ANALÍZIS II. Előadást követő vázlatok

Átírás

1 ANALÍZIS II. Elődást övető vázlt

2 Derecálszámítás A dervált (derecálháyds Deícó: : R és. Az üvéy derválhtó (derecálhtó z pt h létez ( lm ( ( ( -ll jelölt vées htárérté. Ezt z ( -l jelölt htárétéet z ptel derváltjá (derecálháydsá evezzü. Hszálts mé z ( d d dy ( ; / ; / ; y ( ; / jelölése. d d d H (-e élldl htárértéet tetü r élldl dervált lmáhz jutu. Jelölése ( ll. ( (lldl ll. jldl dervált T: derválhtó - h tt létez mdétldl élldl dervált és eze meeyeze. Deícó: H : R üvéy z mde ptjá derválhtó r zt mdju hy derválhtó -. Er ( szert dtt : R üvéy melyet dervált üvéyée evezzü. Gemetr jeletés (árát lásd z elődás ( ( lm ( ( Más jelölés: lm h ( h ( h derecháyds tα derecálháyds A derecháydsr yr ( ll. y jelölést s hszálju.

3 A derválhtósá és lytssá pcslt T: H z : R üvéy derválhtó z pt r lyts -. Bzyítdó: lm ( ( z ( ( ( ( ( ( lm ( lm A tétel merdítás em z. Pl.: ( lm ( ( ( ( ( lm lm( lyts z helye de em derválhtó helye. lm lm lm lm A derválhtósá és művelete T: H : R üvéye derválhtó z pt r z F ± F c ( c R c F és d ( eseté F s derválhtó - és F ( ( ± ( F ( c ( c F ( ( ( ( ( d F ( ( ( ( ( (

4 3 Bzyítás: ház eldt ház eldt c ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( lm lm lm lm F F Uys eseté ( ( lytssá mtt. d ( ( ( ( ( ( F F lm lm ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( lm ( ( ( ( ( ( ( ( lm ( ( ( ( ( uys lytssá mtt eseté ( (. Az összetett üvéy derváltj T: R d c d c / > < > > < < : és :! (Lác-szály H üvéy derválhtó < > - és üvéy derválhtó > < d c ( - r F s derválhtó - és ( ( ( ( F Bz: ( ( ( ( ( ( F F lm lm ( ( ( ( ( ( ( ( lm ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( lm lm uys eseté lytssá mtt ( (.

5 Az verz üvéy derváltj T: H : < > R/ szrú mt lyts üvéy < > - és < > -e ( r s derválhtó ( ( ( ( r - és * H z pt ( -. B: Mvel szrú mt és lyts ezért s szrú mt és lyts. ( ( ( ( lm lm ( ( ( ( y ( ( ( em derváltó z ( Uys ( ( r ( ( ( ( * Bzyítás: Idret: Teyü el hy ( ( ( ( ( ( m elletmd ( - derválhtó r derváltj z helye z összetett üvéy derváltj szert. -. Mejeyzés: terjeszthető tetszőlees tt trtlmzó összere. c téyezős szrzt eseté ( 4

6 Az elem üvéye derváltj z pt z pt. c ( c R. 3. ( ℵ 4. α ( α R α α s cs 7. cs s 8. t 9. ct. rcs. rccs cs s. rc t 3. rc ct 4. e 5. ( R 6. l 7. l ( R 8. l e l l 5

7 Bzyítás: trváls lm. 3 -re z Tételezzü el hy c ( ( ( s cs s s 6 lm lm s lm cs cs π 7 cs s ( cs π s cs π s s cs cs s s 8 ( t cs cs cs cs s s cs cs 9 ( ct s s s! y rcs ( rcs ( s y cs y cs rcs ( rccs s y s r cs ( r ct cs y cs rc t ( t y 3 ( r ct s y( s rc t s y l l l 6 lm lm lm l 6

8 lm l 7 ( l l lm l l l lm l l e 5 y l y y ( l y 4 ( e e l e e 4 e y l α α l α α l α ( e α α 5! α 8.! > l l ( l! < l l ( ( ( ( l sh ch ch sh th ch cth sh 9. (. (. (. ( y l l 7

9 Lrtmus derválás! y l y y e ( ( ( l ( ( l ( ( l ( y e ( l ( ( ( ( Msredü dervált D:! :< > R/ és < > és tetsü z üvéy derváltüéyét. H derválhtó - zz létez ( ( lm ( vées htárérté r ezt z -el másd derváltjá evezzü. d ( d Jelölje: ( y ( d d Hsló lehet deál -d derváltt s lm ( ( ( ( ( ( Derválhtó üvéye tuljdsá A szélsőértészámítás lptétele T(Fermt:! :< > R/ és (. H derválhtó - és z láls szélsőértéhelye r (. B:! láls m. hely zz V ( úy hy V ( eseté ( ( ( ( ( ( lm ( Mvel ezért ( ( ( ( ( lm ( ezért ( Mvel derválhtó - ezért ( ( ( (. Mejeyzés: Gemetrl zt jelet hy szélsőérté helye üvéy öréhez húzhtó értő párhuzms z teellyel. H z tervllum véptj r tt s lehet szélsőérté h dervált. A tétel merdítás em z. derváltj helye de e / szélsőértée. Pl: ( 3 8

10 Itervllum mt üvéy T:! :< > R/ és derválhtó < >. H mt övevő (csöeő < > r ( ( ( < >. Bzyítás:! mt övevő és < > tetszőlees. h < ( < ( ( ( és íy ( ( ( lm < h ( < ( ( ( és íy ( ( ( lm c derválhtósá mtt ( ( ( A derecálszámítás özépértététele T: (Rlle-tétel! : [ ] R/. H lyts [ ] derválhtó ( - és 3 ( ( r ξ ( hy ( ξ. B: lyts [ ] - elvesz mmumát mmumát [ ] -e. H mmumát vy mmumát z tervllum ey első ptjá ξ vesz el ( ξ. mtt mmumt és mmumt vépt vesz el r ( ( sts [ ] -. Ksts üvéy derváltj ped ármely pt. Gemetr jeletése: V lelá ey ly hely z ( -e hl üvéyhez húzhtó értő párhuzms z teellyel. (A tétel lelá ey lye ζ hely létezését mdj de lehet vétele s s. T: (Lre-tétel! : [ ] R/. H lyts [ ] - derválhtó ( ( ( ( ξ - r ξ ( hy 9

11 Bzyítás: ( (! F( ( ( ( F teljesít Rlle-tétel eltételet trváls F ( F( ezért ξ ( F( ξ. ( ( ( ( ( ( ( ( F F ξ ξ. Gemetr jeletés: lelá ey ly ξ hely hl üvéy öréhez muttó értő párhuzms húrrl. Cuchy-tétel: H z [ ] - értelmezett és üvéye teljesít Lrue-tétel eltételet és ( ( és ( -re ( r ξ ( melyre ( ξ ( (. ( ξ ( ( Bzyítás: F( ( ( ( ( (! ( ( ( (. Mesmételhető Lrue tételél mdtt. Mejeyzés: láthtó hy ( eseté Lrue-tételt pju. tváá Dru-tétel: H z :[ ] R üvéy derválhtó [ ] - és ( ( c R ly hy ( c ( s s er ξ ( ( ξ c. Bzyítás:! ( ( pl. ( és (. Memuttju hy ( ξ ξ hy (. Az lyts [ ] - ξ [ ] hl elvesz mmumát (ll. mmumát. Mvel ( ezért ( zz h ( ( hsló ( ( zz h ( (. Tehát mmumát em - ll. -e vesz el hem z [ ] ey első ξ ptjá. ξ (Fermt-tétel. Er (! c R ( c ( és te F( ( c üvéyt. ( F ( ξ ( F ( ( ξ c F ξ.

12 A dervált üvéy szdás helye Tétel: H z üvéye z jldl öryezetée ( derváltj és ( lm j z Bzyítás: Lree-tétel értelmée ( ( Mvel ( j helye j ( és ( ( ξ hl ξ ( lm htárérté ezért ( lm ( ( j lm. lm ξ j j u ξ Mejeyzés: hsló lehet zl lldl htárérté és dervált eseté s. Köv.: H z üvéye z ( helyé létez derváltj dervált üvéye em lehete elsőjú szdás vée. Bzyítás: lm ( lm ( zt jelet hy ( /.

13 A derecálszámítás özépértétételee éháy övetezméye Rlle-tételéől: ( ( eltétellel zt pju hy derválhtó üvéy ét zérushelye özött v z -e zérushelye. Eől övetez hy z ét eymást övető zérushelye özött -e leelje ey zérushelye v. (H uys ettő lee r z előe szert -e eze özött lee zérushelye zz ét zérushely em eymást övető. (Ez ts szerepet játsz z ler eyelete elméletée. Vlós yöö szétválsztás. Lre-tételéől. T: H lyts [ ] és derváló ( tváá ( ( -re ( c Bzyítás:! ( ( ( r ξ ( ( ξ zz ( (.. T: H :[ ] R lyts [ ] - és derválhtó ( ( ( ( -re r ( ( c Bzyítás:!.. h h ( ( ( h( C 3. T:! :[ ] R lyts [ ] - és derválhtó ( (csöeő [ ] - h ( ( (. Szüséessé. Bzyítás: H mt övevő ( (! ( (! lm lm ( ( ( (. A derválhtósá mtt ( ( ( tváá - mt övevő zz ( zz ( h (. ( (! ( ξ ( (

14 T: L Hsptl szály:! :[ ] R és ( ( (. H V ( δ úyhy és derválhtó V ( δ - és ( ( V ( δ \{ } r meye ( ( -e htárérté r ( ( lm lm. s htárérté - és Bzyítás: Teyü el hy tétel eltétele z vlmely lldl ( δ ; ] öryezetée teljesüle. Mvel ( ( δ -r ( δ ; hy z és üvéyere z [ ]- teljesüle Cuchy-éle özépérté tétel eltétele íy ( ( ξ ( ξ r h lm ( ( ( ( ( ( ξ ( ξ ( ξ ξ lm ( ( lm ( (. ( ( J ldl öryezetre hsló lehet zl. ξ melyre Mejeyzés:. Félldl htárérté eseté élldl öryezetée ell teljesül eltételee.. L Hsptl szályt töször eymásutá lehet llmz. 3. A tétel állítás r s z mrd h ( ( helyett. lm ( ll. lm ( ll. lm ( lm ( teljesül. Mejeyzés:. H -e / htárérté / -e scs. s s cs lm lm s cs s / helyese lm s 3

15 . A L Hsptál-szály ± lú htárérté eseté s llmzhtó például lm s s ( l ( s l l lm l ( lm s l lm s s s lm lm cs ( e lm s cs Deícó: Az üvéy z ( és eseté ( ( deál csöeőre. pt övevőe hld át (övevő h ( és T: H ( - derválhtó és ( Bzyítás: Mvel derválhtó ( ( h ( ( ( ( T: H - és ( eseté ( > ( r - övevő. ezért ( δ. - derválhtó és övevőe hld át r ( Bzyítás: Idret ( csöeőe hld át. úy hy. Hsló lehet A szélsőérté létezésée elésées eltétele δ lelá -szer derválhtó üvéy. T:! V ( R : ( de (. Er h párs -e - H ( (... ( ( ( szélsőértée méped h ( m h ( m. H ped pártl r / szélsőérté. ( Bzyítás:! ( δ z és ( ( teljesít Cuchy-tétel eltételet z [ ]. ( δ z ( és ( ( - teljesít Cuchy-tétel eltételet 4

16 [ ξ ]- z ( és ( ( ( tétel Cuchy-tételt eltételet [ ] ( ( ( (! ( ( ξ ( ξ ( ξ ( ξ ( ξ ( ( ξ ( ( ξ ( ( ξ ξ - s! ( ( ξ ( ξ? Mvel ( leye ( ( ( övevőe -. Az ( mtt. h ξ. h ξ ( ( ξ ( ( ξ ( ( ( ( ( ( ξ ( ( ( A üvéye mmum v. H pártl (!( ξ h párs ( ( ( ( ( ( h ( ( h Hsló lehet zl ( -r s. ( zz / szélsőérté. - szrú mt Kvetás Deícó:! [ ] R : és derválhtó -. Az üvéy öréjée z íve [ ] - lulról ve (áv h ez z ív ármely ptjá húztt értője ölött (ltt helyezed el. ( ( ( ( ( ( ( ( ( [ ] eseté. Az [ ] helyett lehet. T: H z : R üvéy lelá étszer derválhtó - r -hez trtzó íve lulról ve (dmrú h ( résztervllum sem áll e. és z eyelősé eyetle 5

17 eseté. (Hsló lehet tételt melmz áv (hmrú esetre ( -re ve. Bzyítás: h ( H ( ( szrú mt övevő. ( ( ( U.: ( ( ξ ξ ( ( ( ( ( ( ( ξ h ( ( ξ h ( ( ( ( h ve (dmrú (. H ve mt övevő. U:! ( ( ( ( és ( ( ( (. ( ( ( ( ( ( ( ( ve. ξ ξ ( ( ( ( ( zz ( mt övevő ( Mejeyzés: A tételt úy s melmzhttu vl hy mt övevő (csöeő. ve (áv - Deícó: Az! Ileós pt : D R ( D R és D z -t z üvéy leós helyée evezzü h V ( eseté ( lulról áv (ve. Az ( ( hy eseté ( lulról ve (áv és ; ptt leós pt evezzü. T.: H z üvéy leós helye és lyts ey V ( öryezetée r z hely szélsőérté helye zz (. Bz.:! ly leós helye hl veől áv mey át. H ( ( m. övevő H m. csöeő ( ( 6

18 Tehát ( hsz lyts V ( -. 4 Mejeyzés: A tétel merdítás em z. Pl. ( Tehát ( cs szüsées eltétel. Az elésées hy ( (áltlá z első el em tűő dervált redje pártl leye. T: : R és z - lelá hármszr derválhtó. A hy - -e leós helye leye szüsées eltétele hy ( elésées eltétele h (. Asszmptótá. Füőlees Deícó: Az eyees z üvéy rjá üőlees sszmptótáj h z üvéye z helye lelá z ey élldl htárértée vétele. lm (± vyls ± ( ± Mejeyzés: D -e trlódás ptj. z -e másdjú szdás helye.. Vízsztes Deícó: Az y y eyees z üvéy rjá vízsztes sszmptótáj h lm y (± vyls ± ( H -e v vízsztes sszmpttój r z értelmezés trtmáy lulról vy elülről em rláts. 3. Ferde Deícó: Az y m eyees z üvéy rjá erde sszmptótáj h lm m (± vyls ± [ ( ] H lm [ ( m ] lm ( m h lm ( ( m ( lm m. 7

19 Füvéy vzsált:. Értelmezés trtmáy. Prítás 3. Peródctás 4. Teelymetszete 5. Pztvtás tervllum 6. Asszmptótá 7. Növeedés vszy 8. Stcmárus helye 9. Szélsőérté helye. Szélsőértée. Ileós pt. Görület vszy 3. Árázlás 4. Értéészlet! ( P Tylr-rmul ezt plmt rju ( plmjét előállít. Tételezzü el hy P ( átredezhető P( C ( l ( C C ( C ( C (... ( C ( ( C... C ( C 3 (... C ( ( P P P ( P (! C! P( C P ( C P ( C P ( 3! C3 ( P (! C ( P( P ( P ( P ( Tehát ( ( ( (... P!!! Más üvéyeél z lye átredezése cs értelme de h lelá -szer derválhtó ( ( ( - r épezhető.! Deícó:!: D R( D R és D és lelá -szer derválhtó -. Az üvéy pthz trtzó -ed ú Tylr plmjá ( ( ( T (! plmt evezzü. Az eyelősá áltlá em áll e z ( és ( T özött ey -tól ülööző pt de elépzelhető hy mél y -értée ál se z eltérés. T eltérését. Jelöljü R ( -el z ( és (!. 8

20 R ( ( T ( ( T ( R ( zz. Ezt rmulát evezzü Tylr-rmulá. T: H z üvéy z -szer derválhtó r ev ( -hz ξ ξ melyre eáll z ( ( ( ( ( ( ξ (.! (! Mvel R ( z ( és T ( eltérését mér ezért eressü R ( -et vlmlye ecslésre llms l. A! R ( A -et rju llms meváltztt.!! F ( ( ( t ( ( t! pt ey V ( - lelá ( ( ( t ( ( t ( ( t ( A ( ( t! t...! t! t A F ( és F (. Íy Rlle-tétel értelmée ξ ( hy F ( ξ. ( ( ( ( t ( ( t ( t ( ( t ( ( t F t t t t t... ( t t! F A R! ( ( ( ( A A t ( t ] ( t (!! ( ( ξ ( ξ A ( ξ! ξ! ( ( ( ( ( ( ξ ( (!!! ( ( t (! A mrdé t Lue-éle lj. Mejeyzés:. H r Mc-Lur rmulát pju.. H r Tylr-rmul Lre-tétele mey át. t! A üvéy özelítése Tylr plmjávl Szüséü v z ( e üvéy [ ] özé eső értéere. Hydú Tylrplmjávl özelítsü hy h se leye? 3 e ( ( ( e ( ( 3 3 T (...!! 3! e T 3 (! zz R ( ξ e! ( 3 9

21 ξ - e e e 3 z [ ] (! ( (! 7!! 57 e 78! 3! 4! 5! 6! 7 tehát 6 y y ( t ( t α t β Göré prméteres eyelete ( ( verze ( r ey ( H -e z t y y üvéyhez jutu melye értelmezés trtmáy z értéészlete. (Prméter üszöölése Bármely üvéy előállíthtó prméterese (sőt vétele séle mód. t U: y ( t Prméterese dtt üvéye derválás Teyü z y ( üvéyt mely z [ ] [ α β ]- ért ( t és y( t - prméteres l v dv meelelő y lyts üvéye áltl. T.: H z ( t és y ( t üvéye derválhtó t [ α β ] helye és ( t y& ( t üvéy s derválhtó z ( t helye és ( & ( t Bzyítás:! ( t y y( t ( y ( t ( ( ( ( y ( & & ( ( y& & ( t ( t r z Pl.: r cs t y r s t t π t π 4

22 Prmtív üvéy (ezdet jeletésű. Deícó: Iterálszámítás Htárztl terál! : R. A F : R üvéyt melye derváltj - mdeütt eyelő ( ( F ( ( -el z elett prmtív üvéyée evezzü. -re Pl.: ( s F( cs T:! F : R h F úy G : R prmtív üvéye -e h c R G F c. Bzyítás: Nylvávló h F prmtív üvéye -e r H G F G F ( G F G F c. G F ( ( c G F c s z. Deícó: Ey üvéy -hz trtzó prmtív üvéyee hlmzát z htárzt teráljá evezzü és d v F -el jelöljü. ( ( z terdus... d z terál jele. Mejeyzés: Nem mde üvéye v prmtív üvéye. h Például: s h h s-e / prmtív üvéye. Ncs ly F ( hy F ( ( mert mde dervált üvéy Dru tuljdsáú. (A dervált üvéye em lehet elsődlees szdás helye. T: Mde lyts üvéye v prmtív üvéye. B: éső T: A htárztl terál derválhtó és derváltj z teredus. d F c F ( ( ( ( ( (

23 Alpterál. d c mert c. d mert 3. α α d c α 4. d l c ( α R \{ } 5. d c l 6. e d e c 7. s d cs c 8. cs dc s c 9. d t c cs. d ct c s. d rcs c. d rct c A htárztl terál és művelete eyszerű terálás szály. ( d c ( c d c. ( ( ( d ( d ± ( ( 3. d l ( c ( ± d α 4. ( ( ( α c ( α R α 5. H F α r ( ( F d c

24 Prcáls terálás T:! : R h és derválhtó - és -e prmtív üvéye r -e s és ( ( d ( ( ( ( d ( d ( ( ( ( ( ( ( ( B: ( ( ( ( Helyettesítéses terál T:! : R : c d. H derválhtó c d - és -e F prmtív üvéye r z ( -e s és ( ( ( d F( ( C c d B: F és derválhtósá mtt F derválhtó és F C F ( ( ( ( ( ( ( ( ( A Rem terál lm Rem-terál Htárztt terál. Deícó:![ ] R. A B {... } hlmzt z [ ] ey esztásá (elsztásá evezzü. Az szám esztás sztóptj z [ ] (... esztás résztervllum. H B ey esztás r B sup{... } számt esztás msáá evezzü. A B esztás δ esztás ( δ ( R h B δ. Deícó:! B B ét esztás [ ] -e. A B esztás mítás B esztás h B B A B és B eyesítésé B B hlmzt értjü. 3. Deícó: Az [ ] ey B esztássrztát mde htár túl mdó (rmáls esztássrzt evezzü h lm B 4. Deícó:! :[ ] R rláts és B ey esztás [ ] M sup ( [ ] m ( tváá ξ [ ] (... -e és jelölje 3

25 Az s( B m ( S( B M ( ω ( B ( M m ( számt z üvéye z [ ] lsó (Dru első ( Dru ll. sszcllácós összeée mí σ ( B ( ξ ( számt z üvéye z [ ] ( B esztáshz trtzó B esztásáhz és ξ... -hez pthz trtzó terálözeltő vy Rem összeée evezzü. Gemetr jeletés: lásd elődás. Tétel:! :[ ] R rláts üvéy és B B B esztás [ ]. I ( B -re s ( B I ( B S ( B -e er. H B B er s ( B s ( B és S ( B S ( B 3. s ( B S ( B Bzyítás:. Te. z [ ]-t. m ( ξ M ( ( ( M ( m ξ.. -re m ξ.! B ( ( ( M ( B B { } B {... } m m ( [ ]... ( [ ] m ( [ ] m m és m m m ( m ( m ( m ( m ( Hsló lehet első összeere s zl. 3.!B és B -e s. s B ét tetszőlees esztás [ ] ( B s( B B S( B B S( B -e. Er B B mítás B -e és 4

26 Deícó: [ ] R! : rláts üvéy. Az { s( B } I sup B { S( B } I számt (hl z mumt és suprémumt z összes lehetsées B esztásr ézzü. Az üvéy [ ] elett lsó ll. első Dru-teráljá evezzü. I ( d I ( d : rláts r I I. T: H [ ] R Bz.: B és B esztásr ( B S( B ( B I I s I és s és I I Követezméy: B esztásr ( B I I S( B I I ω( B s Deícó: z : [ ] R rláts üvéy Rem-terálhtó [ ] özös értéet z [ ] jelöljü. T: Az [ ] tervllum B δ r ω ( B. elett Rem-terál evezzü és Bzyítás: s ( B I I S( B I I. - h I I. Ezt I vy ( d -el Rem terálhtó h hz δ és B esztás B! R és tetszőlees r B és esztásr I I S( B s( B zz B melyre S( B I és s( B I. 5

27 ! B B B S ( B S( B I s( B s( B A övetezőe ey elméletle e ts és szép állítást zlu mely zt mdj hy h rláts r első Dru összee htáréréte és ez I. Tétel: (Dru: : [ ] R! rláts. Er -hz δ hy ly B esztásr melyre B δ. S ( B I és I s( B Bz.: (első összere! rláts K ( K. [ ] Jelölje Mvel I { S( B }! ezért {... r } első sztóptj szám r S ( B S ( B I. { y j }! B j... -re. B esztás [ ] I ly esztás [ ] -e. Memuttju hy erre esztásr z tétel állítás. H B B B { z... m} B B B S -e hy (B B δ... r. 4Kr ( B I S( B S( B S( B I S( B S( B S( B I S( B S ( B Eleedő tehát (* ( ( S B S B elát h B δ. Jelölje M M M z suprémumát B B B -ed résztervllumá. Er (* m övetező l írhtó (* M j y j M z. j B B B mtt B ey [ y j y j ] tervllumár. vy [ y y ] [ z z ] α tervllum B -e j j vy β [ y j y j ] [ y j ] [ y j ] [ z ] [ ] z z z B -el tervllumr ml [ y y ] y ét j j j mert 6

28 Íy α esete (* -e M y M z j β esete M j y j M z M z y z z mtt (* övetező lú j (* [( M M z ( M M z ] j j (A leelje r tt trtlmz! j [ ( M j M z ( ] ( M j M z K z z K y j K r δ Kr. 4Kr A Dru-tétel övetezméye Tétel:! : [ ] R rláts [ ] ( B lm s( B lm S és lm S( B I lm s( B I - er B rmáls esztássrztr létez Bzyítás: (első összere! tetszőlees Dru-tétel szert -hez. δ B δ. ( B I S.! ey rmáls esztássrzt zz lm B er δ -hz ℵ hy B B δ Tehát z dtt -hz ℵ hy Köv.: ω ( B I I Tétel:! : [ ] R rláts [ ] I ˆ ( és I ( B B r B δ S( B I. - er B rmáls esztássrzthz létez ˆ terálözelítő össze-srzt hy lm Iˆ ( B I lm Iˆ ( B I Bzyítás: (cs lsó összere!! B {... } rmáls elsztássrzt 7

29 ( [ ] ( m... Er z. deícój mtt ξ ( ℵ ξ m [ ] ( ξ m m ( ξ s m ( B Iˆ ( B s( B s( B Ah redőr-tétel lpjá övetez tétel állítás. A Rem-terálhtósá rtérum : rláts üvéy Rem terálhtlhtó h I R hy Tétel: Az [ ] R -hz B ( B δ esztásár [ ] I -re. (Er I Bzyítás:! terálhtó zz δ hy B -r melyre B δ e áll ( B I( B S( B mtt I ( B I. s I R δ B -re melyre δ terálhtó. A Dru-tétel mtt A eltétel mtt Az M -e melyre B δ I ( B I teljesül. I I I. Er Dru-t mtt -hz S I ( B I s( B I I I B I ( B I I ( B és -re -hz δ ( B δ S B I és s( B δ B I B I. ( δ m deícój mtt ξ η [ ] ( ξ m 3 ( M I ( η 3 és -u 3 ( B s( B ( S( B I( B ( 3 3 I. 8

30 { δ }! δ δ ( B I I I( ( B I( B s( B ( I I s 3 ( B I I I( B S( B I( B ( I I S 3 h és 3 I I I zz Rem-terálhtó. 3 3 ( Tétel: Az : [ ] R rláts üvéy Rem-terálhtó [ ] rmáls esztássrzthz trtzó I ( B - h B terálözelítő-össze-srzt veres. Bzyítás:! terálhtó I I I és B ey rmáls esztássrzt er s ( B I( B S( B dj ( B h Dru-tétel. övetezméye és redőr-tétel I verecáját I-hez B! ey rmáls esztássrzt és I ( veres er ( B I I R I. Er Dru-tétel. övetezméye mtt létező I ˆ ( és I ( I Iˆ ( B h párs ( B ( B Iˆ ( B h pártl Tétel: (Rem-rtérum: Az [ ] R [ ] - h -hz B Bzyítás: ω ( B B { } B I v. I I ˆ B srzt : rláts üvéy Rem-terálhtó esztásr [ ] -e melyre ω ( B ( B I I S( B íy I I S( B s( B s terálhtó ω ( B terálhtó B δ B Drutétel. I I I Dru δ és S ( B I I s( B terálhtó δ δ 9

31 ! B B B er B m { δ δ S ( B S( B I s( B s( B ( B ω Tétel: Az : [ ] R rláts üvéy Rem-terálhtó h ( esztássrzt eseté ( B ω ullsrzt. rmáls B Rem-terálhtó üvéysztály Tétel: : [ ] R. H lyts [ ] - r Rem-terálhtó [ ] Bzyítás: Memuttj hy -hz δ B δ [ ] - ezért eyeletese lyts zz ω B r ( -.. Mvel lyts -hez δ ξ η δ ( ξ ( η. Leye ( B δ er ω ( B ( M m ( ξ ( η ( h ω( B. Mejeyzés: Az [ ] R Rem-terálhtó [ ] -. Tétel: : [ ] R. H mt [ ] - r Rem-terálhtó [ ] : vées s pt vételével lyts és rláts üvéy Bzyítás: m. övevő esete! tetszőlees és esztás hy B δ. ( ( -. δ és B [ ] ( ( -e ly ω ( B ( M m ( ( ( δ ( ( ( ( ( ( Mvel m. öv. M ( és m ( h δ r ω ( B ( ( δ 3

32 A Rem-terálhtósá és művelete Tétel: H : [ ] R Rem-terálhtó α β R er z α β s Remterálhtó és ( β α β Bzyítás: B α.! tetszőlees rmáls esztássrzt [ ] I ( α β -r I ( α β B αi( B βi( B B. -e. Mvel jldl htárértée ezért lldl s és ez htárérté z terál. Mejeyzés:. A tétel merdítás em z. h rc. h rc. χ ( χ ( h rrc. h rrc.. Teljes ducóvl tetszőlees -tr terjeszthető. Rem-terálhtó r T: H : [ ] R h C R ( c [ ] Bz.:! ( és ( [ ] Jelölje -re r -re. m m m z M M M z M M M Er eáll ω M M M M M m m m. m M Rem -terálhtó [ ] s terálhtó. üvéye umát [ ] üvéye suprémumát [ ] üvéye suprémumát [ ] -. ( M m m ( M m M ( M m M ( M m M m m M M M m M! tetszőlees és δ ly hy β δ ω( β M m M m M m és z ( β ( B ( M m M ( M m M ( M m ω B. h ( -. m - és Eze utá memuttju hy tétel z ét tetszőlees terálhtó üvéy szrztár s. 3

33 m ( m ( ( m és ( m F ( m ( m m m m m m Mejeyzés: A tétel terjeszthető tetszőlees -téyezőre. Nem merdíthtó ( h rc. h rrc. Eyelőtlesée özépértététele Rem-terálr Tétel: H : [ ] R Rem-terálhtó üvéye és ( ( [ ] r ( d ( d. Bzyítás:! B tetszőlees rmáls Besztássrzt B... ξ [ ] tetszőlees ( ξ ( ξ eyelőtleséere vtzó tételől jö z állítás. mtt I ( B I( B -re srzt és Tétel: H : [ ] R terálhtó [ ] - r és terálhtó és Bzyítás: Az terálhtósá ( M m M m Az eyelőtlesé Tétel: (Középérté-tétel : [ ] R m ( M [ ] -re és ( [ ]! Rem-terálhtó üvéye tváá -re r m M. Bzyítás: m M terálhtó íy z első tételől dód z állítás. 3

34 Követezméy:.! : [ ] R Rem-terálhtó és m ( M [ ] B: et tételől ( válsztássl. m ( M ( ξ..! : [ ] R lyts r [ ] ( ξ B: Az. övetezméye m ( M sup ( [ ] és - er [ ] m M ξ. Blz-tétel mtt ξ [ ] ( Az terál mt ddtív tervllum-üvéy Tétel: H : [ ] R R-terálhtó [ ] - és c ( r R-terálhtó [ c] [ c ] - és c. c Bzyítás: Először memuttju hy R-terálhtó [ c] - ([ c ].! B rmáls esztássrzt [ ] -e hl c sztópt mrd. Er ( ( [ c ] ( [ ] lm [ c B ω B ω B ] ω. - és ly Ezutá zlju hy eáll z eyelősé. [ c]! és B [ c ] B z [ c] és [ c] ey-ey rmáls esztássrzt I [ ] ( c [ ] B I B c ( [ ] [ ] [ ] c c hzzáju trtzó terálözelítő össze! B B B er I [ ] ( [ c] B I B [ ] ( ( c I B c c Tétel:! : [ ] R és c (. H R-terálhtó [ c] - és [ ] [ ] - és. c c c - R-terálhtó Bzyítás: Az hy z eyelősé z z övetez z előző tételől. -hz B ll. B ly esztás [ c] -e ll. [ c ] -e hy ω ( B és ω ( B B B B ω ( B ω( B ω( B. 33

35 Newt-Lez rmul Tétel:! F : [ ] R/. H R-terálhtó [ ] -. F lyts [ ] ( - úy F ( ( ( ( re r ( d F( F( Bzyítás:! ( B {... } ey rmáls esztássrzt. F teljesít Lre-tétel eltételet z [ ] F( F( F ( ξ ( ( ξ ( F( F( ( F( F ( ( I( B h ( d [ ( ] ξ - és derecálhtó - zz ζ ( hy A N-L szály jeletősée e y mert derválás és terálás pcsltát muttj me. S esete e eyszerű lehetőséet d z terál számításár. Az terál mt első htár üvéye Deícó:! : [ ] R/ üvéy R- terálhtó [ ] - er z F : [ ] R/ F ( : ( tdt üvéyt z terálüvéyée evezzü. Tétel:! : [ ] R/ R - terálhtó [ ] r terál üvéye lyts[ ] -. Bzyítás: H terálhtó rláts zz K > R / hy [ ] re ( K! [ ] tetszőlees r - hz δ > < δ r F ( F( ( t dt ( d ( t dt K < Kδ r K : R/ R H δ F( F( <. Tétel: H [ ] - terálhtó [ ] és lyts [ ] F( (dt t derválhtó - és Bzyítás: lm F F ( ( F ( F( ( F( lm ξ ( t dt ( ξ ( ( t dt ( ξ ξ -e r 34

36 Mejeyzés:! : [ ] R/ lyts [ ] F : [ ] R/ F ( ( tdt. - er prmtv üvéye és z Mejeyzés: lytssá em szüsées eltétele hy terálüvéye derválhtó leye. s cs h Pl: : [ ] h r terálüvéye s h F : [ ] h mdeütt derválhtó. Prcáls és helyettesítéses R-terál Tétel: H : [ ] R/ lyts derválhtó r ( ( d ( ( ( ( ( ( d. Bzyítás:! F : [ ] R/ F ( ( t ( t dt ( t ( t dt ( ( ( ( F derválhtó és F ( F( c F ( c F( Tétel: : [ ] [ c d] [ c d] R/ ( ( ( d ( ( d ( ( ( ( F! lyts derválhtó üvéy : lyts r Bzyítás: B.sz. ( ( ( t ( t dt ( ( d c Tétel: ( C B S H : [ ] R d R-terálhtó üvéye ( ( d ( d ( d 35

37 Területszámítás Tétel: : [ ] R/ Er ét üvéy z Az terálszámítás éháy llmzás! lyts [ ] és ( ( [ ] T ( ( ( d. öréje áltl htárlt sídm területe Bzyítás: A tétel ylvávló htárztt terál emetr jeletése lpjá. y Pl: Az ellpszs területe:. T 4 d 4 d 4 cs tdt s t d cst dt π 4 t π s t ( π π Prméterese dtt öre eseté β ( t α t β T y((dt t & t y y( t t (. α T y β ( d y ( t α β ( ( & ( t dt y( t (dt t α A öre ívhsszá számítás! : [ ] R/ lyts [ ] -. Tetsü z [ ] B { < <... < } ( (. ( esztás srztát! ey rmáls! P... A P P P... P töröttvlt öre ert pljá evezzü. A P P ert pl hssz. Deícó: A örét retálhtó evezzü h eírhtó pl hsszá hlmz rláts. Deícó: A ert pl hssz hlmzá első htárát öre ívhsszá evezzü. (Azt htárértéet melyhez örére írt pl hsszá srzt trt rmáls { B } eseté. Tétel:! [ ] R/ lyts derválhtó [ ] íve L ( d. er [ ] -hez trtzó rjá 36

38 Bzyítás: rözített! B < <... < ey esztás L { } } P P ( ( ( ( Az üvéy z [ ] teljesít Lre-tétel eltételet ezért ξ ( hy ξ L ( ( ( ( ( ( ξ és ez lyts ezért terálhtó. Rem-összee és mvel ez L ( d Prméterese L ( t y (dt t β Frástest tért Tétel:! : [ ] R/ lyts [ ] - ( [ ] -re er [ ] ívée mertásávl létrejött rástest tért. V π ( d! Bzyítás: B { < <... < } (... e. -hez trtzó ey esztássrzt [ ] m ( M V V sup ( [ ] ξ [ ] π m V V V π Áltlás: H T ( er Prméterese: V T ( d π M V π ( ξ - jelöl ey test teelyre merőlees símetszetée területét ( d. 37

39 38 ( (dt t t y V β α Pl: y y 3 4 d d V π π π Frástest plástjá elszíe H z [ ] R / : lyts üvéy [ ] -hez trtzó ívét z teely örül mertju r z ív ey rástest plástját írj le. H örée ey töröttvlt s íru és zt s vele rtju r töröttvl ey csúpplástól összetett elületet leír. Deícó: A rástest plástjá elszíé zt htárértéet értjü melyhez örée írt töröttvl rtásá előálló ráselület trt h örée írt töröttvl ey ly töröttvl srztt ut e melyél lehssz ldl hssz s -hz trt. Tétel: R /! és B ey rmáls esztássrzt [ ] -e [ ] η ξ ( ( (. B I η ξ H és lyts r (. ˆ B I Bzyítás: B.sz. Tétel: H [ ] R / : lyts derválhtó [ ] - r [ ] -hez trtzó ívée rtásávl előálló rástest elszíe ( ( d F π. Bzyítás: B! ey esztás [ ] -e. ( ( P A P P ey csúpelületet ír le ( ( h T π Mvel lyts ezért ( ( ( ( ξ ξ ( ( ( ( ( ( ( T η π ξ π ( ( η Lre-tétel. ( (. d T F π

40 39 Prméterese ( ( (dt t y t t y F & & β α π Numerus terál Téláyrmul [ ] R / :! lyts üvéy De. szert ( ( ( * lm d ξ Közelítőle úy tethetjü hy ( ( ( m M d d specáls ξ! és ξ yát z [ ] ezdő vy véptját válsztju r ( ( ( ( [ ]... d ( ( ( ( [ ] d.... Az terál-e éplet szert vló számításáál elövetett h em y mt ( m M. H ( rláts r (. K R K / Er Lre tétel szert ( ( ( K m M η ξ γ η ξ ( K m M H [ ] -t eyelő részre sztju ( ( ( ( ξ < < K K d Trpéz rmul: ( * spec. esete ( ( ( d U Blz-tétel szert ( ( ( ( ξ ξ ( ( trpéz területe ( ( ( ( ( ( (... d

41 h: ( ( ( ( (... 3 ( ( 3 K. > ( K K < Smps módszer: A trpéz-szályhz hsló eyszerű de pts léyee hy örét em húrrl hem prl ívvel helyettesítjü. Osszu z [ ] -t eyelő részre.! h. h ( d ( y y 4( y y3... y ( y y4... y 3 88 h ( K 5 4 ( K Deícó: Leyee Deícó: A ( Az Füvéysr......: D R/ üvéye. A ( üvéysr veres z D ( ptt ( verecpt összesséét ( Deícó: D srt üvéysr evezü. umerus sr veres. pt h üvéysr verecptjá evezzü. A verectrtmáyá evezzü.! ( üvéysr verec trtmáy r z s ( ( el értelmezett (... s ( Deícó: A ( ( s( ( D srztt üvéysr részletössze srztá evezzü. üvéysr összeüvéyé s... lm üvéyt értjü. Pl: s ( (ez veres < lm s ( s(. Mejeyzés: A umerus srl pcslt mevzsáltu hy érvéye mrd-e vées összeere mesmert áltlás szály. Láttu hy em s lttu ey specáls vereclmt. Uyúy merül el érdés üvéysrl pcslt s: A lyts üvéyeől lttt üvéye összeüvéye lyts-e? Az terálhtó üvéyeől lttt üvéye vétele srá - 4

42 tét terálás uyzt dj-e mt z összeüvéy terálj? c Érvéyes-e tét derválás szály. A válsz áltlá em. 3 Pl: ( ( ( (... lyts. Összeüvéye s( lm s ( lm( em lyts ( ] -. A ( üvéysr tj ( ; ]-e h ( m h. üvéysr verecájá vzsáltáál uyhhz z > -hz más trtz h más. H veres. Deícó: Az ( mely cs -tól ü r ( eyeletese üvéysr eyeletese verál D hlmz z s ( üvéyhez h > -hz N/ hy h > r s ( s( < D eseté. Az összeüvéy élül s me lehet lmz z eyeletes verecát Cuchy éle verec rtérum lpjá. Tétel: (Cuchy-éle verec rtérum A ( üvéysr eyeletese veres D- h > -hz N/ h m > és D eseté s ( s ( <. m Bzyítás: A Cuchy éle verec rtérumól jö. Tétel: (Eyeletes verec és lytssá H z üvéye lyts - ( D és ( verál s lyts -. Bzyítás:! D és > tetszőlees. D s( -hez r ( ( D re s ( s( < eyeletes verecáj mtt eyeletese -hez N/ hy h > és 3 s ( lyts íy > δ > < δ s ( s ( s ( s( s( s ( s ( s ( s ( s( < Tehát h és δ δ r < δ eseté 3 s ( s( < zz s lyts -. Tétel: (Weerstrss H ( üvéysrhz veres umerus sr hy ( D - re és ( N/ -re er ( eyeletese veres D-. 4

43 Bzyítás: Srr vtzó mjrás rtérum és Cuchy éle verec rtérumól övetez. veres N/ h m > r < er D -re. s m ( s ( ( ( < Deícó: A ( veres. m m m üvéysr szlút veres D- h D -re ( Htváysr Deícó: A C ( ( C R evezzü. Mvel z / örül htváysr z ezért tvá cs Tétel: (Áel: H veres ( üvéysrt örül htváysr z eltlássl ró örül htváysr mey át C htváysrt vzsálju. C htváysr veres ey pt r szlút -. Bzyítás: Mvel c veres ezért áltlás tj trt -hz zz C K > C K. C C és tetsü C C K ez utó ey veres emetr sr < eseté. Tehát C sr szlút veres < eseté. tervllumá eyeletese veres. A htváysr ( mde [ ] Követeztetés: H C m htváysr dveres z pt r dveres mde pt melyre. H uys htváysr veres lee eyetle ly pt melyre > Áel tétele értelmée - s verese ellee le. Ey C htváysr verectrtmáy cs ptól vy számeyees mde ptjáól vy ey z rór szmmetrus ( R R tervllumól áll. Ez utó esete htváysr z tervllum véptj ülöözőéppe vseledhet. Lehet mdét vépt veres és dveres lletve eye veres más dveres. 4

44 Tétel: (Cuchy-Hdmrd Leye dtt c C htváysr és R l R l lm C c lm c h l r R/ pt szlút veres R. h l r cs z - R 3 h < l < r ( R R -e szlút veres R eseté dveres htváysr - szlútveres. Bzyítás: B.sz. Deícó: Az R számt htváysr verecsurá evezzü. A ( R R -t htváysr verec tervllumá evezzü. Pl:... R. lm z helye veres z helye dveres R lm 3 c!! 3!... R. (! lm! Tétel: (Htváysr tét derválás ( H ( c htváysr verec-sur R r htváysr összeüvéye mde ly pt derválhtó melyre R < < R és ( c. (* Bzyítás: Először memuttju hy (* sr s veres.! ( R R és r > ly < r < R. Az ( sr r eseté veres ezért C r zz C r K( K >. 43

45 Cr K C (**ez utó Vzsálju (* áltlás tját r r r r veres uys D Alemert-éle rtérumt llmzv. K ( r r. K r r r r Tehát (** sr mjrálj (* és ezért (* sr szlút és eyeletese veres (-RR-e. Memuttj hy (-e és (*-e uyz verese. * R R. lm c lm c Tétel: H c htváysr verec sur r mde ly [ ] ( R R eáll h c ( d c d [ ] Bzyítás: B.sz. A Tylr-sr R és (! : D R D és z pt árháyszr derválhtó. Deícó: Az üvéy pthz trtzó Tylr-srá z értjü. z összeüvéye ( ( (! htváysrt Tétel: Az üvéye z pthz trtzó Tylr-sr verál z -hez vlmely tervllum h Tylr-rmul mrdétj srzt ulláhz verál uyeze z tervllum. Mejeyzés: r Tylr-srt Mc Lur sr evezzü.! : D R és D Deícó: Az üvéy ltus z Tylr-sr veres V ( δ D hlmz és ( ( ( ( V ( δ D! Impróprus terál pt h ( δ R.. Nem rláts üvéy mpróprus terál terálj :!( ] R z ( ] D rláts. δ hy -hz trtzó mde ptjá értelmezve de z pt öryezetée em 44

46 H z ( ármely [ ] tervllum Rem-terálhtó és ( lm ( d htárérté r z üvéy z [ ] evezzü és z teráljá htárértéet értjü. ( d lm ( H z [ ] d - mpróprus terálhtó - vées s ly pt v melye öryezetée üvéy em rláts r eze pt seítséével eldrlju z tervllumt résztervllum és ezee résztervllum ülö-ülö meézzü hy léteze-e mprópus terál h e r eze összeeét deálu z [ ] - z mprópus terált. H pl. z c c c... c z pt hl em örláts r h -e lm c c ( d r ( d lm ( d. ( m( c c c c. Vétele tervllum vett mprprus terál Deícó:! helye értelmezett és [ ] - ( terálhtó h lm ( htárérté létez r ezt htárértéet z üvéy ( teráljá evezzü zz ( d lm ( d. d - vett mprprus Az r mprprus erálj ( r r r d lm d lm r r r h r d lm lm r r r r r h r r r r h r d lm lm r r r r h r r 45