XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaverseny Zilah, február II.forduló -10. osztály

Átírás

1 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február feladat: a) Igazold, hogy 3 10 B 10, ahol, B. a. Igazold, hogy a a 1 b) Legye , ahol a az a szám törtrészét jelöli. Mátéfi Istvá, Marosvásárhely Megoldás: a) matematikai idukció módszerével bizoyítjuk. Elleőrizzük =1-re, 1 1 B1 1 B1 Feltételezzük =k-ra vagyis, B. Bizoyítjuk =k+1-re, k 1, Bk , k k k Bk. k 1 Tehát B 10 3B k k k k, ahoa kapjuk, hogy 3 10B és B 3B. 4p k 1 k k k 1 k k b) B , ahol, B B , hasolóa Összeadva a feti egyelőségeket: , ahoa kapjuk, hogy , tehát - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 10 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

2 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február De (1) 3p , () (1) és () kapjuk, hogy a a p - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 10 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

3 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február feladat: x x x x dottak az f, g :(0,),() f x a ab b és () függvéyek, ahol a, b. a) Igazold, hogy f x g x f x b) Igazold, hogy f k f Megoldás:, () x eseté., (), k eseté. x x g x a ab b dr.becze Mihály, Bukarest a) x x 4 x x x x x x 4 x f x g x a ab b a ab b a ab b f x b) az a) alpot godolatát ismételve kapjuk: f x g x f x 3 f x g x f x f x g x f x k k k f x g x f x Összeszorozva a feti egyelőségeket kapjuk, hogy: k 1 k f x g x g x g x f () x. k...3p x 1 k 1 k f g g g f 4p Tehát f k f (), k eseté. p - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 10 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

4 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február feladat: Határozd meg azt a legkisebb pozitív természetes számot, amelyre számot! 5! E ! (5 1) (5 5) 5 Megoldás:z összefüggések alapjá látható, hogy természetes szám =016, amelyre osztja az dr.szekovits Ferec, Kolozsvár p és, tehát a legkisebb olya pozitív 5 1 E E osztja az 1 5 1(5) számot. 3p - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 10 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

5 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február feladat: z BC hegyesszögű háromszög BC oldalá felvesszük az M mozgó potot. z E és F pot az B illetve C egyeese úgy helyezkedik el, hogy EB EM FC FM. Határozd meg az M pot helyzetét úgy, hogy az EMF háromszög területe maximális legye és számítsd ki e maximális területet az BC háromszög oldalai és szögei függvéyébe. és Olosz Ferec, Szatmárémeti 1. Geometriai megoldás: z EBM és FCM egyelő szárú háromszögek, így az alapjaiko fekvő szögek egyelők, tehát E F B C D M C B o o m EMF 180 m EMB m FMC 180 B C EM FM si z EMF háromszög területe T. 3p Legye D az potak a BC -re eső vetülete és D -re ézve vett szimmetrikusa. E szerkesztés alapjá az EBM BB' közös. BB ' és B ', CC ' egyelő szárú háromszögek. C ' a B illetve C potak a mert midkettő egyelő szárú háromszög és az alapo fekvő egyik szögük - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 10 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

6 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia EM BM EM Következik vagyis B' BB' B XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február BM, ahoa BD B BM B BM BM EM. Hasolóa FCM CC ', ahoa BD B cos B cos B FM CM cosc si BM CM si. Tehát T EM FM. 8 cos B cos C mértai és számtai közép közti egyelőtleségből tudjuk, hogy BM CM BC BM CM, vagyis Egyelőség akkor áll fe, ha BM CM. bizoyítást em befolyásolja, ha az, BC BM CM, így 4 E F az, B BC si T. 4p 3cos B cosc B C szakasz belsejébe, vagy azo kívülre esik, vagy ha a háromszög egyelő szárú vagy egyelő oldalú. z EMF háromszög területe maximális, ha M a BC T max BC si. 3cos B cosc. Trigoometriai megoldás: oldal felezőpotja, z EBM és FCM egyelő szárú háromszögek, így az alapjaiko fekvő szögek egyelők, tehát o o m EMF 180 m EMB m FMC 180 B C. E M F C p EM FM si z EMF háromszög területe T. 3p z EBM egyelő szárú háromszögbe alkalmazzuk a sziusztételt: EM BM o si B si 180 B, ahoa BM si B BM EM. si B cos B - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 10 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

7 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia Hasolóa FM XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február CM cosc si BM CM si. Tehát T EM FM. 8 cos B cos C mértai és számtai közép közti egyelőtleségből tudjuk, hogy BM CM BC BM CM, vagyis Egyelőség akkor áll fe, ha BM CM. BC BM CM, így 4 z EMF háromszög területe maximális, ha M a BC BC si T 3cos B cosc oldal felezőpotja,. 4p T max BC si. 3cos B cosc p - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 10 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

8 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február feladat: Legye M egy BC háromszög BC oldaláak egy tetszőleges potja valamit P és T az M pot vetületei az B, illetve az C oldalakra. következő jelöléseket haszálva: P t, T l, m() MTP, m() MPT, M k, igazold, hogy: a) l t tg tg k (). b) ha 60, akkor k 3 l t () tg tg. Pálhegyi-Farkas László, Nagyvárad Megoldás: T a) az TMP égyszög körbeírható, mert ()() m TM m PM180. Ezért m()() MTP m MP és m()() MPT m MT. Legye MP x és MT y, akkor x tg t x y l t () tg tg l t tg l t tg l t l t l x t y. Tehát t l l t () tg tg l x t y (1) és y tg. l Másrészt t k x és l x t y x k y y k x x ()() k y y k x x k y y k x l k y akkor figyelembe véve az (1)-es relációt k - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 10 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

9 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február lkalmaztuk a számtai és mértai középaráyosok közötti egyelőtleséget. b). Legyeek U és V az M potak az C, illetve B oldalakra voatkozó szimmetrikusai. Ha TP u, akkor VU u, () m V U () 10 és V M U k. lkalmazzuk a kosziusz tételt a VU háromszögbe az szögre: 5p 1 k k 4u, ie 4u 3k k, vagyis k 3 u. Végül alkalmazzuk Ptolemaiosz tételét az TMP körbeírható égyszögbe: M TP P TM T MP. lkalmazva a feti jelöléseket: k 3 l x t y, k 3 figyelembe véve az (1)-es összefüggést is, következik, hogy l t () tg tg.. 4p Megjegyzés : feladat megoldható segédszerkesztés élkül az PMT égyszög körbeírhatóságára támaszkodva. - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 10 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

10 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február feladat: Határozd meg azt a 41 darab egymásutái természetes számot, amelyek égyzetes középaráyosa természetes szám. Értelmezés szerit a1, a, a3, a, 1 számok égyzetes középaráyosa: ( a1 a a ). Iakab Tibor, Sepsiszetgyörgy Megoldás: Legye p 41és a keresett számok 1,,..., p. Eze számok égyzetösszege: S p p p p p p p p p p 6 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p 1 p p z 1,,, p számok égyzetes középaráyosa: p p Ez a szám akkor és csakis akkor természetes szám, ha létezik m úgy, hogy p 1 p 1 m Legye x m, y 1; x, y. Ekkor m p -re: x y 140, ahoa x y 140 azaz p x y x y p - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 10 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár

11 Miisterul Educaţiei Națioale și Cercetării Știițifice Subiecte petru Etapa aţioală a Cocursului de Matematică al Liceelor Maghiare di Româia XXVI. Erdélyi Magyar Matematikaversey Zilah, 016. február Ie következik, hogy x y. Ekkor jelöljük u x y, v x y ie u v x, v u y u, v Ie következik, hogy u és v azoos paritásúak kell legyeek. De u v 140, tehát párosak kell legyeek. Legye u u1, v v1, u v. Ekkor u1 v1 35, (35 57 vagy ). Ugyaakkor y 1 1. v u, ahoa v 1 u 1 1. Ie következik, hogy csak az u 1 1és De y v1 u1 v1 35 lehetséges. Ekkor viszot y v1 u De y 1, ahoa 1 34, 13 u v Ugyaakkor m x u1 v1 36. Tehát a keresett számok: 1 14, 15,..., p - mukaidő 4 óra; - mide feladat helyes megoldása 10 potot ér; - léyeges általáosításokért és az elsőtől léyegese külöböző megoldásokért egy feladatra legfeljebb 5 pluszpot jár