Kétváltozós függvények

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Kétváltozós függvények"

Átírás

1 Kétváltozós függvéek Tartalomjegzék Többváltozós függvéek... Kétváltozós függvéek... Nevezetes felületek... 3 Forgásfelületek... 3 Kétváltozós függvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós függvéek... 6 A parciális deriváltak... 7 A parciális deriváltak geometriai jeletése... 7 Parciális derivált függvé... 8 Kétváltozós függvé deriváltja (gradies vektor... 8 A gradies vektor létezéséek elégséges feltétele... 9 A differeciálhatóság geometriai jeletése... Kétváltozós függvé irámeti deriváltja... Veges másodredű parciális deriváltak egelősége... A kétváltozós függvé lokális szélsőértéke... 3 A szélsőérték létezéséek szükséges feltétele... 3 A szélsőérték létezéséek elégséges feltétele... 3 A szélsőérték jellege... 4 A kétváltozós függvé tartomái szélsőértéke... 7

2 Többváltozós függvéek Lege D eg dimeziós pothalmaz, és f egértelmű hozzáredelés, mel mide (,,... D dimeziós pothoz eg valós u számot redel. Jelölése: u f (,,..., a függvé az értelmezési tartomáa D. Ha D kétdimeziós, akkor f kétváltozós, a szokásos jelölés z f (,, ha D három dimeziós akkor f három változós, a szokásos jelölés u f (,, z Ezekkel a speciális esetekkel foglalkozuk. Kétváltozós függvéek Geometriai iterpretáció A z f (, függvé geometriai iterpretációját, hasolóa az egváltozós függvéek grafikojához, a háromdimeziós Descartes koordiátaredszerbe úg kapjuk, hog az {, } merőlegese. Az (,, f(, síkba az (, koordiátájú potokhoz az f által hozzáredelt z értéket mérjük fel potok által meghatározott alakzat a függvé geometriai megfelelője. Ha f (, foltoos (lásd később akkor ezt felületek modjuk. Szitvoalak Sokszor a felületet ehéz elképzeli. Ebbe segíteek a koordiáta síkokkal való metszetgörbék és a szitvoalak. Defiíció: A z C egeletű, {, } metszésvoalát szitvoalak evezzük. Segíteek a függvét elképzeli. Ha a szitvoalakat az {, } mit a domborzati térképe szokás. síkkal párhuzamos síkak és a felületek a síkra vetítjük, akkor két dimezióba is ábrázolhatjuk a felületet

3 Nevezetes felületek Forgásparaboloid, az { z, } és a {, } z koordiátasíkkal való metszetei parabolák, szitvoalai kocetrikus körök f, + Egelete: ( Hiperbolikus paraboloid f, Ha az Egelete: ( egeletű {, } z koordiátasíkkal metszük el a felületet, akkor a metszetgörbe egelete z, ha az egeletű {, } z koordiátasíkkal metszük el a felületet, akkor a metszetgörbe egelete z, Ha az Ha z egeletű {, } síkkal párhuzamos síkkel metszük el a felületet, akkor a metszetgörbe egelete z egeletű hiperbola Forgásfelületek Ha az síkbeli z f( u egeletű görbét a z-tegel körül megforgatjuk, a kapott forgásfelület egelete z f ( + Nevezetes forgásfelületek Félgömb Egelete: z R ( + Forgási hiperboloid (két köpeű Egelete: z + + Forgási hiperboloid (eg köpeű Egelete: Kúp Egelete: z + z + 3

4 Ábrázoljuk a z z felületet és határozzuk meg a 75 síkkal való metszésvoalát. (szitvoal f, értelmezési tartomáát Határozzuk meg az ( : Az f (, értelmezési tartomáa az a tartomá, ahol > Kétváltozós függvé határértéke Az egváltozós függvéek határértékére voatkozó lehetséges defiíciók közül a következőt általáosítjuk: lim f ( A, akkor és csak akkor, ha mide potsorozatra ( Általáosítva: (, (, ( lim f, A (, f A (, (,, akkor és csak akkor, ha mide f A potsorozatra A defiíció közvetle következméei Függvéek kostas-szorosáak, összegéek, szorzatáak, háadosáak (ha a evező em ulla, racioális kitevős hatvááak a határértéke a határértékek kostas-szorosa, összege, szorzata, háadosa, racioális kitevős hatváa. 4

5 Létezik-e a következő függvé határértéke a (-,3 potba és ha ige mei? + 3 f(, 4 + 5,ahol a evező em ulla, ott a létezik határértéke és lim + 3 ( ( (, (,3. Létezik-e ugaeek a függvéek a határértéke a (, potba, és ha ige mei? + 3 Az függvéek ics határértéke (, potba, mert létezik két külöböző potsorozat (rövide út, mel meté közelítve az origóba külöböző határértéket kapuk. Pl. az - tegele közelítve az origóba, azaz (, (, 3 + eseté az - tegele közelítve az origóba, azaz (, (, + 3 eseté , Létezik-e határértéke az origóba az ( f + függvéek Nem létezik, mert az tegel meté a határértéke, hisze lim lim, + + egees meté lim lim (, (, (, (, + + (, (, (, (, de az 3. Létezik-e határértéke az origóba az f (, függvéek + Láthatjuk, hog mid a tegelek meté, mid az azt sejtjük, hog va határértéke. Ezt a következőképpe láthatjuk be: egees meté a határértéke, 5

6 Eg tetszőleges (, hoz tartó (, segítségével: melek a ( Azaz potsorozatot felírható polár-koordiáták rcosϕ, és rsiϕ, -hoz tartásához elegedő az r feltétel a ϕ sorozattól függetleül. 3 ( r cosϕ rsi ϕ r cosϕsiϕ r (, (, ϕ ϕ ( cos ( si + r r r r r ϕ + r ϕ lim lim lim lim cos si Jó taács: ha ugaezt a módszert megpróbáljuk alkalmazi az előző példáál, akkor ( ( r cosϕ ( r siϕ rcosϕ rsi ϕ r cosϕsiϕ (, (, + r r r r + lim lim lim lim cosϕ siϕ mert a határérték, ha cosϕ siϕ si ϕ függ a π ϕ, akkor pedig 4, stb ϕ sorozattól. Ha ϕ akkor a limes Foltoos kétváltozós függvéek Ha a z f (, (, potba és a kettő egelő, akkor ott a függvé foltoos (, függvéek létezik helettesítési értéke és határértéke eg azaz ha lim f (, f(, (, (,. Foltoos-e a következő függvé: f (, ha (, (, + ha (, (, potba. : Nem foltoos, hisze ics határértéke az origóba (lásd:5. oldal. példa ha (, (, Foltoos-e a következő függvé: f (, + ha (, (, : Ige, foltoos, mert a függvéek va határértéke (lásd:5. oldal 3. példa és az megegezik a helettesítési értékével. 6

7 A parciális deriváltak Az szeriti parciális derivált defiíciója: f ( Az szeriti parciális derivált defiíciója: f ( ( +, (, f h f, (, lim, h h, f, + h f, lim h h (, ( ( Vagis a kétváltozós függvé egik változóját kostasak tekitve a másik változója szerit deriváljuk. A parciális deriváltak geometriai jeletése Az f (, függvé (, potbeli változó szeriti parciális deriváltjáak a geometriai jeletése a z f (, felület és az egeletű sík metszésvoala z f, görbe éritőjéek a meredeksége. ( ( Az f (, függvé (, geometriai jeletése a z f (, ( z f (, potbeli változó szeriti parciális deriváltjáak a felület és az egeletű sík metszésvoala görbe éritőjéek a meredeksége. 7

8 Parciális derivált függvé Ha tetszőleges (, potba képezzük a z f (, változó szeriti parciális deriváltját, akkor az változó szeriti parciális derivált függvét kapjuk (ahol létezik ( f ( + h, f, f f (, lim, szokásos jelölés még h h, z z, vag Ha tetszőleges (, z f, változó szeriti parciális potba képezzük a ( deriváltját, akkor az változó szeriti a parciális derivált függvét kapjuk (ahol létezik ( f (, + h f, f (, lim, szokásos jelölés még h h f, z vag z Határozzuk meg a z z si, z cos Határozzuk meg a z cos, z cos si függvé és szeriti parciális derivált függvéeit! z si függvé és szeriti parciális derivált függvéeit! Határozzuk meg a z függvé és szeriti parciális derivált függvéeit! z z l Határozzuk meg a, mert szerit hatváfüggvé,, mert szerit epoeciális függvé z cos függvé és szeriti parciális derivált függvéeit! +, mert szerit szorzatfüggvé, z cos ( si( z ( si(, mert szerit em szorzat függvé, hisze kostas. Kétváltozós függvé deriváltja (gradies vektor Defiíció: 8

9 A függvé z f (, gradiese eg adott potba a parciális deriváltakból, mit koordiátákból alkotott vektor: gradf ( f (,, f (, Defiíció: Az (, létezik a gradies vektora. Azaz f kétváltozós függvé differeciálható az (, (, (, ((,( f f gradf, potba (totálisa, ha a közelítőleg egelő itt azt jeleti, hog a két oldal eltérése a megváltozás hosszával osztva ullához tart. Tétel Ha eg kétváltozós függvé differeciálható eg potba, akkor ott foltoos. Bizoítás (, (, ((,( f f gradf miatt a baloldal ullához tart, ami a foltoosság defiíciója. Megjegzés Abból, hog eg függvéek létezek a parciális deriváltjai, em következik, hog differeciálható. Például, a következő függvéek az origóba létezik mid mid szerit a parciális deriváltja és midkettő, de em differeciálható, hisze még csak határértéke sics az origóba. Ez a függvé léegébe z, vagis az {, } meté em, haem a függvé értéke. sík csak az -tegel és az -tegel A gradies vektor létezéséek elégséges feltétele Tétel: A gradies vektor létezéséek elégséges feltétele, ha az adott potba a parciális derivált függvéek foltoosak. 9

10 A differeciálhatóság geometriai jeletése Az f (, kétváltozós függvé differeciálható az (, létezik éritő síkja, melek egelete z z f (, ( + f (, ( Tehát: ( Az f (, függvé P,, f (, ( f (,, f (,, potba (totálisa, ha potbeli éritősíkjáak a ormál vektora Bizoítás vázlat Ha a függvé differeciálható, akkor a függvé megváltozása közel lieáris, azaz (, (, ((,( f f gradf, másképpe írva zz f (, ( + f (, (, az éritősík egelete tehát: z z f (, ( + f (, ( Adjuk meg az f (, 9 ( egeletét! + függvé (, potjába az éritősík Az éritősíkhoz ormálvektora: ( f (,, f (,, (,, (, 4, ( eg potja P f ( ( ( ( z, (,,,, (,,4, tehát az éritősík egelete: 4 4, azaz + 4+ z 4

11 Kétváltozós függvé irámeti deriváltja Defiíció: Az f (, függvé e irába vett irámeti deriváltjáak evezzük a f ( + eh, + eh f (, következő határértéket: f e (, lim h h Azaz az (, potból eg előre rögzített egségvektor e ( e, e ézzük a függvéérték megváltozását és íg képezzük a ( e iráába f ( + eh, + eh f (, h külöbségi háadost, majd eek vesszük a határértékét midő a megváltozás ullához tart. Szokásos jelölés még: f e Tétel Ha létezik a függvé gradiese, akkor az irámeti derivált a gardies vektor és a megadott irába mutató egségvektor skaláris szorzata: Határozzuk meg az ( deriváltját a P (, potba! f e gradf e f, függvé v ( 3,4 iráába eső irámeti Az irámeti deriválthoz szükséges a gradies vektor az adott potba és eg egség hosszú vektor mel a keresett irába mutat. gradf (,, gradf ( 4,4 (, Tekitve, hog v ( , az iráába mutató egségvektor 3 4 e, 5 5 Tehát f gradf e e f ,4, + e , azaz ( Határozzuk meg az f (, irámeti deriváltját a ( 5 +, 3 P potba! függvé + 3 5egees iráába eső

12 Az irámeti deriválthoz szükséges a gradies (ha létezik az adott potba és eg egség hosszú vektor mel a keresett irába mutat. 3 ( + + ( 3 ( f f (, 36, (, 3 f, gradf ( 36,3 Az egees egeletéek átalakításával, ( + + ( 3 ( f 3 5 látható, 3 3 hog az egees meredeksége m és az egees iráába mutató vektor v ( 3,, 3 a szükséges egségvektor az irámeti derivált tehát : v 3 e, v, f gradf e ( 36,3, + e Tétel A gradies a függvé legagobb övekedéséek iráába mutat. Ez azt jeleti, hog az irámeti derivált a gardies vektor iráába a legagobb! Ekkor az irámeti derivált értéke a gardies vektor hosszával egelő. Bizoítás f gradf e e, gradf e gradf e cosα, ahol α a vektorok szöge. A skaláris szorzat akkor a legagobb, ha a két vektor által bezárt szög, hisze ekkor a szög kosziusza. Ekkor tehát gradf e gradf e gradf Veges másodredű parciális deriváltak egelősége Tétel: (Youg tétele : Ha a z f (, függvéei az A ( ab, pot A totálisa differeciálhatók, akkor ( ( kétváltozós függvé elsőredű parciális derivált I körezetébe létezek és a függvé az A potba f a, b f a b., Megjegzés. A parciális deriváltak foltoossága elégséges feltétele a függvé totális differeciálhatóságáak.

13 Tehát az is igaz, hog ha a másodredű parciális derivált függvéek foltoosak, akkor a veges másodredű deriváltak egelők, azaz értékük em függ a deriválás sorredjétől, f (, f, vagis ( A kétváltozós függvé lokális szélsőértéke Defiíció A z f (, függvéek az (, (, potak ola körezete, melbe az z f (, potba lokális maimuma va, ha létezik az A z f (, függvéek az (, (, potak ola körezete, melbe az z f (, a legagobb érték, potba lokális miimuma va, ha létezik az a legkisebb érték, A szélsőérték létezéséek szükséges feltétele A lokális szélsőérték (maimum vag miimum létezéséek szükséges feltétele: gradf f (,, f (,, Idoklás ( ( Ha a függvéek lokális szélsőértéke va az (, -ba és a függvé differeciálható, azaz létezik ott az éritősíkja és, akkor abba a potba az éritősík vízszites, a ormál vektora a z tegellel párhuzamos, vagis mivel ( f (,, f (,, adódik, hog gradf ( f (,, f (, (, ( Mide potba a gradies merőleges a poto áthaladó szitvoalra. A szélsőérték létezéséek elégséges feltétele A lokális szélsőérték (maimum vag miimum létezéséek elégséges feltétele: (, (, (, (, f f f f > Ha em teljesül, akkor ics szélső értéke a függvéek, akkor eregpotja va. Bizoítás élkül 3

14 A szélsőérték jellege A szélsőérték jellegét (maimum vag miimum az f (, állapíthatjuk meg. ( determiás D> f és előjele alapjá f előjele midig megegezik abba a potba ahol feti Ha f (, > akkor a függvéek miimuma va, ha f ( maimuma va. Megjegzés: f (,, hisze akkor D lee., < akkor Hol va lokális szélsőértéke a következő függvéek? ( f(, 4 + e 8 4 f e e e 8 8 e ( ( ( ( 3 ( ( ( 4 ( ( 8 3 ( 4 f e + + e e e f, e ( 44 44, vag f, e ( 4 4, vag ( A megoldásokra: és, és, 4 4,, és A megoldások: (,,(, (,, (,,,(, 4

15 Tehát sorra kell vei ezeket a potokat és ki kell számoli D determiás értékét. f f f > f Megézi, hog D teljesül-e. Ha em, akkor ics szélső értéke a függvéek, akkor eregpotja va. f e e + e e e + e e f e e + e e e f e e + e ( ( ( ( ( 4 4 ( ( ( 8 ( 8 6 ( ( ( 3 8 ( ( 8 3 ( ( ( ( ( ( ( ( ( 6 4 ( ( 3 8 ( ( ( ( ( 6 4 e + + f e e e e + + e + + Az f deriváltat már feleslegese számoltuk ki, mert a Youg tétele szerit megegezik f -vel. Vizsgáljuk meg a D értékét azokba a potokba ahol a parciális deriváltak ullák.. (, 4 f (, e ( 4 (, + + +, f (, e ( ( ( f, f, e Tehát D f f függvéek.. (, ( f ( (, f (,,,, 8 6 >, vagis va lokális szélsőértéke a 5

16 ( ( f (, e e e 4, ( ( f (, e e 8 6e 4, 3 3 ( ( ( f, f, e Tehát D ( ( (, f (,, f, f, 6e >, vagis va lokális szélsőértéke a f 6e függvéek az (, potba. Tekitettel arra, hog f (, <, ezért itt a függvéek lokális maimuma va. 3. (, ( f (, e 4 6e ( f (, e e f ( f (,, Tehát D ( ( (, f (, f, f, 6e <, vagis ics lokális szélsőértéke a f 4e függvéek az (, potba. 4. (, f (, e e f f (, 6 ( e ( f (,, Tehát D ( ( (, f (, f, f, 6e >, vagis va lokális szélsőértéke a f 6e függvéek az (-, potba. Tekitettel arra, hog f (, <, ezért itt a függvéek lokális maimuma va. 5. (, f (, e 4 6e ( f (, 4 e 6

17 f ( f (,, ( ( Tehát D f (, f (, függvéek a (, potba., f, f, 6e <, vagis ics lokális szélsőértéke a 4e Azt kaptuk, hog a ( és az (, potokba va lokális maimum, a (, potba pedig lokális miimum. A maimum értéket megkapjuk, ha behelettesítük a függvébe. f(, 4e,4764 f(, 4e,4764 f (, A kétváltozós függvé tartomái szélsőértéke Defiíció A z f (, függvéek az (, z f (, potba tartomái maimuma va, ha a legagobb érték az egész tartomába, A z f (, függvéek az (, z f (, potba tartomái maimuma va, ha a legkisebb érték az egész tartomába. A tartomái szélsőértéket a függvé vag a tartomá belsejébe vag a határá veszi fel. Ha a tartomá belsejébe veszi fel, akkor ott lokális szélsőértéke is va. Határozzuk meg a következő függvé tartomábeli legagobb és legkisebb értékét (másképpe tartomái vag globális szélsőértékeit a T égzete. ( f(, 4 + e 7

18 Két eset lehetséges:. A szélsőértéket a tartomá belsejébe veszi fel.. A szélsőértéket a tartomá határá veszi fel. Ha a globális szélsőértéke a tartomá belsejébe va, akkor ott lokális szélsőértéke is va a függvéek. Praktikus megjegzés: Azt azoba em kell vizsgáli, hog télegese va-e ott szélsőértéke, mert ha ics akkor aál kisebb vag agobb értéket a határo vesz fel.. Vagis meg kell ézi a függvé értékét azoko a heleke ahol f és. Ezeket az értékeket kell összehasolítai a határo felvett értékekkel. Ezek közül a legagobb a globális maimum, a legkisebb a globális miimum. A parciális deriváltak ullák a (,,(,,(,,(,,(, potokba.,4764, (, f(, f(, 4e Ezek közül a legkisebb a és a legagobb a a legagobb és a legkisebb értéket. f,, f (, f(, e f. 4e. A tartomá határá is meghatározzuk 4 A tartomá határai. egees. Eze a függvé f(, ( 6 e hog eek hol va a maimuma és a miimuma a [,] zárt itervallumo. Először (, - határozzuk meg az egváltozós függvé szélsőértékét. ( 4 ( 4 (, 6 ( 4 f e + + e e ( 5 + kérdés, Ahol ez a derivált ulla, ott lehet szélsőértéke. vag 5. Ezek közül a 4 6 tartomába a (, pot esik. Itt a függvé értéke f(, ( 6 e 4 e Hasolóa az egees meté a lehetséges szélsőérték 4 6 f(, ( 6 e, e 4 Az f(, e, egeese ( ( ( ( (, f (, 8 e + e e 8 e 4 4 Ez csak a (, potba ulla, a függvé értéke itt f(, 4e,746 4 e 3 4 Az egeese f(, 8 e, mel csak a (, potba ulla, a függvé 4 4 értéke itt f(, 4e,746 4 e Végül meg kell ézi a égzet csúcspotjaiba 8 f(, f(, f(, f(, ( e, e 8

19 az íg kapott függvéértékek közül kell kiválasztai a legkisebbet és a legagobbat. A legagobb függvéérték a (, és (, potokba va az origóba va. 4e,4764, a legkisebb 9

Kétváltozós függvények

Kétváltozós függvények Kétváltozós üggvéek Tartalomjegzék Többváltozós üggvéek... Kétváltozós üggvéek... Nevezetes elületek... 3 Forgáselületek... 3 Kétváltozós üggvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós üggvéek... 6 A parciális

Részletesebben

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden

forgási hiperboloid (két köpenyű) Határérték: Definíció (1): Az f ( x, y) függvénynek az ( x, y ) pontban a határértéke, ha minden Kétváltozós függvéek Defiíció: f: R R vag z f(,) Szeléltetés:,,z koordiátaredszerbe felülettel Pl z + forgási paraboloid z R ( + ) félgöb z + + forgási iperboloid (két köpeű) z + forgási iperboloid (eg

Részletesebben

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév

Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechnika-technika szak, II. évfolyam, 2. félév Kalkulus szigorlati tételsor Számítástechika-techika szak, II. évfolyam,. félév Sorozatok: 1. A valós számoko értelmezett műveletek és reláció tulajdoságai. Számok abszolút értéke, itervallumok. Számhalmazok

Részletesebben

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által

Kétváltozós függvények ábrázolása síkmetszetek képzése által Kétváltozós függvének ábrázolása síkmetszetek képzése által ) Ábrázoljuk a z + felületet! Az [,] síkkal párhuzamos síkokkal z c) képzett metszetek körök: + c, tehát a felület z tengelű forgásfelület; Az

Részletesebben

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága

Sorozatok, határérték fogalma. Függvények határértéke, folytonossága Sorozatok, határérték fogalma. Függvéyek határértéke, folytoossága 1) Végtele valós számsorozatok Fogalma, megadása Defiíció: A természetes számok halmazá értelmezett a: N R egyváltozós valós függvéyt

Részletesebben

V. Deriválható függvények

V. Deriválható függvények Deriválható függvéyek V Deriválható függvéyek 5 A derivált fogalmához vezető feladatok A sebesség értelmezése Legye az M egy egyees voalú egyeletes mozgást végző pot Ez azt jeleti, hogy a mozgás pályája

Részletesebben

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0

Példa: 5 = = negatív egész kitevő esete: x =, ha x 0 Ha mást em moduk, szám alatt az alábbiakba, midig alós számot értük. Műeletek összeadás: Példa: ++5 tagok: amiket összeaduk, az előző éldába a, az és az 5 szorzás: Példa: 5 téezők: amiket összeszorzuk,

Részletesebben

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET

GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET ε ε hullámegelet: Mérökizikus szak, Optika modul, III. évolam /. élév, Optika I. tárg GEOMETRIAI OPTIKA - ÓRAI JEGYZET (Erdei Gábor, Ph.D., 6. AJÁNLOTT SZAKIRODALOM: ELMÉLETI ALAPOK Maxwell egeletek E(

Részletesebben

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8.

NÉMETH LÁSZLÓ VÁROSI MATEMATIKA VERSENY 2013 HÓDMEZŐVÁSÁRHELY OSZTÁLY ÁPRILIS 8. . feladat: Eg 5 fős osztálba va fiú és 4 lá. z iskolai bálo (fiú-lá) pár fog tácoli. Háféleképpe tehetik ezt meg? párok sorredje em számít, viszot az, hog ki kivel tácol, az már ige. (0 pot) Válasszuk

Részletesebben

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/)

3. Sztereó kamera. Kató Zoltán. Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika tanszék SZTE (http://www.inf.u-szeged.hu/~kato/teaching/) 3. Sztereó kamera Kató Zoltá Képfeldolgozás és Számítógépes Grafika taszék SZTE (http://www.if.u-szeged.hu/~kato/teachig/) Sztereó kamerák Az emberi látást utáozza 3 Sztereó kamera pár Két, ugaazo 3D látvát

Részletesebben

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7.

Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia április 7. ME, Anaĺızis Tanszék 2010. április 7. , alapfogalmak 2.1. Definíció A H 1, H 2,..., H n R (ahol n 2 egész szám) nemüres valós számhalmazok H 1 H 2... H n Descartes-szorzatán a következő halmazt értjük:

Részletesebben

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások

Többváltozós analízis gyakorlat, megoldások Többváltozós analízis gakorlat, megoldások Általános iskolai matematikatanár szak 7/8. őszi félév. Differenciál- és integrálszámítás alkalmazásai. Határozzuk meg az alábbi differenciálegenletek összes,

Részletesebben

Matematika III előadás

Matematika III előadás Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,

Részletesebben

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet):

(A TÁMOP /2/A/KMR számú projekt keretében írt egyetemi jegyzetrészlet): A umerikus sorozatok fogalma, határértéke (A TÁMOP-4-8//A/KMR-9-8 számú projekt keretébe írt egyetemi jegyzetrészlet): Koverges és diverges sorozatok Defiíció: A természetes számoko értelmezett N R sorozatokak

Részletesebben

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK

III. FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK Függvéek és tulajdoságaik 69 III FEJEZET FÜGGVÉNYEK ÉS TULAJDONSÁGAIK 6 Gakorlatok és feladatok ( oldal) Írd egszerűbb alakba: a) tg( arctg ) ; c) b) cos( arccos ) ; d) Megoldás a) Bármel f : A B cos ar

Részletesebben

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és

Határérték. Wettl Ferenc el adása alapján és Wettl Ferenc el adása alapján Határérték és 2015.09.28. és 2015.09.30. 2015.09.28. és 2015.09.30. 1 / Tartalom 1 A valós függvén fogalma 2 A határérték fogalma a végtelenben véges pontban Végtelen határértékek 3 A határértékek kiszámítása A rend

Részletesebben

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6

Írja át a következő komplex számokat trigonometrikus alakba: 1+i, 2i, -1-i, -2, 3 Végezze el a műveletet: = 2. gyakorlat Sajátérték - sajátvektor 13 6 Építész Kar Gakorló feladatok gakorlat Számítsa ki az alábbi komple számok összegét, különbségét, szorzatát, hánadosát: a/ z = i z = i b/ z = i z = - 7i c/ z = i z = i d/ z = i z = i e/ z = i z = i Írja

Részletesebben

Matematika I. 9. előadás

Matematika I. 9. előadás Matematika I. 9. előadás Valós számsorozat kovergeciája +-hez ill. --hez divergáló sorozatok A határérték és a műveletek kapcsolata Valós számsorozatok mootoitása, korlátossága Komplex számsorozatok kovergeciája

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Többváltozós, valós értékű függvények TÖ Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza, n változós függvényeknek nevezzük. TÖ Példák:.

Részletesebben

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát!

1) Adja meg a következő függvények legbővebb értelmezési tartományát! 2) Határozzuk meg a következő függvény értelmezési tartományát! Függvének Feladatok Értelmezési tartomán ) Adja meg a következő függvének legbővebb értelmezési tartománát! a) 5 b) + + c) d) lg tg e) ln + ln ( ) Megoldás: a) 5 b) + + = R c) és sosem teljesül. d) tg

Részletesebben

7. Kétváltozós függvények

7. Kétváltozós függvények Matematika segédanag 7. Kétváltozós függvének 7.. Alapfogalmak Az A és B halmazok A B-vel jelölt Descartes-szorzatán azt a halmazt értjük, melnek elemei mindazon a, b) rendezett párok, amelekre a A és

Részletesebben

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok

Diszkrét matematika II., 3. előadás. Komplex számok 1 Diszkrét matematika II., 3. előadás Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Iformatikai Itézet takach@if.yme.hu http://if.yme.hu/ takach/ 2007. február 22. Komplex számok Szereték kibővítei a valós számtestet,

Részletesebben

18. Differenciálszámítás

18. Differenciálszámítás 8. Differeciálszámítás I. Elméleti összefoglaló Függvéy határértéke Defiíció: Az köryezetei az ] ε, ε[ + yílt itervallumok, ahol ε > tetszőleges. Defiíció: Az f függvéyek az véges helye vett határértéke

Részletesebben

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény.

Az f ( xy, ) függvény y változó szerinti primitív függvénye G( x, f xydy= Gxy + C. Kétváltozós függvény integrálszámítása. Primitívfüggvény. Tartalomjegyzék Kétváltozós függvény integrálszámítása... Primitívfüggvény... Kettősintegrál... A kettősintegrál téglalap tartományon... A kettősintegrál létezésének szükséges feltétele... 3 Illusztráció...

Részletesebben

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan! Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén

Részletesebben

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok

Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat - Megoldásvázlatok Fizika BSc I/. gyakorlat. Tétel Newto Leibiz. Ha f folytoos az a, b] itervallumo és F primitív függvéye f-ek, akkor b a f F b F a.. Számítsuk ki az alábbi racioális

Részletesebben

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21.

Statisztika 1. zárthelyi dolgozat március 21. Statisztika 1 zárthelyi dolgozat 011 március 1 1 Legye X = X 1,, X 00 függetle mita b paraméterű Poisso-eloszlásból b > 0 Legye T 1 X = X 1+X ++X 100, T 100 X = X 1+X ++X 00 00 a Milye a számra igaz, hogy

Részletesebben

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx = Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika II Határozatlan Integrálszámítás d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat! x n 1 dx =, sin 2 x dx = d) Adja meg az alábbi alapintegrálokat!

Részletesebben

Többváltozós, valós értékű függvények

Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Többváltozós, valós értékű függvények Többváltozós függvények Definíció: többváltozós függvények Azokat a függvényeket, melyeknek az értelmezési tartománya R n egy részhalmaza,

Részletesebben

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak ábra: Ábra Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika. közgazdászoknak III. modul: Többváltozós üggvének 5. lecke: Többváltozós üggvének, parciális deriválás Tanulási cél: Megismerkedni a többváltozós üggvének

Részletesebben

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő.

3. SOROZATOK. ( n N) a n+1 < a n. Egy sorozatot (szigorúan) monotonnak mondunk, ha (szigorúan) monoton növekvő vagy csökkenő. 3. SOROZATOK 3. Sorozatok korlátossága, mootoitása, kovergeciája Defiíció. Egy f : N R függvéyt valós szám)sorozatak evezük. Ha A egy adott halmaz és f : N A, akkor f-et A-beli értékű) sorozatak evezzük.

Részletesebben

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854): " ' #$ * $ ( ' $* " ' #µ

Emlékeztető: az n-dimenziós sokaság görbültségét kifejező mennyiség a Riemann-tenzor (Riemann, 1854):  ' #$ * $ ( ' $*  ' #µ Emlékeztető: az -dimeziós sokaság görbültségét kifejező meyiség a Riema-tezor (Riema, 1854: ' ( ' $ ' #µ $ µ# ahol a ú. koexiós koefficiesek (vagy Christoffel-szimbólumok a metrikus tezor g # x $ kompoeseiből

Részletesebben

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II.

Egyváltozós függvények differenciálszámítása II. Egváltozós függvének differenciálszámítása II.. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Végezzen teljes függvénvizsgálatot! A függvénvizsgálat szokásos menete:. Értelmezési tartomán, tengelmetszetek 2. Szimmetriatulajdonságok:

Részletesebben

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y

Koordinátageometria összefoglalás. d x x y y Koordiátageometria összefoglalás Vektorok A helyvektor hossza Két pot távolsága r x y d x x y y AB A két potot összekötő vektort megkapjuk, ha a végpot koordiátáiból kivojuk a kezdőpot koordiátáit. Vektor

Részletesebben

Kétváltozós függvények differenciálszámítása

Kétváltozós függvények differenciálszámítása Kétváltozós függvények differenciálszámítása 13. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Kétváltozós függvények p. 1/1 Definíció, szemléltetés Definíció. Az f : R R R függvényt

Részletesebben

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA A kétváltozós függvének két vlós számhoz rendelnek hozzá eg hrmdik vlós számot, másként foglmzv számpárokhoz rendelnek hozzá eg hrmdik számot.

Részletesebben

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai

13. Tárcsák számítása. 1. A felületszerkezetek. A felületszerkezetek típusai Tárcsák számítása A felületszerkezetek A felületszerkezetek típusa A tartószerkezeteket geometra méretek alapjá osztálozzuk Az eddg taulmáakba szereplı rúdszerkezetek rúdjara az a jellemzı hog a hosszuk

Részletesebben

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok

Teljes függvényvizsgálat példafeladatok Teljes függvénvizsgálat példafeladatok Végezz teljes függvénvizsgálatot az alábbi függvéneken! Az esetenként vázlatos megoldásokat a következő oldalakon találod, de javaslom, hog először önállóan láss

Részletesebben

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +...

2. Hatványsorok. A végtelen soroknál tanultuk, hogy az. végtelen sort adja: 1 + x + x x n +... . Függvéysorok. Bevezetés és defiíciók A végtele sorokál taultuk, hogy az + x + x + + x +... végtele összeg x < eseté koverges. A feti végtele összegre úgy is godolhatuk, hogy végtele sok függvéyt aduk

Részletesebben

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1.

(f) f(x) = x2 x Mutassa meg, hogy ha f(x) dx = F (x) + C, akkor F (ax + b) a 3. Számolja ki az alábbi határozatlan integrálokat: 1. PROGRAMTERVEZŐ MATEMATIKUS SZAK II. ÉVF. III. FÉLÉV GYAKORLÓ FELADATOK AZ II. ANALÍZIS ZH-RA Primitívfüggvéy keresés. Adja meg az f függvéy egy primitívfüggvéyét: f) = 6 8 + 3 b) f) = + 3 f) = + 5 ) /

Részletesebben

Integrálás sokaságokon

Integrálás sokaságokon Itegrálás sokaságoko I. Riema-itegrál R -e Jorda-mérték haszálható ehhez: A R eseté c(a)=0, ha 0 eseté létezek C 1,,C s kockák hogy A C1 Cs és s i 1 c C i defiíció: D ullmértékű R itegrálási tartomáy,

Részletesebben

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév

Eötvös Loránd Tudományegyetem Informatikai Kar. Analízis 1. Írásbeli beugró kérdések. Készítette: Szántó Ádám Tavaszi félév Eötvös Lorád Tudomáyegyetem Iformatikai Kar Aalízis 1. Írásbeli beugró kérdések Készítette: Szátó Ádám 2011. Tavaszi félév 1. Írja le a Dedekid-axiómát! Legyeek A R, B R. Ekkor ha a A és b B : a b, akkor

Részletesebben

Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim

Függvények határértéke és folytonossága. pontban van határértéke és ez A, ha bármely 0 küszöbszám, hogy ha. lim Függvének határértéke és oltonossága Deiníció: Az -hoz megadható olan üggvénnek az A. pontban van határértéke és ez A ha bármel küszöbszám hog ha A akkor. Jele: a) Függvén határértékének ogalma visszavezethető

Részletesebben

1. Sajátérték és sajátvektor

1. Sajátérték és sajátvektor 1. Sajátérték és sajátvektor Leképezés diagoális mátrixa. Kérdés Mely bázisba lesz egy traszformáció mátrixa diagoális? A Hom(V) és b 1,...,b ilye bázis. Ha [A] b,b főátlójába λ 1,...,λ áll, akkor A(b

Részletesebben

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése

VII. A határozatlan esetek kiküszöbölése A határozatla esetek kiküszöbölése 9 VII A határozatla esetek kiküszöbölése 7 A l Hospital szabály A véges övekedések tétele alapjá egy függvéy értékét egy potba közelíthetjük az köryezetébe felvett valamely

Részletesebben

Függvény differenciálás összefoglalás

Függvény differenciálás összefoglalás Függvény differenciálás összefoglalás Differenciálszámítás: Def: Differenciahányados: f() f(a + ) f(a) függvényérték változása független változó megváltozása Ha egyre kisebb, vagyis tart -hoz, akkor a

Részletesebben

Függvényhatárérték-számítás

Függvényhatárérték-számítás Függvéyhatárérték-számítás I Függvéyek véges helye vett véges határértéke I itervallumo, ha va olya k valós szám, melyre az I itervallumo, ha va olya K valós szám, melyre I itervallumo, ha alulról és felülről

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014

A1 Analízis minimumkérdések szóbelire 2014 A1 Aalízis miimumkérdések szóbelire 2014 Halmazelmélet és komplex számok 1. Halmaz, metszet, uió, külöbség halmaz: em defiiált alapfogalom o jelölés: A, B halmazok; a A; a em B (em defiiáljuk) o üreshalmaz:

Részletesebben

Matematikai analízis II.

Matematikai analízis II. Matematikai analízis II. Feladatgyűjtemény GEMAN6-B Gazdaságinformatikus, Programtervező informatikus és Mérnökinformatikus hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . feladatlap Implicit függvények

Részletesebben

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós

Komplex számok (el adásvázlat, 2008. február 12.) Maróti Miklós Komplex számok el adásvázlat, 008. február 1. Maróti Miklós Eek az el adásak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudi: test, test additív és multiplikatív csoportja, valós számok és tulajdoságaik.

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k.

8.1. A rezgések szétcsatolása harmonikus közelítésben. Normálrezgések. = =q n és legyen itt a potenciál nulla. q i j. szimmetrikus. q k. 8. KIS REZGÉSEK STABIL EGYENSÚLYI HELYZET KÖRÜL 8.. A rezgések szétcsatolása harmoikus közelítésbe. Normálrezgések Egyesúlyi helyzet: olya helyzet, amelybe belehelyezve a redszert (ulla kezdősebességgel),

Részletesebben

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET

10.3. A MÁSODFOKÚ EGYENLET .. A MÁSODFOKÚ EGYENLET A másodfokú egenlet és függvén megoldások w9 a) ( ) + ; b) ( ) + ; c) ( + ) ; d) ( 6) ; e) ( + 8) 6; f) ( ) 9; g) (,),; h) ( +,),; i) ( ) + ; j) ( ) ; k) ( + ) + 7; l) ( ) + 9.

Részletesebben

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat!

megoldásvázlatok Kalkulus gyakorlat Fizika BSc I/1, 1. feladatsor 1. Rajzoljuk le a számegyenesen az alábbi halmazokat! megoldásvázlatok Fizika BSc I/,. feladatsor. Rajzoljuk le a számegyeese az alábbi halmazokat! a { R < 5}, b { R 4}, c { Z 4}, d { Q < 4 6}, e { N 3 }.. Igazak-e az alábbi állítások? Adjuk meg az állítások

Részletesebben

1. Lineáris transzformáció

1. Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció Lineáris transzformáció mátrixának felírása eg adott bázisban: Emlékeztető: Legen B = {u,, u n } eg tetszőleges bázisa az R n -nek, Eg tetszőleges v R n vektor egértelműen felírható

Részletesebben

Kalkulus II., harmadik házi feladat

Kalkulus II., harmadik házi feladat Név: Neptun: Web: http://mawell.sze.hu/~ungert Kalkulus II., harmadik házi feladat.,5 pont) Határozzuk meg a következ határértékeket: ahol a) A =, ), b) A =, ), c) A =, ).,) A Az egszer bb kezelhet ség

Részletesebben

Matematika B4 I. gyakorlat

Matematika B4 I. gyakorlat Matematika B4 I. gyakorlat 2006. február 16. 1. Egy-dimeziós adatredszerek Va valamilye adatredszer (számsorozat), amelyről szereték kiszámoli bizoyos dolgokat. Az egyes értékeket jelöljük z i -vel, a

Részletesebben

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz.

A differenciálegyenlet általános megoldása az összes megoldást tartalmazó halmaz. Differenciálegenletek Bevezetés Differenciálegenletnek olan egenletet nevezünk, amelben az ismeretlen eg függvén és az egenlet tartalmazza az ismeretlen függvén (valahánad rendű) deriváltját. Például:

Részletesebben

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n.

1. Bevezetés. 2. Felületek megadása térben. A fenti kúp egy z tengellyel rendelkező. ismerhető fel, hogy. 1. definíció. Legyen D R n. 1. Többváltozós függvények 1. Bevezetés Ennek a fejezetnek a célja a kétváltozós függvények vizsgálata, ami során a 3-dimenziós felületeket szeretnénénk megérteni. 1. definíció. Legyen D R n. Ekkor az

Részletesebben

1. Gyökvonás komplex számból

1. Gyökvonás komplex számból 1. Gyökvoás komplex számból Gyökvoás komplex számból. Ismétlés: Ha r, s > 0 valós, akkor rcos α + i siα) = scos β + i siβ) potosa akkor, ha r = s, és α β a 360 egész számszorosa. Moivre képlete scos β+i

Részletesebben

17. előadás: Vektorok a térben

17. előadás: Vektorok a térben 17. előadás: Vektorok a térben Szabó Szilárd A vektor fogalma A mai előadásban n 1 tetszőleges egész szám lehet, de az egyszerűség kedvéért a képletek az n = 2 esetben szerepelnek. Vektorok: rendezett

Részletesebben

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata

Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai vizsgálata Felületek differenciálgeometriai értelemben Felület: Olyan alakzat, amely előállítható az (u,v) sík egy összefüggő tartományán értelmezett r(u,v) kétparaméteres

Részletesebben

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit Többváltozós függvények (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. Egyváltozós függvények esetén a differenciálhatóságból következett a folytonosság. Fontos tudni, hogy abból, hogy egy

Részletesebben

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai

HÁZI FELADATOK. 1. félév. 1. konferencia A lineáris algebra alapjai HÁZI FELADATOK. félév. konferencia A lineáris algebra alapjai Értékelés:. egység: önálló feladatmegoldás.8. Döntse el, párhuzamosak-e a következő vektorpárok: a) a( ; ; 7) b(; 5; ) b) c(; 9; 5) d(8; 6;

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus példatár. Gselmann Eszter Debrecei Egyetem Természettudomáyi és Techológiai Kar Kalkulus példatár Gselma Eszter Debrece, 08 Tartalomjegyzék. Valós számsorozatok Elméleti áttekités........................................................

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális

Részletesebben

Matematika szigorlat (A1-A2-A3)

Matematika szigorlat (A1-A2-A3) Matematika szigorlat (A1-A2-A3) szóbeli kérdések kidolgozás ikkel, 2014-2016 Felhaszált források: 1. Szilágyi Brigitta előadásai készült saját jegyzet 2. Obádovics J. Gyula, Szarka Zoltá Felsőbb matematika

Részletesebben

Matematika A2 tételek

Matematika A2 tételek Matematika A2 tételek. Tétel Csoport: Defiíció: Legye A olya halamaz, amelye értelmezve va egy * művelet. Akkor modjuk, hogy A csoportot akkor a * műveletre ézve, ha Gyűrű: - a * művelet asszociatív -

Részletesebben

Sorozatok A.: Sorozatok általában

Sorozatok A.: Sorozatok általában 200 /2002..o. Fakt. Bp. Sorozatok A.: Sorozatok általába tam_soroz_a_sorozatok_altalaba.doc Sorozatok A.: Sorozatok általába Ad I. 2) Z/IV//a-e, g-m (CD II/IV/ Próbálj meg róluk miél többet elmodai. 2/a,

Részletesebben

A2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015

A2 Vektorfüggvények minimumkérdések szóbelire 2015 A2 Vektorfüggvéyek miimumkérdések szóbelire 215 Lieáris algebra I. 1. Csoport, gyűrű, test félcsoport: olya halmaz, melybe a kétváltozós műveletek asszociatívak (pl. természetes számok eseté az összeadás)

Részletesebben

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat

A tárgy címe: ANALÍZIS 1 A-B-C (2+2). 1. gyakorlat A tárgy címe: ANALÍZIS A-B-C + gyakorlat Beroulli-egyelőtleség Legye N, x k R k =,, és tegyük fel, hogy vagy x k 0 k =,, vagy pedig x k 0 k =,, Ekkor + x k + x k Speciális Beroulli-egyelőtleség Ha N és

Részletesebben

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása

Tuzson Zoltán A Sturm-módszer és alkalmazása Tuzso Zoltá A turm-módszer és alalmazása zámtala szélsérté probléma megoldása, vag egeltleség bzoítása ago gara, már a matemata aalízs eszözere szorítoz, mt például a Jese-, Hölder-féle egeltleség, derválta

Részletesebben

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből

Részletesebben

Gyakorló feladatok II.

Gyakorló feladatok II. Gyakorló feladatok II. Valós sorozatok és sorok Közgazdász szakos hallgatókak a Matematika B című tárgyhoz 2005. október Valós sorozatok elemi tulajdoságai F. Pozitív állítás formájába fogalmazza meg azt,

Részletesebben

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport

Analízis I. zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I okt. 19. A csoport Analízis I. zártheli dolgozat javítókulcs, Informatika I. 0. okt. 9. Elméleti kérdések A csoport. Hogan számíthatjuk ki két trigonometrikus alakban megadott komple szám szorzatát más alakba való átváltás

Részletesebben

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet

Debreceni Egyetem, Közgazdaság- és Gazdaságtudományi Kar. Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz. Halmazelmélet Debrecei Egyetem Közgazdaság- és Gazdaságtudomáyi Kar Feladatok a Gazdasági matematika I. tárgy gyakorlataihoz a megoldásra feltétleül ajálott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottak

Részletesebben

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük.

Líneáris függvények. Definíció: Az f(x) = mx + b alakú függvényeket, ahol m 0, m, b R elsfokú függvényeknek nevezzük. Líneáris függvének Definíció: Az f() = m + b alakú függvéneket, ahol m, m, b R elsfokú függvéneknek nevezzük. Az f() = m + b képletben - a b megmutatja, hog a függvén hol metszi az tengelt, majd - az m

Részletesebben

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1

Differenciálszámítás. 8. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Differenciálszámítás p. 1/1 Differenciálszámítás 8. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Differenciálszámítás p. 1/1 Egyenes meredeksége Egyenes meredekségén az egyenes és az X-tengely pozitív iránya

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Minta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ

Minta JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI 2. FELADATSORHOZ JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A MATEMATIKA EMELT SZINTŰ ÍRÁSBELI. FELADATSORHOZ Formai előírások: A dolgozatot a vizsgázó által haszált szíűtől eltérő szíű tollal kell javítai, és a taári gyakorlatak megfelelőe

Részletesebben

(arcsin x) (arccos x) ( x

(arcsin x) (arccos x) ( x ALAPDERIVÁLTAK ( c ) (si ) cos ( ) (cos ) si ( ) ( ) ( tg) cos ( e ) e ( ctg ) si ( a ) a l a ( sh) ch (l ) ( ch) sh (log a ) ( th) l a ch (arcsi ) (arccos ) ( arctg ) DERIVÁLÁSI SZABÁLYOK. ( c ) c. c

Részletesebben

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1.

Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/1. . Ábrázoljuk a következő halmazokat a síkon! {, y) R 2 : + y < }, b) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4}, c) {, y) R 2 : 2 + y 2 < 4, + y < }, {, y) R 2 : + y < }. Kalkulus I. gyakorlat Fizika BSc I/.. gyakorlat

Részletesebben

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére

Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMAN012B. Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Matematika II. Feladatgyűjtemény GEMANB Anyagmérnök BSc szakos hallgatók részére Lengyelné Dr. Szilágyi Szilvia 6 . gyakorlat Matematika II.. Az alábbi f függvényeknél adja meg f -t! f() = + 5; (b) f()

Részletesebben

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1.

Határértékszámítás. 1 Határátmenet Tétel. (Nevezetes sorozatok) (a) n, n 2,... n α (α > 0), 1 n 0, 1. 0 (α > 0), (b) n 2 0,... 1. Határátmeet Határértékszámítás.. Tétel. (Nevezetes sorozatok) 005..5 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo (a)... α (α > 0) (b) (c) 0 0... 0 (α > 0) α q (d) c (c > 0) ha q > = ha q = 0 ha q < diverges korlátos

Részletesebben

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010.

MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 2010. MAGYARÁZAT A MATEMATIKA NULLADIK ZÁRTHELYI MINTAFELADATSOR FELADATAIHOZ 00.. Tetszőleges, nem negatív szám esetén, Göktelenítsük a nevezőt: (B). Menni a 0 kifejezés értéke? (D) 0 0 0 0 0000 400 0. 5 Felhasznált

Részletesebben

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2

Tartalomjegyzék. Tartalomjegyzék Valós változós valós értékű függvények... 2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék... Valós változós valós értékű függvények... Hatványfüggvények:... Páratlan gyökfüggvények:... Páros gyökfüggvények... Törtkitevős függvények (gyökfüggvények hatványai)...

Részletesebben

Kétváltozós függvény szélsőértéke

Kétváltozós függvény szélsőértéke Kétváltozós függvény szélsőértéke Sütő Andrea Kétváltozós függvény szélsőértéke Legyen adott f ( xy, ) kétváltozós függvény és ez legyen folytonosan totálisan differenciálható, azaz létezzenek az elsőrendű

Részletesebben

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola

Matematika OKTV I. kategória 2017/2018 második forduló szakgimnázium-szakközépiskola O k t a t á s i H i v a t a l A 017/018. tanévi Országos Középiskolai Tanulmáni Versen második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKGIMNÁZIUM, SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató 1. Adja meg

Részletesebben

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása

15. Többváltozós függvények differenciálszámítása 5. Többváltoós függvének differenciálsámítása 5.. Határoa meg a alábbi kétváltoós függvének elsőrendű parciális derivált függvéneit és a gradiens függvénét, valamint eek értékét a megadott pontban:, =

Részletesebben

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198.

ALGEBRA. egyenlet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 198. ALGEBRA MÁSODFOKÚ POLINOMOK. Határozzuk meg az + p + q = 0 egyelet megoldásait, ha tudjuk, hogy egész számok, továbbá p + q = 98.. Határozzuk meg az összes olya pozitív egész p és q számot, amelyre az

Részletesebben

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait!

Figyelem, próbálja önállóan megoldani, csak ellenőrzésre használja a következő oldalak megoldásait! Elméleti kérdések: Második zárthelyi dolgozat biomatematikából * (Minta, megoldásokkal) E. Mit értünk hatványfüggvényen? Adjon példát nem invertálható hatványfüggvényre. Adjon példát mindenütt konkáv hatványfüggvényre.

Részletesebben

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11

5 1 6 (2x3 + 4) 7. 4 ( ctg(4x + 2)) + c = 3 4 ctg(4x + 2) + c ] 12 (2x6 + 9) 20 ln(5x4 + 17) + c ch(8x) 20 ln 5x c = 11 Bodó Beáta ISMÉTLÉS. ch(6 d.. 4.. 6. 7. 8. 9..... 4.. e (8 d ch (9 + 7 d ( + 4 6 d 7 8 + d sin (4 + d cos sin d 7 ( 6 + 9 4 d INTEGRÁLSZÁMÍTÁS 7 6 sh(6 + c 8 e(8 + c 9 th(9 + 7 + c 6 ( + 4 7 + c = 7 4

Részletesebben

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011

Hajós György Versenyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 2011 1 Molár-Sáska Gáboré: Hajós György Verseyre javasolt feladatok SZIE.YMÉTK 011 1. Írja fel a számokat 1-tıl 011-ig egymás utá! Határozza meg az így kapott agy szám 0-cal való osztási maradékát!. Az { }

Részletesebben

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz Debreceni Egyetem Közgazdaságtudományi Kar Feladatok a Gazdasági matematika II tárgy gyakorlataihoz a megoldásra ajánlott feladatokat jelöli e feladatokat a félév végére megoldottnak tekintjük a nehezebb

Részletesebben

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens Skaláris szorzat az R n vektortérben Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok skaláris szorzata Két R n -beli vektor skaláris szorzata: Legyen a = (a 1,a 2,,a n ) és b

Részletesebben

Többváltozós függvények Feladatok

Többváltozós függvények Feladatok Többváltozós függvények Feladatok 2. szeptember 3. Határozzuk meg az alábbi sorozatok határértékét illetve torlódási pontjait!. ( n n2 + n n 3 2. ( n + n n5 n2 +2n+ 5 n n+ 3. ( sin(nπ/2 n n! Határozzuk

Részletesebben

Másodfokú függvények

Másodfokú függvények Másodfokú függvének Definíció: Azokat a valós számok halmazán értelmezett függvéneket, amelek hozzárendelési szabála f() = a + bc + c (a, b, c R, a ) alakú, másodfokú függvéneknek nevezzük. A másodfokú

Részletesebben

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be,

A primitív függvény létezése. Kitűzött feladatok. határérték, és F az f egy olyan primitívje, amelyre F(0) = 0. Bizonyítsd be, 6 A primitív üggvéy létezése A primitív üggvéy létezése Kitűzött eladatok. Határozd meg az a és b valós paraméterek értékét úgy hogy az : R ae + b üggvéyek létezze primitív üggvéye! >. Az : [ + [ + olytoos

Részletesebben

VI. Deriválható függvények tulajdonságai

VI. Deriválható függvények tulajdonságai 1 Deriválhtó függvének tuljdonsági VI Deriválhtó függvének tuljdonsági Ebben fejezetben zt vizsgáljuk, hog deriválhtó függvének esetén derivált milen összefüggésben vn függvén más tuljdonságivl, és hogn

Részletesebben