f(n) n x g(n), n x π 2 6 n, σ(n) n x

Átírás

1 Számelméleti függvéyek extremális agyságredje Dr. Tóth László 2006 Bevezetés Ha számelméleti függvéyek, l. multilikatív vagy additív függvéyek agyságredjét vizsgáljuk, akkor először általába az adott függvéy átlagos agyságredjét ézzük. Azt modjuk, hogy f átlagos agyságredje g, ha g), x f) x azaz f összegzési függvéye aszimtotikusa egyelő g összegzési függvéyével, ahol g elemi függvéyekkel kifejezhető és g-ek ismerjük az aszimtotikus viselkedését. Tekitsük l. az f = σ függvéyt, ahol σ) = d d az osztóiak összege. Akkor x σ) x π 2 6, tehát σ) átlagos agyságredje π2 6, azaz,,átlagosa osztóiak száma σ), 644. Hasolóa, ha f = ϕ az Euler-függvéy: ϕ) = #{k : k, k, ) = }, akkor ebbe az értelembe,,átlagosa ϕ) 6 0, 607. π 2 Az átlagos agyságred azoba csak eléggé otatla iformációt szolgáltat a függvéy viselkedésére voatkozóa, em mutatja ki azokat az értékeket, amelyek em tiikusak és amelyek ritká fordulak elő. A τ osztófüggvéyek éldául, ahol τ) = d az osztóiak száma, átlagos agyságredje log, ugyaakkor,,majdem mide -re τ) log ) log 2 log ) 0,693, ami a log τ) ormális agyságredjére voatkozó eredméyből következik. A log átlagos agyságredet az az aráyaiba kis számú eredméyezi, amelyekre τ) sokkal agyobb mit log. Azt modjuk, hogy f ormális agyságredje g, ha limstat f) g) = statisztikus határérték), azaz mide ε > 0 eseté f) g) < ε g) egy sűrűségű halmazo. Ha f em korlátos multilikatív függvéy és em az hatváya, akkor f-ek em létezik övekvő ormális agyságredje, lásd B. J. Birch [B], 967. A σ és ϕ függvéyek Nézzük a σ és ϕ függvéyet. Ezekre σ) +, φ) mide 2-re és az egyelőségek akkor és csak akkor igazak, ha rím. Kérdés, hogy σ) és φ) az -től függőe milye agy, illetve milye kicsi értékeket vehet fel? Ugyaakkor létezik additív függvéyek egy széles osztálya, amelyekek va övekvő ormális agyságredje.

2 . Tétel. Létezek olya C és C 2 ozitív álladók, hogy mide 2-re ) σ) < C log, 2) ϕ) > C 2 log. Választható C = 3 és C 2 = /3. Bizoyítás. Mide 2 eseté ϕ) σ) = d d = d d = d = r ) ) k k= d k= k < + log ) < 3 log, r k + ) = r + 2r log 2 2 log > 3 log, ahol k a k-adik rím, r = ω) és haszáltuk, hogy 2 r, log r log 2. k= A C és C 2 kostasok javíthatók ha 2, illetve ha 0. De eél léyegesebb kérdés, hogy javíthatók-e az )-be és 2)-be szerelő log és / log függvéyek. Igazoljuk, hogy: 2. Tétel. Létezek olya C 3 és C 4 ozitív álladók, hogy mide 3-ra 3) σ) < C 3 log log, 4) ϕ) > C 4 log log. A 3) és 4) egyelőtleségeket egy erősebb eredméyből vezetjük le, amelyből az is következik, hogy a jobb oldalo szerelő függvéyek tovább em javíthatók. Maximális és miimális agyságred Bevezetjük a következő fogalmakat: Defiíció. Legye f egy számelméleti függvéy, g edig egy övekvő függvéy, amelyre g) > 0, ha 0. Azt modjuk, hogy f egy) maximális ill. miimális) agyságredje g, ha lim su f) g) = ill. lim if ) f) g) =. és Itt az első összefüggés éldául azt jeleti, hogy i) mide ε > 0 eseté létezik Nε) úgy, hogy mide Nε)-ra f) < + ε)g) ii) mide ε > 0 eseté f) > ε)g) végtele sok -re. 2

3 A g) függvéy em egyértelműe meghatározott, szereelhet bee egy -hez tartó téyező. A σ) függvéy miimális agyságredje. Ez azoali, mert σ), és mide rímre σ) = + ). A ϕ) függvéy maximális agyságredje. Ez is azoali, mert ϕ), és mide rímre ϕ) = ). 3. Tétel. T. H. Gröwall [G], 93) A σ) függvéy maximális agyságredje e γ log log, ahol γ az Euler-álladó. 4. Tétel. E. Ladau [L], 903) A ϕ) függvéy miimális agyságredje e γ / log log, ahol γ az Euler-álladó. A 3. és 4. Tételek következek az alábbi eredméyből, amely a [TW] cikkbe szerelő eredméyek seciális esete: 5. Tétel. Legye f 0 egy multilikatív számelméleti függvéy és legye ρ) = su f a ), ahol rím, R = ) ρ). a 0 Ha ) mide rímre ρ) ) és 2) mide rímre létezik olya e kitevő, hogy log e = olog ) és f e ) +, akkor 5) lim su f) log log = eγ R, azaz f) maximális agyságredje e γ R log log., Bizoyítás. A feltételek miatt + ρ) ) ahoa ) 2 ρ), ezért az R szorzat abszolút) koverges. A bizoyításba em haszáljuk a rímszámtételt. Elegedő a x /) e γ log x, x, Mertes-kélet és θx) = x log Csebisev-függvéyre voatkozó θx) x összefüggés alkalmazása, amelyek jóval egyszerűbbe igazolhatók. Az = a számot írjuk fel = 2 alakba, ahol =, log a és 2 -be kerül a többi rímhatváy). Akkor f ) és f 2 ) így becsülhető: ahoa f ) =, log f a ) haszálva a feti Mertes-kéletet. log ρ) = log f ) + o) ) e γ R log log,, 3 ) ) ρ), log

4 Megtehető, hogy az = 2 alakba egy h) övekvő függvéyt veszük log helyett, majd belátjuk, hogy h) = log a megfelelő választás. Továbbá, f 2 ) =,>log f a ),>log ρ) =,>log ) ρ), >log ) + o) ) ) ω2 ) ) = + o) e O/ log log ) = + o),, log ahol ω 2 ) az 2 külöböző rímosztóiak a száma és 2 > log ) ω 2) alajá ω 2 ) log / log log. Tehát 6) f) + o) ) e γ R log log,. Most ézzük a fordított egyelőtleséget, otosabba azt, hogy a lim su elérhető. Azt fogjuk beláti, hogy a lim su legalább ε)-szor ayi mit a tételbe szerelő. Adott ε > 0 eseté legye N olya agy, hogy 2 ) ε, >N és N eseté válasszuk meg a k kitevőket úgy, hogy f k ) ε) ρ) N Ha N és k fixek, legye x és tekitsük: x) = N k N N< x e. Akkor f x) ) = f k ) N = ε) N ε) N< x ) ρ) f e ) ε) ρ) N< x N 2 ) x N< x ) ) ρ) ) 2 ) N< x + ) = haszálva ismét a Mertes-kéletet. Legye Ex) = max x e. Kajuk, hogy log x) N k log + ε) 2 R + o))e γ log x, N< x e log O)+Ex) x log = O)+Ex)θx) xex), 4

5 haszálva, hogy θx) x. A log e = olog ) feltételből log Ex) = olog x) következik és kajuk, hogy log log x) O) + log Ex) + log x + 2ε) log x, ha x elég agy. Következik, hogy 7) fx)) ε)3 + 2ε Reγ log log x). A 6) és 7) összefüggések alajá a Tétel bizoyított. Megjegyzés. A 3. és 4. Tételek a következő alakba is kimodhatók: max σ) x eγ x log log x, mi ϕ) x e γ x/ log log x. Alkalmazások. Ha f) = σ)/, akkor teljesülek az 5. Tétel feltételei, mert σ a ) a = a < ) = ρ) mide rímre és a -re, ie R =, továbbá vehető e =, és kajuk a 3) kéletet. 2. Legye f) = /ϕ), akkor a ϕ a ) = ) = ρ) mide rímre és a -re, ie R =, vehető itt is e =, és kajuk, hogy lim su ϕ) log log = eγ, ami egyeértékű a 4) kélettel. 3. Más alkalmazások is adhatók, l. legye f) = σ e) )/, ahol σ e) ) az exoeciális osztóiak az összege, amely multilikatív függvéy és σ e) a ) = d a d. Most ρ) = +, e = 2 és kajuk, hogy 8) lim su További megjegyzések A fetekhez kacsolódó eredméyek: 6. Tétel. G. Robi [R], 984) Ha a Riema-sejtés igaz, akkor σ e) ) log log = 6 π 2 eγ. 9) σ)/ < e γ log log, 504. Ha a Riema-sejtés hamis, akkor 0) σ)/ > e γ log log, végtele sok -re. 5

6 A σ)ϕ) 2 egyelőtleség alajá σ)/ /ϕ),. Az /ϕ) értékeire voatkozik a következő 7. Tétel. J. L. Nicolas [N], 983) Legye k a k-adik rím és k = 2 k. Ha a Riema-sejtés igaz, akkor ) k /ϕ k ) > e γ log log k, k. Ha a Riema-sejtés hamis, akkor ) végtele sok k-ra igaz és végtele sok k-ra hamis. A τ függvéy miimális agyságredje g) = 2, mert τ) 2 mide 2-re és τ) = 2 mide rímre. A τ függvéy maximális agyságredjére voatkozik a következő: 8. Tétel. S. Wigert [W], 907) A log τ) függvéy maximális agyságredje log 2 log log log, azaz 2) lim su log τ) log log log = log 2. Ez azt jeleti, hogy ha Nε), akkor τ) < ex + ε) log 2 log / log log ) = 2 +ε) log / log log +ε) log 2/ log log = és végtele sok -re τ) > ex ε) log 2 log / log log ) = 2 ε) log / log log = ε) log 2/ log log. A 8. Tételek általáosítása a következő: 9. Tétel. [SS], 975) Legye f egy ozitív függvéy, amelyre f) = O β ), ahol β > 0 rögzített. Legye F olya multilikatív függvéy, amelyre F a ) = fa) mide a a ) rímhatváyra. Akkor 3) lim su log F ) log log log = su a log fa). a Hivatkozások [B] B. J. Birch, Multilicative fuctios with o-decreasig ormal order. J. Lodo Math. Soc., ), 495. [FS] J. Fabrykowski, M. V. Subbarao, The maximal order ad the average order of the multilicative fuctio σ e) ), Théorie des ombres Québec, PQ, 987), , de Gruyter Berli New York, 989). [G] T. H. Gröwall, Some asymtotic exressios i the theory of umbers, Tras. Amer. Math. Soc., 4 93), [L] E. Ladau, Hadbuch der Lehre vo der Verteilug der Primzahle, Teuber, Leizig Berli, 909. [N] J. -L. Nicolas, Petites valeurs de la foctio d Euler, J. Number Theory 7 983), o. 3,

7 [R] G. Robi, Grades valeurs de la foctio somme des diviseurs et hyothèse de Riema, J. Math. Pures Al. 9) ), o. 2, [SS] D. Suryaarayaa, R. Sita Rama Chadra Rao, O the true maximum order of a class of arithmetical fuctios, Math. J. Okayama Uiv., 7 975), [TW] L. Tóth, E. Wirsig, The maximal order of a class of multilicative arithmetical fuctios, Aales Uiv. Sci. Budaest., Sect. Com., ), [W] S. Wigert Sur l ordre de gradeur du ombre des diviseurs d u etier, Arkiv. för Math ), -9. 7