0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha

Méret: px

Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "0.1 Deníció. Egy (X, A, µ) téren értelmezett mérhet függvényekb l álló valamely (f α ) α egyenletesen integrálhatónak mondunk, ha"

Krisztina Biróné
7 évvel ezelőtt
Látták:

1 Vegyük észre, hogy egy mérhet f függvény pontosn kkor integrálhtó, h f dµ =. lim N Ez indokolj következ deníciót. { f α >N}. Deníció. Egy X, A, µ téren értelmezett mérhet függvényekb l álló vlmely f α α függvényhlmzt egyenletesen integrálhtónk mondunk, h lim sup f α dµ =. N α { f α >N}. Péld. H p > és z f α cslád korlátos z L p µ térben, kkor z z f α cslád egyenletesen integrálhtó. Emlékeztetünk, következ fontos állításr:. Tétel. Vlmely z R + id tengelyen értelmezett X, F mrtingál pontosn kkor egyenletesen integrálhtó, h vn olyn X L Ω vlószín ségi változó, hogy minden t-re X t = E X F s. Vegyük észre, hogy h z X egyenletesen integrálhtó mrtingál, kkor z X t = helyen értelmezhet, és z X τ megállított változónk kkor is vn értelme, h τ végtelen értéket is felveheti..3 Deníció. Emlékeztetünk, hogy H téren z olyn M mrtingálok hlmzát értjük, melyekre z t E M t függvény korlátos. A H tér elemeit négyzetesen integrálhtó mrtingáloknk mondjuk. A négyzetesen integrálhtó mrtingálok z egyenletesen integrálhtó mrtingálok kiemelked en fontos lterét lkotják..4 Tétel. Megállási opciókról szóló tétel Legyen X, F mrtingál, és legyenek τ τ tetsz leges megállási id k. H z X egyenletesen integrálhtó, kkor X τ = E X τ F τ. Az egyenl ség értelemszer en mjdnem mindenhol értelemben teljesül. H X nem egyenletesen integrálhtó, de τ τ c <, vgyis h megállási id k korlátosk, kkor z egyenl ség érvényben mrd 3. A Wiener-, vgy Poisson-folymtok z R + id tengelyen nem négyzetesen integrálhtók. Véges id horizonton zonbn elemei H térnek. Éppen ezért z említett folymtok csk lokálisn négyzetesen integrálhtók. Vgyis nem H, hnem z úgynevezett H tér elemei. Éppen loc ezért szükséges loklizációt, illetve H tereket bevezetni. loc Vegyük észre, hogy z egyenletes integrálhtóság mitt z X változó értelmes, így z X τ kifejezés teljességgel értelmes minden τ megállási id esetén. 3A megállási opciókról szóló tételben korlátosság feltétele, illetve z egyenletes integrálhtóság feltétele lényegében zonos. H mrtingál egyenletesen integrálhtó, kkor értelmezve vn [, ] zárt szkszon, mely rendezési és topológii szempontból ekvivlens mondjuk [, ] szksszl.

2 .5 Tétel. Mrtingálok és várhtó érték megmrdás Egy X jobbról reguláris és dptált folymt pontosn kkor mrtingál, h tetsz leges τ korlátos megállási id re és X τ L Ω E X τ = E X. Az egyenl ség pontosn kkor igz tetsz leges megállási id re, h z X egyenletesen integrálhtó mrtingál. Bizonyítás: H X mrtingál, illetve egyenletesen integrálhtó mrtingál, kkor megállási opciókról szóló tétel mitt z állítás teljesül. Vegyük z s < t id pontokt és legyen A F s. A megállási id deníciój lpján könnyen ellen rizhet, hogy megállási id. A feltétel szerint τ = tχ A c + sχ A E X = E X τ = E X t χ A c + E X s χ A. De τ t szintén megállási id, tehát A két oldlt összehsonlítv vgy mi ugynz E X = E X t = E X t χ A c + E X t χ A. E X s χ A = E X t χ A, E X s F s = E X t F s. Felhsználv, hogy z dptáltság mitt z X s változó F s -mérhet X s = E X t F s. H minden megállási id megengedett, kkor feltétel szerint z X létezik és integrálhtó, vlmint sorbn t = megengedett, következésképpen z X egyenletesen integrálhtó. Nyomtékosn hngsúlyozni kell, hogy megállási opciókról szóló tételben mrtingál tuljdonság mellett kulcs szerepet játszik trjektóriák jobbról vló regulritás. H X egy Poisson-folymt λ prmérerrel, kkor z X t λt kompenzált Poisson-folymt mrtingál. A megállási opciókról szóló tétel mitt h τ <, kkor τ n τ n egy korlátos megállási id és ezért A monoton konvergenci tétel mitt 4 E X τ n = λe τ n. E X τ = λe τ. H τ z X els ugrásánk id pontj és z X-et blról regulrizálnánk, kkor X τ = lenne, de másik oldl várhtó értéke /λ lenne és ellentmondást kpnánk. = E X τ = λe τ = 4Vegyük észre, hogy τ < feltételre nincsen igzán szükség, ugynis h τ ω =, kkor X ω, τ ω z X lklms kiterjesztése.

3 .6 Tétel. Mrtingál megmrdási tétel H X mrtingál, és τ tetsz leges megállási id, kkor z X τ megállított folymt is mrtingál. Bizonyítás: H z X reguláris, kkor z X τ megállított folymt is reguláris. Emlékeztetünk, hogy z X τ megállított folymt dptált mrd. Ennek megfelel en elegend ellen rizni, hogy teljesül z el z tétel. Legyen φ tetsz leges korlátos megállási id. A υ min φ, τ szintén korlátos. Mivel {υ t} = {φ t} {τ t} F t, ezért υ is megállási id. Az el z tétel szerint E X τ φ = E X υ = E X = E X τ, következésképpen z X τ mrtingál. A megállási opciókról szóló tétel segítségével Wienerfolymttl kpcsoltos számos eloszlás könnyen kiszámolhtó. Legyen w Wiener-folymt és jelölje τ z szint els elérésnek id pontját: τ = inf {t : w t } = inf {t : w t = } = = min {t : w t = }. Péld. H < < b, kkor Wienerfolymt τ és τ b tlálti idejére P τ < τ b = b b, P τ b < τ = b. A Wienerfolymt trjektóriái vlószín séggel nem korlátosk, tehát mjdnem minden z origóból kiinduló trjektóri vlmelyik oldlon kilép z [, b] szkszból, tehát P τ < τ b + P τ b < τ =. H τ min τ, τ b, kkor w τ korlátos mrtingál, így lklmzhtjuk megállási opciókról szóló tételt. A w τ τ vgy, vgy b, ennek megfelel en E w τ τ = P τ < τ b + bp τ b < τ = E w τ =. Két egyenletünk vn két ismeretlennel, mit megoldv éppen keresett összefüggéseket kpjuk..3 Péld. Wienerfolymt τ tlálti idejének Lplcetrnszformáltj L s E exp sτ = exp s, s. Legyen >. Az X t exp sw t s t/ folymt mrtingál, ezért z X τ is mrtingál. H s, kkor X τ t exp s s t exp s, ezért z X τ korlátos mrtingál. Minden korlátos mrtingál egyenletesen integrálhtó, így lklmzhtó megállási opciókról szóló tétel, tehát E Xτ τ = E exp s s τ = E X τ =, 3

4 mib l Egyszer helyettesítéssel, h s E exp s τ = exp s. L s E exp sτ = exp H <, kkor w Wienerfolymtr megismételve számolást L s = exp.4 Péld. Mutssuk meg, hogy h, kkor τ s r ségfüggvénye f x exp, x >. πx 3 x Megmuttjuk, hogy z f x s r ségfüggvényhez trtozó Lplce-trnszformáció éppen L s = exp s, mib l Lplce-trnszformáció egyértelm sége mitt z állítás már nyilvánvló. Mivel z f-hez trtozó eloszlás nem negtív számokr koncentrálódik, ezért L s exp sx f x dx, s. Megjegyezzünk, hogy F eloszlásfüggvényére érvényes következ képlet: x F x f t dt = exp u du, 3 ugynis z els integrálbn t = x /u helyettesítést végezve u 3 F x = 3 πx exp u x u 3 du = 3 x = exp u du. Prciálisn integrálv, és felhsználv, hogy F =, h s > L s = [exp sx F x] + s exp sx F x dx = = s A 3 összefüggést behelyettesítve L s = s exp sx F x dx. exp sx exp u dudx. Az L s függvényt rögzített s esetén tekinthetjük z változó függvényének. Jelöljük ez g -vl. Megmuttjuk, hogy h >, kkor g -r teljesül g = sg 4 4

5 dierenciálegyenletet. Az integrálbn szerepl integrndus nem negtív, tehát Fubinitétele lpján z integrálás htári felcserélhet ek, vgyis g = s exp sx exp u dxdu. A bels integrál z u prméter folytonos függvénye, mivel z exp sx dx = Γ < πx πs és ezért z / πx exp sx z integrndus integrálhtó mjoráns. Ezt felhsználv g = s exp sx exp dx. A második derivált kiszámoláskor bederiválhtunk z integrál jel mögé ugynis exp sx exp = exp sx exp x prciális deriváltnk z exp sx c exp b πx 3 x z b, c intervllumon integrálhtó mjoráns. g = s exp sx exp dx = sg. πx 3 x A dierenciálegyenlet krkterisztikus polinomj λ s =, mib l λ, = ± s, tehát z áltlános megoldás A exp s + B exp De mivel L = A + B =, L =, mi lpján L s = exp 5

Hasonló dokumentumok

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +