Folytonos függvények közelítése polinomokkal

Átírás

1 Folytoos függvéyek közelítése poliomokkal Szakdolgozat Paksi lászló matematika BSc, Matematika taái szakiáy Témavezető: Gémes Magit, műszaki gazdasági taá Aalízis Taszék Eötvös Loád Tudomáyegyetem Temészettudomáyi Ka 01

2 Tatalomjegyzék 1. Motiváció. Közelítés tööttvoalfüggvéyel 4. Bestei-poliomok Az appoximációs tétel bizoyítása Bestei-poliomokkal Csebisev-poliomok 4.1. Az appoximációs tétel bizoyítása Csebisev-poliomokkal

3 1. fejezet Motiváció Ahhoz, hogy a miket köül vevő világot le tudjuk íi, hogy a bee megfigyelhető tövéyszeűségeket meg tudjuk fogalmazi, elegedhetetleek a függvéyek. Gyaka em tudjuk potosa hogya ézek ki azok a függvéyek, amelyek leíják az éppe vizsgált folyamatot. Csupá mééseik és megfigyeléseik alapjá tuduk ifomációkat a keesett függvéyől. Ezét abba eméykedük, hogy ha elegedő méést, kíséletet hajtuk vége, akko eze eedméyeik alapjá képesek leszük egy olya függvéyt készítei, amely a lehető legjobba közelíti a folyamatot téylegese leíó függvéyhez. Átalába ezeket a függvéyeket poliomokkét szoktuk keesi. Eek hátteébe az áll, hogy a poliomok számos szép tulajdosággal edelkezek, mit például folytoosak, végtele sokszo folytoosa diffeeciálhatóak, stb. Továbbá teljesítik a következő tételt, amely egybe a szakdolgzat közpoti godolata is. Az elkövetkezőkbe több bizoyítást is aduk majd ee a tétele, amelyeke keesztül módszet is kapuk aa, mikét is kell ilye poliomokat készítei. 1. Tétel Weiestass appoximációs tétele. Ha f C[a, b], akko mide ε > 0- hoz va olya p poliom, amelye mide x [a, b]-e. fx px < ε 1.1 Az egyik legismetebb megoldás aa, hogy adott potoko áthaladó poliomot készítsük, az úgyevezett Lagage-féle itepolációs poliomok. Legyeek f ételmezve az [a, b] itevallumo, továbbá legyeek a x 0 < x 1 <... < x b 1. adott potok. Valamit defiiáljuk l k x-t a következő módo, x x i l k x 1. x k x i i0;i k

4 Ekko l 0,..., l olya -edfokú poliomok amelyeke l k x j { 1, ha k j, 0, ha k j, 1.4 Utóbbiból következik, hogy fx k l k x k fx k. Köye meggodolható, hogy ha vesszük a következő összeget: L x; f fx k l k x 1.5 k0 Akko az így kapott poliom edelkezi fog azzal a tulajdosággal, hogy megegyezik f-fel mide x i potba. A fetebb defiiált L x, f poliomot evezzük az f függvéy x 0,..., x potokhoz tatozó Lagage-poliomjáak. Ahogy láttuk az így elkészített poliom téylegese megfelel az elváásaikak, a megfelelő helyeke azt az étéket veszi fel amit kell. A kédés csupá az, hogy az így készített L x vajo mide függvéy eseté jó közelítést ad-e, illetve az alappotok számáak övelésével csökke-e a hiba météke. Bizoyítható 1, hogy abba az esetbe ha a {±k/ : 0 k } potokat vesszük alappotokak, továbbá közelítedő függvéy elég sokszo diffeeciálható azo az itevallumo ahol a közelítést végezzük, akko elég agy -e a Lagage-poliom egye jobba fogja közelítei a függvéyt. Az is megmutatható, hogy abba az esetbe, ha a közelítedő függvéy em diffeeciálható az itevallum mide belső potjába, például az x függvéy a [ 1, 1] itevallumo, akko közelítés sem lesz megfelelő. Az x eseté az alappotok számáak övelésével a Lagage-poliom eős hullámzásba kezd, és egyátla em kovegál a függvéyhez. Összegezve az eddigieket, olya eljáásokat és ezek segítségével olya poliomokat keesük, amelyek tetszőleges, itevallumo folytoos függvéyt megfelelőe közelít, továbbá az alappotok számáak övelésével a függvéytől való eltéés egye kevesebb lesz. 1 [LTS] Megjegyzés

5 . fejezet Közelítés tööttvoalfüggvéyel A [LTS] köyvbe található bizoyítás lépéseit követve, előszö fel kell haszáluk Heie tételét.. Tétel Heie-tétele. Ha f folytoos az [a, b] itevallumo, akko f egyeletese folytoos [a, b]-. Mivel f folytoos függvéy az [a, b] itevallumo, akko az egyeeltes folytoosság defiíciója szeit mide ögzített ε > 0-hoz létezik olya > 0, hogy ha x, y [a, b], x y <, akko f x f y < ε. Legye N ögzített, ekko létezik olya, hogy ha x y <, akko f x f y < 1. Ezt követőe defiiáljuk, egy -él fiomabb felosztást az [a, b] itevallumo. Legye x 0 a < x 1 < x <... < x k b, ahol mide i eseté teljesül, hogy x i 1 x i <. Eze felosztás mellett készítsük egy g tööttvoalfüggvéyt, amely teljesíti, hogy mide [x i 1, x i ] itevallumo lieáis, továbbá g x i f x i. Jelöljük g meedekségét az [x i 1, x i ] itevallumo m i, illetve legye m 0 0. Megmutatjuk, hogy az így készített g függvéyel tetszőlegese közelíthető az f függvéy. Válasszuk ki egy tetszőleges x i, x i+1 itevallumot, melyek egy belső potja legye z. Akko az f z g z távolság a következő képpe hatáozható meg: f z f x i + m i+1 z x i..1 }{{} m i+1 -et helyettesítve kapjuk: f z f x i + f x i+1 f x i z x i x i+1 x }{{ i } 4 gz gz.

6 Egyszeű átalakításokkal a következő alakhoz jutuk: z x i f z f x i f x }{{} i+1 f x i }{{} x i+1 x i < 1 }{{}.. < 1 < 1 Mivel mide ε > 0 eseté létezik olya N, hogy 1 < ε, ezét a g tööttvoalfüggvéyel tetszőlegese közelíthető az f függvéy. A tööttvoal téyleges elkészítéséhez felhaszáljuk a [LTS] köyvbe található es példát. Defiiáljuk a ϕ i függvéyeket a következő módo: { 0, ha x xi 1 ϕ i x.4 m i m i 1 x x i 1, ha x x i 1 Ha összeadjuk a fet defiiált ϕ i függvéyeket ϕ 1 ϕ i,.5 i1 akko egy olya ϕ tööttvoalfüggvéyhez jutuk, amely teljesíti, hogy mide [x i 1, x i ] itevallumo a meedeksége m i. Eze függvéy segítségével em ehéz elkészítei a fetebb defiiált g-t, hisze g ϕ + f a. A következő lépésbe egy olya poliomot keesük amely jól közelíti g-t. Ehhez előszö az kell, hogy megmutassuk mide ϕ i függvéy is közelíthető poliomokkal, az [a, b] itevallumo. Rögzítsük i-t majd hozzuk ϕ i -t a következő alaka: ϕ i x m i m i 1 x x i 1 + x x i 1.6 Az így kapott alak ekvivales a fetebb defiiálttal. A továbbiakba haszáljuk a következő jelölést a i : m i m i 1. A megfelelő kifejezést helyettesítve a ϕ i x a i x x i 1 + x x i 1.7 kifejezéshez jutuk. Ezt a egyeletet tovább edezzük, akko a ϕ i x a i x x i 1 + a i x x i 1.8 alakot kapjuk. Eek második tagja má poliom, azoba az első tag még em. Tehát keesük kell egy olya poliomot, amely jól közelíti az x -et a [ 1, 1] itevallumo, vagyis mide ε > 0 eseté teljesül, hogy p x x < ε. A bizoyításhoz megoldjuk a [LTS] köyv as feladatát, majd eek segítségével belátjuk az egyeletes kovegeciát. Tekitsük a következő módo megadott függvéysoozatot p 0 x 0,.9 5

7 p +1 x p x + x p x..10 A függvéysoozat mide tagja poliom lesz, így ha megmutatjuk, hogy egyeletese koveges és hatáfüggvéye éppe az x, akko egy adott > 0 küszöbidextől kezdve a soozat elemei olya poliomok leszek amelyek teljesítik, hogy m eseté p m x x < ε. Felhaszálva, hogy x x, a p x függvéysoozat ekuzív képlete a következőképpe íható át: p +1 x p x + x p x..11 Eek az átalakításak a segítségével má köye igazolható a következő egyelőség: x p +1 x x p x 1 x + p x A.11. egyeletbe szeeplő kifejezés a következő módo íható át:.1 p +1 x p x + x p x p x + 1 x p x p x + 1 x p x x + p x vagyis eedméyül a fomát kapjuk, amit a p +1 x p x + 1 x p x x + p x.1 x p +1 x x p x 1 x + p x kifejezésbe helyettesítve, az x p x 1 x p x x + p x x p x 1 x + p x. }{{} p egyeletet kapjuk. A baloldalo kiemelve x p x-et éppe a jobb oldalt kapjuk. Ezt az eedméyüket felhaszálva megpóbáluk felső becslést adi a x p x étékée. x p x x p 1 x 1 x + p 1x.15 Ha a.1.egyeletet alkalmazzuk mide x p i x alakú taga, akko x p x a következő fomáa íható át: x p 0 x 1 x + p 1x 1 x + p x x + p 1x.16

8 Tudjuk, hogy p 0 x 0, ezét a szozat első téyezője helyett yugodta íhatuk x -et. Rövidebb alaka hozva a.16. kifejezést az alábbihoz jutuk: 1 x p x x 1 x + p ix i0.17 Belátjuk, ha x 1, akko az 1 x +p ix felülől becsülhető 1 x -vel. Köye meggodolható, hogy ehhez az kell, hogy 0 p x 1 mide x [ 1, 1] eseté. Eek bizoyításáa a következő segédállítást fogjuk felhaszáli. Lemma. Legyeek p R + és p < 1 akko 0 p 1 p < Bizoyítás. Iduljuk ki a következő állításból Átedezve az egyelőtleséget kapjuk, hogy p 1 p p p 0 < p 1 p p < 1.0 Az utolsó egyelelőtleség mide p R eseté teljesül, ha a 0 < p < 1 feltétel is teljesül akko a szozat pozitív is lesz. Teljes idukcióval megmutatjuk, hogy mide N eseté teljesül, hogy 0 p x x 1. A ekuzív egyelet köye átíható a következő alakba: p +1 x x + p x 1 p x. Ezt a képletet haszálva azt kapjuk, hogy p 1 x x, amelyek maximuma a [ 1, 1] itevallumo 1. Haszálva a képzési szabályt, a második tag a következő módo kapható meg: p x x + p 1 x 1 p 1x..1 }{{} }{{} 1 < 1 Az utolsó taga voatkozó becsélél felhaszáltuk a. Lemma állítását és azt, hogy p 1 x 1. Tehát p x < 1 is teljesül. Tegyük fel, hogy p 1 x-e is igaz. Megmutatjuk, hogy ekko p x < 1 is teljesül. p x x + p 1 x 1 p 1x < 1. }{{} }{{} 1 < 1 7

9 Vagyis bebizoyítottuk, hogy N, x [ 1; 1] eseté 0 x p x x 1 x.. Jelölje h x a következő függvéysoozatot: h x x 1 x { x 1 x ha x [0, 1] x 1 x ha x [ 1, 0.4 Ha meg tudjuk mutati, hogy h x 0, akko mide ε > 0-a va olya küszöbidex, hogy attól a küszöbidextől kezdve h x 0 h x < ε. Vizsgáljuk előszö h x-et a [0, 1] itevallumo. h x x 1 x, ha x [0, 1]. Keessük eek a maximumát: x 1 x 1 x + x 1 1 x 1 1 x x. A függvéyek ott lehet szélsőétéke, ahol az első deivált ulla, vagyis 1 x x 0.5 Köye észevehető, hogy a szozat első téyezője mide x [0, 1] eseté agyobb, mit 0, tehát elegedő csak a második téyezőt vizsgáli x x + 1 x Mivel ebbe a potba a deivált előjelet vált pozitívól egatíva, ezét ebbe a potba a függvéyek szélsőétéke, maximuma va. Elvégezzük h x vizsgálatát a [ 1, 0 itevallumo is. Itt a függvéy a következő alakba íható fel: h x x 1 x. 8

10 Eek a függvéyek is keessük az szélsőétékét. x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x x x. Lokális szélsőéték ott lehet, ahol 1 + x x 0.6 teljesül. Hasolóa, mit az előbb, itt sem kell vizsgáluk az első tagot, hisze mide x [ 1, 0 eseté agyobb, mit 0. A második tagot vizsgálva ebből x 0,.7 x A függvéyek ebbe a potba is maximuma va, hisze a deivált pozitívól egatíva vált, továbbá étéke megegyezik a másik maximumétékkel. Ezek alapjá megállapítható, hogy max h x x [ 1,1] < Ebből következik, hogy h x < +1, mivel x p x < h x teljesül, azét igaz lesz, hogy x p x < Ebből az állításból egyételműe következik, hogy p x x. Hisze x és p x is em egatívak, továbbá x > p x, ezét x p x x p x. Tehát x p x < h x x p x < h x Mivel mide ε > 0-hoz létezik olya N, hogy +1 < ε, ezét teljesül, hogy: x p x < ε..1 Vagyis a p x poliom soozat eleget fog tei az elváásaikak, miszeit jól fogja közelítei x -et a [ 1, 1]-e. Jelölje a továbbiakba p a poliom soozat egy olya tagját amelye teljesül, hogy egy ögzített ε > 0 eseté p x x < ε mide x [ 1, 1]-e. 9

11 Válasszuk egy olya számot amelye teljesül a következő x i 1 < a < b < x i 1 +. Akko a koábba meghatáozott ϕ i x a i x x i 1 + a i x x i 1. függvéye és a x xi 1 q i x a i p + a i x x i 1. polioma teljesüli fog, hogy q i x ϕ i x < a i ε.4 mide x [x i 1, x i 1 + ]-e. Mive [a, b] [x i 1, x i 1 + ], ezét az állítás igaz lesz mide x [a, b]-e is. Képezzük a q poliomot a következő módo: q : q i + f a..5 i1 Felhaszálva g defiícióját a következő egyelőtleség íható fel: q x g x q i x ϕ i x..6 i1 Felhaszálva a háomszög-egyelőtleséget a következő állítás is igaz lesz: q i x ϕ i x q i x ϕ i x..7 A.4. i1 i1 i1 egyeőtleséget vizsgálva látjuk, hogy mide i eseté egyételműe létezik egy a i éték. Jelölje M az előfoduló a i étékek maximumát, akko teljesül, hogy i1 q i x ϕ i x < M ε..8 i1 mide x [a, b]-e. Jelölje k R + azt az ε-tól függetle kostast, amely teljesíti a következőt: M k..9 Mivel a q poliommal tetszőlegese közelíthető a g tööttvoalfüggvéy, és a g-vel tetszőlegese közelíthető az f függvéy, ezét teljesülek az alábbiak: q x f x < q x g x + g x f x < k + 1 ε.40 }{{}}{{} <k ε ε mide x [a, b]-e. Vagyis a q poliommal jól közelíthető az f függvéy. 10

12 . fejezet Bestei-poliomok 1. Defiíció Bestei-poliom. Legye f ételmezve a [0, 1] itevallumo. Akko az f-hez tatozó -edik Bestei-poliom N a következő alakba íható fel: B f, x f x 1 x.1 0 A későbbiekbe belátjuk, hogy B f, x poliomsoozat tat f-hez, továbbá, ha feltesszük, hogy f folytoos is a [0, 1] itevallumo, akko a Bestei-poliomok soozata egyeletese kovegál majd az f függvéyhez. Ahogy aól olvashatuk a [] köyvbe, Bestei a óla elevezett poliomokat akko fedezte fel, amiko a következő valószíűségi poblémát vizsgálta. Legye adott két eseméy A és B, amelyek magukba foglalják a teljes eseméyteet, továbbá legye A bekövetkezéséek valószíűsége x [0, 1], ebből egyételműe következi, hogy B bekövetkezési valószíűsége 1 x. Tehát aak a valószíűsége, hogy az A eseméy potosa -sze következze be, a következő alakba hatáozható meg: p, x x 1 x.. Ha jobba megvizsgáljuk a feti összefüggést, akko láthatjuk, hogy az alábbi egyelőség teljesüli fog, p, x p, 1 x. Eek igazolásához elegedő kibotai a biomiális együtthatót. p, x x 1 x!!! x 1 x!!! 1 x x 1 x x p, 1 x Legye az A eseméy bekövetkezéséek valószíűsége x 0, ekko aak a esélye, hogy A legalább egysze bekövetkezze 0, hisze A a lehetetle eseméy. Azoba a B eseméy bekövetkezési valószíűsége 1 x 1. Vagyis aak a 11

13 valószíűsége, hogy B kíséletből -sze előfodul 1. Ezt godolatot behelyettesítve a koábbi összefüggésbe kapjuk a következőt: Az x 1 eset hasolóa bizoyítható. p, 1 p 0, Az elkövetkezőkbe megmutatuk éháy olya eedméyt, amely aa motiválta Besteit, hogy bizoyítást adjo Weiestass-tételée. Vizsgáljuk tovább a p, kifejezést. p,x x 1 1 x + x 1 1 x 1.4 Tudjuk, hogy ha p, -ek az z 0, 1 potba lokális szélsőétéke va, akko ott p,z 0. Hozzuk edezettebb alaka a deiváltfüggvéyt: x 1 1 x 1 1 x + x Végezzük el az utolsó téyezőbe a záójelfelbotásokat és az összevoásokat, így a következő eedméyt kapjuk x 1 }{{} >0 1 x 1 x 0..6 }{{} >0 Tehát a deivált étéke csak akko lehet 0, ha x. Az is köye megfigyelhető, hogy ebbe a potba a deiváltfüggvéy előjelet vált, mégpedig pozitívól egatíva, ami potosa azt jeleti, hogy a p, függvéyek ebbe a potba lokális maximuma va. Ha átedezzük a maximumhelye voatkó egyelőséget, akko azt kapjuk, hogy x. Legyeek x és ögzítettek, továbbá legye N és jelölje a következőt x. Eek segítségével meghatáozhatjuk azt a p, függvéyt, amely maximális lesz ögzített x mellett. Tekitsük a következő összeget x 1 x

14 Hajtsuk vége az alábbi átalakításokat: x 1 x 0!!! x 1 x 0 x x 1! 1! 1 1! x 1 1 x x 1 1 x 1 1 x Az utolsó egyeletbe étéke téylegese 1, eől köye meggyőződhetük, ha haszáljuk a következő helyettesítést, s : 1 és k : 1. Ekko k s0 k x s 1 x k s, s amiek étéke a biomiális tétel alapjá éppe 1. Ezek alapjá aa következtethetük, hogy elég agy -e, és özített x eseté a B f, x f x 1 x 0 kifejezés étékét elsősoba az összeg azo tagjai fogják befolyásoli, amelyekbe közel va -hoz 1. A továbbiakba a Bestei-poliomok éháy fotos tulajdoságát mutatjuk meg. Köye meggodolható, hogy a [0, 1] itevallum végpotjaiba ezek a poliomok és az eedeti függvéy helyettesítési étéke megegyezik azaz B f, 0 f0 B f, 1 f1. B f, 0 f 0 p, 0..8 Koábba láttuk, hogy mide 0 eseté a p, 0 0, így az összegbe az egyetle em ulla tag éppe 0 f Hasolóa igaz, hogy p 0, 0 f B f, 1 f 0 1 A []-ba egy ehhez hasoló godolatmeet szeepel. 0 1 f0. p,

15 Ebbe az összegbe éppe p, 1 lesz egyedül em ulla. Az is köye igazolható, hogy az fx c kostas függvéy is előállítható eze poliomok segítségével. B f, x f x 1 x 0 c x 1 x 0 c x 1 x 0 }{{} 1 Az utolsó szumma étéke 1 köszöhetőe a biomiális tételek. teljesül, hogy: c x 1 x 0 }{{} 1 Vagyis téyleg c, azaz B c, x c.10 Miutá megmutattuk, hogy a kostas függvéyt előállítják a Bestei-poliomok, akko logikusa az a kédés következik, hogy vajo hogya viselkedek az fx x függvéy eseté. Legye fx x, akko a hozzátatozó Bestei-poliom a következő: B x, x x 1 x.11 0 Aak bizoyításáa, hogy ebbe az esetbe is az eedeti függvéyt fogják előállítai, a következő átalakításokat kell végehajtai.!!! 1! 1!! 1! 1! 1 + 1! 1! 1! 1 1! 1. 1 Vagyis a koábbi egyelet a következő alakba íható át: 1 B x, x x x 1 1 x Legye s 1, továbbá szumma felsőhatáát kicseéljük 1-e, ekko a következő fomához jutuk: 1 1 B x, x x s s0 x s 1 x 1 s } {{ }

16 A feti egyeeletbe a második téyező egyelő eggyel a biomiális tétel miatt. Az eddig látottak alapjá jogosa következtethetük, aa hogy tetszőleges lieáis függvéy is előállítható a Bestei-poliomok segítségével. Ehhez elegedő megmutati, hogy teljesül a következő feltétel B λf + µg λb f + µb g,.14 vagyis miko egy függvéyhez hozzáedeljük a Bestei-poliomját, azt tekithetjük lieáis leképezések. Legyeek f, g a [0, 1]-e ételmezett függvéyek, továbbá legye λ, µ R. Ekko: B λf + µg, x 0 λf 0 λ f 0 λb f, x + µb g, x. λf + µg x 1 x x 1 x + 0 x 1 x + µ µg 0 g x 1 x x 1 x A lieaitáso kívül további fotos tuljadoságokkal edelkezik. Például: 4. Állítás. Legyeek f, g a [0, 1] itevallumo ételmezett függvéyek. Ha teljesül, hogy fx gx mide x [0, 1] eseté akko az alábbi is teljesüli fog mide x [0, 1] eseté: B f, x B g, x.15 Bizoyítás. A állítás helyessége köye igazolható. Első lépésbe azt kell megmutati, hogyha valamilye h [0, 1]-e ételmezett függvéy esetébe teljesül, hogy ha hx 0 mide x [0, 1]-e akko az is teljesüli fog, hogy B h, x 0 mide x [0, 1] eseté. Ez valóba teljesül, hisze ha hx 0 akko yílvá teljesüli fog, hogy h k m 0, ahol k {0, 1,..., m}. Ekko viszot B h, x egy emegatív tagokat tatalmazó összeg, vagyis B h, x 0. Legye fx gx, ekko gx fx 0.16 Az előbbi godolatmeet alapjá, és felhaszálva a lieaitást kapjuk, hogy 0 B g f, x B g, x B f, x.17 15

17 Az egyelőtleséget átedezve, éppe a bizoyítadó állítást kapjuk. B f, x B g, x.18 Láttuk, hogy kostas és lieáis függvéyeket em csak közelítik, haem elő is állítják a Bestei poliomok. A következő lépésbe azt vizsgáljuk, hogy mikét viselkedik egyéb esetekbe. Vizsgáljuk, hogy mit modhatuk akko, ha fx x. Eek megmutatásához előszö a következő esetet kell vizsgáluk: B x x 1, x 0 1 x 1 x.19 Mivel szumma mögött lévő kifejezés 0 és 1 eseté eedméyül 0-t ad, ezét az futóidex idítható -ől. Továbbá a koábba má bizoyított átalakítás alapjá kapjuk, hogy 1 Vagyis Defiiáljuk j a következő módo: j :. Helyettesítsük be a feti egyeletbe B x x 1, x x 1 x..0 B x x 1, x j x. x j+ 1 x j x j j0 Vizsgáljuk meg ezt az esetétet egy kicsit máskét is. B x x 1, x B x 1 x, x x j 1 x j B x, x B 1 x, x B x, x 1 x 16

18 Az utolsó egyeletet átedezve kapjuk, hogy B x, x B x x x + 1 x., x + 1 x Eedméykét azt kaptuk, hogy a Bestei-poliomok em állíják elő az x függvéyt, de következő alako B x, x x + 1 x1 x.1 látható, hogy ha akko B x, x egyeletese tat x -hez..1. Az appoximációs tétel bizoyítása Bestei-poliomokkal A feti példák jól mutatják, hogy ezek a poliomok, képesek előállítai egyes függvéyeket, vagy kellőe közelítei azokat. Felhaszálva ezeket a példákat és követve az [1]-be található bizoyítás lépéseit megmutatjuk, hogy tetszőleges f [a, b]-o folytoos függvéyt tetszőlegese közelíthetük. Legye h a [0, 1]-o folytoos függvéy. Felhaszálva a zát itevallumo folytoos függvéyekől szóló Weiestass-tételt defiiáljuk M-et a következőképpe. M max [0,1] hx.. Akko köye meggodolható, hogy mide s, t [0, 1] eseté telejsül, hogy ht hs M.. Továbbá Heie-tételét. Tétel alkalmazva kapjuk, hogy h egyeletese folytoos a [0, 1] itevallumo. Vagyis mide ε > 0 eseté léltezik > 0, hogy ht hs < ε.4, ha t s <..5 Abba az esetbe, ha t s akko ögzített ε mellett a feti becslés em teljesül. Eek koigálásáa hajtsuk vége a következő átalakításokat: t s t s 1 t s

19 Ezt követőe öveljük meg a.4. egyelet jobb oldalát a következő kifejezéssel: Az így kapott becslés má igaz lesz mide ögzített ε s, t [0, 1]-e. M t s..7 > 0 mellett tetszőleges ht hs ε + M t s.8 Legye s ögzített. Vizsgáljuk a feti becslést előszö a h t h s esetbe, akko ht hs ε + M t s. Vegyük midkét oldal Bestei-poliomját, továbbá haszáljuk a 4. Állítást és a Bestei-poliomok lieaitását, ekko azt kapjuk, hogy ε B h; s B hs; s B ; s + M B t s ; s. Felhaszálva, hogy ezek a poliomok előállítják a kostas függvéyt.10. egyelet, az alábbi alakhoz jutuk: B h; s hs ε + M B t s ; s. Hasolóa bizyítható, hogy ha h s h t,akko a hs h t ε + M t s kifejezése elvégezve a feti műveleteket, az alábbihoz jutuk: h s B h; s ε + M B t s ; s. Összegezve a kapott eedméyeket, azt modhatjuk, hogy B h; s hs ε + M B t s ; s..9 Tudjuk, hogy t s t ts + s. Felhaszálva, a Bestei-poliomok lieaitását kapjuk, hogy B t s, s B t, s sb t, s + s B t, s.0 Tekitve a koábba kapott eedméyeket, azaz B t, s s + 1 s1 s, sb t, s s, s B t, s s 18

20 Ezeket összegezve kapjuk, hogy B t s, s s1 s..1 Az eedméyt behelyettesítve az alábbi összefüggéshez jutuk. B h; s hs ε + M s1 s.. Köye beláthatjuk a két tagú számtai-métai közép egyelőtleség segítségével a következő összefüggést Vagyis tovább folytatva a becslést kapjuk, hogy B h; s hs ε 0 x1 x M s1 s Defiiáljuk ε 0 -át a következő módo: ε + M 4 ε + M..4 ε 0 : ε.5 Ha el tudjuk éi, hogy M ε 0,.6 akko megmutattuk, hogy a Bestei-poliomokkal tetszőlegese közelíthetük egy a [0, 1] itevallumo folytoos függvéyt. A.6. egyeletet átedezve kapjuk, hogy ha > M,.7 ε 0 legye 0 a feltételek eleget tevő köszöbidex, akko teljesül amit szeettük vola, vagyis: hs B 0 h, s < ε..8 Felmeülhet a kédés, hogy mégis hogya bizoyítottuk Weiestass-tételét, hisze a bizoyítás és a defiíciók soá végig a [0, 1] itevallumo dolgoztuk. Pesze a válasz kézefekvő, hisze megfelelő függvéytaszfomációkkal, egy tetszőleges [a, b] itevallumo ételmezett folytoos függvéyt leképezhetük a [0, 1] itevalluma. Ebbe a speciális esetbe defiiáljuk a p x poliomot, úgy hogy p x B f, x a..9 b a Az így előállított p poliom teljesítei fogja, hogy mide ε > 0-a és mide x [a, b] eseté egy elég agy N küszöbidextől kezdve fx p N x < ε

21 Utolsó lépéskét megoldjuk a [LTS] köyv 11., 11. és 11.4-es feladatait. 11. Közelítsük az fx x függvéyt [ 1, 1]-be a B f, x Bestei-poliomokkal 4, 5, 6-a. Legye g : [0, 1] R, gx x 1. Köye elleőizhető, hogy g éppe f [0, 1] itevalluma taszfomált alakja. 4-e 0 4 g x 0 1 x 4 1 4x + 6x 4x + x g x 1 1 x x 6x + 6x x g x 1 x g x 1 x 1 x x g x 4 1 x 0 x x 4 + 4x x e 0 5 g x 0 1 x 5 1 5x + 10x 10x + 5x 4 x g x 1 1 x 4 x 1x + 18x 1x 4 + x g x 1 x x 6x + 6x 4 x g x 1 x x 4x 4 + x g x 4 1 x 1 x 4 x g x 5 1 x 0 x x 4 + 4x x + 1 0

22 6-e 0 6 g x 0 1 x 5 1 6x + 15x 0x + 15x 4 6x 5 + x g x 1 1 x 5 4x 0x + 40x 40x 4 + 0x 5 4x g x 1 x 4 5x 0x + 0x 4 0x 5 + 5x g x 1 x g x 4 1 x 5x 4 10x 5 + 5x g x 5 1 x 1 4x 5 4x g x 6 1 x 0 x x 6 1x x 4 x ,8 0,8 0,8 0,6 0,6 0,6 0,4 0,4 0,4 0, 0, 0, -1-0, ,5 x , ,5 x , ,5 x 1.1. ába. Az x függvéy közelítése Bestei-poliomokkal 4, 5, 6-a. 11. Adjuk meg az fx e x függvéy Bestei-poliomjait [a, b]-be. B e x, x a b a b a 0 e 1 e x a b a x a b x 1 x a b a 11.4 Adjuk meg fx cos x Bestei-poliomjait [ π, π ] -be. 1

23 B cos x, x + π π π cos 0 cos 1 x + π x + π π π x 1 x + π π

24 4. fejezet Csebisev-poliomok Felhaszálva a [] köyv állítását, legye fx x, akko létezik olya P 1 legfeljebb 1-ed fokú poliom, amely a lehető legjobba közelíti f-et a [ 1, 1] itevallumo. Vagyis teljesül, hogy f P 1 [ 1,1] f P 1 [ 1,1]. 4.1 Az így elkészített külöbségfüggvéy x P 1, maga is egy poliom, amely - ed fokú, továbbá főegyütthatója 1. A készítés módjából az is következik, hogy ez a függvéy lesz az 1 főegyütthatójú -ed fokú poliomok közül az amelyik a legkevésbé té el a gx 0 függvéytől a [ 1, 1] itevallumo. Ezét szokás a 0-tól legkevésbé eltéő poliomak is evezi. Bizoyítható, a következő egyelőség: x P 1 1 cos accos x, x [ 1, 1] Defiíció. Az -ed fokú Csebisev-poliomot a következő alakba adhatjuk meg, és T x-szel jelöljük: T x cos accos x, x [ 1, 1] 4. Felmeülhet a kédés, hogy ebből alakból mikét lehet elkészítei az -ed fokú poliomot. Ismet a következő azoosság: továbbá tudjuk, hogy cos x eit + e it 4.4 e it cos t + i si t. 4.5 Az is köye belátható, hogy i si t si t cos t

25 Jelöle θ accos x. A. defiíció alkalmazzuk a 4.4, 4.5 és 4.6 egyeleteket, ekko azt kaptjuk, hogy: T x cosθ eiθ + e iθ cos θ + i si θ + cos θ i si θ cos θ + cos θ 1 + cos θ cos θ 1 Végül θ-t behelyettesítve azt kapjuk, hogy T x x + x 1 + x x Az így kapott kifejezés téyleg poliom, hisze a gyökjel eltűik, ha páos kitevővel edelkezik, ha páatla kitevő szeepel, akko pedig va egy elletétes előjelű pája, így kiullázódik Az appoximációs tétel bizoyítása Csebisev-poliomokkal Legye T +1 x cos + 1 accosx egy +1-ed fokú Csebisev-poliom. Köye elleőizhető, hogy T azaz a poliom szozatalakjába szeepel x szozó téyezőkét. Így yugodta le is oszthatuk vele. Ezt követőe defiiáljuk a következő 4-ed fokú poliomot. ahol K x 1 γ cos + 1 accosx x γ 1 1 Ebből yílvá következik, hogy, 4.8 cos + 1 accosx dx x K x dx Mivel K x páos függvéy, ezét γ -et számíthatjuk a következő módo: 1 cos + 1 accosx γ dx x 0 A továbbiakba aa lesz szükségük, hogy megmutassuk, hogy γ >. Ahhoz, hogy ezt megtehessük szükség va a következő egyszeű összefüggéseke: 1. accos x π acsi x, ha 0 < x < π 4

26 . si x < x, ha x > 0. si x π x, ha x [0, π ] Első lépéskét haszáljuk az 1. összefüggést. γ cos + 1 accosx dx x cos + 1 π acsi x dx. x Az így kapott kifejezés számlálóját tovább alakítjuk a megfelelő tigoometikus összefüggések segítségével. cos cos π + 1 acsi x + 1 π cos + 1 π + 1 acsi x cos + 1 acsi x + si Egyszeűsítve az előző egyelőséget azt kapjuk, hogy Vagyis + 1 π si + 1 acsi x. π cos + 1 acsi x 1 si + 1 acsi x 4.1 γ si + 1 acsi x dx 4.1 A égyzete emelés miatt a 1-szees szozó elhagyható. Haszáljuk a következő helyettesítést acsi x t, ekko az itegáladó kifejezés a következő alakba íható fel: γ π 0 x si + 1 t si t cos t dt 4.14 Eddig ekvivales átalakításokat hajottuk vége, most alulól fogjuk becsüli a feti kifejezést. π si + 1 t 0 si t cos t dt > π t π > 4 1 t 0 0 π +1 dt + 1 π si + 1 t si t π π cos t dt A második becslésél felhaszáltuk a. és a. összefüggéseket, továbbá azt a téyt, hogy γ 0 és má 1-e is 1 < cos t 1, ha t [ ] π 0, + 1 > 5

27 A kapott eedméyt felhaszálva köye megmutatható 1, hogy mide 0, 1 eseté, 1 K x dx 1 1 γ cos + 1 accosx x dx x dx < Eddigi eedméyeiket felhaszálva áttéhetük a Weiestass-tétel bizoyításáa 1. tétel. Legye g egy a [ 1, 1] itevallumo folytoos függvéy. Ekko defiiáljuk az f [, ] itevallumo folytoos függvéyt a következőképpe: g 1, ha x [, 1] fx gx, ha x 1, 1 g1, ha x [1, ] 4.16 Ekko Heie-tétele. tétel alapjá tudjuk, hogy f egyeletese is folytoos a [, ] itevallumo. Ekko mide ε > 0 eseté létezik olya > 0, 0 < < 1 hogy ha x, y [, ] és x y <, akko fx fy < ε Defiiáljuk a következő legfeljebb 4-ed fokú poliomot N. P x 1 t x ftk dt Alkalmazzuk P -e a következő helyettesítést: µ t x/. P x x x Felhaszálva a egyelőséget kapjuk, hogy 1 1 Legye x [ 1, 1], és tekitsük a következő kifejezést: fµ + xk µ dµ 4.19 fxk µ dµ fx. 4.0 f x P x, a 4.0 és a 4.19 egyeleteket felhaszálva, az előző kifejezés így íható fel: 1 x f x K µ dµ f µ + x K µ dµ x Válasszuk úgy -t, hogy teljesítse a koábbi feltételt, vagyis ha x y <, akko f x f x < ε, 4. illetve teljesüljö a következő két feltétel is < x, illetve > x. Felhaszálva a [LTS] 1.9-es és 1.40-es tételeit, megfogalmazhatjuk a következő állítást. 1 A [] lépéseit követve 6

28 5. Állítás. Ha h x itegálható, egy [a, b] itevallumo, amelyet felosztuk észitevallumoka az alábbi módo akko teljesül, hogy a a 0 < a 1 <... < a b, N, b a 1 h x dx i0 ai+1 a i h x dx. 4. Eze állítás felhaszálásával a 4.1 egyelet így íható fel: fx P x f x K µ dµ + f x K µ dµ f x K µ dµ x f µ + x K µ dµ f µ + x K µ dµ x Ezt edezve, illetve összevova a tagokat kapjuk, hogy 1 fx P x + f x K µ dµ f µ + x K µ dµ. f x K µ f µ + x K µ dµ+ x + x f µ + x K µ dµ Ha a tagokak egyekét veszem az abszolút étékét, akko egy felső becslést kapok f x P x -e, vagyis 1 fx P x + f x K µ dµ f x K µ f µ + x K µ dµ + x + + f µ + x K µ dµ x Felhaszálva, hogy K µ páos függvéy, illetve a [LTS] 1.8-as tételéek egyik állítását, miszeit b a b g x dx g x dx, a 7

29 tovább folytathatjuk a becslést. Így kapjuk a []-be is szeeplő alakot: 1 fx P x < + fx K µ dµ fx fµ + x K µ dµ+ x + x fµ + x K µ dµ Heie-tétele alapjá a jobboldali összeg második tagját felülől becsülhetjük az ε K µ dµ 4.4 kifejezéssel. Ismét haszálva K x páitását, illetve azt, hogy mide x [ 1, 1] eseté agyobb, mit ulla az is teljesül, hogy ε K µ dµ ε 1 K µ dµ. 1 A maadék két tag becsléséél is felhaszáljuk, hogy K µ páos függvéy. Jelölje M az f függvéy maximumát a [, ] itevallumo. Így feti összeg első tagja felülől becsülhető a kifejezéssel. M 1 K µ dµ 4.5 Az utolsó tag becsléséél azt haszáljuk még fel, hogy x [ 1, 1]. Hisze ekko max x max x 1. Azaz a hamadik taga is haszálható a becslés. M 1 Összegezve a eddigi eedméyeket azt kaptuk, hogy 1 K µ dµ fx P x ε K µ dµ + M K µ dµ 1 }{{} }{{} ε M 4.7 Az első tagál a egyeletet haszáltuk fel, míg a második tagál a egyelőtleséget, eek eedméyekét azt kaptuk, hogy fx P x ε + 4M, 4.8 8

30 Ha elég agy és x [ 1, 1], akko teljesüli fog, hogy fx P x ε. 4.9 Ezzel bizoyítottuk az állítást a [ 1, 1] itevallum eseté, temészetese a megfelelő átalakításokat elvégezve az állítás igaz lesz tetszőleges [a, b] itevalluma is. 9

31 Iodalomjegyzék [LTS] Laczkovich Miklós - T. Sós Vea: Aalízis I-II. Nemzeti Taköyvkiadó, Budapest, 007. [1] Theodoe J. Rivli: A Itodutio to the Appoximatio of Fuctios. Blaisdell Publishig Compay, 1969 [] Vladislav K. Dzyadyk - Igo A. Shevchuk: Theoy of Uifom Appoximatio of Fuctios by Polyomials. Walte de Guyte, Beli, 008 [] Phillips, G.M.: Itepolatio ad Appoximatio by Polyomials Spige, Hadcove, 00 0