Lineáris funkcionálok integrál-reprezentációja

Átírás

1 Titkos Tamás Lineáris funkcionálok integrál-reprezentációja Szakdolgozat Témavezet : Dr. Czách László egyetemi docens Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék 2009

2 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés Történeti áttekintés Bevezet Felhasznált fogalmak, tételek, jelölések Vektorhálón értelmezett lineáris funkcionálok Deníciók, jelölések Lineáris funkcionálok felbontása Halmazfüggvények kiterjesztése Bels mértékek A kiterjesztés létezése A kiterjesztés egyértelm sége A Riesz reprezentációs tétel A reprezentáló mérték létezése A reprezentáló mérték egyértelm sége A klasszikus tétel A Riesz reprezentációs tétel - egy másik megközelítés Deníciók, jelölések A tétel bizonyítása Függvényterek duálisa Irodalomjegyzék 58 1

3 1. fejezet Bevezetés Mindenekel tt szeretnék köszönetet mondani témavezet mnek, Czách László tanár úrnak, akit l rengeteget tanulhattam az elmúlt évek során. Különösen hálás vagyok az általa ajánlott érdekes témáért, és a szakdolgozat megírása közben nyújtott nélkülözhetetlen segítségéért Történeti áttekintés Figyelembe véve, hogy már 1903-ban is ismert volt olyan tétel, amely egy folytonos lineáris funkcionál hatását az integrál fogalmának segítségével írta le, mondhatjuk, hogy a címben megjelölt téma több, mint száz éves múlttal rendelkezik. Matematikatörténeti érdekességként megpróbáljuk bemutatni, hogy miként alakult ki a klasszikus Riesz integrál-reprezentációs tétel mai formája. A fent említett, 1903-ban publikált eredmény Jacques Hadamard nevéhez f z dik, és a következ t mondja ki. Legyen I = [a, b] R. Ekkor tetsz leges Φ C(I) folytonos lineáris funkcionálhoz van olyan (g n ) C(I) függvénysorozat, amelyre Φ(f) = b lim n + a f(x)g n (x) dx ( f C(I)). Ezen reprezentáció lényeges hiányossága, hogy nem ad unicitást a (g n ) n N 2

4 függvénysorozatra. Ennél többet igazolt Maurice Fréchet, amikor 1904-ben megmutatta, hogy a g n -ek választhatók polinomnak. A Riesz Frigyes által 1909-ben bizonyított tétel már a Riemann-Stieltjes integrál fogalmát használja, és garantál egyfajta unicitást [11]. Tetsz leges Φ C(I) folytonos lineáris funkcionálhoz létezik olyan g : I R korlátos változású függvény, amelyre Φ(f) = f dg (f C(I)). I Egyértelm ségr l akkor beszélhetünk, ha a fenti formulában szerepl reprezentáló függvényt l megköveteljük, hogy ne csak korlátos változású, hanem jobbról folytonos is legyen. Úgy is fogalmazhatunk, hogy a C(I) tér duális tere azonosítható az I-n értelmezett, korlátos változású, jobbról folytonos függvények Banach terével, ahol a norma a függvény teljes változása. Ugyanezt igazolta Eduard Helly 1912-ben, a Hahn-Banach tétel segítségével ban Johann Radon jóval általánosabb feltételek mellett bizonyította Riesz tételét. Az eddigi I intervallum helyett jelölje K az R n tér egy kompakt részhalmazát. Ekkor minden Φ C(K) folytonos lineáris funkcionálhoz megadható egyetlen olyan K Borel halmazain értelmezett µ reguláris el jeles mérték, amelyre Φ(f) = fdµ ( f C(K)). K A következ általánosítás Stefan Banach nevéhez f z dik. Az 1937-ben publikált bizonyításban a K R n feltétel helyett K egy tetsz leges kompakt metrikus tér. (Ugyanezt a tételt kés bb belátta Stanislaw Saks is [13].) Els ként Markov próbálkozott azzal, hogy elhagyja a K-ra vonatkozó kompaktsági megkötést. (A reprezentálhatóságot normális tér korlátos folytonos függvényein értelmezett funkcionálokra igazolta.) 3

5 1940-ben jelent meg Shizuo Kakutani Concrete representation of abstract (M)-spaces cím cikke [8], amelyben a következ tételt igazolta: legyen Ω kompakt T 2 -tér, jelölje az Ω-n értelmezett valós érték folytonos függvények vektorterét C(Ω). Ekkor tetsz leges C(Ω)-n értelmezett f(x) korlátos lineáris funkcionál, amely rendelkezik az (1) f = 1 és (2) x C(Ω), x 0 f(x) 0 tulajdonságokkal, el áll f µ (x) = x(t)µ(dt) alakban, ahol µ(e) egy Ω Borel Ω halmazain értelmezett teljesen additív nemnegatív halmazfüggvény. Fennáll továbbá, hogy µ(ω) = 1. Érdemes megjegyezni, hogy a bizonyítás Neumann János ötletein alapul [16] ban Edwards a ƒech-stone kompaktikáció segítségével igazolta, hogy az alaptér lokális kompaktsága helyett elegend feltenni a teljes regularitást [3]. Természetesen rengetegen foglalkoztak még a témával (Halmos, Alexandrov, Kantorovics, Arens, és még sorolhatnánk), de ehelyütt már csak V.S. Varadarajan On a theorem of F. Riesz concerning the form of linear functionals cím 1958-ban írt cikkét említjük meg [15]. Azon túl, hogy az eddigiekt l teljesen eltér bizonyítást adott, tett egy fontos megjegyzést is. Ahhoz, hogy egy mérhet függvény integrálját meg tudjuk határozni, elég az integráló mérték értékeit a nullát nem tartalmazó Borel halmazok sképein ismerni. Természetes tehát, hogy a reprezentáló mértéket ezen fenti halmazok által generált σ-gy r n értelmezzük. Az, hogy ez a mérték kiterjed-e Borel mértékké, egy teljesen más kérdés. Megjegyezzük, hogy Varadarajan azt is megmutatta, hogy a tér T 2 -ségére tett feltevés elhagyható. 4

6 1.2. Bevezet Ezen szakdolgozat célja a jól ismert Riesz integrál-reprezentációs tétel egy absztrakt változatának bizonyítása. Ehhez a második fejezetben bevezetjük a vektorháló és a monoton σ-folytonos pozitív lineáris funkcionál fogalmát. Megvizsgáljuk ezek speciális típusait, majd igazolunk néhány felbontási tételt. Kiderül majd, hogy a reprezentáló mérték létezése nagyban függ attól, hogy egy adott halmazrendszeren értelmezett, R-be képez halmazfüggvény kiterjeszthet -e mértékké. Kérdés továbbá, hogy mit lehet mondani a kiterjesztés egyértelm ségér l. A harmadik fejezetben ezt a témát járjuk körül. A következ két fejezet a diplomamunka legfontosabb része. Két lényegesen különböz módon igazoljuk a korábban már többször említett (és addigra már precízen ki is mondott) Riesz tételt. Fontos megjegyeznünk, hogy mindkét esetben bizonyítunk egyfajta unicitást is. Végül bemutatjuk a tétel néhány alkalmazását. A felépítést indokló további megjegyzések, illetve (ahol szükséges) hivatkozások az adott fejezetek elején találhatóak. 5

7 1.3. Felhasznált fogalmak, tételek, jelölések A következ jelölésekkel élünk: N jelöli a természetes, R a valós, R + a nemnegatív valós, R + pedig a kiterjesztett érték nemnegatív valós számok halmazát. Ha H 0, H, K tetsz leges halmazok, H 0 H, f : H K függvény, akkor f H0 jelöli az f H 0 -ra vett megszorítását. Valós érték függvényvek monoton fogyó, pontonkénti konvergenciájára a egyszer sített jelölést használjuk, azaz f n g, ha a közös értelmezési tartományuk minden x elemére n + esetén az f n (x) számsorozat monoton fogyólag tart g(x)-hez. Hasonlóan értelmezend az f n g jelölés. Adott halmaz egy tetsz leges K részhalmazának karakterisztikus függvényét χ K -val jelöljük. Azt mondjuk, hogy a (K n ) n N halmazsorozat tartalmazásra nézve monoton fogyó (vagy röviden monoton fogyó), ha minden n N-re H n+1 H n. Egy adott halmaz hatványhalmazát, azaz az összes részhalmazaiból álló halmazrendszert P()-szel jelöljük. Funkcionál alatt mindig halmazrendszeren értelmezett, R-be képez függvényt értünk (linearitást tehát nem tételezünk fel). Ismertnek tekintjük a klasszikus mértékelmélet fogalmainak, felépítési módjainak és nevezetes eredményeinek ismeretét (úgy mint Beppo-Levi tétel, Lebesgue-féle dominált konvergencia tétel, Fatou lemma, Lebesgue felbontás tétel, Radon-Nikodym tétel). Ezek mindegyikét kimondás, vagy hivatkozás nélkül alkalmazzuk. ([5],[7]) A dolgozatban szintén hivatkozás nélkül alkalmazzuk a funkcionálanalízis ismert eredményeit, valamint az általános topológia elemi fogalmait. ([2],[12]) 6

8 2. fejezet Vektorhálón értelmezett lineáris funkcionálok Ezen fejezetben megismerkedünk néhány speciális típusú vektorháló fogalmával. Megvizsgáljuk a rajtuk értelmezett, R-be ható lineáris leképezéseket, különös tekintettel arra, hogy milyen esetben bonthatóak fel két pozitív lineáris funkcionál különbségére Deníciók, jelölések Legyen nemüres halmaz. Jelölje u v és u v az -en értelmezett valós érték függvények alsó, illetve fels burkoló függvényét, u + és u az u függvény pozitív, illetve negatív részét, tehát u + := u 0, u := u 0. Nyilvánvaló, hogy u = u + u és u = u + + u Deníció. Az halmazon értelmezett valós érték függvények valamely U () részhalmazát (valós) vektorhálónak nevezzük, ha (1) U () R-feletti vektortér a szokásos m veletekkel 7

9 (2) u U () : u U (). Mivel bármely u, v : R függvények esetén: u v = 1 2 (u + v) + 1 u v, 2 u v = 1 2 (u + v) 1 u v, 2 ezért ha U () vektorháló és u, v U (), akkor egyúttal u v, u v, u +, u U (). Ezzel a következ ekvivalens denícióhoz jutottunk: Az -en értelmezett valós érték függvények valamely U () halmazát (valós) vektorhálónak nevezzük, ha (1) U () R-feletti vektortér a szokásos m veletekkel (2) u, v U () : u v, u v U () Jelölje a továbbiakban U () + a vektorháló nemnegatív elemeit, 1 pedig az -en értelmezett konstans 1 érték függvényt. Megjegyzend, hogy általában 1 / U (). A kés bbiekben fontos szerepet játszik az alábbi deníció Deníció. Azt mondjuk, hogy az U () vektorháló Stone-féle vektorháló, ha teljesül rá az úgynevezett Stone-feltétel, azaz hogy tetsz leges u U () esetén u 1 U () Példa. Ha lokálisan kompakt T 2 -tér, akkor az -en értelmezett valós érték folytonos és kompakt tartójú függvények C 0 () halmaza Stoneféle vektorháló. Ha kompakt T 2 -tér, akkor C 0 () = C(), így az -en értelmezett valós érték folytonos függvények halmaza Stone-féle vektorháló. Ha (, Σ, µ) mértéktér, akkor tetsz leges 1 p + esetén az L p (, Σ, µ) tér szintén rendelkezik a Stone-tulajdonsággal Deníció. Normált vektorhálón egy olyan (U (),. ) rendezett párt értünk, ahol U () vektorháló,. pedig olyan norma U ()-n, amelyik kielégíti az alábbi feltételeket: 8

10 (1) u, v U () +, u v u v (2) u U () : u = u Megjegyezzük, hogy a fent megemlített Stone-féle vektorhálók egyúttal normált vektorhálók is Deníció. A Φ : U () R lineáris funkcionált pozitívnak nevezzük, ha u 0 esetén Φ(u) Deníció. Az U () vektorhálón értelmezett Φ : U () R lineáris funkcionált monoton σ-folytonosnak nevezzük, ha (u n ) n N U () : u n 0 esetén lim n + Φ(u n ) = Megjegyzés. Ha Φ monoton σ-folytonos pozitív lineáris funkcionál, akkor teljesülnek az alábbiak is: (1) (u n ) n N U (), u U () : u n u Φ(u n ) Φ(u) (2) (u n ) n N U () +, u U () + : u = n N u n Φ(u) = n N Φ(u n) Deníció. A Φ : U () R lineáris funkcionált korlátos változásúnak nevezzük, ha tetsz leges u U () + esetén: sup{φ(v) : v U () +, v u} < Lineáris funkcionálok felbontása Tétel. Egy Φ : U () R lineáris funkcionál pontosan akkor áll el két pozitív lineáris funkcionál különbségeként, ha korlátos változású. Bizonyítás. Tegyük fel el ször, hogy Φ el áll Φ = Φ 1 Φ 2 alakban, ahol Φ 1 és Φ 2 pozitív lineáris funkcionálok U ()-en. Legyen u U () + tetsz leges függvény, ekkor bármely v U () +, v u mellett Φ(v) = Φ 1 (v) Φ 2 (v) Φ 1 (u), 9

11 amib l már következik, hogy Φ korlátos változású. Megfordítva, tegyük fel, hogy Φ : U () R korlátos változású lineáris funkcionál. Tetsz leges u U () + mellett legyen Φ + (u) := sup{φ(v) : v U () +, v u}. Ekkor feltétel szerint 0 Φ + (u) < +. Megmutatjuk, hogy a fenti egyenl séggel értelmezett Φ + : U () + R + funkcionál additív. Legyenek u 1, u 2 U () +. Ekkor bármely v 1, v 2 U () + : v 1 u 1, v 2 u 2 esetén v 1 +v 2 U () +, v 1 +v 2 u 1 +u 2, ezért Φ(v 1 )+Φ(v 2 ) = Φ(v 1 +v 2 ) Φ + (u 1 + u 2 ), amib l v 1, v 2 -re szuprémumot véve következik, hogy Φ + (u 1 ) + Φ + (u 2 ) Φ + (u 1 + u 2 ). A másik irányú egyenl tlenség igazolásához legyen v U () + tetsz leges olyan függvény, amelyre v u 1 + u 2. Ekkor a v 1 := v u 1, v 2 := v v 1 jelölések mellett könnyen látható, hogy: v 1, v 2 U () +, v 1 u 1, v 2 u 2, így Φ(v) = Φ(v 1 ) + Φ(v 2 ) Φ + (u 1 ) + Φ + (u 2 ), amib l következik, hogy Φ + (u 1 + u 2 ) Φ + (u 1 ) + Φ + (u 2 ). Ezzel megmutattuk, hogy Φ + (u 1 + u 2 ) = Φ + (u 1 ) + Φ + (u 2 ), azaz a Φ + funkcionál additív U () + -on. Egyszer en igazolható, hogy tetsz leges u U () + és c R + esetén Φ + (cu) = cφ + (u), vagyis Φ + pozitív-homogén. Terjesszük ki az U () + -on értelmezett Φ + funkcionált az egész U ()-re a Φ + (u) := Φ + (u + ) Φ + (u ) (u U ()) egyenl séggel, ahol u +, illetve u az u függvény pozitív, illetve negatív része. Egyszer en igazolható, hogy Φ + mint U ()-en értelmezett funkcionál, lineáris. Mivel Φ + pozitív értékeket vesz fel U () + -on, ezért Φ + pozitív lineáris funkcionál. 10

12 Ezek után a Φ := Φ + Φ jelölés mellett nyilvánvaló, hogy a Φ : U () R funkcionál lineáris, és ha u U () +, akkor Φ(u) Φ + (u) miatt Φ (u) 0, azaz Φ is pozitív lineáris funkcionál. Ezzel a tételt igazoltuk Tétel. Ha (U (),. ) normált vektorháló, akkor minden Φ U () folytonos lineáris funkcionál el áll két folytonos, pozitív lineáris funkcionál különbségeként. Bizonyítás. Legyen u U () +, ekkor minden v U () +, v u mellett Φ(v) Φ(v) Φ v Φ u, amib l nyilván következik, hogy Φ korlátos változású, így a Tétel szerint el áll két pozitív lineáris funkcionál különbségeként. A fenti egyenl tlenségb l az is következik, hogy Φ + (u) = sup{φ(v) : v U () +, v u} Φ u. Legyen most u U (), ekkor Φ + (u) = Φ + (u + ) Φ + (u ), így Φ + (u) Φ + (u + )+Φ + (u ) Φ ( u + + u ), és mivel u + u, u u, továbbá u = u, ezért Φ + (u) 2 Φ u, amib l következik, hogy a Φ + : U () R pozitív lineáris funkcionál folytonos is. Mivel Φ = Φ + Φ, ezért Φ is folytonos. Ezzel a tételt bebizonyítottuk. A fenti tétel alkalmazására az 5. Fejezetben látunk konkrét példát, amikoris leírju bizonyos normált vektorhálók folytonos duálisát. 11

13 3. fejezet Halmazfüggvények kiterjesztése Az el z fejezetben bevezettük a szükséges fogalmakat, amelyek segítségével megfogalmazhatjuk a Riesz-féle integrál-reprezentációs tétel egy absztrakt változatát. Kés bb ennél többet fogunk állítani, egyel re azonban elégedjünk meg az alábbi megfogalmazással: Legyen U () Stone-féle vektorháló. Ekkor minden Φ : U () R pozitív, monoton σ-folytonos lineáris funkcionálhoz létezik olyan µ mérték, hogy a Φ(u) = u dµ egyenl ség teljesül minden u U () függvény esetén. Nyilván ahhoz, hogy a fenti formula értelmes legyen, szükséges, hogy a vektorháló minden eleme mérhet legyen, azaz az {x : u(x) 1} alakú halmazoknak µ-mérhet nek kell lenniük. Másfel l meg van kötve a kezünk atekintetben is, hogy ha valamely E halmaz µ-mérhet és létezik (u n ) n N monoton fogyó függvénysorozat, hogy inf u n(x) = lim u n(x) = χ E (x) ( x ), n N n + U () akkor a µ(e) = inf n N Φ(u n ) egyenl ségnek teljesülnie kell. (Hiszen ( ) µ(e) = χ E dµ = inf u n dµ = inf u n dµ = inf Φ(u n), n N n N n N ahol a harmadik egyenl ség a Lebesgue-féle dominált konvergencia tétel miatt teljesül.) 12

14 Kézenfekv tehát, hogy a Φ funkcionálhoz tartozó µ mértéket a fentiek szerint konstruáljuk. Csakhogy azon E halmazok, amelyek karakterisztikus függvénye el áll, mint U ()-beli függvények monoton csökken sorozatának pontonkénti limesze, nem feltétlenül alkotnak σ-algebrát, és így a fenti µ(e) = inf n N Φ(u n ) egyenl séggel értelmezett halmazfüggvény nem mérték. A következ fejezetben elégséges feltételt adunk a mértékké való kiterjeszthet ségre bizonyos K P() halmazrendszeren értelmezett Φ funkcionálok esetén. Els ként bevezetjük a bels mérték fogalmát, amelynek segítségével (a küls mértékek elméletéb l ismert Caratheodory kiterjesztéshez hasonlóan) könnyedén konstruálhatunk újabb mértékeket, és amely igen hatékony fegyver lesz a kiterjesztés létezésének bizonyításánál. A 3.1., illetve 3.2. szakaszok felépítése (s t maga a bels mérték deníciója és a funkcionálokra tett két speciális feltétel is) D.H. Fremlint l származik [6] Bels mértékek Deníció. Legyen tetsz leges halmaz. A Φ : P() R + halmazfüggvényt -en értelmezett bels mértéknek nevezzük, ha rendelkezik a következ tulajdonságokkal: (i) Φ( ) = 0 (ii) A, B P(), A B = Φ(A B) Φ(A) + Φ(B) (iii) Ha (A n ) n N az részhalmazainak egy tartalmazásra nézve monoton fogyó sorozata, és Φ(A 0 ) < +, akkor: Φ( n N A n) = inf n N Φ(A n ) (iv) Φ(A) = sup{φ(b) : B A, Φ(B) < + } ( A P()) 13

15 Lemma. Legyen tetsz leges halmaz, Φ : P() R + tetsz leges halmazfüggvény, amely az üres halmazon nullát vesz fel. Ekkor a Σ = {E : E, Φ(A) = Φ(A E) + Φ(A \ E) ( A )} halmazrendszer algebra -en. Fennáll továbbá, hogy Φ(E F ) = Φ(E)+Φ(F ), ha E, F és E F =. Bizonyítás. Mivel a deníció szimmetrikus, nyilvánvaló, hogy E Σ esetén E c Σ is teljesül, azaz Σ komplementumzárt. Így elegend azt igazolni, hogy Σ és hogy Σ véges uniózárt. Legyen E, F Σ, A tetsz leges. Ekkor: Φ(A (E F )) + Φ(A \ (E F )) = = Φ((A (E F )) E) + Φ((A (E F )) \ E) + Φ(A \ (E F )) = = Φ(A E) + Φ((A \ E) F ) + Φ(A \ (E F )) = = Φ(A E) + Φ((A \ E) F ) + Φ((A \ E) \ F ) = = Φ(A E) + Φ(A \ E) = Φ(A), azaz: E F Σ. Másrészt mivel Φ( ) = 0, ezért tetsz leges A -re: Φ(A ) + Φ(A \ ) = Φ( ) + Φ(A) = Φ(A), így Σ. Végezetül ha E, F, E F =, akkor: Φ(E F ) = Φ((E F ) E) + Φ((E F ) \ E) = Φ(E) + Φ(F ). Ennél azonban jóval többet állíthatunk, ha Φ nem tetsz leges halmazfüggvény, hanem egy bels mérték -en. Igaz ugyanis a következ tétel: Tétel. Legyen tetsz leges halmaz, Φ : P() R + bels mérték. Ekkor a Σ = {E : E, Φ(A) = Φ(A E) + Φ(A E c ) ( A )} halmazrendszer σ-algebra, (, Σ, Φ Σ ) pedig teljes mértéktér. 14

16 Bizonyítás. (1. lépés) Mivel Φ bels mérték, ezért Φ( ) = 0 és így a fenti lemma szerint a Σ halmazrendszer algebra. Vegyük észre, hogy tetsz leges E -re E Σ Φ(A) Φ(A E) + Φ(A \ E) ( A : Φ(A) < + ). Az nyilvánvaló, hogy E Σ esetén az egyenl tlenség fennáll. Megfordítva legyen A tetsz leges. A bels mértékek (iv) tulajdonsága miatt Φ(A) = sup{φ(b) : B A, Φ(B) < + } és Φ(B) Φ(B E) + Φ(B \ E) feltétel szerint, így: Φ(A) = sup{φ(b) : B A, Φ(B) < + } sup{φ(b E) + Φ(B \ E) : B A, Φ(B) < + } sup{φ(b E) : B A, Φ(B) < + } + + sup{φ(b \ E) : B A, Φ(B) < + } = Φ(A E) + Φ(A \ E). Kihasználva, hogy Φ szuperadditív, Φ(A E)+Φ(A\E) Φ(A) és így belül végig egyenl ség teljesül. Mivel A tetsz leges volt, azt kaptuk, hogy E Σ. (2. lépés) Megmutatjuk, hogy Σ zárt a megszámlálható unióra, azaz σ-algebra. Legyen (E n ) n N Σ. Feltehet, hogy (E n ) n N egy monoton növ halmazsorozat, E := n N E n. Az el z pont szerint elegend, hogy minden A, Φ(A) < + részhalmaz esetén Φ(A) Φ(A E) + Φ(A \ E) teljesüljön. Használva a bels mértékek (iv) tulajdonságát: Φ(A \ E) = inf Φ(A \ E n) = lim Φ(A \ E n). n N n + Másfel l A E A E n, így Φ(A E) + Φ(A \ E) lim n + (Φ(A E n ) + Φ(A \ E n ) = Φ(A). (3. lépés) Vezessük be a µ := Φ Σ jelölést. Igazolni fogjuk, hogy µ σ-additív Σ-n, azaz mérték. Legyen E n Σ diszjunkt halmazsorozat, E := n N E n. Az nyilvánvaló, hogy µ(e) n N µ(e n). 15

17 Tegyük fel indirekt, hogy µ(e) > n N µ(e n) szigorú egyenl tlenség teljesül. Ekkor létezik A E : n N µ(e n) < Φ(A) < µ(e) < +, hiszen µ(e) = Φ(E) = sup{φ(a) : A E, Φ(A) < + }. Az F n := i n E i jelölés mellett (F n ) n N halmazsorozat monoton növ, és így (A \ F n ) n N monoton fogyó, üres metszettel. Ekkor n N-re: Φ(A) = Φ(A F n ) + Φ(A \ F n ), így Φ(A) = lim n + (Φ(A F n ) + Φ(A \ F n )) = = n N Φ(A E n) n N µ(e n) < Φ(A), ami ellentmondás. (Közben felhasználtuk Φ véges additivitását és a bels mértékek (iii) tulajdonságát.) Ezzel megmutattuk, hogy µ mérték. (4. lépés) Igazoljuk, hogy a µ mérték teljes. Legyen E Σ, µ(e) = 0 és B E. Ekkor tetsz leges A -re (Φ(A) < + ): Φ(A B) + Φ(A \ B) Φ(A \ B) Φ(A \ E) = Φ(A E) + Φ(A \ E) = Φ(A). Az (1. lépés)-ben leírtak szerint ez ekvivalens azzal, hogy B Σ. Világos továbbá, hogy Φ(B) Φ(E) = 0. Ezzel a tételt bebizonyítottuk. Az eddigiek segítségével igazolhatjuk els kiterjesztési tételünket: Tétel. Legyen tetsz leges halmaz, K P() -beli halmazrendszer, amelyre teljesülnek az alábbi (i) (iii) feltételek: (i) K (ii) K 1, K 2 K, K 1 K 2 = K 1 K 2 K (iii) K 1, K 2 K K 1 K 2 K. Ha emellett a Φ 0 : K R + funkcionál rendelkezik a következ : Φ 0 (K) = Φ 0 (L) + sup{φ 0 (K ) : K K, K K \ L} ( K, L K : L K) (3.1) tulajdonsággal, akkor létezik Φ 0 -nak additív kiterjesztése egy K -t tartalmazó Σ algebrára. 16

18 Bizonyítás. Deniáljuk a Φ funkcionált és a Σ halmazrendszert a következ képp: Φ(A) := sup{φ 0 (K) : K K, K A} (A ), Σ := {E : E, Φ(A) = Φ(A E) + Φ(A \ E) ( A )}. (1. lépés) Megmutatjuk, hogy Σ -beli algebra, és hogy Φ K = Φ 0. A Lemma miatt elég, hogy Φ( ) = 0. Ez nyilvánvalóan teljesül, helyettesítsünk ugyanis (3.1)-be K = L = -et. Ugyancsak (3.1)-b l látható, hogy L, K K és L K esetén Φ 0 (L) Φ 0 (K). Innen pedig világos, hogy: Φ(K) = sup{φ 0 (K) : K K, K K} = Φ 0 (K) ( K K ). (2. lépés) Megmutatjuk, hogy Φ 0 additív K -n, Φ szuperadditív P()-en. Legyen K 1, K 2 K, K 1 K 2 =. Ekkor (ii) szerint K 1 K 2 K és: Φ 0 (K 1 K 2 ) = Φ 0 (L) + sup{φ 0 (K ) : K K, K (K 1 K 2 ) \ L}. Speciálisan L = K 1 helyettesítéssel Φ 0 (K 1 K 2 ) = Φ 0 (K 1 ) + Φ 0 (K 2 ). Legyen most A, B (A B = ) tetsz leges. Ekkor: Φ(A) + Φ(B) = = sup{φ 0 (K 1 ) : K 1 K, K 1 A} + sup{φ 0 (K 2 ) : K 2 K, K 2 B} = = sup{φ 0 (K 1 ) + Φ 0 (K 2 ) : K 1, K 2 K, K 1 A, K 2 B} = = sup{φ 0 (K 1 K 2 ) : K 1, K 2 K, K 1 A, K 2 B} Φ(A B), azaz Φ szuperadditív. (3. lépés) Megmutatjuk, hogy K Σ. Legyen K K, A tetsz leges. Azt kell igazolnunk, hogy Φ(A) = Φ(A K) + Φ(A \ K). Ehhez legyen L A, L K. Ekkor (3.1) szerint: Φ 0 (L) = Φ 0 (L K) + sup{φ 0 (K ) : K K, K L \ (L K)} = = Φ 0 (L K) + sup{φ 0 (K ) : K K, K L \ K} Φ(A K) + Φ(A \ K) 17

19 Mivel L A tetsz leges volt, szuprémumot véve adódik, hogy: Φ(A) = sup{φ 0 (L) : L K, L A} Φ(A K) + Φ(A \ K). A másik irányú egyenl tlenség a Φ szuperadditvitása miatt teljesül, ezzel megmutattuk, hogy K Σ A kiterjesztés létezése Az el z szakaszban minden eszközt el készítettünk ahhoz, hogy bebizonyíthassuk a tételt, amely egy Φ : K R + halmazfüggvény mértékké való kiterjeszthet ségére ad elégséges feltételt Deníció. Legyen (, Σ, µ) mértéktér, K egy tetsz leges halmazrendszer. Azt mondjuk, hogy µ mérték belülr l reguláris K -ra nézve, ha µ(e) = sup{µ(k) : K Σ K, K E} ( E Σ) Megjegyzés. Jegyezzük meg, hogy a denícióban nem feltételeztük K -r l, hogy K Σ, s t még azt sem, hogy K P() Megjegyzés. µ pontosan akkor belülr l reguláris K -ra nézve, ha belülr l reguláris K Σ-ra nézve Tétel. Legyen tetsz leges halmaz, K P() -beli halmazrendszer, amelyre teljesülnek az alábbi feltételek: (i) K (ii) K 1, K 2 K, K 1 K 2 = K 1 K 2 K (iii) (K i ) i N K i N K i K. Legyen továbbá Φ 0 : K R + tetsz leges funkcionál, amely rendelkezik a következ (α)-(β) tulajdonságokkal: (α) Φ 0 (K) = Φ 0 (L) + sup{φ 0 (K ) : K K, K K \ L} ( K, L K : L K) 18

20 (β) Ha (K i ) i N a K elemeinek egy tartalmazásra nézve monoton fogyó sorozata, akkor: i N K i = inf i N Φ 0 (K i ) = 0. Ekkor létezik -en olyan µ mérték, amely kiterjeszti Φ 0 -t, és amely belülr l reguláris K -ra nézve. Bizonyítás. A korábbi tételhez hasonlóan deniáljuk a Φ halmazfüggvényt és a Σ halmazrendszert a következ képp: Φ(A) := sup{φ 0 (K) : K K, K A} (A ) Σ := {E : E, Φ(A) = Φ(A E) + Φ(A \ E) ( A )}. Ekkor a Tétel szerint Σ P() algebra, amely tartalmazza K -t, Φ additív Σ-n, és Φ K = Φ 0. Elegend megmutatnunk, hogy Φ bels mérték -en. Ekkor ugyanis a Tételb l rögtön adódik, hogy Σ egy σ-algebra, Φ Σ pedig teljes mérték. A bels mértékek (i), (ii) és (iv) tulajdonságainak teljesülése a Φ deníciójából azonnal látszik. Csak azt kell megmutatnunk, hogy (iii) is fennáll. Azaz ha (A n ) n N az részhalmazainak egy tartalmazásra nézve monoton fogyó sorozata, és Φ(A 0 ) < +, akkor: Φ( n N A n) = inf n N Φ(A n ). Els ként igazoljuk az egyenl séget abban a speciális esetben, amikor az A n halmazokról nem csak azt tesszük fel, hogy az részhalmazai, hanem még azt is, hogy K -beliek. Ezt használva, a második lépésben igazoljuk az eredeti egyenl séget. (1. lépés) Legyen tehát (K n ) n N monoton fogyó sorozat, (K n ) n N K, Φ(K 0 ) < +. A K -ra tett (iii) feltevés miatt L := n N K n K. Jelöljük a Φ függvény Σ-ra való lesz kítését µ-vel. Ekkor nyilván µ(l) inf n N µ(k n ). A fordított irányú egyenl tlenség igazolásához legyen ε > 0 tetsz leges. A Φ 0 funkcionál (α) tulajdonsága és a Φ 0 = µ K = Φ K egyenl ségek miatt létezik K K, hogy K K 0 \ L és µ(k 0 ) Φ 0 (L) + Φ 0 (K ) + ε. Igaz továbbá, hogy (K n K ) n N K egy monoton fogyó halmazsorozat, amelyre 2 n N (K n K) =. 19

21 Ekkor a (β) tulajdonság szerint n N, amelyre µ(k n K ) ε. 2 Így µ(k 0 ) µ(l) = µ(k 0 \ L) = µ(k 0 \ (K L))+µ(K ). Kihasználva, hogy µ(k ) = µ(k \ K n ) + µ(k K n ), valamint hogy µ(k \ K n ) µ(k \ K n ), folytathatjuk a fenti egyenl séget: µ(k 0 ) µ(l) = = µ(k 0 \ (K L)) + µ(k K n ) + µ(k \ K n ) µ(k 0 \ (K L)) + µ(k K n ) + µ(k 0 \ K n ) = = µ(k 0 \ (K L)) + µ(k K n ) + µ(k 0 ) µ(k n ), ahol az els két tag ε-nél kisebb, azaz: µ(k 2 0) µ(l) ε + µ(k 0 ) µ(k n ), és így µ(k n ) µ(l) + ε. Mivel ε > 0 tetsz leges volt, azt kaptuk, hogy µ(l) = inf n N µ(k n ). (2. lépés) Rátérhetünk az általános eset igazolására. Legyen tehát (A n ) n N monoton fogyó halmazsorozat, Φ(A 0 ) < +. Nyilván Φ( n N A n) inf n N Φ(A n ). A fordított irányú egyenl tlenség igazolásához legyen ε > 0 tetsz leges. Kihasználva, hogy Φ(A 0 ) < +, Φ deníciójából adódik, hogy n N K n K : K n A n, Φ(K n ) Φ(A n ) ε 2 n. Vezessük be a következ jelöléseket: L n := i n K i, A := n N A i. Ekkor Φ(A n+1 ) µ(l n+1 ) = = Φ(A n+1 ) µ(k n+1 L n ) = Φ(A n+1 ) (µ(k n+1 ) + µ(l n ) µ(k n+1 L n )). Vegyük észre, hogy K n+1 A n+1 A n és L n K n A n. Ekkor persze K n+1 L n A n és µ(k n+1 L n ) Φ(A n ). Továbbá a K n -ek választása miatt Φ(A n+1 ) µ(l n+1 ) 1 2 n ε + Φ(A n) µ(a n ) n = 0-ra: Φ(A 0 ) µ(l 0 ) = Φ(A 0 ) µ(k 0 ) < ε n = 1-re: Φ(A 1 ) µ(l 1 ) 1 2 ε + Φ(A 0) µ(k 0 ) < 1 2 ε + ε és így tovább, az egyenl tlenséget iterálva: Φ(A n ) µ(l n ) 1 i n ε < 2ε. 2 i Mivel minden n N-re K n A n, A = n N A n, L = n N K n, ezért L A 20

22 és így Φ(A) µ(l). Továbbá az (1. lépés)-ben leírtak szerint µ(l) = inf n N µ(l n ), így fennáll a következ egyenl tlenség: Φ(A) µ(l) = inf n N µ(l n) inf n N Φ(A n) 2ε. Ezzel megmutattuk, hogy Φ(A) inf n N Φ(A n ), azaz Φ egy bels mérték. Ekkor tehát a Tétel szerint µ := Φ Σ teljes mérték. Továbbá E Σ : µ(e) = Φ Σ (E) = Φ(E) = sup{φ 0 (K) : K E, K K } = = sup{φ(k) : K E, K K } = sup{µ(k) : K E, K K }, azaz µ belülr l reguláris a K -ra nézve. Ezzel a bizonyítást befejeztük 3.3. A kiterjesztés egyértelm sége Látni fogjuk, hogy a fenti kiterjesztési tétel már elegend a Riesz reprezentációs tételben szerepl µ mérték létezéséhez. Érdemes azonban tovább vizsgálódnunk annak érdekében, hogy a kiterjesztés (és így a reprezentáló mérték) unicitásáról is mondhassunk valamit. Fremlin igazolta, hogy ha a Φ funkcionál Σ σ-algebrára való kiterjesztését l megköveteljük azt is, hogy K -ra nézve belülr l reguláris, úgynevezett lokálisan meghatározott mérték legyen, akkor a Tételben megkonstruált µ mértéken kívül nincs más, a feltételekek kielégít kiterjesztés. Nekünk azonban olyan egyértelm ségi állításra van szükségünk, amely az U () vektorháló által generált σ-algebrára vonatkozik. Els ként bevezetünk néhány új fogalmat Deníció. Azt mondjuk, hogy a µ : Σ P() R + mérték szemi- nit, ha F Σ (µ(f ) = + ) E Σ : E F, 0 < µ(e) < Deníció. (Fremlin) Azt mondjuk, hogy a µ : Σ P() R + mérték lokálisan meghatározott, ha szeminit, és tetsz leges E -re ekvivalens: 21

23 (i) E Σ (ii) E F Σ, ha F Σ és µ(f ) < Megjegyzés. A fenti tulajdonságot úgy is megfogalmazhatjuk, hogy az egy részhalmaza vagy µ-mérhet, vagy van olyan véges µ-mérték halmaz, amelyet rosszul metsz (vagyis a metszet nem µ-mérhet ) Lemma. A Tételben megkonstruált µ mérték lokálisan meghatározott. Bizonyítás. A µ szeminit, hiszen Φ 0 véges érték, µ K = Φ 0 és µ(f ) = Φ Σ (F ) = sup{φ 0 (K) : K K, K F }. A lokális meghatározottság igazolásához legyen E tetsz leges részhalmaz. Feltétel szerint E F Σ, ha F Σ és µ(f ) < +. Meg kell mutatnunk, hogy: A : Φ(A) = Φ(A E) + Φ(A E c ). Ehhez legyen K A, K K tetsz leges (Φ 0 (K) = Φ(K) = µ(k) < + ). Ekkor persze K E Σ és K E c Σ, továbbá fennáll, hogy Φ(K) = µ(k) = µ(k E) + µ(k E c ) = Φ(K E) + Φ(K E c ) Φ(A E) + Φ(A E c ). K-ban szuprémumot véve: Φ(A) = sup{φ(k) : K K, K A} Φ(A E) + Φ(A E c ). Mivel Φ bels mérték, ezért a másik irányú egyenl tlenség is teljesül. Azt kaptuk tehát, hogy E Σ. Az (i) (ii) implikáció nyilvánvaló, ezért a bizonyítást befejeztük. Szükségünk van még a mérhet burok fogalmára, és néhány tulajdonságára Deníció. Legyen (, Σ, µ) mértéktér, A. Azt mondjuk, hogy az E halmaz mérhet burka A-nak, ha A E, E Σ és µ(f E) = µ (F A) ( F Σ) (ahol µ a µ által generált küls mértéket jelöli) Lemma. Legyen (, Σ, µ) mértéktér, A. Ekkor (a) az E halmaz (E Σ, A E) pontosan akkor mérhet burka A-nak, ha µ(f ) = 0 minden F E \ A, F Σ esetén. 22

24 (b) ha A befedhet véges mérték halmazzal, akkor van mérhet burka. Bizonyítás. (a) Legyen E mérhet fedése A-nak, és legyen F E \ A. Ekkor feltétel szerint µ(f E) = µ (F A). Továbbá µ(f E) = µ(f ) és µ (F A) = µ ( ) = 0, így tehát µ(f ) = 0. Megfordítva, tegyük fel, hogy µ(f ) = 0 minden F E \A, F Σ esetén, de E nem mérhet burka A-nak. Ekkor létezik H Σ : µ (A H) < µ(e H). Legyen G Σ olyan, hogy A H G és µ (A H) = µ(g). Ilyen G létezik, választható ugyanis G n Σ halmazoknak olyan sorozata, hogy n N : µ (A H) µ(g n ) µ (A H) n Ekkor a G := n N G n választással µ (A H) µ(g) inf n N µ(g n ) µ (A H). Ezek után legyen F := (E H) \ G. Világos, hogy µ(g) < µ(e H), ezért µ(f ) > 0. Ugyanakkor F E és F A (H A) \ G, ami üres. Következésképp F E \ A, ami ellentmondás, hiszen µ(f ) 0. (b) Legyen H egy véges mérték befedése A-nak, E Σ pedig olyan fedés, hogy µ(e) = µ (A). (Ilyen E létezését láttuk az (a) pontban.) Ekkor E mérhet burka az A-nak. Legyen ugyanis F E \ A, F Σ. Ekkor persze A E \ F, és µ(e) = µ (A)-b l adódik, hogy µ(e F ) = µ(e). Mivel E véges mérték (kihasználva, hogy H az), ezért µ(f ) = 0. Az (a) pont szerint tehát E mérhet burka A-nak. Ezzel minden eszközt el készítettünk a szakasz legfontosabb tételének bizonyításához. Igazolni fogjuk, hogy a Φ funkcionál különböz σ-algebrákra való kiterjesztései (ha léteznek egyáltalán) szoros kapcsolatban állnak a korábban megkonstruált µ mértékkel. 23

25 Tétel. Legyen tetsz leges halmaz, K P() -beli halmazrendszer, amelyre: (i) K (ii) K 1, K 2 K, K 1 K 2 = K 1 K 2 K (iii) (K i ) i N K i N K i K Legyen továbbá Φ 0 : K R + tetsz leges funkcionál, amely rendelkezik a következ (α)-(β) tulajdonságokkal: (α) Φ 0 (K) = Φ 0 (L) + sup{φ 0 (K ) : K K, K K \ L} ( K, L K : L K) (β) Ha (K i ) i N a K elemeinek egy tartalmazásra nézve monoton fogyó sorozata, akkor: i N K i = inf i N Φ 0 (K i ) = 0. Ekkor a Tételben meghatározott µ mérték maximális a Φ 0 funkcionál azon σ-additív kiterjesztései között, amelyek K -ra nézve belülr l regulárisak. (Abban az értelemben, hogy ha (, Σ, µ ) mértéktér, µ rendelkezik a fenti tulajdonságokkal, akkor µ kiterjeszti µ -t. ) Bizonyítás. Legyen µ = Φ Σ, ahol Φ(A) := sup{φ 0 (K) : K K, K A}, és Σ = {E : E, Φ(A) = Φ(A E) + Φ(A E c ) ( A )}. Legyen ezen kívül µ egy K Σ σ-algebrán értelemezett, K -ra nézve belülr l reguláris mérték. Azt fogjuk igazolni, hogy ha F Σ, akkor F Σ, és µ(f ) = µ (F ). Mivel µ lokálisan meghatározott mérték a Lemma szerint, elég megmutatnunk, hogy E Σ : µ(e) < + esetén F E Σ. Legyenek H 1 Σ, illetve H 2 Σ az E F, illetve E \ F halmazok mérhet burka. Ilyen H 1 és H 2 létezik a Lemma szerint, hiszen H 1, H 2 E és µ(e) < +. Azt fogjuk igazolni, hogy µ(h 1 H 2 ) = 0. Ezzel készen is leszünk, ugyanis az (E H 1 ) \ (E F ) (H 1 H 2 ) tartalmazás, és a µ-mérték teljessége maga 24

26 után vonja, hogy (E H 1 ) \ (E F ) Σ. Amib l viszont rögtön adódik, hogy E F Σ, kihasználva, hogy E H 1 Σ. Tegyük fel indirekt, hogy µ(h 1 H 2 ) > 0. A µ bels regularitása miatt K K : K H 1 H 2, és µ(k) > 0. Mivel K H 1 H 2, ezért K E és K F. Ezen a ponton használjuk, hogy µ is belülr l reguláris K -ra nézve. A fenti K-hoz létezik ugyanis K 1 és K 2, hogy K 1 K F, K 2 K\F, és µ (K) µ (K 1 K 2 ) = µ (K 1 )+µ (K 2 ) > µ (K F )+µ (K \F ) µ(k) = µ (K) µ(k) = 0, hiszen µ K = µ K = Φ 0. Vegyük észre, hogy a µ (K 1 ) + µ (K 2 ) > 0 egyenl tlenségb l adódóan µ (K 1 ) és µ (K 2 ) közül legalább az egyik pozitív. Ez viszont mindenképp ellentmondás, mert K 1 H 2 \ (E \ F ), K 2 H 1 \ (E F ), amely halmazok egyike sem tartalmazat pozitív mérték halmazt a Lemma (a) pontja miatt. Ezzel beláttuk, hogy Σ Σ. Az, hogy µ Σ = µ, könnyen adódik a K -ra vonatkozó bels regularitásból, és abból, hogy µ K = µ K = Φ 0. Ugyanis tetsz leges F Σ -re µ (F ) = sup{µ (K) : K K, K F } = sup{µ(k) : K K, K F } = µ(f ) Innen már egyszer en adódik egyfajta unicitás. Bár a Φ-re és K -ra vonatkozó feltevések teljesen megegyeznek a Tételben leírtakkal, a könnyebb átláthatóság kedvéért a tételt hivatkozások nélkül, precízen kimondjuk Tétel. Legyen tetsz leges halmaz, K P() -beli halmazrendszer, amelyre: (i) K (ii) K 1, K 2 K, K 1 K 2 = K 1 K 2 K (iii) (K i ) i N K i N K i K Legyen továbbá Φ 0 : K R + tetsz leges funkcionál, amely rendelkezik a következ (α)-(β) tulajdonságokkal: 25

27 (α) Φ 0 (K) = Φ 0 (L) + sup{φ 0 (K ) : K K, K K \ L} ( K, L K : L K) (β) Ha (K i ) i N a K elemeinek egy tartalmazásra nézve monoton fogyó sorozata, akkor: i N K i = inf i N Φ 0 (K i ) = 0. Legyen adott továbbá A P() egy K -t tartalmazó σ-algebra. Ekkor ha létezik Φ 0 -nak K -ra nézve belülr l reguláris kiterjesztése A -ra, akkor az egyértelm. Bizonyítás. Legyenek µ 1 és µ 2 A -n értelmezett, a fenti tulajdonságokkal rendelkez mértékek. Ekkor a Tételben szerepl µ mérték mindkett nek kiterjesztése, azaz A Σ és µ 1 = µ A = µ 2. Végül néhány egyszer észrevétel: Megjegyzés. Érdemes meggyelnünk a Tétel bizonyításánál, hogy maga a Φ halmazfüggvény, illetve annak tulajdonságai semmilyen szerepet nem játszottak. Mindössze a bel le konstruált µ mérték teljességét, lokális meghatározottságát, és bels regularitását használtuk. Valamint azt, hogy µ és µ egyaránt deniálva vannak K -n, és ott egybe is esnek Következmény. Legyen tetsz leges halmaz, K P() tetsz leges halmazrendszer. Tegyük fel, hogy µ 1 és µ 2 két teljes, lokálisan meghatározott mérték, amelyek értelmezve vannak K -n, belülr l regulárisak K -ra nézve és µ 1 K = µ 2 K. Ekkor µ 1 = µ 2. 26

28 4. fejezet A Riesz reprezentációs tétel Ezen fejezetben igazoljuk f tételünket. Els ként olyan bizonyítást adunk, amely az egész eddigi apparátust felhasználja. Azt is mondhatjuk, hogy az eddigi er feszítéseink kizárólag ezt a részt voltak hivatottak el készíteni A reprezentáló mérték létezése Az ebben a szakaszban található bizonyítások Fremlint l származnak [6] Lemma. Legyen tetsz leges halmaz, U () Stone-tulajdonságú vektorháló. Jelölje K 0 a következ halmazrendszert: K 0 := {K : K = {x : u(x) 1} (u U ())}. Legyen ezen kívül µ olyan mérték -en, amely a K 0 halmazrendszeren teljesíti a következ egyenl séget: µ(k) = inf{φ(u) : u U (), χ K u} ( K K 0 ), ahol Φ : U () R egy monoton σ-folytonos pozitív lineáris funkcionál. Ekkor az u dµ formula értelmes minden u U esetén, és Φ(u) = u dµ. Bizonyítás. Elég az u 0 esettel foglalkozni, mert Φ is és az operáció is lineáris. Elkészítünk egy (w n ) n N U () és egy (v n ) n N K-lépcs s függvény 27

29 sorozatot, amelyekre fennáll, hogy n N : w n v n u, w n u. Ekkor persze Φ(w n ) Φ(u), Φ(w n ) v n dµ Φ(u), és így: u dµ = lim v n dµ = Φ(u). n + Vegyük észre, hogy ha v U (), K K 0, és v χ K, akkor Φ(v) µ(k). (Ugyanis µ(k) = inf{φ(u) : u U (), χ K u}, v χ K u v u és így Φ(v) Φ(u), mivel Φ pozitív.) Legyen u U () és deniáljuk a K n,k halmazokat, illetve az u n,k függvényeket a következ képp: K n,k := {x : u(x) k 2 n }, u n,k := u (( ) ) k 1 2 n (n, k N). Ekkor 2 n (u n,k+1 u n,k ) χ Kn,k 2 n (u n,k u n,k 1 ). A fenti észrevétel szerint egyúttal 2 n Φ(u n,k+1 u n,k ) µ(k n,k ) 2 n Φ(u n,k u n,k 1 ) is fennáll. Az egyenl ltenségeket 1 2 n -nel szorozva és összegezve 4 n -ig k-ra azt kapjuk, hogy Φ(u n,4 n +1 u n,1 ) 1 2 n k 4 n µ(k n,k ) Φ(u 2 n 1) Φ(u) Vezessük be a w n := u n,4 n +1 u n,1 U () és v n := 1 2 n k 4 n χ Kn,k U () jelöléseket. Ekkor w n u, ugyanis n + esetén: u n,4 n +1 u és u n,1 0. Mivel Φ monoton σ-folytonos, ezért Φ(w n ) Φ(u). A Beppo-Levi tételb l és a Φ(w n ) 1 2 k 4 µ(k n n n,k ) = v n dµ Φ(u) egyenl tlenségekb l azonnal adódik, hogy u integrálható, és amit bizonyítani akartunk. u dµ = lim n + v n dµ = Φ(u), 28

30 Tétel. Legyen U () Stone-féle vektorháló, Φ : U () R pozitív lineáris funkcionál. Ekkor az alábbiak ekvivalensek. (i) Φ monoton σ-folyonos (ii) Létezik µ mérték -en, amelyre u dµ értelmes minden u U () esetén, és u dµ = Φ(u). Bizonyítás. A (ii) (i) irány nyilvánvaló. (Hivatkozhatunk akár a Lebesgueféle dominált konvergencia tételre, akár a Fatou-lemmára) Az (i) (ii) implikáció bizonyításához deniáljuk a következ -beli K halmazrendszert: K := {K : K, (u n ) n N U () : inf n N u n(x) = χ K (x) ( x )}. Vegyük észre, hogy K zárt a véges unióra, és a megszámlálható metszetre: K 1, K 2 K (u 1,n ) n N, (u 2,n ) n N U () : χ K1 = inf n N (u 1,n ) χ K2 = inf n N (u 2,n ). Ekkor inf n N ((u 1,n ) (u 2,n )) = χ K1 K 2 (K i ) i N K, i N (u i,n ) n N U () : inf n N u i,n = χ Ki. Ekkor: inf (i,n) N N u i,n = χ i N K i Az el z lemmát akarjuk alkalmazni, ehhez azonban meg kell mutatnunk, hogy az {x : u(x) 1} alakú halmazok mind K -ban vannak (azaz K 0 K ). Mivel U () Stone-tulajdonságú vektorháló, u U (), ezért: u n := 2 n ((u 1 ) (u (1 2 n ) 1 )) U () (n N), (4.1) látható továbbá, hogy inf n N u n = χ {x: u(x) 1}. Deniáljuk ezek után K -n a következ Φ 0 : K R + halmazfüggvényt: Φ 0 (K) := inf{φ(u) : u U (), χ K u} (K K) (4.2) 29

31 Ha erre a Φ 0 -ra teljesülnek a Tételben szerepl (α) és (β) feltevések, akkor a Tétel szerint létezik egy Σ P() σ-algebra, és azon egy µ mérték, amely maximális a Φ 0 -t kiterjeszt, K -ra nézve belülr l reguláris mértékek között. Igazoljuk tehát ezen (α) (β) tulajdonságokat: (α): Legyen K, L K, L K, γ := sup{φ 0 (K ) : K K, K K \ L}. Azt kell megmutatnunk, hogy Φ 0 (K) = Φ 0 (L) + γ. ( ) Legyen K K, K K \L, ε > 0 tetsz leges. Mivel K, L K, így (u K,n ) n N, (u L,n ) n N U () : χ K = inf n N (u K,n), χ L = inf n N (u L,n ). Legyen továbbá u U () olyan, hogy Φ(u) Φ 0 (K) + ε teljesüljön. Ilyen u a Φ deníciója szerint létezik. Deniáljuk ezek után a v K,n és v L,n függvényeket a következ képp: v K,n := u inf i n u K,i, v L,n := u inf i n u L,i ( n N) Világos, hogy (v K,n) n N, (v L,n ) n N U (), továbbá (v K,n v L,n ) n N monoton fogyó függvénysorozat, amelyre inf n N (v K,n v L,n ) = χ K χ L = 0. Így a Φ monoton σ-folytonossága miatt Φ(v K,n v L,n ) 0 (n + ). Következésképp a fenti ε > 0-hoz n N : (v K,n v L,n ) < ε. Ekkor: Φ 0 (L) + Φ 0 (K ) Φ(v L,n ) + Φ(v K,n) = Φ(v L,n + v K,n) = = Φ(v L,n v K,n) + Φ(v L,n v K,n) Φ(u) + ε Φ 0 (K) + ε + ε. Mivel ε > 0 tetsz leges volt, így Φ 0 (L) + Φ 0 (K ) Φ 0 (K). Ezek után K K -ra szuprémumot véve: Φ 0 (L) + γ Φ 0 (K). ( ) Legyen ε (0, 1) tetsz leges, u K, u L U () olyanok, hogy χ K u K és χ L u L, továbbá Φ(u L ) Φ 0 (L) + ε. Tekintsük a következ K halmazt: K := {x : x K, (1 u K (x)) u L (x) ε} K. Ekkor fennáll, hogy K K \ L. Ugyanis 1 u L (x) ε 1 ε u L (x), ami pedig x L esetén nem teljesül, ugyanis 1 = χ L (x) u L (x). 30

32 S t, az is igaz, hogy K K, mert 1 ε [(u K 1 ) u L ] U (), következésképp {x : 1 ε ((u K(x) 1 ) u L (x)) 1} K. Ezek után, ha w U (), w χ K, akkor u L (x) + w(x) 1 ε ( x K ) és Φ 0 (K) 1 1 ε Φ(u L + w) 1 1 ε (Φ 0(L) + ε + w). Az egyenl tlenséget (1 ε)-nal szorozva, és w χ K -re inmumot véve: (1 ε)φ 0 (K) Φ 0 (L) + ε + Φ 0 (K ) Φ 0 (L) + ε + γ. Mivel ε > 0 tetsz legesen kicsi volt, azt kaptuk, hogy Φ 0 (K) Φ 0 (L) + γ, amit bizonyítani akartunk. (β) Legyen (K n ) n N K monoton fogyó halmazsorozat üres metszettel. Ekkor n N (u n,k ) k N U () : inf k N u n,k = χ Kn. Tekintsük a következ v n := inf i,j n u i,j függvényeket. Nyilvánvaló, hogy (v n ) n N U (), v n monoton fogyó függvénysorozat és inf n N v n = inf n N χ Kn = 0. Így inf n N Φ(v n ) = 0. Node χ Kn = inf j n χ Kj v n Φ 0 (K n ) Φ(v n ). Következésképp inf n N Φ 0 (K n ) = 0. Igazoltuk tehát a Φ 0 funkcionál rendelkezik az (α) és (β) tulajdonságokkal, így hivatkozhatunk a Tételre, amely szerint van Φ 0 -t kiterjeszt µ mérték. S t, ez a µ a K 0 elemein a µ(k) = inf{φ(u) : u U (), u χ K } egyenl séggel van deniálva, azaz teljesíti a Lemma feltételeit. Ezzel megmutattuk, hogy Φ(u) = u dµ ( u U ()). Ezzel a bizonyítást befejeztük. Miel tt megkezdenénk az unicitás bizonyítását, érdemes megjegyezni, hogy van olyan U () függvényháló, amely nem teljesíti a Stone-feltételt, és létezik olyan pozitív, monoton σ-folytonos lineáris funkcionál, amelyhez nem létezik a fenti µ reprezentáló mérték. A példa Bogatchevt l származik [1] Példa. Jelölje F azon f : [0, 1] R függvények halmazát, amelyek rendelkeznek a következ tulajdonsággal: valamely α R valós számra a 31

33 {t : t [0, 1], f(t) α(1 + t)} halmaz els kategóriájú. (Azaz el áll megszámlálható sok sehol sem s r halmaz uniójaként.) Ekkor F függvényháló. Deniáljuk Φ-t F -en a következ módon: Φ(f) := α, ahol α R az f-hez tartozó, a fentieknek eleget tev konstans. Ekkor Φ pozitív lineáris funkcionál, monoton σ-folytonos, és nem létezik µ mérték az I := [0, 1] R halmazon, hogy Φ(f) = f dµ teljesüljön tetsz leges f F esetén. I Bizonyítás. Els ként jegyezzük meg, hogy Φ funkcionál jóldeniált, azaz: f F!α R, amelyre a {t : f(t) α(1 + t)} halmaz els kategóriájú. Adott f F -re E f := {t : f(t) = α f (1 + t)}, ahol α f az f-hez tartozó konstans. Ha f, g F, akkor E f E g els kategóriájú és f(t)+f(g) = (α+β)(1+t) az E f E g -n kívül. Emellett tetsz leges c R konstansra cf(t) = cα f az E f halmazon kívül, így F lineáris tér. Nyilvánvaló, hogy f F, ha f F, így F függvényháló, amely nem teljesíti a Stone-feltételt. Szintén nyilvánvaló, hogy a Φ funkcionál lineáris, és hogy f 0 esetén Φ(f) 0. Tegyük fel, hogy (f n ) n N F, f n 0. Ekkor az E fn halmazok uniója els kategóriájú. Emiatt: t [0, 1] : Φ(f n ) = f n(t) 1 + t ( n N), ugyanis [0, 1] második kategóriájú, a Baire-féle kategória tétel szerint. Innen persze azonnal látszik, hogy Φ(f n ) 0, ha n +. Ezzel igazoltuk, hogy Φ monoton σ-folytonos. Tegyük fel indirekt, hogy van olyan µ mérték [0, 1]-en, amelyre nézve minden F -beli függvény mérhet, és fennál a Φ(f) = f dµ egyenl ség. Mivel a [0,1] Ψ(t) := 1 + t függvény az α = 1 konstanssal F -beli, ezért a [0, 1] minden nyílt részhalmaza mérhet. Továbbá az a tény, hogy Ψ 1, maga után vonja, hogy µ([0, 1]) Φ(Ψ) = 1, így a µ megszorítása a B([0, 1]) Borel σ-algebrára véges mérték. Ekkor van olyan els kategóriájú E Borel halmaz, amelyre: µ([0, 1] \ E) = 0. (Az E halmazt megkonstruálhatjuk, mint sehol sem s r K n kompakt halmazok (µ([0, 1] \ K n ) < 1 n ) uniója. Ilyen K n-eket pedig úgy készítünk, hogy 32

34 egy sehol sem s r, 0-mérték halmaz pontjai körül kidobunk elég kis intervallumokat.) Tekintsük ezek után a következ f függvényt: f(t) := 0, ha t E, f(t) := 1 + t, ha t [0, 1] \ E. Világos, hogy f F és Φ(f) = 1. Másfel l viszont f dµ = 0, ami ellentmondás. [0,1] 4.2. A reprezentáló mérték egyértelm sége Végezetül rátérhetünk az unicitás kérdésére. Használni fogjuk a 4.1. szakaszban bevezetett K 0, illetve K jelöléseket, azaz K 0 := {K : K, u U () : K = {x : u(x) 1}} K := {K : K, (u n ) n N U () : inf n N u n (x) = χ K (x) ( x )} Megjegyzés. Rögtön jegyezzük meg, hogy a K halmazrendszer által generált σ-algebra megyegyezik a K 0 által generált σ-algebrával. (Jelölje ezeket σ A (K ), illetve σ A (K 0 ).) Bizonyítás. A σ A (K 0 ) σ A (K ) tartalmazás nyilvánvaló, hiszen K 0 K, ahogy azt az egzisztencia tétel bizonyításában igazoltuk. Megfordítva, elegend megmutatnunk, hogy K K K σ A (K 0 ). Legyen tehát K K. Feltétel szerint (u n ) n N U () : inf n N u n (x) = χ K (x) ( x ). Ekkor n N : K {x : x, u n (x) 1}, így K n N{x : x, u n (x) 1}. Tegyük fel most, hogy x 0 n N {x : x, u n(x) 1}. Az u n választása miatt inf n N u n (x 0 ) 1 inf n N u n (x 0 ) = 1 x 0 K, következésképp K = n N {x : x, u n(x) 1}, azaz K σ A (K 0 ) 33

35 Tétel. Legyen tetsz leges halmaz, U () Stone-tulajdonságú vektorháló. Ekkor tetsz leges Φ : U () R pozitív, monoton σ-folytonos lineáris funkcionálhoz egyértelm en létezik olyan K -ra nézve belülr l reguláris µ mérték σ A (K 0 )-on, amelyre Φ(u) = u dµ ( u U ()) Bizonyítás. A Tételben megmutattuk, hogy létezik olyan µ mérték, amely kiterjeszti (4.2).-vel deniált Φ 0 funkcionált, s t maximális a K -ra nézve belülr l reguláris kiterjesztések között. Mivel K 0 K Σ, ezért nyilvánvalóan a σ A (K 0 ) Σ tartalmazás is fennáll, hiszen Σ σ-algebra. Következésképp a µ σa (K 0 ) mérték kielégíti a Tétel feltételeit, így egyetlen a Φ 0 funkcionál K -ra nézve belülr l reguláris kiterjesztései között. Tegyük fel most, hogy ν egy tetsz leges σ A (K 0 )-on értelmezett mérték, amely K -ra nézve belülr l reguláris, és amelyre Φ(u) = u dν. Legyen K K tetsz leges halmaz. Ekkor (4.1) szerint létezik (u n ) n N U () függvénysorozat, amelyre inf n N u n = lim n + u n = χ K, következésképp a Beppo-Levi tétel szerint µ(k) = χ K dµ = Azaz µ K lim u n dµ = n + lim u n dν = χ K dν = ν(k). n + = ν K, azaz ν is kiterjesztése Φ 0 -nak, amib l már következik, hogy µ = ν. Az eddigiekben csak egyfajta feltételes unicitást bizonyítottunk, ugyanis a reprezentáló mértékt l megköveteltük, hogy az adott K halmazrendszerre nézve belülr l reguláris legyen. Felmerül a kérdés, hogy mely esetekben hagyható el ez a megkötés, azaz mikor áll fenn valódi egyértelm ség. A továbbiakban µ jelöl a Tételben szerepl reprezentáló mértéket, amely belülr l reguláris a K halmazrendszerre nézve, ν pedig egy tetsz leges mérték, amelyre Φ(u) = u dν ( u U ()). 34

36 Lemma. Tetsz leges A σ A (K 0 )-ra µ(a) ν(a). Bizonyítás. Legyen K K tetsz leges. Attól, hogy ν-r l nem tettük fel, hogy belülr l reguláris K -ra nézve, a µ K = ν K egyenl ség még fennáll. Létezik ugyanis (u n ) n N U (), amelyre inf n N u n = lim n + u n = χ K, így µ(k) = χ K dµ = lim u n dµ = lim u n dν = χ K dν = ν(k), n + n + ahogy azt a Tételben igazoltuk. Legyen most A σ A (K 0 ) tetsz leges. Ekkor µ bels regularitása és a fenti egyenl ség miatt: µ(a) = sup{µ(k) = ν(k) : K A, K K } ν(a), azaz µ ν, amit bizonyítani akartunk Lemma. Tegyük fel, hogy az A σ A (K 0 ) halmaz befedhet K -belivel. Ekkor µ(a) = ν(a). Bizonyítás. Legyen tehát A σ A (K 0 ), K K, amelyre A K. Ekkor µ(k) = µ(a) + µ(k \ A) ν(a) + ν(k \ A) = ν(k). Kihasználva, hogy µ K = ν K és hogy µ ν, adódik, hogy µ(a) = ν(a) Lemma. Tegyük fel, hogy az A σ A (K 0 ) halmaz befedhet megszámlálható sok K -belivel. Ekkor µ(a) = ν(a). Bizonyítás. Legyen tehát A σ A (K 0 ), (K n ) n N K, amelyre A n N K n. Ekkor A = n N (A K n). A klasszikus diszjunktizációs eljárással megkonstruálható az A-nak egy olyan diszjunkt A = n N (A K n) felbontása, amelyben minden tényez befedhet K -belivel. A Lemma szerint n N-re µ(a K n) = ν(a K n), így µ(a) = n N µ(a K n) = n N ν(a K n) = ν(a), amit bizonyítani akartunk. 35

37 Tétel. Legyen tetsz leges halmaz, U () Stone-féle vektorháló. Ha befedhet megszámlálható sok K -beli halmazzal, akkor egyértelm en létezik µ mérték σ A (K 0 )-on, amelyre Φ(u) = u dµ ( u U ()). Bizonyítás. Ha befedhet megszámlálható sok K -belivel, akkor minden A σ A (K 0 )-beli is. Alkalmazva a Lemmát minden A σ A (K 0 ) halmazra azt kapjuk, hogy µ(a) = ν(a), azaz µ = ν A klasszikus tétel Ebben a bekezdésben, a fenti Tétel alkalmazásaként meghatározzuk a C(K)-tér topologikus duálisát, ahol K kompakt topologikus tér Deníció. Legyen (, τ) topologikus tér. Az F halmazt zéró halmaznak nevezzük, ha létezik olyan f : R folytonos függvény, amelyre F = f 1 [{0}] Deníció. Legyen (, τ) topologikus tér. Ekkor a zéró halmazok által generált σ-algebrát Baire σ-algebrának nevezzük, és Ba()-szel jelöljük Deníció. Legyen (, τ) topologikus tér. Ekkor Baire mérték alatt Ba()-en értelmelmezett mértéket értünk Deníció. Legyen (, τ) topologikus tér, f : R függvény. Azt mondjuk, hogy az f Baire-mérhet, vagy Ba()-mérhet, ha az R tetsz leges nyílt G részhalmazára f 1 [G] Ba() Lemma. Legyen (, τ) topologikus tér. Ekkor Ba() a legsz kebb σ- algebra, amelyre nézve minden valós érték folytonos függvény mérhet. Bizonyítás. Legyen f : R folytonos függvény, α R. Deniáljuk a g függvényt a következ képp: g(x) := max(0, f(x) α) (x ). 36

38 Ekkor g folytonos, és {x : f(x) α} = {x : g(x) = 0}, azaz {x : f(x) α} zéró halmaz, és így {x : f(x) α} Ba(), azaz f mérhet. Megfordítva, legyen Σ tetsz leges σ-algebra, amelyre nézve minden valós érték folytonos függvény mérhet. Legyen továbbá F tetsz leges zéró halmaz. Ekkor deníció szerint létezik olyan folytonos g függvény, amelyre F = g 1 [{0}]. Ekkor persze F Σ, és így Ba() Σ Deníció. Legyen (, τ) topologikus tér. Ekkor C b () jelöli az -en értelmezett valós érték korlátos folytonos függvények halmazát Tétel. Legyen (, τ) topologikus tér. Ekkor a C b () R pozitív, monoton σ-folytonos lineáris funkcionálok, és az -en értelmezett véges Baire mértékek között bijekció áll fenn. Bizonyítás. Legyen µ egy véges Baire mérték -en. Ekkor minden f C b () függvény integrálható µ szerint, továbbá a Φ µ : f f dµ lineáris funkcionál pozitív, és a Fatou-lemma miatt monoton σ-folytonos is. Megfordítva, legyen most Φ : C b () R egy pozitív, monoton-σ folytonos lineáris funkcionál. Ekkor a Tétel alkalmazható, ugyanis 1 C b (), így K. Következésképp egyértelm en létezik olyan µ mérték σ A (K 0 )-on, amelyre: Φ(f) = f dµ (f C b ()). Igazolni fogjuk, hogy σ A (K 0 ) = Ba(), azaz µ Baire-mérték. Legyen G tetsz leges zéró halmaz. Létezik tehát g C b () függvény, amelyre G = {x : g(x) = 0} = {x : g(x) 0} {x : g(x) 0}. Ugyanakkor {x : g(x) 0} és {x : g(x) 0} σ A (K 0 )-beliek, ugyanis {x : g(x) 0} = {x : g(x) + 1 1} és 1 C b () g + 1 C b (). Hasonlóan igazolható, hogy {x : g(x) 0} σ A (K 0 ). Ezzel megmutattuk, hogy Ba() σ A (K 0 ). A másik irányú tartalmazáshoz legyen K K 0 tetsz leges. Ekkor létezik k C b () : K = {x : k(x) 1}. Node 37