Nemlineáris anyagviselkedés peridinamikus modellezése. Ladányi Gábor, PhD hallgató

Átírás

1 Nemlineáris anyagviselkedés peridinamikus modellezése Ladányi Gábor, PhD hallgató

2 Tartalom Bevezetés Motiváció A peridinamikus anyagmodell Irodalmi áttekintés Korábbi kutatási eredmények összefoglalása A folyamatban lévő kutatás Nagy alakváltozások peridinamikus leírása A peridinamikus megoldás megbízhatóságának javítása Összefoglalás és további tervek Az eddigi eredmények publikálása Nagy rugalmas, képlékeny modell kidolgozása Az intenzív képlékeny alakítás peridinamikus modellezése Óbudai Egyetem Anyagtudományi és Technológiai Doktori Iskola

3 Az alakváltozási állapot t 0 t Az X V 0 pont környezetének alakváltozását az F alakváltozási gradiens reprezentálja: F = x u = I + X X A merevtest szerű elmozdulás nem okozhat belső erőt, feszültséget! Óbudai Egyetem Anyagtudományi és Technológiai Doktori Iskola

4 A (klasszikus) lokális anyagmodell σ x τ xy τ xz b ρ a = Div σ + b ρ: tömegűrűség, a: gyorsulás, σ: Cauchy-féle feszültségi tenzor, = σ F, b: térfogati terhelés. Óbudai Egyetem Anyagtudományi és Technológiai Doktori Iskola

5 A klasszikus modell hiányosságai Repedés: u 0 Érintkezési felület: Grad u 0 A repedéskeletkezés, terjedés és elágazás leírása további kinetikai vagy energetikai feltételt igényel.

6 A peridinamikus mozgásegyenlet [1] f i,j NF i j b ρ a = i=1 f i,j + b ρ: tömegűrűség, a: gyorsulás, f i,j : peridinamikus belső erő, = f X i X ij = f F X i, b: térfogati terhelés. Óbudai Egyetem Anyagtudományi és Technológiai Doktori Iskola

7 A peridinamikus mozgásegyenlet [1] NF i j H i ρ a = i=1 f i,j + b ρ: tömegűrűség, a: gyorsulás, f i,j : peridinamikus belső erő, = f X i X ij = f F X i, b: térfogati terhelés. Óbudai Egyetem Anyagtudományi és Technológiai Doktori Iskola

8 A peridinamikus alakváltozási gradiens [1] X i,j j Az F alakváltozási gradiens: x i,j NF X 2 i i j F X i K 1 ω i,j X i,j x i,j j=1 ahol K az alaktenzor: NF K = ω i,j X i,j X i,j X 1 j=1 Óbudai Egyetem Anyagtudományi és Technológiai Doktori Iskola

9 A peridinamikus erő-állapot [6] X 2 X i,j j T X i X ji T X j X ij i j i NF ρ a = f i,j + b i=1 f i,j = T X j X ij T X i X ji T X i X ij = ω i,j σ F X i K X ij X 1 Óbudai Egyetem Anyagtudományi és Technológiai Doktori Iskola

10 A peridinamikus modell alkalmazásai [2, 3], Viszkózus alakváltozás,, Nanohálózat, C.T. Wu, B. Ren, A stabilized non-ordinary state-based peridynamics for the nonlocal ductile material failure analysis in metal machining process, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. (2015), Rideg törés,, Stb. Óbudai Egyetem Anyagtudományi és Technológiai Doktori Iskola D. Dipasquale, M. Zaccariotto, U. Galvanetto, Crack propagation with adaptive grid refinement in 2D Peridynamics, Int J Fract (2014) 190:1 22

11 k Jelenlegi kutatási tevékenység Nemlineáris mozgás és egyensúlyi egyenletek megfogalmazása Diszkretizált egyenletek megfogalmazása A mozgás és egyensúlyi egyenletek megoldójának kidolgozása Esettanulmányok vizsgálata Tiszta húzás, t Hárompontos hajlítás, e X Intenzív képlékenyalakítási P P K problémák 0 A 5 x P 1 B x R R Rb P 4 P 2 C D E P 3 y

12 A peridinamikus modell és a legkisebb hibanégyzet közelítés kapcsolata [4, 5] y r i x i y i y x = a 0 + a 1 x = y x NP darab pontra felírva: Az egyenes egyenlete: x i x i y i x 1 x 1 1. x. 2 1 x NP a 0 a 1 = P a = y y 1 y 2. y NP Óbudai Egyetem Anyagtudományi és Technológiai Doktori Iskola

13 A peridinamikus modell és a legkisebb hibanégyzet közelítés kapcsolata [4, 5] y r i x i y i rendszer általánosított megoldása: A kapott túlhatározott egyenlet- a = P T P 1 P y x i y i Emlékeztetőül: NF x i x F X i = K 1 j=1 ω i,j X i,j x i,j Óbudai Egyetem Anyagtudományi és Technológiai Doktori Iskola

14 y A lineáris közelítés hiányossága Elsőfokú közelítés x i Lokális érintő x A probléma: Nemlineáris függvény esetén az érintő hibás. Inhomogén elmozdulásmező esetén az F alakváltozási gradiens hibás. A merevtest szerű elfordulás kiszámítása hibás eredményre vezet. A konvergencia sebessége csökken, a numerikus eredmény téves. Óbudai Egyetem Anyagtudományi és Technológiai Doktori Iskola

15 y A lineáris közelítés hiányossága Másodfokú közelítés Elsőfokú közelítés A probléma megoldása: 1 x 1. x 1 k 1 x k 2. x x k NP. x NP a 0 a 1. a k = y 1 y 2. y NP x i Lokális érintő x a = P a = y P T P 1 P y A keresett érintő: a 1 Óbudai Egyetem Anyagtudományi és Technológiai Doktori Iskola

16 A közelítés ára 2- és 3 dimenzióban p 0 = 1 2D közelítés p 1 = 1, x, y p 2 = 1, x, y, x 2, x y, y 2 p 0 = 1 p 1 = 1, x, y, z 3D közelítés p 2 = 1, x, y, z, x 2, x y, y 2, y z, z 2, z x k k j Dim p k = k Dim p k = l j=1 j=1 l=1

17 A közelítés ára 2- és 3 dimenzióban P 0 = P 1 = 1 0 x D közelítés 0 y 0 x 0 y a T = a 01, a 02, a 11, a 12, a 13, a 14 F,.. P 0 = P 1 = D közelítés x x x y y y a T = a 01, a 02, a 03, a 11,.., a 19 F z z z,..

18 Példa: hajlítás + elfordulás Y Y Y α = 0 α = X X X x y = cos α sin α sin α cos α Y sin X Y cos X 0.5

19 Példa: hajlítás + elfordulás Y Y Y α = 0 α = X X X Feladatok: 1. A merevtest-szerű elfordulás α kiszámítása 2. A Gree-Lagrange alakváltozási tenzor előállítása

20 Példa: az alakváltozás rekonstrukciója fokú közelítés 3-fokú közelítés fokú közelítés fokú közelítés

21 Példa: az elfordulás rekonstrukciója α = fokú közelítés 3-fokú közelítés α = 35 α = α = fokú közelítés fokú közelítés

22 Példa: a Green-Lagrange alakváltozási tenzor A G-L tenzor definíciója: E = 1 2 FT F I A 2-rendű norma definíciója: A 2 = A A A k-rendű közelítés relatív hibája: k δ k = E E k E k

23 A szemeszter eredményei A szakirodalom feltárása A nemlineáris mozgásegyenlet megfogalmazása Az egyenlet megoldására alkalmas módszer (ADR-módszer) adaptálása Az emelt fokszámú közelítés adaptálása Oktatás: Szilárdságtan, Méréstechnika, Végeselem módszer alapjai Óbudai Egyetem Anyagtudományi és Technológiai Doktori Iskola

24 A tervezett tevékenységek Publikáció: A szakirodalmi összefoglaló megjelentetése Az emelt fokszámú közelítéssel kapcsolatos eredmények megjelentetése Kutatás: Hiperelasztikus anyagmodellek adaptálása és alkalmazása Képlékeny anyagmodellek adaptálása és alkalmazása Oktatás: Statika, Dinamika, Végeselem módszer alapjai Óbudai Egyetem Anyagtudományi és Technológiai Doktori Iskola

25 Köszönöm megtisztelő figyelmüket! Ladányi Gábor, PhD hallgató

26 Függelék

27 Felhasznált irodalom [1] S. A. Silling, M. Epton, O. Weckner, J. Xu, E. Askari - Peridynamic States and Constitutive Modeling J Elasticity (2007) 88: [2] C.T. Wu, B. Ren, A stabilized non-ordinary state-based peridynamics for the nonlocal ductile material failure Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. (2015) [3] D. Dipasquale, M. Zaccariotto, U. Galvanetto, Crack propagation with adaptive grid refinement in 2D Peridynamics Int J Fract (2014) 190: 1 22 [4] M. A. BessaJ. T. FosterT. Belytschko, Wing Kam Liu - A meshfree unification: reproducing kernel peridynamics Computational Mechanics (2014) 53: [5] G.C. Ganzenmüller, S. Hiermaier, M. May - On the similarity of meshless discretizations of Peridynamics and SPH Computers and Structures (2015) 150: [6] M.S. Breitenfeld, P.H. Geubelle, O. Weckner, S.A. Silling - Non-ordinary state-based peridynamic analysis of stationary crack problems, Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. (2014) 272: Óbudai Egyetem Anyagtudományi és Technológiai Doktori Iskola

28 A peridinamikus anyagmodell eddigi eredményei TOPIC Number of articles Books 3 Computational techniques 3 Coupling with FEM/MESHLESS 20 Damage 6 Fatigue 7 Fracture 49 Meshless 6 Nonlocal 18 Other appl. 33 Plasticity 15 State based 17

29 A peridinamikus kutatási fa Törésmechanika - repedésterjedés Klasszikus modellek CZM & X-FEM DEM PERIDYNAMICS x t Y Bond-based State-based X T X Y X f Y X T Y X Y Alkalmazások Alkalmazások f Y, X T X Y X T Y X Y Nyitott kérdések Nyitott kérdések

30 Köszönöm megtisztelő figyelmüket! Ladányi Gábor, PhD hallgató