DISZTRIBÚCIÓK. {x R N φ(x) 0}

Átírás

1 DISZTRIBÚCIÓK. Kovergecia és folytoosság.. Emlékeztetük, hogy egy φ : R N K folytoos függvéy tartója, Supp φ a halmaz lezártja. {x R N φ(x) 0} Defiíció. Jelölje D(R N ) az R N -e értelmezett K értékű kompakt tartójú végteleszer differeciálható függvéyek halmazát, azaz D(R N ) := {φ C (R N ) Supp φ kompakt}. Köye belátható, hogy ez lieáris altér C (R N )-be. Valóba, ha φ és ψ ilye függvéyek, α K, akkor αφ is kompakt tartójú végteleszer differeciálható, valamit Supp (φ + ψ) Supp φ Supp ψ miatt φ + ψ tartója korlátos zárt halmaz, azaz kompakt, tehát az összeg is bee va D(R N )-be. A feti tartalmazásál általába egyelőség em írható. Előfordulhat ugyais, hogy valamely U Supp φ Supp ψ yílt halmazo az összeg éppe ullát ad (φ + ψ = 0 U-), s így U Supp (φ + ψ). A D(R N ) halmaz em üres. Az N = esetbe tudjuk, hogy az { e /t, ha t > 0; η(t) := 0, ha t 0 függvéy a 0 potba jobbról és balról is végteleszer differeciálható és itt midegyik differeciálháyadosa 0. Ezért η C (R N ) és Supp η = R + 0. Legye a R és φ: R R, t η(a + t)η(a t) = η(a 2 t 2. Ekkor Supp φ = [ a, a], ezért φ D(R). Tetszőleges N pozitív egészre, valamit 0 r R valós számokra defiiáljuk az η(r 2 x 2 ) η r,r (x) := η(r 2 x 2 ) + η( x 2 r 2 ) függvéyt. A evező sehol sem ulla, és végteleszer differeciálható függvéyek összege, háyadosa is végteleszer differeciálható. Mivel Supp η r,r = G R (0), így η r,r D(R N ). Vegyük észre, az így defiiált η r,r a következő tulajdoságú: 0, ha R x ; η r,r (x) = 0 és között, ha r x R;, ha x r. Állítás. Legye K kompakt halmaz, és U yílt halmaz R N -be, mely tartalmazza K-t. Ekkor létezik olya η K,U D(R N ), melyre

2 0, ha x / U; η K,U (x) = 0 és között, ha x U \ K;, ha x K. Bizoyítás K része a yílt U halmazak, ezért a K halmaz mide x potjához megadható egy r(x) sugarú, x középpotú gömb, amely bee va U-ba. Ha K mide x potja körül vesszük a ϱ(x) := r(x)/2 sugarú gömböket, akkor ez a yílt halmazredszer lefedése K-ak. Létezik tehát véges sok x i (i =... ), amelyre K G ϱ(xi)(x i ). Legye a ξ i D(R N ) függvéy olya, hogy i= 0, ha x / G r(xi )(x i ); ξ i (x) = 0 és között, ha x G r(xi)(x i ) \ G ϱ(xi)(x i );, ha x G ϱ(xi )(x i ). Ilye lehet, például ξ i (x) := η ϱ(xi ),r(x i )(x x i ). Legye továbbá η K,U := ( ξ i ). Mivel ξ i D(R N ), az ilyeek szorzata és összege is D(R N )-beli lesz. Ha most valamely x K eseté i olya, hogy γ i (x) =, akkor a feti szorzat ulla, így η K,U (x) =. Mivel mide x K eseté va (legalább egy) ilye i, ezért η K,U a K halmazo -et vesz fel. Az U halmazo kívül pedig ξ i ulla (mide i eseté), ezért a feti kifejezés is ulla. A harmadik esetbe pedig yilvávalóa 0 és közötti számot kapuk..2. Az eddigi taulmáyaik sorá a kovergeciát és a folytoosságot a közelség fogalma adta. Ehhez metrika (vektortére orma) kellett. Véges dimeziós vektortére mide orma egyeértékű, ezért ezektől függetleül, kokrét orma megadása élkül lehetett közelségről beszéli. Végtele dimezióba (pl. D(R N ) eseté) azoba em hasolítható össze mide orma. Sőt, végteleszer differeciálható függvéyek esetébe ormával em tudjuk kifejezi azt a közelségfogalmat, amelyet elváruk: két függvéy akkor va közel egymáshoz, ha bármely deriváltjuk csak kicsit külöbözik egymástól. Így külö kell defiiáluk a kovergeciát és a folytoosságot. Vezessük be az N változós multipoliom fogalmát; ezek a következő alakú végteleszer differeciálható függvéyek: adott egy m természetes szám, és mide k,..., k N N, k + + k N m eseté egy c kk 2...k N C, és ezekkel p(x) := k +...+k N m i= c k k 2... k N x k xk xk N N (x R N ). Az ilye multipoliomot legfeljebb m-edfokúak modjuk, és m-ed fokú, ha va olya k,..., k N, k + + k N = m, hogy c k k 2...k N 0. Ha p multipoliom, akkor x k helyébe az x k szeriti parciális differeciálást téve (k =,..., N) kapjuk a p(d)-fel jelölt multipoliomiális differeciálást. 2

3 Defiíció. Azt modjuk, hogy a φ D(R N ) ( N) sorozat D-értelembe a 0-hoz tart (és úgy jelöljük, hogy (D) lim φ = 0), ha (i) létezik egy K kompakt halmaz, melyre mide eseté Supp φ K, (ii) mide p multipoliom eseté a p(d)φ függvéysorozat egyeletese kovergál a 0-hoz. Megjegyzés Azt modjuk, hogy a φ D(R N ) ( N) sorozat D-határértéke ψ D(R N ) (rövide (D) lim φ = ψ), ha (D) lim(φ ψ) = 0. Ez a defiíció jó, azaz (D) lim φ egyértelmű. Ha ugyais φ és ψ ugyaaak a φ sorozatak a D-határértéke, akkor a p = multipoliomot véve az egyeletes kovergecia egyértelműségéből az következik, hogy φ = ψ. Defiíció. (i) Az F : D(R N ) D(R N ) lieáris leképezés D-folytoos (vagy rövide folytoos), ha mide D-értelembe 0-hoz tartó φ sorozat eseté (D) lim F φ = 0. (ii) A T : D(R N ) K lieáris leképezés D-folytoos (rövide: folytoos), ha mide D-értelembe 0-hoz tartó φ sorozatra lim T φ = 0. Megjegyzés Ha A folytoos és a φ sorozat D-értelembe φ-hez tart, akkor A liearitása miatt Aφ D-értelembe tart Aφ-hez. Defiíció. D(R N ) duálisáak evezzük az előbbi defiíció (ii) potjáak megfelelő függvéyek halmazát: D(R N ) := {T : D(R N ) K T folytoos, lieáris}. D(R N ) elemeit alapfüggvéyekek, D(R N ) elemeit disztribúciókak evezzük. A T disztribúcióak a φ alapfüggvéye felvett értékét a (T φ) szimbólummal jelöljük..3. Emlékeztetőül, az R N (korlátos) Borel-halmazai adott K értékű m mérték Rado-mérték, ha variációja Borel-mérték, azaz mide kompakt halmaz m mértéke véges. Az alapfüggvéyek kompakt tartójúak, korlátosak és mérhetők (a mérhetőség a B(R N ) B(K)-mérhetőséget jeleti, ami következik a folytoosságból), ezért létezik tetszőleges Rado-mérték szeriti itegráljuk. Nyilvávaló továbbá, hogy az F m : D(R N ) K, φ φdm leképezés lieáris. Folytoos is, azaz F m disztribúció, ami azo múlik, hogy ha veszük egy D-értelembe 0-hoz tartó φ sorozatot, akkor az itergál és a limesz felcserélhető a lim (F m φ ) kifejezésbe. Ez a Lebesgue-tétel szerit megtehető, mert létezik egy m -itegrálható függvéy, amely majorálja a sorozat elemeiek abszolút értékét. Ugyais az egyeletes kovergecia miatt (a R N 3

4 D-kovergecia defiíciójába válasszuk a p = multipoliomot!) tetszőleges C > 0 korlát eseté létezik egy C küszöbidex úgy, hogy mide eél agyobb -re φ Cχ K, ahol K egy olya kompakt halmaz, amely tartalmazza a D-koverges sorozat elemeiek tartóit. Defiíció. F m -et az m-hez redelt disztribúcióak evezzük. Állítás. A {B(R N ) K Rado-mértékek} D(R N ), m F m leképezés lieáris ijekció. Bizoyítás A liearitás az itegrálásak a mérték szeriti liearitásából adódik. Az ijektivitás megállapításához azt kell megmutati, hogy ha F m = 0, akkor m = 0. Ehhez elegedő beláti, hogy m(k) = 0 mide K kompakt halmazra. Legye tehát K R N tetszőleges kompakt halmaz, s azt kell beláti, hogy χ K -ak az m szeriti itegrálja ulla. Közelítsük meg χ K -t D(R N )-beli függvéyekkel! Legye U ( N) korlátos, yílt halmazok K-ra húzódó sorozata, azaz K... U + U... U és U = K. Mivel 0 = (F m η K,U ) = R N N η K,U dm, és az η K,U sorozat mooto csökkeve potokét tart χ K -hez, ezért χ U a χ U itegrálható majorása, tehát a Lebesgue-tétel szerit χ K -ak az m szeriti itegrálja ulla, azaz m(k) = Legye most f : R N K lokálisa Lebesgue-itegrálható függvéy, azaz mide kompakt halmazo itegrálható. Ekkor f λ Rado-mérték, mert variációja fλ = f λ. Ezért R f := F fλ szité disztribúció. Defiíció. R f -et az f-hez redelt reguláris disztribúcióak evezzük. Állítás. Legye f és g lokálisa itegrálható. R f = R g potosa akkor, ha f = g λ-majdem mideütt. Bizoyítás R f = R g (azaz F fλ = F gλ ) az előző állításba szereplő leképezés ijektivitása miatt egyeértékű azzal, hogy f λ = gλ. Ez pedig potosa akkor áll fe, ha f = g λ-majdem mideütt..5. Az iméti állítások eredméyekét a Rado-mértékeket és a lokálisa itegrálható függvéyeket beágyaztuk a disztribúciók halmazába. Ez a beágyazás ayira természetes, hogy a továbbiakba időkét (F m φ) helyett (m φ)-t, (R f φ) helyett pedig egyszerűe (f φ)-t íruk. 2. Disztribúciók leszűkítése és kiterjesztése 2.. Legye U R N yílt halmaz. Ekkor D(U) := { φ D(R N ) Supp φ U } 4

5 a D(R N ) zárt lieáris altere. Egy T disztribúcióak a D(U)-ra vett leszűkítését a T U szimbólummal jelöljük. Világos, hogy T U D(U). Megemlítjük, hogy itt is érvéyes, amit korábba mit a Hah Baach-tétel egy következméyét ismertük meg: a D(U)- adott folytoos lieáris fukcioálak va folytoos lieáris kiterjesztése D(R N )-re. Speciálisa sokat haszáljuk azt, hogy T U = 0, ami tehát azt jeleti, hogy (T φ) = 0 mide olya φ alapfüggvéy eseté, amelyek tartója U-ba va. Nyilvávaló, hogy ha U és V yílt, V U és T U = 0, akkor T V = 0. Állítás. Legye T disztribúció és U R N yílt halmaz. T U = 0 potosa akkor, ha mide x U eseté létezik x-ek olya G(x) U yílt köryezete, amelye T ulla. Bizoyítás Az első iráy yilvávalóa teljesül, mert ha T U = 0, akkor T - ek az U tetszőleges yílt részhalmazára vett leszűkítése is 0. Legye φ D(R N ) olya, amelyek K tartója U-ba va. A. potba defiiált η K,U -et vesz fel K-, amely φ tartója, tehát feáll a ( ) φ = φ ( ξ i ) = φξ i ξ j +... i= i= φξ i i,j összefüggés. Supp ξ i G r(xi )(x i ) U, így φξ i, φξ i ξ j,... tartója is U-ba va. Kihaszálva T liearitását kapjuk, hogy (T φ) = i (T φξ i ) + i,j (T φξ i ξ j ) +... = 0. Következméy. Legye U i (i I) yílt halmazredszer R N -be, és a T disztribúció olya, hogy mide i I eseté T Ui = 0. Ekkor T = 0. U i Defiíció. A T disztribúció tartója a következő halmaz: i I Állítás. Supp T := { x R N mide U R N yílt, x U : T U 0 }. (Supp T ) = { x R N létezik U R N yílt : x U, T U = 0 } = = { U yílt T U = 0 }. Bizoyítás Teljese triviális, mert az első egyelőség a tartó defiíciójáak tagadása, a második pedig az előző tételből yilvávalóa adódik. Következméy. Disztribúció a tartója komplemeterére leszűkítve ulla. Állítás. Ha a φ alapfüggvéy és a T disztribúció tartója diszjukt, akkor (T φ) = 0. Bizoyítás Mivel Supp φ (Supp T ), az előző két állításból adódik. 5

6 Állítás. Legye α emulla szám, T és S disztribúciók. Ekkor (i) Supp (αt ) = Supp T, és (ii) Supp (T + S) Supp T Supp S. Bizoyítás Az első állítás teljese yilvávaló. A másodikhoz elegedő beláti, hogy (Supp S) (Supp T ) (Supp (T + S)). Legye x (Supp S) (Supp T ). Ekkor létezik U R N yílt halmaz úgy, hogy x U és T U = 0, S U = 0. Ie adódik, hogy (T + S) U = 0, amit bizoyítai akartuk. Következméy. A kompakt tartójú disztribúciók lieáris alteret alkotak függ- Defiíció. Legye a T disztribúció és a φ végteleszer differeciálható véy tartójáak metszete kompakt és ξ a fetiekek megfelelő. Ekkor (T φ) := (T ξφ). Állítás. A defiíció jó, azaz U és ξ választásától függetle. Legye a T disztribúció és a φ végteleszer differeciálható függvéy tartójáak metszete kompakt. Legye továbbá U korlátos yílt halmaz, mely tartalmazza a tartók metszetét. Ekkor U kompakt, és így létezik olya ξ alapfüggvéy, amely U- -et vesz fel. Ezzel defiiálhatjuk T hatását a φ függvéyre a következőképpe: Bizoyítás Először is a defiíció értelmes, mert ξφ kompakt tartójú. Legye a feltételekek megfelelő U és ξ is. Ekkor (T ξφ) (T ξ φ) = (T φ(ξ ξ )) = 0, hisze ξ ξ ulla a Supp T Supp φ halmazo A fetiek szerit egy kompakt tartójú disztribúció egyértelműe kiterjeszthető C (R N )-re. Ez a kiterjesztés folytoos lieáris fukcioál C (R N )-e, ha ott a kovergeciát a következőképpe értelmezzük. Defiíció. Azt modjuk, hogy a φ C (R N ) ( N) sorozat E-értelembe a 0-hoz tart (vagyis (E) lim φ = 0), ha tetszőleges p multipoliom eseté a p(d)φ függvéysorozat R N mide kompakt részhalmazá egyeletese kovergál a 0-hoz (másszóval, p(d)φ lokálisa egyeletese kovergál a ullához). A φ sorozat E-határértéke φ, ha (E) lim (φ φ) = 0. Ezzel a kovergeciával ellátott C (R N ) vektorteret E(R N )-el, folytoos lieáris fukcioáljait E(R N ) -gal jelöljük, s hasolóa értelmezzük rajta a tartó fogalmát. Nyilvávaló, hogy D(R N ) E(R N ), sőt D(R N ) sűrű E(R N )-be: ugyais tetszőleges ψ E(R N ) eseté a φ := ψη,+ D(R N ) sorozat E-értelembe ψ-hez tart. 6

7 Továbbá, D(R N )- a kovergeciafogalom erősebb, mit E(R N )-: ha φ D(R N ) D-értelembe a ullához tart, akkor E-értelembe is. Ezért a duálisaikra E(R N ) D(R N ) áll fe. A 2.2 potba beláttuk, hogy mide kompakt tartójú disztribúció E(R N ) - beli. Eek fordítottja is igaz. Állítás. Legye T E(R N ). Ekkor T kompakt tartójú disztribúció. Bizoyítás Mivel a tartó defiíció szerit zárt, elegedő Supp T korlátosságát vizsgáli. Tegyük fel, hogy Supp T em korlátos. Ekkor mide N eseté Supp T em része a B (0) zárt gömbek, azaz Supp T B (0). Legye φ E(R N ) olya, hogy Supp T B (0) Supp φ és (T φ ) 0. Legye ψ := φ / (T φ ). Ekkor (T ψ ) = mide eseté, így lim (T ψ ) =. Legye most K tetszőleges kompakt halmaz. Ekkor létezik olya m N szám, hogy K B m (0). Eél agyobb idexekre ψ a K halmazo 0, ezért a ψ függvéysorozat K- egyeletese 0-hoz tart. Mivel K tetszőleges, ez éppe azt jeleti, hogy (E) lim ψ = 0. T folytoos, ezért lim (T ψ ) = 0. Elletmodásra jutottuk, tehát Supp T korlátos Láttuk, hogy E(R N ) potosa a kompakt tartójú disztribúciókat tartalmazza, és a 2.2 potba tetszőleges disztribúciót kiterjesztettük E(R N )-ek egy D(R N )-él bővebb részhalmazára. Felmerül a kérdés, vajo bővíthető-e tovább egy adott disztribúció értelmezési tartomáya. A válasz ige. Defiíció. Legye T disztribúció, ψ E(R N ). Ha mide E értelembe ψ- hez tartó φ D(R N ) sorozat eseté (T φ ) koverges, akkor értelmezzük T hatását ψ-: (T ψ) := lim (T φ ). A defiíció függetle a φ sorozat megválasztásától. Legye ugyais φ egy másik közelítő sorozat. Ekkor a φ, φ, φ 2, φ 2,... sorozat is E-értelembe ψ- hez tart, így a feltétel szerit a megfelelő sorozat is koverges. Emiatt a két határérték megegyezik. 3. Temperált disztribúciók 3.. A gyorsa csökkeő függvéyek azok a φ végteleszer differeciálható függvéyek, amelyekre tetszőleges, rögzített p és q multipoliom eseté sup p(x)(q(d)φ)(x) <, x R N azaz p q(d)φ korlátos. Jelölje S(R N ) az ilye függvéyek halmazát. Nyilvávaló, hogy S(R N ) lieáris altere E(R N )-ek, és em üres, mert például x e x 2 bee va. D(R N ) pedig valódi lieáris altere S(R N )-ek. 7

8 A defiíciós feltétel egyeértékű azzal, hogy p q(d)φ a végtelebe a ullához tart. Ugyais ez egyrészt maga utá voja a korlátosságot, másrészt m N eseté (+ id R N 2 ) m multipoliom, amely q-val szorozva szité multipoliom, következésképpe (+ id R N 2 ) m qp(d)φ korlátos, ami csak úgy lehet, hogy qp(d)φ a végtelebe ullához tart. S(R N )-e is bevezetük egy kovergeciafogalmat: Defiíció. Azt modjuk, hogy a φ S(R N ) ( N) sorozat S-értelembe a 0-hoz tart (és úgy jelöljük, hogy (S) lim φ = 0), ha mide p és q multipoliom eseté a p q(d)φ függvéysorozat egyeletese kovergál a 0-hoz. Állítás. A D-kovergecia erősebb az S-kovergeciáál, és az S-kovergecia erősebb az E-kovergeciáál; továbbá D(R N ) sűrű S(R N )-be, S(R N ) sűrű E(R N )-be Bizoyítás A kovergeciák összehasolításához vegyük egy φ sorozatot D(R N )-be, mely D-értelembe tart 0-hoz. Mivel létezik egy kompakt halmaz, amely tartalmazza mide φ tartóját, és eze a kompakt halmazo bármely multipoliom korlátos, látható, hogy φ S-értelembe is koverges a 0-hoz. Hasolóa egyszerű, hogy egy S-értelembe koverges sorozat E-értelembe is koverges. A 2.3 állítás alapjá tudjuk, hogy D(R N ) sűrű E(R N )-be, tehát S(R N ) is sűrű E(R N )-be (az E-kovergeciát tekitve). Csak azt kell megmutatuk, hogy D(R N ) sűrű S(R N )-be (az S-kovergeciát tekitve). Legye N; a γ (x) := η,2 ( x ) függvéy értéke, ha x <, és 0, ha x > 2, valamit ξ. Továbbá k γ (x) = k η,2 (x/), és így k ξ sup k η,2. Ezért, ha ψ S(R N ), a φ := ψξ D(R N ) sorozat S-értelembe ψ-hez tart, mert p k (ψξ ψ) = p ( k ψ)(ξ ) + p ψ( k ξ ). Mivel mide ε > 0 eseté létezik ε úgy, hogy p(x) ( k ψ)(x) < ε, ha x > ε, a feti jobb oldal első tagja kisebb ε-ál mide > ε eseté, vagyis ez a tag egyeletese tart a ullához. Mivel p ψ korlátos, a második tag számszorosáál kisebb, ez is egyeletese tart a ullához. Defiíció. A gyorsa csökkeő függvéyek folytoos lieáris fukcioáljait mérsékelt (temperált) disztribúciókak evezzük: S(R N ) := { T : S(R N ) K T lieáris és S-folytoos }. A 3. állításba modottak alapjá egy az E(R N )- értelmezett E-folytoos lieáris leképezések az S(R N )-re való leszűkítése S-folytoos, és az S(R N )-e értelmezett S-folytoos lieáris leképezések a D(R N )-re való leszűkítése D- folytoos, tehát E(R N ) S(R N ) D(R N ) Állítás. Legye m Rado-mérték, amelyhez létezik olya k természetes szám, hogy ( + id R N k ) m-itegrálható. Ekkor F m temperált disztribúció. 8

9 Bizoyítás Legye φ S(R N ). Mivel φ gyorsa csökkeő, φ( + id R N k ) K korlátos, egy felső korlátja legye K. Ekkor m -itegrálható majorása φ-ek, ezért F m kiterjeszthető S-re: + id R N k (F m φ) := φ dm. R N Következméy. Ha f lokálisa itegrálható, és f/( + id R N k ) Lebesgue-itegrálható valamely k N eseté, akkor az f-hez tartozó reguláris disztribúció temperált disztribúció. Állítás. Ha f L p (R N ) ( < p ), akkor az f-hez tartozó reguláris disztribúció mérsékelt. Bizoyítás f/(+ id R N k ) akkor itegrálható, ha /(+ id R N k ) L q (R N ), ahol /p + /q =. Ez teljesül, ha qk N +, mert R N ( ) q R+ r N + id R N k = C ( + r k ) q dr < C ahol C jelöli az N dimeziós egységgömb felszíét. Ezzel L p (R N )-et is beágyaztuk S(R N ) -ba R+ r N dr, + rqk Láttuk, E(R N ) elemei potosa a kompakt tartójú disztribúciók, és a fetiekbe megismerkedtük éháy speciális típusú temperált disztribúcióval. Lehet általáos jellemzést adi a temperált disztribúciókra is; ezt most bizoyítás élkül közöljük. Állítás. T D(R N ) potosa akkor temperált, ha létezik egy C R + és egy k N úgy, hogy mide φ S(R N ) és mide k-ál em agyobb fokú p multipoliom eseté 3.4. Feladat (T φ) C sup( + id R N k ) p(d)φ. A lassa övekvő függvéyek (lásd később, a 5.9 potba), például a multipoliomok meghatározta reguláris disztribúciók mérsékeltek. Az x e x si e x valós függvéy em lassa övekvő, mégis mérsékelt disztribúciót határoz meg. (Útmutatás: e x si e x = d dx (cos ex ) miatt parciálisa itegrálhatuk.) 4. Disztribúciósorozatok 4.. A következőkbe bizoyítás élkül kimodjuk a Baach Steihaus-tétel disztribúciókra voatkozó általáosítását. 9

10 Állítás (Baach Steihaus-tétel). Legye T D(R N ) ( N) disztribúciósorozat. Ha mide φ D(R N )-re létezik a lim (T φ) határérték, akkor a T : D(R N ) K, φ lim (T φ) leképezés szité disztribúció, azaz T D(R N ). Máskét fogalmazva, disztribúciósorozat függvéyekéti" határértéke is disztribúció, azaz folytoos (triviálisa lieáris). Ezt a tételt jó tudi, azoba mi a következőkbe, ha csak lehet, em hivatkozuk rá, a kokrét esetekbe igyekszük külö-külö megmutati, hogy az adott disztribúciósorozatok potokéti határértéke disztribúció. Állítás (δ-koverges sorozatok). Legye ϱ: R N R + 0 Lebesgue-itegrálható függvéy, melyek itegrálja. Legye továbbá N és α R + eseté ϱ (x) := N ϱ(x), illetve ϱ α (x) := ( x ) α N ϱ. α Ekkor lim R ϱ = F δ, illetve lim α 0 R ϱα = F δ. Bizoyítás A két határérték léyegébe egyeértékű, mert az α := helyettesítéssel egymásba átvihetők. Ezért elegedő csupá az első esetet vizsgáli. Az R ϱ és a δ disztribúció hatásáak a külöbsége a φ alapfüggvéyre: (R ϱ φ) (δ φ) = ϱ φ dλ φ dδ = R N R R N ϱ(x)φ(x) dx φ(0). N N Az y := x itegrálási változót bevezetve dy = N dx, amiből az ϱ = feltételt kihaszálva kapjuk, hogy ( y ) [ ( ϱ(y)φ dy φ(0) y ] R R = ϱ(y) φ φ(0) dy ) N N ( y ϱ(y) φ φ(0) dy. R ) N Nyilvávaló, hogy az itegradus 0-hoz tart, mert φ(y/) határértéke φ(0). Tehát csak az a kérdés, hogy a limesz az itegrállal felcserélhető-e. φ-ről tudjuk, hogy kompakt tartójú és folytoos. Ie a Weierstrass-tételből adódik, hogy létezik korlátja, amit C-vel jelölük. Így ( y ϱ(y) φ φ(0) 2Cϱ(y). ) A jobb oldalo álló függvéy itegrálható majorása a feti itegrál itegradusáak, tehát a Lebesgue-tétel szerit a limesz és az itegrál felcserélhető, így a feti külöbség a ullához tart, ahoa éppe a bizoyítadó állítást kapjuk. Megjegyzés Íme éháy szokásos példa a Dirac-delta megközelítésére: (i) N = dimezióba ϱ := 2 χ [,]; ekkor ϱ (x) = 2 χ [ /,/]. (ii) N = dimezióba ϱ(x) := π + x 2 ; ekkor ϱ (x) = α + 2 x, ϱ 2 α (x) α 2 +x. 2 (iii) N = dimezióba ϱ(x) := e x2 2 ; ekkor ϱα (x) = 2π 2πα e x2 /2α. (iv) N > dimezióba ha ϱ az előző három közül valamelyik, akkor R N R, (x,..., x N ) ϱ(x )... ϱ(x N ) szité δ-koverges sorozat. 0

11 4.2. Legye f : R N K lokálisa itegrálható függvéy. Az f függvéysorozat kovergeciája és az R f reguláris disztribúciók sorozatáak a kovergeciája két külöböző fogalom. Vizsgáljuk meg a kétféle kovergecia közötti összefüggést a következő esetekbe, ahol adott a lokálisa itegrálható függvéyek f sorozata. (i) Az f sorozat majdem mideütt az f függvéyhez tart, és f is lokálisa itegrálható, valamit létezik egy g lokálisa itegrálható függvéy, amely majdem mideütt majorálja f -et. Ekkor a megfelelő reguláris disztribúciósorozat is koverges, és határértéke éppe az f függvéyhez tartozó reguláris disztribúció azaz lim R f = R lim f. Ugyais tetszőleges φ alapfüggvéy eseté lim (R f φ) = lim R N f φ. Ugyaakkor f φ g φ és lim f φ = fφ majdem mideütt. Így a Lebesgue-tétel szerit lim f φ = lim f φ = fφ. R N R N R N (ii) Létezik az f függvéysorozat majdem mideütti f határértéke, amely lokálisa itegrálható, továbbá a megfelelő disztribúciósorozat is koverges, ám a határértéke mégsem egyelő az f-hez tartózó reguláris disztribúcióval. Ilyeek például a δ-koverges sorozatok, ahol f = 0. (iii) Majdem mideütt létezik lim f =: f, f lokálisa itegrálható, vi- szot a disztribúciósorozat em koverges. Ilye például az f := 2 χ [, sorozat. ] (iv) Nem létezik a függvéysorozat majdem mideütti határértéke, de a disztribúciósorozat koverges. Legye ugyais f := exp i. Nyilvávaló, hogy em létezik lim f, de lim exp i φ dλ = 0, R mert az itegrálok éppe a φ függvéy Fourier-együtthatói egy (alkalmas m-re) Supp φ-t tartalmazó [ mπ, mπ] itervallumo égyzetese itegrálható függvéyek terébe lévő azoos ormájú ortogoális redszer szerit kifejtve. Ezek az együtthatók viszot égyzetese összegezhetők, következésképpe határértékük mideképpe 0. (v) Végezetül példát mutatuk arra, hogy az f := lim f határérték majdem mideütt létezik, de az em itegrálható lokálisa, és az R f disztri- búciósorozat mégis koverges. Legye f := itegrálható függvéyek, és lim f = id R id R χ [ /,/]. Ezek lokálisa majdem mideütt, amely viszot em itegrálható lokálisa. Megmutatjuk, hogy mide φ D(R) eseté létezik az (R f φ) sorozat határértéke. Rögzített φ eseté létezik L > 0 úgy, hogy

12 φ tartója bee va a [ L, L] itervallumba. Defiíció szerit (R f φ) = L φ(x) L x dx + φ(x) = L x dx = φ(x) φ(0) x L φ(x) φ(0) dx + dx. x Az x (φ(x) φ(0))/x (x 0) függvéy folytoos, a határértéke a ullába φ (0), ezért a függvéy korlátos, és így itegrálható is. χ φ φ(0) [, ] id R φ φ(0) id R miatt a Lebesgue-tétel szerit a limesz és az itegrál felcserélhető (tetszőleges φ eseté), tehát a disztribúciósorozat koverges. Bár a Baach Steihaus-tétel szerit a határérték is disztribúció, a 3.. potbeli ígéretükhöz híve ezt külö is belátjuk. A határérték P id R : D(R) K, φ R φ(x) φ(0) x Vegyük egy φ D(R)-beli függvéysorozatot, amely D(R) értelembe 0-hoz tart. Ekkor va olya L > 0, hogy Supp φ [ L, L] mide -re. A függvéysorozat valós és képzetes részére a bizoyítás ugyaolya, ezért feltehetjük, hogy φ valós értékű mide eseté. A Lagrage-féle középértéktétel szerit létezik olya -től és x-től függő ξ (x) szám a ]0, x[ yílt itervallumba, amelyre φ (x) φ (0) = φ (ξ (x))x. Ekkor dx. ( ) L φ (x) φ (0) L P φ = dx = φ id R L x (ξ (x)) dx. L A deriváltsorozat egyeletes kovergeciája miatt mide pozitív ε eseté va egy ε küszöbidex, melyél agyobb eseté φ (ξ (x)) < ε. Ezért ha > ε, akkor ( ) P φ id < 2Lε, R azaz beláttuk a folytoosságot. A P em reguláris disztribúciót az id R id R evezzük függvéy főérték-itegráljáak Legye r := id R N. Ha m < N pozitív egész, akkor r lokálisa itegrálható. m Ha m N, m = N +, ahol 0, akkor a főértékitegrál formulájáak általáosításakét depolarizálhatjuk" -et, vagyis defiiálhatuk vele egy r N+ disztribúciót természetes módo. Jelölje T (φ) a φ alapfüggvéyek a ulla körüli -ik Taylor-poliomját. Ekkor ( ) φ T (φ) r N+ = Ordo r N, 2

13 ezért itegrálható. Tehát ( P r N+ φ ) R N φ T (φ) r N+. Ha f : R N K mérhető függvéy és f = Ordo(r k ), azaz f = f 0 r k, akkor > k eseté ( ) f 0 (φ T k(φ)) P f φ r N+ r N+ k. R N 4.4. Feladatok. Mutassuk meg, hogy 2. Bebizoyítadó, hogy P id R = lim R id R. α 0 id 2 R +α2 lim R α +0 = P ± iπδ. id R ±iα id R k= 3. Igazoljuk, hogy a a k δ k sor tetszőleges a k együtthatók mellett koverges a D(R) térbe (δ k a k egész számra kocetrált Dirac-mérték). 4. Adjuk meg kokréta a P és a P disztribúciókat! id R id 2 R 5. id R lokálisa itegrálható az R \ {0} halmazo, tehát a D(R \ {0} reguláris eleme. Eek kiterjesztése P. Azoba em ez az egyetle lehetőség : id R + cδ is kiterjesztés (sőt akármely kiterjesztés ilye akármely c R eseté P id R alakú (lásd 5.8). Egy ilye kiterjesztést mellékérték-itegrálkét" kaphatuk meg a következőképpe. Legye a, b > 0 és f := id R χ [ a/,b/]. Mutassuk meg, hogy lim R f = P + (l a id R b )δ. 5. Operátorok 5.. Legye f C (R N ), p multipoliom, a R N és A: R N R N lieáris bijekció. Tekitsük a következő traszformációkat: (i) Az f-fel való szorzás: M f : E(R N ) E(R N ), φ fφ; (ii) A differeciálás: p(d): E(R N ) E(R N ), φ p(d)φ; (iii) Az a-val való balra tolás: L a : E(R N ) E(R N ), φ (x φ(x a)); (iv) Az A-val való kompoálás: K A : E(R N ) E(R N ), φ φ A. Egyszerű téy, hogy D(R N ) ivariás ezekre a traszformációkra, vagyis leszűkítésük D(R N )-re ismét D(R N )-be képez. Állítás. A feti traszformációk akár mit E(R N ) E(R N ), akár mit D(R N ) D(R N ) leképezések lieárisak és folytoosak. Bizoyítás A leképezések liearitása yilvávaló. A folytoosságot csak a fotosabb D(R N ) D(R N ) esetbe bizoyítjuk. Ehhez tekitsük egy D értelembe 0-hoz tartó φ sorozatot, K pedig legye olya kompakt halmaz, amely tartalmazza midegyik függvéy tartóját. 3

14 (i) Elegedő fφ k-adik parciális differeciálháyadosát vizsgáli. k (fφ ) = ( k f)φ + f( k φ ). f végteleszer differeciálható, ezért f és k f korlátos K-. Tudjuk továbbá, hogy a φ és a k φ függvéysorozatok egyeletese tartaak a 0-hoz. Ezért a feti parciális derivált is egyeletese tart a 0-hoz. (ii) Ha q multipoliom, akkor q(d) [p(d)φ ] = (qp)(d)φ, amiről viszot tudjuk, hogy egyeletese koverges. (iii) Az összetett függvéy differeciálási szabályából k (L a φ ) = L a ( k φ ) adódik, ahoa triviális az egyeletes kovergecia. (iv) Hasolóképpe kapjuk, hogy k (φ A ) = Dφ A (A e k ), ahol e k a k-adik stadard bázisvektor. k φ egyeletes kovergeciája miatt késze is vagyuk. Megjegyzés Az a L a leképzés az R N additív csoport lieáris ábrázolása D(R N )-e, azaz L a folytoos lieáris leképezés, és L a+b = L a + L b. Az A K A leképezés pedig az R N R N lieáris bijekciók csoportjáak lieáris ábrázolása D(R N )-e, azaz K A folytoos lieáris leképezés, és K AB = K A K B. A fizikába így ábrázolódak a téridőeltolások és a Galilei- vagy Loretztraszformációk. Defiíció. Az F : D(R N ) D(R N ) folytoos lieáris leképzés traszpoáltja: F : D(R N ) D(R N ), T T F. A defiíció jó, mert T F is folytoos F folytoossága miatt. Keressük meg a fet defiiált égy speciális operátor traszpoáltját! Legye φ és ψ alapfüggvéy, és azt vizsgáljuk, hogya hat φ-re a traszpoált az R ψ helye ( M f R ψ φ ) = (R ψ M f φ) = ψfφ = (R fψ φ) = ( R Mf ψ φ ). R N Emlékezzük, hogy a lokálisa itegrálható függvéyeket (és így az alapfüggvéyeket is) beágyaztuk a disztribúciók halmazába. M f traszpoáltja ezeke az (azoosított) alapfüggvéyeke úgy hat, mit maga M f : Mf ψ = M f ψ, ahol az első esetbe a ψ-hez redelt disztribúcióra hat Mf, a második esetbe pedig egy alapfüggvéyre hat M f. Eek alapjá kiterjesztjük a szorzásoperátort tetszőleges disztribúcióra is a következőképp: Defiíció. Legye az f végteleszer differeciálható operátora a disztribúcióko: függvéyel való szorzás M f : D(R N ) D(R N ), M f := Mf. Ekkor tehát (M f T φ) = (T M f φ) mide T disztribúcióra és φ alapfüggvéyre. 4

15 5.3. ( kr ( ψ φ) = (R ψ k φ) = ψ k φ = k (ψφ) ( k ψ)φ ) = (R k ψ φ), R N R N ugyais az első egyelőség jobb oldalá az első tag Fubii tétele értelmébe úgy is számítható, hogy először a k-adik változó szerit itegráluk, aztá a többi szerit; ez az itegrál ulla a Newto Leibitz-szabály miatt, hisze a függvéyek eltűek a végtelebe. Az előzőhöz hasolóa most is kiterjeszthetjük a differeciálást tetszőleges disztribúcióra: Defiíció. Ekkor tehát k : D(R N ) D(R N ), k := k. ( k T φ) = (T k φ) mide T disztribúcióra és φ alapfüggvéyre. Fotos, hogy a parciális itegrálás miatt megjelet egy míusz előjel. Hasolóa a páratla redű differeciálásál is, ellebe a páros redűél em. Tetszőleges p multipoliom eseté (p(d)t φ) = (T p( D)φ) (L ar ψ φ) = (R ψ L a φ) = ψ(x)φ(x a) dx = ψ(z + a)φ(z) dz = R N R N = ( R L a ψ φ ). Itt a z := x a helyettesítéssel éltük. Ezek alapjá a következő a defiíció: Defiíció. azaz L a : D(R N ) D(R N ), (L a T φ) = (T L a φ) mide T disztribúcióra és φ alapfüggvéyre L a := L a, (KAR ψ φ) = (R ψ K A φ) = ψ(x)φ(a x) dx = R N ( = ψ(az)φ(z) det A dz = R N R det A KA ψ ) φ, a z := A x helyettesítést kihaszálva. Most úgy szereték defiiáli a disztribúcióko K A -t, hogy azt modhassuk, hogy KA R ψ = R KA ψ, vagy rövide KA ψ = K Aψ, ahol ideigleese KA jelöli a defiiáladó operátort. Tudjuk, hogy K Aψ = det A K A ψ K A ψ = det A K A ψ det A K A ψ = K Aψ. Ezek alapjá a következő defiíció lesz a megfelelő. 5

16 Defiíció. azaz K A : D(R N ) D(R N ), K A := det A K A, (K A T φ) = det A (T K A φ) mide T disztribúcióra és φ alapfüggvéyre Lássuk éháy példát! (i) N = eseté a H := χ R + függvéyt Heaviside-függvéyek szokás hívi. Ha vessző jelöli a differeciálást, akkor R H = δ. Valóba, (R H φ) = (R H φ ) = 0 φ = φ(0). (ii) ( k δ φ) = ( k φ)(0). (iii) Legye G olya yílt halmaz, melyek S := G \ G pereme N dimeziós részsokaság. Ekkor k R χg = k λ S, ahol az S felület kifelé" iráyított ormálvektorfüggvéye, λ S pedig a felületi Lebesgue-mérték. Valóba, a Gauss-tétel alkalmazásával ( k R χg φ) = (R χg k φ) = k φ = k φ dλ S. G S 5.7. (iv) M f δ = f(0)δ, L a δ = δ a, K A δ = det A δ. Állítás. Ha f lokálisa itegrálható és majdem mideütt differeciálható, továbbá k f is lokálisa itegrálható, akkor k R f = R k f. Bizoyítás Legye U olya yílt halmaz, amely tartalmazza φ tartóját. Parciális itegrálással azt kapjuk, hogy ( k R f φ) = (R f k φ) = f k φ = f k φ = k fφ = R N U U k fφ = R N = (R k f φ) Világos, hogy bármely T disztribúció és p 0 multipoliom eseté Supp T = Supp p(d)t. Speciálisa, Supp (p(d)δ a ) = {a}. Ez utóbbiak a fordítottja is igaz, amit bizoyítás élkül közlük. Állítás. Legye T D(R N ) és Supp T = {a}. Ekkor létezik olya p multipoliom, hogy T = p(d)δ a. A tétel tehát azt állítja, hogy ha egy disztribúció tartója egyetle pot, akkor a disztribúció előállítható úgy, mit az adott potra kocetrált Dirac-delta külöböző redű deriváltjaiak lieáris kombiációja. 6

17 5.9. A fejezet elejé bevezetett p(d), L a és K A traszformációkra S(R N ) is ivariás, M f -re azoba em mide végteleszer differeciálható f eseté; akkor ige, ha például f multipoliom. Eél többet is modhatuk. Defiíció. Jelölje Θ(R N ) azo f végteleszer differeciálható függvéyek halmazát, melyekre tetszőleges p multipoliom eseté létezik c p pozitív szám és m p természetes szám, hogy p(d)f c p ( + id R N m p ). Ezeket a függvéyeket lassa övekvő függvéyekek hívjuk. Nyilvá S(R N ) Θ(R N ). Állítás. Ha f Θ(R N ), akkor az f-fel való szorzásra S(R N ) ivariás. Bizoyítás Ha φ S(R N ), akkor fφ yilvá végteleszer differeciálható. Azt kell még megézük, hogy p és q multipoliomok eseté pq(d)(f φ) korlátos-e. q(d) helyett elegedő i -t vei. Ekkor p i (fφ) p( i f)φ + pf i φ. Mivel i f és f poliommal felülbecsülhető, és φ gyorsa csökkeő, a jobb oldalo midkét tag korlátos. Tehát fφ S(R N ). Megjegyzés Eredméyük következméye, hogy a lassa övekvő függvéyekhez tartozó reguláris disztribúciók mérsékeltek. Így Θ(R N ) S(R N ) írható Feladatok. M f, p(d), L a és K A mit D(R N ) D(R N ) leképzések folytoos lieárisak. 2. Bizoyítsuk be: (i) kompakt tartójú disztribúció bármely deriváltja is kompakt tartójú, (ii) temperált disztribúció bármely deriváltja is temperált disztribúció. 3. Vizsgáljuk meg, hogya hat M f, k, L a és K A a b-re kocetrált Diracdisztribúcióra! 4. Bizoyítsuk be a disztribúciókra voatkozó Leibiz-szabályt: T D(R N ) és f folytoosa differeciálható függvéy eseté j (M f T ) = M jf T + M f j T. 5. Mutassuk meg, hogy (a vessző a differeciálást jelöli) (i) ( ) M idr P = R id, R (ii) ( ) R χ[a,b] = δa δ b, (iii) ( ) R l = P. P id R = P id 2 R 6. Jelölje a disztribúcióko lévő tükrözést J := K idr. Ekkor mide T disztribúció és φ alapfüggvéy eseté (JT φ) = (T Jφ). Lássuk be, hogy (i) k J = J k, (ii) k L a = L a k. 7. Mutassuk meg, hogy (D) lim a 0 L a φ = φ mide φ D(R N ) eseté. id R, (iv) 7

18 6. Disztribúciók evezetes differeciáloperátorai 6.. A φ alapfüggvéy k-ik parciális deriváltja, a defiíció szerit így is írható: ( k φ)(x) = lim h 0 (L hk φ)(x) φ(x) h (x R N ), ahol h k := he k, az R N e k stadard bázisvektoráak h-szorosa. A feti határérték R N -be potokét érvéyes. Most megmutatjuk, hogy D-értelembe is hasoló határérték írható a parciális deriváltakra. Állítás. Legye φ alapfüggvéy és h k mit az előbb. Ekkor L hk φ φ k φ = (D) lim. h 0 h Bizoyítás Azt kell tehát beláti, hogy ( L hk φ φ (D) lim h 0 h ) k φ = 0. Elegedő olya h-kat tekitei, melyre h < teljesül. Ekkor a feti limesz alatt szereplő függvéy tartója biztosa bee va a B (0) + Supp φ halmazba, ahol B (0) jelöli az egység sugarú zárt gömböt a 0 körül. Vizsgáljuk előbb a valós esetet. A Lagrage-féle középértéktétel szerit létezik egy θ h (0, ) szám, melyre L hk φ φ h k φ = k φ(x + θ h h k ) k φ(x). Heie tétele értelmébe a kompakt halmazo folytoos k φ függvéy egyeletese folytoos, azaz mide ε > 0 eseté létezik δ ε > 0 úgy, hogy ha h < δ ε, akkor mide x potba k φ(x+θ h h k ) k φ(x) < ε. Ebből pedig már látszik a kívát egyeletes kovergecia. Hasolóa belátható ez a deriváltakra is, mert i ( L hk φ φ h ) k φ = L h k i φ i φ h i k φ, emiatt a bizoyítás ugyaúgy megy, mit előbb, csak φ helyett i φ-vel. Szétválasztva a valós és a képzetes részt a komplex eset visszavezethető az előzőre. Állítás. Legye T disztribúció, h k mit előbb. Ekkor L hk T T k T = lim. h 0 h Bizoyítás Tetszőleges φ alapfüggvéyre ( ) L hk T T h φ = [ (L hk T φ) (T φ) ] = h ( T ) L hk φ φ. h A 6. állítás szerit h 0 eseté a T melletti függvéy k φ-hez fog tartai D értelembe. Kihaszálva T folytoosságát a feti kifejezés határértéke (T k φ) = ( k T φ). 8

19 6.2. Laplace-operátor Legye Ekkor Z(x) := 4π x (x R 3, x 0). k Z(x) = x k 4π x 3, quad i k Z(x) = ( δik 4π x 3 3x ) ix k x 5. () Ez utóbbiból Z := k k Z = 0; itt és a következőkbe az Eistei-féle összegzési szabályt alkalmazzuk: az azoos idexekre összegezi kell -től háromig. Állítás. Z lokálisa itegrálható, és R Z = δ. Bizoyítás Gömbi koordiátázással itegrálva köye belátható, hogy Z lokálisa itegrálható, azaz értelmes R Z. Tetszőleges φ alapfüggvéy eseté a Laplace-operátor előjelváltás élkül átvihető φ-re, mert a Laplace-operátor második deriváltakból áll. ( R Z φ) = (R Z φ) = Z φ = lim Z φ. R N α +0 R N \G α(0) Z = 0 miatt Z k k φ = k (Z k φ) k (φ k Z) Az így kapott divergeciákat a Gauss-tétel segítségével átalakíthatjuk felületi itegrálokká. Jelölje S α (0) a befelé iráyított gömbfelületet, λ Sα (0) pedig a rajta levő vektori Lebesgue-mértéket. Ekkor a következőképpe folytathatjuk: lim [div(zgradφ) div(φgradz)] dλ = α +0 G α(0) [ = lim α +0 Z gradφ, dλ Sα (0) S α(0) S α(0) φ gradz, dλ Sα (0) ]. Az első itegrál 0-hoz tart, mert felülről becsülhető (/4πα) gradφ 4πα 2 -tel. A második itegrál φ(0)-hoz tart, mert S α(0) φ gradz, dλ Sα (0) + φ(0) = = S α (0) ( φ ) gradz, Sα (0) + 4πα 2 φ(0) dλ Sα (0) ahol Sα(0) a felület befelé iráyított ormálvektora (vektormezeje), λ Sα(0) pedig a gömbfelület skalármértéke. Kihaszálva, hogy gradz, Sα (0) = /4πα 2, így folytathatjuk: ( ) = φ φ(0) dλsα(0) 4πα 2 πα 2 max ( ) φ φ(0) 4πα 2. S α (0) S α(0) Ez φ folytoossága miatt 0-hoz tart. Ezzel beláttuk, hogy ( R Z φ) = φ(0)., 9

20 6.3. Diffúzióoperátor Legye C : R R N R, (t, x) H(t) (4πt) 2 e x /4t, N/2 ahol H a Heaviside-féle függvéy. Egyszerű differeciálással adódik, hogy ( 0 )C = 0 (a {0} R N kivételével, ami ics be a C értelmezési tartomáyába), ahol 0 a ulladik" vagyis a R-beli (fet t-vel jelölt) változó szeriti differeciálást jeleti. Állítás. C lokális itegrálható, és ( 0 )R C = δ, Bizoyítás Köyű láti, hogy C amely majdem mideütt értelmezve va lokálisa itegrálható. Ugyais tetszőleges K Dom C kompakt halmaz eseté létezik olya t, amelyre K [ t, t] R N. Mit ismeretes, rögzített t > 0 eseté C az x változója szerit Gauss-görbe, ezért itegrálható, és az itegrál értéke ; t 0 eseté a függvéy 0. Ez a függvéy pedig itegrálható [ t, t]-. A Fubii-tételből adódóa C itegrálható [ t, t] R N -e, ezért lokálisa itegrálható. Legye most φ D(R +N ). Ekkor (( 0 )R C φ) = (R C ( 0 + )φ) = lim C( 0 + )φ. α +0 [α, [ R N Haszáljuk ki most is, hogy C 0 φ = 0 (Cφ) ( 0 C)φ, valamit C φ = ( C)φ + div(cgradφ) div(φgradc). Az utolsó két tag hely szeriti itegrálja 0. Vegyük ugyais egy r sugarú gömböt R N -be. A Gauss-tétel miatt a gömbre vett itegrál átalakítható a Cgradφ-ek, ill. φgradc-ek a gömbfelszíre vett itegráljává. Mivel φ és gradφ kompakt tartójú, az r határesetbe az itegrál 0. A feti formulát tehát így folytathatjuk: ( = lim 0 (Cφ) + φ( 0 )C ) = α +0 [α, [ R N = lim α +0 R N (Cφ) t= t=α = lim α +0 R N C(α, x)φ(α, x) dx. Itt kihaszáltuk, hogy ( 0 )C = 0, majd az idő szerit itegráltuk, végül (Cφ)( ) = 0, mivel φ kompakt tartójú. Azt kell már csak megmutatuk, hogy ez a határérték éppe φ(0, 0). Becsüljük meg a külöbségüket: C(α, x)φ(α, x) dx φ(0, 0) = C(α, x) (φ(α, x) φ(0, 0)) dx = R N R N C(α, x) (φ(α, x) φ(0, x)) dx + C(α, x) (φ(0, x) φ(0, 0)) dx. R N R N Az első tag felülről így becsülhető: C(α, x) (φ(α, x) φ(0, x)) dx max φ(α, x) φ(0, x) C(α, x) dx. R N x R N R N Mit ismeretes, az itegrál mide α eseté. A kompakt halmazo folytoos φ függvéy Heie tétele szerit egyeletese folytoos, ezért ez a maximum 0-hoz tart. 20

21 A második tag: R N C(α, x) (φ(0, x) φ(0, 0)) dx = ( R C(α, ) φ(0, ) ) φ(0, 0). Mivel R C(α, ) éppe egy δ-koverges sorozat, a határérték 0 lesz. Ezzel bebizoyítottuk az állítást. Megjegyzés A fizikába a diffúzióoperátor 0 k alakú, ahol k a diffúziós kostas. Ha t idő" helyett bevezetjük a kt változót, akkor kapjuk az ittei formát Hullámoperátor ( ) Legye g : R (+3) R (+3) R, (t, x), (s, y) ts+xy a stadard Loretzforma az aritmetikai speciális relativisztikus téridőmodellbe. Legye továbbá K ± : D ( R (+3)) φ(± x, x) K, φ dx. R 4π x 3 (K + -t avazsált, K -t pedig retardált magak szokás evezi.) Mivel id R 3 lokálisa itegrálható, az itegrál értelmes mide φ alapfüggvéyre. Az is egyszerű, hogy a feti formula disztribúciót határoz meg: yilvávalóa lieáris, és ha φ D értelembe 0-hoz tartó sorozat, H pedig olya kompakt halmaz, amely tartalmazza mide φ tartóját, akkor (K ± φ ) = φ (± x, x) dx R 4π x φ 4π 3 H dx x, és a jobb oldal ullához tart, miközbe tart a végtelehez. Nyilvávaló, hogy K + tartója az L + := {x g(x, x) = 0, x 0 > 0} jövőszerű féykúp, K -é pedig az L := {x g(x, x) = 0, x 0 < 0} múltszerű féykúp. Megmutatható, hogy ezek a disztribúciók a féykúpok felületi mértéke szeriti itegrálások. Ezek a felületi mértékek azoba em a szokásos sokaságmértékek. Egy részsokaság felületi mértékét ebbe a pszeudo-euklideszi vektortérbe a részsokaság egy p paraméterezésével és a paramétertér λ Lebesgue-mértékével ( det((dp) Dp) λ) p formába defiiáltuk feltéve, hogy a részsokaság mide v éritővektoráak pszeudohossza ( v := g(v, v) ) em ulla. Ez azoba itt em teljesül, emiatt a féykúpokra az azoosa ulla mértéket kapák. A féykúpok felületi mértékét az α > 0 esetre defiiált V + α := { x g(x, x) = α 2 x 0 > 0 }, V α := { x g(x, x) = α 2 x 0 < 0 } időszerű hiperboloidok szokásos λ V ± α felületi mértékvel az α 0 határértékkel a következőképpe: mide E R 4 korlátos, yí lt Borel-halmazra értelmes λ λ L ±(E) := lim V ± (E V α α ± ). α 0 α 2

22 Az így meghatározott mérték tartója L ±, tehát léyegébe L ± -e adott mérték lesz. A következő állítást majd csak később, a Fourier-traszformáció segítségével fogjuk beláti. Állítás. K ± = δ, ahol := 2 0 a d Alambert-operátor. Megjegyzés A fizikába a hullámoperátor 2 0 c 2 alakú, ahol c a féysebesség. Ha a t idő" helyett bevezetjük a ct változót, akkor kapjuk az ittei formát Feladatok. Mutassuk meg, hogy L a R Z = δ a (a R 3 ). 2. k R Z = R k Z, és k Z = pr k 4π r, ahol r := id 3 R Legye m > 0, r := id R 3, valamit E (m) ± := (/4π)e ±mr /r az ú. Yukawa-féle poteciál. Bizoyítsuk be, hogy ez megoldása az ú. Helmholtzegyeletek, azaz ( m 2 )E (m) ± = 0 és ( m 2 )R (m) E = δ. ± 4. Bizoyítsuk be, hogy ha jelöli egy-, két- és N dimeziós Laplace-operátort is, akkor idr = 2δ, R l idr 2 = 2πδ 2, := 2πN/2 id N 2 R N R = (N 2)σ N δ N, ahol σ N Γ ( ) az R N -beli egységgömb felszíe, és a δ-ko az idex azt 2 mutatja, mely dimezióról va szó. 5. Igazoljuk, hogy az E (t, x) := E 2 (t, x) := H(t x ) 2 lokálisa itegrálható függvéyek, és ((t, x) R R), H(t x ) 2π ((t, x) R R 2 ) t 2 x 2 R E = δ 2, R E2 = δ Disztribúciók tezorszorzata 7.. Állítás. Legye Φ D(R N R M ) függvéysorozat, amely a szorzattérbe D értelembe 0-hoz tart, x R N tetszőleges sorozat ( N). Ekkor D(R M )-be (D) lim Φ (x, ) = 0. 22

23 Bizoyítás A Φ sorozat D-kovergeciája miatt létezik K N R N és K M R M kompakt halmaz úgy, hogy K N K M tartalmazza a Φ tartóját mide N eseté. Egyszerű téy, hogy Supp Φ (x, ) K M mide -re. A Φ sorozat egyeletes kovergeciájából pedig yilvávalóa következik Φ (x, ) egyeletes kovergeciája, és hasoló áll fe a deriváltakra is, hisze Φ (x, ) parciális deriváltjai a Φ parciális deriváltjaiból adódak. Következméy. Tetszőleges x R N eseté az l x : D(R N R M ) D(R M ), Φ Φ(x, ) leképezés folytoos, hisze lieáris és a 0-ba folytoos Legye f : R N K és g : R M K lokálisa itegrálható függvéy. Ekkor az f g : R N R M K, (x, y) f(x) g(y) tezorszorzat szité lokálisa itegrálható, hisze a Fubii-tétel szerit mide téglá itegrálható. Értelmes tehát R f R g := R f g D(R N R M ), melyek hatása egy Φ D(R N R M ) függvéye: (R f R g Φ) = f(x)g(y)φ(x, y) dx dy = R N R M = f(x) g(y)φ(x, y) dy dx, R N R M ahol a Fubii-tételt haszáltuk fel. Ezek alapjá köye érthetjük a következő defiíciót. Defiíció. Legye T D(R N ) és S D(R M ). T és S tezorszorzatá a következő disztribúciót értjük: T S : D(R N R M ) K, (T S Φ) := (T x (S Φ(x, ))). Állítás. A defiíció jó, azaz téyleg disztribúciót határoztuk meg. Bizoyítás A következőket kell belátuk: (i) Φ(x, ) kompakt tartójú és végteleszer differeciálható, ezért (S Φ(x, )) értelmes; (ii) az x (S Φ(x, )) hozzáredelés is kompakt tartójú és végteleszer differeciálható ; (iii) T S lieáris és folytoos. Az (i) megállapítás yilvávaló. A (ii) kifejezés yilvá kompakt tartójú, mert tartóját tartalmazza pr [Supp Φ]. Tekitsük a k-adik deriváltat! (S Φ(x + h k, )) (S Φ(x, )) (S Φ(x, )) = lim = x k h 0 h ( ) ( ) = lim S (L hk Φ)(x, ) Φ(x, ) h 0 = S h (D) lim l L hk Φ Φ x = h 0 h ( ) = S l L hk Φ Φ x(d) lim = (S l x k Φ) = (S ( k Φ)(x, )), h 0 h 23

24 ahol kihaszáltuk először S, majd l x folytoosságát. Ebből már következik, hogy x (S Φ(x, )) függvéy végteleszer differeciálható, és magától értetődő jelöléssel ( ) p (S Φ(x, )) = (S (p(d )Φ)(x, )). x Már csak a (iii) maradt hátra. Liearitása magától értetődik. Folytoosságáak vizsgálatához tekitsük egy D értelembe 0-hoz tartó Φ sorozatot R N R M -e. T folytoossága miatt elegedő beláti, hogy a φ := (x (S Φ (x, ))) sorozat D(R N )-be 0-hoz tart. Φ D-kovergeciája miatt létezik olya K kompakt halmaz, hogy Supp φ pr [Supp Φ ] K. Mivel (p(d)φ )(x) = (S (p(d )Φ )(x, )), és p(d )Φ is egyeletese tart a ullához, elég belátuk, hogy φ bármely deriváltjára ugyaúgy érvelhetük. Tegyük fel, hogy φ em tart egyeletese a ullához. Ekkor létezik ε > 0 és x R N N sorozat úgy, hogy φ (x ) ε. (2) A 7. állítás szerit (D) lim Φ (x, ) = 0, ezért lim φ (x ) = 0 ami elletmod a (2) egyelőtleségek Ha φ D(R N ) és ψ D(R M ), akkor φ ψ : (x, y) φ(x)ψ(y) függvéy a D(R N R M ) eleme, és (T S φ ψ) = (T φ) (S ψ). (3) Meg lehet mutati, hogy a φ ψ alakú függvéyek lieáris kombiációi, vagyis D(R N ) D(R N ) sűrű lieáris alteret alkotak D(R N R M )-be. Ezt tudvá elég vola a (3) összefüggéssel defiiáli a disztribúciók tezorszorzatát, hisze köye látható, hogy a formula lieáris kiterjesztése folytoos lieáris leképezést határoz meg egy sűrű lieáris altére, ahoa egyértelműe kiterjeszthető az egész térre. Ebből az is látszik, hogy T és S tezorszorzatára T S : D(R N R M ) K, (T S Φ) := (S y (T Φ(, y))) is fe-áll Legye J : R N R N R N R N, (x, y) (y, x); emlékeztetük a K J operátorra (lásd 5.5). Állítás. Ha T, S D(R N ), akkor T S = K J (S T ), azaz a tezorszorzás ilye értelembe kommutatív. Bizoyítás Köyű láti, hogy φ ψ alakú függvéyeke a két disztribúció azoos értékeket vesz fel; a folytoos lieáris leképezésekek a D(R N ) D(R N )) sűrű altérről az egyértelmű kiterjesztése is megegyezik. Állítás. Supp (T S) Supp T Supp S. 24

25 Bizoyítás Legye (x, y) (Supp T Supp S). Mivel a tartó zárt, létezik (x, y) körül egy G(x) G(y) yílt tégla a komplemeterbe. Ekkor G(x) Supp T ) (G(y) Supp S) =, ami csak úgy lehet, ha G(x) Supp T ) = vagy G(y) Supp S =. Ezért ha Supp φ G(x) és Supp ψ G(y), akkor (T S φ ψ) = 0, így a 7.3. megjegyzés szerit T S a G(x) G(y) halmazo 0, azaz (x, y) / Supp (T S) Feladatok. Legye H a Heaviside-féle függvéy. Ekkor az N-dimeziós Dirac-delta δ (N) =... N (H... H). 2. Bizoyítsuk be: legye f, g C (R N ), p: R N K multipoliom, D az első N változó szeriti differeciálás R N R M -be, a R N, T D(R N ), S D(R M ). Ekkor (i) M f g (T S) = (M f T ) (M g S); (ii) p(d )(T S) = (p(d)t ) S; (iii) L (a,0) (T S) = (L a T ) S. 3. Bizoyítsuk be, hogy a a D(R N ) D(R M ) D(R N R M ), (T, S) T S tezorszorzás bilieáris és változókét folytoos leképzés. 4. Mutassuk meg, hogy mérsékelt disztribúciók tezorszorzata is mérsékelt. 8. Disztribúciók kovolúciója 8.. Defiíció. Az f, g : R N K itegrálható függvéyek kovolúciója: f g : R N R N, (f g)(x) := f(x y)g(y) dy. (4) R N Állítás. Az f g függvéy jól defiiált, itegrálható, továbbá f g = g f. Bizoyítás Az (x, y) f(y)g(x y) függvéy itegrálható a Fubii-tétel szerit, mert az egyik sorredbe abszolút itegrálható, hisze az y f(x y) g(y) dx = f g(y) R N függvéy itegrálható, továbbá a 4 egyelőségbe szereplő itegrált a z := x y helyettesítéssel R N f(z)g(x z) dz = (g f)(x) alakra hozhatjuk Hasolóa beláthatjuk, hogy ha f lokálisa itegrálható és g itregrálható, kompakt tartójú (azaz g egy kompakt halmazo kívül majdem mideütt ulla), akkor szité értelmes f és g kovolúciója és ez lokálisa itegrálható. 25

26 Ha φ D(R N ), akkor (R f g φ) = R N ( ) f(y)g(x y) dy φ(x) dx = R N = f(y)g(z)φ(y + z) dy dz, R N R N ahol a Fubii-tétel alkalmazása utá a z := x y helyettesítéssel éltük. Vezessük be az összeadást: Ezzel a feti kifejezés így írható: A: R N R N R N, (y, z) y + z. (R f g φ) = (R f g φ A). Ezek alapjá kimodhatjuk a következő defiíciót: Defiíció. A T és S disztribúciók kovolválhatók (értelmes a kovolúciójuk), ha mide φ alapfüggvéy eseté értelmes (T S φ) := (T S φ A). Megjegyzés Supp (φ A) = A (Supp φ), ugyais (x, y) A (Supp φ) akkor és csak akkor, ha A(x, y) = x + y Supp φ, és (x, y) Supp (φ A) potosa akkor, ha mide N eseté va olya (x, y ), hogy x x, y y, és 0 φ(a(x, y )) = φ(x +y ), ami egyeértékű azal, hogy x+y Supp φ. Egyszerű téy, hogy A (Supp φ) = (Supp φ {0}) + { (x, y) x + y = 0 } egy ferde sáv, ezért ha φ 0 φ A em kompakt tartójú, a feti defiíció értelmességéről csak a 2.2 és a 2.4 defiícióba meghatározott kiterjesztések figyelembevételével beszélhetük. Állítás. Ha T és S kovolválható, akkor a T S : D(R N ) K, φ (T S φ) fukcioál disztribúció. Bizoyítás Tekitsük a ξ D(R 2N ) valós értékű alapfüggvéyek E értelembe -hez tartó sorozatát, és legye K : D(R N ) K, φ (T S ξ (φ A)). K valóba értelmes mide φ-re, mert M ξ (T S) kompakt tartójú, φ-be pedig yilvá lieáris. A folytoosságáak belátásához vegyük egy D értelembe 0-hoz tartó φ m D(R N ) sorozatot. Ekkor mide -re ξ (φ m A) a D(R 2N ) térbe tart 0-hoz, ezért lim m (K φ m ) = 0 lévé T S folytoos. Tehát K disztribúció (mide -re). A K disztribúciósorozat potokét koverges (azaz mide φ D(R N )-re (K φ) koverges), így a Baach Steihaus-tétel szerit (4. állítás) a potokét értelmezett határérték is disztribúció. Ez pedig éppe a T S kovolúció. Állítás. A kovolúció kommutatív. Bizoyítás Legye T és S disztribúció. Ekkor (T S φ) = (T S φ A) = (K J (S T ) φ A) = = (S T φ A J) = (S T φ A) = (S T φ). 26

27 8.3. T és S biztosa kovolválható, ha mide alapfüggvéy eseté Supp (T S) Supp (φ A) kompakt, ami teljesül, ha mide K kompakt halmazra Supp (T S) A (K) kompakt. Mivel Supp (T S) Supp T Supp S, a kovolúció létezéséek elégséges feltétele, hogy (Supp T Supp S) A (K) kompakt tetszőleges K kompakt halmazra. Állítás. Adott K kompakt halmaz eseté (Supp T Supp S) A (K) potosa akkor kompakt, ha Supp S (K Supp T ) és Supp T (K Supp S) kompakt. Bizoyítás A feti halmazok yilvá zártak, ezért csak a korlátosságot kell vizsgáli. Legye B := (Supp T Supp S) A (K). Mivel köyű láti, hogy B = { (x, y) x Supp T, y Supp S, x + y K }, Supp T (K Supp S) = { x Supp T létezik y Supp S : x y + K } = és hasolóa a másik esetbe a második projekcióval. ekvivalecia. = pr [B], Ebből már látszik az Következméy. A kovolúció létezéséek elégséges feltétele, hogy T és S közül egyik kompakt tartójú legye. Állítás. Supp (T S) Supp T + Supp S. Bizoyítás Legye φ olya alapfüggvéy, amelyek tartója a jobb oldal komplemeterébe va. Azt kell beláti, hogy ekkor (T S φ) = 0. Ez defiíció szerit (T S φ A), ami ulla, hisze Supp (T S) Supp (φ A) (Supp T Supp S) A (Supp φ) 8.4. A (A[Supp T Supp S] Supp φ) = A ((Supp T + Supp S) Supp φ) = = A ( ) =. Állítás. Ha a T és S disztribúciók kovolúciója létezik, akkor mide p multipoliom eseté létezik ( p(d)t ) S és T ( p(d)s ), továbbá p(d)(t S) = ( p(d)t ) S = T ( p(d)s ). Bizoyítás Elég beláti a modottakat a parciális deriváltakra. A derváltak kovolúciója yilvá értelmes, mert Supp (( k T ) S) = Supp (D,k (T S)) Supp (T S). 27

28 Legye φ alapfüggvéy. Ekkor ( k (T S) φ) = (T S k φ) = (T S k φ A). Mivel k φ A = D,k (φ A) = D 2,k (φ A), így folytathatjuk (D,k (T S) φ A) = (( k T ) S φ A) = (( k T ) S φ), illetve hasolóa a másik deriváltra is. Állítás. Ha a T és S disztribúciók kovolúciója létezik és a R N, akkor létezik (L a T ) S és T (L a S), és L a (T S) = (L a T ) S = T (L a S). Bizoyítás A kovolúciók létezése yilvávaló. Továbbá mide φ alapfüggvéyre ((L a T ) S φ) = ((L a T ) S φ A) = ( L (a,0) (T S) φ A ) = = ( T S L ( a,0) (φ A) ) = (T S (L a φ) A) = A másik egyelőség is hasolóa belátható = (T S L a φ) = (L a (T S) φ). A kovolúcióak, mit szorzásak az egységeleme a Dirac-delta: δ T = T. Valóba, lévé kompakt tartójú, a Dirac-delta kovolválható mide disztribúcióval, és (δ T φ) = (δ T φ A) = (T x (δ φ(x + ))) = (T φ). Ezt felhaszálva megmutathatjuk, hogy a kovolúció em asszociatív: N = eseté, ha H a Heaviside-függvéy, akkor (δ H) = (δ H ) = (δ δ) =, viszot ( δ ) H = ( δ) H = Fejezetük elejé a függvéyek kovolúciójáak formulája általáosítható függvéy és mérték kovlúciójára. Legye f Borel-mérhető függvéy és m Rado-mérték. Ha mide x R N eseté az y f(x y) itegrálható m szerit, akkor értelmezzük az (f m)(x) := R N f(x y)dm(y) (x R N ) függvéyt. Állítás. Ha f lokálisa itegrálható, és f m is lokálisa itegrálható, akkor R f m = R f F m. 28