Empirikus szórásnégyzet

Átírás

1 Empirikus égyzet Mi lee hasoló szellembe a becslése a mita alapjá?

2 Empirikus égyzet Mi lee hasoló szellembe a becslése a mita alapjá? Az átlagtól való égyzetes eltérést kée átlagoli...

3 Empirikus égyzet Mi lee hasoló szellembe a becslése a mita alapjá? Az átlagtól való égyzetes eltérést kée átlagoli... Empirikus égyzet Defiíció: Az empirikus égyzet az empirikus átlagtól való égyzetes eltérés átlaga: S 2 = (x1 x)2 + (x 2 x) (x x) 2 = 1 i=1 (x i x) 2.

4 Empirikus Mi lesz az empirikus égyzet várható értéke? S 2 = 1 i x) i=1(x 2 = 1 1 i=1 A második és harmadik tagok: x ix = x i 1 x 2 = [ 1 = j=1 i=1 x j = 1 2 x i] i=1 x 2 i 2x ix + x 2 = [ x 2 i 2 x ix + x 2 ] = x 2 2 j=1 1 x i<j = 1 2 i=1 x i x j 1 x2 + (1 1 ) x 2 i=1 x ix j = 1 [ x2 + ( 1) x 2 ], x 2 i + 2 x ix j i<j = 1 2 i=1 x ix + x 2, x 2 i + 2 i<j = 1 [ ( 1) 2 x2 + 2 x 2 ] = 2 x ix j

5 Empirikus Mi lesz az empirikus égyzet várható értéke? S 2 = 1 i x) i=1(x 2 = 1 1 i=1 A második és harmadik tagok: x ix = x i 1 x 2 = [ 1 = j=1 i=1 x j = 1 2 x i] i=1 x 2 i 2x ix + x 2 = [ x 2 i 2 x ix + x 2 ] = x 2 2 j=1 1 x i<j = 1 2 i=1 x i x j 1 x2 + (1 1 ) x 2 i=1 x ix j = 1 [ x2 + ( 1) x 2 ], x 2 i + 2 x ix j i<j = 1 2 i=1 x ix + x 2, x 2 i + 2 i<j = 1 [ ( 1) 2 x2 + 2 x 2 ] = 2 x ix j

6 Empirikus Mi lesz az empirikus égyzet várható értéke? S 2 = 1 i x) i=1(x 2 = 1 1 i=1 A második és harmadik tagok: x ix = x i 1 x 2 = [ 1 = j=1 i=1 x j = 1 2 x i] i=1 x 2 i 2x ix + x 2 = [ x 2 i 2 x ix + x 2 ] = x 2 2 j=1 1 x i<j = 1 2 i=1 x i x j 1 x2 + (1 1 ) x 2 i=1 x ix j = 1 [ x2 + ( 1) x 2 ], x 2 i + 2 x ix j i<j = 1 2 i=1 x ix + x 2, x 2 i + 2 i<j = 1 [ ( 1) 2 x2 + 2 x 2 ] = 2 x ix j

7 Empirikus Mi lesz az empirikus égyzet várható értéke? S 2 = 1 i x) i=1(x 2 = 1 1 i=1 A második és harmadik tagok: x ix = x i 1 x 2 = [ 1 = j=1 i=1 x j = 1 2 x i] i=1 x 2 i 2x ix + x 2 = [ x 2 i 2 x ix + x 2 ] = x 2 2 j=1 1 x i<j = 1 2 i=1 x i x j 1 x2 + (1 1 ) x 2 i=1 x ix j = 1 [ x2 + ( 1) x 2 ], x 2 i + 2 x ix j i<j = 1 2 i=1 x ix + x 2, x 2 i + 2 i<j = 1 [ ( 1) 2 x2 + 2 x 2 ] = 2 x ix j

8 Empirikus Ez alapjá S 2 = x 2 2 i=1 x ix + x 2 = x [ x2 + ( 1) x 2 ] + 1 x2 + (1 1 ) x 2 = (1 1 ) x2 (1 1 ) x 2 = (1 1 ) [ x2 x 2 ] = 1 [ x 2 x 2 ] = 1 σ2

9 Empirikus Ez alapjá S 2 = x 2 2 i=1 x ix + x 2 = x [ x2 + ( 1) x 2 ] + 1 x2 + (1 1 ) x 2 = (1 1 ) x2 (1 1 ) x 2 = (1 1 ) [ x2 x 2 ] = 1 [ x 2 x 2 ] = 1 σ2 Korrigált empirikus égyzet A fetiek alapjá a korrigált empirikus égyzet: S 2 = 1 S2 = 1 1 i=1 (x i x) 2.

10 Empirikus Ez alapjá S 2 = x 2 2 i=1 x ix + x 2 = x [ x2 + ( 1) x 2 ] + 1 x2 + (1 1 ) x 2 = (1 1 ) x2 (1 1 ) x 2 = (1 1 ) [ x2 x 2 ] = 1 [ x 2 x 2 ] = 1 σ2 Korrigált empirikus égyzet A fetiek alapjá a korrigált empirikus égyzet: S 2 = 1 S2 = 1 1 i=1 (x i x) 2. Az imét láttuk be, hogy S 2 = 1 S2 = σ 2.

11 EGYENLŐTLENSÉGEK

12 Markov egyelőtleség Markov egyelőtleség Ha X 0 valószíűségi változóak véges a várható értéke, akkor tetszőleges ɛ > 0 eseté P(X ɛ) X ɛ. Bizoyítás: X = xρ X(x)dx xρ X(x)dx ɛρ X(x)dx = 0 ɛ ɛ ɛ ρ X(x)dx = ɛp(x ɛ). ɛ

13 Markov egyelőtleség Markov egyelőtleség Ha X 0 valószíűségi változóak véges a várható értéke, akkor tetszőleges ɛ > 0 eseté P(X ɛ) X ɛ. Bizoyítás: X = xρ X(x)dx xρ X(x)dx ɛρ X(x)dx = 0 ɛ ɛ ɛ ρ X(x)dx = ɛp(x ɛ). ɛ

14 Csebisev egyelőtleség Csebisev egyelőtleség Ha X valószíűségi változóak véges a a, akkor tetszőleges ɛ > 0 eseté P ( X X ɛ) σ2 (X) ɛ 2. Bizoyítás: alkalmazzuk a Markov egyelőtleséget az Y = (X X ) 2 változóra ɛ helyett ɛ 2 -tel: P ( X X ɛ) = P ((X X ) 2 ɛ 2 ) (X X )2 ɛ 2 = σ2 (X) ɛ 2. Beroulli tétele

15 Csebisev egyelőtleség Csebisev egyelőtleség Ha X valószíűségi változóak véges a a, akkor tetszőleges ɛ > 0 eseté P ( X X ɛ) σ2 (X) ɛ 2. Bizoyítás: alkalmazzuk a Markov egyelőtleséget az Y = (X X ) 2 változóra ɛ helyett ɛ 2 -tel: P ( X X ɛ) = P ((X X ) 2 ɛ 2 ) (X X )2 ɛ 2 = σ2 (X) ɛ 2. Beroulli tétele

16 Csebisev egyelőtleség Alkalmazzuk a Csebisev egyelőtleséget ɛ helyett ɛ σ értékkel: P ( X X σ(x) ɛ) σ2 (X) σ 2 (X) ɛ 2 = 1 ɛ 2. Példa A gyakorlatba agyo sokszor halljuk, hogy valami 3σ - belül va. Ez általáos esetbe a következőt jeleti: P( x x 3σ) 1/ σ <x> 3σ Normális eloszlás

17 Relatív Relatív Defiíció: Egy X valószíűségi változó relatív át úgy kapjuk, hogy a t leormáljuk a várható értékkel: σ R(X) = σ(x) X. Ha a Csebisev egyelőtleséget ɛ helyett ɛ X -al alkalmazzuk: P ( X X ɛ X ) P ( X X ɛ) X σ 2 (X) ɛ 2 X 2 σ 2 R(X) ɛ 2, vagyis aak valószíűsége, hogy a relatív eltérés agyobb mit ɛ, az kisebb mit a relatív égyzet osztva ɛ 2 -tel.

18 Relatív Relatív Defiíció: Egy X valószíűségi változó relatív át úgy kapjuk, hogy a t leormáljuk a várható értékkel: σ R(X) = σ(x) X. Ha a Csebisev egyelőtleséget ɛ helyett ɛ X -al alkalmazzuk: P ( X X ɛ X ) P ( X X ɛ) X σ 2 (X) ɛ 2 X 2 σ 2 R(X) ɛ 2, vagyis aak valószíűsége, hogy a relatív eltérés agyobb mit ɛ, az kisebb mit a relatív égyzet osztva ɛ 2 -tel.

19 Relatív Példa Tegyük fel, hogy a drazsé csomagoló gépük által előállított zacskókál a tartalmazott drazsé súlyáak relatív a Átlagosa 100 zacskóból legfeljebb háy eseté lehet 5 % ál agyobb a drazsé súlyáak relatív eltérése a zacskó feltütetett átlagértékél?

20 Relatív Példa Tegyük fel, hogy a drazsé csomagoló gépük által előállított zacskókál a tartalmazott drazsé súlyáak relatív a Átlagosa 100 zacskóból legfeljebb háy eseté lehet 5 % ál agyobb a drazsé súlyáak relatív eltérése a zacskó feltütetett átlagértékél? P ( X X > 0.05) = = 0.09 X ból átlagosa legfeljebb 9 szer.

21 Relatív Példa Tegyük fel, hogy az EU-s drazsé szabályozás csak azt modja ki, hogy a zacskó feltütetett súlyhoz viszoyítva a tartalmazott drazsé súlyáak relatív eltérése csak az esetek 4%-ba lehet 5%-ál magasabb. Ha ravasz kereskedőkét lecseréljük csomagoló gépüket egy sokkal precízebbre, melyél a relatív csak 0.005, akkor háy százalékkal lehet magasabb a zacskó feltütetett z súly a téyleges X átlagál eze szabály megszegéséek veszélye élkül?

22 Relatív Példa Eek kell teljesülie: A baloldalt átalakítjuk: P ( X z > 0.05) 0.04 z A Csebisev egyelőtleség: P ( X z > 0.05) P ( X z z X > 0.05) = P X X + z X > 0.05 X X d rel X X = P ( > 0.05 d rel ) X P ( X X > 0.05 d rel ) X (0.05 d rel ) (0.05 d rel) = ( d rel ) 2 25 d rel = 0.025, azaz kb. 2.5%-al lehet magasabb a feltütetett érték a valódiál!

23 Csebisev egyelőtleség Ha egy X változóak X = µ a a és V(X) = σ 2 a a, akkor legye Z egy új változó, mely Z = X µ σ.

24 Csebisev egyelőtleség Ha egy X változóak X = µ a a és V(X) = σ 2 a a, akkor legye Z egy új változó, mely Z = X µ σ. Mi lesz Z várható értéke és a? Hogy éz ki a Csebisev-egyelőtleség Z-re?

25 Csebisev egyelőtleség Ha egy X változóak X = µ a a és V(X) = σ 2 a a, akkor legye Z egy új változó, mely Z = X µ σ. Mi lesz Z várható értéke és a? Hogy éz ki a Csebisev-egyelőtleség Z-re? Z = 0, V(Z) = 1, P ( Z > ɛ) 1 ɛ 2. Már mid a külső egyelőtleség, mid a belső egyelőtleség baloldalá olya paraméter szerepel, amit szabado választhatuk meg, em függ az eloszlástól közvetleül.

26 egyelőtleség egyelőtleség Beroulli változókra Tegyük fel, hogy X 1, X 2,..., X függetle, Beroulli eloszlású véletle változók, mit pl. a pézfeldobások sorozata, ahol P(X i = 1) = p, P(X i = 0) = 1 p, i. A változók átlagát a szokásos módo defiiálhatjuk, X = 1 i=1 X i. Az övelésével ez expoeciálisa gyorsa közelít p-hez, ugyais mide ɛ > 0 eseté P ( X p ɛ) 2e 2ɛ2.

27 egyelőtleség egyelőtleség (általáos esetbe) Tegyük fel, hogy X 1, X 2,..., X függetle korlátos változók, melyek egyekét az [a i, b i] itervallumokba vehetek fel értékeket. Ilyekor a változók átlaga, X = 1 i=1 az övelésével expoeciália gyorsa közelít a saját várható értékéhez, mert bármely ɛ > 0 eseté X i, P ( X E(X ) ɛ) 2 exp i=1 2 2 ɛ 2. (b i a i) 2

28 egyelőtleség Bizoyítás: lemma A bizoyítás em kerül számokérésre a vizsgá! A bizoyításhoz a lemmára va szükség, ami kimodja, hogy ha egy E(X) = 0 várható értékű X véletle változó értéke az [a, b] itervallumra korlátozódik, akkor bármely λ eseté E(e λx ) exp ( λ2 (b a) 2 ). 8 A lemma bizoyítása: - Mivel e sx egy kovex függvéy, x [a, b] - Midkét oldal várható értékét véve E(e sx ) b E(X) b a e sx b x b a esa + x a b a esb. e sa + E(X) a e sb = b a E(X)=0 ( a b a ) esa [ b a + esb sa ] = ( a b a ) esa [ b a + a + e s(b a) ] a b b a esa a b a esb =

29 egyelőtleség lemma E(e sx ) ( a b a ) esa [ b a + a + e s(b a) ] = a ( a b a ) esa [ b a 1 + e s(b a) ]. a - Defiiáljuk θ-t úgy mit θ = a > 0, ezzel b a E(e sx ) (1 θ + θe s(b a) ) e sθ(b a). - Továbbá legye u = s(b a) valamit ϕ R R with ϕ(u) = θu + l(1 θ + θe u ). Ezek révé E(e sx ) e φ(u). - A középértéktételt fogjuk haszáli, mely szerit mide u eseté va egy olya v a 0 és u között, melyre ϕ(u) = ϕ(0) + uϕ (0) + u2 2 ϕ (v).

30 egyelőtleség lemma - A ϕ(u) = θu + l(1 θ + θe u ) deriváltjai: ϕ(0) = 0 ϕ (0) = θe u θ + 1 θ + θe = 0 u u=0 ϕ (v) = θe v θe v (1 1 θ + θe v 1 θ + θe ) = t(1 t) 1 v 4. t - Ezek alapjá a középértéktételt haszálva ϕ(u) u + u = s2 (b a) 2, 8 - amivel bebizoyítottuk a lemmát, E(e sx ) e ϕ(u) exp ( s2 (b a) 2 ). 8

31 egyelőtleség A egyelőtleség bizoyítása Először is az állításba szereplő valószíűség ekvivales alakjait haszáljuk, 2 2 ɛ 2 P ( X E(X ) ɛ) 2 exp ( i=1(b i a ). i) 2 valamit 2 2 ɛ 2 P (X E(X ) ɛ) exp ( i=1(b i a ). i) 2 A baloldalo bármely s > 0 eseté P (X E(X ) ɛ) = P (e s(x E(X)) > e sɛ ). Mivel a baloldalo szereplő változó emegatív, haszálhatjuk a Markov egyelőtleséget, P (X E(X ) ɛ) = P (e s(x E(X)) > e sɛ ) e sɛ E [e s(x E(X)) ] = e sɛ E [e s (X i E(X i )) ] i=1

32 egyelőtleség A egyelőtleség bizoyítása A fetiek alapjá P (X E(X ) ɛ) e sɛ E [e s (X i E(X i )) ]. i=1 A jobboldalo a lemmát alkalmazzuk, P (X E(X ) ɛ) e sɛ E [e s (X i E(X i )) ] i=1 e sɛ e s 2 (bi a i ) = exp ( sɛ + s2 i=1 8 2 i=1 (b i a i) 2 ). A lehető legjobb felső becsléshez az g(s) = sɛ + s2 8 2 i=1(b i a i) 2 függvéy s szeriti miimumát kell megtaláli, ami törtéetese s = 4ɛ 2 [ i=1(b i a i) 2 ] 1 -él va. Ezt visszahelyettesítve 2ɛ 2 2 P (X E(X ) ɛ) exp ( i=1(b i a ). i) 2

33 egyelőtleség egyelőtleség Ha f (x) egy kovex függvéy, g(x) pedig egy kokáv függvéy, akkor E[f (X)] f (E[x]), E[g(X)] g(e[x]). Bizoyítás: Legye h(x) = ax + b az f (x) éritője be az x = E(X) potba. Mivel f (x) kovex, eze egyees fölött halad, E[f (X)] E[h(x)] = E[ax + b] = ae(x) + b = h(x = E[X]) = f (E[X]). Következméy: Pl. f (x) = x 2 kovex, ezért E(X 2 ) (E[X]) 2,

34 egyelőtleség egyelőtleség Ha f (x) egy kovex függvéy, g(x) pedig egy kokáv függvéy, akkor E[f (X)] f (E[x]), E[g(X)] g(e[x]). Bizoyítás: Legye h(x) = ax + b az f (x) éritője be az x = E(X) potba. Mivel f (x) kovex, eze egyees fölött halad, E[f (X)] E[h(x)] = E[ax + b] = ae(x) + b = h(x = E[X]) = f (E[X]). Következméy: Pl. f (x) = x 2 kovex, ezért E(X 2 ) (E[X]) 2,

35 egyelőtleség egyelőtleség Ha f (x) egy kovex függvéy, g(x) pedig egy kokáv függvéy, akkor E[f (X)] f (E[x]), E[g(X)] g(e[x]). Bizoyítás: Legye h(x) = ax + b az f (x) éritője be az x = E(X) potba. Mivel f (x) kovex, eze egyees fölött halad, E[f (X)] E[h(x)] = E[ax + b] = ae(x) + b = h(x = E[X]) = f (E[X]). Következméy: Pl. f (x) = x 2 kovex, ezért E(X 2 ) (E[X]) 2,

36 MOMENTUMOK, GENERÁTORFÜGGVÉNY, KARAKTERISZTIKUS FÜGGVÉNY

37 általáos defiíciója Defiíció: A X valószíűségi változó k-adik mometuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószíűségi változó k-adik cetrális mometuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első mometuma? Mi X második cetrális mometuma?

38 általáos defiíciója Defiíció: A X valószíűségi változó k-adik mometuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószíűségi változó k-adik cetrális mometuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első mometuma? Mi X második cetrális mometuma?

39 általáos defiíciója Defiíció: A X valószíűségi változó k-adik mometuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószíűségi változó k-adik cetrális mometuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első mometuma? A várható érték! Mi X második cetrális mometuma?

40 általáos defiíciója Defiíció: A X valószíűségi változó k-adik mometuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószíűségi változó k-adik cetrális mometuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első mometuma? A várható érték! Mi X második cetrális mometuma?

41 általáos defiíciója Defiíció: A X valószíűségi változó k-adik mometuma: X k = x k = x k ρ X(x)dx. A X valószíűségi változó k-adik cetrális mometuma: µ k = (X X ) k = (x x ) k = (x x ) k ρ X(x)dx. Mi X első mometuma? A várható érték! Mi X második cetrális mometuma? A égyzet!

42 Defiíció: Ha X diszkrét valószíűségi változó, mely em egatív egész számokat vehet fel a P(X = 0) = p 0, P(X = 1) = p 1, P(X = k) = p k, eloszlással, akkor a hozzá tartozó geerátorfüggvéy: azaz formálisa G X(z) = z X. G X(z) = p kz k, k=0

43 és mometumok Ha G(z) = p kz k, akkor k=0 Mi lesz G(1)? Hogya lehet p k-t a G(z) segítségével kifejezi? Hogya lehet a X = k várható értéket G(z) segítségével kifejezi?

44 és mometumok Ha G(z) = p kz k, akkor k=0 Mi lesz G(1)? Hogya lehet p k-t a G(z) segítségével kifejezi? Hogya lehet a X = k várható értéket G(z) segítségével kifejezi? és mometumok G(1) = 1, p k = 1 k! X = k = d k G(z), dz k z=0 k=0 X = k = k=0 kp k = dg(z) = G (1), dz z=1 k p k = [z z ] G(z) z=1

45 és mometumok és mometumok A várható érték és kifejezése a geerátorfüggvéy segítségével: X = k = kp k = dg(z) = G (1), dz z=1 k=0 σ 2 (X) = X 2 X 2 = [z z ] 2 G(z) z=1 G (1) 2 = [z z ] zg (1) G (1) 2 = G (1) + G (1) G (1) 2. z=1

46 és mometumok eloszlás a a mometumok geerátorfüggvéy Az összes mometum ismerete egyelő az eloszlás ismeretével!

47 Példák Példa Korábba láttuk, hogy a biomiális eloszlás számos fotos problémáál felbukka, (pl. valszám vizsgát sikerese lerakó hallgatók száma, véletle gráf fokszámeloszlása, stb.). Mi lesz a biomiális eloszlás geerátorfüggvéye? Beroulli problémája Biomiális eloszlás I. Várható érték Biomiális eloszlás II.

48 Példák Példa Korábba láttuk, hogy a biomiális eloszlás számos fotos problémáál felbukka, (pl. valszám vizsgát sikerese lerakó hallgatók száma, véletle gráf fokszámeloszlása, stb.). Mi lesz a biomiális eloszlás geerátorfüggvéye? P(X = k) = p k = ( N k )pk (1 p) N k, G X(z) = N k=0 N ( N k )pk (1 p) N k z k = ( N k )(pz)k (1 p) N k = k=0 (pz + 1 p) N = (1 p(1 z)) N. Beroulli problémája Biomiális eloszlás I. Várható érték Biomiális eloszlás II.

49 Példák Példa Korábba láttuk, hogy a biomális eloszlást agy N-ek eseté Poisso eloszlással szoktuk közelítei. Mi lesz a Poisso eloszlás geerátorfüggvéye? Poisso eloszlás I. Poisso eloszlás II.

50 Példák Példa Korábba láttuk, hogy a biomális eloszlást agy N-ek eseté Poisso eloszlással szoktuk közelítei. Mi lesz a Poisso eloszlás geerátorfüggvéye? P(X = k) = p k = λk e λ G X(z) = k=0 = e λ(z 1). k! λ k e λ z k (λz) k e λ = k! k! k=0 = e λ e λz (λz) k e λz k=0 k! 1 Poisso eloszlás I. Poisso eloszlás II.

51 Összeg geerátorfüggvéye Ha X és Y függetle, akkor mikét lehet a Z = X + Y változó geerátorfüggvéyét kifejezi a X és Y geerátorfüggvéyeivel? Összeg eloszlása

52 Összeg geerátorfüggvéye Ha X és Y függetle, akkor mikét lehet a Z = X + Y változó geerátorfüggvéyét kifejezi a X és Y geerátorfüggvéyeivel? p (Z) k = i G Z(z) = k G Z(z) = i p (X) i p (Y) k i, p (Z) k p (X) i z k = k z i j i p (X) i p (Y) k i zk = p (Y) j z j = G X(z)G Y(z). k i p (X) i p (Y) k i zi z k i = Összeg eloszlása

53 Összeg geerátorfüggvéye Ha X és Y függetle, akkor mikét lehet a Z = X + Y változó geerátorfüggvéyét kifejezi a X és Y geerátorfüggvéyeivel? p (Z) k = i G Z(z) = k G Z(z) = i p (X) i p (Y) k i, p (Z) k p (X) i z k = k z i j i p (X) i p (Y) k i zk = p (Y) j z j = G X(z)G Y(z). k i p (X) i p (Y) k i zi z k i = Összeg geerátorfüggvéye Ha X 1, X 2,..., X függetle valószíűségi változók és Y = X 1 + X X, akkor Y geerátorfüggvéye: G Y(z) = G X1 +X 2 + +X (z) = z X 1+X 2 + +X = z X 1 z X 2 z X = z X 1 z X 2 z X = G X1 (z)g X2 (z) G X (z). Összeg eloszlása

54 Több dimeziós eset több dimezióba Defiíció: Ha a X valószíűségi változó kompoesei em egatív egész számokat vehetek fel, a P( X = k) = P(X 1 = k 1, X 2 = k 2,..., X = k ) = p k1,k 2,...,k eloszlással, akkor a hozzá tartozó geerátorfüggvéy: G X( z) = G X(z 1, z 2,..., z ) = k 1 =0 k 2 =0 k =0 p k1,k 2,...,k z k 1 1 zk 2 2 zk.

55 Több dimeziós eset és G( z) Az i-edik kompoes várható értéke: X i = k 1 =0 k 2 =0 k =0 A magasabb mometumok és a : (X i) r = k 1 =0 k 2 =0 k =0 k ip k1,k 2,...,k = G( z). z i z=1 k r i p k1,k 2,...,k = [z i ] z i r G( z), z=1 σ 2 (X i) = X 2 i X i 2 2 = [z i ] G( z) [ G( z) z i z=1 2 G( z) + G( z) [ G( z) 2 ] z 2 i z z=1 i z=1 z i z=1 z i z=1 2 ] =

56 Ez az alfejezet semmilye formába em kerül számokérésre... De egy érdekes példát mutat geerátorfüggvéyek alkalmazására.

57 Ez az alfejezet semmilye formába em kerül számokérésre... De egy érdekes példát mutat geerátorfüggvéyek alkalmazására.

58 Összefüggő kompoes egy : olya rész hálózat, melybe a kapcsolatoko (éleke) keresztül eljuthatuk akármelyik csomópotból (csúcsból) akármelyik másik csomópotba. Óriás kompoes: amiek s 1 mérete a teljes redszerméret, N mellett sem elhayagolható, s 1 > 0 akkor is, ha N. N Óriás kompoes jeleléte vagy hiáya drasztikusa megváltoztatja a hálózat viselkedését. Mikor jeleik meg/tűik el az óriás kompoes? PERKOLÁCIÓ

59 Összefüggő kompoes egy : olya rész hálózat, melybe a kapcsolatoko (éleke) keresztül eljuthatuk akármelyik csomópotból (csúcsból) akármelyik másik csomópotba. Óriás kompoes: amiek s 1 mérete a teljes redszerméret, N mellett sem elhayagolható, s 1 > 0 akkor is, ha N. N Óriás kompoes jeleléte vagy hiáya drasztikusa megváltoztatja a hálózat viselkedését. Mikor jeleik meg/tűik el az óriás kompoes? PERKOLÁCIÓ

60 Összefüggő kompoes egy : olya rész hálózat, melybe a kapcsolatoko (éleke) keresztül eljuthatuk akármelyik csomópotból (csúcsból) akármelyik másik csomópotba. Óriás kompoes: amiek s 1 mérete a teljes redszerméret, N mellett sem elhayagolható, s 1 > 0 akkor is, ha N. N Óriás kompoes jeleléte vagy hiáya drasztikusa megváltoztatja a hálózat viselkedését. Mikor jeleik meg/tűik el az óriás kompoes? PERKOLÁCIÓ

61 Összefüggő kompoes egy : olya rész hálózat, melybe a kapcsolatoko (éleke) keresztül eljuthatuk akármelyik csomópotból (csúcsból) akármelyik másik csomópotba. Óriás kompoes: amiek s 1 mérete a teljes redszerméret, N mellett sem elhayagolható, s 1 > 0 akkor is, ha N. N Óriás kompoes jeleléte vagy hiáya drasztikusa megváltoztatja a hálózat viselkedését. Mikor jeleik meg/tűik el az óriás kompoes? PERKOLÁCIÓ

62 Perkoláció szabályos rácso Perkoláció szabályos rácso egy rácspot (vagy él) betöltött p valószíűséggel, a kritikus p c-él megjeleik a perkoláló klaszter. s S= 1 N (Barabási A.-L. fóliáiról)

63 Pl. a véletle csúcs (vagy él) meghibásodások felfoghatók úgy, mit egy iverz perkolációs folyamat. (Barabási A.-L. fóliáiról)

64 Célkitűzés Hol va a perkoláció kritikus potja egy véletle? Feltevéseik: ismerjük a fokszámeloszlást: p(k) = P( egy v.v. csúcsak k kapcsolata va ), a kritikus potot a széttöredezett fázis felől közelítjük: a hálózat még elég ritka és elég véletle ahhoz, hogy lokálisa fa szerű legye.

65 Perkoláció és geerátorfüggvéyek Bevezetük éháy diszkrét eloszlást: p(k) k p(k) = P(v.v csúcsak k éle va ). (Ezt hívják fokszámeloszlásak). I(k) S=k I(k) = P(v.v. csúcs egy k méretű kompoesbe va). H(k) S=k Σ S=k H(k) = P(v.v. él egyik végé egy k méretű kompoes va). H (k) m m H m(k) = P(v.v. m darab élek egyik végei található kompoesek összmérete k).

66 Perkoláció és geerátorfüggvéyek Alapötlet: I(k) = p(0)h 0 (k 1) + p(1)h 1 (k 1) + p(2)h 2 (k 1) p(m)h m(k 1) +... = p(m)h m(k 1) m=0 Vesszük midkét oldal geerátorfüggvéyét: G I (x) = = p(m)h m(k 1)x k = k=0 m=0 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k

67 Perkoláció és geerátorfüggvéyek Alapötlet: I(k) = p(0)h 0 (k 1) + p(1)h 1 (k 1) + p(2)h 2 (k 1) p(m)h m(k 1) +... = p(m)h m(k 1) m=0 Vesszük midkét oldal geerátorfüggvéyét: G I (x) = = p(m)h m(k 1)x k = k=0 m=0 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k

68 Perkoláció és geerátorfüggvéyek Alapötlet: I(k) = p(0)h 0 (k 1) + p(1)h 1 (k 1) + p(2)h 2 (k 1) p(m)h m(k 1) +... = p(m)h m(k 1) m=0 Vesszük midkét oldal geerátorfüggvéyét: G I (x) = = p(m)h m(k 1)x k = k=0 m=0 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k

69 Perkoláció és geerátorfüggvéyek A G H,m(x) kifejezhető G H(x)-el: S=k Σ S=k G H,m (x) = [G H (x)] m H(k) G I (x) = = m H (k) m 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 [G H(x)] m x x=0 k p(m) [G H (x)] m x = xg(g H (x)), m=0 ahol G(x) a p(k) fokszámeloszlás geerátorfüggvéye.

70 Perkoláció és geerátorfüggvéyek A G H,m(x) kifejezhető G H(x)-el: S=k Σ S=k G H,m (x) = [G H (x)] m H(k) G I (x) = = m H (k) m 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k 1 d k 1 p(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 [G H(x)] m x x=0 k p(m) [G H (x)] m x = xg(g H (x)), m=0 ahol G(x) a p(k) fokszámeloszlás geerátorfüggvéye.

71 Perkoláció és geerátorfüggvéyek I(k) = P(v.v csúcs egy k méretű kompoesbe va). Egy v.v csúcs kompoeséek várható mérete: S = G I(1) = [xg(g H (x)] x=1 = G(G I (1)) + G (1)G H(1) = = 1 + k G H(1), ahol G (1) = k a fokszám várható értéke. Hogya lehete G H(1)-et meghatározi?

72 Perkoláció és geerátorfüggvéyek I(k) = P(v.v csúcs egy k méretű kompoesbe va). Egy v.v csúcs kompoeséek várható mérete: S = G I(1) = [xg(g H (x)] x=1 = G(G I (1)) + G (1)G H(1) = = 1 + k G H(1), ahol G (1) = k a fokszám várható értéke. Hogya lehete G H(1)-et meghatározi?

73 Perkoláció és geerátorfüggvéyek I(k) = P(v.v csúcs egy k méretű kompoesbe va). Egy v.v csúcs kompoeséek várható mérete: S = G I(1) = [xg(g H (x)] x=1 = G(G I (1)) + G (1)G H(1) = = 1 + k G H(1), ahol G (1) = k a fokszám várható értéke. Hogya lehete G H(1)-et meghatározi?

74 Perkoláció és geerátorfüggvéyek G H(1) meghatározásához egy újabb eloszlást kell bevezetük: q(k) Ötlet: } k q(k) = P(v.v él egyik végé k további élekre lehet tovább mei). H(k) = q(0)h 0 (k 1) + q(1)h 1 (k 1) + q(2)h 2 (k 1) q(m)h m(k 1) +... = q(m)h m(k 1) m=0 Megit vesszük midkét oldal geerátorfüggvéyét.

75 Perkoláció és geerátorfüggvéyek G H(1) meghatározásához egy újabb eloszlást kell bevezetük: q(k) Ötlet: } k q(k) = P(v.v él egyik végé k további élekre lehet tovább mei). H(k) = q(0)h 0 (k 1) + q(1)h 1 (k 1) + q(2)h 2 (k 1) q(m)h m(k 1) +... = q(m)h m(k 1) m=0 Megit vesszük midkét oldal geerátorfüggvéyét.

76 Perkoláció és geerátorfüggvéyek G H(1) meghatározásához egy újabb eloszlást kell bevezetük: q(k) Ötlet: } k q(k) = P(v.v él egyik végé k további élekre lehet tovább mei). H(k) = q(0)h 0 (k 1) + q(1)h 1 (k 1) + q(2)h 2 (k 1) q(m)h m(k 1) +... = q(m)h m(k 1) m=0 Megit vesszük midkét oldal geerátorfüggvéyét.

77 Perkoláció és geerátorfüggvéyek G H(1) meghatározásához egy újabb eloszlást kell bevezetük: q(k) Ötlet: } k q(k) = P(v.v él egyik végé k további élekre lehet tovább mei). H(k) = q(0)h 0 (k 1) + q(1)h 1 (k 1) + q(2)h 2 (k 1) q(m)h m(k 1) +... = q(m)h m(k 1) m=0 Megit vesszük midkét oldal geerátorfüggvéyét.

78 Perkoláció és geerátorfüggvéyek G H (x) = = = = q(m)h m(k 1)x k = k=0 m=0 1 d k 1 q(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 G x H,m(x) x=0 k 1 d k 1 q(m) k=0 m=0 (k 1)! dx k 1 [G H(x)] m x x=0 k q(m) [G H (x)] m x = xg q(g H (x)) m=0 G H(1) = G q(g H (1)) + G q(1)g H(1) = 1 + G q(1)g H(1) G H(1) = 1 1 G q(1)

79 Perkoláció és geerátorfüggvéyek Visszahelyettesítve: A kritikus pot: S = 1 + k G H(1) = 1 + G q(1) = 1 k 1 G q(1) A G q(x)-t ki tudjuk fejezi a fokszámeloszlás segítségével: q(k) = P(v.v él egyik végé k + 1 fokszámú csúcs), kn k kp(k) P(él végé k fokszámú csúcs) = k k = N k k k p(k ) = q(k) = k + 1 p(k + 1) k = kp(k) k G q(x) = 1 (k + 1)p(k + 1)x k = 1 lp(l)x l 1 = G (x) k k=0 k l=1 k

80 Perkoláció és geerátorfüggvéyek Visszahelyettesítve: A kritikus pot: S = 1 + k G H(1) = 1 + G q(1) = 1 k 1 G q(1) A G q(x)-t ki tudjuk fejezi a fokszámeloszlás segítségével: q(k) = P(v.v él egyik végé k + 1 fokszámú csúcs), kn k kp(k) P(él végé k fokszámú csúcs) = k k = N k k k p(k ) = q(k) = k + 1 p(k + 1) k = kp(k) k G q(x) = 1 (k + 1)p(k + 1)x k = 1 lp(l)x l 1 = G (x) k k=0 k l=1 k

81 Perkoláció és geerátorfüggvéyek Visszahelyettesítve: A kritikus pot: S = 1 + k G H(1) = 1 + G q(1) = 1 k 1 G q(1) A G q(x)-t ki tudjuk fejezi a fokszámeloszlás segítségével: q(k) = P(v.v él egyik végé k + 1 fokszámú csúcs), kn k kp(k) P(él végé k fokszámú csúcs) = k k = N k k k p(k ) = q(k) = k + 1 p(k + 1) k = kp(k) k G q(x) = 1 (k + 1)p(k + 1)x k = 1 lp(l)x l 1 = G (x) k k=0 k l=1 k

82 Perkoláció és geerátorfüggvéyek Visszahelyettesítve: A kritikus pot: S = 1 + k G H(1) = 1 + G q(1) = 1 k 1 G q(1) A G q(x)-t ki tudjuk fejezi a fokszámeloszlás segítségével: q(k) = P(v.v él egyik végé k + 1 fokszámú csúcs), kn k kp(k) P(él végé k fokszámú csúcs) = k k = N k k k p(k ) = q(k) = k + 1 p(k + 1) k = kp(k) k G q(x) = 1 (k + 1)p(k + 1)x k = 1 lp(l)x l 1 = G (x) k k=0 k l=1 k

83 Perkoláció és geerátorfüggvéyek A G q(1) a másodszomszédok számáak várható értékével áll agyo szoros kapcsolatba. Bevezetjük: q m(k) k q m(k) = P(m darab v.v. élek egyik végei összese k további élekre lehet továbbmei). m 2(k) = P(egy v.v. csúcs másodszomszédaiak száma k). 2(k) = p(0)q 0(k) + p(1)q 1(k) + p(2)q 2(k) p(m)q m(k) +... = p(m)q m(k) m=0 (Megit vesszük midkét oldal geerátorfüggvéyét).

84 Perkoláció és geerátorfüggvéyek A G q(1) a másodszomszédok számáak várható értékével áll agyo szoros kapcsolatba. Bevezetjük: q m(k) k q m(k) = P(m darab v.v. élek egyik végei összese k további élekre lehet továbbmei). m 2(k) = P(egy v.v. csúcs másodszomszédaiak száma k). 2(k) = p(0)q 0(k) + p(1)q 1(k) + p(2)q 2(k) p(m)q m(k) +... = p(m)q m(k) m=0 (Megit vesszük midkét oldal geerátorfüggvéyét).

85 Perkoláció és geerátorfüggvéyek A G q(1) a másodszomszédok számáak várható értékével áll agyo szoros kapcsolatba. Bevezetjük: q m(k) k q m(k) = P(m darab v.v. élek egyik végei összese k további élekre lehet továbbmei). m 2(k) = P(egy v.v. csúcs másodszomszédaiak száma k). 2(k) = p(0)q 0(k) + p(1)q 1(k) + p(2)q 2(k) p(m)q m(k) +... = p(m)q m(k) m=0 (Megit vesszük midkét oldal geerátorfüggvéyét).

86 Perkoláció és geerátorfüggvéyek A G q(1) a másodszomszédok számáak várható értékével áll agyo szoros kapcsolatba. Bevezetjük: q m(k) k q m(k) = P(m darab v.v. élek egyik végei összese k további élekre lehet továbbmei). m 2(k) = P(egy v.v. csúcs másodszomszédaiak száma k). 2(k) = p(0)q 0(k) + p(1)q 1(k) + p(2)q 2(k) p(m)q m(k) +... = p(m)q m(k) m=0 (Megit vesszük midkét oldal geerátorfüggvéyét).

87 Perkoláció és geerátorfüggvéyek G,2 (x) = = = = p(m)q m(k)x k = k=0 m=0 p(m) 1 d k k=0 m=0 k! dx k Gm,q(x) x k = x=0 p(m) 1 d k k=0 m=0 k! dx k [Gq(x)]m x x=0 k = p(m) [G q(x)] m = G(G q(x)) m=0 z 2 = 2 = G,2 (1) = G (1)G q(1) = k G q(1) G q(1) = z 2 k = z 2 z 1

88 Perkoláció és geerátorfüggvéyek A perkoláció kritikus potja Ez alapjá a kompoesméret várható értéke S = 1 + k 1 G q(1) = 1 + k 1 z 2 / k = = 1 + k 2 k z 2 = 1 + z 2 1 z 1 z 2 Ez a következőket jeleti: z 1 > z 2 pici, izolált klaszterek z 1 = z 2 KRITIKUS PONT! z 1 < z 2 óriás kompoes

89 Perkoláció és geerátorfüggvéyek A perkoláció kritikus potja Ez alapjá a kompoesméret várható értéke S = 1 + k 1 G q(1) = 1 + k 1 z 2 / k = = 1 + k 2 k z 2 = 1 + z 2 1 z 1 z 2 Ez a következőket jeleti: z 1 > z 2 pici, izolált klaszterek z 1 = z 2 KRITIKUS PONT! z 1 < z 2 óriás kompoes

90 Perkoláció és geerátorfüggvéyek Perkoláció az Erdős Réyi modellbe Mit kapuk pl. Erdős Réyi féle véletle gráfra? A fokszámeloszlás biomiális, ami jól közelíthető Poisso-eloszlással: p(k) = ( N k )pk (1 p) N k k k k! e k, G(x) = e k (z 1) G q(x) = G (x) k = e k (z 1) = G(x), azaz a kritikus potra, azt kapjuk, hogy G q(1) = G (1) = k = 1. (Ez egy híres eredméy, ami teljes precizitással, az általuk haszált közelítő feltevések élkül is bebizoyítható).

91 Perkoláció és geerátorfüggvéyek Perkoláció az Erdős Réyi modellbe Mit kapuk pl. Erdős Réyi féle véletle gráfra? A fokszámeloszlás biomiális, ami jól közelíthető Poisso-eloszlással: p(k) = ( N k )pk (1 p) N k k k k! e k, G(x) = e k (z 1) G q(x) = G (x) k = e k (z 1) = G(x), azaz a kritikus potra, azt kapjuk, hogy G q(1) = G (1) = k = 1. (Ez egy híres eredméy, ami teljes precizitással, az általuk haszált közelítő feltevések élkül is bebizoyítható).

92 Perkoláció és geerátorfüggvéyek Perkoláció az Erdős Réyi modellbe Mit kapuk pl. Erdős Réyi féle véletle gráfra? A fokszámeloszlás biomiális, ami jól közelíthető Poisso-eloszlással: p(k) = ( N k )pk (1 p) N k k k k! e k, G(x) = e k (z 1) G q(x) = G (x) k = e k (z 1) = G(x), azaz a kritikus potra, azt kapjuk, hogy G q(1) = G (1) = k = 1. (Ez egy híres eredméy, ami teljes precizitással, az általuk haszált közelítő feltevések élkül is bebizoyítható).

93 Perkoláció és geerátorfüggvéyek