MATOLCSI TAMÁS ANALÍZIS V.

Átírás

1 MATOLCSI TAMÁS ANALÍZIS V. Itegrálás

2

3 3 Tartalom A. VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGÁLÁSA I. MÉTÉK AZ INTEVALLUMOKON 1. Az itervallumok félgyűrűje Az itervallumok gyűrűje Nulla mértékű halmazok II. INTEGÁLHATÓSÁG 4. Az itegrálás godolata Egyszerű lépcsős függvéyek Az itegrálás értelmezéséek alaptételei Itegrálható függvéyek Az alapvető itegráltételek III. MÉHETŐSÉG 9. Mérhető függvéyek Mérhető halmazok Lépcsős függvéyek IV. NÉHÁNY EGYÉB KÉDÉS 12. Itegrálás mérhető halmazo A Newto Leibiz-formula Improprius itegrálok Vektor értékű függvéyek itegrálása

4 B. MÉTÉKELMÉLET I. MÉHETŐSÉG 1. A mértékelmélet struktúrái Mérhető terek Mérhető leképezések Borel-halmazok Lépcsős függvéyek II. MÉTÉK ÉS INTEGÁL 6. Mértékek Itegrálás Mérhetőség Néháy további fogalom Vektor értékű függvéyek itegrálása Paraméteres itegrálok Szorzatmértékek Helyettesítéses itegrálás III. FÜGGVÉNYTEEK 14. Alapvető egyelőtleségek Teljessség IV. VEKTOMÉTÉKEK 16. A vektormértékek alaptulajdoságai Vektormértékek kiterjesztése Itegrálás vektormérték szerit Abszolút folytoosság Ívmértékek Sokaság-mértékek A Gauss Stokes-tétel

5 p 5 A. VALÓS FÜGGVÉNYEK INTEGÁLÁSA

6 6 f

7 1. Az itervallumok félgyűrűje 7 I. MÉTÉK AZ INTEVALLUMOKON 1. Az itervallumok félgyűrűje 1.1. Elemi matematikai ismereteik közé tartozik, hogy az a és b oldalú téglalap területe ab, az a alapú és m magasságú háromszög területe am/2, az r sugarú kör területe r 2 π. Téglatestek, gúlák, gömbök térfogatára is jól ismert képleteik vaak. Itt az idő, hogy a terület- és térfogatfogalommal alaposabba foglalkozzuk. Először is azt a kérdést kell felvetük, hogy az imét idézett formulák defiíciók vagy állítások; állíthatjuk-e, hogy a téglalap illetve a kör területe ab illetve r 2 π, vagy így értelmezzük eze alakzatok területét? Ha defiíció, akkor miért így defiiáljuk; ha állítás, akkor hogya va értelmezve a terület, amelyről állítjuk, hogy eyi? A válasz az, hogy részbe defiícióval, részbe állítással álluk szemközt. Potosabba: az a és b oldalú téglalap területét ab-ek defiiáljuk tapasztalati célszerűség alapjá, és ebből bizoyos eljárással bizoyos síkidomok területét értelmezi tudjuk, és így állítjuk például, hogy az eljárás az r sugarú körre az r 2 π eredméyt szolgáltatja. Feladatuk az, hogy potosa meghatározzuk, mi az a bizoyos eljárás és melyek azok a bizoyos síkidomok. Természetese hasoló a helyzet testek térfogatával is. Modadókat a következőkbe síkidomokkal szemléltetjük, viszot a potos matematikai eljárást egyees voaldarabokkal visszük végig (ami a bot hossza, kifeszített foal hossza képzetükek felel meg), mert ez sokkal egyszerűbb, és később belőle a terület- és térfogatfogalom is származtatható. Az egyees szerepét a továbbiakba játssza, a síkét pedig A következőkbe I a valós számok korlátos itervallumaiból, egypot-halmazaiból és az üres halmazból álló összeséget jelöli.

8 8 I. MÉTÉK AZ INTEVALLUMOKON Álĺıtás Ha I, J I, akkor (i) I J I, (ii) I \ J véges sok I-beli diszjukt halmaz egyesítése. Az olvasóra bízzuk, hogy lássa be ezt, ige egyszerű, csak egy kicsit körülméyes leíri a bizoyítás lépéseit be az üres halmaz, a korlátos téglák, az elfajult korlátos téglák, az egypot halmazok és az üres halmaz összessége vagyis {I J I, J I} is az előbb felsorolt tulajdoságokkal redelkezik: kettőek a metszete is ilye, külöbségük pedig véges sok ilye diszjukt uiója. Ez a struktúra megjegyzésre érdemes, ezért általáos meghatározást aduk rá. Defiíció Legye halmaz, S P(). Azt modjuk, hogy S félgyűrű, ha mide I, J S eseté (i) I J S, (ii) I \ J véges sok S-beli diszjukt halmaz egyesítése. Az előző állításukat ezzel tehát úgy is megfogalmazhatjuk, hogy a korlátos itervallumok, az egypot-halmazok és az üres halmaz félgyűrűt alkotak, amelyet a továbbiakba az egyszerűség kedvéért az itervallumok félgyűrűjéek hívuk Vezessük be egy egyszerűsítő jelölést: ha a, b, a b, akkor legye a, b a < b eseté olya (akár yílt, akár zárt, akár félig yílt, félig zárt) itervallum, amelyek alsó végpotja a, felső végpotja b, a = b eseté az {a} = {b} egy elemű halmaz. Ezzel tehát I := { a, b a, b, a b}. Defiíció Ha a, b, a b, akkor a, b := b a, := 0 a szóba forgó halmazok hossza, és az így meghatározott I + 0 az itervallumok félgyűrűjé adott hosszmértékek hívjuk. leképezést Az olvasóra bízzuk, lássa be a következő egyszerű téyeket: (i) ha I 1,..., I az I párokét diszjukt elemei és I I olya, hogy I k I, akkor I k I, (ii) ha I 1,..., I, I I és I I k, akkor I I k Az előbbi (i)-be még egy kicsit többet is tuduk modai:

9 1. Az itervallumok félgyűrűje 9 ha I k = I, akkor I k = I. Ezt a tulajdoságot azzal fejezzük ki, hogy azt modjuk, a hosszmérték additív. Most belátjuk azt a agyo fotos téyt, hogy a hosszmérték em csak additív, haem σ-additív is, azaz megszámlálható sok diszjukt I-beli elemre is a ilye összefüggés igaz. Álĺıtás Ha I ( N) párokét diszjukt I-beli halmazok és akkor I = I. I I, N Bizoyítás Mivel I I mide N N eseté, az előbbi (i) összefüggés =1 alapá N I I, amiből =1 I I. A másik iráyú egyelőtleség megmutatásához komolyabb eszközökre va szükségük. Kizárhatjuk az I = 0 triviális esetet, legye tehát a, b := I, a < b. Feltehetjük továbbá, hogy I mide -re; legye a, b := I. Vegyük α és β pozitív számokat úgy, hogy α < I, és legye ] K := a + α 2, b α [ [, K := a + α 2 2, b α ], 2 ] L := a β 2 +1, b + β [ Világos, hogy L a K kompakt halmaz yílt lefedése, ezért va olya V véges részhalmaza N-ek, hogy K K L, és így az előbbi (ii) összefüggés V szerit K L, azaz V I α ( I + β2 ) I + β. V

10 10 I. MÉTÉK AZ INTEVALLUMOKON Mivel ez mide α és β eseté igaz, feáll az egyelőtleség α és β elhagyásával is, és ezt akartuk bizoyítaai. Hasolóa látható be, egy kicsit körülméyesebbe, hogy az 2 -beli tégláko az I J I J formulával defiiált területmérték is σ-additív Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy az üres halmaz mide em üres félgyűrűek eleme! 2. Melyek félgyűrűk az alábbi halmazredszerek közül: (i) korlátos, zárt itervallumok, egypot-halmazok és az üres halmaz, (ii) korlátos, yílt itervallumok, egypot-halmazok és az üres halmaz, (iii) korlátos, alulról yílt, felülről zárt itervallumok és az üres halmaz. Válaszoljuk ugyaerre a kérdésre, ha elhagyjuk a korlátosság kikötését! 3. Félgyűrűt alkotak-e a K N yílt részhalmazai? 4. Igazoljuk, hogy ha I I és a, akkor a + I I és a + I = I. 2. Az itervallumok gyűrűje 2.1. Szereték más -beli halmazok hosszát is értelmezi, emcsak itervallumokét; ez a kíváalom még szembeötőbb 2 eseté, ahol yilvávalóa em elégedhetük meg a téglák területéek értelmezésével. Természetesek látszik, hogy diszjukt itervallumok (téglák) egyesítéséek a hosszát (területét) az egyes hosszak (területek) összegekét határozzuk meg. Defiíció Az { N := E létezik N, I 1,..., I I, E = } I k halmazredszert az itervallumok gyűrűjéek evezzük, és az I k hosz- sza I k := I k. A hosszmérték az N + 0, E E leképezés. Diszjukt itervallumok uiója itervallum vagy egymás mellé tett, em éritkező itervallumok ezért N elemei em modaak sok újat. Viszot a téglák gyűrűjébe, amelyet értelemszerűe hasolóképp defiiáluk, szemmel láthatólag érdekes halmazok is megjeleek (például egy égyzetekből álló síkpiramis, vagy kisebb-agyobb téglákból egy körbe írt alakzat), de ezek még midig szögletesek, tehát egy kör területét még midig em értelmeztük.

11 2. Az itervallumok gyűrűje 11 Meg kell még mutatuk, hogy a hosszmérték defiiciója N -e egyértelmű; előfordulhat ugyais, hogy ugyaazt a halmazt két külöféle módo állítjuk elő itervallumok diszjukt uiójakét. Álĺıtás A hosszmérték N -e egyértelmű, azaz ha I k = m J i, akkor I k = m J i. i=1 Bizoyítás I k J i I mide k és i eseté, továbbá m I k = (I k J i ), J i = (J i I k ). i=1 i=1 A hosszmérték I- additív, ezért m I k = I k J i, J i = i=1 J i I k, és ebbő már következik, amit akartuk. Jegyezzük meg azt a yilvávaló téyt, hogy I N és az N -e bevezetett hosszmérték az I- adott hosszmérték kiterjesztése Most megvizsgáljuk N szerkezetét. Először is megállapíthatjuk, hogy N -beli véges sok diszjukt halmaz uiója is N -be va. Legye I 1,..., I I. Ekkor E 1 := I 1 N, E 2 := I 2 \ I 1 véges sok I-beli halmaz diszjukt uiója, tehát az N eleme, E 3 := I 3 \ (I 2 I 1 ) = (I 3 \ I 2 ) \ I 1 is véges sok I-beli halmaz diszjukt uiója, tehát az N eleme, vagyis az ismert eljárással (Aalízis I.16.5.) megadható {E k k = 1,..., } diszjukt halmazredszer N -be úgy, hogy I k = E k. Ezért az itervallumok egyesítése is hozzátartozik N -hez, így az eredeti defiícióból elhagyhatjuk a diszjuktság kikötését, azaz { } N = E létezik N, I 1,..., I I, E = I k Ebből most már közvetleül adódak N alapvető tulajdoságai. Álĺıtás Ha E, F N, akkor (i) E F N, ii) E \ F N.

12 12 I. MÉTÉK AZ INTEVALLUMOKON Bizoyítás (i) yilvávaló a modottakból. (ii) igazolásához az ( m ) m I k \ J i = (I k \ J i ) i=1 i=1 halmazelméleti összefüggéssel jutuk el: a jobb oldali zárójelbe álló halmazok I- beliek diszjukt uiója, a metszetük I-beli halmazok metszetéek diszjukt uiója Az előbbi tulajdoságok megjegyzésre érdemesek, ezért általáos meghatározásba foglaljuk őket. Defiíció Legye halmaz, P(). Azt modjuk, hogy gyűrű, ha mide E, F eseté (i) E F, (ii) E \ F. 1. Álĺıtás Ha gyűrű és E, F, akkor E F. Bizoyítás E F = E \ (E \ F ). Természetese az is igaz, hogy véges sok gyűrűbeli halmaz egyesítése és metszete is bee va a gyűrűbe. Nyilvávaló, hogy egy gyűrű egybe félgyűrű is. Egy félgyűrű pedig természetes módo meghatároz egy gyűrűt, amelyet a félgyűrű geerálta gyűrűek hívuk: 2. Álĺıtás Ha S félgyűrű, akkor gyűrű. { } { } I k I 1,..., I S = I k I 1,..., I S 2.4. A hosszmérték N -e yilvávalóa additív, azaz véges sok diszjukt N - beli halmaz uiójáak a hossza az egyes hosszak összege. Eél több is igaz. Álĺıtás A hosszmérték N -e σ-additív, azaz ha E ( N) párokét diszjukt elemek N -be és E N, akkor E = E.

13 2. Az itervallumok gyűrűje 13 Bizoyítás Állítsuk elő az N szóba forgó elemeit véges sok I-beli halmaz diszjukt uiójakét: m m E = I k, E = J,i. Ekkor m m m E = I k = (I k J,i ) = = i=1 m m I k J,i = i=1 m i=1 i=1 m I k J,i = = m J,i = E. i=1 Tartsuk eszükbe azt a fotos téyt, hogy a 2.2.-be tett megjegyzésükkel szembe megszámlálható sok N -beli halmaz uiója már em feltétleül va N - be, ezért az előző állításba ki kellett kötük, hogy E is tartozzo N -hez Álĺıtás A hosszmérték N -e (i) mooto, azaz ha E, F N, F E, akkor F E, (ii) szubtraktív, azaz ha E, F N, F E, akkor E \ F = E F, (iii) σ-szubadditív, azaz ha E, E N ( N) és E E, akkor E E. Bizoyítás (i)-(ii). F és E\F diszjuktak, tehát E = F (E\F ) = F + E\F. (iii) H := E E az N eleme, és E = H. A szokásos diszjuktizációval ( 1 ) F := H \ H k szité az N eleme, F E és E = F. Ezért E = F = F E. Megjegyezzük, hogy (iii)-be az összeg általáosított értelembe veedő, ugyais egyáltalá em biztos hogy a szóba forgó sor koverges, vagyis az összeg lehet végtele is.

14 14 I. MÉTÉK AZ INTEVALLUMOKON 2.6. Álĺıtás A hosszmérték N -e mooto folytoos, azaz ha E, E N ( N) és (i) E +1 E, E = E, akkor E = lim E, (i) E +1 E, E = E, akkor E = lim E. Bizoyítás Az első esetet az F := E \ E, a másodikat azf := E \ E defiícióval visszavezethetjük arra, hogy ha F N, F +1 F és F =, akkor lim F = 0. Ezt pedig így látjuk be. Mide N eseté F = (F k \ F k+1 ), és ezért F = F k \ F k+1. Speciálisa F 1 = F k \ F k+1, tehát F = F 1 1 k= F k \ F k+1 ; itt a jobb oldal épp az előző formula szerit ullához tart, miközbe tart a végtelehez Feladatok 1. Melyek gyűrűk a következő halmazredszerek közül: (i) véges részhalmazai, (ii) korlátos részhalmazai, (iii) K N összefüggő részhalmazai, (iv) K N yílt részhalmazai. 2. Mutassuk meg, hogy a korlátos yílt itervallumok, egypot-halmazok és az üres halmaz alkotta félgyűrű geerálta gyűrű is N. 3. Mi a korlátos, alulról yílt, felülről zárt itervallumok és az üres halmaz alkotta félgyűrű által geerált gyűrű? 4. Igazoljuk, hogy N -e a hosszmérték σ-aditivitása egyeértékű azzal, hogy additív és mooto folytoos. 5. Bizoyítsuk be, hogy ha E N, a, akkor a + E N és a + E = E. k= 3. Nulla mértékű halmazok 3.1. Az itervallumok gyűrűje illetve a téglák gyűrűje még em tartalmazza midazokat a halmazokat, amelyekek mértéket akaruk tulajdoítai. Tovább kell bővítei az eddig tekitett halmazok körét. Ehhez a em kézefekvő bővítéshez egy kis kerülővel, az itegrálszámításo keresztül jutuk el. Az első lépés viszot hihetetleül egyszerű, és tulajdoképpe mide eze alapszik. Bevezetjük a ulla mértékűség fogalmát N -e kívüli halmazokra is.

15 3. Nulla mértékű halmazok 15 Defiíció H ulla mértékű, ha mide ε > 0 eseté létezik {E ε N N} úgy, hogy H E ε és E ε ε. Megjegyezzük, ez egyeértékű azzal, hogy mide ε > 0 eseté H-t le tudjuk fedi megszámlálható sok olya I-beli halmazzal, amelyek összhosszúsága em agyobb ε-ál. Álĺıtás (i) E N potosa akkor ulla mértékű, ha E = 0. (ii) Nulla mértékű halmaz mide részhalmaza ulla mértékű. Bizoyítás (i) Ha E N és E = 0, akkor mide ε-hoz mide -re E ε := E. Ha viszot E = 0 azaz E > 0, akkor bármely E N ( N), E E eseté a σ-szubadditivitás miatt 0 < E E, és így E em ulla mértékű. (ii) Ez yilvávalóa igaz Álĺıtás A H halmazra a következő három kijeletés egyeértékű: (i) H ulla mértékű, (ii) mide ε > 0 eseté létezik olya {F ε N N} halmazredszer, hogy F ε Fm ε = ha m, H F ε és F ε ε, (iii) mide ε > 0 eseté létezik olya {G ε N N} halmazredszer, hogy G ε G ε +1, H G ε és G ε ε mide -re. Bizoyítás (ii)-ből yilvávalóa adódik (i). Legye {E ε N N} a H ulla mértékűségéek defiíciójába az ε-hoz tartozó halmazredszer. Ekkor a G ε := (iii)-t. Ek ε Az F ε := G ε +1 \ G ε defiícióval (iii)-ból következik (ii) Álĺıtás Ha H ( N) ulla mértékű, akkor mértékű. defiícióval (i) maga utá voja H is ulla Bizoyítás Legye ε > 0. Mide N eseté va olya E,m N, hogy

16 16 I. MÉTÉK AZ INTEVALLUMOKON H m N E,m és m N H E,m ε 2. Ezzel,m N E,m és,m N E,m ε. Mivel az egypot halmazok ulla mértékűek, mide megszámlálható részhalmaza ulla mértékű. Speciálisa Q ulla mértékű. Ezzel rögtö példát is adtuk olya ulla mértékű halmazra, amely em tartozik N -hez Most bevezetük egy ige fotos fogalmat: majdem mide x eseté vagy majdem mideütt, rövidítve m.m. x eseté illetve m.m. azt jeleti, hogy mide x eseté, kivéve egy ulla mértékű halmazt, más szóval létezik egy N ulla mértékű halmaz úgy, hogy mide x \ N eseté. Természetese a m.m. x magába foglalja a mide x lehetőséget, ha a ulla mértékű halmaz az üres halmaz. További jelölések: ha f, g : függvéyek, akkor f = g vagy f = g m.m. m.m. azt jeleti, hogy {x f(x) g(x)} ulla mértékű. Hasoló értelembe: f m.m. g vagy f g m.m., f = m.m. lim f vagy f = lim f m.m. stb Álĺıtás Ha f : folytoos és f = 0 m.m., akkor f = 0. Bizoyítás Tegyük fel, hogy f 0, azaz va olya x, hogy f(x) 0, modjuk f(x) > 0. Ekkor f folytoossága miatt va olya I yílt itervallum, hogy x I és f(y) > 0 mide y I eseté. Mivel I em ulla mértékű, f em egyelő ullával majdem mideütt Feladatok 1. Mutassuk meg, hogy χ Q (a racioális számok halmazáak karakterisztikus függvéye, más éve Dirichlet-függvéy) majdem mideüt ulla, de em ulla. 2. Igazoljuk, hogy az egészrész-függvéy majdem mideütt folytoos. 3. Bizoyítsuk be, hogy ha f g m.m. és g h m.m., akkor f h m.m.. 4. Ha f 0 m.m. ( N) és f = lim f m.m., akkor f 0 m.m.. 5. Kovergesek-e majdem mideütt az alábbi függvéysorozatok: (i) χ [ 1/,1/], (ii) id. 6. Ha H ulla mértékű halmaz, a, akkor a + H is ulla mérékű.

17 5. Egyszerű lépcső függvéyek 17 II. INTEGÁLHATÓSÁG 4. Az itegrálás godolata Vegyük egy f : függvéyt modjuk az expoeciálist és vessük fel a kérdést: mekkora a [0, 1] itervallumba a függvéy alatti terület, vagyis mi a területe az {x} [0, f(x)] halmazak. Már láttuk, 2 -be eljuthatuk x [0,1] a véges sok diszjukt korlátos téglából álló halmazok területéig. A szóba forgó halmaz em ilye, tehát értelmezi kell, mit értsük a területé. Értelmezhető-e egyáltalá? Potosabba: milye függvéyekre értelmezhető? E kérdések megválaszolásával elérkezük majd ahhoz is, általába milye 2 -beli részhalmazokak tehát em csak függvéy alatti halmazokak tulajdoíthatuk területet. Az alapgodolat az, közelítsük meg valahogy a függvéy alatti halmazt véges sok diszjukt téglából álló halmazzal; adjuk meg egyre jobb és jobb közelítést, és a közelítések területéek határesetekét defiiáljuk a függvéy alatti területet, amelyet a függvéy itegráljáak szokás evezi. A kérdés az, mit tekitük egyre jobb és jobb közelítések, miféle határértékeljárással jutuk a célukhoz. Külöféle választások lehetségesek. A választástól függőe külöféle itegrálfogalmat kapuk. égebbe általába az úgyevezett iema-féle itegrálással foglalkoztak, a moder matematika azoba ma már az eél sokkal jobb tulajdoságú Lebesgue-féle itegrálfogalmat követeli meg. A Lebesgue-féle itegrálfogalom bevezetéséél célszerű függvéyek alatti egész területet tekitei, em csak valamely itervallumba eső részt. Abból eljutuk ehhez is. 5. Egyszerű lépcső függvéyek 5.1. Az előző fejezetbe említett függvéy alatti halmazak téglákkal való közelítését úgy is felfoghatjuk, hogy a függvéyt közelítjük egy szakaszokét álladó

18 18 II. INTEGÁLHATÓSÁG függvéyel; ezek a függvéyek alapvető szerepet játszaak az itegrálelméletbe. Defiíció Egy φ : függvéyt egyszerű lépcsős függvéyek hívuk, ha va olya N és c 1,..., c, E 1,..., E N, E i E k = ha i k, hogy φ = c k χ Ek. Mivel diszjukt halmazok karakterisztikus függvéye a karakterisztikus fügvéyek összege, a feti defiícióba vehettük vola N helyett I-t, azaz φ potosa akkor egyszerű lépcsős függvéy, ha véges sok diszjukt I-beli halmaz karakterisztikus függvéyéek a lieáris kombiációja. A kéyelmesebb írásmód kedvéért a továbbiakba az e.l.fv. rövidítést alkalmazzuk egyszerű lépcsős függvéyekre. Álĺıtás Ha φ e.l.fv., akkor mide α + eseté az valamit az halmazok az N elemei. Bizoyítás Ha φ = {x φ(x) > α}, {x φ(x) α}, {x φ(x) < α}, {x φ(x) α} {x φ(x) > 0} {x φ(x) < 0} c k χ Ek, akkor például {x φ(x) > α} = {k c k >α} E k. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy {x φ(x) 0} viszot em eleme N -ek, hisz ez em korlátos halmaz, mert φ egy korlátos halmazo kívül ulla Világos, hogy egy e.l.fv.-hez icseek egyértelműe meghatározva azok az N -beli (vagy I-beli) halmazok, amelyek karakterisztikus függvéyeiek a lieáris kombiációja. Ezt jól fel is haszálhatjuk az alábbi eredméye keresztül.

19 5. Egyszerű lépcső függvéyek 19 Álĺıtás Ha φ és ψ e.l.fv., akkor va olya N, E 1,..., E N párokét diszjukt halmazok, c 1..., c, d 1,..., d, hogy φ = c k χ Ek, ψ = d k χ Ek. ( ( ) Bizoyítás Legye φ = r a i χ Ai, ψ = s r s b j χ Bj. Ekkor A i ) B j =: i=1 j=1 i=1 j=1 ( ( ) r s r C N, és A 0 := C\ A i ), B 0 := C\ B j is az N elemei, A i = r B j, i=1 j=1 i=0 j=0 ezért s A i = (A i B j ) (i = 0, 1,..., r), B j = j=0 r (A i B j ) (j = 0, 1,..., s). i=0 Következésképpe, ha a 0 := b 0 := 0, akkor φ = r i=0 j=0 s a i χ Ai B j, ψ = r i=0 j=0 s b j χ Ai B j, és már semmi más dolguk ics, mit bevezeti az E 1 := A 0 B 0, E 2 := A 0 B 1 stb. halmazokat és c 1 := c 2 := := c s := a 0, c s+1 := := c 2s := a 1 stb. számokat, hogy megkapjuk az állításba szereplő alakokat Álĺıtás Legye φ és ψ e.l.fv., α. Ekkor (i) φ + ψ, (ii) αφ (iii) φψ, (iv) φ ψ és φ ψ is e.l.fv.. Bizoyítás Az előző eredméyük szerit vehetjük úgy, hogy φ = ψ = d k χ Ek. Ekkor (i) φ + ψ = (iii) φψ = (iv) φ ψ = (c k + d k )χ Ek, (ii) αφ = αc k χ Ek, c k d k χ Ek, mi{c k, d k }χ Ek, φ ψ = max{c k, d k }χ Ek. c k χ Ek,

20 20 II. INTEGÁLHATÓSÁG Jegyezzük meg, hogy (i) és (ii) miatt φ ψ is e.l.fv., (iv) és (ii) következtébe φ + és φ, és ezzel együtt φ = φ + + φ is e.l.fv Egy e.l.fv. alatti területet mit a megfelelő téglák területéek az összegét értelmezzük, és az e.l.fv. itegráljáak evezzük. Defiíció A φ = c k χ Ek e.l.fv. itegrálja az φ := c k E k szám. Álĺıtás A feti defiíció jó, azaz ha φ = c k E k. Bizoyítás Mide szóba jövő j és k eseté F j = és d j = c k ha E k F j. Ezért m m d j F j = m j=1 d j χ F j, akkor m d j F j E k = d j F j E k = j=1 j=1 j=1 m m = c k F j E k = c k j=1 j=1 Jegyezzük meg, hogy E N eseté χ E = E. m d j F j = j=1 (F j E k ), E k = m (E k F j ) E k F j = j=1 c k E k Álĺıtás Ha φ és ψ e.l.fv. és α, akkor (i) (φ + ψ) = φ + ψ, (ii) αφ = α φ, (iii) ha φ ψ, akkor φ ψ. A feti formulák bizoyítását az olvasóra bízzuk: ismételte az 5.2. állítást kell felhaszáli, miszerit φ és ψ előállítható ugyaazo halmazok karakterisztikus függvéyeiek a lieáris kombiációjakét.

21 5. Egyszerű lépcső függvéyek 21 Az első két tulajdoságra azt modjuk, az itegrálás lieáris művelet, a harmadikra pedig azt, hogy az itegrálás mooto művelet. Ez utóbbiak egy speciális esete az, hogy ha φ 0, akkor φ 0. Az alaptulajdoságokból következik az ige fotos φ φ összefüggés, mert φ φ és φ φ, tehát φ φ és φ φ, ami épp a feti egyelőtleséggel egyeértékű Előfordul, hogy em az egész e.l.fv. alatti terület érdekel miket, csak valamely itervallumba eső része alatti. Ezt úgy vezetjük vissza az egész függvéy alatti területre, hogy a függvéyt a kérdéses itervallumo kívül kiullázzuk. Persze itervallum helyett az itervallumok gyűrűjéek bármely elemét is tekithetjük. Defiíció Legye φ e.l.fv. és E N. Ekkor E φ := χ E φ. A meghatározás közvetle következméye, hogy (i) φ E sup φ, E (ii) φ = φ + φ, E F E F hisze χ E φ χ E sup φ és E F = eseté χ E F = χ E + χ F Feladatok 1. Igazoljuk, hogy ha φ e.l.fv., 0 α, akkor {x φ(x) = α} és {x 0 < φ(x) < α} az N elmei. 2. Ha φ e.l.fv., akkor az értékkészlete véges. Mutassuk meg, hogy ha φ 0, akkor va olya N, c 1,..., c, c i c k ha i k és E 1,..., E N, E i E k = ha i k, hogy φ = c k χ Ek. 3. Ha f : olya függvéy, hogy f(0) = 0, akkor bármely φ e.l.fv. eseté f φ is e.l.fv.. 4. Legye φ e.l.fv. és E N, φ(x) = 0 ha x / E. Ekkor φ = φ. E

22 22 II. INTEGÁLHATÓSÁG 5. Ha φ e.l.fv. és a, akkor φ L 1 a is e.l.fv. (ahol L a : x x + a) és (φ L 1 a ) = φ. 6. Az itegrálás értelmezéséek alaptételei 6.1. Egy f : függvéyt valami módo megközelítük e.l.fv.-ek sorozatával, és az f itegrálját az f alatti területet mit az e.l.fv.-ek alatti területek sorozatáak határértékét értelmezzük. Hogy mely függvéyekre ésmikét tehető ez meg, azt rögzíti a következő két állítás, amelyeket segédtételek, másszóval lemmáak szoktak hívi, mert később általáosabb keretek között kimodott tételek speciális esetei leszek. Persze, hogy azokat az általáos tételeket kimodhassuk, előbb fel kell építei az itegrál fogalmát, amihez most e lemmák szükségesek. Álĺıtás (A. lemma) Legye φ, φ e.l.fv., φ φ +1 φ ( N) és lim φ = φ m.m.. Ekkor lim φ = φ. Bizoyítás Bevezetve a ψ := φ φ e.l.fv-eket, amelyekre ψ ψ +1 0 és lim ψ = 0 m.m. teljesül, azt kell megmutatuk, hogy lim ψ = 0. Megmutatjuk, hogy a (ψ ) sorozat majdem egyeletese tart a ullához, azaz potosa: mide ε > 0 számhoz létezik ε N úgy, hogy mide > e eseté a P := {x ψ (x) > ε} ( N) halmazra, amely az N eleme, P 2ε teljsül (ahol a kettes szorzó léyegtele, csak így lesz kéyelmes a bizoyítás). Az {x lim ψ (x) 0} halmaz ulla mértékű, azaz a 3.2.(iii) alapjá az adott ε > 0 számhoz létezik {G N N} halmazredszer úgy, hogy G G +1, G ε mide -re, és G tartalmazza a szóba forgó ulla mértékű halmazt. Mide N eseté P +1 P, tehát P \ G N és P +1 \ G +1 P \ G,

23 6. Az itegráls értelmezéséek alaptételei 23 továbbá \ G ) = (P ( ) P \ G = = {x ψ (x) > ε mide -re és lim ψ (x) = 0} =. A hosszmérték mooto folytoossága miatt létezik tehát ε N úgy, hogy mide > ε eseté P \ G ε, amiből ilye -ekre P = (P G ) (P \ G ) = P G + P \ G 2ε. Ezutá már egyszerű a dolguk. Legye M := max ψ 1 és E := {x ψ 1 (x) > 0}. Mit tudjuk, E N és mide N eseté P E, ψ M. Ezért, ha > ε, akkor 0 ψ = ψ = ψ + ψ E \ P ε + P M E E\P ( E + 2M ) ε, amivel bebizoyítottuk, hogy a ψ -ek itegráljaiak a sorozata ullához tart Álĺıtás (B. lemma) Legye φ e.l.fv., φ φ +1 ( N). Ha létezik lim φ, akkor létezik m.m. lim φ. Bizoyítás Feltehetjük az általáosság megszorítása élül, hogy φ 0, hisze ha em így vola, áttérék a ψ := φ φ 1 sorozatra. A P H := {x em létezik lim φ (x)} halmazról kell megmutatuk, hogy ulla mértékű. Legye ε > 0. Az α := lim φ jelöléssel mide N eseté G := { x φ (x) > α } ε az N eleme, és G G +1. Nyilvávaló, hogy H α φ χ G φ α ε G, G, továbbá mide -re

24 24 II. INTEGÁLHATÓSÁG amiből G ε, így a 3.2.(iii) alapjá H ulla mértékű A B. lemmába φ mooto övő számsorozat, ezért határér- létezése egyeértékű azzal, hogy korlátos, azaz va olya α, hogy tékéek φ α mide N eseté Mid az A. lemma, mid a B. lemma igaz mooto fogyó e.l.fv. sorozatra is, hisze ha φ φ +1, akkor φ φ +1. Jegyezzük meg jól a külöbséget a két lemma között. Az egyikbe az e.l.fv. sorozat m.m. kovergeciáját tudjuk, és ebből származtatjuk az itegrálok sorozatáak a kovergeciáját, a másikba az itegrálok sorozatáak a kovergeciáját tudjuk, és ebből következtetjük az e.l.fv. sorozat m.m. kovergeciáját. Fotos még, hogy az A. lemmába az e.l.fv. sorozat m.m. kovergeciáját e.l.fv.-hez követeljük meg, a B. lemmába viszot egyáltalá em biztos, hogy az e.l.fv. sorozat e.l.fv.-hez kovergál m.m.. A mootoitás midkét esetbe léyeges. Például lim χ [ 1/,1/] = 0 m.m., de χ [ 1/,1/] = 2 mide -re, és φ := { χ[0,1] ha páros, χ ]1,2] ha páratla olya e.l.fv. sorozat, amelyre φ = 1 mide -re, viszot amely em koverges a [0, 2] halmazo. 7. Itegrálható függvéyek 7.1. A B. lemma kíálja, milye függvéyekre értelmezzük az itegrálhatóságot.

25 7. Itegrálható függvéyek 25 Defiíció Jelölje P () azo f : függvéyek öszességét, amelyekhez létezik (φ ) e.l.fv. sorozat úgy, hogy (i) φ φ +1, (ii) létezik lim φ, (iii) f = lim φ m.m.. Egy ilye e.l.fv. sorozatot az f itegrál-meghatározó sorozatáak, az f := lim φ számot az f itegráljáak evezzük. Nyilvávaló, hogy mide φ e.l.fv. bee va P ()-be, hisze φ := φ ( N) egy itegrál-meghatározó sorozata; továbbá φ most értelmezett itegrálja megegyezik a korábba értelmezettel. Persze meg kell még mutatuk, hogy az itegrál mostai defiíciója jó: egy P ()-beli függvéyek több itegrál-meghatározó sorozata is lehetséges, azoba midegyikre ugyaaz az itegrálok sorozatáak a határértéke. Álĺıtás Ha f, g P (), f g, (φ ) és (ψ ) az f illetve a g itegrálmeghatározó sorozata, akkor lim φ lim ψ. Bizoyítás ögzítsük az m természetes számot és tekitsük az e.l.fv.-ek (φ m ψ ) + 0 sorozatát, amely mooto csökke, a határértéke m.m. ulla, hisze lim (φ m ψ ) = m.m. φ m g 0. Ezért az A. lemma szerit lim (φ m ψ ) + = 0. Mithogy φ m ψ (φ m ψ ) +, az itegrálás mootoitásából lim (φ m ψ ) 0, azaz adódik. Mivel ez mide m-re igaz, végülis lim m φ m lim ψ. φ m lim ψ

26 26 II. INTEGÁLHATÓSÁG Ha f = g, akkor az íméti állítás azt modja, hogy az f bármely két itegrál-meghatározó sorozata eseté az egyik (akármelyik a kettő közül) itegrálok sorozatáak a határértéke kisebb vagy egyelő mit a másik, ami azt jeleti, hogy egyelők; az itegrál jól va defiiálva. Vegyük észre, hogy a B. lemma a P () függvéyosztály értelmezéséhez, az A. lemma az itegrál defiíciójához kellett Ige egyszerű téy, hogy ha f, g P () és α + 0, akkor f + g, αf és f g is bee va P ()-be, továbbá (f + g) = αf = α f + valamit az előző állításból az itegrás mootoitása is következik: ha f, g P () és f g, akkor f g. Érdemes megjegyezi, hogy ha f P () és g = f m.m., akkor g P () és g = f. Felhívjuk a figyelmet, hogy az előbbi képletekbe α csak em egatív szám lehet, és csak a függvéyek összegéről állíthatjuk, hogy ismét a P () eleme, a külöbségükről em. Ez persze em zárja ki, hogy egyes P ()-beli függvéyek egatív számszorosa és külöbségük szité P ()-beli: például az e.l.fv-ek ilyeek. Eél egy kicsit kevésbé triviális, a későbbiekbe fel is haszált téy: ha f P () és φ e.l.fv., akkor f φ P (), hisze ha (φ ) az f itegrál-meghatározó sorozata, akkor (φ φ) az f φ itegrál-meghatározó sorozata Defiíció Egy f : függvéyt Lebesgue-itegrálhatóak evezük, ha létezik f 1, f 2 P () úgy, hogy f = f 1 f 2, és ekkor f := f, f 1 A Lebesgue-itegrálható függvéyek összességét L()-rel jelöljük. A Lebesgue-itegrálhatóság helyett a továbbiakba csak itegrálhatóságot moduk. f 2. g,

27 7. Itegrálható függvéyek 27 Megemlítjük, hogy az itegrálokra haszálatos az f(x)dx := f jelölés is, amely külööse előyös kokrét formulával megadott függvéyek eseté. Természetese a változóak akármilye, másra le em foglalt betűt is írhatuk: f(t)dt = f. Álĺıtás Az itegrál feti defiíciója egyértelmű. Bizoyítás Tegyük fel, hogy f 1, f 2, g 1 és g 2 a P ()-hez tartozó függvéyek és f 1 f 2 g 1 g 2. Ekkor f 1 + g 2 g 1 + f 2, és midkét oldalo P ()-beli függvéy áll, tehát (f 1 + g 2 ) (g 1 + f 2 ), amiből az itegrálok szétbotásával és átredezéssel (f 1 f 2 ) (g 1 g 2 ) adódik. Ha speciálisa f 1 f 2 = g 1 g 2, akkor az itegrálokra is két iráyú egyelőtleség igaz, vagyis megegyezek egymással Álĺıtás Ha f, g L() és α, akkor f + g, αf, f +, f, f, f g és f g is itegrálható, továbbá (i) (f + g) = f + g, (ii) αf = α f, (iii) ha f g, akkor f g, amikből az is következik, hogy f f. Bizoyítás Legye f 1, f 2, g 1, g 2 P () és f = f 1 f 2, g = g 1 g 2. Ekkor f + g = (f 1 + g 1 ) (f 2 + g 2 ), αf = αf 1 αf 2 ha α 0, αf = α f 2 α f 1 ha α < 0, f + = f 1 (f 1 f 2 ), f = f 2 (f 1 f 2 ), f = f + + f,

28 28 II. INTEGÁLHATÓSÁG f g = f (f g) +, f g = (f g) + + g. Az itegrálás liearitása ezekből és a 7.2-be modottakból yilvávaló, mootoitása az előző állítás bizoyításából adódik. Az abszolútértékre voatkozó egyelőtleséget illetőe ugyaúgy érvelhetük, mit 5.5.-be Jegyezzük meg, hogy ha f L() és g = f m.m., akkor g L() és g = f. Az itegrálás szempotjából tehát léyegtele, egy ulla mértékű halmazo hogya va, vagy va-e egyáltalá értelmezve egy függvéy. Bár eredetileg függvéyek itegrálhatóságáról volt szó, mostatól megegedjük, hogy majdem mideütt azaz egy ulla mértékű halmazo kívül értelmezett függvéyek itegrálhatóságáról is beszéljük. Felhívjuk továbbá a figyelmet arra, hogy itegrálható függvéyek szorzata em feltétleül itegrálható; erre példát ba szolgáltatuk Álĺıtás Ha f L(), akkor létezik (φ ) e.l.fv. sorozat úgy, hogy (i) f = lim φ m.m., (ii) f = lim φ, (iii) lim f φ = 0. Bizoyítás Va olya f 1, f 2 P (), hogy f = f 1 f 2 ; legye (φ 1, ) illetve (φ 2, ) ezek itegrálmeghatározó sorozata és φ := φ 1, φ 2,. Nyilvávaló, hogy (i) és (ii) teljesül, továbbá f φ f 1 φ 1, + f 2 φ 2, = (f 1 φ 1, ) + (f 2 φ 2, ), és az itegrálokra ugyailye egyelőtleségek állak fö, amiből következik a (iii) összefüggés. Mithogy egy e.l.fv itegrálja összeg alakú, φ -t az f egy közelítő ösz- szegéek szokás evezi. Egy kis kellemetlesége va eek a megközelítések: csak tudjuk, hogy létezik, de általába em tuduk megkostruáli (kokréta megadi) ilye e.l.fv. sorozatot be visszatérük erre a kérdésre Feladatok 1. Igazoljuk, hogy χ Q Dirichlet-függvéy (lásd ) bee va P ()-be és az itegrálja ulla. 2. Bizoyítsuk be, hogy χ [0,1] id P (). (Tekitsük az kχ [k 1/,k+1/] sorozatot.) 3. Bizoyítsuk be, hogy 1 2 χ bee va a P () függvéyosztályba [ 1,[ és az itegrálja 1. (Vegyük a részletösszegek sorozatát.)

29 8. Az alapvető itegráltételek Legye E := [, + 1 ] 2. Mutassuk meg, hogy χ E P () és az itegrálja Igazoljuk, hogy f L() és f +, f L() egyeértékű. 6. Ha f L() és a, akkor f L 1 a L() és f L 1 a = f. 8. Az alapvető itegráltételek 8.1. A B. lemma és az A. lemma alapjá az egyszerű lépcsős függvéyekből kiidulva eljutottuk az itegrálható függvéyekhez és itegráljukhoz, vagyis kibővítettük azo függvéyek körét, amelyekre az itegrálás értelmes. A feladatai mutatják, hogy ez valódi bővítés, vagyis valóba kiléptük az egyszerű lépcsős függvéyek keretei közül. Felmerül a kérdés: hasoló eljárással embővíthető-e még tovább az itegrálható függvéyek köre. A válasz: em; ezt a következő állítás mutatja Álĺıtás (Beppo Levi tétele vagy a mooto kovergecia tétele) 1. Legye f L(), f f +1 ( N) és létezze lim f. Ekkor létezik m.m. lim f L() és lim f = lim f. 2. Legye g L() ( N) és g <. Ekkor a g függvéysor m.m. abszolút koverges, g L() és g = Bizoyítás Először is belátjuk, hogy az 1. és 2. állítás egyeértékű. Vegyük észre, hogy a 2. állítás potosa akkor igaz, ha igaz a (g + ) és a (g ) sorozatra. Ezért elég azt az esetet tekitei, amikor g 0. g.

30 30 II. INTEGÁLHATÓSÁG Tegyük fel, hogy az 1. állítás igaz. Ekkor az f := g k jelöléssel következik a 2. állítás igaz volta. Ha viszot a 2. állítás igaz, akkor a g := f +1 f 0 jelöléssel g = lim f f 1, amiből következőe létezik m.m. g = lim f f 1, és ie már yilvávaló az 1. állítás igaz volta. Most bebizoyítjuk a 2. állítást. Mit megállapítottuk, elég a g 0 ( N) esetet vei. Első lépés: tegyük fel, hogy mide -re g P () Legye k φ,k a g itegrál-meghatározó sorozata. A jobb áttekithetőség kedvéért írjuk fel a következő sémát: Legye φ 1,1 φ 1,2 φ 1,3... φ 1,k φ 1,k+1... g 1 φ 2,1 φ 2,2 φ 2,3... φ 2,k φ 2,k+1... g 2 φ 3,1 φ 3,2 φ 3,3... φ 3,k φ 3,k+1... g φ k,1 φ k,2 φ k,3... φ k,k φ k,k+1... g k... φ k+1,k+1... Φ k := k =1 φ,k (k N). Mivel (lásd a középső oszlopokat a feti sémába) 0 Φ k Φ k+1 és Φ k k g, amiből =1 Φ k k g = =1 k g g <, =1 a B. lemma miatt létezik g := lim Φ k P () és az itegrál defiíciója szerit m.m. k g = lim Φ k. ( ) k Mithogy m k eseté Φ k k φ,m =1 m φ,m = Φ m, =1

31 8. Az alapvető itegráltételek 31 az m határesetre ebből Φ k k g g m.m. (k N) =1 adódik, amiből a k határesetbe a közrefogási elv miatt a g -ek összege majdem mideütt létezik és egyelő g-vel m.m.: m.m. g = g. Továbbá az itegrálokra is érvéyesek az egyelőtleségek: k Φ k =1 g g (k N). Ebből ugyacsak a közrefogási elv és ( ) következtébe megkapjuk a g = összefüggést. Második lépés: g L() ( N). Ekkor va olya r, s P (), hogy g = r s. Legye k φ,k az s itegrál-meghatározó sorozata. Mide N eseté létezik k N úgy, hogy (s φ,k ) 1 2. S := s φ,k és := r φ,k a P () elemei (lásd a 7.2-be modottakat), és g = S. Mivel S < és a feltétel szerit g <, az is teljesül, hogy <. Ezért létezik m.m. S és m.m., azaz m.m. g. továbbá az S -ek összege is, az -ek összege is itegrálható, az itegráljuk a megfelelő itegrálok összege; ezért g L() és g g = g B. Levi tételéek fotos következméye:

32 32 II. INTEGÁLHATÓSÁG Álĺıtás Ha 0 f L() és f = 0, akkor f = 0 m.m.. Bizoyítás Vegyük a g := f ( N) sorozatot. g = 0, ezért létezik m.m. x eseté g (x) = f(x). Viszot csak a ulla kostas sorozat összegezhető, tehát m.m. x-re f(x) = Megjegyzések (i) A mooto kovergecia tétele a B. lemma általáosítása itegrálható függvéyekre, és azt modja, hogy az eredeti eljárással em bővíthető az itegrálható függvéyek köre. (ii) A állítás úgy is megfogalmazható, hogy va olya α, amellyel f α teljesül mide -re. (iii) Természetese ugyaúgy igaz a állítás mooto csökkeő itegrálható függvéyek sorozatáa, amelyek itegráljaiak a sorozata alulról korlátos (azaz koverges). (iv) B. Levi tételéhez kapcsolódik (de attól függetle, midössze az itegrálás mootoitásából adódik) az az egyszerű, sokat haszált téy, hogy ha f L(), f f +1 és f em korlátos sorozat, akkor, ha létezik is m.m. lim f =: f, ez em itegrálható. Ugyais, ha itegrálható vola, akkor f f m.m. és az itegrálás mootoitása miatt f f mide -re, ami elletmodás. Ezért például a kostas 1 függvéy em itegrálható: 1 = lim χ [,] és χ [,] = Álĺıtás (Fatou lemmája) Legye 0 f L() és létezze olya α +, hogy f α ( N). Ha létezik m.m. lim f, akkor ez itegrál- ható, és lim f lim if f α. Bizoyítás A h := f k ( N) k= függvéyekre yilvá h f, h h +1 és lim h = lim f m.m. teljesül. Ha azt is tudák, hogy h L(), akkor h α mide -re, így B. Levi tétele

33 8. Az alapvető itegráltételek 33 szerit lim f = lim h L() és lim f = lim h = lim if h lim if f ; az utolsó egyelőtleség h f miatt igaz. Tehát csak azt kell megmutatuk, hogy h L(). m > eseté a 7.4. állítás miatt Íme: rögzített és mide m h,m := f k L(), k= h,m+1 h,m és 0 h,m, ezért B. Levi tételét a mooto csökeő m h,m sorozatra alkalmazva azt kapjuk, hogy lim h,m = h itegrálhbató. m 8.6. Álĺıtás (Lebesgue tétele vagy a domiált kovergecia tétele) Legye f L(), létezze g L() úgy, hogy f g ( N), és létezze m.m. lim f. Ekkor létezik lim f, továbbá lim f itegrálható, és lim f = lim f. Bizoyítás Mide -re 0 g + f, (g + f ) = g + f 2 g, ezért a Fatou-lemma szerit azaz lim (g + f ) L() és lim f L() és lim(g + f ) lim if (g + f ), lim f lim if Ugyaígy mide -re 0 g f és (g f ) 2 g, ezért ( f )-re ugyaolya egyelőtleségeket kapuk, mit az előbb, amiből lim f lim sup f. f.

34 34 II. INTEGÁLHATÓSÁG Most már csak össze kell teük eredméyeiket, hogy a bizoyítást befejezzük Feladatok 1. Bizoyítsuk be, hogy ha f L(), f f +1 ( N) és létezik m.m. lim f L(), akkor lim f = lim f. (Vegyük észre, hogy mide -re f lim f m, ezért az itegrálok sorozata korlátos.) m Ez az A. lemma általáosítása. Így is fogalmazhatuk: ha 0 g L() ( N) és létezik m.m. g L(), akkor g = g. 2. Igazoljuk, hogy ha f L() ( N), létezik m.m. lim f =: f, és va olya g L(), hogy f g, akkor f L(). (Legye h := (f g) ( g); ekkor h L(), h g és lim h = f.) Az em állíthatjuk a feti feltételek mellett, hogy az itegrálás és a határértékképzés felcserélhető vola. Példa erre az χ [ 1/,1/] sorozat.

35 9. Mérhető függvéyek 35 III. MÉHETŐSÉG 9. Mérhető függvéyek 9.1. Az előző részbe értelmeztük az itegrálhatóság fogalmát, és megismertük az alapvető itegráltételeket, amelyek az itegrálhatóságot jellemzik. Eek birtokába azoba még em látjuk, milye az itegrálható függvéyek köre. Nem egyköye válaszolhaták például arra a kérdésre, vajo az expoeciális vagy 1 az 1 + id 2 függvéy itegrálható-e vagy sem. További tudást kell összegyűjteük, amiek alapjá azoal megadhatjuk a feleletet. Legelső lépéskét bevezetjük a következő alapvetőe fotos fogalmat. Defiíció Egy f : függvéyt Lebesgue-mérhetőek hívuk, ha va olya (φ ) e.l.fv. sorozat, hogy f = lim f m.m.. A továbbiakba Lebesgue-mérhető helyett csak mérhetőt moduk. A defiíció szerit ha f mérhető függvéy és g = f m.m., akkor g is mérhető. Mérhetőség szempotjából tehát ugyaúgy mit az itegrálhatóság szempotjából léyegtele, hogy egy függvéy hogya va és va-e egyáltalá értelmezve egy ulla mértékű halmazo. Mide itegrálható függvéy mérhető, de em mide mérhető függvéy itegrálható; példa erre bármely kostas függvéy (lásd a 8.4.(iv)). Úgy is modhatjuk, hogy a mérhetőség az itegrálhatóság szükséges, de em elégséges feltétele. Álĺıtás Ha f és g mérhető függvéyek és α, akkor f +g, αf, fg, f +, f, f, f g és f g is mérhetők; továbbá, ha f(x) 0 mide x eseté, akkor 1/f is mérhető. Bizoyítás Ha f = lim φ m.m., g = lim ψ m.m., akkor f + g = lim (φ + ψ ) m.m. stb. Ha f seholsem ulla, akkor az

36 36 III. MÉHETŐSÉG 1 0 φ (x) := 1 ha φ (x) 0, φ (x) 0 ha φ (x) = 0 formulával egyszerű lépcsős függvéyeket aduk meg, és 1 f = lim 1 0. φ 9.2. A mérhetőség és itegrálhatóság kapcsolatát a következő ige fotos és agyo sokszor haszált eredméy jellemzi, amelyre úgy szoktuk hivatkozi, hogy egy mérhető függvéy, amelyek va itegrálható majorása, itegrálható. Álĺıtás Ha f : mérhető függvéy, és va olya g L(), hogy f g, akkor f L(). Bizoyítás Legye f = lim φ m.m.. Ekkor f := (φ g) ( g) itegrálható, f g és lim f = f m.m.. Ezért Lebesgue tétele alapjá f itegrálható. Eek egy következméye így hagzik: ha f : és g 0 mérhető, de em itegrálható, továbbá f g, akkor f em itegrálható. Ugyais ha f itegrálható vola, akkor f is itegrálható vola, s az általa majorált mérhető g az iméti állításuk szerit itegrálható vola. Láttuk, hogy ha f L(), akkor f L(). Visszafelé azoba általába em következtethetük azért, mert előfordulhat, hogy f em mérhető (így em is itegrálható), de f itegrálható (erre majd példát a feladatba látuk). Viszot mostai eredméyük alapjá kijelethetjük (állításukba g helyére f - et téve), hogy ha f mérhető és f L(), akkor f L() Itegrálható függvéyek sorozatáak m.m. határértéke em feltétleül itegrálható; az alapvető itegráltételek éppe azokat azokat a további feltételeket jellemzik, amelyeket ki kell kötük a határérték-függvéy itegrálhatósága érdekébe. Ezzel szembe mérhető függvéyek sorozatáak m.m. határértéke mérhető. Álĺıtás Ha (f ) mérhető függvéyek sorozata, amelyre létezik lim m.m., akkor f is mérhető. f =: f Bizoyítás Vegyük egy h > 0 itegrálható függvéyt. Ilye va; például 1 ( ) 2 χ [ 1,[ + χ [, +1[ (lásd a feladatot). Legye g := hf h + f ( N). A 9.1. állítás értelmébe g mérhető, g h, tehát az előző állítás miatt g

37 10. Mérhető halmazok 37 itegrálható, és hf lim g = =: g, m.m. h + f ami a Lebesgue-tétel szerit azt jeleti, hogy g itegrálható, így egybe mérhető is. g = h f < h, így h g > 0 és f = h g ; ezt a kifejezést betéve g h + f h g defiíciójába, egyszerű átalakítással azt kapjuk, hogy f = hg h g, azaz f előállítható mérhető függvéyek szorzatáak és seholsem ulla külöbségéek háyadosakét, ezért f mérhető Feladatok 1. Legye f 0 mérhető függvéy. Igazoljuk, hogy f is mérhető. 2. Mutassuk meg, hogy ha f ( N) mérhető függvéyek és létezik m.m. f, illetve f, akkor ezek is mérhető. 3. Ha f itegrálható és g mérhető, akkor f g itegrálható. ( 4. Igazoljuk, hogy a sziusz függvéy em itegrálható. si 1 ) χ 2 I, I := [π + π/4, π + 3π/4]. Z 5. Lássuk be, hogy az exp és az id ( N) függvéyek em itegrálhatók. 6. Ha f : mérhető és a, akkor f L 1 a is mérhető. 10. Mérhető halmazok Emlékezzük a kiidulási problémákra: bizoyos voaldarabokak hosszat (illetve a síkba bizoyos alakzatokak területet) akaruk tulajdoítai. Itervallumokak és itervallumok diszjukt uiójáak már értelmeztük a hoszszát. Most jutottuk abba a helyzetbe, hogy kiterjesszük a hossz-fogalmat egy bővebb halmazosztályra.

38 38 III. MÉHETŐSÉG Defiíció E Lebesgue-mérhető, ha χ E mérhető függvéy. A Lebesgue-mérhető halmazok összességét L-lel jelöljük. Ha E L, akkor E := { χ E ha χ E L(), ha χ E / L() az E hossza. Maga az L + 0, E E leképezés a Lebesgue-féle hosszmérték. A továbbiakba Lebesgue-mérhető halmaz helyett csak mérhetőt moduk. Nyilvávaló, hogy az itervallumok gyűrűje része L-ek, és a mostai hosszmérték az N -e bevezetettek a kiterjesztése. Az érdekel miket, milye a szerkezete L-ek, és milye tulajdoságokkal redelkezik rajta a hosszmérték. Legelőször arra teszük megállapítást, amivel kezdtük a hosszmérték kiterjesztését. Álĺıtás H potosa akkor ulla mértékű, ha H L és H = 0. Bizoyítás Ha H ulla mértékű, akkor χ H = 0 m.m., azaz χ H itegrálható és az itegrálja ulla. Ha H L és H = 0, akkor χ H itegrálható és az itegrálja ulla, ezért a 8.3. állítás miatt χ H = 0 m.m., azaz H ulla mértékű Defiíció Legye halmaz. Azt modjuk, hogy A P() σ-algebra, ha mide E, F, E A ( N) eseté (i) E, (ii) E \ F, (iii) az A-hoz tartozak. Álĺıtás Ha A σ-algebra és E, E A ( N), akkor (i) E, (ii) E az A elemei. Bizoyítás (i) (ii) E = \ E. ( ) E = E \ (E \ E ), ahol E := E,

39 10. Mérhető halmazok Álĺıtás L σ-algebra. Bizoyítás Vegyük sorra a defiíciós tulajdoságokat. (i) Mit tudjuk, χ A B = χ A + χ B χ A χ B ; ezért, ha χ A és χ B mérhető függvéyek, akkor χ A B is az. Így véges sok mérhető halmaz egyesítése is mérhető. Tehát ha E ( N) mérhető halmazok, akkor F := E k is mérhető mide -re, továbbá lim χ F az E karakterisztikus függvéye, amely mérhető a 9.3. állítás miatt, azaz E -ek uiója mérhető halmaz. (ii) χ E\F = χ E χ E χ F. (iii) χ = 1 = lim χ [,] N része L-ek, L pedig σ-algebra. Ez azt jeleti, hogy megszámlálható sok N -beli halmaz egyesítése, metszete, N -beli halmazok komplemetere amelyek em szükségképpe tartozak az N -hez bee vaak L-be. Például bármely em korlátos itervallum, bármelymegszámlálható sok potból álló halmaz is az L eleme. Álĺıtás mide yílt részhalmaza és mide zárt részhalmaza mérhető. Bizoyítás Mide yílt halmaz megszámlálható sok yílt korlátos itervallum egyesítése (Aalízis III.A.2.11.). A zárt halmazok a yílt halmazok komplemeterei. Most megit 2 -be tudjuk jobba szemlélteti eredméyüket. Ott a korlátos téglák gyűrűjéből kiidulva kostruáljuk meg az itteihez hasoló módo a Lebesgue-mérhető halmazokat, amelyek között a yílt halmazok is, a zárt halmazok is megtalálhatók, és ezek kézzelfoghatóa mások, mit véges sok tégla uiója. 2 Lebesgue-mérhető halmazaira kiterjeszthetjük a terület-mértéket, és ezzel most már például egy körlap (zárt halmaz) területét is értelmezzük, és alkalmasit állíthatjuk róla, hogy r 2 π, ha a kör sugara r. Hagsúlyozzuk, hogy midez még csak szemléltetés, egyelőre csak részhalmazaival foglalkoztuk potosa, de majd tárgyaljuk 2 esetét is.

40 40 III. MÉHETŐSÉG Álĺıtás A hosszmérték L-e σ-additív, azaz ha E L, E E m = (, m N, m), akkor E = E, ahol az összegzés kiterjesztett értelembe veedő, vagyis megegedve a összeadadót és öszeget is. Bizoyítás Jegyezzük meg először is, hogy χ E = χ E. Három esetet kell megkülöböztetük. (i) E < mide -re és E <. Ekkor χ E <, ezért a B. Levi tételéből χ E itegrálható, és = χ E, vagyis feáll a kívát egyelőség. (ii) E < mide -re de E =. Ekkor χ E =, ezért a 8.3.(iv) megjegyzésből χ E em itegrálható, azaz defiíció szerit E =, vagyis feáll a kívát egyelőség. (iii) Ha va olya m, hogy E m =, azaz χ Em em itegrálható, akkor χ Em χ E és 9.2. miatt itt a jobb oldalo álló függvéy sem itegrálható, így igaz a kívát egyelőség. χ E Természetese a hosszmérték additív is, vagyis véges sok diszjukt halmaz egyesítéséek a mértéke az egyes mértékek összege. Ezt úgy kapjuk az előzőből, hogy a véges sok halmazból álló redszert kiegészítjük megszámlálható sokszor véve az üres halmazt. A további tulajdoságokat úgy fogalmazzuk meg és bizoyíthatjuk be, mit 2.5-be és 2.6.-ba tettük.

41 10. Mérhető halmazok 41 Álĺıtás A hosszmérték L-e (i) mooto, azaz ha E, F L, F E, akkor F E, (ii) szubtraktív, azaz ha E, F L, F E és F <, akkor E \ F = E F, (iii) σ-szubadditív, azaz ha E L ( N), akkor E E, (iv) mooto folytoos, azaz ha E L ( N) és E +1 E, akkor E = (g) lim E, E +1 E és em mide E végtele mértékű, akkor E = lim E. Figyeljük fel arra, hogy (iii)-be és (iv)-be a korábbiakhoz képest kevésbé körülméyese foglmazhattuk amiatt, hogy L-beli halmazok megszámlálható uiója is L-hez tartozik. Viszot itt bizoyos véges mértékűséget ki kellett kötük (ami korábba eleve teljesült). (ii)-be F E eseté E = F + E \ F mideképp teljesül, de ezt átredezi csak akkor lehet, ha F, mert külöbe két végtelet kellee kivoi egymásból, ami em értelmes. (iv)-be, ha va olya m, hogy E m mértéke véges, akkor a mérték mootoitása miatt mide m eseté E is véges mértékű. Ellepéldát hozhatuk arra, hogy ha ezt em követeljük meg, az egyelőség a határértékeket illetőe em teljesül: [, [=, azoba mide -re [, [ = A mérhető függvéyek köre meglehetőse széles. Mérhető függvéyek összege, szorzata stb., sorozatáak határértéke is mérhető. Felmerül a kérdés: esetleg mide függvéy mérhető? Egy kicsit szűkebbre szabva: esetleg mide karakterisztikus függvéy mérhető? Azaz em igaz-e, hogy mide halmaz Lebesgue-mérhető? A válasz: em. Megkostruáluk egy em mérhető halmazt. Nézzük végig a fejezetek végé levő utolsó feladatokat. Ezekből kiderül, hogy a Lebesgue-féle hosszmérték eltolás-ivariás, azaz ha E L és a, akkor a + E L és a + E = E. Ezt a téyt is felhaszáljuk. Adjuk meg [0, 1[-e ekvivalecia-relációt így: x y ha x y Q. Legye H [0, 1[ az ekivalecia-osztályok egy teljes reprezetás-halmaza, azaz H-ak mide ekvivalecia-osztályból potosa egy elemet tartalmaz. Megmutatjuk, hogy H em mérhető. Ha r Q [0, 1[, akkor (it jelöli az egészrész-függvéyt) H r := {r + x it(r + x) x H} az a halmaz, amelyet úgy kapuk, hogy H-t r-rel eltoljuk, az így keletekezett halmazak a [0, 1[-be levő részét ott hagyjuk, a kilógó részét levágjuk és 1-gyel

42 42 III. MÉHETŐSÉG visszatoljuk, más szóval ( ) H r = (r + H) [0, 1[ ( ) ((r ) + H) \ [0, 1[ 1. Tegyük fel, hogy H mérhető; ekkor H r is mérhető, és a hosszmérték eltolás-ivariaciája és additivitása miatt H r = H. Ha r, s Q [0, 1[ és r s, akkor H r H s =. Ugyais, ha em így vola, akkor vola olya x, y H, hogy r + x it(r + x) = s + y it(s + y), azaz y = s r + it(r + x) it(s + y), és így x y vola, amiből x = y és ezáltal r = s következe. Ha z [0, 1[, akkor va olya r Q [0, 1[, hogy z H r. Ugyais létezik egyetle x H, amelyre z x; legye r := z x ha x z és r := z x + 1 ha x > z. Ekkor z = r + x it(r + x) H r. Midezeket összefoglalva [0, 1[= {H r r Q [0, 1[}, és így a mérték σ-additivitása miatt 1 = H r = H, ami lehetetle. r r Az mide megszámlálható részhalmaza mérhető, és a mértéke ulla. Mide itervallum kotiuum-számosságú és a mértéke em ullla. Most példát aduk ulla mértékű kotiuum-számosságú halmazra. Tudjuk, hogy a Cator-halmaz (Aalízis III.A.22.) kotiuum-számosságú, és C := C alakba állítottuk elő, ahol mide C az itervallumok gyűrűjéek az eleme, így C mérhető halmaz. C 1 C, ezért a mérték mooto folytoossága miatt ( C = lim C = lim 1 1 ( ) ) k 2 = Feladatok 1. Felhaszáltuk ba az ellepéldához, hogy [, [ =. Bizoyítsuk be, hogy bármely em korlátos itervallum hosszmértéke végtele. 2. Igazoljuk, hogy mide korlátos mérhető halmaz hossza véges (mert a mérték mooto). Viszot va olya em korlátos mérhető halmaz, amelyek a hossza véges (lásd a feladatot). 3. Lássuk be, hogy ha E L, E = 0 és A E, akkor A L és A = Legye f mérhető függvéy, E mérhető halmaz. Mutassuk meg,hogy az a függvéy, amely E- egyelő f-fel, azo kívül kostas, mérhető. 5. Legye f és g mérhető függvéy, E mérhető halmaz. Mutassuk meg, hogy az a függvéy, amely E- egyelő f-fel, E komplemeteré pedig g-vel, mérhető. 6. Legye H a 10.7-beli em mérhető halmaz. Bizoyítsuk be, hogy f := χ [0,1] (χ H χ H ) em mérhető de f itegrálható. 11. Lépcsős függvéyek

43 11. Lépcsős függvéyek Az egyszerű lépcsős függvéyek diszjukt korlátos itervallumok és egypot halmazok karakterisztikus függvéyeiek lieáris kombiációja. Ha ezek helyett a halmazok helyett bármilye mérhető halmazt veszük, eljutuk a lépcsős függvéyek fogalmához. Defiíció Egy φ : függvéyt lépcsős függvéyek hívuk, ha va olya N és c 1,..., c, E 1,..., E L, E i E k = ha i k, hogy φ = c k χ Ek. A lépcsős függvéyek yilvávalóa mérhetők. A feti alakba megadott lépcsős függvéy potosa akkor itegrálható, ha E k < mide olya k-ra, amelyre c k 0. Az egyszerű lépcsős függvéyek is lépcsős függvéyek; ez utóbbiak jóval többe vaak, mit az előbbiek: egy mérhető függvéyhez (épp a mérhetőség defiíciója szerit) midig va majdem mideütt koverges egyszerű lépcsős függvéy sorozat; emsokára látjuk, hogy viszot va mideütt koverges lépcsős függvéy sorozat Az f : függvéyre α eseté vezessük be az {f < α} := {x f(x) < α}, és hasolóa az {f α}, {f > α}, {f α} jelölést, amelyeket az f-ek α-hoz tartozó kisebb stb. típusú ívóhalmazáak evezük. Álĺıtás Ha f valamilye típusú mide ívóhalmaza mérhető, akkor az összes többi ívóhalmaza is mérhető. Bizoyítás {f α} = { f < α + 1 }, {f < α} = { f α 1 }, {f α} = {f < α}, {f > α} = {f α} Álĺıtás Az f : függvéyre a következő három kijeletés egyeértékű: (i) lépcsős függvéyek sorozatáak határértéke, (ii) mérhető, (iii) mide ívóhalmaza mérhető.