Érintő, trapéz, Simpson formulák és hibabecsléseik Összetett formulák (szabályok) l i. integrál közelítésére felírt c f. kvadratúra formula pontos f n

Átírás

1 Gykorlt (4 ápr 9) Nuerkus tegrálás Elélet: Iterpoláós típusú kvdrtúr orulák Newto-Cotes típusú kvdrtúr orulák Értő, trpéz, Spso orulák és heslések Összetett orulák (szályok) Legye :, IR, korlátos és w, IR kszáításához közelítsük hol,,,, : súlyüggvéy Az -et l külööző lppotok és Ekkor w w tegrál P terpoláós polojávl, Pw l z l w Lgrge-lppolo Deíó Az w típusúk evezzük, h tegrál közelítésére elírt lw,,, kvdrtúr orulát terpoláós Tétel A kvdrtúr orul potos -re lw,,, Látjuk, hogy kvdrtúr orulát z,, értékek htározzák eg Ezek válsztásától üggőe z lá típusú kvdrtúr orulákkl ogllkozuk, Newto-Cotes típusú kvdrtúr orulák: A w súlyüggvéy Az,,,, lppotok z tervllu ekvdszts osztópotj, zz h,,, hol h Nyíltk evezzük kvdrtúr orulát, h és e szerepel z osztópotok közt Jelölés: Ny(), h részre osztjuk z tervlluot Ekkor lppotj v Zártk evezzük kvdrtúr orulát, h és osztópot Jelölés: Z(), h részre osztjuk z tervlluot Ekkor lppotj v

2 Guss típusú kvdrtúr orulák: Az,,,, értékeket úgy djuk eg, hogy lehető leggs okszáú polookr potos legye orul Csesev típusú kvdrtúr orulák: Az,,, lppotokt úgy djuk eg, hogy kértékeléséhez keveseet kell száoluk,,, -re Így orul Newto-Cotes típusú orulák Értő orul ( Ny() ) Az tervlluot két részre osztjuk Mvel yílt orul, így egy lppotj lesz és l -et kosts terpoláós polojávl közelítjük kosts Lgrge-lppolo Tehát z értő orul d Tétel Legye C, és jelölje R E R l d d, hol z értő orul háját Ekkor, hol, 4 Trpéz orul ( Z() ) Az tervlluot egy részre osztjuk Mvel zárt orul, így két lppotj lesz, z tervllu két végpotj és Az üggvéyt z elsőokú terpoláós polojávl közelítjük l d d és Tehát trpéz orul l d d d : T Megjegyzés H eegtív üggvéy, kkor et képlet z, tervllu és z, üggvéyértékek áltl eghtározott trpéz területe

3 Tétel Legye C, és jelölje R T R trpéz orul háját Ekkor, hol, Spso orul ( Z() ) Az tervlluot két részre osztjuk Mvel zárt orul, így háro lppotj lesz, z tervllu két végpotj és elezőpot:, ásodokú terpoláós polojávl közelítjük l d 6 Tehát Spso orul 4 l d 6 l d 6 és 4 : S 6 Tétel Legye C, és jelölje R S R Az üggvéyt z Spso orul háját Ekkor, hol, 9! 4! Összetett orulák ( szályok ) Az tervlluot egyelő részekre osztjuk és de résztervlluo egy-egy kvdrtúr orulát lklzuk, Trpéz szály Az, tervlluot egyelő részre osztjuk és de résztervlluo egy-egy trpéz orulát lklzuk Az lppotok,,, Tehát trpéz szály : T

4 Horuláj: T, hol, Spso szály, Az tervlluot egyelő részre osztjuk ( páros), z lppotok,,, Mde, k k résztervlluo egy-egy Spso orulát lklzuk Tehát Spso szály 4 k k : S k k Horuláj: S, hol 4 8, Feldt: ) Írjuk Mtl üggvéyt (trpez éve) trpéz orulár uto [s] = trpez(v,,,) : préterezés ) Készítsük el z összetett trpéz orul progrját Feldt: ) Írjuk Mtl üggvéyt (spso éve) Spso orulár uto [s] = spso(v,,,) : préterezés ) Készítsük el z összetett Spso orul progrját Próáljuk k következő tegrálokr: ) d ) l d ) s( ) d d) os( ) d Tétel: H korlátos H korlátos, -, kkor d T T T, -, kkor d S S S

5 Jvított trpéz összetett orul: T T T 4 O ~ Jvított Spso összetett orul: S S S Feldt: Száítsuk k z összetett orulákkl z ~ 6 d l 4, h 6, Oh -es közelítés -os közelítés tegrált potossággl Háy részre kell oszt hozzá z tervlluot? (Próálkozzuk egírt progrokkl és et tételől kpott hesléssel) 4 Feldt: Száítsuk k z Itegrál közelítését M j vele? Pl elég [,] tervlluo tegrál -es tervlluo potosság eléréséhez, ért? Besüljük z tegrál értékét d Besüljük [ ; ] tervlluo vett tegrált d d d d ; d potossággl: l Ezutá erdó véges tervlluo értelezett tegrált potossággl közelítjük, így keresett tegrál potosságú közelítését kpjuk eg Ez ódszer tö proprus tegrál száításár s lklzhtó A Mtl tegrálközelítő üggvéye: trpz(,y) : trpéz szályt lklzz z,y- egdott értékekre qud(u,,) : dptív Spso szály, qud(u,,,tol) : tol- egdott potosságú közelítést d 6 potossággl közelít Feldt: Közelítsük egdott tegrálokt Mtl trpz és qud utsításávl ) d, ) d l =lspe(,,); y=^; trpz(,y) =lspe(,,); y=^;

6 trpz(,y) ort log ^ qud(,,) qud(,,,) / qud(,,) qud(,,,) log()