Numerikus integrálás és az oszcillációs integrandusok komplex Gauss-kvadratúrája

Átírás

1 Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kr Numerikus integrálás és z oszcillációs integrndusok komplex Guss-kvdrtúráj BSc szkdolgozt Készítette: Témvezet : Szrvs Kristóf Mtemtik BSc, Alklmzott Mtemtikus Dr. Gergó Ljos egyetemi docens Numerikus Anlízis Tnszék Budpest, 21

2 Trtlomjegyzék 1. Newton-Cotes kvdrtúrformulák Speciális Newton-Cotes kvdrtúrformulák Érint -formul Trpéz-formul Simpson-formul Guss-kvdrtúrformulák Ortogonális polinomok Speciális ortogonális polinomok Legendre-polinomok Lguerre-polinomok Hermite-polinomok Csebisev-polinomok Guss-kvdrtúrák Speciális Guss-kvdrtúrák Guss-Legendre-kvdrtúr Guss-Lguerre-kvdrtúr Guss-Hermite-kvdrtúr Guss-Csebisev-kvdrtúr Oszcillációs integrndusok Aszimptotikus kiterjesztés A legmeredekebb lejt numerikus módszere Négytgú szumm ii

3 TARTALOMJEGYZÉK iii 3.3. A vonlintegrálok numerikus közelítése Vonlintegrálok végpontokbn Vonlintegrálok stcionárius pontokbn Numerikus példák Aszimptotikusn optimális kvdrtúr-szbályok Páros r-ek esete Pártln r-ek esete Numerikus példák Még áltlánosbb oszcillációs függvények Globális helyettesítés A számítás loklizálás Függelék 48

4 Bevezetés A klsszikus nlízisben z integrálok explicit kiszámításánk lpját képez f(x)dx = F (b) F () (1) Newton-Leibniz formul, hol F (x) z f(x) integrndus primitív függvénye, számítástechniki értéke kicsi. Ennek ok részben z, hogy igen sz k zon függvények köre, melyeknek primitív függvénye elemi függvényekkel kifejezhet. Például, e x x, e x2, sin(x) x stb. függvények primitív függvénye nem elemi függvény. A másik ok pedig z, hogy táblázttl dott függvények esetében (1) egyáltlán nem lklmzhtó, jóllehet ziki, kémii stb. mérések eredménye mindig ilyen lkú függvény. Az htározott integrálnk vlmely S n = n f(ξ k )(x k x k 1 ) f(x)dx Riemnn-féle összeggel vló közelítése sem kielégít számítástechniki szempontból, mivel itt semmilyen utlás nincs rr vontkozólg, hogyn kell válsztni z = x < x 1 < x 2 <... < x n = b felosztás pontjit, továbbá ξ 1, ξ 2,..., ξ n, (x k 1 ξ k x k (k = 1, 2,..., n)), közbees pontokt hhoz, hogy S n el re dott pontossággl szolgáltss szóbn forgó integrál értékét. Azonkívül, S n gykrn csk igen lssn konvergál f(x)dx-hez. A numerikus kvdrtúr áltlános lkj n f(x)dx = A k f(x k ) + R n (f), (2) vgyis z integrált függvényértékek lineáris kombinációjként fejezzük ki, hol z x k lppontokt és z A k együtthtókt lklms módon válsztjuk. (2)-t kvdrtúrformulánk, vgy csk röviden kvdrtúránk, z x k lppontokt bszcisszáknk, z A k együtthtókt pedig súlyoknk nevezzük. 1

5 TARTALOMJEGYZÉK 2 Az interpolációs kvdrtúr ötlete z, hogy interpolációs polinomokkl vló közelítésb l indulunk ki, zz megkíséreljük z A k és x k mennyiségeket úgy megválsztni, hogy (2) lkú formul hibáj, z R n (f) mennyiség zérus legyen, h f(x) lcsony fokszámú polinom. Nyilvánvló, hogy például Lgrnge-féle interpolációs formul integrálásávl egy (2) lkú formulát állíthtunk el. Anélkül, hogy itt most részletekbe mennénk, minden további nélkül beláthtjuk, hogy mivel z n lpponthoz trtozó Lgrnge-féle formul pontos legfeljebb (n 1)-edfokú polinomokr, ezért z integrálásávl kpott kvdrtúrformul ilyen polinomokr ugyncsk pontos lesz. H z integrálndó függvény ekvidisztáns táblázttl vn megdv, kkor célszer zt követelnünk, hogy z bszcisszák táblázt beosztásánk megfelel en egyenletesen helyezkedjenek el. Az olyn kvdrtúrformulákt, melyeknek bszcisszáiról el re kikötjük, hogy ekvidisztáns elhelyezkedés ek legyenek, Newton-Cotes (-féle) kvdrtúránk nevezzük. A gykorlti érték Newton-Cotes formulák következ két osztály egyikébe sorolhtók (i) zárt formulák, melyeknél z integrálás intervllumánk végpontji z bszcisszák közé trtoznk; (ii) nyílt formulák, melyeknél ezek végpontok nem bszcisszák és formul bszcisszái végpontokhoz képest szimmetrikusn helyezkednek el. Az n = 1-nek megfelel nyílt Newton-Cotes formul érint formul, z n = 2-nek megfelel zárt Newton-Cotes formul trpézformul, z n = 3-nk megfelel pedig Simpson-formul néven ismeretes. A (2) kvdrtúrávl kpcsoltbn felmerül következ kérdés: h nem rögzítjük el re z x k bszcisszákt (például nem szorítkozunk ekvidisztáns lppontrendszerre), sem pedig z A k súlyokt, kkor hnydfokú z legmgsbb fokszámú polinom, melyre (2) típusú formul R n (f) hibáj még zérussá tehet? E polinom fokszámát kvdrtúrformul pontossági fokánk (vgy rendjének) nevezzük. Mivel n számú x k bszcissz és n számú A k súly, vgyis 2n állndó fölött rendelkezünk, ezért zt sejthetjük, hogy felelet: 2n 1-edfokú polinom. A második fejezetben megmuttjuk, hogy ez vlóbn igz. Az így nyert formulákt Guss-típusú kvdrtúrformuláknk nevezzük, melyek lklmsn válsztott súlyfüggvényekre nem korlátos intervllumok esetét is felölelik. A súlyfüggvényekkel és z ortogonális polinomokkl kpcsoltos ismereteket szintén második fejezetben tárgyljuk.

6 TARTALOMJEGYZÉK 3 Az összes eddig említett, véges intervllumr vontkozó kvdrtúrformul z intervllum hosszánk vlmilyen pozitív egész kitev j htványávl rányos. Ezért gykorltbn áltlábn következ képpen járunk el: (i) bontsuk fel z [, b] intervllumot bizonyos számú, például m részre, (ii) minden részintervllumr lklmzzunk egy kvdrtúrformulát, (iii) végül összegezzük részintervllumokr vontkozó eredményeket. Az így nyerhet formulákt összetett kvdrtúrformuláknk nevezzük. A Guss-kvdrtúrákkl már ngyon sok függvény integrálját tudjuk htékonyn kiértékelni. Az úgynevezett oszcillációs integrálokkl zonbn még ez módszer sem tud elbánni. H megdott pontossággl szeretnénk egy oszcillációs integrált Guss-kvdrtúrávl kiértékelni, rengeteg lpontr lenne szükségünk. Ezért ehelyett más módszert válsztunk. Integrálátlkítássl fogjuk z oszcillációt megszüntetni, olymódon, hogy egy komplex vonlintegrállá lkítjuk át z oszcillációs integrált, mjd erre nemoszcillációs komplex vonlintegrálr építünk egy Gusskvdrtúrát.

7 1. fejezet Newton-Cotes kvdrtúrformulák A Newton-Cotes kvdrtúrformulák esetében z f(x)dx integrál egy közelít értékét úgy állítjuk el, hogy z f(x) integrndust ekvidisztáns lppontokhoz trtozó Lgrnge-féle interpolációs polinomml helyettesítjük. Tekintüs következ lppontrendszert: Két esetet tudunk megkülönböztetni: x k = c + kh, k = 1, 2,..., n. i) Nyílt típusú formulák, mikor c = és b = c + (n + 1)h, vgyis h = b n + 1. (1.1) Ebben z esetben z interpoláció x 1, x 2,..., x n lppontji nem trtlmzzák sem -t, sem pedig b-t. ii) Zárt típusú formulák, mikor c + h = és b = c + nh, vgyis h = b n 1. (1.2) Ebben z esetben mind, mind pedig b z interpoláció lppontjihoz trtozik, vgyis = x 1 és b = x n Megjegyzés. Értelmezhet k még blról zárt és jobbról nyílt, illetve blról nyílt és jobbról zárt formulák is. 4

8 5 Tekintsük z f(x) függvénynek z x 1, x 2,..., x n lppontokhoz trtozó (n 1)-edfokú L n 1 (x) Lgrnge-féle interpolációs polinomját, zz f(x) L n 1 (x) = n f(x k )l k (x), (1.3) hol Ekkor l k (x) = (x x 1)...(x x k 1 )(x x k+1 )...(x x n ) (x k x 1 )...(x k x k 1 )(x k x k+1 )...(x k x n ). f(x)dx n f(x k )l k (x)dx = Így kvdrtúr együtthtót válszthtjuk: A k := n f(x k ) l k (x)dx, k = 1,..., n. l k (x)dx. Ebben fejezetben nem bizonyítjuk z állításokt, de [1]-ben és [2]-ben megtlálhtók Állítás. Kihsználv, hogy z lppontrendszerünk ekvidisztáns, következ t állíthtjuk: hol Itt B (ny) n,k A k = (b ) B (ny) n,k, k = 1,..., n, B (ny) n,k = ( 1) n k (n 1)(k 1)!(n k)! n 1 (t 1)(t 2)...(t n) t k együtthtók jelölik z n ponthoz trtozó nyílt Newton-Cotes formul k-dik együtthtóját, mely nem függ z integrációs intervllumtól és z integrndustól sem. dt Megjegyzés. Hsonlóképpen zárt Newton-Cotes formulákr: A k = (b ) B (z) n,k, k = 1,..., n, hol B (z) n,k = ( 1) n k (n 1)(k 1)!(n k)! n 1 (t 1)(t 2)...(t n) t k dt Péld. i) Érint -formul: n = 1, k = 1: B (ny) 1,1 = 1. ii) Trpéz-formul: n = 2, k = 1, 2: B (z) 2,1 = 1 2, B(z) 2,2 = 1 2. iii) Simpson-formul: n = 3, k = 1, 2, 3: B (z) 3,1 = 1 6, B(z) 3,2 = 2 3, B(z) 3,3 = 1 6.

9 1.1. Speciális Newton-Cotes kvdrtúrformulák 6 Jobbn meggyelve z együtthtókt, észrevehetjük, hogy szimmetrikusk, illetve, hogy z összegük 1. Vjon ez csk egy véletlen és csk erre három esetre áll fenn, vgy áltlánosn minden együtthtór? Erre d válszt következ állítás, melyet nem bizonyítunk Állítás. Tetsz leges n N esetén: i) B (ny) n,k = B(ny) n,n k+1, illetve B(z) n,k = B(z) n,n k+1, k = 1,..., n. ii) n B (ny) n,k = 1, illetve n B (z) n,k = 1. Meggyelhet, hogy zárt Newton-Cotes kvdrtúrformulák esetében például n = 9-nél (itt el ször) egyes súlyok negtívk. Beláthtó, hogy n 8 és n = 1 kivételével mindenhol lesznek negtív súlyok. Mivel súlyok összege 1, ezért ez károsn ht ki függvényértékek kerekítéséb l szármzó öröklött hibár. Ugynkkor, ngy n-ekre súlyok meghtározás bonyolulttá válik, ezért mgsrend Newton- Cotes típusú kvdrtúrformulákt csk ritkán hsználunk gykorltbn Speciális Newton-Cotes kvdrtúrformulák Ebben részben legismertebb Newton-Cotes kvdrtúrákt, és tuljdonságikt muttjuk be. A legelterjedtebb Newton-Cotes kvdrtúrformulák z n = 1- nek megfelel nyílt típusú Érint -formul, z n = 2-nek megfelel zárt típusú Trpézformul, illetve z n = 3-hoz trtozó zárt típusú Simpson-formul. A pontosság jvításár szolgáló összetett változtukkl is megismerkedünk Érint -formul Közelítsük z [, b] intervllumon értelmezett f(x) függvényt z x 1 = +b 2 lpponthoz trtozó L (x) (konstns) Lgrnge-polinomjávl, zz ( + b ) f(x) L (x) f. 2

10 1.1. Speciális Newton-Cotes kvdrtúrformulák 7 Mindkét oldlt integrálv kpjuk z n = 1-hez trtozó nyílt tipusú kvdrtúrformulát: f(x)dx ( + b ) L (x)dx = (b )f. (1.4) Megjegyzés. A módszer geometriilg zt jelenti, hogy z f(x)dx integrál áltl kifejezett görbevonlú trpéz területét (b ) lpú és f( +b) mgsságú 2 tégllp területével közelítjük. H f(x) diereciálhtó z +b 2 felez pontbn, kkor ennek tégllpnk területe egyenl nnk trpéznk területével, melyet úgy kpunk, hogy z f(x) függvény görbéjét z [, b] intervlumon felez pontbn húzott érint jével helyettesítjük. Innen z Érint -formul elnevezés Állítás. H f C 2 ([, b]), kkor R 1 (f) M 2 24 (b )3, Itt R 1 (f) jelöli z Érint -formul mrdéktgját, illetve M k = mx x [,b] f (k) (x). Ezt jelölést kés bbiekben is fogjuk hsználni. Áltlábn z érint formulát nem lklmzzuk rögtön z egész [, b] intervllumr, hnem zt el bb felosztjuk m egyenl részre és z egyes részintervllumokr különkülön lklmzzuk z Érint -formulát, így kpjuk z Összetett Érint -formulát Állítás. H f C 2 ([x i, x i+1 ]), i = 1,..., m, kkor R 1 (f) M 2 24m 2 (b ) Trpéz-formul Közelítsük most f(x)-et z x 1 = és x 2 = b lppontokhoz trtozó L 1 (x) Lgrnge-polinomjávl, zz f(x) L 1 (x) = x b b f() + x b f(b). Mindkét oldlt integrálv kpjuk z n = 2-höz trtozó zárt típusú kvdrtúrformulát: f(x)dx L 1 (x)dx = b (f() + f(b)). 2

11 1.1. Speciális Newton-Cotes kvdrtúrformulák Megjegyzés. H z f(x) függvény pozitív, módszernek következ geometrii jelentés dhtó: z f(x) függvény áltl htárolt görbevonlú trpéz területét egy olyn derékszög trpézzl helyettesítjük, melynek egyik oldl f(), másik oldl f(b) hosszúságú (ez két oldl természetesen párhuzmos) és mgsság (b ). Innen ered Trpéz-formul elnevezés Állítás. H f C 2 ([, b]), kkor R 2 (f) M 2 12 (b )3. Itt R 2 (f) jelöli z Trpéz-formul mrdéktgját. A pontosság fokozás érdekében z [, b] intervllumot most is m egyenl részre osztjuk és z egyes részintervllumokon külön-külön lklmzzuk Trpéz-formulát. Ezáltl jutunk el z Összetett Trpéz-formulához Állítás. H f C 2 ([x i, x i+1 ]), i = 1,..., m, kkor R 2 (f) M 2 12m 2 (b ) Simpson-formul Tekintsük most z f(x) függvénynek z x 1 =, x 2 = +b 2 és x 3 = b lppontokhoz trtozó L 3 (x) interpolációs polinomját: ( 2 ( L 3 (x) = x + b ) ( + b ) (x b)f() 2(x )(x b)f + (b ) ) ( + (x ) x + b ) f(b). 2 H f(x) integrálját L 3 (x) integráljávl helyettesítjük, Simpson-formulához jutunk: f(x)dx L 3 (x)dx = b ( ( + b ) ) f() + 4f + f(b). 6 2 Ez z n = 3-nk megfelel zárt típusú formul Megjegyzés. A módszer geometriilg zt jelenti, hogy z f(x) függvényt [, b]- ben z intervllum középpontján és végpontjin áthldó másodfokú prbolávl közelítjük. Ezért prbol-formulánk is szokták nevezni.

12 1.1. Speciális Newton-Cotes kvdrtúrformulák Állítás. H f C 4 ([, b]), kkor R 3 (f) M (b )5. Itt R 3 (f) jelöli z Simpson-formul mrdéktgját. A jól bevált trükkel ismét fokozhtjuk pontosságot. Osszuk fel z intervllumot m egyenl részre és külön-külön mindegyik részintervllumon lklmzzuk Simpson-formulát! Ezzel z eljárássl kpjuk z Összetett Simpson-formulát Állítás. H f C 4 ([x i, x i+1 ]), i = 1,..., m, kkor R 3 (f) M 4 288m 2 (b )5.

13 2. fejezet Guss-kvdrtúrformulák A Newton-Cotes-féle kvdrtúrformulák ismeretében felmerül kérdés, hogy növelhetjük-e pontossági rendet, h nem ekvidisztáns lppontrendszerre támszkodunk. A továbbikbn z f(x)dx integrál helyett z áltlánosbb f(x) α(x)dx integrál közelít kiszámításávl fogllkozunk, hol α(x) egy olyn nem-negtív, integrálhtó súlyfüggvény, melyre Q(x) α(x)dx (2.1) tetsz leges Q(x) jeltrtó polinom esetén, hol jeltrtó polinom ltt zt értjük, hogy x, y [, b]-re: Q(x) Q(y), zz nem vált el jelet [, b]-ben. Nem felesleges bonyolítás z integrndust f(x) és α(x) tényez kre bontni, mert i) Gykrn vn szükség ortogonális polinomok szerinti kifejtések együtthtóink kiszámításár; ii) Gykrn fordulnk el integrndusok tényez iként, különösen improprius integrálokbn. A felbontás el nye is kétféle: i) Sokszor kényelmesebb z f(x i ) függvényértékeket kiszámítni, mint z f(x i ) α(x i )-ket, hiszen kvdrtúrformul nem függ α(x i )-t l, csk f(x i )-t l; 1

14 2.1. Ortogonális polinomok 11 ii) Gykrn el nyösebb mrdéktgot pusztán f(x) deriváltjivl kifejezni, különösen kkor, h súlyfüggvény, vgy vlmelyik deriváltj z integrációs intervllumbn nem korlátos. Ezek után z áltlánosított kvdrtúrformulákt következ lkbn keressük: f(x) α(x)dx = n A k f(x k ) + R n (f), (2.2) hol z α(x) súlyfüggvény jobb oldlon már nem szerepel. Az A k súlyok és z x k bszcisszák természetesen függnek n-t l, α(x)-t l és z [, b] intervllumtól, de nem függnek mgától z f(x) integrndustól. Az R n (f) mrdéktg viszont függ f(x)-t l is Ortogonális polinomok H z R n (f) mrdéktg minden, legfeljebb m-edfokú polinomr elt nik, kkor speciálisn z f(x) = 1, x, x 2,..., x m htványfüggvényekre is, így x j α(x)dx = n A k x j k j =, 1,..., m. (2.3) 2.1. Deníció. Az x j α(x)dx =: µ j j =, 1,..., m mennyiségeket z α(x) súlyfüggvény momentumink nevezzük. A (2.3) egyenletrendszert részletesebben kiírv: A 1 + A A n = µ A 1 x 1 + A 2 x A n x n = µ 1... A 1 x m 1 + A 2 x m A n x m n = µ m. Ezáltl m + 1 egyenletet nyertünk 2n ismeretlenre (x k bszcisszák és z A k súlyok). Innen következik, hogy m mximális értéke 2n 1 lehet. Az zonbn még nyitott kérdés számunkr, hogy m = 2n 1 esetben mindig megoldhtó-e fenti

15 2.1. Ortogonális polinomok 12 egyenletrendszer, megoldások vlósk lesznek-e és, hogy z x k bszcisszák z [, b] integrációs intervllumb esnek-e. Közelítsük f(x)-et z L n 1 (x) Lgrnge-polinomjávl. Ez egy (n 1)-edfokú polinom, így természetesen erre már (2.2) kvdrtúrformul pontos, így R n (f) = és kptuk: f(x) α(x)dx L n 1 (x) α(x)dx = interpolációs kvdrtúrformulát. Vgyis legyenek z A k súlyok A k = l k (x) α(x)dx k = 1,..., n. n A k f(x k ) (2.4) A következ, lpvet jelent ség tételt csk kimondjuk, de nem bizonyítjuk (A bizonyítást lásd [2]) Tétel. A fenti (2.4) interpolációs kvdrtúrformul pontos minden, legfeljebb (2n 1)-edfokú polinomr pontosn kkor, h tetsz leges, legfeljebb (n 1)-edfokú Q(x) polinomr hol ω n (x) Q(x) α(x)dx =, (2.5) n ω n (x) = (x x i ). i=1 Ezt jelölést kés bbiekben is fogjuk hsználni Deníció. Az f(x) és h(x) függvényeket ortogonálisnk nevezzük z α(x) súlyfüggvényre nézve z [, b] intervllumon, h f(x) h(x) α(x)dx =. Most már csk z kérdés, hogy dott [, b] intervllum és dott α(x) súlyfüggvény esetén tlálhtó-e olyn ω n (x) n-edfokú polinom, mely ortogonális minden nál lcsonybb fokú polinomr, és melynek gyökei egyszeresek, vlósk és [, b]-be esnek. Ekkor ugynis ω n (x) gyökeit (2.4) kvdrtúr lppontjink válszthtjuk, és kpott kvdrtúr pontossági rendje 2n 1 lesz. Az ilyen, mximális pontossági rend kvdrtúrformulákt Guss-típusúnk nevezzük. Most ezekre kérdésekre dunk pozitív válszt.

16 2.1. Ortogonális polinomok Tétel. Tetsz leges [, b] intervllum és α(x) súlyfüggvény esetén konstns tényez t l eltekintve egyértelm en megdhtó olyn Q (x), Q 1 (x),..., Q n (x),... polinomsorozt, melynek tgji páronként ortogonálisk, zz és Q n (x) pontosn n-edfokú polinom. Q i (x) Q k (x) α(x)dx =, i k N (2.6) Most bizonyítsuk be kvdrtúrák szempontjából lpvet jelent ség tételt: 2.3. Tétel. H {Q n (x)} (n=,1,...) ortogonális polinomsorozt vlmely α(x) súlyfüggvény szerint egy [, b] intervllumbn, kkor minden n-re Q n (x)-nek n drb különböz zérushelye vn és ezek z [, b] intervllumb esnek. Bizonyítás: Legyen n 1. Mivel Q (x) 1, α(x) és Q (x) Q n (x) α(x)dx =, (2.7) ezért Q n (x)-nek leglább egy el jelváltás vn [, b] intervllumbn. Vlóbn, mivel Q (x) nem vált el jelet [, b]-ben (jeltrtó polinom), ezért α(x) nem lehet súlyfüggvényekre vontkozó (2.1) feltétel mitt. Következésképpen (2.7) fennállásához szükséges, hogy Q n (x) leglább egyszer el jelet váltson z [, b] intervllumbn. Legyenek x 1 < x 2 <... < x ν Q n (x) zon [, b]-be es zérushelyei, hol Q n (x) el jelet vált, vgyis pártln multiplicitású gyökei. A fentiek szerint tehát 1 ν n. Azt kell belátnunk, hogy ν = n, vgyis ν < n nem lehetséges. Ezért tekintsük Q n (x)(x x 1 )(x x 2 )...(x x ν ) polinomot. Ennek polinomnk minden [, b]-beli gyöke páros multiplicitású, tehát állndó el jel [, b]-ben. Ezért Q n (x) (x x 1 ) (x x 2 )... (x x ν ) α(x)dx.

17 2.1. Ortogonális polinomok 14 Ekkor viszont z (x x 1 )(x x 2 )...(x x ν ) polinom leglább n-edfokú, mert különben ortogonális lenne Q n (x)-re, vgyis ν n, mib l következik, hogy ν = n. Megkptuk, hogy Q n (x) gyökei vlósk, egyszeresek és z [, b] intervllumb esnek Következmény. Q n (x)-nek ezen kívül más zérushelye nem is lehet. Az ortogonális polinomok tekinthet k következ Hilbert-tér ortogonális elemeiként: H := {f : [, b] R : hol sklárszorzt f(x), g(x) := Következésképpen z α-ás norm f(x) 2 α = f 2 (x) α(x)dx < + } =: L 2,α (, b), f(x) g(x) α(x)dx =: f(x), g(x) α f(x) 2 α(x)dx A 2.2 Tétel lpján, Grm-Schmidt ortogonlizációvl z ortogonális polinomok el állítás nehézkes. Ennek kiküszöbölésére szolgál következ tételt Megjegyzés. Jelölje z 1-f együtthtór normált legfeljebb n-edfokú polinomokt Q n (x) Tétel. Q (x) és Q 1 (x) egymásr ortogonális polinomok esetén Q n+1 (x) (n 1) ortogonális polinomokr következ rekurzív összefüggés teljesül: Q n+1 (x) = (x α n+1 ) Q n (x) β n+1 Qn 1 (x), hol α n+1 = x Q n (x), Q n (x) α Q n (x) 2 α illetve β n+1 = x Q n (x), Q n 1 (x) α Q. n 1 (x) 2 α 2.2. Megjegyzés. Q n (x) gyökei mindenütt s r n helyezkednek el z [, b] intervllumbn, zz [c, d] [, b] részintervllumr, h n elég ngy, kkor Q n (x)-nek leglább egy gyöke lesz [c, d] részintervllumbn.

18 2.2. Speciális ortogonális polinomok Speciális ortogonális polinomok Most megnézünk egy pár speciális súlyfüggvényt és z ezekre ortogonális polinomokt. Ezekkel nevezetes ortogonális polinomokkl konstruálhtjuk mjd meg nevezetes Guss-kvdrtúrformulákt Legendre-polinomok A most következ részekben bizonyításoktól eltekintve csk z állításokt mondjuk ki. Tekintsük z [, b] := [ 1, 1] intervllumot és súlyfüggvényt válsszuk α(x) : 1-nek. Továbbá, legyen Q (x) := 1, Q 1 (x) := x. Ekkor következ ket állíthtjuk Állítás. α n+1 = és β n+1 = n2, n = 1, 2,..., így 4n 2 1 Q n+1 (x) = xq n (x) Az els néhány Legendre-polinom: n2 4n 2 1 Q n 1(x). (2.8) Q (x) = 1 Q 1 (x) = x Q 2 (x) = x Q 3 (x) = x x Q 4 (x) = x x Q 5 (x) = x x x Lguerre-polinomok Tekintsük z [, b] := [, ) intervllumot és súlyfüggvényt válsszuk α(x) := e x -nek. Továbbá, legyen L (x) := 1, L 1 (x) := x 1. Ekkor következ ket állíthtjuk Állítás. α n+1 = 2n + 1 és β n+1 = n 2, n = 1, 2,..., így L n+1 (x) = (x 2n 1)L n (x) n 2 L n 1 (x). (2.9)

19 2.2. Speciális ortogonális polinomok 16 Az els néhány Lguerre-polinom: L (x) = 1 L 1 (x) = x 1 L 2 (x) = x 2 4x + 2 L 3 (x) = x 3 9x x 6 L 4 (x) = x 4 16x x 2 96x + 24 L 5 (x) = x 5 25x 4 + 2x 3 6x 2 + 6x Hermite-polinomok Tekintsük z [, b] := (, ) intervllumot és súlyfüggvényt válsszuk α(x) := e x2. Továbbá, legyen H (x) := 1, H 1 (x) := x. Ekkor következ ket állíthtjuk Állítás. α n+1 = és β n+1 = n, n = 1, 2,..., így 2 Az els néhány Hermite-polinom: H n+1 (x) = xh n (x) n 2 H n 1(x). (2.1) H (x) = 1 H 1 (x) = x H 2 (x) = x H 3 (x) = x x H 4 (x) = x 4 3x H 5 (x) = x 5 5x x Csebisev-polinomok Els ként elevenítsük fel z interpolációs Csebisev-polinomok denícióját: 2.3. Deníció. Az n-edik Csebisev-polinom legyen: T n (x) := cos(n rccos(x)), n =, 1, 2,... (2.11)

20 2.3. Guss-kvdrtúrák 17 Az 1-f együtthtór normált Csebisev-polinom: T n (x) := 1 2 n 1 T n(x). (2.12) Tekintsük z [, b] := ( 1, 1) intervllumot és súlyfüggvényt válsszuk α(x) := 1 1 x 2. Továbbá, legyen T (x) := 1, T 1 (x) := x. Ekkor következ ket állíthtjuk Állítás. α n+1 = és β 2 = 1, illetve β 2 n+1 = 1, n = 2, 3,..., így 4 T 2 (x) = x 2 1 2, illetve T n+1(x) = xt n (x) 1 4 T n 1(x), n = 2, 3,... (2.13) Így ez nem más, mint z interpolációelméletb l jólismert 1-f együtthtór normált Csebisev-polinom, melyet (2.12)-ben írtunk le Állítás. Az n-edik Csebisev-polinom gyökhelyei: ( ) (2k 1)π x k = cos, k = 1,..., n. (2.14) 2n Bizonyítás: Triviális, h felhsználjuk 2.3 Deníciót. Az els néhány normált Csebisev-polinom: T (x) = 1 T 1 (x) = x T 2 (x) = x T 3 (x) = x x T 4 (x) = x 4 x T 5 (x) = x x x 2.3. Guss-kvdrtúrák Minden olyn kvdrtúrformulát, melynek bszcisszáit és súlyit bból követelményb l htározzuk meg, hogy pontosságánk rendje lehet legmgsbb legyen, Guss-típusú kvdrtúrformulánk nevezünk. A 2.4 Tétel szerint egy n f(x) α(x) A k f(x k ) (2.15)

21 2.3. Guss-kvdrtúrák 18 interpolációs kvdrtúrformul pontossági rendje kkor mximális, vgyis 2n 1, h bszcisszái olyn n-edfokú polinom gyökei, mely [, b]-ben z α(x) súlyföggvény szerint minden, legfeljebb (n 1)-edfokú polinomr ortogonális. Legyen P (x), P 1 (x),..., P n (x),... polinomoknk egy sorozt, melyek z [, b] intervllumon ortogonálisk z α(x) súlyfüggvény szerint. Ilyen polinom sorozt létezik, mégpedig konstns tényez t l eltekintve egyértelm en (2.2 Tétel). Legyen P n (x) polinombn x n együtthtój A n (f együtthtó). A 2.3 Tétel szerint P n (x) gyökei vlósk, egyszeresek és z [, b] intervllumb esnek. Válsszuk P n (x) polinom x 1, x 2,..., x n gyökeit (2.15) kvdrtúr lppontjink és tekintsük z ezen lppontokhoz trtozó interpolációs kvdrtúrformulát, vgyis legyen hol A k = l k (x) α(x)dx, k = 1, 2,...n, (2.16) l k (x) = (x x 1)...(x x k 1 )(x x k+1 )...(x x n ) (x k x 1 )...(x k x k 1 )(x k x k+1 )...(x k x n ) Tétel. Az így értelmezett kvdrtúrformulákr igzk következ k: i) pontossági rendje 2n 1. ii) Ez z egyetlen ilyen tuljdonságú kvdrtúrformul Állítás. A Guss-kvdrtúr együtthtói mindig pozitívk, zz A k >, k = 1,..., n. Bizonyítás: Az n pontból álló Guss-kvdrtúr pontos (2n 2)-edfokú lk 2(x) polinomon. Ekkor: < l 2 k(x) α(x)dx = j=1 n A j lk(x 2 j ) = A k lk(x 2 k ) = A k Következmény. Az f : 1 függvényre pontos z n pontból álló Guss-kvdrtúr, ezért n A k = α(x)dx = µ. S t, z n pontból álló Guss-kvdrtúr pontos z x j polinomon (j =,..., n 1), ezért n A k x j k = x j α(x)dx = µ j (2.17)

22 2.4. Speciális Guss-kvdrtúrák 19 Ez pedig egy egyértelm en megoldhtó egyenletrendszer j-edik sorát dj z A j ismeretlenekre. Vgyis egy egyenletrendszer megoldásávl egyértelm en meg tudjuk htározni z A 1, A 2,..., A n kvdrtúr-súlyokt Állítás. H f C (2n) ([, b]), kkor R G (f) M 2n (2n)! ω n(x) 2 α. Itt R G (f) jelöli Guss-kvdrtúr hibáját, illetve ω n (x) = n (x x i ). i= Speciális Guss-kvdrtúrák Most, hogy már tudjuk, hogyn kell egy n pontú Guss-kvdrtúrát felállítni, speciális ortogonális polinomok segítségével speciális Guss-kvdrtúrákt kpunk Megjegyzés. Jelölje z n pontú Guss-kvdrtúrát G n (f). Vgyis z n-edfokú ortogonális polinom n db különböz gyökei lesznek z bszcisszák, mjd (2.17) egyenletrendszer megoldásávl megkpjuk z A 1, A 2,..., A n súlyokt. Vegyük Legendre, Lguerre, z Hermite és Csebisev ortogonális polinomokt és ezekre építsünk Guss-kvdrtúrát! Guss-Legendre-kvdrtúr z Tekintsük [ 1, 1] intervllumot, z α(x) 1 súlyfüggvényt és n := 1. Ekkor 1 1 f(x)dx-et fogjuk közelíteni. Az els fokú Legendre-polinom: Q 1 (x) = x, így z egyetlen bszcissz z x 1 =. Az egyenletrendszer, mit meg kell oldni z A 1 súly kiszámításához: hol µ = A 1 = µ, 1 1dx. Megoldv z egyenletet, kpjuk: A 1 = 2, így G 1 (f) = 2 f() Megjegyzés. A fenti G 1 (f) pontos legfeljebb els fokú polinomokon. Vlóbn, 2 = 1 1 1dx = 2 f() = 2, illetve = 1 2 = x 2 dx 2 f() = xdx = 2 f() =, ugynkkor

23 2.4. Speciális Guss-kvdrtúrák 2 Nézzük még meg 2 pontú Guss-Legendre-kvdrtúrát! Ekkor Q 2 (x) = x 2 1 3, így z bszcisszák: x 1 = 1 3, x 2 = 1 3. µ = 2 továbbr is, µ 1 = egyenletrendszer: A 1 + A 2 = 2 1 A A = Innen: A 1 = 1, A 2 = 1, zz G 2 (f) = f ( 1 3 ) + f ( 1 3 ). 1 1 x 1dx =. Az 2.5. Megjegyzés. Az iménti G 2 (f) pontos minden, legfeljebb hrmdfokú polinomr Guss-Lguerre-kvdrtúr z Tekintsük [, ] intervllumot, z α(x) = e x súlyfüggvényt és n := 1. Ekkor f(x) e x dx-et fogjuk közelíteni. Az els fokú Lguerre-polinom: L 1 (x) = x 1, így z egyetlen bszcissz z x 1 = 1. Az egyenletrendszer, mit meg kell oldni z A 1 súly kiszámításához: hol µ = 1 A 1 = µ, 1 e x dx = 1. Megoldv z egyenletet, kpjuk: A 1 = 1, így G 1 (f) = 1 f(1) Megjegyzés. Az így kpott G 1 (f) pontos legfeljebb els fokú polinomokon. Vlóbn, 1 = 2 = e x dx = 1 1 = 1, illetve 1 = x 2 e x dx 1 1 = 1. x e x dx = 1 1 = 1, ugynkkor Nézzük még meg 2 pontú Guss-Lguerre-kvdrtúrát! Ekkor L 2 (x) = x 2 4x + 2, így z bszcisszák: x 1 = 2 2, x 2 = µ = 1 továbbr is, µ 1 = x e x dx = 1. Az egyenletrendszer: A 1 + A 2 = 1 (2 2) A 1 + (2 + 2) A 2 = 1 ( 1 Innen: A 1 = 2(2 = 1 1 2) 2x 1, A 2 = 2(2+ = 1 2) 2x 2, zz G 2 (f) = 1 f(2 2) ) + f(2+ 2) Megjegyzés. Beláthtó, hogy G 2 (f) pontos minden, legfeljebb hrmdfokú polinomr.

24 2.4. Speciális Guss-kvdrtúrák Guss-Hermite-kvdrtúr Tekintsük [, ] intervllumot, z α(x) = e x2 súlyfüggvényt és n := 1. Ekkor z f(x) e x2 dx-et fogjuk közelíteni. Az els fokú Hermite-polinom: H 1 (x) = x, így z egyetlen bszcissz z x 1 =. Az egyenletrendszer, mit meg kell oldni z A 1 súly kiszámításához: hol µ = 1 A 1 = µ, 1 e x2 dx = π. Megoldv z egyenletet, kpjuk: A 1 = π, így G 1 (f) = π f() Megjegyzés. A fenti G 1 (f) pontos legfeljebb els fokú polinomokon. Vlóbn, π = e x2 dx = π 1 = π, illetve = x e x2 dx = π =, ugynkkor 1 2 π = x 2 e x2 dx π =. Nézzük még meg 2 pontú Guss-Hermite-kvdrtúrát! Ekkor H 2 (x) = x 2 1 2, így z bszcisszák: x 1 = 1 2, x 2 = 1 2. µ = π továbbr is, µ 1 = Az egyenletrendszer: A 1 + A 2 = π 1 A A = Innen: A 1 = π, A 2 2 = π, zz G 2 2(f) = ( ) π f( ) + f( 1 2 ). x e x2 dx = Megjegyzés. Az így el állított G 2 (f) pontos minden, legfeljebb hrmdfokú polinomr Guss-Csebisev-kvdrtúr Tekintsük [ 1, 1] intervllumot, és z α(x) = 1 1 x 2 korábbn is láttuk 2.5 Allításnál, hogy Csebisev-polinomok gyökei ( ) (2k 1)π x k = cos, k = 1,..., n. 2n súlyfüggvényt. Azt már Vgyis, Guss-Csebisev-kvdrtúr bszcisszáit igen könnyen meg tudjuk htározni. A most következ állítás zt mondj, hogy kvdrtúr súlyit is ngyon kényelmesen lehet meghtározni.

25 2.4. Speciális Guss-kvdrtúrák Állítás. Az n pontr támszkodó Guss-Csebisev kvdrtúr együtthtói: A k = π, k = 1,..., n. n 2.3. Következmény. Tehát G n (f) = π n ( n ( ) ) (2k 1)π f cos. 2n

26 3. fejezet Oszcillációs integrndusok Ebben fejezetben z oszcillációs integrálok pproximációjávl fogunk fogllkozni. Az eljárás zon lpszik, hogy z integrációs intervllumot egy komplex síkbeli görbével helyettesítjük, z úgynevezett legmeredekebb lejt nek megfelel en. Ezen vonlintegrálokon z integrndus már nem fog oszcillálni. Erre komplex vonlintegrálr építünk egy Guss-kvdrtúrát. Tekintsük z úgynevezett Fourier-típusú integrálokt, melyek szép példái z oszcillációs integráloknk: I[f] := f(x) e iωg(x) dx, (3.1) hol ω egy frekvenciprméter, f és g függvényeket pedig rendre mplitúdónk, vgy kilengésnek és rezgéskelt nek, vgy oszcillátornk, illetve fázisnk szoktuk nevezni. H ω ngy, z integrndus er sen oszcillál. Ennek z integrálnk numerikus kiértékeléséhez rengeteg pontr lenne szükség, h vlki Guss-kvdrtúr, vgy bármilyen más interpolációs kvdrtúr módszer segítségével szeretné közelíteni Aszimptotikus kiterjesztés 3.1. Deníció. Egy g : [, b] R függvénynek ξ [, b] r-edrend stcionárius pontj, h g (j) (ξ) =, j = 1, 2,...r, de g (r+1) (ξ) Péld. g(x) = x r függvénynek z x = -bn (r 1)-edrend stcionárius pontj vn. 23

27 3.1. Aszimptotikus kiterjesztés 24 Amikor ω ngy, I[f] f hozzájárulás z integrációs intervllum végpontjihoz, illetve stcionárius pontokhoz vn közel. Pontosbbn, végpontok és stcionárius pontok el állítnk egy-egy f hozzájárulást I[f] szimptotikus kiterjesztésében (S,b [f], S ξ [f]). Beláthtó, hogy S,b [f] = k [f]ω k 1, ω. k= Itt z k [f] együtthtók egyedül f értékeit l és végpontok k-drend deriváltjitól függnek. Hsonlón, z (r 1)-edrend stcionárius ξ pontbn z szimptotikus kiterjesztés: S ξ [f] = k= b k [f]ω k+1 r, ω, hol b k [f] együtthtók ugyncsk z f függvény értékeit l és ξ stcionárius pont k-drend deriváltjitól függnek. A teljes szimptotikus kiterjesztés megkphtó z lábbi közelítés megdásávl: I[f] S,b [f] + S ξ [f], ω. A kiterjesztés bszolút hibáj végpontokbn O(ω n 1 )-edrend, h ott deriváltk (n 1)-edrend ek és stcionárius pontokbn O(ω n+1 r )-edrend, h stcionárius pont (r 1)-edrend. Ezt szokták Wttson-lemmként emlegetni. Vlóbn, jelölje S,b n [f] z S,b[f] n-edik részletösszegét. Ekkor n S,b[f] n = k [f]ω k 1. (3.2) k= Itt k [f] együtthtók f (k) -tól függnek, de mivel feltettük, hogy végpontokbn deriváltk (n 1)-edrend ek, ezért f (j) () = f (j) (b) = f (n) () és f (n) (b), így (3.2) következ lkr egyszer södik: S n,b[f] = n [f] ω n 1 = O(ω n 1 ). Hsonlón igzolhtó stcionárius pontokbn is. (j =, 1,..., n 1), de Az eljárás következ : z integrációs intervllumot komplex sík görbéivel helyettesítjük úgy, hogy ezen görbék mentén z integrndus nemoszcillációs és exponenciálisn csökken. Aztán minden egyes integrált prméterezünk vlmilyen módon, hogy htékony Guss-kvdrtúrát építhessünk rá. Ez el állítj Guss-szbály

28 3.2. A legmeredekebb lejt numerikus módszere 25 jólismert optimális polinom rendjét. n drb kvdrtúr lppont hsznált esetén közel végpontokhoz egy O(ω 2n 1 )-edrend hibát kpunk, így z szimptotikus rend ngyjából duplázódik z sszimptotikus kiterjesztéshez képest. El ször csk g(x) = x r speciális esettel fogllkozunk és rr építjük fel Guss-kvdrtúrát, mjd z áltlános esetet visszvezetjük erre speciális esetre: I[f] := f(x) e iωxr dx, (3.3) hol <, b >, f C [, b], ξ = (r 1)-edrend stcionárius pont A legmeredekebb lejt numerikus módszere Tekintsük g(x) = x r oszcillátort és rögzítsünk egy tetsz leges x [, b] pontot. Ezen pont legmeredekebb lejt jét deniáljuk következ képpen: 3.2. Deníció. Legyen h x (p) egy olyn p [, P ]-vel prméterezett görbe komplex számsíkon, hogy z x r fázisfüggvény vlós része z egész út mentén konstns legyen. Ezt elérjük például h r x(p) = x r + ip (3.4) h x () = x peremfeltétel egyenlet megoldásávl Megjegyzés. A peremfeltétel kiköti, hogy rögzített x [, b] ponthoz trtozó legmeredekebb lejt nek mgából z x pontból kell kiindulni Megjegyzés. Az eljárást z motiválj, hogy z e iωxr = e iωre(xr) e iωiim(xr) = = e iωre(xr) e ωim(xr). Így, h rögzítjük vlós részt, kkor z integrndus nem hogy nem lesz oszcilláló, s t exponenciálisn csökken lesz Péld. Tekintsük z r = 1 esetet, vgyis z f(x) e iωx dx oszcillációs integrált. Az el z eket gyelembe véve végpontokbn felírt legmeredekebb lejt : h (p) = + ip, h b (p) = b + ip, p [, P ]. Végül, kössük össze h (P ) és h b (P ) pontokt és trtsunk P-vel végtelenbe. Ezt konstrukciót láthtjuk 3.1 ábrán.

29 3.2. A legmeredekebb lejt numerikus módszere ábr. g(x) = x esetén legmeredekebb lejt végpontokbn Péld. Most tekintsük z r = 2 esetet és legyen := 1, b := 1. Ekkor z integrál: 1 1 f(x) e iωx2 dx. Ekkor legmeredekebb lejt egyenlete: h 2 x(p) = x 2 + ip, mib l h x (p) = x 2 + ip, hol h x (p) egy többérték függvény (egész potnosn 2 érték ): h x,j (p) = ( 1) j x 2 + ip, j =, 1. A ( 1)-ben vegyük j = 1 esetet, z 1-ben pedig vegyük j = esetet. A végpontokbn tehát legmeredekebb lejt : h 1,1 (p) = x 2 + ip, h 1, (p) = x 2 + ip, p [, ]. A stcionárius ξ = pontb pedig vegyük be mindkét esetet. Így h,1 (p) = ip, h, (p) = ip. Ezt konstrukciót láthtjuk 3.2 ábrán Péld. Tekintsük végül z r = 3 esetet és legyen megint csk := 1 és b := 1. Ekkor z integrál: 1 1 f(x) e iωx3 dx. Az eddigiekhez hsonlón járunk el, csk most z inverz függvény 3 érték (3 ágú), ezért h x,j (p) = e 2πi j 3 3 x 3 + ip, j =, 1, 2.

30 3.2. A legmeredekebb lejt numerikus módszere ábr. g(x) = x 2 esetén legmeredekebb lejt konstrukciój. Az x = 1 végpontb j = 1-hez trtozó görbét, míg z x = 1 végpontb j = -hoz trtozó görbét vegyük be, így h 1,1 (p) = e 2πi ip, h 1, (p) = ip. A ξ = stcionárius pontb pedig j = 1-hez, illetve j = -hoz trtozó görbéket vegyük be: h,1 (p) = e 2πi ip, h, (p) = 3 ip. Ezt konstrukciót láthtjuk 3.3 ábrán. (3.4) görbe segítségével (3.3) következ vonlintegrált ölti: P P f(h x (p)) e iωhr x(p) h x(p)dp = e iωxr f(h x (p)) h x(p) e ωp dp Megjegyzés. Jelölés: Ezt z exponenciálisn csökken, nemoszcillációs vonlintegrált jelölje: P I[f; h x ] := e iωxr f(h x (p)) h x(p) e ωp dp. A (3.4) egyenletnek pontosn r drb különböz megoldás vn; j-edik éppen: h x,j (p) = e 2πi j r r x r + ip, j =,..., r 1, (3.5)

31 3.2. A legmeredekebb lejt numerikus módszere ábr. g(x) = x 3 esetén legmeredekebb lejt konstrukciój. hol h x,j (p) mindegyike egy-egy komplex-görbe. Az f : C C, f(z) = z r komplex függvény nlitikus és inverze egy többérték függvény. Minden ponthoz hozzárendeli z r drb megoldást, vgyis gyököt és ezek pontosn kijelölnek r drb különböz görbét. A végpontokbn legmeredekebb lejt útj egyértelm en meghtározhtó peremfeltételb l: h () = és h b () = b. Legyenek j 1 := r/2, illetve j 2 := (3.6) és keressük z útvonlkt h,j1 és h b,j2 lkbn. A ξ = stcionárius pontbn minden megoldás kielégíti peremfeltételt, zz h,j () =, j =,..., r 1, mi mégis csk z el írt j 1 és j 2 áltl meghtározott ágkt vesszük gyelembe. Ezt láthtjuk 3.2 és 3.3 ábrán r = 2 és r = 3 esetekben Négytgú szumm Szeretnénk (3.3) integrált h,j1, h b,j2, h,j1 és h,j2 vonlintegrálok összegére bontni, hogy ztán numerikusn kiértékelhessük ezeket vonlintegrálokt. Ehhez el ször is mondjuk ki zárt görbékr l szóló Cuchy-tételt, mjd további tételek kimondásávl jutunk közelebb felbontáshoz Tétel (Cuchy integrál-formul). Legyen B, D C trtományok, f: D C reguláris függyvény, γ : [, b] B rektikálhtó, egyszer, zárt görbe,

32 3.2. A legmeredekebb lejt numerikus módszere 29 melyre intγ D. Ekkor f(z)dz =. γ 3.1. Lemm. Legyen u nlitikus függvény egy egyszeresen összefügg D C trtományon, melyre [, b] D és legyen S D egy korlátos, összefügg trtomány, melyre u(z) ε z S, továbbá, tegyük fel, hogy S bármely két, p és q pontját összekötö S-beli görbe hossz felülr l becsülhet egy M > konstnssl. Ekkor létezik egy F (x) x [, b] függvény, melyre u integrálj következ vel pproximálhtó x u(z)dz F () F (x) (3.7) egy e hibávl, mely kielégíti: e Mε. Az F függvény egy vonlintegrál: F (x) = u(z)dz, Γ x hol Γ x egy tetsz leges, x-b l induló D-beli görbe. Bizonyítás: Legyen Γ x egy D-beli görbe x-b l egy tetsz leges S-beli pontb, melyet jelöljön q(x) és Γ szintén egy D-beli görbe -ból q() S-be. Legyen κ egy S- ben hldó q()-t és q(x)-et összeköt görbe. Mivel u nlitikus D-ben, 3.1 Cuchy Tétel mitt z integrációs görbe és x között válszthtó Γ, κ, és Γ x uniójként. Következésképp z integrál következ lkb írhtó: x u(z)dz = F () + u(z)dz F (x), hol u(z)dz Mε κ κ vonlintegrál triviális becslése mitt Megjegyzés. Jegyezzük meg, hogy F nem htározhtó meg teljesen 3.1 Lemm feltételeivel. Áltlábn Γ x görbe q(x) végpontj x-nek egy tetsz leges függvénye. H g nlitikus, kkor z e iωg(x) oszcilláló függvény is nlitikus (3.1) integrálbn, mivel x-nek egy függvénye. Ez függvény bszolút értékben kicsi, h e iωg(x) ε e ωimg(x) ε Img(x) log(ε) ω. H g inverze létezik, tlálhtunk 3.1 Lemmához szükséges S trtományt g 1 (c + id) pontokkl, hol d d, d := log(ε) ω.

33 3.2. A legmeredekebb lejt numerikus módszere Megjegyzés. Jegyezzük meg, hogy áltlánosn egy nlitikus függvény lehet többérték. Ebben z esetben z inverz függvény nem lesz folytonos stcionárius pontok, illetve (mondjuk) áltl meghtározott töröttvonlon (esetünkben [, ) félegyenesen), mert ott z inverz függvény féloldli deriváltji nem fognk megegyezni. Ezen töröttvonl pontjin kívül z inverz függvény minden pontbn lokálisn létezik, ezért jellemezni tudjuk felbontás hibáját 3.1 Lemmábn (3.1) integrál áltlános esetében, ω függvényeként Tétel. Legyen f és g nlitikus egy korlátos nyílt D C trtományon, melyre [, b] D és tegyük fel, hogy g (z), z D. Ekkor (3.1) integrálnk létezik egy (3.7) pproximációj egy O(e ωd ) ngyságrend hibávl, hol d > konstns. Bizonyítás: Legyen S := {z : Img(z) d } D, d >. Itt e ig(z)ω ε. Ilyen d konstns mindig tlálhtó, mert S nemüres, mivel g nlitikus. Tekintsünk egy x [, b] pontot. Mivel g nlitikus x-ben, ezért egy elég kicsi környzetében is, tehát g(z) = g(x) + id egyenletnek mindig vn egy z megoldás elég kis d > -r (z = g 1 (x + id )). Mivel D összefügg x egy környezetében és z D, ezért d elég kicsinek válszthtó. A szükséges geometrii feltételek S-re, melyeket 3.1 Lemm követel, következik g folytonosságából. Kptuk: x S : f(x) e iωg(x) f(x) e ωd. Mivel S korlátos, (S D, D korlátos), létezik C > konstns, hogy f(x) C, x S. Az eredmény következik 3.1 Lemmából u(x) = f(x) e iωg(x) és ε = C e ωd válsztássl. A ξ stcionárius pontbn g deriváltj elt nik és z f(x) e iωg(x) integrndus nem oszcillál, leglábbis lokálisn. Az integrndus hozzájárulás ξ-ben emitt nem elhnygolhtó. A 3.2 Tétel nem lklmzhtó, mert g inverze nem létezik egyértelm en (többérték függvény) ξ elágzási pont környezetében. Azért, hogy illusztráljuk problémát, tekintsük következ szituációt. Tegyük fel, hogy g (x) = egyenletenek egyetlen megoldás: ξ [, b]. Most deniáljuk g következ megszorításit: g 1 := g [,ξ] illetve g 2 := g [ξ,b]. (3.8)

34 3.2. A legmeredekebb lejt numerikus módszere 31 Ekkor g-nek z [, b]-n nem létezik egyértelm inverze, de z egyérték g 1 1 ág megtlálhtó, mely kielégíti g 1 1 (g(x)) = x, x [, ξ]. Ez z ág mindenhol nlitikus, kivéve stcionárius ξ pontbn. Hsonlón, egy egyérték g 1 2 ág létezik, mely g 1 2 (g(x)) = x, x [ξ, b] egyenletet elégíti ki. Mindkét ág kielégíti g(g 1 i (z)) = z, i = 1, 2, z nlitikus értelmezési trtományukbn. Az integrndus kicsi z S 1 területen g 1 1 (c + id), d d formul pontjivl, vgy z S 2 területen g 1 2 (c+id), d d formul pontjivl. Könnyen beláthtó, hogy S 1 és S 2 diszjunktk. Tegyük fel, hogy y S 1 és z S 2. Alklmzv g-t g 1 1 (y) = g 1 2 (z) egyenlet mindkét oldlán y = z, mi csk kkor lehetséges, h z = ξ / S 1, S 2. Az út, mely megoldj g(h x (p)) = g(x)+ip egyneletet, egy -ból induló S 1 -beli és egy b-b l induló S 2 -beli úthoz vezet. A megoldás ennélfogv kettéosztj z integrációs intervllumot két részintervllumr: [, ξ] és [ξ, b]. Ez z eljerás stcionárius pontok tetsz leges szám esetén ismételhet Tétel. Tegyük fel, hogy f és g függvények nlitikusk D C nyílt trtományon, [, b] D. H ξ D g (x) = egyenlet egyetlen megoldás (ξ stcionárius pont), és ξ (, b), kkor léteznek z F j (x) j = 1, 2 függvények, melyekre: t s f(z) e iωg(z) dz = F 1 (s) F 1 (ξ) + F 2 (ξ) F 2 (t) + O(e ωd ), d >, hol s [, ξ] és t [ξ, b], továbbá hol Γ x,j egy x-b l induló görbe. F j (x) := f(z) e iωg(z) dz, Γ x,j (3.9) Bizonyítás: Deniáljuk g(x)-et, mint (3.8) megszorításbn. Az t ξ f(x) e iωg(x) dx lesz kítés megtlálhtó 3.2 Tétel bizonyításábn két módosítássl. El ször is, g(z) = g(x) + id egyenletnek leglább két megoldás vn z x = ξ pont körül. Azt megoldást válsztjuk, melyik kpcsolódik g invezrének egyérték g 1 2 ágához, mely kielégíti: g 1 2 (g(x)) = x, x [ξ, b]. Az elágzás mindig megválszthtó úgy, hogy ne gátolj Cuchy-tétel lklmzását. Másodszor, S-et most deniáljuk úgy, mint S := {z : Img(z) d, g 1 2 (g(z)) = z} D, mely D egy összefügg részével vn lefedve, hol z integrndus kicsi. Ezekkel módosításokkl bizonyítás megmuttj

35 3.3. A vonlintegrálok numerikus közelítése 32 F 2 létezését, mely következ lkú: t ξ f(z) e iωg(z) dz = F 2 (ξ) F 2 (t) + O(e ωd ). Ugynez z okoskodás lklmzhtó, hogy megtláljuk z [, ξ] intervellumr történ lesz kítést. Ez vezet z eredményre. Ez utóbbi tétel értelmében mostmár el tudjuk készíteni 4-tgú szummát, mi célunk volt: I[f] = I[f, h,j1 ] I[f, h ξ,j1 ] + I[f, h ξ,j2 ] I[f, h b,j2 ] + O(e dω ), (3.1) hol ω és d > d > Megjegyzés. Az egyszer ség kedvéért csk P = esettel fogllkozunk, ezért elegend, hogy f nlitikus legyen egy elegend en ngy trtományon. Ezzel elértük, hogy z eredetileg oszcillációs integrálunkt felbontottuk 4 drb nemoszcillációs vonlintegrál összegére. A következ kben ezen vonlintegráloknk vizsgáljuk numerikus kiértékelését A vonlintegrálok numerikus közelítése Jelölje: Φ x,j (p) := f(h x,j (p)) h x,j(p), x = {, ξ, b}, j = j 1, j 2, hol h x,j(p) ismert: h x,j(p) = e 2πi j r r (xr + ip) r 1 r, (3.5) p-szerinti deriválásávl. i Ezzel jelöléssel 4-tgú szummánk következ formár egyszer södik: I[f] e iωr Φ,j1 (p) e ωp dp + Φ ξ,j1 (p) e ωp dp + Φ ξ,j2 (p) e ωp dp e iωbr Φ b,j2 (p) e ωp dp. Most külön-külön meg fogjuk vizsgálni végpontok és stcionárius pontok esetét.

36 3.3. A vonlintegrálok numerikus közelítése Vonlintegrálok végpontokbn A vonlintegrálok megfelel és b végpontokbn jól viselkednek és z szimptotikus kiterjesztésük levezethet. Például, x = -bn I[f; h,j1 ] k [f]ω k 1, hol z k [f] együtthtók f (j) ()-tól függnek j =,..., k. H vlki z szimptotikus kiterjesztés n-edik részletösszegével pproximálj vonlintegrált, kkor hib szimptotikusn viselkedik és I[f; h,j1 ] k ω k 1 = O(ω n 1 ), ω. (3.11) k= Ezek z szimptotikus kiterjesztések zonbn áltlábn divergensek, még kkor is, h vonlintergrálok múgy jól viselkednek. Ennélfogv ω bármely rögzített értékére hib (3.11)-ben ngy lehet és nem lehet jelent sen csökkenteni szumm további tgjink megdásávl. Ezért más utt járunk be: Abbn vgyunk érdekeltek, mikor nevezetes kvdrtúr-formulák egy csládjáb es kvdrtúrávl tudjuk pproximálni vonlintegrálokt. Legyen: k= Q[f; h,j1 ] := n f(x k (ω))w k (ω) (3.12) ω-tól függ x k (ω) pontokkl és w k (ω) súlyokkl, hol I[f; h,j1 ] Q[f; h,j1 ] = O(ω Sn ), ω. (3.13) Célunk ezen felül z is, hogy mximlizáljuk S n szimptotikus rendjét minden n-re. A (3.12) formul egy vonlintegrált közelít. Hjtsuk végre q = ωp helyettesítést: Q[f; h,j1 ] = n f(x k (ω))w k (ω) e iωr Φ,j1 (p) e ωp dp = = e iωr 1 ω f ( ( q ) ) ( q ) h,j1 h,j ω 1 ω e q dq. Kptunk egy improprius integrált e q súlyfüggvénnyel. Ezt már könnyen tudjuk pproximálni jólismert Guss-Lguerre kvdrtúrávl. Legyenek x GL k és w GL k súlyi: f ( ( q ) ) ( q ) h,j1 h,j ω 1 e q dq ω n ( x GL ) k f (h ),j1 h ω ( x GL,j k 1 ω z lppontji ) w GL k

37 3.3. A vonlintegrálok numerikus közelítése 34 Kptuk: n f(x k (ω))w k (ω) = n ( x GL ) k f (h ),j1 h ω ( x GL,j k 1 ω ) w GL k (3.14) A (3.14) egyenl ségb l leolvshtjuk z x k (ω) lppontok és w k (ω) súlyok (egy lehetséges) értékét: ( x GL k x k (ω) := h,j1 ), illetve w k (ω) := eiωr ω ω ( x GL ) h k,j 1 wk GL. (3.15) ω Most egy lemmát mondunk ki, mely megmuttj, hogy z pproximáció szimptotikus rendje Guss-Lguerre polinom fokából meghtározhtó Lemm. Tekintsük < α R számot és egy kvdrtúr szbályt n drb x k lpponttl és w k súlyokkl, melyre H x m e xα dx = n x m k w k, m =,..., d 1. (3.16) u(x) e ωxα dx létezik vlmilyen ω > ω súlyfüggvényre és u nlitikus z x = pontbn, kkor u(x) e ωxα dx ω 1 α n Bizonyítás: Hsználv z x = ω 1 α t helyettesítést: x m e xα dx = ω 1 α = ω 1 α n ( ) u x k ω 1 α w k = O(ω d+1 α ), ω. ( ) m ω 1 α t ( e ω 1 α t) αdt = ( x k ω 1 α ) mwk, m =,..., d 1. (3.17) Ez utóbbi egyenl ség (3.16) pontossági feltevés mitt következik. Mivel u nlitikus z x = -bn, így konvergens Tylor-sor vn tetsz leges R > -r u(x) = i= u (i) () x i, i! x < R Jelölje: u d (x) := u(x) = d 1 i= d 1 i= u (i) () x i + i! i=d u (i) () x i. i! u (i) () x i, illetve u l (x) := i! i=d u (i) () x i, i!

38 3.3. A vonlintegrálok numerikus közelítése 35 így u(x) = u d (x) + u l (x), hol u d P d 1. Legyen: L ω [u] := Ezt továbbírv: = u d (x) e ωxα dx + Mivel u d P d 1, így L ω [u d ] = ω 1 α következik. ω 1 α Tehát kvdrtúr hibáj: u(x) e ωxα dx ω 1 α = L ω [u d ] + L ω [u l ] ω 1 α n n ) u d (x k ω 1 α w k ω 1 α u l (x) e ωxα dx = L ω [u d ] + L ω [u l ]. u(x) e ωxα dx. n ) u d (x k ω 1 α w k, mi (3.17) egyenl ségb l ( ) u x k ω 1 α w k = L ω [u] ω 1 α n ( ) u x k ω 1 α w k = ω 1 α n n ) u l (x k ω 1 α w k = L ω [u l ] ω 1 α Itt mindkét tg becsülhet O(ω d+1 α )-vl, ugynis: ( ) u x k ω 1 α w k = n ) u d (x k ω 1 α w k + L ω [u l ] n ) u l (x k ω 1 α w k. i) Az els tgbn z x α = t helyettesítést végrehjtv, mjd u l denícióját felhsználv: Az integrndus: L ω [u l ] = ( t 1 α 1 1 ) 1 u l t α = t α 1 u l (x) e ωxα dx = 1 α i=d u (i) () i! mert u (d) (). A Wttson-lemm mitt: 1 α ( 1 ) 1 u l t α t α 1 e ωt dt 1 α ( 1 ) i 1 t α = t α 1 ( 1 ) 1 u l t α t α 1 e ωt dt. ( u (d) () ) t d α +... d! t d+1 α 1, t d+1 α 1 e ωt dt = O(ω d+1 α ), ω. Azz: L ω [u l ] = O(ω d+1 α ). ii) Elég ngy ω-r, melyre x k ω 1 α < R ( ) ( ) ( ) u l xk ω 1 α = u xk ω 1 α ud xk ω 1 α = n ( ) u l xk ω 1 α wk = O(ω d α ) ω 1 α i=d n u (i) ()( ) xω 1 i α = O(ω d α ) i! ( ) u l xk ω 1 α wk = O(ω d+1 α ).

39 3.3. A vonlintegrálok numerikus közelítése Tétel. Deniáljuk Q[f; h,j1 ] kvdrtúr szbályt (3.12) formulábn megdott módon (3.15)-ben dott pontokkl és súlyokkl. Ekkor z pproximácó hibáj: I[f; h,j1 ] Q[f; h,j1 ] = O(ω 2n 1 ), ω. Bizonyítás: Azonnl következik 3.2 Lemmából α = 1 és u(x) = f(h,j1 (x)) válsztássl. Ez z u függvény nlitikus z x = -bn Megjegyzés. i) A 3.4 Tétel eredménye másik végpontr, b-re is érvényes. Még áltlánosbbn, bármely x-re érvényes, hol g (x). ii) A stcionárius pontokbn h ξ,j (p) függvény nem nlitikus -bn, így 3.2 Lemm nem hsználhtó fel zonnl. iii) Fontos megjegyezni, hogy ellentétben Fylton-típusú kvdrtúr-szbállyl, Q[f; h,j1 ] áltlábn nem pontos, mikor f polinom. Csk kkor pontos, h f(h,j1 (p)) h,j 1 (p) egy kell en kis fokú polinom Vonlintegrálok stcionárius pontokbn Hsonló érvelés vontkozik zon integrálokr, melyek trtlmzzák z x = stcionárius pontot. Emlékeztet ül, z szimptotikus kiterjesztés formuláj: I[f; h ξ,jm ] m,k [f]ω k+1 r, m = 1, 2 ω, k= hol z m,k [f] együtthtók z f (i) (), i =, 1,..., k értékeit l függnek. Ennek következtében z szipmtotikus kiterjesztés n-edik részletösszege szimptotikusn viselkedik, mivel: n 1 I[f; h ξ,jm ] m,k [f]ω k+1 r = O(ω n+1 r ), ω. (3.18) k= Egy lklms Guss-típusú kvdrtúr gyelembe vételével z szimptotikus rend ebben z esetben is duplázódht. Tekintsük z I[f; h ξ,j2 ] vonlintegrált és hjtsuk végre q = r p helyettesítést: I[f; h ξ,j2 ] = i r f( r ip) (ip) r 1 r e ωp dp = r i Most egy újbb helyettesítésel (t r = ωq r ) és δ r := ( i ω = δ r f(δ r t) e tr dt. ) 1 r f(q r i) e ωqr. jelöléssel

40 3.3. A vonlintegrálok numerikus közelítése 37 Ez z lk már lklms Guss-kvdrtúrár, z e tr nemsztenderd súlyfüggvénnyel. Jelölje pontokt és súlyokt rendre x NS k és w NS k és deniáljuk x k (ω) := δ r x NS k, illetve w k (ω) := δ r w NS k. (3.19) A következ tétel 3.2 Lemmából következik α = r válsztássl Tétel. Deniáljuk Q[f; h ξ,j2 ] kvdrtúr szbályt (3.19)-ben megdott lppontokkl és súlyokkl. Ekkor stcionárius pontbn felírt legmeredekebb lejt j vonlintegrál pproximációjábn hib: I[f; h ξ,j2 ] Q[f; h ξ,j2 ] = O(ω 2n+1 r ), ω Megjegyzés. Az szimptotikus rend vlóbn hozzávet legesen kétszerese (3.18) rendjének. Egy hsonló eredménnyel kecsegtet I[f; h ξ,j1 ] Megjegyzés. A (3.3) integrált tekinthetjük, mint egy folytonos lineáris funkcionált, ezért L[f] := f(x) e xr dx. (3.2)

41 3.3. A vonlintegrálok numerikus közelítése Numerikus példák Ebben részben illusztráljuk Guss-kvdrtúr véghezvitelét. Illusztráljuk z lppontok elhelyezkedését komplex síkon ω különböz értékeire. Tekintsük következ integrálokt: I 2 := I 1 := sin(2x) e iωx3 dx. (3.21) x log(x + 3) e iωx4 dx. (3.22) A 3.4 ábr I 1 lppontjit ábrázolj (r = 3 eset), míg 3.5 ábr I 2 lppontjit vázolj (r = 4 eset) ω = 1, ω = 1 és ω = 1 értékekre. Mind z lppontokt, mind legmeredekebb lejt t ábrázoltuk (szggtott vonl). Növekv ω esetén z lppontok egyre inkább megközelítik z integrációs intervllum végpontjit és stcionárius pontot, vgyis, b és z origo körül helyezkednek el ábr. A kvdrtúr pontok elhelyezkedése egy oszcillációs integrál (I 1 ) [ 1, 1]-en r = 3-ml, megfelel ω = 1 (bl), ω = 1 (közép) és ω = 1 (jobb) értékekre. Minden görbén 8 pont lett kiszámolv. A pontok legmeredekebb lejt mentén helyezkednek el (szggtott vonl).

42 3.4. Aszimptotikusn optimális kvdrtúr-szbályok ábr. A kvdrtúr lppontjink elhelyezkedése [ 1, 1]-en oszcillációs integrálr r = 4-gyel (I 2 ), rendre ω = 1 (bl), ω = 1 (közép), ω = 1 (jobb) értékekre. Minden egyes görbén 8 pont lett kiszámolv. A pontok legmeredekebb lejt mentén helyezkednek el (szggtott vonl) Aszimptotikusn optimális kvdrtúr-szbályok A Guss-kvdrtúr szbályokt legmeredekebb lejt j integrálok numerikus kiértékelésére hsználjuk, jvítv z szimptotikus kiterjesztés szimptotikus rendjét. A módszer megköveteli stcionárius pontokbn két vonlintegrál kiértékelését, hogy zt korábbn láttuk. Mindkét integrálhoz n drb kvdrtúr pontot hsználunk, teljes integrndus kiértékeléséhez tehát 2n pont szükségeltetik. Az szimptotikus kiterjesztésben 2n drb tgot hsználv két közelítés hibáj ugynhhoz z szimptotikus rendhez vezet. Az eredményünk jvíthtó, meggyelve, hogy tlán kombinálhtjuk két legmeredekebb lejt j integrált stcionárius pontokbn. Meg fogjuk vizsgálni nnk lehet ségét, hogy hogyn tudnánk kiértékelni két különböz integrált. Legyen λ r := e 2πi r/2 1 r. Ekkor, h i) r páros, zz r = 2s lkú λ 2s = e 2πi 2s/2 1 2s = e πi = 1, ii) r pártln, zz r = 2s + 1 lkú λ 2s+1 = e 2πi 2s+1/2 1 2s+1 = e 2πis 2s+1. Kptuk: λ r = e 2πis 2s+1, h r = 2s + 1, (3.23) illetve λ r = 1, h r = 2s.