Alkalmazott matematika 2017

Átírás

1 Allmzott mtemt 7 (Szmérö előás vázlt rövített változt) Sztmár Zoltá

2 rtlomjegzé Előszó 3 Hlmzo 4 A htárérté oglm és tuljoság 6 3 Függvée htárértée és oltoosság 4 Függvée erecálás 5 5 Függvée tegrálás 9 6 Itegrálás mószere 6 7 öbbszörös tegrál 3 9 Függvésoro 37 Homogé leárs üggvée jtá 4 Mátro 4 A omple számo lpoglm 59 3 Közöséges elsőreű erecálegelete 6 4 Közöséges másoreű erecálegelete 69 5 Álló egütthtós erecálegelete 79 6 Vetor-slár üggvée 9 7 Slár-vetor üggvée 9 8 Vetor-vetor üggvée 94 9 Itegráltétele 97 Leárs operátoro és ucoálo Itegrálegelete 3 Leárs másoreű prcáls erecálegelete 3 Fz elt mtemtlg orret tűzése 7 4 Mátro vertálás 9 6 Iterpolácó 4 7 Numerus tegrálás 45 8 Közöséges erecálegelete umerus megolás 49 9 A vlószíűség-elmélet lpj 56 3 Segéeszözö mtemt sttsztából 7 3 Közvetle mérése 84 3 Függvéllesztés 5 üggelé Metrológ ejezése 9 üggelé Sttstt táblázto 3 3 üggelé Számpél álló egütthtós leárs erecálegeletere 6

3 Előszó Ez jegzet BME NI áltl 7/8-b trtott retortech szmérö tolm Allmzott mtemt előásá g A orább tolmoo ttárg számár 9 ór állt reelezésre e ez lecsöet 6 órár Emtt z got rövíte ellett A orább jegzettel vló összevetés megöítésére z eges ejezete számozását megtrtottu íg bzoos sorszámo rövített változtból mrt A orább évebe mérése értéelésével pcsoltos smereteet eg ülö jegzetből ellett megeres Ee megöítésére Mérése értéelése című jegzetből átvettü ég ejezetet szté rövítve Íg eletezte jele jegzet 9 3 ejezete 3

4 Hlmzo Hlmz: jól eált eleme összessége Jelölés: A zt jelet hog eleme z A hlmz Művelete hlmzol: Uó: AB h A VAGY B Metszet: AB h A ÉS B Külöbség: A\B h A ÉS B Komplemeter: A \ A hol teljes hlmz Üres hlmz: cs elem A műveletere érvées ommuttív sszoctív és sztrbutív tuljoság: ommuttív: AB = BB AB = BA sszoctív: (AB)C = A(BC) = ABC (AB)C = A(BC) = ABC sztrbutív A(BC) = ABAC Eze elül m z uó m metszet empotes művelet: A A A és A A A Számhlmz: me eleme szám Fotos tuljoságo: Felülről orlátos számhlmz: A elülről orlátos h létez ol M szám hog me A elemre M Alulról orlátos számhlmz: A lulról orlátos h létez ol m szám hog me A elemre m Felső htár: legsebb első orlát Jele: sup A M = sup A h me A elemre M e tetszőleges poztív -r tlálhtó ol A elem melre M Alsó htár: leggobb lsó orlát Jele: A m = A h me A elemre m e tetszőleges poztív -r tlálhtó ol A elem melre m Korlátos számhlmz: m lulról m elülről orlátos hlmz Specáls számhlmzo: N természetes számo hlmz ( N) Z egész számo hlmz Q rcoáls számo hlmz R vlós számo hlmz A vlós számo ecój em trváls Vlós szám: végtele tzees törttel elírhtó szám Pélául lege A övetező rcoáls számo hlmz: A = {3; 3; 34; 34; 345; 3459; 3459; 34596; ; } Megél gobb vlós szám e tzeesjege szporításávl tetszőleges potossággl megözelíthető Íg z A hlmz első htár 4

5 Megjegzés: végtele tzees törte első htár or és cs or rcoáls h tzees tört szszos Számosság: Az eleme szám lehet véges vg végtele Két hlmz számosság zoos h eleme ölcsööse egértelműe egmáshoz reelhető Megszámlálhtó hlmz: számosság megegez N számosságávl Ilee: Z és Q Kotuum számosságú hlmz: számosság megegez R számosságávl Pothlmzo Itervllum: I = ( b) zo poto hlmz számegeese melee megelelő számor eáll hog b Jelölés: I = {: < < b} Hlmzo ret szorzt: ( )XY h X és Y égllp síb: I = ( b) és I = (c ) tervllumo ret szorzt Bármel tervllum zoos számosságú: bármel más tervllumml z egész számegeessel tetszőleges tégllppl vlós számol stb Pothlmz belső potj: A belső pot h tlálhtó ol poztív hog pot sugrú örezete része A- Pothlmz ülső potj: A ülső pot h tlálhtó ol poztív hog pot sugrú örezete em része A- Pothlmz htárpotj: A htárpot h bármel poztív sugrú örezetébe tlálhtó A-hoz trtozó és A-hoz em trtozó poto Nílt hlmz: cs belső potj v Zárt hlmz: trtlmz me belső potot és htárpotot Nílt tervllum: ( b) = {: < < b} Zárt tervllum: [ b] = {: b} Félg ílt tervllum: [ b) = {: < b} vg ( b] = {: < b} 5

6 Htárérté oglm és tuljoság orlóás pot: ol pot (szám) mele tetszőlegese s örezetébe lehet hlmzból elemet tlál Pélául lege A : 3 mele ét torlóás potj v: b = és b = + Vlób lege > tetszőlegese s szám Eor Hsoló: b h és páros szám b h és pártl szám Bolzo-Weerstrss tétele: végtele so elemet trtlmzó orlátos számhlmz mg v leglább eg torlóás potj Hog lehet ezt belát? Két lépésbe: Kválszthtó eg mooto részsorozt: -ből ulv eresü z előzőél gobb elemet H ezt végteleszer tuju smétel tláltu eg mooto övevő részsoroztot H véges számú lépés utá már em tlálu gobbt or megtláltu leggobb elemet Ie ulv egre sebbeet válsztu Ez már em szht meg mert or z zt jeleteé hog z eleme szám véges Bztos tlálu tehát eg mooto csöeő részsoroztot Eg mooto övevő orlátos sorozt v első htár mel egbe torlóás pot s Hsoló oosohtu mooto csöeő részsorozt esetébe Számsorozt: vlós számo megszámlálhtó végtele hlmz Sorozt htárértée: z ( = ) soroztot overgese evezzü h létez ol véges vlós szám hog tetszőleges poztív -hoz tlálhtó eg e melre h Az számot sorozt htárértéée (lmeszée) evezzü és íg jelöljü: lm vg h A hlmzelmélet elvé: z X = { = } hlmz torlóás potj A htárérté eícójából egszerűe övetez hog eg overges sorozt orlátos hlmzt lot Eg sorozt étéleéppe lehet verges: vg egél több torlóás potj v vg em orlátos Az utóbb esetet övetezőéppe jelöljü: lm lletve lm 6

7 m övetezőt jelet: tetszőleges M számhoz lehet tlál eg eet melél gobb -re M lletve M Pélá: lm ; log lm q h q < ; log q 3 lm q 4 lm M h q > log ; log q log h > és ; log 5 lm e 788; Az 5 péláb meghtározás tovább smereteet géel A sorozto overgecájár votozó tétele: Cuch-éle overgecrtérum: z sorozt or és cs or overges h tetszőleges poztív -hoz tlálhtó ol e hog h és m m Mvel soszor llmzzu ezt tételt most vételese belátju Először belátju hog overges sorozt esetébe rtérum teljesül vgs rtérum teljesülése overgecához szüséges H sorozt overges létez ol hog és m eseté és m m vgs m m Ezutá belátju hog rtérum elégséges s: h rtérum teljesül sorozt overges Iret bzoítást llmzu: rtérum cs coverges sorozt esetébe teljesülhet egü el először hog sorozt zért em overges mert em orlátos: válszthtó belőle eg mooto övevőe -hez (vg mooto csöeőe -hez) trtó : részsorozt Rögzítsü z m eet Mooto övevő részsorozt esetébe tetszőleges poztív M számhoz lehet tlál eg ol eet hog M m m mtt m M tehát rtérum em teljesül Mooto csöeő részsorozt eseté gooltmeet lóg 7

8 Eg sorozt vergecájá más esetébe egél több torlóás potj v Eor lehet ét overges részsoroztot S és S tlál (esetleg többet s) melere S : lm lm l l S l : l etszőleges ε eseté v ol e hog és l mor lletve l Eor l l Mvel ulától ülöböző poztív szám z l ülöbség teljes soroztr votozó em csöehető tetszőlegese csvé vgs rtérum em teljesül Ezzel rtérum elégséges voltát s beláttu A overgecár votozó lpvető tétele: l Lege lm ) lm és lm b b b b) lm b b c) lm b ) lm b Eor eáll: h b és b b e) lm b h b orlátos és lm Nem értelmezhető eze tétele áltláb h övetező jöée : ermészetese orét esetebe eze s ezelhető e áltláb semmt sem tuu ezeről z eseteről mo Pél lú htárértére: 5 b vszot b H 5 és b or b 3 H 5 és b 3 or b 3 ehát lú htárértée orét esettől üggőe bármle vlós értéet elvehete 8

9 Pél lú htárértére: b 3 3 A overgecár votozó tovább tétele: ) H eg sorozt mooto övevő vgs m h m és elülről orlátos or sorozt overges htárértée peg első htár Ez egszerűe övetez Bolzo-Weerstrss-tételből g) H eg sorozt mooto csöeő vgs m h m és lulról orlátos or sorozt overges htárértée peg z lsó htár Ez s egszerűe övetez Bolzo-Weerstrss-tételből h) Reőrelv: h me -re b c továbbá b és c or V esete melebe htárértéet em egszerű z ereet eícó szert meghtároz öbbe özött ezért hszos overgecrtérumo 6 etsü pélául z reurzós éplettel és z ezőértéel ott soroztot Először belátju hog sorozt overges eseté 5 eljes ucóvl belátju hog sorozt me tgj 5-él sebb vgs sorozt elülről orlátos egü el hog vlmle -re 5 (Láttu hog ez eáll z első tgr) Eor reurzós éplet szert tehát me tg sebb 5-él mt állítottu Ezutá szté teljes ucóvl belátju hog sorozt mooto övevő Ez 7 eáll = -re: ehát v ol melre Eor 6 6 vgs sorozt vlób mooto övevő Az ) tétel szert szert tehát sorozt overges A htárété meghtározásához átlítju reurzós épletet: Mvel z 8 6 ülöbség tetszőlegse csvé tehető Cuch-éle rtérum szert mét oll htárértée zérus Eszert sorozt htárértée vg vg 8 Beláttu hog 5-él em lehet gobb íg végeremébe lm Sor: eg sorozt összegét sor evezzü: 9

10 S = H sorozt végtele értelmes elvet overges-e sor: eg sor overges h z S részletösszegeből álló sor overges A soro overgecájár érvéese et ) h) tétele A Cuch-éle overgecrtérumból övetez hog sor or és cs or overges h m mor m és + Ebből övetez hog sor overgecájá szüséges eltétele hog sor tgj zérushoz trts H sor htárértée or ezt íg jelöljü: Nevezetes soro: e! overges h > verges h 6 h q q q lm q lm h q q q q esetébe sor goz ezért em overges Abszolút overgec: sort bszolút overgese evezzü h z S = sor overges Ezt gr övetezőéppe jelöljü: H eg sor bszolút overges or lvá overges s Ee zob em gz megorítás: v ol overges sor mel em bszolút overges Az le sort eltételese overgese evezzü Pélául: l A sor overgecáj beláthtó: Ugor m m m m m m m m

11 mor + Az utóbb belásás: Abszolút overges sorob tgo sorrejét tetszőlegese meg lehet változtt élül hog htárérté megváltozzo Feltételese overges soro esetébe sorre megváltozttás áltláb htárérté megváltozásához vezet sőt: llms átreezéssel tetszőleges htárértéet elő lehet állít

12 3 Függvée htárértée és oltoosság Függvé: eg hlmz eg másr vló egértelmű leépezése H X or = () megj z Y hlmz zt z Y elemét melet -hez reelü Függvéeel pcsoltos smert oglm: értelmezés trtomá (X) értéészlet (Y) gro mooto szgorú mooto üggvée páros pártl üggvée perous üggvée verz üggvé összetett üggvé stb Megjegzés z verz üggvéel pcsoltb: cs szgorú mooto (övevő vg csöeő) üggvée értelmezhető z verz üggvée H eg üggvé em le teljes értelmezés trtomáb or zt le ell szűíte rr részre hol szgorú mooto Pélául s üggvé perous és tetszőleges [ +]-hez végtele so ol tlálhtó melre s = Ezért z rcs üggvé eícójor s üggvé értelmezés trtomáát leszűítjü [ / +/] tervllumr melbe s szgorú mooto övevő Ez lesz z rcs üggvé értéészlete értelmezés trtomá peg [ +] tervllum (vgs s üggvé értéészlete) Függvée htárértée: or moju hog -hoz tlálhtó ol hog lm A h tetszőleges poztív A mor Más eícó: Válsszu eg -hoz overgáló soroztot Aor moju hog lm A h z ( ) sorozt A-hoz trt me sorozt esetébe A üggvée htárértéére érvéese rész ) h) tétele Bloll htárérté: Válsszu ol soroztot melebe me -re H z ( ) sorozt létez htárértée or ezt bloll htárértée evezzü és íg jelöljü: lm Jobboll htárérté: Alóg bloll htárértéel e most me -re Jelölése: lm A üggvée or v htárértée h m bl- m jobboll htárérté létez és lm lm lm Foltoos üggvé: or moju hog üggvé oltoos z = hele h () ott létez htárértée és () z megegez helettesítés értéel: lm

13 Bolzo tétele: H () oltoos z [ b] zárt tervllumb továbbá () és (b) ülöböző előjelűe létez ol belső pot melre () = Ez öe áltláosíthtó: Eg oltoos üggvé tetszőleges () és (b) özé eső értéet elvesz z tervllum belsejébe Bzoíthtó: legtöbb smert üggvé oltoos: polomo s cos tg eze verze stb Néhá evezetes htárérté: lm s P Q O s A B Az ábrá láthtó háromszöge területe: OPB: s és OQB: tg örc területe peg / Leolvshtó hog s tg s cos -vel szorozv és recproot véve: cos s s mt s-szel beszorozv: s cos A reőrelv lpjá övetez z állítás A s/ üggvé em értelmezhető = - r -vl vló osztás mtt Foltoossá tehető h = -r -e vesszü vgs htárértéel tesszü egelővé 3 lm s cos lm lm lm tg s s lm 3

14 4 4 lm e A ejezet 5 péláj lpjá bzoíthtó 5 lm e Ez övetez z előző tételből: e 6 e lm Bzoítás: lm e hol 3 6 Elég z trtomát tete Eor öe beláthtó hog 6 etszőleges ε-r lehet ol δ-t tlál hog lege h Ile -re írhtju hog A reőrelv lpjá eseté zt pju hog e h Ezt ellett belát Ezt bzoítást zért részleteztü mert jól llusztrálj z egeletes overgec oglmát: () overgecájához ott -re és ε-r ol δ-t tutu tlál mel üggetle -től

15 4 Függvée erecálás Függvé erecálháos (erváltj): üggvégörbe értőjée mereesége Értő: szelő htárhelzete h lm h h H ez htárérté létez zt moju hog üggvé z hele erecálhtó Eg üggvé cs ott lehet erecálhtó hol oltoos s Nem gz zob ee megorítás: hol üggvée törése v ott még lehet oltoos e em erecálhtó A erecálhtóság tehát erősebb eltétel mt oltoosság Derválás szbálo ) c c (c álló) g g (árhá tgr áltláosíthtó) g g g g g g g b) c) ) e) g g g ) Iverz üggvé erválás: Péléppe belátju c) ) és ) tételeet: hg h g hg h hg hg g h g h g h h h h h h h g h g g h h H ezt c) tétellel ombálju megpju )-t ) tétel: Kulu z erválju szert: zoosságból Mét ollt 5

16 mből Néhá üggvé erváltj: Htváüggvé: ( poztív egész) h O h h h h Negtív -re ) tételt llmzzu: O h tehát erválás éplet bármle egész -re gz Itt em részletezzü e beláthtó hog erválás éplet or s gz mor tetszőleges vlós szám Epoecáls üggvé: e vg poztív vlós -r: e h e h e e rgoometrus üggvée: h e h e l e l l l s h s s cos h cos s h s cos h s h s cos h h h h cos h s h s h cos cos h h Hsoló beláthtó: cos s tg cos stb rgoometrus üggvée verze (rcus): rcs s s cos s A gö előtt előjel ttól ügg hog jelöltü s értéészletét A et ecíó szert z előjel: + De lee h z értéészlet pélául [/ 3/] lee hsze tt s üggvé mooto csöe A et erválás szbálo szert tetszőleges ltus ormáb elírt üggvé erváltját lehet ltus ormáb ejez 6

17 LHosptl szbál: Lege és lm g g lm Ugez szbál érvées h g h Pélául: lm cos lm s lm s és erecálhtó or és g mor Néhá üggvé erváltj Függvé Dervált Megjegzés e e e e l l s cos cos s tg cos tg rcs rccos rctg sh ch sh e e ch sh ch e e th ch th sh ch rsh rch rth b b l rctg 7

18 öbbszörös ervált H eg üggvé eg [ b] zárt tervllum belső potjb erválhtó or z erváltt szté tethetjü üggvéée H ez s erválhtó or beszélhetü ee erváltjáról s mel z () üggvé máso erváltj: vg Ile értelembe beszélhetü hrm ege stb erváltró s Prcáls ervált öbbváltozós üggvét lehet úg ervál z eg változó szert hog többt változtlul hgju Pélául étváltozós üggvé esetébe: h lm h h h lm h h 8

19 5 Függvée tegrálás Lege () oltoos z [ b] tervllumb Keressü üggvé groj ltt területet Az [ b] tervllumot elosztju résztervllumor z = < < < 3 < = b osztópotol Az ábrá láthtó móo me tervllum ölé emelü eg tégllpot mele ( ) mgsság z tervllumb elvett leggobb és legsebb érté özé es: M m h () Az F 5 ábr Görbe ltt terület özelítése összeg eresett terület özelítése A területet becsülhetjü lulról és elülről: t m és M b melere lvá eáll hog t F H elosztást úg omítju hog z eg tervllumot tovább osztju or t t sorozt lvá mooto övesz sorozt peg mooto csöe Feáll továbbá hog t t sorozt első orlátj sorozt bármel tgj Hsoló sorozt lsó orlátj t t sorozt bármel tgj Ezee tehát v első lletve lsó htáru: t t me -re Megmuttju hog t = Képezzü 9

20 D t M m ülöbséget D Mvel üggvé oltoos δ-t meg tuju úg válszt hog me -re M lege h m b Eor D b b b b H tehát elosztást me htáro túl omítju vgs z tervllumo hosszá mmum -hoz trt mor + D sorozt htárértée zérus Ebből övetez hog t és sorozto htárértée ugz A reőrelv mtt ez z F sorozt htárértée s Ileor zt moju hog üggvé tegrálhtó z [ b] tervllumb A özös lm m F F t htárérté megj üggvé groj ltt területet Ezt evezzü üggvé tegráljá z [ b] tervllumb: b F Ez Rem-tegrál eícój Be lehet lát hog ez elosztáso tetszőleges móo omoó soroztár s érvées Az elmoott szert tehát eg oltoos üggvé mg tegrálhtó M v h z () üggvée z [ b] tervllum belsejébe vlhol szás v? Lege szás hele c ( < c < b) A elosztás ezt trtlmzó résztervllumá z eét j-vel jelöljü A szás mtt v ol C szám hog M m M m C j j ármere omítju elosztást M és m vlmle első lletve lsó orlát teljes [ b] tervllumr votozó Mvel eg oltoos üggvé mg orlátos le eg ét oltoos szszból álló üggvé s δ értéét most övetezőéppe válsztju meg: D M m és m j M j h m Ezt úg ell érte hog üggvé poztív része ltt terület poztív előjellel egtív rész elett terület peg egtív előjellel ó H z [ b] tervllumb v m poztív m egtív szszo z tegrál z előjeles területe összege

21 Ebbe z esetbe D vgs üggvé tegrálhtó Ezt öe áltláosíthtju: h eg üggvée z [ b] tervllumb véges számú szás v üggvé ott tegrálhtó Lás még z lább h) tételt Az tegrálr votozó tétele: eícóból öe levezethető övetező tétele: b ) b b c c c tetszőleges álló b) b b g g c) Mb h lletve b mb h b b M b m b ) g h b b e) b ) c b b c g b h c b Nehezebbe bzoíthtó tétele: g) Itegrál-özépérté tétele: h z () üggvé oltoos z [ b] tervllumb or tlálhtó eg ol [ b] melre b b h) Itegrálhtóság elégséges eltétele: z () üggvé tegrálhtó z [ b] tervllumb h ott cs megszámlálhtó so szás potj v ) Az () üggvé tegrálj em változ h értéét megszámlálhtó so potb megváltozttju j) H z () üggvé tegrálhtó z [ b] tervllumb or ott orlátos s Éremes megjegez hog ee em gz megorítás: eg orlátos üggvé em eltétleül tegrálhtó s Az tegrálhtóság szüséges és elégséges eltételét Lebesgues t meg mértéelmélet lpjá Ee ár már moás s meghlj ee z előás eretet

22 Htároztl tegrál Lege z () üggvé tegrálhtó z [ b] tervllumb Eor me [ b]-r értelmezhetjü üggvé htároztl tegrálját: F t t A htároztl tegrál tuljoság: ) Newto-Lebz éplet: F F Fc c b c c ) F() oltoos me [ b]-r 3) F() erválhtó me ol [ b]-r hol () oltoos és F Ebbe ez értelembe F()-et () prmtív üggvéée evezzü: ol üggvé mele erváltj megj ()-et 3 A 3) tétel z tegrál c lsó htárától üggetleül érvées tehát prmtív üggvé cs eg tetszőleges álló erejég v meghtározv Ezért el szotu hg z tegrálás htárot és prmtív üggvét z F C lb írju el hol C tetszőleges vlós szám Eg oltoos üggvé tegrálás tehát prmtív üggvé megeresését gél Erre votozó hszálhtó 4 táblázt: máso oszlopb levő üggvée prmtív üggvée z első oszlopb tlálhtó Pélául tg C cos A erecálássl elletétbe prmtív üggvé megeresése g gorltot gélő elt és gr előorul hog em s serül prmtív üggvét zárt lb előállít Néhá egszerű mószert 6 ejezetbe smertetü Improprus tegrálo Gr orul elő övetező ét eset ege melere z tegrálás et eícój em llmzhtó: () z tegrálás htáro em végese és () z tegráló üggvé em orlátos z [ b] tervllumb 4 () eset: egü el hog z 3 Itt prmtív szó értelme: ereet Ncs öze özelv ezetleges jeletéshez 4 Emléeztetü et j) tételre mel szert eg em-orlátos üggvé em lehet tegrálhtó

23 b F b tegrál létez b me véges értéére Eor ereshetjü F(b) htárértéét b + mellett H ez létez or segítségével értelmezhetjü övetező mproprus (= em vló) tegrált: Hsoló z b lm b b lm b mproprus tegrál eícój Pélául: e b b mert e e h b () eset: egü el hog () + mor b H b örezetébe más szás cs or üggvé tegrálhtó z [ b ] tervllumb bármle cs poztív -r H mellett létez z b F b tegrál htárértée or segítségével eálhtju z b lm F b b mproprus tegrált Hsoló eálju z lsó htár szert mproprus tegrált Pél: lm lm lm Fotos leset mor üggvé z [ b] tervllum belsejébe em orlátos Lege ez pot = c ( < c < b) Ileor épezzü z c F b c tegrált Aor moju hog z mproprus tegrál létez h ee létez htárértée mor + és + egmástól üggetleül Pél: I lm lm 3

24 lm lm lm 4 Improprus tegrál őértée: v esete mor et htárérté em létez Pélául l l l Amor és egmástól üggetleül or ee bármle véges szám lehet htárértée e trtht ár -hez s Pélául = c mellett htárérté lc m c értéétől üggőe tetszőleges (véges) értére beállíthtó Ile esetebe előorulht hog htárérté létez h orlátozzu móját hog és Aor beszélü z tegrál őértééről mor et tegrál = mellett v htárértée Esetübe ez l = A őértéet P betűvel jelöljü 5 íg P Prméteres tegrálo H z tegráló üggvé ügg eg p prmétertől or üggvé htározott tegrálj s ügg p-től: Pélául b p p cos cos s Gr v szüség övetező tételre: p b p p p h eze ervált és tegrálo léteze Illusztrácóéppe z előbb pélát tetjü Egrészt Másrészt s s cos s cos cos s cos 5 A P betű lt ereetű prcpl szór mele jeletése ő legotosbb 4

25 5 Gor specáls eset mor z tegrál első vg lsó htár (vg mettő) ügg prmétertől Erre pél övetező: p p p 3 e Eor már em érvées erváltr votozó et éplet A heles erválás éreébe bevezetjü övetező étváltozós üggvét: e Nlvá 3 p p p mele p szert erválás lácszbál segítségével törtéhet: p p p p p p p p p e 3 e 3 p p p p 3 3 e 3e 3 Az első tg z tegrál első htár szert erválásból máso tg peg z tegrus erválásából ó Az utóbbt leor úg ell számol mth első htár em s ügge p-től

26 6 Itegrálás mószere Az lábbb éhá gr hszálhtó tegrálás mószert muttu be: prcáls tegrálás helettesítéses tegrálás specáls üggvée tegrálás prméteres tegrálo llmzás Prcáls tegrálás egü el hog z tegráló () üggvé elbothtó ét ol üggvé szorztár mele özül z ege smerjü prmtív üggvéét: Mvel u v u v u v u v z tegrál íg írhtó: b u u v v u v u v b b Ezt evezzü prcáls tegrálás Gr előorul hog jobb ollo óó tegrál számár öebb megtlál prmtív üggvét A jobb oll első tgját tegrált része evezzü Ugez htároztl tegrál esetébe: Pél: mvel v v v u u u u e Lege e és v Eor u e e e e e Htározott tegrál: b e e e e e Más pél: Lege p > Eor F p e p s e p p s p e p cos 6

27 e p p cos p e p s p p Fp mből ejezhetjü Fp-t: F p p Gr előös elhszál prméteres tegrálo erváltjr votozó épletet Pélául lege cos p I p e > p > Derválju ezt szert: I cos e Ezt tegrálju szert: I p l p p C s e p p C értéée meghtározásához gelembe vesszü hog I p C l p p p vgs I p l Itegrálás helettesítéssel Ebből egü el hog z tegráló () üggvé elbothtó eg összetett üggvé és z rgumetumb szereplő üggvé erváltjá szorztár: g u u H g(u) üggvée smerjü prmtív üggvéét G(u)-t or z () üggvée egszerűe számíthtó prmtív üggvée Mvel G u G u u g u u eresett prmtív üggvé G(u()) Képlettel: lletve b g u u G u b g u u G u C Eze éplete jelet helettesítéses tegrálást Pél: I e 7

28 Itt u u g e G e Íg tehát I e C A gorltb z tegrus em mg le lú e ém átlítássl le lr hozhtó Pélá: ) p e Eor u p u p Ezzel: p p u u e e e e p e u e u p p p p p Itt hszáltu u u ormáls jelölést mt helettesítéses tegrálásor mg megteszü ) e u Eor u u g( u) e u p Ezzel: u u e e e e e u C Specáls üggvée tegrálás ) Polomo egszerűe tegrálhtó 4 táblázt megorítás lpjá Pél: C b) Rcoáls törtüggvé (ét polom háos) evezőbe álló polom götéezőre botásávl tegrálhtó Feltehetjü hog számláló lcsobb oú mt evező H em íg v tört mg elírhtó eg polom és eg le lú rcoáls törtüggvé összegeét Pélául: p r 3 3 q Az r() polom tegrálját )-b elírtu A törtüggvé tegrálásáb több eset lehetséges: b) A evező me göe egszeres és vlós: q hol q() polom oszám Eor törtüggvé átreezhető övetező lb: p q b mele z tegrálj Pél: p q b b l 8

29 l l l 3 3 b) A evező me göe vlós e v többszörös göö s Pél: l 3 3 b3) A evezőe v omple göe s Mvel z egütthtó vlós omple göö egmás omple ojugáltj vgs evezőbe vlós egütthtós másooú téező s ellépe Pélául: 3 A et péláb szereplő rcoáls törtüggvé eor íg bothtó szét: b c b b c c 3 3 egü egelővé zoos htvá z egütthtót: b 5 b c 5 c 6 Ee z egeletreszere megolás: = 3/ b = 3/ c = 3 tehát Az első ét tg tegrálj: 3 3 l 3 3 l 4 4 A hrm tg evezőjét először teljes égzetté egészítjü : mj llmzzu z u helettesítést: 7 u 7 7 u u u 4 7 9

30 rctg rctg u c) Epoecáls üggvé rcoáls törtüggvée rcoáls törtüggvére vezethető vssz z u = e e u u u helettesítéssel Pélául: 3 3 e e e u u u u u ) rgoometr üggvée rcoáls törtüggvée rcoáls törtüggvére vezethető vssz z u = tg u rctg u u helettesítéssel Pélául: u u u u u u u u u u u 3 tg tg 3 tg tg s 3 cos

31 3 7 öbbszörös tegrál Lege ( ) oltoos üggvé V zárt trtomáb A üggvé groj eg elület és eressü z ltt levő térrész térogtát Az 5 ábr lógájár V trtomát elosztju V résztrtomáor megbe válsztu eg V potot és épezzü z F V tégláösszeget mel ál jobb özelítése eresett térogt mél ombb elosztás Aor moju hog z V F étszeres tegrál létez h z F sorozt v htárértée mor elosztást me htáro túl omítju A étszeres tegrálr áltláosíthtó et ) j) lletve ) 3) tétele továbbá lóg móo eálhtó étszeres mproprus tegrálo Specáls esete: () A V trtomá eg tégllp: V = [ b] [c ] Eor c b b c b c F vgs z tegrálás sorreje elcserélhető Ee eltétele hog z tegráló üggvé teljes V trtomáb oltoos lege Az lábbb muttu eg ellepélát (b) A V trtomát elülről g () lulról g () üggvé görbéje htárolj Eor b g g F H pélául V eg R sugrú ör z orgó örül or R R R R F Pél: Amor z R sugrú gömb térogtát eressü R Lege R Ezzel gömb térogt: R R F V Helettesítés: u u u u cos cos s

32 3 4 s cos cos u u u u u u R R R V R R R R (c) Kétszeres htároztl tegrál: c u t u t F melre eáll hog F F F Mt áltláb erecálás sorreje tt s elcserélhető () Gr orul elő hog z tegrus g h lú Be lehet bzoít hog eor c b b c h g (e) Itegrálás helettesítéssel: u v u v Bevezetjü Jcob-éle etermást: u u u u u v v v v v Eor eáll: v v v v v V V u u u u u Itt zért ell Jcob-éle etermás bszolút értéét ve mert z (uv) sío vett V területelem cs poztív lehet E rész beejezéseét muttu eg ellepélát z tegrálás sorrejée elcserélhetőségére: z tegrálb z tegrus em oltoos ( ) potb és mproprus tegrálét sem értelmezhető H ezt gelme ívül hgju or 4 rctg Ugor

33 33 4 rctg A ét érté em egez mert elcserélhetőség eltétele em teljesüle Ee üggvée vseleése egszerű lj elleére boolult A ( ) potb htárértée ttól ügg mle pál meté trtu o Pélául: lm lm e lm lm 7 ábr Az orgó reesztése z tegrálás trtomából Az mproprus tegrál tovább elemzése éreébe reesztjü ( ) potot eg tégllppl mele - és -ráú oll rere és (7 ábr) A emró trtomát V( )-vel jelöljü melbe üggvé oltoos tehát z tegrálás sorreje elcserélhető Vlób: -re és -re mt szert tegrálv z eremé rctg 4 rctg rctg V H először szert mj utá szert tegrálu lóg móo ó z eremé: V( )

34 V rctg rctg rctg 4 A ét eremé egmássl megegez ugs rctg rctg Az ege zt pélázzá hog z tegrálás sorreje elcserélhető h z tegrus ol- toos A pott eremé htárértée ttól ügg hog trt és zérushoz = eseté z tegrál értée zoos zérus m pluzbls hsze z tegrus pártl z egeesre türözve Ezt tethetjü z tegrál őértéée Az háos / lú htárértée zob bárm lehet tehát z mproprus tegrál értée s bárm lehet ulság: melőtt eg tételt llmzu célszerű megvzsgál z llmzhtóság eltételet Néhá evezetes tegrál Az e üggvé prmtív üggvéét em serül zárt lb elír Bzoos htározott tegrálj zob zárt lb számíthtó Pélául belátju hog I e e Ez egbe pél lesz többszörös tegrálo helettesítésére s Kszámítju z tegrál égzetét: I e 4 e Áttérü polároorátár: e r cos r s E helettesítés Jcob-éle etermás továbbá Íg I 4 r r e cos s 4 e r s r cos r s r r cos r cos r s r r e r r r r e e 4 4 r r r r 4 mvel állításut gzoltu Az e üggvé htároztl tegrálj gr előoruló üggvé ezért ülö jelölést vezetü be rá: 34

35 er t e t er lm er () üggvé etsü övetező tegrált melbe természetes szám: I e e e e I Itt prcáls tegrálást llmztu A pott reurzót g olttju míg lehet: e e e I!! Azt ptu tehát hog e! Ezt áltláosítv eálju tetszőleges poztív vlós -re: t t e t H egész szám or! A potecálelméletbe előoruló tegrálo A záb gr orul elő övetező lú tegrálo: I z z z (*) melbe z tegrus verges z orgób ( = = z = ) Az egszerűség evéért eltesszü hog üggvé s szmmetrus z orgó örül vgs cs z r z változótól ügg Eor célszerű gömb polároorátár áttér (7 ábr): r s cos r s s z r cos E helettesítés Jcob-éle etermás s cos z s s r cos r cos cos r cos s r s r s s r s cos r s 35

36 z r 7 ábr Gömb polároorátá Egszerű geometr megotolássl beláthtju hog ez eg térogtelem Képzeljü el ölgömböt θ szélesség ört φ peg hosszúság oot jelöl r gömb sugr Eg szélesség ör hossz rsθ eg φ örcée hossz peg rsθφ A hosszúság ör θ-hoz trtozó ce rθ tehát z r sugrú gömbelület megelelő rbjá területe r sθφθ Eg r vstgságú réteg térogt r rsθφθ Ezzel (*) lú tegrálot át lehet lít egszeres tegrállá: I r r r s r s r r r r 4 r rr Ez z tegrál véges h (r) üggvé em túlságos gors trt végtelehez mor r Mle gors? Ee elötésére ézzü övetező lú mproprus tegrálot: I b b lm I I hol poztív vlós szám b peg vlmle poztív első htár A 4 táblázt lpjá mvel C h és C l h = b b I h és I l h = Amor ez mg véges mr meg vgs < = eseté I (ε) mor A vergec sebessége logrtmus Amor > z tegrál szté verges e mgsbb rebe eg htváüggvéel ráos Az ereet tegrálb tehát (r) üggvé cs r -él lssbb trtht végtelehez r eseté 36

37 9 Függvésoro A számsorohoz hsoló eálhtó üggvésoro: lm hol S S h ez htárérté létez z -e eg bzoos trtomááb Rögzített -re ez özöséges sor mele overgecáját megszoott móo eálju: or moju hog sor ()-hez trt h tetszőleges poztív -hoz lehet tlál ol - t hog S < mor Abb z esetbe mor eg bzoos [ b] tervllumb eső -ere üggetle -től zt moju hog üggvésor [ b]-be egeletese overges Az egeletese overges soror érvées övetező ét tétel: A) A sor tgoét tegrálhtó h sor egeletese overges vgs B) H tgo erváltjából épzett sor egeletese overges or sor tgoét erecálhtó: A üggvésoro gor péláj htvásor: H v ol R vlós szám hog = R-re htvásor overges or overges me ol -re melre R Az le R-e első htárát sor overgecsugrá evezzü Fotos tétel hog ( R +R) tervllumb sor egeletese és bszolút overges Ee belátásához bból ulu hog z R R sor overges tehát z R létez ol M szám hog sorozt -hoz trt Eor sorozt orlátos vgs R M me -r vgs R -re írhtju: R M Mq R R ( q < ) 37

38 A htvásor részösszege eszert elülről orlátos: m m m m q Mq Mq Mq q q H -et elegeőe gr válsztju ezt tetszőlegese csvé tehetjü íg Cuch-éle overgecrtérum lpjá z () sor bszolút overges Az egeletes overgec belátásához gelembe vesszü hog m m R H -t ol gr válsztju hog m R lege mor m or le -re s teljesül me ol -re melre R Láthtó hog üggetle -től Potos ezt jelet z egeletes overgec H eg üggvé árhászor erecálhtó or htvásorb lehet ejte: hol!! üggvé -e erváltj z = hele A ull ervált ( = ) mgát üggvét jelet Ezt sort üggvé = örül lorsorá evezzü Az = hel helett válszthtu eg más értéet s mel örül üggvét szté sorb ejthetjü:!! H ezt vlmle [ b] tervllumb eső -ere meg lehet csál or zt moju hog üggvé ebbe z tervllumb ltus Néhá smert üggvé lor-sor = örül: e! s! 3! 3 5 5! 38

39 cos!! 4! 4 E soro overgecsugr végtele A övetező htvásor cs < < tervllumb overgál: Ee tegrálj l 3 3 sor A ejezetbe láttu hog = -re verges e = -re overges hsze l ( ) 3 l A záb és techáb számos egéb üggvésorrl tlálozhtu meleről ésőbb lesz szó Ile lesz pélául Fourer-sor 39

40 Homogé leárs üggvée jtá A üggvéee ég típusát ülöböztetjü meg szert hog mle jt meség mg üggvé () és üggetle változó (): mettő lehet vetor vg slár Eg slár-slár üggvéeel oglloztu: = () melebe m m slár A vetor-slár üggvée jellegzetes péláj tömegpot mozgását leíró r = r(t) üggvé: tömegpot t őpotb z r(t) helvetorrl jellemzett hele v H vetort z ( z) erészögű oorátál ju meg or tt három slár-slár üggvé egütteséről v szó: r t t t z t 3 A slár-vetor üggvée üggetle változój z r helvetor: r H z r vetort smét z ( z) erészögű oorátál ju meg or tt eg há- z romváltozós üggvéről v szó: 4 A vetor-vetor üggvée esetébe mét változó vetor: r H mét vetort erészögű oorátál ju meg or tt három slár-vetor üggvé lletve háromváltozós üggvé egütteséről v szó: 3 r r r 3 z z z A 4 eseteet vetorlízs eretébe ogju tárgl Megjegezzü hog tárglás lehetséges erészögű oorátá szert ábrázolás élül teljes áltláosságb s e z egszerűség evéért megtrtju et jelöléseet A et üggvétípuso otos specáls esete homogé leárs üggvée mele tetszőleges típusú üggvé esetébe elégít z b b lú üggvéegeletet z és b egütthtó lletve z és változó tetszőleges értée mellett A et ég esetbe eze övetező lú üggvéeet jelet: Slár-slár üggvée esetébe ez z = üggvé hol tetszőleges álló A vetor-slár üggvée esetébe lóg lot pu: r = vt vgs z egees volú mozgást álló v sebességgel 3 A slár-vetor üggvée esetébe ez slárszorzt: r hol tetszőleges álló vetor A első e vetor trszpoáltját jelet (Lás ejezetbe) 4 A vetor-vetor üggvée esetébe ez tezor: Ar hol A eg mátr 4

41 A gorlt llmzásob 3 és 4 esete legotosbb Mvel vetorot s tethetjü mátro ét esetet mátrelmélet eretébe tárglju H z A mátr sorvetort rere - - és 3 -vel jelöljü vetor-vetor üggvét íg bothtju ompoesere: 3 r 3 3 3r r z z z Az l meségeet z A mátr elemee evezzü: l = 3) A olgot áltláosítv z 3 m 3 m m A 3 m A l l ( = 3; tábláztot mátro evezzü H szüséges eltütetjü soro és oszlopo számát: A m Az ott esetbe m-es mátrról beszélü Az elemű sor- és oszlopvetorot -es lletve -es mátro s tethetjü Az lábbb mátrol pcsoltos legotosbb tételeet smertetjü Előbb zob megjegezzü hog et üggvée em zoos etebe szereplő vetoros-mátros reprezetácójul Pélául tezor em zoosíthtó mátrávl A tezor mt vetor-vetor üggvé oorát-reszertől üggetleül s tárglhtó sőt számos tételt oorát-reszer megás élül s lehet mo ovábbá tezort reprezetáló mátr ügg válsztott oorátreszertől A et üggvétípuso ez z áltláos tárglás zob túlmutt ee z előás erete ezért meg ell elégeü megott mátros tárglássl 4

42 Mátro Deícó A mátrot ugúg meségee tetjü mt slárot vg vetorot melere votozó smerjü művelete (összeás szorzás stb) szbált A vetor-vetor üggvé eícójából övetez hog eg mátr és eg vetor szorzt smét vetor: A mt övetezőéppe íru át ompoesere: m l l l = Nlvávló hog ez cs or llmzhtó h mátr potos oszlop v mt há eleme -e elemee szám meg og egez mátr sor számávl A eícóból öveteze övetező művelet szbálo: A mátrot úg szorozzu meg eg c slárrl hog me elemét megszorozzu Az A és B mátro összegée és ülöbségée z eleme z eges mátro elemee összege lletve ülöbsége: h C = A B or C l cl l bl = és l = m Az összeás (voás) cs or végezhető el h ét mátr mérete (sor és oszlop szám) megegez Két mátr szorztát úg eálju hog szorzt ugrr z eremére vezesse mt z eges mátro egmás utá vló llmzás H tehát C = AB és z = C or z = A hol = B egü el hog A mérete p B-é peg p m A eícóból egszerűe le lehet vezet hog szorztmátr elemet c p b l j jl j = és l = m éplet j meg Vegü észre hog szorzás cs or végezhető el h z első téezőe potos oszlop v mt há sor máso A végeremébe pott C mátr mérete m lesz Két mátr szorzt számos ol sjátosságot mutt mele em jöe szób sláro szorztár votozó H A és B ebbe sorrebe összeszorozhtó orított sorrebe cs or lehet őet összeszoroz h mérete ezt lehetővé tesz: et jelöléseel ehhez teljesüle ell z = m eltétele Eor sem bztos zob hog elcserélt szorzt egelő lesz z ereet sorrebe pott szorzttl A érés természetese cs égzetes mátro esetébe merül el e áltláb eor s előorulht hog AB BA H ét égzetes mátrr AB = BA or zt moju hog ét mátr elcserélhető 4

43 Külö szót éremel vetoro szorzt H és b elemee szám zoos () or épezhetjü slárszorztut: b b H ezeet mátro tetjü or méretü övetező: A és b B A ete szert AB szorztu -es mátr vgs slár Forított sorrebe szorzt C b mátr mele mérete Ez or s értelmezhető mor b elemee m szám -től ülöböző (Persze eor már em értelmezhető slárszorztu) Eor C mérete m Az le szorztot us szorzto vg cs egszerűe áo evezzü lálozhtu z b jelöléssel s 6 A us szorzt eleme övetező: c b = és l = m l l A trszpoálás művelete cs mátro esetébe merül el Már llmztu vetoro esetébe: z oszlopvetorból sorvetort épeztü ez volt z vetor mele smételt trszpoálásávl vsszpju z ereet vetort Ezt áltláosíthtju mátror s: z m méretű A mátr A trszpoáltját z ee elcserélésével pju mel eor m méretű lesz: A A l l l H mátr em égzetes vgáz ell mel ollról szorozhtju meg eg vetorrl vg mátrszl Pélául z előbb b vetor m-elemű tehát cs jobbról szorozhtju meg vele z m méretű A mátrot: c Ab ompoese szert: c b m l l l = Blról cs A trszpoáltját szorozhtju meg e zt s cs b trszpoáltjávl me ereméeét c trszpoáltj ó: c = b A hsze m m c c lbl bl A l b A l l Látju hog z Ab szorzt trszpoáltját téező trszpoáltjá szorzt j e téező orított sorrejébe Ez emcs eg mátr és eg vetor szorztár hem áltláb tetszőleges ét mátrér s gz: AB B A Ee belátásár elírju bl oll ( l) elemét: 6 Az lábbb ezt jelölést lehetőség szert erüljü bár éh elerülhetetle hszáltu 43

44 AB AB ljb j B j A jl B A l l l j Mátr etermás és verze l A mátrol pcsoltb lpvető érés leárs egeletreszere megolás mele vetoros lj A b Itt z smeretlee vetor b peg smert vetor Feltesszü hog A -es tehát égzetes mátr H tlálu ol mátrot mellel A-t megszorozv z E egségmátrot pju or z egeletreszert egszerű mátrszorzássl olhtju meg Ezt mátrot A -gel jelöljü és mátr verzée evezzü: AA A A E H z verzzel blról beszorozzu z egeletreszert z A b megolást pju H le mátr em létez A-t szgulárs evezzü és leor z egeletreszer mt lát ogju vg em olhtó meg vg végtele so megolás v Az elmoott eltételee meghtározásához szüség v mátr etermásár: et A 3 m 3 m m 3 m A etermás! számú tg összege mele megét övetezőéppe pju meg: meg sorból és oszlopból veszü eg elemet ezeet összeszorozzu és elletétes előjellel vesszü h z első ee szert sorb reezve máso e értée z { } pártl permutácóját já 7 H g gorltb örülmées lee etermásot e szert eícó szert számít ezért ább ejtés tételt llmzzu mel övetezőéppe hgz: Az l elemhez trtozó letermás evezzü zt z A l etermást melet úg pu hog eta-ból - sort és z l-e oszlopot elhgju Eor tetszőleges (szób jövő) értéére eáll: et A l l A l l Szób ezt úg ejezzü hog etermást ejtjü - sor szert A etermás bármel oszlop szert s ejthető 7 Eg permutácót páros vg pártl evezü szert hog z ereet sorreből z elemee páros lletve pártl számú elcserélésével állthtó elő 44

45 Ezzel tehát etermás számítását lcsobb reű etermáso számításár lehet vsszvezet mvel gr tuju szüséges szorzáso számát csöete A tételbe szereplő ( ) +l téező stáblszerűe változó előjeleet jelet: H ezeet beolvsztju A l -be or előjeles letermásról beszélü Az ezeből lotott mátrot z A mátr jugáltjá evezzü: ja l l A l Vegü észre hog jobb ollo elcserélőte és l ee Eg -es etermást z ereet eícó lpjá zol elírhtu: Eg 3 3-s etermás számítását legegszerűbb ejtés tétel lpjá -es etermásor vsszvezet Az lább péláb máso sor szert ejtjü : Fgeljü meg stáblszbál llmzását A ejtés tétel lpjá egszerűe beláthtju z lább tételeet A etermás értée zérus h ét sor vg ét oszlop egelő egmássl -es etermásor ez lvávló: egü el ezutá hog eg 3 3-s etermásb z első és máso sor zoos Eor ejtjü hrm sor szert: mvel mhárom -es etermás eltű Mgsbb reű etermásor ezt teljes ucóvl vhetjü tovább 45

46 H eg etermás ét sorát vg oszlopát elcseréljü etermás előjele z elletettjére változ -es etermásor ez lvávló: Mgsbb reű etermásr ugúg vhetjü ezt tovább mt z tételbe 3 H eg etermás vlmel sorát vg oszlopát összeg ljáb írju el or etermás eze szert ét etermás összegére bohtó Pélául hrm oszlopr votozó: b 3 b b b m 3 m m 3 m m m 3m m b 3 m b 3 m b m b 3 m Ez beláthtó h mhárom etermást hrm oszlop szert ejtjü 4 Eg etermást úg szorzu meg eg állóvl hog vlmel sorát vg oszlopát véggszorozzu vele Ez ejtés tétel egees övetezmée 5 Eg etermás értée em változ h eg sorához hozzáju eg más sorá vlhászorosát Hsoló tétel érvées z oszlopor s Az állítás egszerűe övetez z 3 és 4 tételből 6 A etermás értée zérus h eg soráb vg oszlopáb csup zérus áll A etermást szert sor lletve oszlop szert ejtve me tg trváls zérus ó 7 Eg etermás értée em változ h őátlójár türözzü (vgs trszpoálju) A bzoítást mellőzzü A tételből övetez hog et A et A 8 Eg etermás értée or és cs or zérus h sor (vg oszlop) em leárs üggetlee (vgs leárs összeüggő) Az állítást eg pélávl llusztrálju Az lább etermást z első oszlop szert ejtjü : 46

47 Ezutá z első oszlop helébe írju máso oszlopot Eor etermás z tétel értelmébe zérus Az íg pott etermást szté z első oszlop szert ejtjü : Végül hrm oszlopot írju z első oszlop helébe mj z íg pott etermást ejtjü z első oszlop szert: Azt ptu tehát hog mátr három sor em leárs üggetle: vgs z eg oszlop ejezhető más ettővel: Ebbe péláb zt tláltu hog léteze ol em zoos zérus c l egütthtó meleel mátr l sorvetor özött eáll 3 c l l l összeüggés A et péláb c 99 c 3 c3 4 Hsoló eremét pu mátr oszlopr h sorol végzett et műveleteet z oszlopol s elvégezzü Az előbbe mtájár beláthtju hog ez áltláb s gz h eta = : léteze ol c l és l egütthtó hog l l l 33 c és A most moott tétel övetezmée hog m soro m z oszlopo leárs üggetlee h eta A tétel megorítás egszerű: h z első sorból voju máso sor /33-szorosát és hrm sor 4/33-szorosát z első csup zérus lesz vgs etermás eltű (vö 6 tétel) 9 Két égzetes mátr szorztá etermás ét etermás szorzt: et AB et A et B A bzoítást mellőzzü l l l

48 A mátr verzét z A ja et A éplet j h eta 8 H eta = mátr szgulárs vgs z verze em létez A bzoítást elhgju Szorzt verzét övetezőéppe pju: AB B A Vlób: ABB A AA E Leárs egeletreszer megolás Az A b leárs egeletreszer megolásá mószeret övetező élévbe tulju Itt cs megolhtóság eltételet tárglju Az egeletreszert homogée moju mor b = H mátr létez z verze or ebbe z esetbe megolás A Ezt evezzü homogé egeletreszer trváls megolásá Ettől eltérő emtrváls megolás cs or létezhet mor z verz em létez vgs eta = Mgráztéppe tetsü et elemzett mátrot: A melről beláttu hog etermás eltű Azt s láttu hog z első sor ejezhető máso és hrm sor leárs ombácójét Az egeletreszer szempotjából ez zt jelet hog h máso egeletet elosztju 33-ml hrm egeletet megszorozzu 4/33-ml mj pott egeleteet voju z elsőből homogé egelet esetébe = -t pu vgs z első egeletet el lehet hg A mró máso és hrm egelet ét egelet három smeretlere tehát z eg smeretlet szbo lehet megválszt és mró ét egeletet meg tuju ol mró ét smeretlere Lege válsztott z első smeretle: Ez persze em jelet zt hog z verzet gorltb eszert számítju s Erre ugs jóvl htéobb umerus mószere léteze 48

49 4 Ee z egeletreszere mátr z A mátr A lmátr 7 mele etermás 99 (vgs em tű el) tehát mré egeletreszer tetszőleges értée mellett megolhtó Végeremébe zt ptu hog eg homogé egeletreszere vg egáltlá cs em-trváls megolás vg végtele so v mt etebb jeleztü Ezutá z homogé egeletreszereet s tetjü Az előbb pél olttásét ét egeletreszert s vzsgálu: Mét egeletreszerbe máso és hrm egeletet beszorozzu /33- ml lletve 4/33-ml mj ezeet levoju z elsőből A bloll egeletreszer esetébe = -t jobbolléb peg = 9/ ó Az utóbb lvá épteleség tehát jobboll egeletreszere cs megolás A bloll esetébe vszot z első egeletet elhghtju és más ettőt átreezhetjü: mt tetszőleges értée mellett megolhtu Bár cs övetező élévbe ogllozu megolás mószerevel teljesség evéért megju megolást: A most részletezett számpélát egszerűe áltláosíthtju A 8 tételből övetez hog eg szgulárs mátr sor leárs összeüggő tehát mátr v ol sor mel előállíthtó több sor leárs ombácójét egü el hog ez z első sor Eor ez eáll megelelő egeletre s: több egeletet llms egütthtól megszorozv és összev z első egeletet elő tuju állít Más szóvl: z első egelet elesleges Mr tehát ( ) egelet smeretlere íg z eg smeretle értéét tetszőlegese meg lehet válszt Lege ez H z A letemás -tól ülöböz or ez z ( ) egelet több smeretlere votozó már megolhtó H A = or eg tovább smeretlet s tehát összese már ét smeretlet s szbo válszthtu meg és több smeretlet megphtju h A -e v eg el em tűő letermás H cs le or ezt tovább oltthtju míg em tlálu eg el em tűő letermást Végeremébe tehát homogé egelete vg egáltlá cs em-trváls megolás vg végtele so v Az homogé egeletreszer egetle megolás A b h eta Elleező esetbe vg egáltlá cs megolás vg végtele so v A homogé esethez épest zob v eg léeges ülöbség Legee mátr sorvetor z l vetoro (l = ) Amor eta = léteze ol c egütthtó mele özött v zérustól ülöböző és meleel 49

50 l l l c lletve vetorlb c A Az egeletreszer megolhtóságá lvávló eltétele hog b vetor ompoesere s eálljo eg hsoló összeüggés: c lletve vetorlb c b l b l l Ez beláthtó h z A b vetoregeletet blról c -vel beszorozzu H b-vel vló slárszorzt em tű el or z homogé egeletreszere cs megolás H vszot elégít or végtele so megolás v Sjátértée sjátvetoro Eg tetszőleges égzetes A mátr jobb és bl oll sjátvetort z Au u lletve v A v egeleteel eálju A sjátérté-egeletet átírhtju z A E u lletve v A E homogé egeletreszer ljáb vgs sjátértée E et A P rtersztus egelet megolás H z A mátr -es ejtés tétel lpjá beláthtó hog P () -eoú polom mele íg göe v Bzoíthtó Hmlto-Cle tétel: P A H rtersztus egelete me göe egszeres P () leglcsobb oszámú polom melbe z A mátrot helettesítve mátr ó Amor zob polom göe özött v többszöröse s létezhet lcsobb oszámú polom s melre ugez érvées etsü z j(a E) jugált mátrot Meg eleme - legeljebb ( )-eoú polomj H P ()-t elosztju leggobb özös osztójul or () mmálpolomot pju (A ejtés tételből övetez hog z jugált mátr elemee me özös osztój rtersztus polom s osztój) Ez leglcsobb oszámú polom melbe A-t helettesítve -t pu: A () gr megegez P () rtersztus polomml A eícóból övetez hog mmálpolom és rtersztus polom göe zoos legeljebb multplctásu lehet ülöböző A ülöböző sjátértéehez trtozó sjátvetoro egmásr merőlegese (ortogoáls) Lege ugs és írju el megelelő sjátértéegeleteet: Au u 5

51 lletve v A v Az előbbt blról megszorozzu v -vel z utóbbt peg jobbról u -gel végül pott egeleteet egmásból voju: v Au v Au v u Kuló eltevésü szert zárójelbe szereplő ülöbség zérustól ülöböző íg v u H sjátértée mege egszeres or ez tetszőleges ét sjátvetorpárr érvées Ezt úg moju hog eze bortogoáls vetorreszert lot Az zoos sjátértéhez trtozó sjátvetorpár esetébe ez slárszorzt tetszőleges hsze sjátvetoro ormálás s tetszőleges Ol ormálást szoás válszt mel szert slárszorzt értée Az elmoottt övetezőéppe ogllhtju össze egetle egeletbe: l l v u Az le tuljoságú vetorreszereet bortoomált vetorreszeree evezzü Amor z A mátr szmmetrus bl és jobb oll sjátvetoro egmás trszpoáltj vgs v u me -r Ebbe z esetbe egszerűe cs ortoormált vetorreszerről beszélü: l l u u Külö vzsgáló z z eset melbe v többszörös sjátértée s Ee áltláos tárglásától zob el ell teteü Az A mátr szerezetére votozó sot elmo mmálpolom Gr llmzzu övetező tételt: H mmálpolom me göe egszeres z A mátr golzálhtó: hol A v v g u u u U V V U UV E v U oszlop jobb oll V sor peg bl oll sjátvetoro A mátr le lú előállítását spetrálelbotás evezzü V esete mor em szüséges mmálpolom göet vzsgál ugs bzoíthtó övetező tétel: 3 H eg mátr elcserélhető z jugáltjávl or z golzálhtó 5

52 Ilee szmmetrus mátro: A = A Eor V = U hol U utér mátr: verze megegez trszpoáltjávl vgs U = U A sjátértéeel pcsoltb még eg tételre lesz szüségü mel szert első orlátot phtu sjátértée bszolút értéére: 4 H z A mátr ( j) eleme j or v ol melre meg sjátérté esetébe eáll hog j j Írju el sjátértéhez trtozó sjátérté-egeletet ( = ): j u j j u Lege z z e melre u bszolút értée leggobb Az erre votozó egeletet elosztju u -vel mj vesszü mét oll bszolút értéét: u j j j j j u j u j mt tétel állítj A mátr rgj u j A mátr otos tuljoság rgj mele több egmássl egeértéű eícój v: () A mátr rgj h legeljebb leárs üggetle ár bothtó Létez eg lgortmus mel szert bármel mátr egértelműe elbothtó leárs üggetle us szorzto összegére: A hol A leárs üggetleség zt jelet hog és b egelősége cs úg állht e hog z lletve b egütthtó me - re eltűe () A mátr rgj -tól ülöböző sjátértée szám A spetrálelbotásból övetez hog A u v 5

53 H cs zérustól ülöböző sjátértéeet vesszü or eg us elbotást pu H bb áo számát -vl jelöljü bzoíthtó hog z megegez z () eícób szereplő -vl (3) A mátr rgj h v el em tűő -reű letermás e me mgsbb reű letemás zérus A bzoításától s eltetü hog eze egmássl evvlese Megjegezzü hog z utóbb eícót rtá hszálju ebbe jegzetbe Az elmoottt orább már vzsgált mátr pélájávl llusztrálju Közvetleül elleőrzhetjü hog övetező ét á összegére bothtju: 3 A m zt jelet hog mátr rgj Ugez övetez (3) eícóból: etermás eltű e z A letermás zérustól ülöböz Beejezésül megvzsgálju sjátértéeet A mátr rtersztus polomj P Látsz hog ee eg göe λ = más ettő zérustól ülöböz A () eícó szert tehát rg Mvel λ és λ 3 göö omple számo meleel örülmées tovább számol ezt pélát em elemezzü tovább A rgszámml pcsoltb gr llmzzu övetező tételt: 5 Szorzás révé rg em övelhető Azt ell belátu hog bármel ét mátrr rg AB rga és rgab rgb Szorozzu be jobbról et us elbotás mét ollát B-vel: AB B z hol z B ( = ) H eze vetoro leárs üggetlee or z AB szorztmátr rgj mrt H zob leárs összeüggő or z utolsó összegbe leárs üggetle áo szám -ál sebb íg AB rgj s sebb mt A-é Ezt állítj tétel Hsoló láthtju be tétel máso állítását s A mátro rgjávl pcsoltb hozhtó vrtus ormá meleet övetezőéppe eálu Lege A szmmetrus vlós elemű mátr Az A = j j j összeget vrtus ormá evezzü Allmzzu spetrálelbotást: 53

54 hol A = U g U z z U Szmmetrus vlós elemű mátro sjátértée vlós 9 Ee belátás egszerű Lege sjátérté-egelet Au u Vesszü mét oll trszpoáltját és omple ojugáltját: u A u Az előbbt beszorozzu blról u - vel z utóbbt jobbról u-vl mj ét eremét egmásból voju: u u u Au u A u A bloll zért zérus mert mátr szmmetrus A jobbollo slárszorzt poztív tehát sjátérté megegez omple ojugáltjávl vgs vlós Ee gelembevételével értelmezhető övetező eícó: () A szmmetrus vlós elemű A mátrot poztív ete evezzü h me sjátértée poztív ( > ) Ebbe z esetbe vrtus l me emzérus vetor esetébe poztív () A szmmetrus vlós elemű A mátrot poztív szemete evezzü h me sjátértée em-egtív ( ) Ebbe z esetbe vrtus l me em-zérus vetor esetébe poztív vg zérus (3) A szmmetrus vlós elemű A mátrot ete evezzü h sjátértée ülöböző előjelűe Ebbe z esetbe vrtus l egrát elvehet poztív egtív és zérus értéet Alóg móo eálhtó egtív et és egtív szemet mátr oglm s Az () eícóból övetez hog poztív és egtív et mátro rgj megegez mátr rejével Poztív et és poztív szemet mátro esetébe áltláosíthtju vlós számo örébe smert gövoás műveletét Erre votoz övetező tétel: 6 etszőleges szmmetrus vlós elemű poztív et vg poztív szemet A mátrhoz tlálhtó ol vlós elemű H mátr melre A = H H Bzoítás gát elíru eg le H mátrot: H u u u U g Egszerűe beláthtju hog ez megelel tétel íválm Megjegezzü hog H mátr előállításához em eltétleül szüséges z A mátr spetrálelbotását elvégez mert v gorsbb lgortmuso s (Ile 9 Az ézett tétel potosbb úg hgz hog hermtus mátro sjátértée vlós Hermtus mátr: megegez omple ojugáltjá trszpoáltjávl A omple számol ejezetbe ogllozu A elülvoás omple ojugálást jelet 54

55 Housholer-lgortmus) Meesetre éremes megjegez hog áltláb számú H mátr tlálhtó Mátrüggvée A erecálegelete megolásáb előorul hog eg ltus üggvé rgumetumá helére eg mátrot helettesítü pélául vesszü szuszát vg tevőbe tesszü Lege tehát () ltus üggvé és érezzü: értelmezhető-e egáltlá z (A) mátrüggvé és h ge or hog? Írju el üggvé lor-sorát: m m m lm lm S Mvel S m () polom me tovább élül értelmezhetjü z S m (A) mátrot H meg elemée létez htárértée or z utóbbból épzett mátrot tetjü (A)-: lm m lm A S A A A m m m Be lehet bzoít hog ez htárérté létez h mátr meg sjátértée sebb mt lor-sor overgecsugr A bzoítás messze vezete áltláosságb e egszerű or mor z A mátr golzálhtó: A Eor ugs A Ug U Ug U 3 Ug 3 m U Ug g U Ug U A Ug U ; teljes ucóvl: tehát A Ug U A Ug U S m S m S m () or overgál ()-hoz h R (R lor-sor overgecsugr) Végeremébe tehát zt ptu hog A lm Ug S U Ug U m m Az áltláos esetbe s levezethető megelelő éplete e eze sol boolultbb és eg sor tovább tétel smeretét géelé Ezért elhgju őet Egetle eremét mégs ézü: Hmlto-Cle tétel öveteztébe (A) számítás eg legeljebb ( )-eoú mátrpolom számítását gél Osszu el ugs z S m () részletösszeget rtersztus polomml: S g P s m m m H e helére behelettesítjü z A mátrot jobb oll első tgj zérust Hmlto-Cle tétel értelmébe: 55

56 A A A A A S g P s s m m m m A eícó szert S m (A) htárértée (A) tehát ugez érvées s m (A)-r s Képletbe: A A A lm s s m m A moott értelmébe s() legeljebb eg ( )-eoú polom H et gooltmeetet P () rtersztus polom helett () mmálpolomr llmzzu or s() még lcsobb oszámú ó mor P A retorz számításob gr orul elő övetező specáls eset Képez ell z 3 E A A A lm A S A S A ú Neum-sort Ez z üggvé lor-soráb vló behelettesítést jelet mel or overges h Ez rr utl hog h Neum sor overges or összege et E A Ezt özvetleül s belátju: AS A A A E A E H mátr me sjátértée (bszolút értébe) -él sebb mátr ( + )- e htvá zérushoz trt tehát z S (A) részletösszeg vlób Pél A eteet z 7 5 A E A A -hoz trt mátr pélájá llusztrálju Krtersztus polomját z első oszlop szert vló ejtéssel számítju : A E A pott polom három vlós göe v: = = és 3 = 4 mt erről özvetle behelettesítéssel meggőzőhetü Mvel meg gö egszeres tétel szert mátr golzálhtó Ee éreébe számítju jobb- és Máso- és hrmoú polomo göere v megoló éplet Mgsbb oú polomo esetébe zob vételes esetetől eltetve umerus mószerere vgu utlv meleel máso élévbe ogllozu 56