Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ

Átírás

1 Emlékeztető: az -dimeziós sokaság görbültségét kifejező meyiség a Riema-tezor (Riema, 1854: ' ( ' $ ' #µ $ µ# ahol a ú. koexiós koefficiesek (vagy Christoffel-szimbólumok a metrikus tezor g # x $ kompoeseiből kaphatók meg: µ# ( $ = 1 (&g #% 2 g$% &x + &g %µ ' &g + µ# - µ &x # &x %, ahol g # a metrikus tezor iverze. A Riema-tezor tehát a metrikus tezor első és második deriváltjait tartalmazza. (Mit ahogy 2D-be a K Gauss-görbület is a metrikus tezor első és második deriváltjait tartalmazza. 1 Néháy új meyiség: Ricci-tezor: R # $ R 0 0 # + R 1 1# + R 2 2 # + R 3 3# = R % %# Ricci-skalár: R g 00 R 00 + g 01 R g 33 R 33 = g R A Ricci-tezorba és a Ricci-skalárba is a metrikus tezor első és második deriváltjai szerepelek (ha részletese kiírjuk őket. 2 1

2 Az Eistei-egyelet (az ált. rel. elm. alapegyelete: R # $ 1 2 g # R = 8%G c 4 T # [E] T # : Az eergia-impulzus tezor a téridő adott potjába (az adott eseméybe. Pl. vákuumba: T # = 0. [E] jeletése: A tömeg előírja a téridőek, hogya görbüljö. (Joh Wheeler T # g # Általába: adott, és a metrikus tezor kompoesei az ismeretleek. [E]: 10 másodredű, emlieáris, csatolt differeciálegyelet g # -ra. Adott T # mellett (azaz adott téridő-geometria mellett is végtele sok megoldás va g # -ra. Ezek koordiáta-traszformációval egymásba átszámolhatók. [Pl. ugyaazt a téridőt írja le a Schwarzschild-metrika és a Pailevé-Gullstrad-metrika, csak más koordiátaredszert haszálva.] g # T # Fordított probléma: Tervezői téridő (Desiger Spacetime. adott, és az ismeretle. [Sokkal köyebb matematikai feladat.] 3 A geodetikus egyelet (szabad kő világvoala: d 2 x d# 2 + $ %& dx % d# dx & d# = 0 [G] A téridő írja elő a tömegek, hogya mozogjo. (Joh Wheeler (A válasz: geodetikuso. [G] jeletése: egy adott térképe milye kiézetűek a geodetikus voalak. g # Adott eseté [G]-ből meghatározható, hogy abba a koordiátaredszerbe milye x # világvoalat követ egy szabado mozgó kő. ( [G]: 4 másodredű, emlieáris, csatolt differeciálegyelet x # -ra. ( $ = 1 (&g #% 2 g$% &x + &g %µ ' &g + µ# - µ &x # &x %, µ# 4 2

3 (1 [E]-ből levezethető, hogy egy szabad kő geodetikuso (azaz egy [G] szeriti világvoalo mozog. (2 Ha # d $% & 0, akkor 2 x dx $ 0, tehát Jeleti-e ez azt, hogy a d# 2 d# $ kost. téridő görbült? NEM! A görbület ( R #µ$ lehet zérus akkor is, ha # $% & 0. lehet pl. egy torzított térkép, amely egy síkot ábrázol ' ( ' $ ' #µ 5 (3 Lokálisa mide sokaságo felvehetők Descartes-koordiáták (agyo közelről ézve mide kicsi felületdarab síkak látszik. Ilye koordiátaredszerbe # $% = 0, tehát [G] alapjá dx d# = kost. Következik-e ebből, hogy sík a téridő? NEM! A görbület ( R #µ$ lehet emulla akkor is, ha # $% = 0. ' ( ' $ ' #µ 6 3

4 (4 Vákuumba (pl. a Nap körül, egy fekete lyuk körül T # = 0. Jeleti-e ez azt ([E] alapjá, hogy vákuumba a téridő sík? NEM! (a Az [E]-ből em következik, hogy T # = 0 eseté muszáj, hogy R # = 0 legye. (b Még ha R # = 0 is, akkor is lehet a téridő görbült, mert a görbületet végső soro az R #µ$ Riema-tezor írja le. Fő koklúziók: A téridő görbültségéről a Riema-tezor ad számot. A Riema-tezor sem az [E]-be, sem a [G]-be em jeleik meg explicit módo. Tehát tartsuk észbe, hogy: (a A téridő vákuumba is lehet görbült, ez em mod ellet [E]-ek. (b A [G] arról szól, hogy éz ki egy geodetikus egy adott koordiátaredszerbeli térképe. De ez közvetleül em ad iformációt a görbületről. 7 Milye egyelet ad számot közvetle módo a görbületről? [Milye egyeletbe szerepel explicit módo a Riema-tezor?] $ d 2 ' = R +,-, u + u - [D] x (#, x (# : egymáshoz közeli geodetikusok r : elválasztás-égyesvektor ( u # dx d$ : égyessebesség (# $ x (# % x (# [D] jeletése: Két geodetikus milye ütembe közeledik egymáshoz (vagy távolodik egymástól 8 4

5 $ d 2 ' = R +,-, u + u - [D] 1. példa: sík téridő R % = 0 d 2 r d = 0 d r 2 d = kost. 9 $ d 2 ' = R +,-, u + u - [D] 2. példa: görbült téridő d 2 r d r d # kost. d # 0 R 2 % & 0 görbült 2D felület: 10 5