1 k < n(1 + log n) C 1n log n, d n. (1 1 r k + 1 ) = 1. = 0 és lim. lim n. f(n) < C 3

Átírás

1 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Számelméleti függvéyek Számelméleti függvéyek értékeire voatkozó becslések A τ() = d, σ() = d d és φ() (Euler-függvéy) evezetes számelméleti függvéyek értékeit vizsgálva láthatjuk, hogy a felvett értékek agyo szabálytalaul változak. A τ függvéy eseté például τ(p) = 2 mide p prímre és τ mide a egész értéket felvesz, mégpedig végtele sokszor, mert τ(p a ) = a mide p prímre. Ugyaakkor yilvá 2 τ(), eél jobb a következő becslés:. Feladat. Igazoljuk, hogy 2 τ() 2 mide 2-re. Kérdés, hogy τ() függvéy -től függőe milye agy értékeket vehet fel? A σ és φ függvéyekre σ() +, φ() mide 2-re és az egyelőségek akkor és csak akkor igazak, ha prím. Kérdés, hogy σ() és φ() -től függőe milye agy illetve milye kicsi értékeket vehet fel? 2. Tétel. Létezek olya C és C 2 pozitív álladók, hogy mide 2-re a) σ() < C log, b) φ() > C 2 log. Választható C = + / log 2 2, , C 2 = log 2/2 0, Bizoyítás. Mide 2 eseté σ() = d d = d d = d d ha C + / log mide 2-re, azaz ha C + / log 2 és φ() k < ( + log ) C log, = ( r p ) ( k + ) = r + 2r log 2 2 log, p ahol r az külöböző prímosztóiak a száma, és haszáljuk, hogy 2 r, log r log Megjegyzés. Az előbbiek alapjá: σ() φ() = 0 és +ε ε = mide ε > 0 eseté. Így az is igaz, hogy φ() =. Nézzük most a τ függvéyt. A τ() em létezik, ugyaakkor igazolható, hogy 4. Tétel. Mide ε > 0 eseté τ() ε = 0. Sok esetbe a vizsgált f számelméleti függvéyre voatkozó f() számtai középaráyos jól közelíthető elemi függvéyekkel. A τ függvéyre például igaz a következő: 5. Tétel. i) Létezik olya C 3 > 0 valós szám, hogy τ(k) log < C 3

2 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) mide 2 eseté (választható C 3 = ), ii) τ(k) =, log Bizoyítás. i) S() := τ(k) = azaz = d mert rögzített d eseté k = jd, ahol j /d. Elhagyva az egészrészt, ahoa S() d= ii) Azoali i) alapjá. 6. Megjegyzés. A felhaszált d < + log és S() > < τ(k) log. /d = d= j= d= ( ) d = d= τ(k) log <. τ(k) = j= [ d ], d= > log, d [ ] azoosságak egy más, érdekes levezetése a j következő. Tekitsük az A = (a ij ) típusú mátrixot, ahol a ij =, ha j i és a ij = 0, ha j i. Pl. = 6-ra az A mátrix a következő : A = Számoljuk össze, hogy háy -es va a mátrixba! Sorok szerit: az i-edik sorba ayi -es va, aháyszor j i, azaz τ(i), így az -esek száma i= τ(i). Oszlopok szerit: a j-edik oszlopba ayi -es va, aháyszor j i, azaz aháy többszöröse va j-ek és ez a szám [/j], mert a többszörösök ezek: j, 2j,..., kj, ahol kj < (k + )j, ie k /j < k +, azaz k = [/j]. Így az -esek száma j= [/j]. Következik, hogy i= τ(i) = j= [/j]. 7. Azt modjuk, hogy az f függvéy átlagértéke vagy középértéke a g függvéy, ha azaz f(k) f(k)/ g(k), g(k) =. A τ() függvéy átlagértéke az előző tétel szerit log. 2

3 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) 8. Megjegyzés. Az (x, y) koordiátaredszer első egyedébe tekitsük az xy = k egyelőoldalú hiperbolát. Eze ayi rácspot va, aháyféleképpe k = ab kéttéyezős szorzatkét írható, azaz τ(k). Így S() = τ(k) egyelő az xy = k hiperboláko lévő rácspotok számával, azaz a tegelyek és az xy = hiperbola közötti rácspotok számával. Igazolható, hogy 9. Tétel. 2 2 σ(k) = π2 2, azaz φ(k) = 3 π 2, azaz 0. Feladat. Igazoljuk, hogy mide -re a) σ() + φ() 2, b) C 2 < σ()φ() 2, alkalmas C > 0 álladóval.. Feladat. Igazoljuk, hogy: a) σ(!)! =, b) φ(!)! = 0. σ(k) π2 2, φ(k) 3 π 2. A Möbius-függvéy (részletesebbe lásd Algebra és számelmélet II. jegyzet, 3.7. szakasz) Möbius-függvéyek evezzük a, ha =, µ() = 0, ha létezik p prím, amelyre p 2, ( ) r, ha = p p 2...p r, p i p j képlettel defiiált függvéyt. Például, µ(30) = µ(2 3 5) = ( ) 3 =, µ(2) = µ(2 2 3) = 0, µ(4) = µ(2 7) = ( ) 2 =. Megjegyezzük, hogy µ() = (µ()) 2 = akkor és csak akkor, ha égyzetmetes, azaz külöböző prímek szorzata. 2. Tétel. i) µ multiplikatív függvéy. ii) A Möbius-függvéy összegzési függvéye µ(d) = d {, ha =, 0, ha >. 3. Tétel. (Möbius-féle megfordítási képlet) Ha f és g számelméleti függvéyek, akkor egyeértékűek a következő állítások: ) g() = d f(d) mide eseté, 2) f() = d µ(d)g(/d) mide eseté. Számelméleti függvéyek kovolúciószorzása (részletesebbe lásd Algebra és számelmélet II. jegyzet, 3.8. szakasz) Az f és g függvéyek kovolúciószorzata (Dirichlet-szorzata) az f g függvéy, ahol (f g)() = d f(d)g(/d) = de= f(d)g(e),, az összegzés itt pozitív d osztóira voatkozik, illetve midazokra a (d, e) redezett számpárokra, amelyekre de =. 3

4 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) Legye E() =, U() =, δ() = {, ha =, 0, ha >. Így a korábbiakba vizsgált függvéyekre: σ = U E, τ = U U, µ U = δ, φ = µ E. Jelölje F a számelméleti függvéyek halmazát. 4. Tétel. (A kovolúció tulajdoságai) Ha f, g, h tetszőleges számelméleti függvéyek (f, g, h F), akkor ) f g = g f (kommutativitás), 2) (f g) h = f (g h) (asszociativitás), 3) f δ = f (δ egységelem), 4) f (g + h) = f g + f h (a kovolúció disztributív az összeadásra ézve), 5) f g 0 f 0 vagy g 0, 6) adott f F eseté akkor és csak akkor létezik g F úgy, hogy f g = δ, ha f() 0, és ha létezik ilye g, akkor az egyértelmű, azaz (F, +, ) kommutatív, egységelemes, zérusosztómetes gyűrű (itegritástartomáy) és egy adott f F elemek akkor és csak akkor létezik iverze, ha f() Megjegyzés. (F, +, ) kommutatív, egységelemes gyűrű, de itt vaak zérusosztók. A kovolúció valódi függvéy-művelet, (f g)() kiszámításához em elegedő f() és g() ismerete. Legye F = {f F : f() 0} és legye MF a em azoosa ulla multiplikatív függvéyek halmaza. Akkor 6. Tétel. Az (F, ) struktúra kommutatív csoport és (MF, ) eek részcsoportja. 7. Megjegyzés. A µ U = δ összefüggés alapjá következik, hogy a kissé furcsa µ függvéy a szép U függvéy kovolúcióiverze, és eek alapjá új, átláthatóbb bizoyítás adható a Möbius-féle megfordítási képletre: g() = f(d) g = f U g µ = (f U) µ d g µ = f (U µ) g µ = f δ g µ = f f() = d µ(d)g(/d). További feladatok 8. Határozzuk meg a τ(), σ() és φ() értékeket, ahol = 2, = 24, = 20, illetve = p 2 q 3, p q prímek. 9.. Legyeek f és g multiplikatív függvéyek. Vizsgáljuk, hogy multiplikatív-e az f g szorzatfüggvéy és az f + g összegfüggvéy. 20. Lehet-e prímszám vagy prímhatváy tökéletes szám? 2. Igazoljuk, hogy akkor és csak akkor tökéletes szám, ha osztói reciprokaiak az összege Igazoljuk, hogy ha páros tökéletes szám, akkor utolsó számjegye (0-es számredszerbe) 6 vagy Igazoljuk, hogy mide m, eseté τ(m) τ(m)τ(). Mikor áll fe az egyelőség? 24. Igazoljuk, hogy mide -re φ( 2 ) = φ(). 4

5 Dr. Tóth László, Fejezetek az elemi számelméletből és az algebrából (PTE TTK, 200) 25. Igazoljuk, hogy mide eseté φ() = d dµ(/d) = d µ(d) d. Megoldás. Alkalmazzuk a Möbius-féle megfordítási képletet az f() = φ(), g() = esetbe. Másképp: A Möbius-függvéy tulajdosága szerit φ() = ahol k = dl. k, (k,)= = k d (k,) µ(d) = d k, d µ(d) = d /d µ(d) l= = d µ(d) d, 26. Legyeek f és g additív függvéyek. Vizsgáljuk, hogy additív-e az f + g összeg, az f g külöbség és az f g szorzatfüggvéy. 27. Igazoljuk, hogy 2 ω() τ() 2 Ω() mide -re. 28. Igazoljuk, hogy mide -re c) a) µ(d)σ(/d) =, b) σ(d) = τ(d) d, d d d µ(d)τ(/d) =, d) τ 2 (d)µ(/d) = µ 2 (d)τ(/d). d d d 5