dr 2 # r 2 d* 2 # r 2 sin 2 *d+ 2 t = ["#,#]

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "dr 2 # r 2 d* 2 # r 2 sin 2 *d+ 2 t = ["#,#]"

Judit Halászné
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Gömbszimmetikus, M tömegű test köüli téidő vákuumban: 1) Vákuum: T " = 0 2) Ügyes koodinátaendsze-választással ki lehet használni a gömbszimmetiát. Az Einstein-egyenlet analitikusan is megoldható, a megoldás, Schwazschild-koodinátákkal felíva: Schwazschild-metika 1916): = 1 2M % 1 2M d 2 2 d* 2 2 sin 2 *d+ 2 t = [",] = 0, ] 2M % = [ 0, ] = [ 0,2 ] dτ: a két közeli esemény téidőbeli távolsága a két eseményt összekötő világvonalon haladó megfigyelő kaóáján mét időtatam), t, θ, ϕ: koodináták mentális konstukciók, méhető fizikai tatalmuk általában nincs) 1 Schwazschild-metika, tészeű intevallummal elválasztott eseménypáa: = 1 2M % + 1 2M d d* sin 2 *d+ 2 dσ: a két közeli esemény téidőbeli távolsága a két esemény közötti méteúdtávolság ) abban a lokális ineciaendszeben mét távolság a két esemény között, amelyben a két esemény egyidejű) Kétféle szingulaitást is észeveszünk: = 0: téidő-szingulaitás a geometia sajátja, fizikailag létezik) = 2M: koodináta-szingulaitás a szeencsétlen koodinátaválasztás eedménye) A Schwazschild-metika az egyenlítői síkban " = konst. = 90 0 ): = 1 2M % 1 2M d 2 2 d* 2 2 1

2 Painlevé-Gullstand-metika Painlevé: 1921, Gullstand: 1922): = 1 2M % ) dt 2 2 2M dtd d 2 2 d* 2 2 sin 2 *d+ 2 T = [",] = 0, ] = [ 0,% ] = [ 0,2% ] Kiküszöbüli a koodináta-szingulaitást = 2M-ben! Painlevé-Gullstand-metika az egyenlítői síkban " = konst. = 90 0 ): = 1 2M % ) dt 2 2 2M dtd d 2 2 d* 2 3 A metika: VARÁZSKÉPLET. Ebből az egyetlen egyenletből + a MÖE-ből) engeteg infomáció kinyehető. Példák: 1. A gömbszimmetikus test köé épített gömbhéjak távolsága. 2. Fénykúpdiagamok, eseményhoizont. 3. Az enegia E/m) és az impulzusmomentum L/m), mint mozgásállandók. 4. Szabad kő öppályája Schwazschild-, ill. Painlevé-Gullstand- téképen. 5. A Mekú peihélium-pecessziójának számétéke. 6. A GPS-nél fellépő elativisztikus effektusok. 7. Legfeljebb mennyi ideig lehet életben maadni egy fekete lyuk eseményhoizontján belül? 8. Ha beleesünk egy fekete lyukba, mennyi ideig tat az utazás fájdalmas szakasza? 9. Hogy néz ki egy fekete lyuk, ha egy gömbhéjat építünk köé, és onnan nézzük? Hogy néz ki akko, ha -iányban esünk felé? stb. 4 2

3 1. A gömbszimmetikus test köé épített gömbhéjak távolsága. = 1 2M % + 1 2M d d* 2 hivatalos neve: Schwazschild- koodináta : NEM a sugá!) Az -hez tásítható szemléletes név nem minden koodinátához van ilyen!): edukált keület [építünk egy gömbhéjat, méteudakkal megméjük a keületét, elosztjuk 2π-vel] Építsünk egy újabb gömbhéjat közvetlenül az első köé. Az új gömbhéj keülete legyen 2π+d). Mekkoa a két héj távolsága? dt = 0, dϕ = 0 d" = 1 1 2M d példák: Föld, neutoncsillag, fekete lyuk 5 2. Fénykúpdiagamok, eseményhoizont. Kitéő: sík téidő, fénykúpdiagam a 4D téidő [x,t] szeletén. Metika: d" 2 = dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 [x,t] szelet y = konst., z = konst. dy = 0, dz = 0) A két eseményt fénysugá kösse össze dτ = 0 0 = dt 2 " dx 2 dt dx = ±1 diffeenciálegyenlet, leíja, hogy milyen alakúak a fénysugaak világvonalai ezen a téképen ) Megoldás: t " t A = ± x " x A ) 6 3

4 t " t A = ± x " x A ) fénykúpdiagam Az A eseményen jelen levő űhajós világvonala csakis az A-ból kiinduló fénykúpon belül folytatódhat. 7 Az eseményhoizont : fénysugaak által alkotott 3D hipefelület, amelyet csak egyik iányban léphet át egy anyagi észecske Az eseményhoizont tulajdonságai: 1. Nem látunk be mögé. Ha az N eseményben vagyunk, onnan az eseményhoizont mögötti eseményeket nem láthatjuk. Az eseményhoizonton túlól nem juthat el az N eseménybe infomáció. [Analóg a hétköznapi hoizont = látóhatá ) fogalmával.] 2. Ha egysze átlépünk ezen a felületen pl. m világvonal), akko má nem juthatunk vissza a szükével jelzett tatományba. 8 4

5 Fénykúpdiagam, Schwazschild- tékép, [,t]-szelet: = 1 2M % 1 2M d 2 2 d* 2 2 sin 2 *d+ 2 [,t] szelet, fénysugá dθ = 0, dϕ = 0, dτ = 0 0 = % 1 " 2M dt 2 1 " 1 " 2M d 2 dt d = ± " 2M Megoldás: diffeenciálegyenlet, leíja, hogy milyen alakúak a fénysugaak világvonalai a Schwazschild [,t]- téképen ) t " t A = ± " A + 2M ln M " 2 ) A % M " 2 ) 9 tömegpontok űhajósok, kövek, stb.) világvonalai [1] Miét pont ilyen iányokba ajzoltam a fénykúpokon a nyilakat? [2] Az = 2M felé kívülől közeledő kő végtelen Schwazschild-t múlva éi el az = 2M-et. Azaz soha nem éi el?! [3] Az < 2M tatományban egy űhajós úgy is haladhat, hogy a világvonalán dt < 0?! Visszafelé halad az időben?! [4] Az < 2M tatományban egy űhajós mozgásáa d/dt > 1 is teljesülhet?! Az ilyen űhajós gyosabban halad, mint a fény?! 10 5

6 Fénykúpdiagam, Painlevé-Gullstand- tékép, [,T]-szelet: = 1 2M % ) dt 2 2 2M dtd d 2 2 d* 2 2 sin 2 *d+ 2 [,T] szelet, fénysugá dθ = 0, dϕ = 0, dτ = 0 0 = % 1 " 2M dt 2 " 2 2M dtd " d 2 d dt = " 2M ±1 diffeenciálegyenlet, leíja, hogy milyen alakúak a fénysugaak világvonalai a Painlevé-Gullstand [,T]- téképen ) 11 Megoldás: 1. A,T A )-ból befelé haladó fénysugáa: T " T A = A " ) " 4M % A 2M " 2M % M ) ln% % 1 + A 2M 2M 2. B,T B )-ből kifelé haladó fénysugáa: T " T B = " B ) + 4M % 2M " B 2M % 1 " + 4M ) ln% % 1 " 2M B 2M 12 6

7 nincs koodinátaszingulaitás az = 2M-ben Az = 2M különleges hipefelület: 1) Eseményhoizont, hiszen fénysugaak által alkotott, egyiányú felület. 2) Ha egysze > 2M felől átlépünk ajta, akko a) többet soha nem juthatunk el = -be nincs menekvés ), és b) a világvonalunk véges sajátidőn belül az = 0-ban végződik biztos halál ) Az = 2M hipefelület a fekete lyuk ESEMÉNYHORIZONTJA. Emlékeztető: az = 0 hipefelület: téidő-szingulaitás.) 13 7

Hasonló dokumentumok

24 műhold (6 pályasíkban 4-4) & % ( )M * 26600km. T m. # 3870 m v m "1.29 #10 $5. # 460 m T a s

24 műhold (6 pályasíkban 4-4) & % ( )M * 26600km. T m. # 3870 m v m 1.29 #10 $5. # 460 m T a s A GPS-nél fellépő relativisztikus effektusok. 4 műhold 6 pályasíkban 4-4 T m = 1 óra " Mm r m = mr m % T m T r m = m % M * 66km " v m [ m s ] = r m" 87 m v m "1.9 1 5 T m s Az Egyenlítőn álló vevőkészülék: