METRIKA. 2D sík, két közeli pont közötti távolság, Descartes-koordinátákkal felírva:
|
|
- Ágoston Pásztor
- 6 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 METRIKA D sík, két közeli pont közötti távolság, Descartes-koordinátákkal felírva: dl = dx + dy Általános alak ha nem feltétlenül Descartes-koordinátákat használunk: dl =... dx dx +...dx 1 dx +...dx dx 1 = = g 11 dx 1 + g dx + g 1 dx 1 dx + g 1 dx dx 1 = = g ij dx i dx j = g ij dx i dx j i =1 j =1 g ij = g ij x 1,x 1 1. D sík; Descartes-koordinátákkal felírva: dl = dx + dy = g ij dx i dx j koordináták: x 1 = x x = y metrikus tenzor: g ij = 1 0 # 0 1 [a g ij -k itt mind konstansok] 1 Gauss-görbület: K = = 1 = 0 R min R max # SÍK 1
2 . D sík; polárkoordinátákkal felírva: dl = dr + r d = g ij dx i dx j koordináták: x 1 = r x = metrikus tenzor: g ij = 1 0 # 0 r [itt a g függvény: g x 1 = g r = r ] 1 Gauss-görbület: K = = 1 = 0 R min R max # SÍK 3 3. D hengerfelület; hengerkoordinátákkal felírva: dl = dz + a d = g ij dx i dx j koordináták: x 1 = z x = metrikus tenzor: g ij = 1 0 # 0 a [a g ij -k mind konstansok] 1 Gauss-görbület: K = = 1 = 0 R min R max # a SÍK! 4
3 4. D kúpfelület; polárkoordinátákkal felírva: dl = dr + r sin 0 d# = g ij dx i dx j koordináták: x 1 = r x = # metrikus tenzor: g ij = r sin [itt a g függvény: g r = r sin 0 ] 0 Gauss-görbület: K = 1 R min R max = 1 #... = 0 SÍK! kivéve a csúcsot, ahol K-nak szingularitása van D gömbfelület; gömbi koordinátákkal felírva: dl = a d + a sin d# koordináták: x 1 = x = # metrikus tenzor: g ij = a 0 0 a sin [a g függvény: g = a sin ] # 1 Gauss-görbület: K = = 1 = 1 GÖRBÜLT! R min R max a a a 6 3
4 n-dimenziós sokaság pl. D felület, 3D tér, 4D téridő, stb. metrikája: ds = g 11 dx 1 + g dx g 1 dx 1 dx +... = n n = g ij dx i dx j = g ij dx i dx j i =1 j =1 A metrikát a fenti egyenletet a sokaság lakói mérésekre alapozva fel tudják állítani: 1. A sokaságot bekoordinátázzák az x 1, x,, x n tetszőlegesen felvett koordinátákkal.. Két közeli pont között megmérik a ds távolságot, és ugyanakkor regisztrálják a két pont közötti dx i koordináta-különbségeket is. 3. A -es lépést megismétlik sok közeli pontpárra. Összességében rengeteg adatot összegyűjtenek. 4. Ezekből az adatokból megállapítják a g ij = g ij x k függvényeket a metrikus tenzor elemeit. De: hogyan tudják a lakók megállapítani, hogy sokaságuk görbült-e? 7 Gauss-görbület D felület egy adott pontbeli görbültségét kifejező szám: K = k min k max = 1 R min R max R min és R max : az adott ponton át a felületre fektetett merőleges síkokkal vett metszetgörbék előjelesen értelmezett görbületei közül a legkisebbnek és a legnagyobbnak a reciproka. K előnye: a felület tényleges görbültségét fejezi ki nem módosul az értéke, ha a felületet deformációmentes alakváltozásnak tesszük ki pl. a feltekert újság: sík K hátránya: 1 nem alkalmazható 3D, 4D, stb. sokaságokra, csak D felületre! a K fenti definiálásához külső nem laposlényi nézőpont kell R min és R max fogalmát a laposlények nem értik 8 4
5 Theorema Egregium Gauss, 188: Recept a laposlények számára, hogy hogyan számolhatják ki K-t az általuk is kimérhető g ij = g ij x k függvényekből. K x 1,x = 1 g g 1 x 1 x # g 11 x g # x g 1 g 11 -, / g -, / # g - 11, / g -, / + g 1 # g - 11, / g 1 # g - 4g, / + x 1. + x. + x. + x 1. + x 1 x. + x x 1 #. # g g 11 -, / g 1 # g -, / # g - 11, / 4g + x 1. + x x 1. + x. # # g 11 g -, / g 1 # g - 11, / # g -, / 4g + x. + x 1 x. + x 1. ahol g det g ij = g 11 g # g 1 [csak D felületre alkalmazható!] 9 n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség: a Riemann-tenzor Riemann, 1854 Ezt is ki tudják számítani a sokaság lakói a g # x metrikus tenzorból: R #µ # x #µ + µ x µ # #µ µ# = 1 g # g x + g µ g + µ# ahol -, és g # a metrikus tenzor inverze. µ x # x, [tetszőleges dimenziójú sokaságra alkalmazható!] 10 5
6 TOVÁBBI PÉLDÁK A sokaságunk legyen a 4D téridő! D téridő a világűrben, nagy tömegektől távol; kockarács-hálózat, szinkronizált órák: ds = cdt dx dy dz = g # dx # dx koordináták: x 0 = t x 1 = x x = y x 3 = z metrikus tenzor: c g # = Riemann-tenzor: R #µ =... = 0 SÍK GÖRBÜLETLEN TÉRIDŐ! 1 6
7 7. 4D téridő a világűrben, nagy tömegektől távol; gömbhéj-hálózat, szinkronizált órák: ds = cdt dr r d# r sin #d = g dx dx koordináták: x 0 = t x 1 = r x = x 3 = metrikus tenzor: c g # = r r sin + Riemann-tenzor: R #µ =... = 0 SÍK GÖRBÜLETLEN TÉRIDŐ Gömbszimmetrikus, álló tömeg körüli téridő; Schwarzschild-koordinátákkal felírva: ds # = 1 GM cdt c r koordináták: x 0 = t x 1 = r x = x 3 = metrikus tenzor: # 1 GM c r 1 dr r d r sin d 1 GM c c r g # = 0 1 GM c r 0 0 r r sin + Riemann-tenzor: R #µ =... 0 GÖRBÜLT TÉRIDŐ! 14 7
8 9. Gömbszimmetrikus, álló tömeg körüli téridő; Painlevé-Gullstrandkoordinátákkal felírva: ds # = 1 GM cdt c r koordináták: x 0 = T x 1 = r x = x 3 = metrikus tenzor: GM c r cdtdr dr r d r sin d 1 GM c GM 0 0 c r r g # = GM r 0 0 r r sin + Riemann-tenzor: R #µ =... 0 GÖRBÜLT TÉRIDŐ 15 Kitérő: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film.16 milliárd kilométernyi ideig tartott.. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg] c = M [m ] A Föld tömege M F =6x10 4 kg. = A Föld tömege M F =4.4mm. 16 8
9 10. Forgó fekete lyuk + a Nap + a Föld körüli téridő; Doran-koordinátákkal felírva, az egyenlítői síkban: # M # Ma Mr ds = 1 dtdr + dt dtd + r r r +a # Mr r Ma +a drd dr r + a + d r r + a r + a 0 koordináták: x = T!!! metrikus tenzor: g# x 1 = r M 1! r Mr = r + a Ma r Riemann-tenzor: R #µ =... 0 x = Mr r + a r r + a Mr a r + a Ma r Mr a r +a Ma r + a + r GÖRBÜLT TÉRIDŐ! 17!! A görbült téridő néhány megfigyelhető következménye 1. gravitációs lencsehatás nagy tömegek - pl. galaxisok - begörbítik a fénysugarak útját demonstráció házilag: 18 9
10 A görbült téridő néhány megfigyelhető következménye. a bolygók perihéliumának vándorlása a Nap körül a bolygók NEM ellipszispályán keringenek A naprendszerben a Merkúrnál a legerősebb az effektus: ~43 /évszázad ~ 43 /417 körbefordulás [A legközelebbi Merkúr-átvonulás: 016. május 9.] 19 A görbült téridő néhány megfigyelhető következménye 3. a GPS-nél relativisztikus korrekcióra van szükség a Föld tömege begörbíti a téridőt Nem egy az egyben a műholdak atomórái által mutatott időt kapják meg a vevőkészülékek, hanem a relativisztikus korrekciókkal spec.rel. + ált. rel. módosított értékeket. [Relativisztikus korrekciók nélkül naponta ~10km távolságmérési hiba gyűlhetne össze.] 0 10
A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
A térképen ábrázolt vonal: - sík felület egyenese? - sík felület görbéje? - görbült felület egyenese ( geodetikus )? - görbült felület görbéje?
Előzetes megjegyzés: 1. Az időt nyugodtan mérhetjük méterben. ct [s ] = t [m ] A film kétórás volt. = A film 2.16 milliárd kilométernyi ideig tartott. 2. A tömeget is nyugodtan mérhetjük méterben! GM [kg]
ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1. példa:
ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1 Inerciarendszer (IR): olyan vonatkoztatási r rendszer, ahol érvényes Newton első törvénye ( F e = 0 " a r = 0) 1. példa: ez pl. IR (Newton és Einstein egyetért) Inerciarendszerben
ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1
ERŐ-E A GRAVITÁCIÓ? 1 Inerciarendszer (IR): olyan vonatkoztatási rendszer, ahol érvényes Newton első törvénye (! # = 0 ' = 0) 1. példa: ez pl. IR (Newton és Einstein egyetért) Inerciarendszerben tett felfedezések:
Az időmérés pontossága fontos, mert a távolságmérést erre alapozzuk.
A GPS-nél fellépő relativisztikus effektusok. 24 műhold (6 pályasíkban 4-4) T m = 12 óra Az Egyenlítőn álló vevőkészülék: r a = 6370km 1 Az időmérés pontossága fontos, mert a távolságmérést erre alapozzuk.
24 műhold (6 pályasíkban 4-4) & % ( )M * 26600km. T m. # 3870 m v m "1.29 #10 $5. # 460 m T a s
A GPS-nél fellépő relativisztikus effektusok. 4 műhold 6 pályasíkban 4-4 T m = 1 óra " Mm r m = mr m % T m T r m = m % M * 66km " v m [ m s ] = r m" 87 m v m "1.9 1 5 T m s Az Egyenlítőn álló vevőkészülék:
Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ
Emlékeztető: az -dimeziós sokaság görbültségét kifejező meyiség a Riema-tezor (Riema, 1854: ' ( ' $ ' #µ $ µ# ahol a ú. koexiós koefficiesek (vagy Christoffel-szimbólumok a metrikus tezor g # x $ kompoeseiből
Az Einstein egyenletek alapvet megoldásai
Friedmann- és Schwarzschild-megoldás Klasszikus Térelméletek Elemei Szeminárium, 2016. 11. 30. Vázlat Einstein egyenletek Robertson-Walker metrika és a tökéletes folyadékok energia-impulzus tenzora Friedmann
Geometriai alapok Felületek
Geometriai alapok Felületek Geometriai alapok Felületek matematikai definíciója A háromdimenziós tér egy altere Függvénnyel rögzítjük a pontok helyét Parabolavezérgörbéjű donga 4 f z x + a C Elliptikus
A gravitációs hullámok miért mutathatók ki lézer-interferométerrel?
A gravitációs hullámok miért mutathatók ki lézer-interferométerrel? Gravitációs hullám (GH) Newton: ha egy nagy tömegű égitest helyet változtat, annak azonnal érződik a hatása tetszőlegesen nagy távolságban
Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.
ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:
[ ]dx 2 # [ 1 # h( z,t)
A gravitációs hullámok miért mutathatók ki lézer-interferométerrel? Gravitációs hullám (GH) Newton: ha egy nagy tömegű égitest helyet változtat, annak azonnal érződik a hatása tetszőlegesen nagy távolságban
= e i1 e ik e j 1. tenzorok. A k = l = 0 speciális esetben e az R egységeleme. A. e q 1...q s. = e j 1...j l q 1...q s
3. TENZORANALÍZIS Legyen V egy n-dimenziós vektortér, V a duális tere, T (k,l) V = V V V V a (k, l)-típusú tenzorok tere. Megállapodás szerint T (0,0) V = R (általában az alaptest). Ha e 1,..., e n V egy
Szeminárium. Kaposvári István október 01. Klasszikus Térelmélet Szeminárium
Klasszikus Térelmélet 2012. október 01. Tartalom: Jelölések bevezetése Kovariáns deriváltak kommutátora és a Riemann-tenzor Vektor megváltozása zárt görbe mentén Riemann-tenzor és a Stokes-tétel Geodetikus
ANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
1. FELADATSOR. x = u + v 2, y = v + z 2, z = z. u y + z. u x + y. v x + y. v y + z. w x + y. w y + z
1. FELADATSOR 1-0: Írjuk le az R3 euklideszi tér Riemann-metrikáját az u, v, z koordináták használatával, ahol x = u + v, y = v + z, z = z. Megoldás. (L. Gy.) 1. változat: Az eredeti metrika a x, x x,
Stacionárius tengelyszimmetrikus terek a Kerr-Newman téridő
1 / 32 Stacionárius tengelyszimmetrikus terek a Kerr-Newman téridő Fodor Gyula MTA KFKI Részecske- és Magfizikai Kutatóintézet Integrálhatóság Nyári Iskola Budapest, 2008 augusztus 25 Bevezetés 2 / 32
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
Megjegyzés: jelenti. akkor létezik az. ekkor
. Hármas Integrál. Bevezetés és definíciók A bevezetés első részében egy feladaton keresztül jutunk el a hármasintegrál definíciójához. Feladat: Legyen R korlátos test, és a testnek legyen az f(x, y, z
A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy
8 Görbevonalú koordináták A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy tetsz½oleges pont helyvektora ebben a bázisban r =xi+yj+zk ahol x; y; z a pont ún. Descartes-féle
Bevezetés a görbe vonalú geometriába
Bevezetés a görbe vonalú geometriába Metrikus tenzor, Christoffel-szimbólum, kovariáns derivált, párhuzamos eltolás, geodetikus Pr hle Zsóa A klasszikus térelmélet elemei (szeminárium) 2012. október 1.
Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső
Kényszerek Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy kényszerek. Példák: 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső felületén mozog. Kényszerek Geometriai vagy
Az Általános Relativitáselmélet problémáinak leküzdése alternatív modellek használatával. Ált. Rel. Szondy György ELFT tagja
Az Általános Relativitáselmélet problémáinak leküzdése alternatív modellek használatával Szondy György ELFT tagja? GPS ELFT Fizikus Vándorgyűlés Szombathely, 2004. Augusztus 24.-27. Ált. Rel. GRAVITÁCIÓ
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III.
Felügyelt önálló tanulás - Analízis III Kormos Máté Differenciálható sokaságok Sokaságok Röviden, sokaságoknak nevezzük azokat az objektumokat, amelyek egy n dimenziós térben lokálisan k dimenziósak Definíció:
Éldetektálás, szegmentálás (folytatás) Orvosi képdiagnosztika 11_2 ea
Éldetektálás, szegmentálás (folytatás) Orvosi képdiagnosztika 11_2 ea Geometrikus deformálható modellek Görbe evolúció Level set módszer A görbe evolúció parametrizálástól független mindössze geometriai
Kettős integrál Hármas integrál. Többes integrálok. Sáfár Orsolya május 13.
2015 május 13. Kétváltozós függvény kettősintegráljának definíciója Legyen f (x, y), R 2 R korlátos függvény egy T korlátos és mérhető területű tartományon. Vegyük a T tartomány egy felosztását T 1, T
Előzmények: matematika Előzmények: fizika Az általános relativitáselmélet Furcsa következmények Tanulságok. SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.
Fizikatörténet Az általános relativitáselmélet története Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0 AFKT 5.2.6 AFKT 5.2.7 A párhuzamossági axióma Euklidesz geometriája 2000 évig megingathatatlannak
7. GRAVITÁCIÓS ALAPFOGALMAK
7. GRAVITÁCIÓS ALAPFOGALMAK A földi nehézségi erőtérnek alapvetően fontos szerepe van a geodéziában és a geofizikában. A geofizikában a Föld szerkezetének tanulmányozásában és különféle ásványi nyersanyagok
Készítsünk fekete lyukat otthon!
Készítsünk fekete lyukat otthon! Készítsünk fekete lyukat otthon! BH@HOME Barnaföldi Gergely Gábor, Bencédi Gyula MTA Wigner FK Részecske és Magfizikai Kutatóintézete AtomCsill 2012, ELTE TTK Budapest
3. FELADATSOR. n(n 1) Meggondolható, hogy B képtere az összes alternáló 4-lineáris függvény tere, magja pedig R. Hesse(f)(X, Y ) = X(Y (f)) X Y (f).
011/1 I. félév 3. FELADATSOR 3-1: Legyen R T 0,4 V az algebrai görbületi tenzorok tere az n-dimenziós V vektortér felett. Mennyi R dimenziója? Mennyi a 0 Ricci-tenzorú görbületi tenzorok terének dimenziója?
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató. A hármas és háromszoros integrál
Hármas integrál Szabó Krisztina menedzser hallgató A hármas és háromszoros integrál Definició A fizikai meggondolások előzményeként jutunk el a hármas integrál következő értelmezéséhez. Legyen értelmezve
Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.
Matematika 11 Koordináta geometria Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A
Gravitációs fényelhajlás gömbszimmetrikus téridőkben
SZEGEDI TUDOMÁNYEGYETEM Természettudományi és Informatikai Kar ELMÉLETI FIZIKA TANSZÉK Fizika BSc Szakdolgozat Gravitációs fényelhajlás gömbszimmetrikus téridőkben Deák Bence Témavezető: Dr. Keresztes
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest. 2015. június 20.
A görbületek világa 1 Kristály Sándor Babeş-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár & Óbudai Egyetem, Budapest 2015. június 20. 1 Az MTA Bolyai János Kutatói Ösztöndíj által támogatott kutatás. Eukleidészi világnézet
{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek
1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és
Lagrange és Hamilton mechanika
Lagrange és 2010. október 17. Lagrange és Tartalom 1 Variáció Lagrange egyenlet Legendre transzformáció Hamilton egyenletek 2 3 Szimplektikus sokaság Hamilton mez Hamilton és Lagrange egyenletek ekvivalenciája
Serret-Frenet képletek
Serret-Frenet képletek Vizsgáljuk meg az e n normális- és e b binormális egységvektorok változását. e n = αe t + βe n + γe b, e t e n e n = 1 e n e n = 0 β = 0 e n e t = e n e t illetve a α = 1/R. Ugyanakkor
Fizika példák a döntőben
Fizika példák a döntőben F. 1. Legyen két villamosmegálló közötti távolság 500 m, a villamos gyorsulása pedig 0,5 m/s! A villamos 0 s időtartamig gyorsuljon, majd állandó sebességgel megy, végül szintén
Dr. Berta Miklós. Széchenyi István Egyetem. Dr. Berta Miklós: Gravitációs hullámok / 12
Gravitációs hullámok Dr. Berta Miklós Széchenyi István Egyetem Fizika és Kémia Tanszék Dr. Berta Miklós: Gravitációs hullámok 2016. 4. 16 1 / 12 Mik is azok a gravitációs hullámok? Dr. Berta Miklós: Gravitációs
Térkép és valóság. (b) Röviden írja le, milyen módon torzítja el ez a térkép a valódi világ viszonyait.
1. Térkép és valóság Képzeljük el, hogy egy négyzetrácsos sík papírlap a világ, amelyen laposlényekként élünk. A négyzetrács-vonalak az úthálózatot jelképezik. Az egyik irányt laposkelet-laposnyugatnak,
T obbv altoz os f uggv enyek integr alja. 3. r esz aprilis 19.
Többváltozós függvények integrálja. 3. rész. 2018. április 19. Kettős integrál Kettős integrál téglalap alakú tartományon. Ismétlés Ha = [a, b] [c, d] téglalap-tartomány, f : I integrálható függvény, akkor
FELADATOK A DINAMIKUS METEOROLÓGIÁBÓL 1. A 2 m-es szinten végzett standard meteorológiai mérések szerint a Földön valaha mért második legmagasabb hőmérséklet 57,8 C. Ezt San Luis-ban (Mexikó) 1933 augusztus
A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN
A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN Egy testre ható erő a más testekkel való kölcsönhatás mértékére jellemző fizikai mennyiség. A légkörben ható erők Külső erők: A Föld tömegéből következő
Regresszió számítás. Tartalomjegyzék: GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program
Regresszió számítás GeoEasy V2.05+ Geodéziai Kommunikációs Program DigiKom Kft. 2006-2010 Tartalomjegyzék: Egyenes x változik Egyenes y változik Egyenes y és x változik Kör Sík z változik Sík y, x és z
Gyakorló feladatok I.
Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,
A Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
Felületek differenciálgeometriai vizsgálata
Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres
Vontatás III. A feladat
Vontatás III Ebben a részben ázoljuk a ontatási feladat egy lehetséges numerikus megoldási módját Ezt az I részben ismertetett alapegyenletre építjük fel Itt az egy ontatott kerékpár esetét izsgáljuk feladat
Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer
Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer A derékszögű koordináta-rendszerben a sík minden pontjához egy rendezett valós számpár rendelhető. A számpár első tagja (abszcissza) a pont y tengelytől mért
MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK
MATEMATIKAI ÉS FIZIKAI ALAPOK F:\EGYJEGYZ\20\alapok.doc 4 Feb 20 www.rmki.kfki.hu/~szego/egyjegyz. A Dirac-delta 2. Elektrodinamika mozgó közegekben 3. Függvénytranszformációk (Fourier transzformáció)
I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)
I. feladatsor () Határozza meg az alábbi függvények határozatlan integrálját: (a) f(x) = (b) f(x) = x + 4 9x + (c) f(x) = (d) f(x) = 6x + 5 5x + f(x) = (f) f(x) = x + x + 5 x 6x + (g) f(x) = (h) f(x) =
9. előadás. Térbeli koordinátageometria
9. előadás Térbeli koordinátageometria Koordinátageometria a térben Descartes-féle koordinátarendszerben dolgozunk. A legegyszerűbb alakzatokat fogjuk vizsgálni. Az ezeket leíró egyenletek első-, vagy
A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.
1 A loxodrómáról Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ezen a térképen a szélességi
x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs mátrixa 3D-ben?
. Mi az (x, y) koordinátákkal megadott pont elforgatás uténi két koordinátája, ha α szöggel forgatunk az origó körül? x = cos αx sin αy y = sin αx + cos αy 2. Mi a X/Y/Z tengely körüli forgatás transzformációs
2.3.2.2.1.2.1 Visszatérítő nyomaték és visszatérítő kar
2.3.2.2.1.2 Keresztirányú stabilitás nagy dőlésszögeknél A keresztirányú stabilitás számszerűsítésénél, amint korábban láttuk, korlátozott a metacentrikus magasságra való támaszkodás lehetősége. Csak olyankor
mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati
ϕ t + j ϕ = 0 mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati sűrűsége j ϕ - a ϕ-hez tartozó áramsűrűség j ϕ = vϕ + j rev + j irr vϕ - advekció j rev - egyéb reverzibilis áram
Számítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
t, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész
A kúpra írt csavarvonalról I. rész Sokféle kúpra írt csavarvonal létezik. Ezek közül először a legegyszerűbbel foglalko - zunk. Ezt azért tesszük mert meglepő az a tény hogy eddig még szinte sehol nem
MATEMATIKA HETI 5 ÓRA
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2008 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT : 2008. június 5 (reggel) A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) MEGENGEDETT ESZKÖZÖK: Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus számológép
Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1
Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok
egyetemi állások a relativitáselmélet általánosítása (1915) napfogyatkozás (1919) az Einstein-mítosz (1920-tól) emigráció 1935: Einstein-Podolsky-
egyetemi állások a relativitáselmélet általánosítása (1915) napfogyatkozás (1919) az Einstein-mítosz (1920-tól) emigráció 1935: Einstein-Podolsky- Rosen cikk törekvés az egységes térelmélet létrehozására
Kétváltozós függvény szélsőértéke
Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű
Számítógépes Grafika mintafeladatok
Számítógépes Grafika mintafeladatok Feladat: Forgassunk a 3D-s pontokat 45 fokkal a X tengely körül, majd nyújtsuk az eredményt minden koordinátájában kétszeresére az origóhoz képest, utána forgassunk
A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN
A LÉGKÖRBEN HATÓ ERŐK, EGYENSÚLYI MOZGÁSOK A LÉGKÖRBEN Egy testre ható erő, a más testekkel való kölcsönhatás mértékére jellemző fizikai mennyiség. A légkörben ható erők Külső erők: A Föld tömegéből következő
Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet
Vasbetonszerkezetek II. Vasbeton lemezek Rugalmas lemezelmélet 2. előadás A rugalmas lemezelmélet alapfeltevései A lemez anyaga homogén, izotróp, lineárisan rugalmas (Hooke törvény); A terheletlen állapotban
Fogalmi alapok Mérlegegyenletek
1. Fogalmi alapok Mérlegegyenletek Utolsó módosítás: 2013. február 11. A transzportfolyamatokról általában 1 A természetben lezajló folyamatok leírására szolgáló összefoglaló elmélet, amely attól függetlenül
3. jegyz könyv: Bolygómozgás
3. jegyz könyv: Bolygómozgás Harangozó Szilveszter Miklós, HASPABT.ELTE 21. április 6. 1. Bevezetés Mostani feladatunk a bolygók mozgásának modellezése. Mint mindig a program forráskódját a honlapon [1]
1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel
1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel Munkavégzés, teljesítmény 1.1. Feladat: (HN 6B-8) Egy rúgót nyugalmi állapotból 4 J munka árán 10 cm-rel nyújthatunk meg. Mekkora
MATEMATIKA HETI 5 ÓRA. IDŐPONT: 2010. Június 4.
EURÓPAI ÉRETTSÉGI 2010 MATEMATIKA HETI 5 ÓRA IDŐPONT: 2010. Június 4. A VIZSGA IDŐTARTAMA: 4 óra (240 perc) ENGEDÉLYEZETT SEGÉDESZKÖZÖK : Európai képletgyűjtemény Nem programozható, nem grafikus kalkulátor
Geometriai példatár 2.
Geometriai példatár 2 Metrikus feladatok Baboss, Csaba, Nyugat-magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Szabó, Gábor, Nyugat-Magyarországi Egyetem Geoinformatikai Kar Geometriai példatár 2: Metrikus feladatok
dr 2 # r 2 d* 2 # r 2 sin 2 *d+ 2 t = ["#,#]
Gömbszimmetikus, M tömegű test köüli téidő vákuumban: 1) Vákuum: T " = 0 2) Ügyes koodinátaendsze-választással ki lehet használni a gömbszimmetiát. Az Einstein-egyenlet analitikusan is megoldható, a megoldás,
Gyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)
2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,
A mechanika alapjai. A pontszerű testek dinamikája
A mechanika alapjai A pontszerű testek dinamikája Horváth András SZE, Fizika Tsz. v 0.6 1 / 26 alapi Bevezetés Newton I. Newton II. Newton III. Newton IV. alapi 2 / 26 Bevezetés alapi Bevezetés Newton
17. előadás: Vektorok a térben
17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett
A relativitáselmélet története
A relativitáselmélet története a parallaxis keresése közben felfedezik az aberrációt (1725-1728) James Bradley (1693-1762) ennek alapján becsülhető a fény sebessége a csillagfény ugyanúgy törik meg a prizmán,
Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése) (x 1)(x + 1) x 1
Feladatok megoldásokkal az első gyakorlathoz (differencia- és differenciálhányados fogalma, geometriai és fizikai jelentése). Feladat. Határozzuk meg az f(x) x 2 függvény x 0 pontbeli differenciahányados
Riemanngeometria 1 c. gyakorlat A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések
A Riemann-terekkel kapcsolatos fogalmak, jelölések Az R m euklideszi tér természetes bázisának az e 1 = (1, 0,..., 0),..., e m = (0,..., 0, 1) vektorokból álló bázist mondjuk. Legyen M egy összefügg nyílt
Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek
a Matematika mérnököknek I. című tárgyhoz Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek Vektorok A rendezett valós számpárokat kétdimenziós valós vektoroknak nevezzük. Jelölésükre latin kisbetűket használunk.
A csillagképek története és látnivalói február 14. Bevezetés: Az alapvető égi mozgások
A csillagképek története és látnivalói 2018. február 14. Bevezetés: Az alapvető égi mozgások A csillagok látszólagos mozgása A Föld kb. 24 óra alatt megfordul a tengelye körül a földi megfigyelő számára
Matematika (mesterképzés)
Matematika (mesterképzés) Környezet- és Településmérnököknek Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Vinczéné Varga A. Környezet- és Településmérnököknek 2016/2017/I 1 / 29 Lineáris tér,
Szakdolgozat. Geodetikusok görbületének és torziójának vizsgálata a Sol homogén 3-geometriában. Virosztek Dániel. Konzulens:
Szakdolgozat Geodetikusok görbületének és torziójának vizsgálata a Sol homogén 3-geometriában Virosztek Dániel Konzulens: Dr. Szilágyi Brigitta adjunktus Geometria Tanszék, BME Matematika Intézet BME 211
Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.
. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek. Először megadom a síkbeli definíciójukat, mert ez alapján vezetjük le az egyenletüket. Alakzat
1. Az integrál tégla-additivitása
Többváltozós üggvények dierenciál- integrálszámítása 9. előadás I. rze) Boros Zoltán 019. április 16. Az alábbiakban k N rögzített. 1. Az integrál tégla-additivitása 1.1. TÉTEL. Legyen I, T I k úgy, hogy
Analízis III. gyakorlat október
Vektoranalízis Analízis III. gyakorlat 216. október Gyakorló feladatok és korábbi zh feladatok V1. Igazolja az alábbi "szorzat deriválási" szabályt: div(ff) = F, f + f div(f). V2. Legyen f : IR 3 IR kétszer
Statikai egyensúlyi egyenletek síkon: Szinusztétel az CB pontok távolságának meghatározására: rcb
MECHNIK-STTIK (ehér Lajos) 1.1. Példa: Tehergépkocsi a c b S C y x G d képen látható tehergépkocsi az adott pozícióban tartja a rakományt. dott: 3, 7, a 3 mm, b mm, c 8 mm, d 5 mm, G 1 j kn eladat: a)
Véletlen mátrix extrém-érték statisztika: Tracy-Widom eloszlás
Véletlen mátrix extrém-érték statisztika: Ábel Dániel June 15, 2006 1 / 34 2 / 34 Előző alkalommal bevezetett dolgok, amiket használni fogunk: 3 / 34 Előző alkalommal bevezetett dolgok, amiket használni
Friedmann egyenlet. A Friedmann egyenlet. September 27, 2011
A September 27, 2011 A 1 2 3 4 A 1 2 3 4 A Robertson-Walker metrika Konvenció: idő komponenseket 4. helyre írom. R-W metrika: R(t) 2 0 0 0 1 kr 2 g = 0 R(t) 2 0 0 0 0 R(t) 2 r 2 sin 2 (Θ) 0 0 0 0 1 Ugyanez
Többváltozós függvények Riemann integrálja
Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Többváltozós üggvének Riemann integrálja Az integrál konstrukciója tetszőleges változószám esetén Deiníció: n dimenziós
1 2. Az anyagi pont kinematikája
1. Az anyagi pont kinematikája 1. Ha egy P anyagi pont egyenes vonalú mozgását az x = 1t +t) egyenlet írja le x a megtett út hossza m-ben), határozzuk meg a pont sebességét és gyorsulását az indulás utáni
Van-e a vákuumnak energiája? A Casimir effektus és azon túl
Van-e a vákuumnak energiája? és azon túl MTA-ELTE Elméleti Fizikai Kutatócsoport Bolyai Kollégium, 2007. október 3. Van-e a vákuumnak energiája? és azon túl Vázlat 1 2 3 4 5 Van-e a vákuumnak energiája?
Az Univerzum szerkezete
Az Univerzum szerkezete Készítette: Szalai Tamás (csillagász, PhD-hallgató, SZTE) Lektorálta: Dr. Szatmáry Károly (egy. docens, SZTE Kísérleti Fizikai Tsz.) 2011. március Kifelé a Naprendszerből: A Kuiper(-Edgeworth)-öv
Transzformációk síkon, térben
Transzformációk síkon, térben Leképezés, transzformáció Leképezés: Ha egy A ponttér pontjaihoz egy másik B ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek
Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei
A Gauss-Jordan elimináció, mátrixinvertálás Gauss-Jordan módszer Ugyanazzal a technikával, mint ahogy a k-adik oszlopban az a kk alatti elemeket kinulláztuk, a fölötte lévő elemeket is zérussá lehet tenni.
5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11
Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4