Numerikus módszerek. A. Egyenletek gyökeinek numerikus meghatározása

Átírás

1 Numeikus módszeek A. Egyenletek gyökeinek numeikus meghatáozása A1) Hatáozza meg az x 3 + x = egyenlet (egyik) gyökét éintı módszeel. Kezdje a számítást az x = helyen! Megoldás: x 1, Megoldás 3 A függvény P (x ; y ) kezdıpontbeli étéke y = + = 1, ami jelentısen elté nullától, tehát az x = éték nem gyöke az egyenletnek. 15 e 1 P 5 P 1 y -5 M, ,5 x x= =,5 3 x 1 =1,375 A függvény deiváltja (éintıjének meedeksége) tetszıleges helyen = 3x + x A deivált étéke x = helyen y = 3 + = 16 A függvény P (x ;y ) pontbeli e éintıjének egyenlete ( egy ponton átmenı egyenes egyenlete lásd középiskola!) y y = m ( x x ) Az e éintı egyenes és az x tengely M 1 metszéspontjának x 1 abszcisszája a keesett gyök elsı közelítı étéke: y = ( x1 x ) Innen x y 16 1 x 1 = = = 1,375 16

2 3 Itt a függvény étéke y 1 = 1, ,375 =, 49, ami még mindig messze van zéustól. Ezét az eljáást hasonló módon folytatjuk a P 1 (x 1 ; y 1 ) pontból, amíg két egymást követı gyök má csak kissé különbözik egymástól. Az eljáás gyosan konvegál, háom lépés után a keesett gyök közelítı étéke x 3 =1,46. A) Hatáozza meg az x 3 + x = egyenlet (egyik) gyökét húmódszeel. Legyen a két kezdı pont abszcisszája x a =, 5 és x =1,. b Megoldás x 1 y b y a,5 1x b =1,1,5,5 3 x a =,5 A két ponton átmenı egyenes egyenlete (lásd középiskolai koodináta geometia!) y b y a y y a = ( x x a ) x b x a ahol y a =-1,65 és y b =3,65. m Ennek a húnak és az x tengelynek a metszéspontja adja a keesett gyök elsı közelítését: x b x a x1 = x a y a,89 y b y a Az eljáást hasonló módon folytatjuk. Az új baloldali végpont (x 1 ; y 1 ) lesz. Az eljáás elég lassan konvegál. Megoldás: x 1,. A3) Hatáozza meg az e x 5 x = egyenlet (egyik) gyökét éintı módszeel. Kezdje a számítást az x =,5 helyen! Megoldás: x, 6

3 A4) Hatáozza meg az e x 5 x = egyenlet (egyik) gyökét húmódszeel. Legyen a két kezdı pont abszcisszája x a = és x b = Megoldás: x, 6 A5) Hatáozza meg a log x + x 1 = tanszcendens egyenlet gyökét iteációval. Kezdje a számítást az x =,7 helyen! Megoldás: x, 797 A6) Hatáozza meg az 1,x sin x = tanszcendens egyenlet (egyik) gyökét iteációval. Kezdje a számítást az x =,5 helyen! Megoldás: x, 956 B. Diffeenciálegyenletek numeikus megoldása B1) Egy matematikai inga mozgását leíó diffeenciálegyenlet d ϕ + 36sin ϕ = alakú. Hatáozza meg step-by-step módszeel az elsı 5 függvényétéket, ha az inga ϕ =1 adiános szöghelyzetbıl indul zéus kezdeti szögsebességgel. Válassza az idı lépésközt h=,5 másodpece! Megoldás A második deiváltat diffeencia-hányadossal közelítjük: d ϕ ϕ ϕ + ϕ h (itt ϕ az eggyel égebbi, ϕ a kettıvel égebbi függvényétéket jelöli) A diffeenciálegyenletbe helyettesítve a második deivált közelítı étékét az alábbi ekuzív fomulát kapjuk: ϕ = ϕ 36h sin ϕ ϕ A kezdeti feltételhez az elsı deiváltat szintén diffeencia hányadossal közelítjük: dϕ ϕ() ϕ () h

4 ahonnan dϕ ϕ ( ) ϕ() h ϕ () = 1 Step-by-step számítás táblázata. t ϕ ϕ ϕ = ϕ 36h sin ϕ ϕ - ϕ () = 1 (k.f) ϕ ( ) = 1 (kezd. felt),5 1 1,943,1 1,94,7767,15,94,7765,566 Egy lehetséges Matlab kód: hold off h=.5; f=1; f=f; f=f; t=; fo i=1:5 plot(t,f,'o','makesize',3); hold on disp(f); f=*f-36*h*h*sin(f)-f;% ez a tulajdonképpeni algoitmus f=f; % shiftelés f=f; % shiftelés t=t+h; end B)Oldja meg numeikusan step-by-step módon, Eule-Cauchy módszeel a du = 1t diffeenciálegyenletet u =1 kezdeti feltétellel és h=,1 s idı-lépésközzel! Megoldás:u(t)=1; 1; 1.1; 1.; 1.5; 1.9;.

5 B3) Oldja meg numeikusan step-by-step módon, javított Eule-Cauchy módszeel a du = 1t diffeenciálegyenletet u =1 kezdeti feltétellel és h=,1 s idı-lépésközzel! Megoldás:u(t)=1; 1.5; 1.; 1.45; 1.8;. B4) Íja át a d u du u = diffeenciálegyenletet diffeencia-egyenletté! A lépésköz legyen h. u i+ 1 u i + u i 1 u i+ 1 u i 1 Megoldás: u = 1 =... i u i+ h h B5) A h=1 lépésközzel mintavételezett függvényétékek a következık:1; 8; 7; 64; 15. Hatáozza meg numeikusan a függvény alatti teületet a) Téglány-szabállyal b) Tapéz-szabállyal Megoldás: 1 Megoldás: 16 B6) Oldja meg numeikusan a du + 1u = 1u b diffeenciálegyenletet (kondenzáto töltése állandó feszültséggel) u = kezdeti feltétellel, valamint u b =1 állandó gejesztéssel! Válassza az idı lépésközt h=,1 másodpece! Hatáozza meg step-by-step módszeel az elsı 5 függvényétéket! Megoldás: ;,8; 3,5; 4,17; 4,75; B7) Egy m=1 kg nagyságú tömeg c=3 N/m meevségő ugóval van a falhoz ögzítve. A tömeg az alapsíkon Coulomb-féle súlódással van csillapítva (µ=,6). A tömeget x =,5 méteel kitéítjük egyensúlyi helyzetébıl és magáa hagyjuk. Hatáozza meg numeikusan az x(t) elmozdulás-idı függvényt a tömeg leállásáig. A lépésközt válassza h=, s-a! (haladók észée!)

6 m x c Egy lehetséges Matlab kód: µ hold off h=.; x=.5; x=.5; x=.5; c=3; s=6; t=; fo i=1:8 x=x*(-h*h*c)-x-s*h*h*sign(x-x); x=x; x=x; if.5*abs(x-x)/(h*h)>s plot (t,x); hold on; elseif c*x>s plot (t,x); hold on; else x=x; plot (t,x); hold on; end t=t+h; end holtsáv