Kalkulus II., második házi feladat

Átírás

1 Uger Tamás Istvá FTDYJ Név: Uger Tamás Istvá Neptu: FTDYJ Web: Kalkulus II, második házi feladat pot) Koverges? Abszolút koverges? ) l A feladat teljese yilvávalóa arra kívácsi, hogy elsajátítottuk-e az alteráló sorok kovergeciájáak vizsgálatát Ehhez a Leibiz-kritérium haszálata a legkézefekv bb, de miel tt még ököllel belecsapák a lecsóba, ézzük meg, hogy haszálhatjuk-e egyáltalá Ehhez azt kell megvizsgáluk, hogy az a l általáos tagú sorozat pozitív-e i), mooto csökke -e ii), illetve ulla-e a határértéke abba az esetbe, ha iii) i) Az, az l és a elemi függvéyek pozitívak eseté, így az l és az l függvéyek is pozitívak, ezért yilvávalóa pozitív az utóbbi reciproka, az is A sorozat tehát pozitív l ii) Az, az l és a elemi függvéyek mooto ek eseté, így az l és az l függvéyek is mooto ek, így az utóbbi reciproka értelemszer e mooto csökke lesz A sorozat tehát mooto csökke iii) Tudjuk, hogy lim lim l lim, ezért hasolóa igaz, hogy lim l lim l Ha az utóbbi tart a végtelebe, akkor a reciproka tart a ullához, tehát lim 0 A sorozat határértéke tehát l ulla Hátrad lhetük, haszálhatjuk a Leibiz-kritériumot A tault tétel és a feti feltételek teljesülése miatt kimodhatjuk tehát, hogy mivel a sorozat határtéke ulla, a ) l alteráló sor koverges Ezzel még az abszolút kovergeciáról természetese egy szót sem szóltuk, bár a feladat sajos ezt is kérdezi Az abszolút kovergecia eldötéséhez meg kell vizsgáluk, hogy koverges-e a következ sor: l oldal

2 Uger Tamás Istvá FTDYJ Ha koverges, az alteráló soruk abszolút koverges Ameyibe a feti sor diverges, úgy az abszolút kovergecia em teljesül, az alteráló soruk csak feltételese koverges Ízlés kérdése, hogy kiek mi jut eszébe a -r l, de ekem például az jutott eszembe, hogy ha f ), akkor f x) l x, ami szite felkíálja magát az itegrálásra l x Próbálkozzuk tehát az itegrálkritériummal! A tétel szerit itt is vaak feltételeik: a vizsgált f x)-ek folytoosak, mooto csökke ek és pozitívak kell leie Az els két feltétel teljesülését már x helyettesítés mellett beláttuk, ismételi felesleges A folytoosság pedig triviális a [, ) itervallumo, hisze az elemi függvéyek, melyekb l f x) felépüli hivatott, mid folytoosak az el bb említett értelemzési tartomáyo, valamit teljesül, hogy a evez az említett értelmezési tartomáyo sehol sem ulla Az itegrálkritérium tehát haszálható Ebbe az esetbe az x l x dx improprius itegrál kovergeciáját vizsgáljuk Mivel é béa vagyok és midig eltévedek a otációtegerbe, amikor az improprius itegrált helyettesítéssel kell megoldai, ezért ikább el ször szeretém külö meghatározi a primitív függvéyt, majd utáa szeretém haszáli a Newto-Leibiz-formulát Elézést érte, ha ez em túl szép x l x dx dξ ξ ξ l x dξ dx x dξ x dx Jöhet a Newto-Leibiz-formula: x l x ξ dξ ξ + C ξ + C l x + C dx lim ) l ϑ ) l ϑ Álljuk meg itt egy szóra A külöbség második tagja egy pozitív szám, ayi ameyi, em kell kiszámoli A külöbség els tagja egy határérték Mivel a gyökfüggvéy és a logaritmusfüggvéy is mooto, határértékük a végtelebe végtele, így az összetett függvéy határértéke is végtele Ebb l következik, hogy az improprius itegrál diverges / em létezik, tehát: x dx l x A tault tétel alapjá tehát azt modhatjuk, hogy diverges, így az eredeti l ) l alteráló soruk em abszolút koverges, kizárólag feltétles kovergeciáról beszélhetük oldal

3 Uger Tamás Istvá FTDYJ pot) Hol koverges? 4 + 3x + ) 3 A sor általáos tagja redkívül csúya, de em ijedük meg, haem megpróbáluk következetese végigmei azoko a lépéseke, amelyeket a legutóbbi kozultáció már láttuk Vagy jutuk valamire, vagy em, de az legalább biztos Az els lépés az értelmezési tartomáy meghatározása eseté: f x) 4 3 3x + ) 4 3 3x +, ezért x 3, 6 eseté: f x) 3x + ) 6 3x + ), 5 5 > eseté további kikötéssel em kell élük Az értelmezési tartomáyuk tehát { D f R\ } 3 Vizsgáljuk a kovergeciát modjuk háyadoskritériummal úgy, ahogy azt a kozultáció is csiáltuk Itezív, köye elszámolható és elírható algebrai masszírozás veszi kezdetét: 4 f + x) f x) + + +)+ 3x + )+) x + ) ) x + ) 3x + ) ) + 3x + Nem t ik szebbek, pedig jobba álluk, mit valaha A szorzat els tagját az úgyevezett "Szabó Tamás"-recept alapjá úgy pakoltam át, hogy a hasolóak mutatkozó tagok egy törtet alkossaak Most pedig azt kellee belátuk, hogy az a kifejezés, ami az els abszolútértéke belül va, hova kovergál, ha Nyilvávaló, hogy az abszolútérték elhagyható, hisze a kifejezés az azt alkotó elemi függvéyek tulajdoságai miatt pozitív lesz Haladjuk lépésekét, ézzük az els tört határértékét, amely a szokásos "domiás-kiemeléssel" köyedé meghatározható: lim 4 lim Négy a határérték, hisze az els tag értéke 4, a második tag értéke, a harmadik tört pedig -hez tart Hasolóképpe "domiás-kiemeléssel") határozzuk meg a második tört határértékét is: lim + + ) + lim lim oldal

4 Uger Tamás Istvá FTDYJ Ezt szeritem em kell idokoli, a kurzus eddigi ayagai alapjá világos, miért egy a határérték De ha mégis, hát azért, mert az értéke, az és a 3 pedig tart a ullához Mivel tudjuk, hogy a szorzat határértéke megegyezik a tagok határértékeiek szorzatával, ezért azt kaptuk, hogy ) + 3x + 4 3x +, ha Ismét haszáljuk a háyadoskritériummal kapcsolatos ismereteiket Tudjuk, hogy a sor abszolút koverges x-be, ha 4 3x + < Egedjük rá az algebra-úthegert: 4 3x + < 3x + < 4 3x + < < 3x + < 5 < 3x < < x < Fatasztikus, állítsuk is pár dolgot A sor tehát abszolút koverges x-be, ha x 5 ) { 6, \ }, 3 valamit diverges x-be, ha x > vagy x < 5 6 Elég agy szívásak t ik, de a két széls esetet külö-külö kell vizsgáluk Nézzük mi a helyzet, ha x 5 6 : ) 4 + ) 3 4 ) ) 3 4 4) + A kiemelt kostassal e foglalkozzuk, a kérdés egyszer e csak + + kovergeciája Látjuk, hogy elég agy -re + 0 Jó lee valamifajta összehasolító teszt Haszálom a kedvec "Szabó Tamás"-receptemet "elemjük ki a domiás tagot") Legye a + Kell ekük egy b : + + A szorzat második tagja jól láthatóa -hez tart, legye tehát L b Ekkor a lim b L > 0, > 0 szám, valamit 4 oldal

5 Uger Tamás Istvá FTDYJ ezért tudjuk, hogy + Mivel p <, ezért a jobb oldali sor a tault tétel alapjá diverges Ebb l következik, hogy az eredetileg vizsgált soruk is diverges, tehát a sor diverges x 5 6 -ba Nézzük mi a helyzet, ha x : 4 + ) ) 4 ) 3 ) 3 4 4) + A kiemelt kostassal e foglalkozzuk, a kérdés egyszer e csak + + kovergeciája Visszakaptuk az el z esetbe vizsgált sort, arról pedig már feljebb beláttuk, hogy diverges Így va ez most is, ebb l következik, hogy az eredeti soruk is diverges x -be Késze vagyuk 3 pot) A biomiális sorból kiidulva határozzuk meg arcsi x hatváysorát x < -be Egy ideje már birtokába vagyuk aak a redkíül haszos tudásak, hogy dx arcsi x + C x Iduljuk ki az itegradusból, vagy legalább próbáljuk meg felíri a hatváysorát a biomiális sor segítségével: x x ) + x )) 0 ) x ), ha x < x < Megtaultuk, hogy a hatváysorok itegrálhatók is, ezért itegráljuk az egyelet midkét oldalát: dx arcsi x x 0 ) ) x dx 0 ) ) x C, ha x < Kérdés még, hogy meyi a C Tudjuk, hogy arcsi 0 0, így az x 0 helyettesítéssel élve C 0 adódik, tehát C 0 A keresett hatváysoruk ezek alapjá: arcsi x 0 ) ) x +, ha x < + 5 oldal