Alkalmazzuk az egyváltozós esetben a legkisebb négyzetek módszerét. Legyen a mérések száma n, y (n 0). n 2

Átírás

1 . elődás 5 Alklmzzuk z egváltozós esetbe legksebb égzetek módszerét. Lege mérések szám ( ). F ( ( ) )! ( ( ) )!?? A két krtérum ekvvles egmássl hsze h z F üggvéek z prmétervektor hele mmum v kkor hele emzérus kostsszorosák s mmum v. A regresszólízsél másodk kejezés hszált gkorbb. Ezt elírást lehet áltláosít mégpedg úg hog h z /-t bevsszük mögé kkor z lább megoglmzássl élhetük: h mérésszám véges és lehetséges mérés heleket sorozt jelöl k továbbá j h j és mde eges -ek ugkkor z előordulás vlószíűsége kkor eg klsszkus vlószíűség problémávl álluk szembe. (A vlószíűségszámítás körébe kock-dobás esete eg le dolog. Véges sok elem esemé v és mde elem eseméek ugkkor bekövetkezés vlószíűsége. ) Tehát mde eseté bekövetkezés vlószíűség: p /. Teljesül természetese: p db ( ( ) )! p ( ( ) )!? p p ( ) p ( ; j ) p j

2 . elődás 6 H em kötjük k hog p -értékek zoosk zob teljesítk zt hog z összegük -gel egelő kkor z előbbekél áltláosbb ormulát kpuk. Ez már eg vlószíűség megközelítése regresszólízsek. vel mde eges potk mt mérés helek v eg p bekövetkezés vlószíűsége krtérumb ezzel vlószíűséggel súlozzuk z -hez trtozó eltérés égzetét. F [ ]! ( ( ) )? Keressük zt z prmétervektort mel mellett z ltkus dott üggvét et krtérumb helettesítve égzetes várhtó érték mmáls lesz. A problém tehát eg F() F( k ) üggvé mmumheléek megkeresése. Szélsőérték-számítás (smétlés) () δ δ * 3 4 Nem kell hog derecálhtó lege üggvé hhoz hog mmum helet lletve mmum helet meghtározzuk. e.: Az () üggvéek z hele lokáls mmum v h (létezk) z -k eg δ sugrú körezete úg hog h [ δ + δ] () ( ). pl.: * 4 lokáls mmum helek A lokáls mmum helek között z z bszolút mmum hel mel hele üggvé legksebb értéket vesz el (eltéve hog v legksebb üggvéérték). Pl.: et esetbe z * z bszolút mmum hel. 3 lokáls mmum helek ( [ δ + δ ] () ( ) )

3 . elődás 7 H z () leglább kétszer derecálhtó egváltozós vlós üggvé kkor szükséges és elégséges eltétel lokáls szélsőérték létezéséhez hog ( ) ( üggvé potjához húzott értő meredeksége ); és ( ) > hele lokáls mmum v. vg ( ) ; és ( ) < hele lokáls mmum v. H () -szer derecálhtó vlós egváltozós üggvé és ( ) ( ) (-) ( ) de () ( ) kkor h () ( ) > hele lokáls mmum hel v h () ( ) < hele lokáls mmum hel v. Elégséges eltétel -változós vlós üggvé lokáls szélsőértékeek létezésére Adott z ( ) -változós vlós üggvé és p ( ) pot. Ahhoz hog -ek bztos lege szélsőértéke p potb z lábbkk kell teljesüle: (.) (p ) (p ) (p ) (.) Tektve z lább üggvédetermásokt 3 ( p ) ( p ) p K 3 p ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) K 3 ( p ) ( p ) ( p ) K ( p ) ( p ) ( p ) ( p ) K ( p ) hol 3 srokdetermások Bztos v lokáls szélsőérték p potb h srokdetermások p potb vg md poztívk: 3 K K Vg egtív poztív egtív stb módo váltkozó értékűek: lokáls mmum v. Ezek elégséges de em szükséges eltételek. p hele lokáls mmum v. 3 K p hele

4 . elődás 8 Szélsőérték-számítás éhá umerkus módszere. Guss-Sedel lgortmus z c d ívóvolk b ( ) ( ) ( ) ( )

5 . elődás 9 A szemléltetés kétváltozós vlós üggvé esetébe lehetséges. A módszer léege hog dott eg elületük és eek krjuk megkeres mmum helét. A elületbe belemetszük z -z síkkl párhuzmos mjd megkeressük eek metszékgörbéek mmum helét. Ez lesz pl.. egkeressük zt ívóvolt melet z ért és ebbe potb szté elmetsszük elületet de most z -z síkkl párhuzmos. Itt s megkeressük elület görbé mmum helet ( ) és meghtározzuk z ehhez trtozó ívóvolt mjd smét z -z síkkl párhuzmos metszük ért jó ez módszer? dg egváltozós v-t vzsgáluk és em kell eltétleül dervál! -változós esete: ( 3 ) üggvét vzsgáljuk. - változó le v rögzítve és mdg eg változót változttuk. ( 3 ) hol (p ) mmáls. le vk rögzítve ( 3 ) ( 3 ) 3 : ( 3 ) És ezutá kezdődk cklus elölről. Akkor lege vége h p p p k potok eseté p k- p k < δ tehát p k- és p k potok távolság ksebb eg megdott δ értékél vg (p k- ) (p k ) < ε tehát p k- és p k potok üggvéértékeek külöbsége ksebb eg megdott ε értékél.. Véletle optmumkereső módszer c d A elülete elveszük 5 db potot T p p 5 T megdott T trtomáb és kszámoljuk hozzájuk trtozó b p p3 p p p 4 p 5 p 4 p 3 T 3 üggvéértékeket. (p ) (p ) (p 3 ) (p 4 ) (p 5 ) Kválsztjuk legksebb értéket közülük (most lege p 4 ) és következő tervllumot (T ) úg vesszük el hog ez pot lege közepé.

6 . elődás ost ebbe z új tervllumb geeráluk smét 5 db potot. (p ) (p ) (p 3 ) (p 4 ) (p 5 ) tt (p 3 ) mmáls Akkor p 3 lesz z új tégllp (T 3 ) középpotj és smét geeráluk 5 potot. Eg bzoos eset utá elkezdjük omít z tervllumokt tehát elezzük mjd kezdjük elölről. Bzoos lépésszám utá mdg eleződ og tégltrtomá míg egszer r beszűkül hog leáll z lgortmus. Ez eg véletle kereső lgortmus ez kkor jó h eléggé szbáltl elület sok külöböző hele redelkezk mmumml.

7 . 3. elődás. Véletle optmumkereső módszer Péld A elülete bzoos lpsíkbel tervllum ölött elveszük éhá véletle potot. Ezek z lpsíko szté véletle potok leszek. jd elülete potok közül megkeressük legksebb értéket h mmumot keresük (h mmumot keresük kkor leggobbt keressük meg). jd z tervllumukt eltoljuk úg hog legksebb (vg leggobb) értékhez trtozó pot lege z új trtomáuk középpotj. Itt újbb potokt veszük el mjd z előzőekhez hsoló járuk el. Bzoos lépésszámokét omítjuk z tervllumukt íg egre jobb beszűkül z trtomá hol z bszolút mmumot lletve mmumot keressük. ( ) + ( ) + + e + e F + + e ( ) + + e

8 . 3. elődás 3. Grdes-módszer z z P sklár-vektor üggvé (r) grd (r) r + j r (r) G P grd A grd vektor z lpsíkr levetített sztgörbe P potjához húzott értőjére merőleges vektor. Az (r) sklár-vektor üggvéből kdulv üggvé tetszőleges elület potjához trtozó leggobb övekedés ráát dj meg grd vektor. A grd vektor úg htározhtó meg hog kell képez z üggvéek z szert prcáls derváltját vlmt kell képez z üggvéek z szert prcáls derváltját. grd + j [ ] kétváltozós eset A grd vektor z lpsíkb elhelezkedő ívógörbe r vektorhoz trtozó értőjére merőleges vektor. Háromváltozós eset : [ z ] -változós eset: ( ) grd [ ] A grd leggobb csökkeés ráát jelöl k. A üggvé grdese csk kkor létezk h bármel változó szert prcáls derecálhtó.

9 . 3. elődás 3 r grd (r ) r r -h grd (r ) mum számítás! r 3 -h grd (r ) -h grd (r ) g g g r r r k+ r r r h k h grd h k grd grd ( r ) ( r ) ( r ) k k Kérdés: h h h k lépésközök meghtározás H mmumot keresük kkor h h h k egtív h mmumot keresük kkor h h h k poztív. ért gz hog grdes vektor leggobb változás rááb mutt? A kétváltozós üggvé derecálhtó z potb h létezk és továbbá (+h +k) h* + k* + h*ε (h k) + k*ε (h k) lm ε (h k) ε (h k) h k

10 . 3. elődás 4 Irámet dervált z * b b*j e * + b*j α b e (P) (P ) P d P e e cosα* + sα*j rámet dervált: ' e lm P ( P) ( P ) d( P ) P P e Az és potot lklmzv: z lpsíko z e egees egelete: + t e + bt ' e lm P P ( ) + ( ) t + b t t + b t d ( ) ( ) ( + t + bt ) ( ) t + b lm t lklmzv z -et t * ' lm t ( ) + bt * ' ( ) t t + tε + btε * ' ( ) + b * ' ( ) Ez szvkb kejezve zt jelet hog z e egségvektor met rámet dervált P potb úg számolhtó k hog kszámoljuk grdes vektor koordátát (ezek prcáls derváltk és szert) és redre megszorozzuk z egségvektor koordátávl ( és b) zz ez eg sklárs szorzt. Áltláos rámet dervált: ' e ( ) e grd ( ) Két vektor sklárs szorzt: z bszolútértékük megszorozv közbezárt szögükkel tehát ( ) cos β ' e e grd Abszolútértéke mmáls h β vg β8 mmáls h β9

11 . 3. elődás 5 j F Tehát z rámet dervált értéke kkor mmáls h z egségvektor rá megegezk grdes ráávl. Regresszólízs F() [(( ) ) ]!? [ k ] (j k) [ ] F j j j j j j j j j j (j k) Tehát kkor mmáls h görbe pot rálleszkedk potjkr. e e e :