = 0 P (A) P(B). 73. Lehet e két esemény független, ha az események egymást kizárók? Amennyiben a két esemény egymást kizáró, akkor P (A B) = 0. Mivel független események esetén P (A B) = P (A) P(B), így csak akkor teljesülhet, ha P (A) = 0, vagy P (B) = 0, vagyis a két esemény közül, legalább az egyik lehetetlen esemény. 74. Egy vegyes amatőr röplabdacsapatban 2 lány és 4 fiú van. Egy lány 1 18 valószínűséggel üt védhetetlen nyitást, egy fiú 1 valószínűséggel. Ha kockadobással döntik el, hogy ki 5 legyen az első nyitó, akkor mi a valószínűsége, hogy az első nyitás védhetetlen lesz? Legyen az A esemény az, hogy lány kezd, a B esemény az, hogy fiú kezd, a C esemény az, hogy a lány nyerőt üt, a D esemény az, hogy a fiú nyerőt üt, az E esemény pedig az, hogy az első nyitás véthetetlen lesz. Az események valószínűsége: P (A) = 2 6 ; P (B) = 4 6 ; P (C) = 1 18 ; P (D) = 1 5 A kérdéses valószínűség a következő: P (E) = P (A) P(C) + P (B) P (D). Ezek alapján a megoldás: P (E) = , Egy hideg téli napon Pisti sapka nélkül megy iskolába, így 80 % esélye van, hogy megfázik. Ha megfázik, akkor 75 % eséllyel kapja el az influenzát, ha nem fázik meg akkor 25 % eséllyel. Mekkora az esélye, hogy nem lesz influenzás? Legyen az A esemény az, hogy megfázik, a B esemény az, hogy nem fázik meg, a C esemény az, hogy megfázva elkapja az influenzát, a D esemény az, hogy nem megfázva kapja el az influenzát, a E esemény pedig az, hogy nem lesz influenzás. Az események valószínűsége: P (A) = 4 5 ; P (B) = 1 5 ; P (C) = 3 4 ; P (D) = 1 4 A kérdéses valószínűség a következő: P (E) = P (A) P(C) + P (B) P (D). Ezek alapján a megoldás: P (E) = 4 5 (1 3 4 ) (1 1 4 ) = 0,35. 28

29 76. Egy gyártósor két futószalagból és egy gépből áll. Ezek egymástól függetlenül működnek, ha a gép és legalább az egyik futószalag jó, akkor a gyártósor működőképes. Egy bizonyos időtartamban a futószalagok működésének valószínűsége 0, 8; a gép működésének valószínűsége 0, 94. Mekkora annak a valószínűsége, hogy a gyártósor működik? Legyen az A esemény az, hogy az első futószalag működik, a B esemény az, hogy a második futószalag működik, a C esemény pedig az, hogy a gép működik. Az események egymástól függetlenek, így a kérdéses valószínűség a következő: P ((A + B) C) = P (A + B) P(C) = [P (A) + P (B) P (A) P(B)] P (C). Ezek alapján a megoldás: P ((A + B) C) = (0,8 + 0,8 0,8 0,8) 0,94 = 0, Azt tapasztaltuk, hogy a dobókockánk nem ugyanakkora eséllyel esik mindegyik lapjára. Megbíztuk Petit, hogy állapítsa meg, mekkora valószínűséggel esik a kocka az egyes lapokra. Peti a következőt válaszolta: Páros számot 13 valószínűséggel lehet dobni, prímszámot pedig valószínűséggel. Összetett számot ugyanakkora, valószínűséggel dobhatunk, mint 3 - mal osztható számot. Ha a dobókockánkkal a 6 os dobásának esélye 2, akkor a többi számot mekkora valószínűséggel dobhatjuk? 5 Legyen az A esemény az, hogy páros számot dobunk, a B esemény az, hogy prímszámot dobunk, a C esemény az, hogy összetett számot dobunk, a D esemény pedig az, hogy 3 mal osztható számot dobunk. Az események valószínűsége: P (A) = ; P (B) = ; P (C) = ; P (D) = Az események függetlenek egymástól, így a kérdéses valószínűségek a következők: A 3 as dobás valószínűsége: P (3) = P (D) P (6) = = 5 40 = 1 8. Az 1 es dobás valószínűsége: P (1) = 1 P (B) P (C) = = 4 40 = A 4 es dobás valószínűsége: P (4) = P (C) P (6) = = 5 40 = 1 8. A 2 es dobás valószínűsége: P (2) = P (A) P (4) P (6) = = 5 40 = 1 8. Az 5 ös dobás valószínűsége: P (5) = P (B) P (2) P (3) = =

30 78. A rulettben a kipörgethető 35 szám közül 17 piros és 17 fekete, a 0 zöld színű. Ha 10 szer egymás után pörgetünk, akkor mi a valószínűsége, hogy a) felváltva pörgetünk pirosat és feketét? b) öt pörgetés piros, öt pedig fekete? a) Az összes eset száma: A kedvező esetek száma: = Ezek alapján a megoldás: P = , b) Az összes eset száma: A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk azt, hogy melyik 5 lesz piros, ezt ( 10 ) = 252 féleképpen tehetjük meg, majd ezután a pirosakból és feketékből is ki kell 5 választanunk t, amit = féleképpen tehetünk meg. Ebből a kedvező esetek száma: Ezek alapján a megoldás: P = , Egy áruházban 15 eladó van, 3 ért szakszerűen a dolgokhoz. Az egyik napon 8 vevő jött és találomra kértek segítséget 1 1 eladótól. Mi a valószínűsége, hogy a 8 vevő között pontosan 5 volt, aki szakértőtől kért segítséget? Az összes eset száma: 15 2 = A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk azt az 5 vevőt, akik szakértőtől kértek segítséget, amit ( 8 ) = 56 féleképpen tehetünk meg, majd ezután a 3 szakértőből kell 5 választanunk 5 - öt és a 12 további eladóból pedig 3 - at, s ezt = féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: = Ezek alapján a megoldás: P = ,0092. A megoldáshoz használhatjuk a visszatevéses mintavétel képletét is: P = ( 8 5 ) ( 3 15 )5 ( )3 0,

31 80. Egy 10 gyerekes családban mennyi a valószínűsége, hogy 3 fiú lesz a gyerekek között? Az összes eset száma: 2 10 = A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk azt, hogy melyik 3 gyerek lesz fiú, amit ( 10 ) = 120 féleképpen tehetünk meg, majd ezután a fiúkból kell választanunk 3 - at és a 3 lányokból pedig 7 - et, s ezt = 1 - féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: = 120. Ezek alapján a megoldás: P = ,12. A megoldáshoz használhatjuk a visszatevéses mintavétel képletét is: P = ( 10 3 ) (1 2 )3 ( 1 2 )7 0, Egy dobozban 30 termékből 8 hibás. Egyet kiválasztunk, s megvizsgáljuk selejtes - e, majd visszatesszük. Mekkora a valószínűsége annak, hogy 5 - öt kiválasztva pontosan 2 selejtes lesz közöttük? Az összes eset száma: 30 5 = A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk azt, hogy melyik 2 húzásnál lesz hibás, amit ( 5 ) = 10 féleképpen tehetünk meg, majd ezután a 8 selejtből kell választanunk 2 - t és 2 a 22 hibátlanból pedig 3 - at, s ezt = féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: = Ezek alapján a megoldás: P = ,28. A megoldáshoz használhatjuk a visszatevéses mintavétel képletét is: P = ( 5 2 ) ( 8 30 )2 ( )3 0,28. 31

32 82. Egy urnában van 10 golyó, melyből 7 darab kék és 3 darab piros. Mi a valószínűsége, hogy visszatevéssel 4 - szer kihúzva 1 1 golyót, pontosan 3 kék lesz közöttük? Az összes eset száma: 10 4 = A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk azt, hogy melyik 3 húzásnál lesz kék, amit ( 4 ) = 4 féleképpen tehetünk meg, majd ezután a 7 kékből kell választanunk 3 - at és a 3 3 pirosból pedig 1 - et, s ezt = féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: = Ezek alapján a megoldás: P = ,41. A megoldáshoz használhatjuk a visszatevéses mintavétel képletét is: P = ( 4 3 ) ( 7 10 )3 ( 3 10 )7 0, Egyszerre dobunk fel 5 szabályos dobókockát. Mennyi a valószínűsége, hogy pontosan két darab 3 - mal osztható számot dobunk? Az összes eset száma: 6 5 = A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk melyik két kockával dobunk 3 - mal osztható számot, amit ( 5 ) = 10 - féleképpen tehetünk meg, majd ezután a 2 darab 3 - mal 2 osztható számból kell választanunk 2 - t és a többi számból pedig 3 - at, s ezt = féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: = Ezek alapján a megoldás: P = ,33. A megoldáshoz használhatjuk a visszatevéses mintavétel képletét is: P = ( 5 2 ) (2 6 )2 ( 4 6 )3 0,33. 32

33 84. Egy osztályba 13 fiú és 17 lány jár. A tanulók 4 tárgyból versenyeznek. Mennyi a valószínűsége, hogy a győztesek között pontosan 3 fiú lesz? Az összes eset száma: 30 4 = A kedvező esetek számához előbb ki kell választanunk melyik három tárgyat nyerik meg, amit ( 4 ) = 4 - féleképpen tehetünk meg, majd ezután a 13 fiúból kell választanunk 3 - t és a 17 3 lányból pedig 1 - et, s ezt = féleképpen tehetjük meg. Ebből a kedvező esetek száma: = Ezek alapján a megoldás: P = ,1844. A megoldáshoz használhatjuk a visszatevéses mintavétel képletét is: P = ( 4 3 ) (13 30 )3 ( )1 0, Egy kaszinóban magyar kártyával játszanak egy szerencsejátékot. A játékos a 32 lapból véletlenszerűen kiválaszt egyet, annak színét feljegyzik, majd a lapot visszateszik a pakliba, s megkeverik a paklit. Ezután még 4 - szer húz hasonló módon. Ha az 5 feljegyzett szín között legalább kétszer szerepel a zöld, akkor a játékos nyert, ellenkező esetben veszített. Mekkora a nyerés valószínűsége? Először számítsuk ki az ellentett esemény valószínűségét, vagyis azt, amikor a játékos nem húz legalább két zöld lapot. Az összes eset száma: 32 5 = A kedvezőtlen esetek a következők lehetnek: nem húz zöldet, amit 24 5 = féleképpen tehet meg, illetve 1 zöldet húz, amit ( 5 1 ) = féleképpen tehet meg. Ebből a kedvezőtlen esetek száma: = Ezek alapján a megoldás: P = ,37. A megoldáshoz használhatjuk a visszatevéses mintavétel képletét is: P 1 = ( 5 2 ) ( 8 32 )2 ( )3 0,2637 P 2 = ( 5 3 ) ( 8 32 )3 ( )2 0,0879 P 3 = ( 5 4 ) ( 8 32 )4 ( )1 0,0146 P 4 = ( 5 5 ) ( 8 32 )5 ( )0 0,001 Ekkor a következőt kapjuk: P = 0, , , ,001 = 0,

34 86. Mi a valószínűsége, hogy egy 5 gyermekes családban 2 fiú és 3 lány van, ha a fiú gyermekek születésének valószínűsége 0, 523? A visszatevéses mintavétel alapján a megoldás: P = ( 5 2 ) 0,5232 0, , Közvéleménykutatás szerint az emberek 60 % - a szavazna egy adott pártra. Véletlenszerűen kiválasztva 10 embert, mekkora a valószínűsége, hogy legalább 2, az adott pártra szavazna? Először számítsuk ki az ellentett esemény valószínűségét. A visszatevéses mintavételből a következő adódik: 0, ( 10 1 ) 0,49 0,6 1 0,0017. Ezek alapján a megoldás: P = 1 0,0017 = 0, Egy dobozba 50 darab cukrot csomagolnak a gyártás során. Minőségellenőrzés során kiderül, hogy 0, 9 valószínűséggel találunk 50 darab cukorkát egy dobozban. Mekkora a valószínűsége, hogy 8 csomagot vásárolva mindegyikben hiánytalanul lesznek a cukorkák? A visszatevéses mintavétel alapján a megoldás: P (A) = 0,9 8 0, Egy futball bajnokság mérkőzését a Falábúak és a Kurtalábúak csapata játssza. A hosszabbítás után is döntetlen az eredmény, ezért 5 5 tizenegyest rúgnak, hogy eldöntsék, ki lesz a bajnok. Ha a Falábúak 80 %, a Kurtalábúak 85 % eséllyel rúgnak be egy tizenegyest az ellenfél kapusának, akkor mi a valószínűsége, hogy a Falábúak 5 3 ra győznek? (A tizenegyesrúgásokat akkor is folytatják, ha már biztos az egyik csapat győzelme.) Legyen az A esemény az, hogy a Falábúak minden tizenegyest berúgnak, a B esemény pedig az, hogy a Kurtalábúak 3 tizenegyest berúgnak. A két esemény független egymástól, így a keresett valószínűség: P (A B) = P (A) P(B). Az A esemény valószínűsége: P (A) = 0,8 5 0,33. A B esemény valószínűsége: P (B) = ( 5 3 ) 0,853 0,15 2 0,14. Ezek alapján a megoldás: P (A B) = 0,33 0,14 = 0,

35 90. Véletlenszerűen felszáll 15 utas 4 vasúti kocsiba, mindegyik 0, 25 valószínűséggel száll fel valamelyik kocsiba. Mi a valószínűsége, hogy a) mindannyian ugyanabba a kocsiba szállnak? b) legfeljebb ketten szállnak az első kocsiba? a) Az utasok ( 4 ) = 4 féleképpen választhatják ki a vasúti kocsit. 1 A visszatevéses mintavétel alapján a megoldás: P = 4 0, , b) A kedvező esetek a következők lehetnek: 0, 1 vagy 2 személy száll az első kocsiba. A visszatevéses mintavétel alapján a megoldás: P = 0, ( 15 1 ) 0,251 0, ( 15 2 ) 0,252 0, , Egy áruházban 10 eladó van, közülök 7 ért egy adott eszközhöz. Egy vásárló 5 eladótól érdeklődik az eszköz iránt. Add meg annak a valószínűségét, hogy pontosan 3 eladó ért az eszközhöz! Az összes eset száma: ( 10 5 ). A kedvező esetek száma: (7 3 ) (3 2 ). Ezek alapján a megoldás: P = (7 3 ) (3 2 ) ( 10 5 ) 0,4167. A megoldás megfelel a visszatevés nélküli mintavétel képletének. 92. Egy urnában van 10 golyó, melyből 7 kék és 3 piros. Mi a valószínűsége, hogy ha kiveszünk 5 - öt visszatevés nélkül, akkor pontosan 4 kék lesz közte? Az összes eset száma: ( 10 5 ). A kedvező esetek száma: (7 4 ) (3 1 ). Ezek alapján a megoldás: P = (7 4 ) (3 1 ) ( 10 5 ) 0,42. A megoldás megfelel a visszatevés nélküli mintavétel képletének. 35

36 93. Egy farsangon 20 emberből 8 nő. Kisorsolnak tombolán 5 embert úgy, hogy mindenkit csak egyszer húznak ki. Mi a valószínűsége, hogy 3 nőt sorsolnak ki? Az összes eset száma: ( 20 5 ). A kedvező esetek száma: (8 3 ) (12 2 ). Ezek alapján a megoldás: P = (8 3 ) (12 2 ) ( 20 5 ) 0,24. A megoldás megfelel a visszatevés nélküli mintavétel képletének. 94. Egy 25 fős osztályban 8 tanuló jeles matematikából. Kisorsolunk egy felmérésben 5 diákot. Mennyi a valószínűsége, hogy közöttük 2 jeles lesz, ha csak egyszer sorsolhatjuk ki őket? Az összes eset száma: ( 25 5 ). A kedvező esetek száma: (8 2 ) (17 3 ). Ezek alapján a megoldás: P = (8 2 ) (17 3 ) ( 25 5 ) 0,018. A megoldás megfelel a visszatevés nélküli mintavétel képletének. 95. Egy üzemben naponta 100 öltönyt varrnak, melyből 80 fekete és 20 szürke. Minden nap 10 selejtes készül, s egy ellenőrzés során 50 öltönyt vizsgálnak át. Ha az 50 - ből csak 2 selejtes, akkor a teljes árut megveszi az öltönyökkel kereskedő cég, de ha ennél több, akkor nem vásárolja meg a készletet. Mennyi a valószínűsége, hogy egy ilyen vizsgálat után megkötik az üzletet? Az összes eset száma: ( 100 ). A kedvező esetek száma: ( ) (90 50 ) + (10 1 ) (90 49 ) + (10 2 ) (90 Ezek alapján a megoldás: P = (10 0 ) (90 50 ) + (10 1 ) (90 49 ) + (10 2 ) (90 48 ) ( ) 0, ). A megoldáshoz használhatjuk a visszatevéses mintavétel képletét is: P 1 = (10 0 ) (90 50 ) P ( ) 2 = ( 10 1 ) (90 49 ) ( 100 Ekkor a következőt kapjuk: P = (10 0 ) (90 50 ) + ( 10 ( ) 50 ) P 3 = ( 1 ) (90 49 ) + ( ( ) 10 2 ) (90 48 ) ( ) 0, ) (90 48 ) ( ) 36

37 96. Egy pénztárcában 10 darab 1 Ft - os és 8 darab 2 Ft - os érme van. a) Kiválasztunk közülük 5 öt visszatevéssel. Mi a valószínűsége, hogy az első két húzáson 1 Ft - ost, a további húzásokon pedig 2 Ft - ost húzunk? b) Kiválasztunk közülük 5 öt úgy, hogy nem tesszük vissza a már kihúzottakat. Mi a valószínűsége, hogy lesz köztük legalább 2 darab 1 Ft - os érme? a) Az összes eset száma: 18 5 = A kedvező esetek számánál ezúttal meg van határozva előre a különböző pénzérmék helye, így csak ki kell választanunk az 1 Ft - osokból 2 t, a 2 Ft - osokból pedig 3 - at, s ezt = féleképpen tehetjük meg. Ezek alapján a megoldás: P = ,0027. b) Először számítsuk ki az ellentett esemény valószínűségét, vagyis azt, amikor 0, vagy 1 darab 1 Ft os lesz köztük. Használjuk a visszatevéses mintavétel képletét: P 1 = (10 0 ) (8 5 ) és P ( 18 5 ) 2 = ( 10 1 ) (8 4 ). ( 18 5 ) Ezek alapján a megoldás: P = 1 ( (10 0 ) (8 5 ) ( 18 5 ) + ( 10 1 ) (8 4 ) ( 18 5 ) ) 0,91. 37