Kétváltozós függvények

Átírás

1 Kétváltozós üggvéek Tartalomjegzék Többváltozós üggvéek... Kétváltozós üggvéek... Nevezetes elületek... 3 Forgáselületek... 3 Kétváltozós üggvé határértéke... 4 Foltoos kétváltozós üggvéek... 6 A parciális deriváltak... 7 A parciális deriváltak geometriai jeletése... 7 Parciális derivált üggvé... 8 Kétváltozós üggvé deriváltja (gradies vektor)... 8 A gradies vektor létezéséek elégséges eltétele... A diereciálhatóság geometriai jeletése... Kétváltozós üggvé irámeti deriváltja... Veges másodredű parciális deriváltak egelősége... A kétváltozós üggvé lokális szélsőértéke... 3 A szélsőérték létezéséek szükséges eltétele... 3 A szélsőérték létezéséek elégséges eltétele... 3 A szélsőérték jellege... 4 A kétváltozós üggvé tartomái szélsőértéke... 7

2 Többváltozós üggvéek Lege D eg dimeziós pothalmaz, és egértelmű hozzáredelés, mel mide D dimeziós pothoz eg valós u számot redel.,,... Jelölése: u,,..., a üggvé az értelmezési tartomáa D. Ha D kétdimeziós, akkor kétváltozós, a szokásos jelölés z,, ha D három dimeziós akkor három változós, a szokásos jelölés u,, z Ezekkel a speciális esetekkel oglalkozuk. Kétváltozós üggvéek Geometriai iterpretáció A z, üggvé geometriai iterpretációját, hasolóa az egváltozós üggvéek graikojához, a háromdimeziós Descartes koordiátaredszerbe úg kapjuk, hog az, síkba az (,) koordiátájú potokhoz az által hozzáredelt z értéket mérjük el merőlegese. Az,, (, ) megelelője. Ha (, ) oltoos (lásd később) akkor ezt elületek modjuk. potok által meghatározott alakzat a üggvé geometriai Szitvoalak Sokszor a elületet ehéz elképzeli. Ebbe segíteek a koordiáta síkokkal való metszetgörbék és a szitvoalak. Deiíció: A z C, síkkal párhuzamos síkak és a elületek a egeletű, metszésvoalát szitvoalak evezzük. Segíteek a üggvét elképzeli. Ha a szitvoalakat az, síkra vetítjük, akkor két dimezióba is ábrázolhatjuk a elületet mit a domborzati térképe szokás.

3 Nevezetes elületek Forgásparaboloid, az z, és a z, koordiátasíkkal való metszetei parabolák, szitvoalai kocetrikus körök, Egelete: Hiperbolikus paraboloid, Ha az Egelete: egeletű, z koordiátasíkkal metszük el a elületet, akkor a metszetgörbe egelete z, ha az z, koordiátasíkkal egeletű metszük el a elületet, akkor a metszetgörbe egelete z, Ha az Ha z egeletű síkkel metszük el a elületet, akkor a metszetgörbe egelete z, síkkal párhuzamos egeletű hiperbola Forgáselületek Ha az síkbeli z ( u) orgáselület egelete z Nevezetes orgáselületek egeletű görbét a z-tegel körül megorgatjuk, a kapott Félgömb Egelete: z R Forgási hiperboloid (két köpeű) Egelete: z Forgási hiperboloid (eg köpeű) Egelete: Kúp Egelete: z z 3

4 Ábrázoljuk a z z elületet és határozzuk meg a 75 síkkal való metszésvoalát. (szitvoal) Határozzuk meg az, értelmezési tartomáát : Az (, ) értelmezési tartomáa az a tartomá, ahol Kétváltozós üggvé határértéke Az egváltozós üggvéek határértékére voatkozó lehetséges deiíciók közül a következőt általáosítjuk: lim A, akkor és csak akkor, ha mide potsorozatra Általáosítva: (, ) (, ) lim,, A A, akkor és csak akkor, ha mide (, ) (, ) A potsorozatra A deiíció közvetle következméei Függvéek kostas-szorosáak, összegéek, szorzatáak, háadosáak (ha a evező em ulla), racioális kitevős hatvááak a határértéke a határértékek kostas-szorosa, összege, szorzata, háadosa, racioális kitevős hatváa. 4

5 Létezik-e a következő üggvé határértéke a (-,3) potba és ha ige mei? 3 (, ) 45,ahol a evező em ulla, ott a létezik határértéke és 3 ( ) 33 5 lim 4 5 4( ) (, ) (,3). Létezik-e ugaeek a üggvéek a határértéke a (,) potba, és ha ige mei? 3 Az 45 üggvéek ics határértéke (,) potba, mert létezik két külöböző potsorozat (rövide út), mel meté közelítve az origóba külöböző határértéket kapuk. Pl. az - tegele közelítve az origóba, azaz (,) (,) 3 eseté 4 5 az - tegele közelítve az origóba, azaz (, ) (,) 3 eseté , Létezik-e határértéke az origóba az üggvéek Nem létezik, mert az tegel meté a határértéke, hisze lim lim, egees meté lim lim (,) (,) (,) (,) de az (, ) (,) (, ) (,) 3. Létezik-e határértéke az origóba az, Láthatjuk, hog mid a tegelek meté, mid az üggvéek azt sejtjük, hog va határértéke. Ezt a következőképpe láthatjuk be: egees meté a határértéke, 5

6 Eg tetszőleges segítségével: melek a Azaz, hoz tartó, potsorozatot elírható polár-koordiáták r cos, és r si, -hoz tartásához elegedő az r eltétel a sorozattól üggetleül. 3 r cos r si r cos si r (, ) (,) cos si r r r r r r lim lim lim lim cos si Jó taács: ha ugaezt a módszert megpróbáljuk alkalmazi az előző példáál, akkor r cos r si r cos r si r cos si (, ) (,) r r r r lim lim lim lim cos si mert a határérték, ha 4 cos si si, akkor pedig, stb ügg a sorozattól. Ha akkor a limes Foltoos kétváltozós üggvéek Ha a z, potba és a kettő egelő, akkor ott a üggvé oltoos,, üggvéek létezik helettesítési értéke és határértéke eg azaz ha lim,, (, ) (, ). Foltoos-e a következő üggvé:, ha (, ) (,) ha (, ) (,) potba. : Nem oltoos, hisze ics határértéke az origóba (lásd:5. oldal. példa) Foltoos-e a következő üggvé:, ha (, ) (,) ha (, ) (,) : Ige, oltoos, mert a üggvéek va határértéke (lásd:5. oldal 3. példa) és az megegezik a helettesítési értékével. 6

7 A parciális deriváltak Az szeriti parciális derivált deiíciója: Az szeriti parciális derivált deiíciója:,, h, (, ) lim, h h,, h, lim h h (, ) Vagis a kétváltozós üggvé egik változóját kostasak tekitve a másik változója szerit deriváljuk. A parciális deriváltak geometriai jeletése Az, üggvé, geometriai jeletése a z, ( z, potbeli változó szeriti parciális deriváltjáak a elület és az egeletű sík metszésvoala görbe) éritőjéek a meredeksége. Az, üggvé, geometriai jeletése a z, ( z, potbeli változó szeriti parciális deriváltjáak a elület és az egeletű sík metszésvoala görbe) éritőjéek a meredeksége. 7

8 Parciális derivált üggvé Ha tetszőleges (, ) potba képezzük a z, változó szeriti parciális deriváltját, akkor az változó szeriti parciális derivált üggvét kapjuk (ahol létezik) ( h, ),, lim, szokásos jelölés még h h Ha tetszőleges (, ) potba képezzük a z z, vag z, változó szeriti parciális deriváltját, akkor az változó szeriti a parciális derivált üggvét kapjuk (ahol létezik) (, h),, lim, szokásos jelölés még h h, z vag z Határozzuk meg a z si, z si üggvé és szeriti parciális derivált üggvéeit! z cos Határozzuk meg a z si üggvé és szeriti parciális derivált üggvéeit! z cos, z cos Határozzuk meg a z üggvé és szeriti parciális derivált üggvéeit! z l, mert szerit hatváüggvé, z, mert szerit epoeciális üggvé Határozzuk meg a z cos ( si( )) z cos üggvé és szeriti parciális derivált üggvéeit!, mert szerit szorzatüggvé, z ( si( )), mert szerit em szorzat üggvé, hisze kostas. Kétváltozós üggvé deriváltja (gradies vektor) Deiíció: 8

9 A üggvé z, koordiátákból alkotott vektor: grad Deiíció: gradiese eg adott potba a parciális deriváltakból, mit (, ), (, ) Az, kétváltozós üggvé diereciálható az, létezik a gradies vektora. Azaz,, ( ),( ) grad, potba (totálisa), ha a közelítőleg egelő itt azt jeleti, hog a két oldal eltérése a megváltozás hosszával osztva ullához tart. Tétel Ha eg kétváltozós üggvé diereciálható eg potba, akkor ott oltoos. Bizoítás vázlat,, ( ),( ), mert ( ),( ), grad, a jobboldal ullához tart ha (, ) (, ) amiből azoal következik a oltoosság. Megjegzés, miatt a baloldal is tart ullához, Abból, hog eg üggvéek létezek a parciális deriváltjai, em következik, hog diereciálható. Például, a következő üggvéek az origóba létezik mid mid szerit a parciális deriváltja és midkettő, de em diereciálható, hisze még csak határértéke sics az origóba. Ez a üggvé léegébe z, vagis az, meté em, haem a üggvé értéke. sík csak az -tegel és az -tegel 9

10 A gradies vektor létezéséek elégséges eltétele Tétel (bizoítás élkül): A gradies vektor létezéséek elégséges eltétele, ha az adott potba a parciális derivált üggvéek oltoosak. A diereciálhatóság geometriai jeletése Ha az, kétváltozós üggvé diereciálható az, a z, elületek létezik éritő síkja, melek egelete zz (, )( ) (, )( ) Tehát: Az, üggvé P,,, (, ), (, ), Bizoítás vázlat potba (totálisa), akkor potbeli éritősíkjáak a ormál vektora Ha a üggvé diereciálható, akkor a üggvé megváltozása közel lieáris, azaz,, ( ),( ) grad, másképpe írva z z (, )( ) (, )( ), ahol az éritősík egelete: zz (, )( ) (, )( ) Adjuk meg az, 9 egeletét! üggvé, potjába az éritősík Az éritősík ormálvektora: (, ), (, ),,,, 4, eg potja P, (,),,, (,,4), tehát az éritősík egelete:

11 z 4 4, azaz 4 z 4 Kétváltozós üggvé irámeti deriváltja Deiíció: Az, üggvé e irába vett irámeti deriváltjáak evezzük a következő határértéket: Azaz az ( eh, eh),, lim h h e potból eg előre rögzített egségvektor e e, e, ézzük a üggvéérték megváltozását és íg képezzük a ( e ) iráába ( e h, e h), külöbségi háadost, majd eek vesszük a határértékét midő a megváltozás ullához tart. h Szokásos jelölés még: e Tétel Ha létezik a üggvé gradiese, akkor az irámeti derivált a gardies vektor és a megadott irába mutató egségvektor skaláris szorzata:, Határozzuk meg az deriváltját a P, potba! e = grad e üggvé v ( 3,4) iráába eső irámeti Az irámeti deriválthoz szükséges a gradies vektor az adott potba és eg egség hosszú vektor mel a keresett irába mutat. grad,, grad 4,4 (,) Tekitve, hog v ( 3) 4 ) 5, az iráába mutató egségvektor 3 4 e, 5 5 Tehát grad e e ,4, e , azaz

12 Határozzuk meg az, irámeti deriváltját a 5, 3 P potba! üggvé 3 5 egees iráába eső Az irámeti deriválthoz szükséges a gradies (ha létezik) az adott potba és eg egség hosszú vektor mel a keresett irába mutat (,) 4 5, Az egees egeletéek átalakításával, (,) látható, 3 3, grad 4,8 3 hog az egees meredeksége m= és az egees iráába mutató vektor v ( 3,), 3 a szükséges egségvektor az irámeti derivált tehát : v 3 e, v, grad e 4,8, e Tétel A gradies a üggvé legagobb övekedéséek iráába mutat. Ez azt jeleti, hog az irámeti derivált a gardies vektor iráába a legagobb! Ekkor az irámeti derivált értéke a gardies vektor hosszával egelő. Bizoítás grad e e, grad e grad e cos, ahol a vektorok szöge. A skaláris szorzat akkor a legagobb, ha a két vektor által bezárt szög, hisze ekkor a szög kosziusza. Ekkor tehát grad e grad e grad Veges másodredű parciális deriváltak egelősége

13 Tétel: (Youg tétele) : Ha a z, üggvéei az A a, b pot A totálisa diereciálhatók, akkor a, b a b kétváltozós üggvé elsőredű parciális derivált I körezetébe létezek és a üggvé az A potba., Megjegzés. A parciális deriváltak oltoossága elégséges eltétele a üggvé totális diereciálhatóságáak. Tehát az is igaz, hog ha a másodredű parciális derivált üggvéek oltoosak, akkor a veges másodredű deriváltak egelők, azaz értékük em ügg a deriválás sorredjétől, vagis (, ), A kétváltozós üggvé lokális szélsőértéke Deiíció A z, üggvéek az, potak ola körezete, melbe az z,, potba lokális maimuma va, ha létezik az A z, üggvéek az, potak ola körezete, melbe az z,, a legagobb érték, potba lokális miimuma va, ha létezik az a legkisebb érték, A szélsőérték létezéséek szükséges eltétele A lokális szélsőérték (maimum vag miimum) létezéséek szükséges eltétele: (, ), (, ), grad Idoklás Ha a üggvéek lokális szélsőértéke va,, A parciális deriváltak geometriai jeletéséből következik, hog ha a üggvé diereciálható, azaz létezik ott az éritősíkja, akkor abba a potba (, ), (, ), -ba, akkor mide elületi görbéek is. grad, azaz az éritősík vízszites, ormálvektora párhuzamos a z-tegellel, mivel (, ), (, ), () Mide potba a gradies merőleges a poto áthaladó szitvoalra. A szélsőérték létezéséek elégséges eltétele A lokális szélsőérték (maimum vag miimum) létezéséek elégséges eltétele:,,,, 3

14 Ha em teljesül, akkor ics szélső értéke a üggvéek, akkor eregpotja va. Bizoítás élkül A szélsőérték jellege A szélsőérték jellegét (maimum vag miimum) az, állapíthatjuk meg. ( determiás D>) és előjele alapjá előjele midig megegezik abba a potba ahol eti Ha, akkor a üggvéek miimuma va, ha maimuma va. Megjegzés:,, hisze akkor D lee., akkor Hol va lokális szélsőértéke a következő üggvéek? (, ) 4 e 8 4 e e e 8 8 e e e e e, e , vag, e 4 4, vag A megoldásokra:.. 3. és, és 4 4 4,, és 4 4, 4

15 A megoldások:,,,,,,,,, Tehát sorra kell vei ezeket a potokat és ki kell számoli D determiás értékét. Megézi, hog D= teljesül-e. Ha em, akkor ics szélső értéke a üggvéek, akkor eregpotja va. e e e e 8 4 e e e e e e e e e e e ( ) ( ) e e e e e e Az deriváltat már eleslegese számoltuk ki, mert a Youg tétele szerit megegezik -vel. Vizsgáljuk meg a D értékét azokba a potokba ahol a parciális deriváltak ullák.. (,) 4, (,) e , (,) e ,, e 6 4 Tehát D= üggvéek.. (,),,,, 8 6,, vagis va lokális szélsőértéke a 5

16 (,) e 8 4 e 8 4 6e 4, (, ) e e 8 6e 4, 3 3,, e 6 4 Tehát D=,,,, 6e 6e,, vagis va lokális szélsőértéke a üggvéek az (,) potba. Tekitettel arra, hog (,), ezért itt a üggvéek lokális maimuma va. 3. (,) (,) e 4 6e (,) e 4 4e,, Tehát D=,,,, 6e 4e üggvéek az (,) potba., vagis ics lokális szélsőértéke a 4. (,) (,) e 8 4 6e (,) 6 e Tehát D=,,,,,, 6e 6e, vagis va lokális szélsőértéke a üggvéek az (-,) potba. Tekitettel arra, hog (,), ezért itt a üggvéek lokális maimuma va. 5. (, ) (, ) e 4 6e (, ) 4 e 6

17 Tehát D=,,,,, potba.,,, 6e 4e, vagis ics lokális szélsőértéke a üggvéek a Azt kaptuk, hog a és az, potokba va lokális maimum, a, potba pedig lokális miimum. A maimum értéket megkapjuk, ha behelettesítük a üggvébe. (,) 4 e,4764 (,) 4 (,) e,4764 A kétváltozós üggvé tartomái szélsőértéke Deiíció A z, üggvéek az, z, potba tartomái maimuma va, ha a legagobb érték az egész tartomába, A z, üggvéek az, z, potba tartomái maimuma va, ha a legkisebb érték az egész tartomába. A tartomái szélsőértéket a üggvé vag a tartomá belsejébe vag a határá veszi el. Ha a tartomá belsejébe veszi el, akkor ott lokális szélsőértéke is va. Határozzuk meg a következő üggvé tartomábeli legagobb és legkisebb értékét (másképpe tartomái vag globális szélsőértékeit) a T= égzete. (, ) 4 e 7

18 Két eset lehetséges:. A szélsőértéket a tartomá belsejébe veszi el.. A szélsőértéket a tartomá határá veszi el. Ha a globális szélsőértéke a tartomá belsejébe va, akkor ott lokális szélsőértéke is va a üggvéek. Praktikus megjegzés: Azt azoba em kell vizsgáli, hog télegese va-e ott szélsőértéke, mert ha ics akkor aál kisebb vag agobb értéket a határo vesz el.. Vagis meg kell ézi a üggvé értékét azoko a heleke ahol = és. Ezeket az értékeket kell összehasolítai a határo elvett értékekkel. Ezek közül a legagobb a globális maimum, a legkisebb a globális miimum. A parciális deriváltak ullák a,,,,,,,,, potokba. (,) (,) 4e,4764, (,) Ezek közül a legkisebb a és a legagobb a a legagobb és a legkisebb értéket. A tartomá határai., (,) (, ) e, =. 4e. A tartomá határá is meghatározzuk egees. Eze a üggvé (, ) 6 hog eek hol va a maimuma és a miimuma a,, - határozzuk meg az egváltozós üggvé szélsőértékét (, ) e 6 e e 5 Ahol ez a derivált ulla, ott lehet szélsőértéke. tartomába a Hasolóa az 4 e 4, pot esik. Itt a üggvé értéke (, ) 6 e egees meté a lehetséges szélsőérték 4 6 (, ) 6 e, e 4 egeese (,) 4 4e, Az kérdés, zárt itervallumo. Először vag 5. Ezek közül a 6, e (,) 8 e e 4 4 8e 8 e Ez csak a, potba ulla, a üggvé értéke itt Az egeese (, ) értéke itt (, ) 4 4 e 8 4 e,746 4 Végül meg kell ézi a égzet csúcspotjaiba (, ) e, mel csak a, 8 (, ) (, ) (, ) (, ) 6 4e, e 4 e 4 e,746 4 potba ulla, a üggvé az íg kapott üggvéértékek közül kell kiválasztai a legkisebbet és a legagobbat. A legagobb üggvéérték a, és, potokba va 4e,4764, a legkisebb az origóba va. 8