Az érintőformula A Simpson formula Gauss-kvadratúrák Hiba utólagos becslése. Numerikus analízis

Átírás

1

2 Az érintőformul Érintőformul Az érintőformul egy nyílt Newton-Cotes formul, melyre: ( ) + b f (x)dx (b )f. 2 Az érintőformul úgy is értelmezhető, hogy függvényt z [, b] intervllum középpontjához húzott érintőegyenessel közelítjük, és z egyenes ltti területet vesszük. Ez muttj, hogy legfeljebb elsőfokú polinomig pontos.

3 Az érintőformul Érintőformul hibáj Tegyük fel, hogy f C 2 ([, b]). Ekkor z érintő formulávl ( ) + b f (x)dx = (b )f 2 + (b )3 f (ξ). 24 Így kpott hibbecslés: ( ) + b f (x)dx (b )f 2 (b )3 M hol M 2 f (x) z [, b] intervllumon.

4 Az érintőformul Érintőformul A gykorltbn ezt formulát nem z egész [, b] intervllumr lklmzzuk, hnem zt n részre osztjuk (h = (b )/n), és z egyes részintervllumokbn z érintőformulávl integrálunk. f (x)dx (b ) n n f i=1 ( h2 + ih ).

5 A Simpson formul Egyszerű Simpson formul Legyen most x 1 =, x 2 = + b és x 3 = b. Alklmzzuk 2 három pontr támszkodó másodfokú Lgrnge-féle interpolációs polinomot. f (x)dx b 6 [ f () + 4f ( + b 2 ) ] + f (b). Vegyük észre, hogy z egyszerű Simpson formul egy zárt Newton-Cotes formul, melyre n = 2 és B (2) 0 = 1/6, B (2) 1 = 4/6, B (2) 2 = 1/6.

6 A Simpson formul Hibbecslés Az egyszerű Simpson formul hibáját f C 4 [, b] esetén Lgrnge-féle interpolációs polinom hibáját felhsználv kpjuk. Ekkor f (x)dx b 6 [ f () + 4 ( + b 2 ) + f (b)] M (b ) formulávl becsülhetjük, hol M 4 f (4) (x) z [, b]-n.

7 A Simpson formul Összetett Simpson formul, 1. változt Tegyük fel, hogy n páros és z lppontok ekvidisztánsk, zz x i = x 0 + i h (hol h = b n, és i = 0,..., n). Ekkor képlet lkj S n (f ) = 2h 6 [ f (x0 ) + 4(f (x 1 ) + f (x 3 ) + + f (x n 1 )) + 2(f (x 2 ) + f (x 4 ) + + f (x n 2 )) + f (x n ) ]. A képlet hibáj: f (x)dx S n (f ) M 4(b ) h 4 = M 4(b ) n 4.

8 A Simpson formul Összetett Simpson formul, 2. változt H z [, b] intervllumot itt is felosztjuk z = x 0 < x 1 <... < x n = b pontokkl n részintervllumr, kkor z összetett Simpson formul: f (x)dx S n := n 1 i=0 x i+1 x i 6 [ f (x i ) + 4f ( xi + x i+1 2 ) ] + f (x i+1 ).

9 A Simpson formul Összetett Simpson formul, 2. ekvidisztáns változt H z lppontok ekvidisztánsk, zz x i = x 0 + i h (hol h = b n és i = 0,..., n), kkor képlet lkj [ S n (f ) = h n 1 n 1 ( f (x 0 ) + 2 f (x i ) + 4 f x i + h ) ] + f (x n ). 6 2 i=1 A képlet hibáj pedig f (x)dx S n (f ) M 4(b ) h4 = M 4(b ) n 4. i=0

10 Guss-kvdrtúrák Guss-kvdrtúrák Az eddigi, interpolációból szármzttott kvdrtúr-formulák legfeljebb nnyid-fokú polinomr pontosk, hányd fokú polinomból szármztttuk őket. A Guss-kvdrtúrák bból z észrevételből szármznk, hogy z lppontok speciális megválsztásávl kvdrtúr-formul rendje növelhető. Ehhez szükségünk lesz z ortogonális polinomokr. A {(p k (x))} egy ortogonális polinom rendszer, h < p i, p j >= p i (x)p j (x)w(x)dx = 0 (i j)

11 Guss-kvdrtúrák Guss-kvdrtúrák Tétel: Legyen {(p k (x))} egy ortogonális polinom rendszer. Ekkor bármely n-re p n+1 (x) polinom gyökei vlósk, egyszeresek és z [, b] intervllumbn vnnk, hol [, b] sklárszorzt integrálási trtomány. Az n + 1-pontos Guss-kvdrtúrát úgy kpjuk, hogy p n+1 (x) ortogonális polinom gyök-helyein készítjük z interpolációból szármzttott kvdrtúr-formulát.

12 Guss-kvdrtúrák Guss-kvdrtúrák A sém következő: Legyen f (x) = p(x) + R(x), hol p Lgrnge interpolációs polinom, R hib. Ekkor hol i = f (x)w(x)dx = = p(x)w(x)dx + R(x)w(x)dx n i f (x i ) + R n, i=0 l i (x)w(x)dx.

13 Guss-kvdrtúrák Tétel Legyenek p n+1 (x) ortogonális polinom gyökei x 0, x 1,..., x n és legyen i = l i(x)w(x)dx hol l i z i -edik Lgrnge lppolinom fenti lppontokon. Ekkor Guss-kvdrtúr G n (f ) = n i f (x i ) i=0 pontos minden legfeljebb 2n + 1-edfokú polinomr, zz, h f egy legfeljebb 2n + 1-edfokú polinom, kkor G n (f ) = f (x)w(x)dx.

14 Guss-kvdrtúrák Tétel (A Guss kvdrtúr hibformuláj) Legyen f C 2n+2 [, b] és G n (f ) = n i=1 if (x i ), hol z lppontok p n+1 (x) ortogoális polinom gyökei. Ekkor f (x)w(x)dx G n (f ) = f (2n+2) (ξ) (2n + 2)! < p n+1, p n+1 >, hol p n+1 (x) egy 1-főegyütthtós ortogonális polinom.

15 Guss-kvdrtúrák Az i együtthtók pozitívk. Az f (x) = 1 függvény integálásávl kpjuk µ 0, µ 1... momentumokt: n i = i=1 µ i := w(x)dx =: µ 0 x i w(x)dx.

16 Guss-kvdrtúrák Legendre-polinom P n (x) = (2n)! [ x n n(n 1) 2 n n! 2 2(2n 1) x n 2 n(n 1)(n 2)(n 3) + x n 4 ± ] 2(2n 1)4(2n 3) [, b] = [ 1, 1] w(x) = 1 µ 0 = 2 P 0 (x) = 1 P 1 (x) = x P 2 (x) = 3/2(x 2 1/3)

17 Guss-kvdrtúrák Csebisev-polinom Az n-edfokú Csebisev polinom következő összefüggéssel dhtó meg: T n (x) = cos(n rccos(x)) [, b] = [ 1, 1] w(x) = 1 1 x 2 µ 0 = π T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T 2 (x) = 2(x 2 1/2) T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x)

18 Guss-kvdrtúrák Lugerre-polinom L n (x) = 2n 1 x L n 1 (x) n 1 n n L n 2(x) n > 1. [, b] = [0, [ w(x) = e x µ 0 = 1 L 0 (x) = 1 L 1 (x) = (x 1) L 2 (x) = x 2 4x + 2

19 Guss-kvdrtúrák Hermite-polinom H n (x) = 2xH n 1 (x) 2(n 1)H n 2 (x) n > 1. [, b] =], [ w(x) = 1 µ 0 = e x 2 H 0 (x) = 1 H 1 (x) = x H 2 (x) = 4(x 2 1/2)

20 Kvdrturformulák hibáink utólgos becslése Kvdrturformulák hibáink utólgos becslése Elvégezzük numerikus integrálást n és 2n részintervllum esetén. H fennáll, hogy T n (f ) T 2n (f ) ε, kkor T 2n (f ) közelítést ε pontosságúnk fogdjuk el. H T n (f ) T 2n (f ) > ε, kkor z n értékét tovább kell növelni. A hibbecslést z un. Runge-elv lpján lehet végrehjtni.

21 Kvdrturformulák hibáink utólgos becslése Hib utólgos becslése trpéz-formul esetén H f (x) előjele állndó, kkor z összetett trpézformul hibájár fennáll, hogy f (x)dx T 2n (f ) T n(f ) T 2n (f ). Hib utólgos becslése Simpson-formul esetén H f (4) (x) előjele állndó, kkor z összetett Simpson-formul hibkorlátj következő: f (x)dx S 2n (f ) S n(f ) S 2n (f ).