INHOMOGÉN RUGALMAS ANYAGÚ KÚPOK STATIKAI VIZSGÁLATA STATIC ANALYSIS OF NONHOMOGENEOUS ELASTIC CONICAL BODIES

Átírás

1 INHOMOGÉN RUGALMAS ANYAGÚ KÚPOK STATIKAI VIZSGÁLATA STATIC ANALYSIS OF NONHOMOGENEOUS ELASTIC CONICAL BODIES Ecsedi István, Pofesso Emeitus, Miskolci Egyetem, Műszaki Mechanikai Intézet; Baksa Attila, egyetemi docens, PhD, Miskolci Egyetem, Műszaki Mechanikai Intézet ÖSSZEFOGLALÁS (ABSTRACT). The object of this pape is to detemine the stesses in hollow inhomogeneous elastic conical body caused by inne and oute pessues applied to its mantles. It is assumed that the nonhomogeneous elastic mateial is incompessible, that is the Poisson s atio is 0.5. An analytical method is developed to solve the bounday value poblem of elastic equilibium. Two types of nonhomogeneity ae consideed, fist case is the layeed conical body and the second case deals with the functionally gadient mateial (FGM). 1. BEVEZETÉS Az 1. ába szemlélteti a vizsgálat tágyát képező üeges kúpalakú testet. Az üeges kúpalakú testet az O csúcspontú és kökúp felületek, V 1 V V V 4 valamint az O középpontú és gömbfelületek hatáolják. A mechanikai feladata megfogalmazásáa az O gömbkoodináta-endszet használtuk (1. ába). A statikai peeméték feladat megoldásával kapcsolatban feltételezzük, hogy 1. Az alakváltozások és az elmozdulások kicsinyek.. Nincs téfogati tehelés.. A test anyaga ideálisan ugalmas, összenyomhatatlan, vagyis a Poisson tényező Rétegzett inhomogenitás esetében a étegek kapcsolata tökéletes, mindenfajta elcsúszás, elválás kizát. 5. FGM anyag esetében a G csúsztató ugalmassági modulus a gömbi koodináta folytonos függvénye. Jelölje e, e és az O gömbi koodináta- e endsze egységvektoait. A tanulmány tágyát alkotó statikai peemétékfeladatot az alábbi peemfeltételek hatáozzák meg: u 0, 0, PV V, (1) 4 0, p1, P V1, () 0, p, P V. () 1. ába. Üeges kökúp alakú test Az elmozdulás vekto skalá koodinátáit u, u, u, míg a feszültségi tenzo elemeit pedig,,,,, jelöli az O gömbi koodináta-endszeben [1,,,4]. Az (1) egyenletben megfogalmazott vegyes peemfeltételek sima, meev gömbfelületekkel töténő megtámasztás évén ealizálhatók, hasonlóan a véges hosszúságú síkalakváltási állapotban lévő ugalmas testekhez. Ez utóbbi esetben az axiális elmozdulást sima meev síkkal való megtámasztás teszi lehetetlenné. A kitűzött statikai feladat megoldását az alábbi elmozdulás mezőből számaztatjuk: u u 0, u U ( ). (4) A fenti elmozdulásoknak megfelelő alakváltozások [1-]

2 0, (5) U, Uctg. Az izotop, lineáisan ugalmas összenyomhatatlan test anyagtövénye alapján [-7] íható, hogy 0 0 (6) G, G, (7) G, G, () 0 G, G, (9) 0, (10) 1 1 sin ctg 0. (1) G G ( ) 0 ahol G a csúsztató ugalmassági modulust jelöli. A tanulmány tágyát képező inhomogén ugalmas test esetében a csúsztató ugalmassági modulus a gömbi koodináta függvénye, vagyis. A (7) és () egyenletekben a közepes nomál feszültséget jelöli [-7] 0. (11) A fenti egyenleteket a jelen poblémáa alkalmazva, azt kapjuk, hogy G, G, (1) 0 0 0, (1) U Uctg 0. (14) A (14) egyenletből az következik, hogy K U ( ), 1. (15) sin 1 és A gömbi koodinátákat a. ába ételmezi, továbbá K egy integációs állandó. A mechanikai egyensúly egyenletei zéus téfogati tehelés esetén gömbi koodináta endszeben az alábbi alakban adhatók meg [1,] 1 1 sin (16) ctg 0, 1 1 sin ctg 0, (17). ába. Az üeges kökúp alakú test meidián metszete A feladat fogásszimmetiájából az következik, hogy a feszültségek polászög szeinti paciális deiváltjai identikusan zéussal egyenlők. Belátható, hogy a (16), (17) egyensúlyi egyenletek a vizsgált peeméték feladatban identikusan teljesülnek és a (1) egyensúlyi egyenletből pedig az következik, hogy d ctg 0. d (19) A (6) egyenletből azt kapjuk, hogy cos cos K, K. sin sin (0) A (1), (1) egyenletek és a (0) egyenlet kombinálásával nyejük a (1) egyenletet cos GK 0, sin (1) cos GK 0. sin A (1) egyenletek (19) egyenletbe való helyettesítése az alábbi eedménye vezet d cos 4 KG. () d sin. RÉTEGZETT RUGALMAS KÚP A. ába szemlélteti a meidián metszetét a vizsgált kompozit kúpalakú testnek. Ai i 1 ( i 1,..., n) szögkoodinátával, valamint az R R4 sugákoodinátával kijelölt ugalmas tatomány jele i ( i 1,..., n).

3 A felít képletekben szeeplő ismeetlen mennyiségeket K, c1, c,..., c n az alábbi peem és illesztési feltételek kielégítéséből nyejük: ( ) p, ( ) p, (9) n n 1 n 1 lim i i 1 0 ( i1) i1 0, ( i1,,..., n 1). (0). ába. Rétegzett üeges kúpalakú test Az előző fejezet egyenletei alapján íható, hogy cos i GK i i0( ), sin () ( i i 1), cos i GK i i0( ), sin (4) ( i i 1), ahol az i jelű kúpalakú összenyomhatatlan ugalmas test csúsztató ugalmassági modulusát jelöli. A (19) és a (1) egyenletekből az következik, hogy G i d i0 d cos GK i d d sin (5) cos 4GK i 0. sin A (5) egyenlet integálásával azt kapjuk, hogy i0( ) i ( ) KGi ln tan no- ci, i i 1, ( i 1,..., n). Egyszeű számolással adódik a i és a málfeszültségeke az alábbi két képlet cos i ( ) KGi sin ln tan,, i (6) (7) ci i i 1 cos i ( ) KGi sin ln tan,. () ci i i 1 A (9) egyenletek a 1 és n 1 egyenletekkel kijelölt kúpfelületekhez tatozó feszültségi peemfeltételekhez kapcsolódó egyenletek, ahol és az alkalmazott tehelések (nyomások) p 1 pn 1 étékeit jelölik. Az egyes étegek hatáfelületein a nomálfeszültség folytonos függvénye a változónak. Ez utóbbi feltétel fennállását a (0) egyenlet biztosítja. 4. FUNKCIONÁLISAN GRADIENS ANYAGÚ KÚPALAKÚ TEST Funkcionálisan gadiens anyagú összenyomhatatlan ugalmas kúp alakú test esetében G a szögkoodináta folytonos függvénye, azaz G G ( ). A vizsgált test meidián metszetét és az alkalmazott tehelést a. ába szemlélteti a () egyenlet és a (. ába) ( ) p, ( ) p, (1) 1 1 statikai peemfeltételek kombinálásával jutunk a állandó étékéhez K p1 p K. cos () 4 G( ) d 1 sin A () egyenlet integálásával közvetlenül megkapható a ( ) feszültség képlete p1 p ( ) p1 cos G( ) d 1 sin () cos G( ) d. 1 sin A (1) egyenletből egyszeű számolással adódik, hogy

4 p1 p 0 p1 cos G( ) d 1 sin (4) cos cos G( ) d G( ). 1 sin sin A ( ) nomál feszültség számítása az alábbi egyenlet alapján töténik cos (5) 4 KG( ) ( ). sin Részletes számítás az alábbi eedménye vezet p1 p p1 cos G( ) d 1 sin (6) cos cos G( ) d G( ). 1 sin sin K 0, (7) Az 5. ába a ( ), a 6. ába a ( ) és a 7. ába a 0 ( ) feszültségeket szemlélteti a változó függvényeként. A von Mises feszültség M M( ) függvényét a. ába mutatja be. Egyszeű számolással azt kapjuk, hogy max M ( ) 1 () 7 9, Pa. 4. NUMERIKUS PÉLDÁK 4.1. Funkcionálisan gadiens anyagú kúpalakú test A numeikus példában az alábbi adatokat használtuk (4. ába) 1,, G G0 exp( a ), a 0,, 0 G 0,110 Pa, p 0, p 510 Pa Mivel az alakváltozások és feszültségek függetlenek az sugá koodinátától az R, R 4 ( R R ) étékét nem adtuk meg ába. A ( ) FGM kúpa. 6. ába. ( ) FGM kúpa 7. ába. A ( ) FGM kúpa 4. ába. Funkcionálisan gadiens anyagú üeges kúpalakú test A () képlet alkalmazásával azt kaptuk, hogy 4.. Rétegezett összenyomhatatlan ugalmas kúpalakú test. A bemutatása keülő numeikus példa négy étegből felépülő kompozit kúpa vonatkozik. Az

5 egyes étegeket meghatáozó szögkoodináták az alábbiak: 1,,, 4, A 1. ába szemlélteti az összenyomhatatlan ugalmas anyagú tömö kúpalakú test meidián metszetét és az alkalmazott tehelést. A G csúsztató ugalmassági modulus és a szögkoodináta tetszőleges pozitív étékű függvénye. Lehet folytonos, illetve szakaszonként folytonos a intevallumban. 0. ába. A M M( ) FGM kúpa Az alkalmazott tehelések 6 p Pa. a G1 G0 exp 1 a G G0 exp a G G0 exp 4 a G4 G0 exp 4 5 G 0 1, Pa, 1, Pa, 1, Pa, 1, Pa, p1 0, (9) (40) (41) (4) Itt és a étékét a 4.1. feladatban adtuk meg. A csúsztató ugalmassági modulusok fenti megválasztásával egy közelítő módsze alkalmazásáa nyílik lehetőség a FGM anyagú kúpalakú teste levezetett megoldásnak az ellenőzésée. A számítások eedményeit a 9. a 10. a 11. és a 1. ába szemlélteti. max M ( ) 1 5 (4) 7 9, Pa. 5. TÖMÖR KÚPALAKÚ TEST 9. ába. A ( ) étegzett kompozit kúpa 10. ába. A ( ) étegzett kompozit kúpa 11. ába. A ( ) étegzett kompozit kúpa 1. ába. A M M( ) étegzett kompozit kúpa

6 Az elmozdulások véges voltából az következik, hogy, azaz, vagyis a test minden pontjában K 0 függetlenül a U 0 u u u 0 (44) G G ( ) függvénytől és a p teheléstől. A (16-1) mechanikai egyensúlyi egyenletek és az (1-) egyenletekben megfogalmazott peemfeltételi előíások nyilván teljesülnek, ha a test minden pontjában p (45) 0, vagyis a vizsgált ugalmas tömö kúp hidosztatikus feszültségi állapotban van, melyet a és 16. ábákon szemléltettünk a végeselemes megoldás alapján. olyan adatokkal számoltuk ki, amiko is a étegzett kompozit kúpa vonatkozó megoldás a funkcionálisan gadiens anyagú kúpa vonatkozó analitikus megoldás egy közelítő megoldásaként intepetálható. Köszönetnyilvánítás: A tanulmány elkészítését a Nemzeti Kutatási és Fejlesztési Hivatal (NKFIH) K pojekte támogatta. A cikkben ismetetett kutató munka az EFOP jelű Fiatalodó és Megújuló Egyetem Innovatív Tudásváos a Miskolci Egyetem intelligens szakosodást szolgáló intézményi fejlesztése pojekt észeként a Széchenyi 00 keetében az Euópai Unió támogatásával, az Euópai Szociális Alap tásfinanszíozásával valósul meg. 15. ába. A és a feszültségek 16. ába. A feszültség 1. ába. Tömö kúpalakú összenyomhatatlan ugalmas test meidián metszete ( 1 0) 14. ába. Az u elmozdulásmező 6. KÖVETKEZTETÉSEK A dolgozat tágyát inhomogén, összenyomhatatlan, ugalmas kúpok egy statikai peemétékfeladata alkotja. A kúpok külső és belső palást felületein előít nomál felületi tehelés (nyomás) működik. Analitikus megoldás keült kidolgozása a étegzett kompozit kúpoka és a funkcionálisan gadiens anyagú kúpa. A numeikus példákat 6. IRODALOM [1] W.S. Slaughte, The lineaized Theoy of Elasticity, Bikhäuse, Basel, 00. [] I.S. Soloknikoff, Mathematical Theoy of Elasticity, (nd ed.), McGaw-Hill, New Yok, [] I. Ecsedi, A. Baksa, Spheical stain state of incompessible elastic bodies, Jounal of Computational and Applied Mechanics, 11(1), pp.17-, 016. [4] I. Golecki, On the fundamentals of the theoy of elasticity of plane incompessible non-homogeneous media, Lectue in I.U.T.A.M. Symposium of Non-homogeneous in Elasticity and Plasticity, Wasaw, [5] I. Golecki, On the assumption of incompessibility in plane poblems of elasticity, Ach. Mech. Stos., 9(), pp.97-01, [6] I. Golecki, Statics of an incompessible elastic solid, Ach. Mech. Stos., 1(4), pp.5-46, [7] M.E. Gutin, The Linea Theoy of Elasticity in Handbuch de Physik II/., (Ed. S. Flüge), Spinge, Belin, 197.