Diszkrét matematika II. gyakorlat
|
|
|
- Anikó Gáspárné
- 8 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Diszkrét matematika II. gyakorlat Absztrakt algebra Bogya Norbert Bolyai Intézet április 23. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
2 Tartalom 1 1. Feladatsor 2 2. Feladatsor Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
3 1.Feladat Egy társaság négy férfiból és öt nőből áll. Hányféleképpen lehet közülük két férfit és két nőt a nyitótánchoz kiválasztani? (A sorrend nem számít.) (! ) ! 4! egyik sem! 4 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
4 1.Feladat Egy társaság négy férfiból és öt nőből áll. Hányféleképpen lehet közülük két férfit és két nőt a nyitótánchoz kiválasztani? (A sorrend nem számít.) (! ) ! 4! egyik sem! 4 1 Két férfit hányféleképpen választhatunk ki? ( ) 4 2 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
5 1.Feladat Egy társaság négy férfiból és öt nőből áll. Hányféleképpen lehet közülük két férfit és két nőt a nyitótánchoz kiválasztani? (A sorrend nem számít.) (! ) ! 4! egyik sem! 4 1 Két férfit hányféleképpen választhatunk ki? ( ) Két nőt hányféleképpen választhatunk ki? ( ) 5 2 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
6 1.Feladat Egy társaság négy férfiból és öt nőből áll. Hányféleképpen lehet közülük két férfit és két nőt a nyitótánchoz kiválasztani? (A sorrend nem számít.) (! ) ! 4! egyik sem! 4 1 Két férfit hányféleképpen választhatunk ki? ( ) Két nőt hányféleképpen választhatunk ki? ( ) 5 3 Hányféleképpen táncolhatnak? ( ) ( ) 4 5 = 6 10 = Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
7 2. Feladat Mint ismeretes, a (magyar) kártyapakliban 32 lap van: négy szín (zöld, piros, tök, makk) és mindegyik színből nyolc lap. Hányféleképpen lehet a pakliból négy lapot kihúzni úgy, hogy a kihúzott lapok ne legyenek azonos színűek? (Azaz legalább két különböző szín fellépjen. A sorrend nem számít.) (! 32 ) ( 4 8 ) ( 24 ) ( ( 32 ) ( 1) 4 24 ) ( 32 ) ( ) 4 egyik sem! Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
8 2. Feladat Mint ismeretes, a (magyar) kártyapakliban 32 lap van: négy szín (zöld, piros, tök, makk) és mindegyik színből nyolc lap. Hányféleképpen lehet a pakliból négy lapot kihúzni úgy, hogy a kihúzott lapok ne legyenek azonos színűek? (Azaz legalább két különböző szín fellépjen. A sorrend nem számít.) (! 32 ) ( 4 8 ) ( 24 ) ( ( 32 ) ( 1) 4 24 ) ( 32 ) ( ) 4 egyik sem! 1 Hányféleképpen húzhatunk 4 lapot? ( 32 4 ) Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
9 2. Feladat Mint ismeretes, a (magyar) kártyapakliban 32 lap van: négy szín (zöld, piros, tök, makk) és mindegyik színből nyolc lap. Hányféleképpen lehet a pakliból négy lapot kihúzni úgy, hogy a kihúzott lapok ne legyenek azonos színűek? (Azaz legalább két különböző szín fellépjen. A sorrend nem számít.) (! 32 ) ( 4 8 ) ( 24 ) ( ( 32 ) ( 1) 4 24 ) ( 32 ) ( ) 4 egyik sem! 1 Hányféleképpen húzhatunk 4 lapot? ( ) Hányféleképpen húzhatunk 4 egyforma lapot? ( ( 4 1) 8 ) 4 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
10 2. Feladat Mint ismeretes, a (magyar) kártyapakliban 32 lap van: négy szín (zöld, piros, tök, makk) és mindegyik színből nyolc lap. Hányféleképpen lehet a pakliból négy lapot kihúzni úgy, hogy a kihúzott lapok ne legyenek azonos színűek? (Azaz legalább két különböző szín fellépjen. A sorrend nem számít.) (! 32 ) ( 4 8 ) ( 24 ) ( ( 32 ) ( 1) 4 24 ) ( 32 ) ( ) 4 egyik sem! 1 Hányféleképpen húzhatunk 4 lapot? ( ) Hányféleképpen húzhatunk 4 egyforma lapot? ( 4 3 Válasz: ( ) ( ) 8 4 1) ( 8 4 ) Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
11 3. Feladat Az x ismeretlen egész számról az alábbiakat tudjuk: 8x 1 (mod 17) 20 < x < 38 Ikszelje be a téglalapban felsoroltak közül azt az intervallumot, amelyik tartalmazza x-et!! [21, 23] [24, 26] [27, 30] [31, 32] [33, 35] [36, 37] egyik sem! Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
12 3. Feladat Az x ismeretlen egész számról az alábbiakat tudjuk: 8x 1 (mod 17) 20 < x < 38 Ikszelje be a téglalapban felsoroltak közül azt az intervallumot, amelyik tartalmazza x-et!! [21, 23] [24, 26] [27, 30] [31, 32] [33, 35] [36, 37] egyik sem! 8x 1 (mod 17) Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
13 3. Feladat Az x ismeretlen egész számról az alábbiakat tudjuk: 8x 1 (mod 17) 20 < x < 38 Ikszelje be a téglalapban felsoroltak közül azt az intervallumot, amelyik tartalmazza x-et!! [21, 23] [24, 26] [27, 30] [31, 32] [33, 35] [36, 37] egyik sem! 8x 1 (mod 17) 8x 17y = 1 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
14 3. Feladat Az x ismeretlen egész számról az alábbiakat tudjuk: 8x 1 (mod 17) 20 < x < 38 Ikszelje be a téglalapban felsoroltak közül azt az intervallumot, amelyik tartalmazza x-et!! [21, 23] [24, 26] [27, 30] [31, 32] [33, 35] [36, 37] egyik sem! 8x 1 (mod 17) 8x 17y = 1 lnko(8, 17) = 1 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
15 3. Feladat Az x ismeretlen egész számról az alábbiakat tudjuk: 8x 1 (mod 17) 20 < x < 38 Ikszelje be a téglalapban felsoroltak közül azt az intervallumot, amelyik tartalmazza x-et!! [21, 23] [24, 26] [27, 30] [31, 32] [33, 35] [36, 37] egyik sem! 8x 1 (mod 17) 8x 17y = 1 lnko(8, 17) = 1 x 0 = 2 és y 0 = 1 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
16 3. Feladat Az x ismeretlen egész számról az alábbiakat tudjuk: 8x 1 (mod 17) 20 < x < 38 Ikszelje be a téglalapban felsoroltak közül azt az intervallumot, amelyik tartalmazza x-et!! [21, 23] [24, 26] [27, 30] [31, 32] [33, 35] [36, 37] egyik sem! 8x 1 (mod 17) 8x 17y = 1 lnko(8, 17) = 1 x 0 = 2 és y 0 = 1 x = 2 17 t Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
17 3. Feladat Az x ismeretlen egész számról az alábbiakat tudjuk: 8x 1 (mod 17) 20 < x < 38 Ikszelje be a téglalapban felsoroltak közül azt az intervallumot, amelyik tartalmazza x-et!! [21, 23] [24, 26] [27, 30] [31, 32] [33, 35] [36, 37] egyik sem! 8x 1 (mod 17) 8x 17y = 1 lnko(8, 17) = 1 x 0 = 2 és y 0 = 1 x = 2 17 t x 2 (mod 17) Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
18 3. Feladat Az x ismeretlen egész számról az alábbiakat tudjuk: 8x 1 (mod 17) 20 < x < 38 Ikszelje be a téglalapban felsoroltak közül azt az intervallumot, amelyik tartalmazza x-et!! [21, 23] [24, 26] [27, 30] [31, 32] [33, 35] [36, 37] egyik sem! 8x 1 (mod 17) 8x 17y = 1 lnko(8, 17) = 1 x 0 = 2 és y 0 = 1 x = 2 17 t x 2 (mod 17) x = 2, 19, 36,... Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
19 4. Feladat Hányféleképpen lehet sorba rakni a KUPAK szó betűit, azaz hány ötbetűs szó nyerhető a KUPAK betűinek összekeverésével?! egyik sem! Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
20 4. Feladat Hányféleképpen lehet sorba rakni a KUPAK szó betűit, azaz hány ötbetűs szó nyerhető a KUPAK betűinek összekeverésével?! egyik sem! Ismétléses permutáció. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
21 4. Feladat Hányféleképpen lehet sorba rakni a KUPAK szó betűit, azaz hány ötbetűs szó nyerhető a KUPAK betűinek összekeverésével?! egyik sem! Ismétléses permutáció. Válasz: 5! 2! = = 60. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
22 5. Feladat A számot maradékosan osztjuk 81-gyel. Mi az osztás maradéka?! egyik sem! 2 56 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
23 5. Feladat A 2 56 számot maradékosan osztjuk 81-gyel. Mi az osztás maradéka?! egyik sem! 2 56 x (mod 81) Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
24 5. Feladat A 2 56 számot maradékosan osztjuk 81-gyel. Mi az osztás maradéka?! egyik sem! 2 56 x (mod 81) Euler-tétel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a ϕ(n) 1 (mod n). Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
25 5. Feladat A 2 56 számot maradékosan osztjuk 81-gyel. Mi az osztás maradéka?! egyik sem! 2 56 x (mod 81) Euler-tétel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a ϕ(n) 1 (mod n). lnko(2, 81) = 1 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
26 5. Feladat A 2 56 számot maradékosan osztjuk 81-gyel. Mi az osztás maradéka?! egyik sem! 2 56 x (mod 81) Euler-tétel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a ϕ(n) 1 (mod n). lnko(2, 81) = 1 ϕ(81) = ϕ(3 4 ) = = = 54 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
27 5. Feladat A 2 56 számot maradékosan osztjuk 81-gyel. Mi az osztás maradéka?! egyik sem! 2 56 x (mod 81) Euler-tétel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a ϕ(n) 1 (mod n). lnko(2, 81) = 1 ϕ(81) = ϕ(3 4 ) = = = = (mod 81) Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
28 6. Feladat Mely tulajdonságok érvényesek az alábbi gráfra, ha EV, illetve zárt EV a van Euler-vonala, illetve van zárt Euler-vonala rövidítése?? EV zárt EV páros gráf síkgráf van Hamilton-köre fa egyik sem? Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
29 7. Feladat Legyen A = (A; +, ) egy tetszőleges gyűrű, és legyen a, b, c A. A gyűrűre, illetve annak elemeire vonatkozó alábbi kijelentések közül melyek szükségképpen igazak? Ha b 0, akkor b-nek van multiplikatív inverze. Az összeadás egységeleme egyúttal a szorzás zéruseleme. (A \ {0}; ) Abel-csoport. bc cb = 0. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
30 7. Feladat Legyen A = (A; +, ) egy tetszőleges gyűrű, és legyen a, b, c A. A gyűrűre, illetve annak elemeire vonatkozó alábbi kijelentések közül melyek szükségképpen igazak? Ha b 0, akkor b-nek van multiplikatív inverze. Az összeadás egységeleme egyúttal a szorzás zéruseleme. (A \ {0}; ) Abel-csoport. bc cb = 0. Hamis: az (Z 4, +, ) gyűrűben a 2-nek nincs inverze. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
31 7. Feladat Legyen A = (A; +, ) egy tetszőleges gyűrű, és legyen a, b, c A. A gyűrűre, illetve annak elemeire vonatkozó alábbi kijelentések közül melyek szükségképpen igazak? Ha b 0, akkor b-nek van multiplikatív inverze. Az összeadás egységeleme egyúttal a szorzás zéruseleme. (A \ {0}; ) Abel-csoport. bc cb = 0. Hamis: az (Z 4, +, ) gyűrűben a 2-nek nincs inverze. Igaz Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
32 7. Feladat Legyen A = (A; +, ) egy tetszőleges gyűrű, és legyen a, b, c A. A gyűrűre, illetve annak elemeire vonatkozó alábbi kijelentések közül melyek szükségképpen igazak? Ha b 0, akkor b-nek van multiplikatív inverze. Az összeadás egységeleme egyúttal a szorzás zéruseleme. (A \ {0}; ) Abel-csoport. bc cb = 0. Hamis: az (Z 4, +, ) gyűrűben a 2-nek nincs inverze. Igaz Hamis: az (R n n, +, ) gyűrű nem kommutatív. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
33 7. Feladat Legyen A = (A; +, ) egy tetszőleges gyűrű, és legyen a, b, c A. A gyűrűre, illetve annak elemeire vonatkozó alábbi kijelentések közül melyek szükségképpen igazak? Ha b 0, akkor b-nek van multiplikatív inverze. Az összeadás egységeleme egyúttal a szorzás zéruseleme. (A \ {0}; ) Abel-csoport. bc cb = 0. Hamis: az (Z 4, +, ) gyűrűben a 2-nek nincs inverze. Igaz Hamis: az (R n n, +, ) gyűrű nem kommutatív. Hamis: lásd előző. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
34 8. Feladat Az egész számok (Z; +) additív csoportjának önmagával vett direkt szorzatában, azaz (Z 2 ; +) csoportban tekintsük az S = {(5x, 2x) : x Z} normálosztót. A téglalapban felsoroltak közül melyek vannak benne a (2, 1) elem S szerinti baloldali mellékosztályában?? 3 (12, 5) (2, 1) (2, 1) (12, 5) (0, 0) egyik sem? Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
35 8. Feladat Az egész számok (Z; +) additív csoportjának önmagával vett direkt szorzatában, azaz (Z 2 ; +) csoportban tekintsük az S = {(5x, 2x) : x Z} normálosztót. A téglalapban felsoroltak közül melyek vannak benne a (2, 1) elem S szerinti baloldali mellékosztályában?? 3 (12, 5) (2, 1) (2, 1) (12, 5) (0, 0) egyik sem? (2, 1) + S = {(2, 1) + (5x, 2x) : x Z} = {(2 + 5x, 1 2x) : x Z} Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
36 8. Feladat Az egész számok (Z; +) additív csoportjának önmagával vett direkt szorzatában, azaz (Z 2 ; +) csoportban tekintsük az S = {(5x, 2x) : x Z} normálosztót. A téglalapban felsoroltak közül melyek vannak benne a (2, 1) elem S szerinti baloldali mellékosztályában?? 3 (12, 5) (2, 1) (2, 1) (12, 5) (0, 0) egyik sem? (2, 1) + S = {(2, 1) + (5x, 2x) : x Z} = {(2 + 5x, 1 2x) : x Z} (2, 1) : x = 0, (12, 5) : x = 2 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
37 9. Feladat Tekintsük az alábbi művelettáblázattal megadott A = (A; ) grupoidot. A téglalapban felsorolt állítások ezen grupoidra, illetve ezen műveletre értendők. Ikszeljük be a felsoroltak közül az igaz állításokat. (Itt [X ], illetve [y] a szokott módon az X illetve {y} részhalmaz által generált részgrupoidot jelöli.) a b c d a a b c d b b a d c c c d a b d d c b a? van zéruselem van egységelem c [b] c [{b, d}] egyik sem? Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
38 10. Feladat Tekintsük az előző feladatban művelettáblázattal megadott A = (A; ) grupoidot. Az alábbi téglalapban megadott osztályozások közül melyek azok, amelyekhez a félcsoport kongruenciarelációi tartoznak?? {{a, d}, {b, c}} {{a}, {b}, {c}, {d}} {{a, b, c, d}} {{a, c, d}, {b}} egyik sem? Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
39 10. Feladat Tekintsük az előző feladatban művelettáblázattal megadott A = (A; ) grupoidot. Az alábbi téglalapban megadott osztályozások közül melyek azok, amelyekhez a félcsoport kongruenciarelációi tartoznak?? {{a, d}, {b, c}} {{a}, {b}, {c}, {d}} {{a, b, c, d}} {{a, c, d}, {b}} egyik sem? Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
40 Tartalom 1 1. Feladatsor 2 2. Feladatsor Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
41 1. Feladat Hányféleképpen lehet sorba rakni a KIFLI szó betűit úgy, hogy ne I betűvel kezdődő szót kapjunk? (! ) ! 4! 3 5! 4! egyik sem! Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
42 1. Feladat Hányféleképpen lehet sorba rakni a KIFLI szó betűit úgy, hogy ne I betűvel kezdődő szót kapjunk? (! ) ! 4! 3 5! 4! egyik sem! Szétszedjük, hogy mivel kezdődhet. 1 K : 4! 2! Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
43 1. Feladat Hányféleképpen lehet sorba rakni a KIFLI szó betűit úgy, hogy ne I betűvel kezdődő szót kapjunk? (! ) ! 4! 3 5! 4! egyik sem! Szétszedjük, hogy mivel kezdődhet. 1 K : 4! 2! 2 F : 4! 2! Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
44 1. Feladat Hányféleképpen lehet sorba rakni a KIFLI szó betűit úgy, hogy ne I betűvel kezdődő szót kapjunk? (! ) ! 4! 3 5! 4! egyik sem! Szétszedjük, hogy mivel kezdődhet. 1 K : 4! 2! 2 F : 4! 2! 3 L : 4! 2! Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
45 1. Feladat Hányféleképpen lehet sorba rakni a KIFLI szó betűit úgy, hogy ne I betűvel kezdődő szót kapjunk? (! ) ! 4! 3 5! 4! egyik sem! Szétszedjük, hogy mivel kezdődhet. 1 K : 4! 2! 4 Összesen: 36 2 F : 4! 2! 3 L : 4! 2! Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
46 2. Feladat Az x ismeretlen egész számról az alábbiakat tudjuk: x 7 (mod 8) x 6 (mod 7) 20 < x < 100 Ikszelje be a téglalapban felsoroltak közül azt az intervallumot, amelyik tartalmazza x-et!! [21, 40) [40, 60) [60, 80) [80, 87) [87, 94) [94, 100) egyik sem! Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
47 2. Feladat Az x ismeretlen egész számról az alábbiakat tudjuk: x 7 (mod 8) x 6 (mod 7) 20 < x < 100 Ikszelje be a téglalapban felsoroltak közül azt az intervallumot, amelyik tartalmazza x-et!! [21, 40) [40, 60) [60, 80) [80, 87) [87, 94) [94, 100) egyik sem! x 8y = 7 x 7z = 6 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
48 2. Feladat Az x ismeretlen egész számról az alábbiakat tudjuk: x 7 (mod 8) x 6 (mod 7) 20 < x < 100 Ikszelje be a téglalapban felsoroltak közül azt az intervallumot, amelyik tartalmazza x-et!! [21, 40) [40, 60) [60, 80) [80, 87) [87, 94) [94, 100) egyik sem! x 8y = 7 x 7z = y 7z = 6 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
49 2. Feladat Az x ismeretlen egész számról az alábbiakat tudjuk: x 7 (mod 8) x 6 (mod 7) 20 < x < 100 Ikszelje be a téglalapban felsoroltak közül azt az intervallumot, amelyik tartalmazza x-et!! [21, 40) [40, 60) [60, 80) [80, 87) [87, 94) [94, 100) egyik sem! x 8y = 7 x 7z = y 7z = 6 8y 7z = 1 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
50 3. Feladat Egy négytagú társaság a következő haditervet dolgozza ki arra, hogy mind a négyen feljussanak a tetőteraszra: ketten a (kétszemélyes) lifttel mennek egyszerre, ketten pedig egymás után a villámhárítón mászva jutnak fel. Hány különböző sorrendben érkezhetnek meg a tetőteraszra, ha feltesszük, hogy a liften utazó két személy egyszerre érkezik, de ezt leszámítva nincs egyidejű érkezés?! ( 6 2) 5! 3! ! 3! 2! egyik sem! Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
51 3. Feladat Egy négytagú társaság a következő haditervet dolgozza ki arra, hogy mind a négyen feljussanak a tetőteraszra: ketten a (kétszemélyes) lifttel mennek egyszerre, ketten pedig egymás után a villámhárítón mászva jutnak fel. Hány különböző sorrendben érkezhetnek meg a tetőteraszra, ha feltesszük, hogy a liften utazó két személy egyszerre érkezik, de ezt leszámítva nincs egyidejű érkezés?! ( 6 2) 5! 3! ! 3! 2! egyik sem! 3 különböző mozgó objektum van, ezek sorrendje 3! lehet Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
52 3. Feladat Egy négytagú társaság a következő haditervet dolgozza ki arra, hogy mind a négyen feljussanak a tetőteraszra: ketten a (kétszemélyes) lifttel mennek egyszerre, ketten pedig egymás után a villámhárítón mászva jutnak fel. Hány különböző sorrendben érkezhetnek meg a tetőteraszra, ha feltesszük, hogy a liften utazó két személy egyszerre érkezik, de ezt leszámítva nincs egyidejű érkezés?! ( 6 2) 5! 3! ! 3! 2! egyik sem! 3 különböző mozgó objektum van, ezek sorrendje 3! lehet a liftben ( 4 2) -féleképpen lehetnek Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
53 3. Feladat Egy négytagú társaság a következő haditervet dolgozza ki arra, hogy mind a négyen feljussanak a tetőteraszra: ketten a (kétszemélyes) lifttel mennek egyszerre, ketten pedig egymás után a villámhárítón mászva jutnak fel. Hány különböző sorrendben érkezhetnek meg a tetőteraszra, ha feltesszük, hogy a liften utazó két személy egyszerre érkezik, de ezt leszámítva nincs egyidejű érkezés?! ( 6 2) 5! 3! ! 3! 2! egyik sem! 3 különböző mozgó objektum van, ezek sorrendje 3! lehet a liftben ( 4 2) -féleképpen lehetnek Válasz: ( 4 2) 3! Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
54 4. Feladat A kisállatkereskedőnél háromfajta díszhalat árulnak mindegyikből van bőven. Hányféleképpen vásárolhatunk egyidejűleg négy halat az akváriumba? (Az egyidejűség miatt a sorrend nem számít, és nyilván egyformákat is vehetünk.) (! ! 4 ) ( 7 ) ( 6 ) ( ) egyik sem! Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
55 4. Feladat A kisállatkereskedőnél háromfajta díszhalat árulnak mindegyikből van bőven. Hányféleképpen vásárolhatunk egyidejűleg négy halat az akváriumba? (Az egyidejűség miatt a sorrend nem számít, és nyilván egyformákat is vehetünk.) (! ! 4 ) ( 7 ) ( 6 ) ( ) egyik sem! A három különböző elemből kell kiválasztani 4-et, azaz ismétléses kombináció. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
56 4. Feladat A kisállatkereskedőnél háromfajta díszhalat árulnak mindegyikből van bőven. Hányféleképpen vásárolhatunk egyidejűleg négy halat az akváriumba? (Az egyidejűség miatt a sorrend nem számít, és nyilván egyformákat is vehetünk.) (! ! 4 ) ( 7 ) ( 6 ) ( ) egyik sem! A három különböző elemből kell kiválasztani 4-et, azaz ismétléses kombináció. ( ) Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
57 5. Feladat A mobiltelefon memóriájában egy 2 16 bájt méretű terület szolgál a ki- és bemenő hívások naplózására. Minden egyes üzenet naplózásához pontosan 17 bájt szükséges. Tegyük fel hogy a memóriát csakis erre a célra használjuk és sose töröljük. Amikor sok-sok hívás után további naplózás nem lehetséges, hány kihasználatlan bájt marad a memóriában? (Másként fogalmazva: mi lesz a maradék, ha a 2 16 számot elosztjuk tizenhéttel?)! egyik sem! Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
58 5. Feladat A mobiltelefon memóriájában egy 2 16 bájt méretű terület szolgál a ki- és bemenő hívások naplózására. Minden egyes üzenet naplózásához pontosan 17 bájt szükséges. Tegyük fel hogy a memóriát csakis erre a célra használjuk és sose töröljük. Amikor sok-sok hívás után további naplózás nem lehetséges, hány kihasználatlan bájt marad a memóriában? (Másként fogalmazva: mi lesz a maradék, ha a 2 16 számot elosztjuk tizenhéttel?)! egyik sem! 2 16 x (mod 17) Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
59 5. Feladat A mobiltelefon memóriájában egy 2 16 bájt méretű terület szolgál a ki- és bemenő hívások naplózására. Minden egyes üzenet naplózásához pontosan 17 bájt szükséges. Tegyük fel hogy a memóriát csakis erre a célra használjuk és sose töröljük. Amikor sok-sok hívás után további naplózás nem lehetséges, hány kihasználatlan bájt marad a memóriában? (Másként fogalmazva: mi lesz a maradék, ha a 2 16 számot elosztjuk tizenhéttel?)! egyik sem! 2 16 x (mod 17) Euler-tétel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a ϕ(n) 1 (mod n). Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
60 5. Feladat A mobiltelefon memóriájában egy 2 16 bájt méretű terület szolgál a ki- és bemenő hívások naplózására. Minden egyes üzenet naplózásához pontosan 17 bájt szükséges. Tegyük fel hogy a memóriát csakis erre a célra használjuk és sose töröljük. Amikor sok-sok hívás után további naplózás nem lehetséges, hány kihasználatlan bájt marad a memóriában? (Másként fogalmazva: mi lesz a maradék, ha a 2 16 számot elosztjuk tizenhéttel?)! egyik sem! 2 16 x (mod 17) Euler-tétel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a ϕ(n) 1 (mod n). lnko(2, 17) = 1 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
61 5. Feladat A mobiltelefon memóriájában egy 2 16 bájt méretű terület szolgál a ki- és bemenő hívások naplózására. Minden egyes üzenet naplózásához pontosan 17 bájt szükséges. Tegyük fel hogy a memóriát csakis erre a célra használjuk és sose töröljük. Amikor sok-sok hívás után további naplózás nem lehetséges, hány kihasználatlan bájt marad a memóriában? (Másként fogalmazva: mi lesz a maradék, ha a 2 16 számot elosztjuk tizenhéttel?)! egyik sem! 2 16 x (mod 17) Euler-tétel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a ϕ(n) 1 (mod n). lnko(2, 17) = 1 ϕ(17) = 16 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
62 5. Feladat A mobiltelefon memóriájában egy 2 16 bájt méretű terület szolgál a ki- és bemenő hívások naplózására. Minden egyes üzenet naplózásához pontosan 17 bájt szükséges. Tegyük fel hogy a memóriát csakis erre a célra használjuk és sose töröljük. Amikor sok-sok hívás után további naplózás nem lehetséges, hány kihasználatlan bájt marad a memóriában? (Másként fogalmazva: mi lesz a maradék, ha a 2 16 számot elosztjuk tizenhéttel?)! egyik sem! 2 16 x (mod 17) Euler-tétel: ha lnko(a, n) = 1, akkor a ϕ(n) 1 (mod n). lnko(2, 17) = 1 ϕ(17) = (mod 17) Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
63 6. Feladat Magyar módszerrel keresünk maximális elemszámú párosítást az alábbi gráfban. (A gráfot két példányban is lerajzoltuk, hogy legyen min dolgozni, számolni.) A {bq, ct, dp, ev, gr, hs, iu, jx} párosításig (azaz a vastag élek halmazáig) jutottunk. A téglalapban felsorolt élek közül melyek lesznek benne szükségképpen a magyar módszer következő lépése által szolgáltatott párosításban? p q r s t u v w x y a b c d e f g h i j? bq iu dp ex jx egyik sem?
64 6. Feladat Magyar módszerrel keresünk maximális elemszámú párosítást az alábbi gráfban. (A gráfot két példányban is lerajzoltuk, hogy legyen min dolgozni, számolni.) A {bq, ct, dp, ev, gr, hs, iu, jx} párosításig (azaz a vastag élek halmazáig) jutottunk. A téglalapban felsorolt élek közül melyek lesznek benne szükségképpen a magyar módszer következő lépése által szolgáltatott párosításban? p q r s t u v w x y a b c d e f g h i j? bq iu dp ex jx egyik sem?
65 6. Feladat Magyar módszerrel keresünk maximális elemszámú párosítást az alábbi gráfban. (A gráfot két példányban is lerajzoltuk, hogy legyen min dolgozni, számolni.) A {bq, ct, dp, ev, gr, hs, iu, jx} párosításig (azaz a vastag élek halmazáig) jutottunk. A téglalapban felsorolt élek közül melyek lesznek benne szükségképpen a magyar módszer következő lépése által szolgáltatott párosításban? p q r s t u v w x y a b c d e f g h i j? bq iu dp ex jx egyik sem?
66 6. Feladat Magyar módszerrel keresünk maximális elemszámú párosítást az alábbi gráfban. (A gráfot két példányban is lerajzoltuk, hogy legyen min dolgozni, számolni.) A {bq, ct, dp, ev, gr, hs, iu, jx} párosításig (azaz a vastag élek halmazáig) jutottunk. A téglalapban felsorolt élek közül melyek lesznek benne szükségképpen a magyar módszer következő lépése által szolgáltatott párosításban? p q r s t u v w x y a b c d e f g h i j? bq iu dp ex jx egyik sem?
67 6. Feladat Magyar módszerrel keresünk maximális elemszámú párosítást az alábbi gráfban. (A gráfot két példányban is lerajzoltuk, hogy legyen min dolgozni, számolni.) A {bq, ct, dp, ev, gr, hs, iu, jx} párosításig (azaz a vastag élek halmazáig) jutottunk. A téglalapban felsorolt élek közül melyek lesznek benne szükségképpen a magyar módszer következő lépése által szolgáltatott párosításban? p q r s t u v w x y a b c d e f g h i j? bq iu dp ex jx egyik sem? Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
68 7. Feladat Melyek a szükségképpen igazak az alábbi kijelentések közül? (Útmutató: a ϕ értékeit érdemes kiszámolni.) ϕ(10 2 ) = 2 ϕ(10), ahol ϕ az Euler-féle ϕ függvény. hamis ϕ(10 2 ) = ϕ(10) 2, ahol ϕ az Euler-féle ϕ függvény. hamis Gyűrű additív egységeleme egyúttal multiplikatív zéruselem. igaz Ha egy algebra test, akkor gyűrű is. igaz Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
69 7. Feladat Melyek a szükségképpen igazak az alábbi kijelentések közül? (Útmutató: a ϕ értékeit érdemes kiszámolni.) ϕ(10 2 ) = 2 ϕ(10), ahol ϕ az Euler-féle ϕ függvény. hamis ϕ(10 2 ) = ϕ(10) 2, ahol ϕ az Euler-féle ϕ függvény. hamis Gyűrű additív egységeleme egyúttal multiplikatív zéruselem. igaz Ha egy algebra test, akkor gyűrű is. igaz Hamis: ϕ(10) = 4, ϕ(100) = 40 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
70 7. Feladat Melyek a szükségképpen igazak az alábbi kijelentések közül? (Útmutató: a ϕ értékeit érdemes kiszámolni.) ϕ(10 2 ) = 2 ϕ(10), ahol ϕ az Euler-féle ϕ függvény. hamis ϕ(10 2 ) = ϕ(10) 2, ahol ϕ az Euler-féle ϕ függvény. hamis Gyűrű additív egységeleme egyúttal multiplikatív zéruselem. igaz Ha egy algebra test, akkor gyűrű is. igaz Hamis: ϕ(10) = 4, ϕ(100) = 40 Hamis Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
71 7. Feladat Melyek a szükségképpen igazak az alábbi kijelentések közül? (Útmutató: a ϕ értékeit érdemes kiszámolni.) ϕ(10 2 ) = 2 ϕ(10), ahol ϕ az Euler-féle ϕ függvény. hamis ϕ(10 2 ) = ϕ(10) 2, ahol ϕ az Euler-féle ϕ függvény. hamis Gyűrű additív egységeleme egyúttal multiplikatív zéruselem. igaz Ha egy algebra test, akkor gyűrű is. igaz Hamis: ϕ(10) = 4, ϕ(100) = 40 Hamis Igaz Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
72 7. Feladat Melyek a szükségképpen igazak az alábbi kijelentések közül? (Útmutató: a ϕ értékeit érdemes kiszámolni.) ϕ(10 2 ) = 2 ϕ(10), ahol ϕ az Euler-féle ϕ függvény. hamis ϕ(10 2 ) = ϕ(10) 2, ahol ϕ az Euler-féle ϕ függvény. hamis Gyűrű additív egységeleme egyúttal multiplikatív zéruselem. igaz Ha egy algebra test, akkor gyűrű is. igaz Hamis: ϕ(10) = 4, ϕ(100) = 40 Hamis Igaz Igaz Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
73 8. Feladat A síkvektorok (R 2 ; +) additív csoportjában tekintsük az S = {(x, x) : x R} normálosztót és a b = (3, 4) elemet. A téglalapban felsoroltak közül melyek vannak benne a b elem S szerinti baloldali mellékosztályában?? (0, 0) (0, 1) (4, 4) (3, 4) (4, 5) egyik sem? Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
74 8. Feladat A síkvektorok (R 2 ; +) additív csoportjában tekintsük az S = {(x, x) : x R} normálosztót és a b = (3, 4) elemet. A téglalapban felsoroltak közül melyek vannak benne a b elem S szerinti baloldali mellékosztályában?? (0, 0) (0, 1) (4, 4) (3, 4) (4, 5) egyik sem? (3, 4) + S = {(3, 4) + (x, x) : x R} = {(3 + x, 4 + x) : x R} Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
75 8. Feladat A síkvektorok (R 2 ; +) additív csoportjában tekintsük az S = {(x, x) : x R} normálosztót és a b = (3, 4) elemet. A téglalapban felsoroltak közül melyek vannak benne a b elem S szerinti baloldali mellékosztályában?? (0, 0) (0, 1) (4, 4) (3, 4) (4, 5) egyik sem? (3, 4) + S = {(3, 4) + (x, x) : x R} = {(3 + x, 4 + x) : x R} (0, 1) : x = 3, (3, 4) : x = 0, (4, 5) : x = 1 Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
76 9. Feladat Tekintsük az alábbi művelettáblázattal megadott A = (A; ) grupoidot. A téglalapban felsorolt állítások ezen grupoidra, illetve ezen műveletre értendők. Ikszeljük be a felsoroltak közül az igaz állításokat. (Itt [X ], illetve [y] a szokott módon az X illetve {y} részhalmaz által generált részalgebrát jelöli.) A a b c d a a b c d b b c a a c c a b a d d d d d? van zéruselem kancellatív c [b] d [{b, c}] egyik sem? Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
77 10. Feladat Tekintsük az előző feladatban művelettáblázattal megadott A = (A; ) grupoidot. Az alábbi téglalapban megadott osztályozások közül melyek azok, amelyekhez a grupoid kongruenciarelációi tartoznak?? {{a, b}, {c, d}} {{a, b, c}, {d}} {{a, b, c, d}} {{a, c}, {b, d}} egyik sem? Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
78 10. Feladat Tekintsük az előző feladatban művelettáblázattal megadott A = (A; ) grupoidot. Az alábbi téglalapban megadott osztályozások közül melyek azok, amelyekhez a grupoid kongruenciarelációi tartoznak?? {{a, b}, {c, d}} {{a, b, c}, {d}} {{a, b, c, d}} {{a, c}, {b, d}} egyik sem? Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat április / 23
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat
8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,
ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom
Diszkrét Matematika 2 vizsgaanyag ELTE IK Esti képzés 2017. tavaszi félév Tartalom 1. Számfogalom bővítése, homomorfizmusok... 2 2. Csoportok... 9 3. Részcsoport... 11 4. Generátum... 14 5. Mellékosztály,
Diszkrét matematika II. feladatok
Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden
1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI. = 6. Ezek a sorozatok a következők: ab, ac, ba, bc, ca, cb.
1. FELADATSOR MEGOLDÁSAI Elméleti áttekintés Ismétlés nélküli variáció. Egy n elemű halmazból képezhető k elemű sorozatok száma, ha a sorozatok nem tartalmaznak ismétlődést n! (1 = n (n 1... (n k (n k
Számelmélet (2017. február 8.) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla
Számelmélet (2017 február 8) Bogya Norbert, Kátai-Urbán Kamilla 1 Oszthatóság 1 Definíció Legyen a, b Z Az a osztója b-nek, ha létezik olyan c Z egész szám, melyre ac = b Jelölése: a b 2 Példa 3 12, 2
Diszkrét matematika 2.C szakirány
Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.
Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák
Kombinatorika - kidolgozott típuspéldák az összes dolgot sorba rakjuk minden dolog különböző ismétlés nélküli permutáció Hányféleképpen lehet sorba rakni n különböző dolgot? P=1 2... (n-1) n=n! például:
MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak
MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 1. Csoportelméleti alapfogalmak 1.1. Feladat. Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletre nézve? (1) (Z 2 ; ), (2) (Z 2 ; +), (3) (R \ { 1}; ),
1. Bevezetés A félév anyaga. Gyűrűk és testek Ideál, faktorgyűrű, főideálgyűrű Gauss-egészek, két négyzetszám tétel Az alaptételes gyűrűk jellemzése A számfogalom lezárása Algebrai és transzcendens számok
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
Diszkrét matematika II. gyakorlat
Diszkrét matematika II. gyakorlat 9. Gyakorlat Szakács Nóra Helyettesít: Bogya Norbert Bolyai Intézet 2013. április 11. Bogya Norbert (Bolyai Intézet) Diszkrét matematika II. gyakorlat 2013. április 11.
Kongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
Waldhauser Tamás december 1.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. december 1. Tizedik házi feladat az előadásra Hányféleképpen lehet kiszínezni az X-pentominót n színnel, ha a forgatással vagy tükrözéssel egymásba
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. március 9. 1. Diszkrét matematika 2. 4. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. március 9. Gráfelmélet Diszkrét
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
// KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 16. lecke: Kombinatorika (alapfeladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
SE EKK EIFTI Matematikai analízis
SE EKK EIFTI Matematikai analízis 2. Blokk A számelmélet a matematikának a számokkal foglalkozó ága. Gyakran azonban ennél sz kebb értelemben használják a számelmélet szót: az egész számok elméletét értik
Gy ur uk aprilis 11.
Gyűrűk 2014. április 11. 1. Hányadostest 2. Karakterisztika, prímtest 3. Egyszerű gyűrűk [F] III/8 Tétel Minden integritástartomány beágyazható testbe. Legyen R integritástartomány, és értelmezzünk az
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Kombinatorika. I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző elemet úgy, hogy a sorrend számít? (Ismétlés nélküli permutáció)
Kombinatorika Az első n pozitív egész szám szorzatát n faktoriálisnak nevezzük és n! jellel jelöljük: n! := 1 2 3 4... (n 1) n 0! := 1 1! := 1 I. típus: Hányféleképpen lehet sorba rendezni n különböző
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 5. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Számfogalom bővítése Diszkrét matematika I. középszint
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 4-6. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy b = ax. Ennek jelölése a b.
1. Oszthatóság, legnagyobb közös osztó Ebben a jegyzetben minden változó egész számot jelöl. 1.1. Definíció. Azt mondjuk, hogy a oszója b-nek, vagy más szóval, b osztható a-val, ha létezik olyan x Z, hogy
Kombinatorika. Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.
Kombinatorika Variáció, permutáció, kombináció. Binomiális tétel, szita formula.. Kombinatorikai alapfeladatok A kombinatorikai alapfeladatok lényege az, hogy bizonyos elemeket sorba rendezünk, vagy néhányat
DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes
1. Algebrai alapok: DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Művelet: Egy H nemüres halmazon értelmezett (kétváltozós) műveleten egy H H H függvényt értünk, azaz egy olyan leképezést, amely bármely a,b H elempárhoz
MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )
MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 201. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 201. ősz Kombinatorika Diszkrét matematika 1. 201. ősz 2. Kombinatorika Kombinatorika
1. Részcsoportok (1) C + R + Q + Z +. (2) C R Q. (3) Q nem részcsoportja C + -nak, mert más a művelet!
1. Részcsoportok A részcsoport fogalma. 2.2.15. Definíció Legyen G csoport. A H G részhalmaz részcsoport, ha maga is csoport G műveleteire nézve. Jele: H G. Az altér fogalmához hasonlít. Példák (1) C +
Általános algebra. 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus. 3. Kongruencia, faktoralgebra március Homomorfizmus, homomorfiatétel
1. Algebrai struktúra, izomorfizmus Általános algebra 2. Részalgebra, generálás 3. Kongruencia, faktoralgebra 2013 március 8. 4. Homomorfizmus, homomorfiatétel 1. Algebrai struktúra, izomorfizmus 2. Részalgebra,
8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA. (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a második számjegy a 2-es?
8. GYAKORLÓ FELADATSOR MEGOLDÁSA 1. Az 1, 2,,,, 6 számjegyekből hány hatjegyű számot alkothatunk, (a) amelyiknek mindegyik számjegye különböző? (b) amelyiknek mindegyik számjegye különböző, valamint a
Diszkrét matematika 2.
Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika
Csoportok II március 7-8.
Csoportok II 2014 március 7-8. 1. Mellékosztályok 2. Lagrange tétele 3. Kompatibilis osztályozás, kongruenciareláció 4. Normálosztó, faktorcsoport 5. Konjugálás 6. Homomorfizmus, homomorfiatétel 7. Permutációcsoportok
1. Bevezetés A félév anyaga. Lineáris algebra Vektorterek, alterek Függés, függetlenség, bázis, dimenzió Skaláris szorzat R n -ben, vektorok hossza és szöge Lineáris leképezések, mátrixuk, bázistranszformáció
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu
Számítógépes Grafika Valasek Gábor valasek@inf.elte.hu Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar 2013/2014. őszi félév ( Eötvös LorándSzámítógépes TudományegyetemInformatikai Grafika Kar) 2013/2014.
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Permutációk véges halmazon (el adásvázlat, február 12.)
Permutációk véges halmazon el adásvázlat 2008 február 12 Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: ismétlés nélküli variáció leképezés indulási és érkezési halmaz
Szorzás, osztás 1000-ig. A műveletek tulajdonságai 1. Hány pötty van Erika rajzán? Írj róla összeadást és szorzást is!
Szorzás, osztás 1000-ig. A műveletek tulajdonságai 1. Hány pötty van Erika rajzán? Írj róla összeadást és szorzást is! Ha a zöld vonalak mentén lévő pöttyöket adod össze, akkor 5+5+5=, vagy 3 =. Ha a piros
! egyik sem!
Czédli Gábor: MBX111g-Diszkr.mat. I. javító Feladatsor azonosítója: Név= EHA kód= Tisztelt Vizsgázó! Minden egyes feladatnál a választ, illetve a végeredményt a feladathoz tartozó, előre nyomtatott téglalap(ok)ban
Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós
Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,
Waldhauser Tamás szeptember 8.
Algebra és számelmélet előadás Waldhauser Tamás 2016. szeptember 8. Tematika Komplex számok, kanonikus és trigonometrikus alak. Moivre-képlet, gyökvonás, egységgyökök, egységgyök rendje, primitív egységgyökök.
A valós számok halmaza
VA 1 A valós számok halmaza VA 2 A valós számok halmazának axiómarendszere és alapvető tulajdonságai Definíció Az R halmazt a valós számok halmazának nevezzük, ha teljesíti a következő axiómarendszerben
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 10. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Felhívás Diszkrét matematika I. középszint 2014.
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Definíciók, tételkimondások 1. Mondjon legalább három példát predikátumra. 2. Sorolja fel a logikai jeleket. 3. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? 4. Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében?
Matematika szigorlat június 17. Neptun kód:
Név Matematika szigorlat 014. június 17. Neptun kód: 1.. 3. 4. 5. Elm. Fel. Össz. Oszt. Az eredményes szigorlat feltétele elméletből legalább 0 pont, feladatokból pedig legalább 30 pont elérése. A szigorlat
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék
Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz tavasz
Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz 2011. tavasz A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők! A tételek esetleges neve, vagy száma a fóliákkal van szinkronban,
Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei
Számítástudomány alapjai Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei 90. A konvex poliéder egyes lapjait határoló élek száma legyen k! Egy konvex poliéder egy tetszőleges
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 1 EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Diszkrét matematika I. Vizsgaanyag Készítette: Nyilas Árpád Diszkrét matematika I. - Vizsga anyag 2 Bizonyítások 1)
semelyik kivett golyót nem tesszük vissza később az urnába. Hányféle színsorrendben tehetjük ezt meg?
VIII. KOMBINATORIKA VIII.1. Kombinatorikai alapfeladatok 1. Példa. Egy urnában egy piros golyó P, egy fehér golyó F és egy zöld golyó Z van. Egymás után kihúzzuk a három golyót, semelyik kivett golyót
Testek március 29.
Testek 2014. március 29. 1. Alapfogalmak 2. Faktortest 3. Testbővítések 1. Alapfogalmak 2. Faktortest 3. Testbővítések [Sz] V/3, XIII/1,2; [F] III/1-7 (+ előismeretek!) Definíció Ha egy nemüres halmazon
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 8. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
24. tétel. Kombinatorika. A grá fok.
2009/2010 1 Huszk@ Jenő 24. tétel. Kombinatorika. A grá fok. 1.Kombinatorika A kombinatorika a véges halmazokkal foglalkozik. Olyan problémákat vizsgál, amelyek függetlenek a halmazok elemeinek mibenlététől.
Kártyázzunk véges geometriával
Kártyázzunk véges geometriával Bogya Norbert Bolyai Intézet Egyetemi tavasz, 2016 Tartalom Dobble Véges geometria Dobble újratöltve SET Kérdések Hogy tudunk ilyen kártyákat konstruálni? 8 helyett más
2. Tétel (Az oszthatóság tulajdonságai). : 2. Nullát minden elem osztja, de. 3. a nulla csak a nullának osztója.
Számelmélet és rejtjelezési eljárások. (Számelméleti alapok. RSA és alkalmazásai, Die- Hellman-Merkle kulcscsere.) A számelméletben speciálisan az egész számok, általánosan a egységelemes integritási tartomány
matematika alapszak Waldhauser Tamás jegyzete alapján készítette B. Szendrei Mária
ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET vázlat az előadáshoz matematika alapszak 2019-20, őszi félév Waldhauser Tamás jegyzete alapján készítette B. Szendrei Mária 1. Komplex számok Kanonikus alak, konjugált, abszolút
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy
Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Intergrált Intenzív Matematika Érettségi
. Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.
Mikor van egy változó egy kvantor hatáskörében? Milyen tulajdonságokkal rendelkezik a,,részhalmaz fogalom?
Definíciók, tételkimondások Mondjon legalább három példát predikátumra. Sorolja fel a logikai jeleket. Milyen kvantorokat ismer? Mi a jelük? Hogyan kapjuk a logikai formulákat? Mikor van egy változó egy
Számelmélet. 4. Igazolja, hogy ha hat egész szám összege páratlan, akkor e számok szorzata páros!
Számelmélet - oszthatóság definíciója - oszthatósági szabályok - maradékos osztás - prímek definíciója - összetett szám definíciója - legnagyobb közös osztó definíciója - legnagyobb közös osztó meghatározása
Matematika érettségi emelt 2008 október. x 2 0. nem megoldás. 9 x
Matematika érettségi emelt 8 október ( ) lg( 8) 8 8 nem megoldás lg( 8) 8 9 ] ; [ ] ; [, M {;} Matematika érettségi emelt 8 október 6 I. eset II. eset ;[ ] 5 5 6 ;[ ], [ [; 5 5 6 [ [; 4, {;} M Matematika
III. Gráfok. 1. Irányítatlan gráfok:
III. Gráfok 1. Irányítatlan gráfok: Jelölés: G=(X,U), X a csomópontok halmaza, U az élek halmaza X={1,2,3,4,5,6}, U={[1,2], [1,4], [1,6], [2,3], [2,5], [3,4], [3,5], [4,5],[5,6]} Értelmezések: 1. Fokszám:
Diszkrét matematika I.
Diszkrét matematika I. középszint 2014. ősz 1. Diszkrét matematika I. középszint 8. előadás Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2014. ősz Elemi számelmélet Diszkrét matematika I. középszint
Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás,
// KURZUS: Matematika II. MODUL: Valószínűség-számítás 17. lecke: Kombinatorika (vegyes feladatok) Tananyag: Kiss Béla - Krebsz Anna: Lineáris algebra, többváltozós függvények, valószínűségszámítás, 3.1.
1. Mellékosztály, Lagrange tétele
1. Mellékosztály, Lagrange tétele 1.1. Definíció. Legyen (G, ) csoport, H G részcsoport és g G tetszőleges elem. Ekkor a {gh h H} halmazt a H részcsoport g elem szerinti baloldali mellékosztályának nevezzük
Számelmélet. 1. Oszthatóság Prímszámok
Számelmélet Legnagyobb közös osztó, Euklideszi algoritmus. Lineáris diofantoszi egyenletek. Számelméleti kongruenciák, kongruenciarendszerek. Euler-féle ϕ-függvény. 1. Oszthatóság 1. Definíció. Legyen
Számelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
2018, Diszkre t matematika. 10. elo ada s
Diszkre t matematika 10. elo ada s MA RTON Gyo ngyve r mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tansze k Marosva sa rhely, Roma nia 2018, o szi fe le v MA RTON Gyo ngyve r 2018,
Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós
Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes
Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve)
Logikai szita (tartalmazás és kizárás elve) Kombinatorika 5. előadás SZTE Bolyai Intézet Szeged, 2016. március 1. 5. ea. Logikai szita két halmazra 1/4 Középiskolás feladat. Egy 30 fős osztályban a matematikát
Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27
Vektorterek Wettl Ferenc 2015. február 17. Wettl Ferenc Vektorterek 2015. február 17. 1 / 27 Tartalom 1 Egyenletrendszerek 2 Algebrai struktúrák 3 Vektortér 4 Bázis, dimenzió 5 Valós mátrixok és egyenletrendszerek
2018, Diszkrét matematika
Diszkrét matematika 12. előadás mgyongyi@ms.sapientia.ro Sapientia Egyetem, Matematika-Informatika Tanszék Marosvásárhely, ománia 2018, őszi félév Miről volt szó az elmúlt előadáson? a diszkrét logaritmus,
Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2009/2010 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása
Oktatási Hivatal Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny / Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló feladatainak megoldása. Oldja meg a valós számok legbővebb részhalmazán a egyenlőtlenséget!
Környezet statisztika
Környezet statisztika Permutáció, variáció, kombináció k számú golyót n számú urnába helyezve hányféle helykitöltés lehetséges, ha a golyókat helykitöltés Minden urnába akárhány golyó kerülhet (ismétléses)
1. A kísérlet naiv fogalma. melyek közül a kísérlet minden végrehajtásakor pontosan egy következik be.
IX. ESEMÉNYEK, VALÓSZÍNŰSÉG IX.1. Események, a valószínűség bevezetése 1. A kísérlet naiv fogalma. Kísérlet nek nevezzük egy olyan jelenség előidézését vagy megfigyelését, amelynek kimenetelét az általunk
1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás
1 Mátrixösszeadás és skalárral szorzás Mátrixok tömör jelölése T test Az M = a i j T n m azt az n sorból és m oszlopból álló mátrixot jelöli, amelyben az i-edik sor j-edik eleme a i j T Példák [ ] Ha M
ARCHIMEDES MATEMATIKA VERSENY
Ismétléses permutáció: ha az elemek között van olyan, amelyik többször is előfordul, az elemek egy sorba rendezését ismétléses permutációnak nevezzük. Tétel: ha n elem között p 1, p 2, p 3, p k darab megegyező
Kombinatorika avagy hányféleképp? Piros, fehér zöld színekből hány ország számára tudunk különböző zászlókat készíteni?
Kombinatorika avagy hányféleképp? Piros, fehér zöld színekből hány ország számára tudunk különböző zászlókat készíteni? Kombinatorika avagy hányféleképp? Zsuzsi babájának négyféle színes blúza és kétféle
Diszkrét matematika I.
EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM - INFORMATIKAI KAR Diszkrét matematika I. Vizsgaanyag Cserép Máté 2009.01.20. A dokumentum a programtervező informatikus szak Diszkrét matematika I. kurzusának vizsgaanyagát
Ismétlés nélküli kombináció
Ismétlés nélküli kombináció Hányféleképpen lehet n különböz elembl kiválasztani k elemet úgy, hogy a sorrend nem számít, és minden elemet csak egyszer választhatunk? 0. Egy 1 fs csoportban hányféleképpen
HALMAZELMÉLET feladatsor 1.
HALMAZELMÉLET feladatsor 1. Egy (H,, ) algebrai struktúra háló, ha (H, ) és (H, ) kommutatív félcsoport, és teljesül az ún. elnyelési tulajdonság: A, B H: A (A B) = A, A (A B) = A. A (H,, ) háló korlátos,
Gráfelmélet Megoldások
Gráfelmélet Megoldások 1) a) Döntse el az alábbi négy állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Válaszát írja a táblázatba! A: Egy 6 pontot tartalmazó teljes gráfnak 15 éle van B: Ha egy teljes gráfnak
Diszkrét matematika 2. estis képzés
Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat
Bevezetés a matematikába (2009. ősz) 1. röpdolgozat 1. feladat. Fogalmazza meg a következő ítélet kontrapozícióját: Ha a sorozat csökkenő és alulról korlátos, akkor konvergens. 2. feladat. Vezessük be
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)
Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy
Diszkrét matematika I. gyakorlat
Vizsgafeladatok megoldása 2012. december 5. Tartalom Teljes feladatsor #1 1 Teljes feladatsor #1 2 Teljes feladatsor #2 3 Teljes feladatsor #3 4 Teljes feladatsor #4 5 Válogatott feladatok 6 Végső bölcsesség
1. Egész együtthatós polinomok
1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak
2017/2018. Matematika 9.K
2017/2018. Matematika 9.K Egész éves dolgozat szükséges felszerelés: toll, ceruza, radír, vonalzó, körző, számológép 2 órás, 4 jegyet ér 2018. május 28. hétfő 1-2. óra A312 terem Aki hiányzik, a következő
Csoportelmélet ( ) ϕ ψ adatokra ( ) ( ) ( ) ( )
Csoportelmélet ( A csoportaxiómák nem tartalmaznak ellentmondást mert az { } csoportot alkot. Fizika felépítése: fizikai valóság fizikai modellek matematikai modellek (átjárhatók reprezentációk (áttranszformálhatók
Klasszikus valószínűségi mező megoldás
Klasszikus valószínűségi mező megoldás Ha egy Kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes kimeneteleknek, vagyis az elemi eseményeknek azonos a valószínűségük, akkor a kísérelttel kapcsolatos
Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
Bevezetés az algebrába az egész számok
Bevezetés az algebrába az egész számok Wettl Ferenc V. 15-09-11 Wettl Ferenc Bevezetés az algebrába az egész számok V. 15-09-11 1 / 32 Jelölések 1 Egész számok és sorozataik 2 Oszthatóság 3 Közös osztók
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA I. 7 VII. Gyűrűk 1. Gyűrű Definíció Egy a következő axiómákat: gyűrű alatt olyan halmazt értünk, amelyben definiálva van egy összeadás és egy szorzás, amelyek teljesítik (1) egy
K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k
K O M B I N A T O R I K A P e r m u t á c i ó k, k o m b i n á c i ó k, v a r i á c i ó k. Az 1,, 3,, elemeknek hány permutációja van, amelynek harmadik jegye 1- es? Írjuk fel őket! Annyi ahányféleképpen
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) 1. Ismétlés február 8.február Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük)
MM4122/2: CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2007.05.11) 1. Ismétlés február 8.február 15. 1.1. Feladat. (2 pt. közösen megbeszéltük) (1) Egy csoport rendelkezhet egynél több egységelemmel. (2) Bármely két háromelem