Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Valószínűségelmélet. Pap Gyula. Szegedi Tudományegyetem. Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév"

Átírás

1 Valószínűségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem Szeged, 2016/2017 tanév, I. félév Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 1 / 125

2 Ajánlott irodalom: CSÖRGŐ SÁNDOR Fejezetek a valószínűségelméletből Polygon, RÉNYI ALFRÉD Valószínűségszámítás Tankönyvkiadó, BOGNÁR JÁNOSNÉ, MOGYORÓDI JÓZSEF, PRÉKOPA ANDRÁS, RÉNYI ALFRÉD, SZÁSZ DOMOKOS Valószínűségszámítás feladatgyűjtemény Tankönyvkiadó, 1971; Typotex, BARCZY MÁTYÁS, PAP GYULA Valószínűségszámítás 2, Példatár és Feladatsor Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 2 / 125

3 1. Mértékelméleti előkészítés Halmazalgebra, σ-algebra Az Ω nemüres halmaz bizonyos részhalmazaiból álló H 2 Ω halmazrendszert halmazalgebrának nevezzük, ha (i) Ω H, (ii) zárt az unióképzésre, azaz tetszőleges A, B H esetén A B H, (iii) zárt a komplementerképzésre, azaz tetszőleges A H esetén A := Ω \ A H. Az A 2 Ω halmazalgebrát σ-algebrának nevezzük, ha (ii) következő erősebb változata teljesül: (ii ) zárt a megszámlálható unióképzésre, azaz tetszőleges A 1, A 2, A esetén A n A. n=1 Ekkor az (Ω, A) párt mérhetőségi térnek nevezzük. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 3 / 125

4 1. Mértékelméleti előkészítés Mérték Legyen Ω nemüres halmaz és H 2 Ω halmazalgebra. Azt mondjuk, hogy a µ : H [0, ] halmazfüggvény végesen additív, ha tetszőleges A, B H diszjunkt halmazok esetén µ(a B) = µ(a) + µ(b). (Ebből persze teljes indukcióval következik, hogy tetszőleges n N és tetszőleges A 1,..., A n H páronként diszjunkt halmazok esetén µ( n k=1 A k) = n k=1 µ(a k).) mérték, ha µ( ) = 0 és σ-additív, azaz ( ) µ A n = µ(a n ), n=1 n=1 ha A 1, A 2, H páronként diszjunktak és A n H. n=1 Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 4 / 125

5 Mérték Legyen Ω nemüres halmaz, és H 2 Ω Azt mondjuk, hogy a µ : H [0, ] mérték véges, ha µ(ω) <. valószínűségi mérték, ha µ(ω) = 1. halmazalgebra. σ-véges, ha léteznek olyan Ω 1, Ω 2, H halmazok úgy, hogy Ω = k=1 Ω k, és µ(ω k ) <. Azt mondjuk, hogy a µ : H [, ] halmazfüggvény előjeles mérték, ha előáll µ = µ 1 µ 2 alakban, ahol µ 1, µ 2 mértékek, és legalább az egyik véges. Legyen Ω nemüres halmaz. Legyen minden n N esetén A n Ω. Ha A 1 A 2... és A := A n, akkor azt írjuk, hogy A n A. Ha A 1 A 2... és A := n=1 A n, akkor azt írjuk, hogy A n A. n=1 Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 5 / 125

6 Mérték folytonossága Legyen Ω nemüres halmaz, és H 2 Ω halmazalgebra. Legyen P : H [0, ] olyan végesen additív halmazfüggvény, melyre P(Ω) = 1. Ekkor 1 P( ) = 0; 2 tetszőleges A H esetén 0 P(A) 1; 3 P monoton, azaz tetszőleges A, B H, A B esetén P(A) P(B), továbbá P(B \ A) = P(B) P(A); 4 tetszőleges A H esetén P(A) = 1 P(A); 5 a következő állítások ekvivalensek: 1 P σ-additív. 2 P alulról folytonos, azaz tetszőleges A 1, A 2, H, A n A és A H esetén lim P(A n ) = P(A). n 3 P felülről folytonos, azaz tetszőleges A 1, A 2, H, A n A és A H esetén lim P(A n ) = P(A). n 4 P felülről folytonos az üres halmazon, azaz tetszőleges A 1, A 2, H és A n esetén lim P(A n ) = 0. n Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 6 / 125

7 1. Mértékelméleti előkészítés Mérték additivitása, szubadditivitása Legyen (Ω, A) mérhetőségi tér és P : A [0, 1] valószínűségi mérték. Ekkor 1 P végesen additív; 2 P ( σ-szubadditív, azaz tetszőleges A 1, A 2, A esetén ) P A n P(A n ). n=1 n=1 Carathéodory kiterjesztési tétele Legyen Ω nemüres halmaz, és H 2 Ω halmazalgebra. Legyen µ : H [0, ] σ-véges mérték. Ekkor létezik egy egyértelműen meghatározott ν : σ(h) [0, ] σ-véges mérték úgy, hogy tetszőleges A H esetén ν(a) = µ(a). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 7 / 125

8 1. Mértékelméleti előkészítés Nyilván σ-algebrák tetszőleges halmazának metszete σ-algebra. Halmazrendszer által generált σ-algebra Legyen Ω. Legyen Γ és minden γ Γ esetén A γ Ω. Az {A γ : γ Γ} halmazokat tartalmazó σ-algebrák metszetét az {A γ : γ Γ} halmazrendszer által generált σ-algebrának nevezzük. Jelölése: σ(a γ : γ Γ). (Tulajdonképpen σ(a γ : γ Γ) az a legszűkebb σ-algebra, mely tartalmazza az {A γ : γ Γ} halmazokat.) Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 8 / 125

9 1. Mértékelméleti előkészítés B(R d ) := Borel-hamazok σ-algebrája (vagyis R d nyitott halmazai által generált σ-algebra) Függvényrendszer által generált σ-algebra Legyenek Ω és Γ nemüres halmazok. Legyen minden γ Γ esetén g γ : Ω R d tetszőleges függvény. A {g γ : γ Γ} függvényrendszer által generált σ-algebra: σ(g γ : γ Γ) := σ(g 1 γ (B) : γ Γ, B B(R d )). Egyetlen függvény által generált σ-algebra Legyen Ω nemüres halmaz. Legyen g : Ω R d függvény. Ekkor σ(g) = g 1 (B(R d )) := {g 1 (B) : B B(R d )}. tetszőleges Ez a σ-algebra Ω éppen azon A részhalmazaiból áll, melyek esetén g(ω) megfigyelésével eldönthető, hogy ω A teljesül-e, vagy sem. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 9 / 125

10 1. Mértékelméleti előkészítés Mérhető függvény Legyen (Ω, A) mérhetőségi tér. Azt mondjuk, hogy a g : Ω R d függvény mérhető, ha tetszőleges B B(R d ) esetén g 1 (B) := {g B} := {ω Ω : g(ω) B} A, vagyis σ(g) A. Legyen továbbá F A rész-σ-algebra. Azt mondjuk, hogy a g : Ω R d függvény F-mérhető, ha tetszőleges B B(R d ) esetén vagyis σ(g) F. g 1 (B) F, Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 10 / 125

11 1. Mértékelméleti előkészítés Függvény mérhetősége Legyen (Ω, A) mérhetőségi tér, g = (g 1,..., g d ) : Ω R d tetszőleges függvény. g akkor és csak akkor mérhető, ha tetszőleges (x 1,..., x d ) R d esetén {ω Ω : g 1 (ω) x 1,..., g d (ω) ) x d } A. (Hiszen ez a halmaz g ( 1 d j=1 (, x j], és a { d j=1 (, x j] : (x 1,..., x d ) R d } téglák generálják a B(R d ) σ-algebrát.) g akkor és csak akkor mérhető, ha a g i : Ω R, i {1,..., d} függvények mérhetőek. σ(g) a legszűkebb rész-σ-algebra, melyre nézve g mérhető. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 11 / 125

12 1. Mértékelméleti előkészítés Valószínűségi mező Olyan (Ω, A, P) hármas, ahol (Ω, A) mérhetőségi tér és P : A [0, 1] valószínűségi mérték. Véletlen változó, véletlen vektor Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Azt mondjuk, hogy az X : Ω R függvény véletlen változó (vagy valószínűségi változó), ha mérhető. Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d függvény véletlen vektor (vagy valószínűségi vektorváltozó), ha mérhető. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 12 / 125

13 Diszkrét, illetve egyszerű véletlen vektor Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor diszkrét, ha értékkészlete, az X(Ω) halmaz megszámlálható. Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor egyszerű, ha értékkészlete véges halmaz. Ha X : Ω R d, Y : Ω R d véletlen vektorok és P(X = Y ) = 1, akkor azt írjuk, hogy X = Y P-m.b. (egyenlőek P-majdnem biztosan). Egyszerű véletlen vektor Ha X : Ω R d egyszerű véletlen vektor melynek értékkészlete X(Ω) = {x 1,..., x l }, akkor l X = x j 1 Aj, j=1 ahol A j := {ω Ω : X(ω) = x j } A, j = 1,..., l diszjunkt halmazok l és A j = Ω, azaz teljes eseményrendszert alkotnak. j=1 Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 13 / 125

14 1. Mértékelméleti előkészítés Közelítés egyszerű véletlen változókkal Tetszőleges Y : Ω R + nemnegatív véletlen változó esetén létezik nemnegatív egyszerű véletlen változókból álló Y 1, Y 2,... sorozat úgy, hogy tetszőleges ω Ω esetén Y n (ω) Y (ω). Tetszőleges X : Ω R d véletlen vektor esetén létezik egyszerű véletlen vektorokból álló X 1, X 2,... sorozat úgy, hogy tetszőleges ω Ω esetén X n (ω) X(ω). Véletlen vektor mérhető függvénye Legyen X : Ω R d véletlen vektor. 1 Ha g : R d R r mérhető függvény, akkor a g X : Ω R r összetett függvény σ(x)-mérhető véletlen vektor, azaz σ(g X) σ(x). 2 Ha Y : Ω R r σ(x)-mérhető véletlen vektor, azaz σ(y ) σ(x), akkor létezik olyan g : R d R r mérhető függvény, hogy Y = g X. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 14 / 125

15 1. Mértékelméleti előkészítés Véletlen vektor eloszlása Az X : Ω R d véletlen vektor eloszlása a P X : B(R d ) R, P X (B) := P(X B) = P(X 1 (B)), B B(R d ) halmazfüggvény, mely nyilván valószínűségi mérték az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. Véletlen vektor eloszlásfüggvénye Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Az X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor eloszlásfüggvénye F X = F X1,...,X d : R d [0, 1], F X (x) := P(X 1 x 1,..., X d x d ), x = (x 1,..., x d ) R d. Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Legyenek X, Y : Ω R d véletlen vektorok. Ekkor P X = P Y F X = F Y. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 15 / 125

16 Jelölje g : R d R, j {1,..., d}, u, v R, u < v és x = (x 1,..., x d ) R d esetén (j) u,vg(x) := g(x 1,..., x j 1, v, x j+1,..., x d ) g(x 1,..., x j 1, u, x j+1,..., x d ). Az F : R d R függvény akkor és csak akkor eloszlásfüggvénye valamely X : Ω R d véletlen vektornak, ha (i) F minden változójában monoton növekvő, (ii) F minden változójában jobbról folytonos, (iii) lim F(x) = 0, lim min{x 1,...,x d } F(x) = 1, min{x 1,...,x d } (iv) tetszőleges a, b R d, a < b esetén (1) a 1,b 1... (d) a d,b d F 0. (Ha d = 1, akkor (iv) következik (i)-ből.) Ha X : Ω R d véletlen vektor és a, b R d, a < b, akkor P(X (a, b]) = (1) a 1,b 1... (d) a d,b d F X 0, tehát P X az F X függvény által generált Lebesgue Stieltjes mérték. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 16 / 125

17 2. Függetlenség σ-algebrák, események, illetve véletlen vektorok függetlensége Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, Γ nemüres halmaz. Legyen minden γ Γ esetén F γ A rész-σ-algebra. Azt mondjuk, hogy az {F γ : γ Γ} rész-σ-algebrák függetlenek, ha a Γ különböző elemeiből álló minden {γ 1,..., γ n } véges részhalmaz esetén és minden A γ1 F γ1,..., A γn F γn választással teljesül P(A γ1... A γn ) = P(A γ1 ) P(A γn ). Legyen minden γ Γ esetén A γ A. Azt mondjuk, hogy az {A γ : γ Γ} események függetlenek, ha a hozzájuk rendelt { {, Aγ, Ω \ A γ, Ω} : γ Γ } rész-σ-algebrák függetlenek. Legyen minden γ Γ esetén X γ : Ω R d véletlen vektor. Azt mondjuk, hogy az {X γ : γ Γ} véletlen vektorok függetlenek, ha a hozzájuk rendelt { σ(x γ ) : γ Γ } rész-σ-algebrák függetlenek. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 17 / 125

18 2. Függetlenség Független véletlen vektorok függvényei függetlenek Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Ha az X : Ω R k és Y : Ω R l véletlen vektorok függetlenek, akkor tetszőleges g : R k R r, h : R l R p mérhető függvények esetén a g X : Ω R r és h Y : Ω R p véletlen vektorok is függetlenek. Független halmazalgebrák által generált σ-algebrák függetlenek Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Ha az F 0 A és G 0 A rész-halmazalgebrák függetlenek abban az értelemben, hogy tetszőleges A F 0 és B G 0 esetén P(A B) = P(A)P(B), akkor a generált F := σ(f 0 ) és G := σ(g 0 ) rész-σ-algebrák is függetlenek. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 18 / 125

19 Függetlenség Nyilván Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 19 / 125 Független σ-algebrák által generált σ-algebrák függetlenek Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Ha az F 1,..., F k, G 1,..., G l rész-σ-algebrák függetlenek, akkor a ( k ) l σ F i, σ i=1 rész-σ-algebrák is függetlenek. Farok-σ-algebra Legyen (Ω, A) mérhetőségi tér. Legyen minden n N esetén F n A rész-σ-algebra. Ekkor az {F n : n N} rész-σ-algebrákhoz tartozó farok-σ-algebra: T := σ(f k : k n). n=1 j=1 G j

20 Függetlenség Ha (Ω, A, P) valószínűségi mező, X 1, X 2,... véletlen változók, akkor a következő események benne vannak a σ(x 1 ), σ(x 2 ),... rész-σ-algebrákhoz rendelt farok-σ-algebrában: { } ω Ω : lim, X n (ω) létezik n { } ω Ω : lim sup X n (ω) x, x R, { n ω Ω : lim X n (ω) létezik és lim X n (ω) x n n { } X 1 (ω) + + X n (ω) ω Ω : lim létezik. n n }, x R, Éppen azok az események vannak benne ebben a farok-σ-algebrában, melyek bekövetkezését nem befolyásolja véges sok X n értékének megváltoztatása. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 20 / 125

21 Függetlenség Kolmogorov 0 vagy 1 törvénye Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező. Legyen minden n N esetén F n A rész-σ-algebra, és jelölje T a hozzájuk tartozó farok-σ-algebrát. Ha az {F n : n N} rész-σ-algebrák függetlenek, akkor tetszőleges A T esetén P(A) = 0 vagy P(A) = 1. Példa: Ha X 1, X 2,... független véletlen változók és akkor X n := X X n, n P ( {X n } n=1 konvergens) {0, 1}, és léteznek a b úgy, hogy ( ) ( ) P lim inf X n = a = 1, P lim sup X n = b = 1. n n Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 21 / 125

22 Függetlenség Ha Ω nemüres halmaz, és minden n N esetén A n Ω, akkor jelölje lim sup A n := A k = {ω Ω : ω A n végtelen sok n N esetén}, n n=1 k=n lim inf A n := A k = {ω Ω : ω A n véges sok n N kivételével}. n n=1 k=n Legyen (Ω, A) mérhetőségi tér. Ha A 1, A 2, A, akkor a lim sup n A n és lim inf n A n halmazok benne vannak a {, A n, Ω \ A n, Ω}, n N σ-algebrákhoz tartozó farok-σ-algebrában. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 22 / 125

23 Függetlenség Ha az A 1, A 2,... események függetlenek, akkor P(lim sup A n ) {0, 1}, n azaz vagy 1 valószínűséggel végtelen sok esemény bekövetkezik ezek közül, vagy pedig 1 valószínűséggel legfeljebb csak véges sok. Borel Cantelli lemmák Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, A 1, A 2, A események. ( ) 1 Ha P(A n ) <, akkor P lim sup A n = 0 n n=1 (vagyis ezen események közül 1 valószínűséggel legfeljebb csak véges sok következik be). 2 Ha az {A n } n=1 események függetlenek és P(A n ) =, ( ) n=1 akkor P lim sup A n = 1 (vagyis ezen események közül 1 n valószínűséggel végtelen sok következik be). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 23 / 125

24 Várható érték Egyszerű véletlen változó várható értéke Legyen X : Ω R egyszerű véletlen változó, és X(Ω) = {x 1,..., x l }. Ekkor az l E(X) := X(ω) P(dω) := x j P(X = x j ) Ω j=1 mennyiséget az X várható értékének nevezzük. Nyilván a várható érték végesen additív és monoton az egyszerű véletlen változókon. Legyen X : Ω R nemnegatív véletlen változó. 1 Ha Z és Y 1, Y 2,... nemnegatív egyszerű véletlen változók, és tetszőleges ω Ω esetén Y n (ω) X(ω) Z (ω), akkor lim n E(Y n ) E(Z ). 2 Ha Y 1, Y 2,... és Z 1, Z 2,... nemnegatív egyszerű véletlen változók, és tetszőleges ω Ω esetén Y n (ω) X(ω) és Z n (ω) X(ω), akkor lim n E(Y n ) = lim n E(Z n ). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 24 / 125

25 Várható érték Nemnegatív véletlen változó várható értéke Legyen X : Ω R nemnegatív véletlen változó. Legyen X 1, X 2,... nemnegatív egyszerű véletlen változókból álló sorozat úgy, hogy tetszőleges ω Ω esetén X n (ω) X(ω) ha n. Ekkor az E(X) := X(ω) P(dω) := lim E(X n ) n mennyiséget az X várható értékének nevezzük. Így E(X) [0, ] egyértelműen definiált, és Ω E(X) = sup {E(Y ) : Y egyszerű véletlen változó, melyre 0 Y X}. Véletlen változó felbontása pozitív és negatív részre Ha X : Ω R véletlen változó, akkor X + := max{x, 0} és X := min{x, 0} nemnegatív véletlen változók, és X = X + X. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 25 / 125

26 Várható érték Véletlen változó várható értéke Legyen X : Ω R véletlen változó. Azt mondjuk, hogy X-nek létezik várható értéke (integrálja), ha az E(X + ) és E(X ) várható értékek közül legalább az egyik véges, és ekkor E(X) := X(ω) P(dω) := E(X + ) E(X ). Ω Azt mondjuk, hogy X-nek véges a várható értéke (integrálható), ha az E(X + ) és E(X ) várható értékek végesek. Transzformációtétel Ha X : Ω R d véletlen vektor és g : R d R mérhető függvény, akkor E[g(X)] = g(x(ω)) P(dω) = g(x) P X (dx) = g(x) df X (x) Ω R d R d abban az értelemben, hogy az integrálok ugyanakkor léteznek, és ha léteznek, egyenlőek. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 26 / 125

27 Várható érték Várható érték tulajdonságai 1 X akkor és csak akkor integrálható, ha X integrálható. 2 Ha E(X) és c R, akkor E(cX), és E(cX) = c E(X). 3 Ha E(X)> és X Y P-m.b., akkor E(Y ) és E(X) E(Y ). 4 Ha E(X), akkor E(X) E( X ). 5 Ha E(X), akkor A A esetén E(X1 A ); ha X integrálható, akkor A A esetén X1 A is integrálható. 6 Ha E(X), E(Y ) és az E(X) + E(Y ) kifejezés értelmes (azaz nem vagy + alakú), akkor E(X + Y ) és E(X + Y ) = E(X) + E(Y ). 7 Ha X = 0 P-m.b., akkor E(X) = 0. 8 Ha E(X) és X = Y P-m.b., akkor E(Y ), és E(X) = E(Y ). 9 Ha X 0 P-m.b. és E(X) = 0, akkor X = 0 P-m.b. 10 Ha E( X )< és A A esetén E(X1 A ) 0, akkor X 0 P-m.b.. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 27 / 125

28 Várható érték Várható érték tulajdonságai 11 Ha X és Y integrálhatók és A A esetén E(X1 A ) E(Y 1 A ), akkor X Y P-m.b. 12 Ha X és Y integrálhatók és A A esetén E(X1 A ) = E(Y 1 A ), akkor X = Y P-m.b. 13 Ha X és Y integrálhatók és X, Y függetlenek, akkor XY is integrálható és E(XY ) = E(X) E(Y ). 14 Monoton konvergenciatétel: Ha X 1, X 2,... integrálhatók, n N esetén X n Y P-m.b., E(Y ) >, és X n X P-m.b., akkor E(X n ) E(X) ha n. ( ) 15 Ha X 1, X 2,... nemnegatívak, akkor E X n = E(X n ). n=1 n=1 16 Fatou-lemma: Ha n N esetén X n Y P-m.b. és E(Y ) >, akkor E (lim inf n X n ) lim inf n E(X n ). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 28 / 125

29 Várható érték tulajdonságai 17 Majoráns konvergenciatétel: Ha n N esetén X n Y P-m.b., E(Y ) < és X n X P-m.b., akkor E( X ) <, E(X n ) E(X) és E( X n X ) 0 ha n. 18 Cauchy Schwartz-egyenlőtlenség: Ha E(X 2 ), E(Y 2 ) <, akkor E( XY ) E(X 2 ) E(Y 2 ). 19 Jensen-egyenlőtlenség: Ha E( X ) <, I R olyan nyitott (nem feltétlenül korlátos) intervallum, hogy P(X I) = 1, és g : I R konvex, akkor E(X) I és g(e(x)) E(g(X)). 20 Hölder-egyenlőtlenség: Legyenek p, q (1, ) olyanok, hogy p 1 + q 1 = 1. Ha E( X p ) < és E( Y q ) <, akkor E( XY ) (E( X p )) 1/p (E( Y q )) 1/q. 21 Ljapunov-egyenlőtlenség: Ha 0 < s < t, akkor (E( X s )) 1/s ( E( X t ) ) 1/t. 22 Minkowski-egyenlőtlenség: Ha p [1, ), E( X p ) < és E( Y p ) <, akkor (E X + Y p ) 1/p (E( X p )) 1/p + (E( Y p )) 1/p. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 29 / 125

30 Abszolút folytonosság Legyen (E, E) mérhetőségi tér. Azt mondjuk, hogy a µ : E [, ] halmazfüggvény abszolút folytonos a ν : E [, ] halmazfüggvényre nézve, ha minden B E, ν(b) = 0 esetén µ(b) = 0. Jelölése: µ ν. Sűrűségtétel Legyen (E, E) mérhetőségi tér, ν : E [0, ] mérték, g : E R + nemnegatív mérhető függvény. Ekkor a µ : E [0, ], µ(b) := g(x) ν(dx) halmazfüggvény mérték, amely pontosan akkor véges, ha g integrálható, µ ν, és tetszőleges h : E R mérhető függvény esetén h(y)µ(dy) = h(x)g(x) ν(dx) E abban az értelemben, hogy a két oldal ugyanakkor létezik, és ha léteznek, egyenlőek. B E Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 30 / 125

31 Várható érték Radon Nikodym tétel Legyen (E, E) mérhetőségi tér és ν : E [0, ] σ-véges mérték. A µ : E [, ] előjeles mérték akkor és csak akkor abszolút folytonos a ν mértékre nézve, ha létezik olyan g : E [, ] mérhető függvény, hogy tetszőleges B E esetén µ(b) = g(x) ν(dx). B A g függvény ν-m.m. egyértelműen meg van határozva, azaz ha egy h : E [, ] mérhető függvényre is teljesül µ(b) = h(x) ν(dx) minden B E esetén, akkor ν{x E : g(x) h(x)} = 0. B A Radon Nikodym tételben létező (ν-m.m. egyértelműen meghatározott) g függvényt a µ mértéknek a ν mértékre vonatkozó Radon Nikodym deriváltjának nevezzük, melynek jelölése dµ dν. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 31 / 125

32 Várható érték Abszolút folytonos (eloszlású) véletlen vektor Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor abszolút folytonos (eloszlású), ha P X λ d, ahol λ d a d-dimenziós Lebesgue-mérték, és ekkor az f X := dp X dλ d Radon Nikodym deriváltat sűrűségfüggvénynek nevezzük. Abszolút folytonos véletlen változó Az X : Ω R véletlen változó akkor és csak akkor abszolút folytonos, ha az F X eloszlásfüggvény abszolút folytonos, azaz ε > 0 esetén δ > 0 úgy, hogy ha k N, a 1 < b 1 a 2 < b 2... a k < b k és k j=1 (b j a j ) < δ, akkor k j=1 (F X (b j ) F X (a j )) < ε. Sűrűségfüggvény és eloszlásfüggvény kapcsolata Ha az X : Ω R d véletlen vektor abszolút folytonos, akkor f X (x) = 1... d F X (x) λ d -m.m. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 32 / 125

33 Abszolút folytonos véletlen vektor függvényének várható értéke Ha X : Ω R d abszolút folytonos véletlen vektor és g : R d R mérhető függvény, akkor E[g(X)] = g(x)f X (x) dx R d abban az értelemben, hogy a két oldal ugyanakkor létezik, és ha léteznek, egyenlőek. Abszolút folytonos véletlen változó szigorúan monoton transzformációja Ha X : Ω R abszolút folytonos véletlen változó, I R olyan (nem feltétlenül korlátos) intervallum, hogy P(X I) = 1, h : I R szigorúan monoton (növekvő vagy csökkenő) folytonosan differenciálható, és x I esetén h (x) 0, akkor a h X véletlen változó is abszolút folytonos, és sűrűségfüggvénye { fx (h 1 (y)), ha y h(i), f h X (y) = h (h 1 (y)) 0, egyébként, ahol h 1 a h inverzét jelöli. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 33 / 125

34 Várható érték Független, abszolút folytonos eloszlású véletlen változók összege, szorzata, hányadosa Ha X és Y független, abszolút folytonos eloszlású véletlen változók, akkor az X + Y véletlen változó is abszolút folytonos eloszlású, és f X+Y (z) = f X (x)f Y (z x) dx = f X (z y)f Y (y) dy. az XY véletlen változó is abszolút folytonos eloszlású, és ( z ) dx ( ) z f XY (z) = f X (x)f Y x x = f X f Y (y) dy y y. az X Y véletlen változó is abszolút folytonos eloszlású, és f X (z) = 1 ( x ) Y z 2 f X (x)f Y x dx = f X (zy)f Y (y) y dy. z Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 34 / 125

35 Mérték koncentrálódása részhalmazba Legyen (E, E) mérhetőségi tér, µ : E [, ] mérték. Azt mondjuk, hogy a µ mérték a B E halmazba koncentrálódik, ha µ(e \ B) = 0. (Ez a halmaz nem egyértelműen definiált.) Diszkrét (eloszlású) véletlen vektor Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor diszkrét (eloszlású), ha D R d megszámlálható halmaz úgy, hogy P X a D halmazba koncentrálódik, azaz P(X D) = 1. Ekkor az ilyen tulajdonságú halmazok metszete (azaz a legszűkebb ilyen halmaz) D X := { x R d : P X ({x}) > 0 } = { x R d : P(X = x) > 0 }, melynek elemeit a P X mérték atomjainak nevezzük, és P X = P(X = x)δ x, x D X ahol x R d esetén δ x az x pontba koncentrálódó Dirac-mértéket jelöli, azaz δ x (B) = 1 ha x B, és δ x (B) = 0 ha x / B. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 35 / 125

36 Várható érték Diszkrét véletlen vektor eloszlásfüggvénye Az X : Ω R d diszkrét véletlen vektor eloszlásfüggvénye F X (x) = P(X = y), x R d. {y D X : y x} Diszkrét véletlen vektor függvényének várható értéke Legyen X : Ω R d diszkrét véletlen vektor és g : R d R mérhető függvény. A g X véletlen változó akkor és csak akkor integrálható, ha E[ g(x) ] = g(x) P(X = x) <, x D X és ekkor E[g(X)] = x D X g(x)p(x = x). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 36 / 125

37 Várható érték Szingularitás Legyen (E, E) mérhetőségi tér. Azt mondjuk, hogy a µ : E [0, ] és ν : E [0, ] mértékek szingulárisak egymásra (nézve), ha léteznek olyan diszjunkt A, B E halmazok, hogy µ az A halmazba, ν pedig a B halmazba koncentrálódik. Jelölése: µ ν. Szinguláris (eloszlású) véletlen vektor Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor szinguláris, ha P X λ d, azaz B B(R d ) úgy, hogy λ d (B) = 0 és P(X B) = 1. A diszkrét véletlen vektorok nyilván szingulárisak. Szinguláris véletlen változó Az X : Ω R véletlen változó akkor és csak akkor szinguláris, ha F X (x) = 0 m.m. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 37 / 125

38 Várható érték Eloszlásfüggvények felbontási tétele Tetszőleges F : R [0, 1] eloszlásfüggvény egyértelműen felbontható F = p 1 F d + p 2 F af + p 3 F fs alakban, ahol p 1, p 2, p 3 0, p 1 + p 2 + p 3 = 1, F d diszkrét, F af abszolút folytonos, F fs folytonos szinguláris eloszlásfüggvény. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 38 / 125

39 Várható érték Momentumok Legyen X : Ω R véletlen változó. Legyen α R +. Az X α-adik abszolút momentuma: E( X α ). Ha k N, és X k-adik abszolút momentuma véges, akkor X k-adik momentuma: E(X k ), X k-adik centrális momentuma: E [ (X E(X)) k]. Ha X második abszolút momentuma véges, akkor X második centrális momentumát X varianciájának (szórásnégyzetének) nevezzük. Jelölése: Var(X) := D 2 (X) := E [ (X E(X)) 2]. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 39 / 125

40 Várható érték Véletlen vektor várható érték vektora Legyen X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor. Ha E( X 1 ) <,... E( X d ) <, akkor X várható érték vektora Jensen-egyenlőtlenség E(X) := (E(X 1 ),..., E(X d )) R d. Legyen X : Ω R d véletlen vektor, melyre E( X ) <. 1 Ha K R d konvex, zárt és X K m.b., akkor E(X) K. 2 Ha g : R d R konvex és E( g(x) ) <, akkor g(e(x)) E(g(X)). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 40 / 125

41 Várható érték Véletlen vektor kovarianciamátrixa (szórásmátrixa) Legyen X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor. Ha E( X 2 ) <, azaz E(X1 2) <,... E(X d 2 ) <, akkor X kovarianciamátrixa [ Cov(X) := E (X E(X))(X E(X)) ] R d d, melynek elemei E [ (X i E(X i ))(X j E(X j )) ] =: Cov(X i, X j ). Kovarianciamátrix tulajdonságai Legyen X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor, E( X 2 ) <. Cov(X) szimmetrikus: Cov(X) = Cov(X). Cov(X) pozitív szemidefinit, azaz x R d esetén d d x Cov(X)x = Cov(X)x, x = Cov(X i, X j )x i x j 0. i=1 j=1 Ha A R r d és b R r, akkor E(AX + b) = A E(X) + b és Cov(AX + b) = A Cov(X)A. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 41 / 125

42 Komplex értékű véletlen változó várható értéke Az X = Re X + i Im X : Ω C komplex értékű véletlen változónak véges a várható értéke (integrálható), ha az E(Re X) és E(Im X) várható értékek végesek, és ekkor E(X) := E(Re X) + i E(Im X). Komplex értékű véletlen változó várható értéke Legyen X : Ω C komplex értékű véletlen változó. X várható értéke akkor és csak akkor véges, ha E( X ) <. Ha E( X ) <, akkor E(X) E( X ). Komplex értékű véletlen változók függetlensége Azt mondjuk, hogy az {X γ : γ Γ} komplex értékű véletlen változók függetlenek, ha a {(Re X γ, Im X γ ) : γ Γ} véletlen vektorok függetlenek. Komplex értékű véletlen változók függetlensége Ha X : Ω C és Y : Ω C független komplex értékű véletlen változók és E( X ) <, E( Y ) <, akkor E( XY ) < és E(XY ) = E(X) E(Y ). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 42 / 125

43 Karakterisztikus függvény Karakterisztikus függvény Az X :Ω R d véletlen vektor karakterisztikus függvénye ϕ X :R d C, ϕ X (t) := E(e i t,x ), t R d. Karakterisztikus függvény tulajdonságai 1 ϕ X 1, és ϕ X (0) = 1. 2 ϕ X egyenletesen folytonos. 3 Tetszőleges t R d esetén ϕ X ( t) = ϕ X (t). 4 Bochner-tétel: A ϕ : R d C függvény akkor és csak akkor karakterisztikus függvénye valamely véletlen vektornak, ha folytonos és pozitív szemidefinit, azaz tetszőleges n N és t 1,..., t n R d esetén a ( ϕ(t j t l ) ) j,l=1,...,n Cd d mátrix pozitív szemidefinit, azaz tetszőleges z 1,..., z n C esetén n n ϕ(t j t l )z j z l 0. j=1 l=1 Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 43 / 125

44 Karakterisztikus függvény Karakterisztikus függvény tulajdonságai 5 Tetszőleges A R r d, b R r és t R r esetén ϕ AX+b (t) = e i t,b ϕ X (A t). 6 Ha X 1,..., X l : Ω R d függetlenek, akkor tetszőleges t R d esetén l ϕ X1 + +X l (t) = ϕ Xj (t). 7 P X = P Y akkor és csak akkor, ha ϕ X = ϕ Y. 8 X 1 : Ω R d 1,..., X l : Ω R d l akkor és csak akkor függetlenek, ha tetszőleges t 1 R d 1,..., t l R d l esetén l ϕ X1,...,X l (t 1,..., t l ) = ϕ Xj (t j ). j=1 j=1 Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 44 / 125

45 Karakterisztikus függvény Karakterisztikus függvény tulajdonságai 9 Ha X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor és E( X n ) < valamely n N esetén, akkor ϕ X n-szer folytonosan differenciálható, és tetszőleges r 1,..., r d, r r d n nemnegatív egészek esetén r r d d ϕ X (t) = i r 1+ +r d E(X r 1 1 X r d d ei t,x ), E(X r 1 1 X r d d ) = r r d d ϕ X (0) i r, 1+ +r d ϕ X (t) = r 1 + +r d n i r 1+ +r d t r 1 1 tr d d r 1! r d! E(X r 1 1 X r d d ) + R n(t), ahol R n (t) = O( t n ) és R n (t) = o( t n ) ha t 0, mégpedig R n (t) 3 t n n! E( X n ), R n (t) lim t 0 t n = 0. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 45 / 125

46 Karakterisztikus függvény Karakterisztikus függvény tulajdonságai 10 Ha X : Ω R véletlen változó és ϕ (2n) X (0) létezik és véges valamely n N esetén, akkor E(X 2n ) <. 11 Ha tetszőleges n N esetén E( X n ) <, és R := lim sup n 1 E( X n )/n!, akkor tetszőleges t R d, t < R esetén i r 1+ +r d E(X r 1 1 ϕ X (t) =... X r d r 1! r d! r 1 =0 r d =0 n d ) t r 1 1 tr d d. 12 Inverziós formula: Ha ϕ X L 1 (R d ), azaz R ϕ d X (t) dt <, akkor X eloszlása abszolút folytonos, és a sűrűségfüggvénye f X (x) = 1 (2π) d e i t,x ϕ X (t) dt, x R d. R d Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 46 / 125

47 Karakterisztikus függvény Véletlen vektorok eloszlásbeli konvergenciája Legyenek X n : Ω R d, n N, és X : Ω R d véletlen vektorok. Azt mondjuk, hogy az (X n ) n 1 sorozat eloszlásban konvergál X-hez, ha F Xn (x) F X (x) az F X minden x folytonossági D pontjában. Jelölése: X n X. Folytonossági tétel Legyenek X n : Ω R d, n N véletlen vektorok. 1 Ha létezik olyan X : Ω R d D véletlen vektor, hogy X n X, akkor ϕ Xn ϕ X minden korlátos intervallumon egyenletesen. 2 Ha tetszőleges t R d esetén létezik lim n ϕ Xn (t) =: g(t), és g folytonos a 0 R d pontban, akkor létezik olyan X : Ω R d véletlen vektor, hogy ϕ X = g, és X n D X. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 47 / 125

48 Karakterisztikus függvény Generátorfüggvény Ha az X : Ω R d véletlen vektor koordinátái nemnegatív egész értékeket vesznek fel, azaz X a Z d + halmazba koncentrálódik, vagyis P(X Z d +) = 1, akkor X = (X 1,..., X d ) generátorfüggvénye a G X (z) := G X1,...,X d (z 1,..., z d ) := E(z X ) := E(z X 1 1 zx d d ) = P(X 1 = k 1,..., X d = k d ) z k 1 1 zk d d k 1 =0 k d =0 d-változós komplex hatványsor összegfüggvénye. Ez a hatványsor abszolút konvergens a {(z 1,..., z d ) C d : z 1 1,..., z d 1} halmazon, és X karakterisztikus függvénye a ϕ X (t) = ϕ X (t 1,..., t d ) = G X (e it 1,..., e it d ), periodikus függvény. t = (t 1,..., t d ) R d Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 48 / 125

49 Generátorfüggvény tulajdonságai 1 G X (1,..., 1) = 1 2 G X analitikus a {(z 1,..., z d ) C d : z 1 < 1,..., z d < 1} halmazon 3 Tetszőleges k 1,..., k d nemnegatív egészek esetén P(X 1 = k 1,..., X d = k d ) = k k d d G X (0,..., 0) k 1! k d! 4 P X = P y x [ 1, 1] d esetén G X (x) = G Y (x) 5 Ha X és Y függetlenek, akkor G X+Y (z) = G X (z)g Y (z) a {(z 1,..., z d ) C d : z 1 1,..., z d 1} halmazon 6 Tetszőleges r 1,..., r d nemnegatív egészek esetén és E(X r 1 1 X r d d ) < r r d d G X (1,..., 1 ) <, r r d d G X (1,..., 1 ) = E(X 1 (X 1 1) (X 1 r 1 + 1) X d (X d 1) (X d r d + 1)) Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 49 / 125

50 Karakterisztikus függvény Folytonossági tétel Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N olyan véletlen vektorok, hogy P(X Z d +) = 1 és P(X n Z d +) = 1, n N. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: D X ha n X n P(X n = k) P(X = k) ha n minden k Z d + esetén G Xn (x) G X (x) ha n minden x [ 1, 1] d esetén Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 50 / 125

51 Karakterisztikus függvény Laplace-transzformált Ha az X = (X 1,..., X d ) : Ω R d véletlen vektor koordinátái nemnegatív értékeket vesznek fel, azaz X az R d + halmazba koncentrálódik, vagyis P(X R d +) = 1, akkor X Laplace-transzformáltja ψ X : R d + R, ψ X (s) := ψ X1,...,X d (s 1,..., s d ) := E(e s, X ) = 0 Ha P(X Z d +) = 1, akkor 0 e s 1x 1 s d x d df X1,...,X d (x 1,..., x d ) ψ X (s 1,..., s d ) = G X (e s 1,..., e s d ), (s 1,..., s d ) R d +, G X (x 1,..., x d ) = ψ X (log x 1,..., log x d ), (x 1,..., x d ) (0, 1) d. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 51 / 125

52 Laplace-transzformált tulajdonságai 1 0 ψ X 1, és ψ X (0) = 1 2 ψ X analitikus a (0, ) d halmazon 3 P X = P Y akkor és csak akkor, ha ψ X = ψ Y 4 Ha X és Y függetlenek, akkor ψ X+Y = ψ X ψ Y 5 Tetszőleges r 1,..., r d nemnegatív egészek esetén és E(X r 1 1 X r d d ) < r r d d ψ X (0+,..., 0+) <, Folytonossági tétel r r d d ψ X (0+,..., 0+) = ( 1) r 1+ +r d E(X r 1 1 X r d d ) Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N olyan véletlen vektorok, hogy P(X R d +) = 1 és P(X n R d +) = 1, n N. Ekkor a következő állítások ekvivalensek: D X ha n X n ψ Xn (s) ψ X (s) ha n minden s R d + esetén Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 52 / 125

53 Nevezetes eloszlások p paraméterű Bernoulli-eloszlás Legyen p [0, 1]. Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó p paraméterű Bernoulli-eloszlású, ha lehetséges értékei: 0 és 1, és eloszlása P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1 p. { 1 ha A bekövetkezik, Ha A esemény, akkor az 1 A := 0 ha A nem következik be véletlen változó Bernoulli-eloszlású P(A) paraméterrel. Generátorfüggvény Laplace-transzformált G X (z) = 1 p + pz = 1 + p(z 1), z C ψ X (s) = 1 p + p e s = 1 p(1 e s ), s R + Karakterisztikus függvény ϕ X (t) = 1 p + p e it = 1 + p(e it 1), t R Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 53 / 125

54 Nevezetes eloszlások (n, p) paraméterű binomiális eloszlás Legyen n N és p [0, 1]. Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó (n, p) paraméterű binomiális eloszlású, ha lehetséges értékei: 0, 1,..., n, és eloszlása P(X = k) = ( n k ) p k (1 p) n k, k {0, 1,..., n}. Ha az A eseménnyel kapcsolatban n független kísérletet végzünk és { 1 ha A bekövetkezik az i-edik alkalommal, X i := 0 egyébként, akkor az X = X X n véletlen változó (n, P(A)) paraméterű binomiális eloszlású, és X 1,..., X n független, P(A) paraméterű Bernoulli-eloszlásúak. G X (z) = (1 p + pz) n = (1 + p(z 1)) n, z C ψ X (s) = (1 p + p e s ) n = (1 p(1 e s )) n, s R + ϕ X (t) = (1 p + p e it ) n = (1 + p(e it 1)) n, t R Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 54 / 125

55 Nevezetes eloszlások (n, M, N M) paraméterű hipergeometrikus eloszlás Legyenek n, N, M N úgy, hogy M N. Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó (n, M, N M) paraméterű hipergeometrikus eloszlású, ha olyan k értékeket vehet fel, melyekre teljesül 0 k n, k M és n k N M, és eloszlása ( M )( N M ) k n k P(X = k) = ( N. n) Ha egy dobozban M piros és N M fekete golyó van, és visszatevés nélkül húzunk ki n golyót, és X jelöli a kihúzott piros golyók számát, akkor az X véletlen változó (n, M, N M) paraméterű hipergeometrikus eloszlású. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 55 / 125

56 Nevezetes eloszlások p paraméterű r-edrendű negatív binomiális eloszlás Legyen r N és p [0, 1]. Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó p paraméterű r-edrendű negatív binomiális eloszlású, ha lehetséges értékei: 0, 1,..., és eloszlása ( ) k + r 1 P(X = k) = p r (1 p) k, k {0, 1,... }. r 1 Ha az A eseménnyel kapcsolatban független kísérletet végzünk és az A r-edik bekövetkezéséhez szükséges kísérletek száma r + X, akkor az X véletlen változó P(A) paraméterű r-edrendű negatív binomiális eloszlású. Generátorfüggvény ( G X (z) = p 1 (1 p)z ) r, z C, z < 1 1 p Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 56 / 125

57 Nevezetes eloszlások Elsőrendű negatív binomiális eloszlások konvolúciója Ha az X 1,..., X r véletlen változók függetlenek és p paraméterű elsőrendű negatív binomiális eloszlásúak, akkor az X := X X r véletlen változó p paraméterű r-edrendű negatív binomiális eloszlású. Elsőrendű negatív binomiális eloszlás örökifjú tulajdonsága Ha az X véletlen változó p paraméterű elsőrendű negatív binomiális eloszlású, akkor P(X k + l X k) = P(X l), k, l {0, 1,... }. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 57 / 125

58 Nevezetes eloszlások λ paraméterű Poisson-eloszlás Legyen λ R +. Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó λ paraméterű Poisson-eloszlású, ha lehetséges értékei: 0, 1,..., és eloszlása P(X = k) = λk k! e λ, k {0, 1,... }. Generátorfüggvény G X (z) = e λ(z 1), z C Binomiális eloszlás közelítése Poisson-eloszlással Ha X n, n N, binomiális eloszlású véletlen változók (n, p n ) D paraméterrel, és np n λ (0, ) ha n, akkor X n X ha n, ahol az X véletlen változó λ paraméterű Poisson-eloszlású. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 58 / 125

59 Nevezetes eloszlások Egyenletes eloszlás a {0, 1,..., N 1} halmazon Azt mondjuk, hogy az X diszkrét véletlen változó egyenletes eloszlású az {0, 1,..., N 1} halmazon, ha P(X = k) = 1, k {0, 1,..., N 1}. N Generátorfüggvény G X (z) = 1 N (1 + z + + zn 1 ), z C, = 1 N z N 1 z 1, z C \ {1} Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 59 / 125

60 Nevezetes eloszlások Egyenletes eloszlás az (a, b) intervallumon Legyen a, b R úgy, hogy a < b. Azt mondjuk, hogy az X abszolút folytonos véletlen változó egyenletes eloszlású az (a, b) intervallumon, ha a sűrűségfüggvénye f X (x) = Karakterisztikus függvény ϕ X (t) = { 1 b a, x (a, b), 0, egyébként. { e ibt e iat i(b a)t, t 0, 1, t = 0. Folytonos egyenletes eloszlás közelítése Ha X n, n N, egyenletes eloszlású véletlen változók a {0, 1,..., n 1} halmazon, akkor Xn D n X ha n, ahol az X véletlen változó egyenletes eloszlású a (0, 1) intervallumon. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 60 / 125

61 Nevezetes eloszlások λ paraméterű exponenciális eloszlás Legyen λ > 0. Azt mondjuk, hogy az X abszolút folytonos véletlen változó λ paraméterű exponenciális eloszlású, ha sűrűségfüggvénye { λe λx, x > 0, f X (x) = 0, egyébként. Exponenciális eloszlás örökifjú tulajdonsága Ha az X véletlen változó λ paraméterű exponenciális eloszlású, akkor P(X t + h X t) = P(X h), t, h 0. Laplace-transzformált ψ X (s) = λ s + λ, s R + Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 61 / 125

62 Nevezetes eloszlások (m, σ 2 ) paraméterű normális eloszlás Legyen m R és σ > 0. Azt mondjuk, hogy az X abszolút folytonos véletlen változó (m, σ 2 ) paraméterű normális eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye Karakterisztikus függvény f X (x) = 1 e (x m)2 2σ 2 2πσ ϕ X (t) = e imt σ2 t 2 2, t R Binomiális eloszlás közelítése normális eloszlással Ha X n, n N, binomiális eloszlású véletlen változók (n, p) X paraméterrel, ahol p (0, 1), akkor n np D X ha n, np(1 p) ahol az X véletlen változó (0, 1) paraméterű normális eloszlású. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 62 / 125

63 Többdimenziós normális eloszlás Többdimenziós normális eloszlás Azt mondjuk, hogy az Y : Ω R d véletlen vektor standard normális eloszlású, ha Y = (Y 1,..., Y d ), ahol Y 1,..., Y d : Ω R független, standard normális eloszlású véletlen változók. Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor normális eloszlású, ha X eloszlása megegyezik AY + m eloszlásával, ahol Y : Ω R d standard normális eloszlású, A R d d és m R d. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 63 / 125

64 Többdimenziós normális eloszlás Karakterisztikus függvény, sűrűségfüggvény Egy X : Ω R d véletlen vektor akkor és csak akkor normális eloszlású, ha karakterisztikus függvénye ϕ X (t) = exp {i m, t 12 } Dt, t, t R d alakú, ahol m R d, és D R d d szimmetrikus, pozitív szemidefinit mátrix, azaz D = D, valamint tetszőleges t R d esetén Dt, t 0. Továbbá m = E(X), D = Cov(X). Ha D invertálható, akkor X abszolút folytonos, és sűrűségfüggvénye 1 f X (x) = { (2π) d det(d) exp 1 } 2 D 1 (x m), x m, x R d. Azt mondjuk, hogy az X : Ω R d véletlen vektor normális eloszlású (m, D) paraméterekkel, ha X karakterisztikus függvénye a fenti tételben adott alakú. Jelölése: X = D N (m, D). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 64 / 125

65 Többdimenziós normális eloszlás Többdimenziós normális eloszlás lineáris transzformáltja Ha X D = N (m, D) d-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor, és a R l, B R l d, akkor a + BX D = N (a + Bm, BDB ) l-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor. Többdimenziós normális eloszlás karakterizálása Egy X : Ω R d véletlen vektor akkor és csak akkor normális eloszlású, ha minden c R d vektor esetén a c X véletlen változó normális eloszlású. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 65 / 125

66 Többdimenziós normális eloszlás Többdimenziós normális eloszlás koordinátáinak függetlensége Legyen (X 1,..., X k, Y 1,..., Y l ) k + l-dimenziós normális eloszlású véletlen vektor, és tegyük fel, hogy bármely i {1,..., k} és j {1,..., l} esetén Cov(X i, Y j ) = 0. Ekkor a (X 1,..., X k ) és (Y 1,..., Y l ) véletlen vektorok függetlenek. Lineáris kombinációk függetlensége Legyenek X 1,..., X d független, standard normális eloszlású véletlen változók. Az a 1 X a d X d és b 1 X b d X d lineáris kombinációk akkor és csak akkor függetlenek, ha az (a 1,..., a d ) és (b 1,..., b d ) vektorok merőlegesek egymásra. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 66 / 125

67 Véletlen vektorok konvergenciája Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. Azt mondjuk, hogy az X 1, X 2,... sorozat X-hez konvergál m.b. majdnem biztosan (jelölése X n X vagy X n X P-m.b.), ( ) ha P lim X n = X = 1; n P sztochasztikusan (jelölése X n X), ha bármely ε > 0 esetén lim P( X n X ε) = 0; n D eloszlásban (jelölése X n X), ha lim F X n n (x) = F X (x) minden olyan x R pontban, ahol F X folytonos; r r-edik momentumban, ahol r > 0 (jelölése X n X), ha E( X r ) <, E( X n r ) <, n N, és lim E ( X n X r ) = 0. n Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 67 / 125

68 Véletlen vektorok konvergenciája Konvergenciafajták kapcsolata Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. m.b. r Ha X n X, vagy valamely r > 0 esetén X n X, akkor P X. X n r Ha X n X valamely r > 0 esetén, akkor tetszőleges s s (0, r) esetén X n X. Határérték egyértelműsége Ha X : Ω R d, Y : Ω R d, X n : Ω R d és Y n : Ω R d, n N, P P véletlen vektorok úgy, hogy X n X, Y n Y, és X n = Y n P-m.b. minden n N esetén, akkor X = Y P-m.b. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 68 / 125

69 Véletlen vektorok konvergenciája Majdnem biztos és sztochasztikus konvergencia Legyenek X : Ω R d X n m.b. X ε > 0 esetén és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. ( ) lim P sup X k X ε = 0 n k n sup X k X P 0, amint n. k n P ((X n ) n 1 konvergens) = 1 ε > 0 esetén ε > 0 esetén k=1 lim P n ( ) sup X k X n ε = 0. k n P( X k X ε) < = X n m.b. X. P X n X pozitív egészek bármely n 1 < n 2 <... sorozatának van olyan n k1 < n k2 <... részsorozatata, hogy m.b. X, amint i. X nki Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 69 / 125

70 Véletlen vektorok konvergenciája Véletlen vektorok folytonos függvényének konvergenciája Legyenek X : Ω R d, Y : Ω R d, X n : Ω R d, és Y n : Ω R d, n N, véletlen vektorok és g : R d R d R r folytonos függvény. Ha X n m.b. X és Y n m.b. Y, akkor g(x n, Y n ) m.b. g(x, Y ). Ha X n P X és Y n P Y, akkor g(x n, Y n ) P g(x, Y ). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 70 / 125

71 Véletlen vektorok konvergenciája Konvergencia és műveletek kapcsolata Legyenek X : Ω R d, Y : Ω R d, X n : Ω R d, és Y n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. m.b. m.b. m.b. Ha X n X és Y n Y, akkor X n + Y n X + Y és X n, Y n m.b. X, Y. P Ha X n X és Y n P X n, Y n X, Y. P Y, akkor X n + Y n P X + Y és r r Ha X n X és Y n Y valamely r 1 esetén, akkor r X n + Y n X + Y. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 71 / 125

72 Véletlen vektorok konvergenciája Véletlen vektorok egyenletes integrálhatósága Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, Γ nemüres halmaz, és minden γ Γ esetén X γ : Ω R d véletlen vektor. Azt mondjuk, hogy az {X γ : γ Γ} véletlen vektorok egyenletesen integrálhatók, ha lim E ( X γ 1 { Xγ >K }) = 0. sup K γ Γ Egyenletes integrálhatóság Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, Γ nemüres halmaz, és minden γ Γ esetén X γ : Ω R d véletlen vektor. Az {X γ : γ Γ} véletlen vektorok akkor és csak akkor egyenletesen integrálhatók, ha sup E( X γ ) < és lim γ Γ sup P(A) 0 γ Γ E ( X γ 1 A ) = 0 (azaz ε > 0 δ > 0 úgy, hogy E ( X γ 1 A ) < ε minden γ Γ és minden olyan A A esemény esetén, melyre P(A) < δ). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 72 / 125

73 Véletlen vektorok konvergenciája Egyenletes integrálhatóság Legyen (Ω, A, P) valószínűségi mező, Γ nemüres halmaz, és minden γ Γ esetén X γ : Ω R d, Y γ : Ω R d véletlen vektorok. Ha létezik olyan r > 1, hogy sup γ Γ E( X γ r ) <, akkor az {X γ : γ Γ} véletlen vektorok egyenletesen integrálhatók. Ha az {X γ : γ Γ} és {Y γ : γ Γ} véletlen vektorok egyenletesen integrálhatók, akkor az {X γ + Y γ : γ Γ} véletlen vektorok is egyenletesen integrálhatók. Ha az {Y γ : γ Γ} véletlen vektorok egyenletesen integrálhatók és minden γ Γ esetén E( X γ ) E( Y γ ), akkor az {X γ : γ Γ} véletlen vektorok is egyenletesen integrálhatók. Momentum konvergenciatétel Legyenek X, X 1, X 2,... d-dimenziós véletlen vektorok, és r 1. r P Az X n X konvergencia azzal ekvivalens, hogy X n X és az { X n r : n N} véletlen változók egyenletesen integrálhatók. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 73 / 125

74 Véletlen vektorok konvergenciája Valószínűségi mértékek gyenge konvergenciája Legyenek µ, µ 1, µ 2,... valószínűségi mértékek az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. Azt mondjuk, hogy a µ 1, µ 2,... sorozat gyengén konvergál µ-höz (jelölése: µ n µ), ha lim µ n (A) = µ(a) minden olyan A B(R d ) n esetén, melyre µ( A) = 0, ahol A az A halmaz határát jelöli. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 74 / 125

75 Véletlen vektorok konvergenciája Portmanteau tétel Legyenek µ, µ 1, µ 2,... valószínűségi mértékek az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. A következő állítások ekvivalensek: 1 lim g(y) µ n (dy) = g(y) µ(dy) minden g : R d R n R d R d korlátos, folytonos függvény esetén. 2 lim g(y) µ n (dy) = g(y) µ(dy) minden g : R d R n R d R d korlátos, egyenletesen folytonos függvény esetén. 3 lim sup µ n (F) µ(f) minden F B(R d ) zárt halmaz esetén. n 4 lim inf µ n(g) µ(g) minden G B(R d ) nyitott halmaz esetén. n 5 lim n µ n (A) = µ(a) minden A B(R d ) esetén, melyre µ( A) = 0. 6 µ n µ. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 75 / 125

76 Véletlen vektorok konvergenciája Eloszlásbeli és gyenge konvergencia kapcsolata Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. A következő állítások ekvivalensek: 1 lim n E(g(X n )) = E(g(X)) minden g : R d R korlátos, folytonos függvény esetén. 2 lim n E(g(X n )) = E(g(X)) minden g : R d R korlátos, egyenletesen folytonos függvény esetén. 3 lim sup P(X n F) P(X F) minden F B(R d ) zárt halmazra. n 4 lim inf P(X n G) P(X G) minden G B(R d ) nyitott halmazra. n 5 lim n P(X n A) = P(X A) minden olyan A B(R d ) Borel-halmaz esetén, melyre P(X A) = 0. 6 P Xn P X. D 7 X n X. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 76 / 125

77 Véletlen vektorok konvergenciája Cramér Szluckij lemma Legyenek X : Ω R d, és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok. D P D Ha X n X és Xn Y n 0, akkor Y n X. Véletlen vektorok konvergenciája Legyenek X : Ω R d, X n : Ω R d, Y n : Ω R és Z n : Ω R d, n N, véletlen vektorok, és a R d, b R. P D Ha X n X, akkor X n X. D P Ha X n X, Yn b és Z n D Y n X n + Z n bx + a. P X n a akkor és csak akkor, ha X n P a, akkor D a. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 77 / 125

78 Véletlen vektorok konvergenciája A h : R d R l mérhető függvény szakadási pontjainak D h halmaza Borel-mérhető. Leképezési tétel Legyenek X : Ω R d és X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok, h : R d R l mérhető függvény, és x R d. D Ha X n X és P(X Dh ) = 0, akkor h(x n ) D h(x). Véletlen vektorok mérhető függvényének konvergenciája Legyenek X n : Ω R d, n N, véletlen vektorok, h : R d R l mérhető függvény, és x R d. P P Ha X n x és x / D h, akkor h(x n ) h(x). Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 78 / 125

79 Valószínűségi mértékcsalád feszessége Legyen Γ nemüres halmaz, és minden γ Γ esetén µ γ valószínűségi mérték az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. Azt mondjuk, hogy a {µ γ : γ Γ} mértékcsalád feszes, ha Folytonossági tétel lim sup µ γ ({x R d : x > K }) = 0. K γ Γ Legyenek X n : Ω R d, n N véletlen vektorok. 1 Ha létezik olyan X : Ω R d D véletlen vektor, hogy X n X, akkor ϕ Xn ϕ X minden korlátos intervallumon egyenletesen. 2 Ha tetszőleges t R d esetén létezik lim n ϕ Xn (t) =: g(t), és a {P Xn : n N} mértékcsalád feszes, akkor létezik olyan X : Ω R d D véletlen vektor, hogy ϕ X = g, és X n X. 3 Ha tetszőleges t R d esetén létezik lim n ϕ Xn (t) =: g(t), és g folytonos a 0 R d pontban, akkor létezik olyan X : Ω R d véletlen vektor, hogy ϕ X = g, és X n D X. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 79 / 125

80 Véletlen vektorok konvergenciája Prohorov-tétel Legyenek µ 1, µ 2,... valószínűségi mértékek az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. A {µ n : n N} mértékcsalád akkor és csak akkor feszes, ha pozitív egészek bármely n 1 < n 2 <... sorozatához létezik olyan µ valószínűségi mérték és olyan n k1 < n k2 <... részsorozat, hogy µ nki µ, amint i. Valószínűségi mértékek gyenge konvergenciája Legyenek µ, µ 1, µ 2,... valószínűségi mértékek az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. Ekkor µ n µ akkor és csak akkor, ha a {µ n : n N} mértékcsalád feszes, és ha pozitív egészek valamely n 1 < n 2 <... sorozatához létezik olyan ν valószínűségi mérték, hogy µ nk ν, amint k, akkor ν = µ. Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 80 / 125

81 Véletlen vektorok konvergenciája Helly-féle kiválasztási tétel Legyenek µ 1, µ 2,... valószínűségi mértékek az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren. Ekkor létezik olyan µ mérték az (R d, B(R d )) mérhetőségi téren, melyre µ(r d ) 1, pozitív egészek olyan n 1 < n 2 <... sorozata, és olyan c [0, 1] konstans, hogy µ nk ({y R d : y < x}) c + µ({y R d : y < x}), amint k, minden olyan x R d függvény folytonos. Nyíró egyenlőtlenség pontban, ahol az x µ({y R d : y < x}) Ha X véletlen változó, akkor tetszőleges a > 0 esetén ( P X 2 ) 1 a (1 ϕ X (t)) dt. a a a Pap Gyula (SZTE) Valószínűségelmélet 2016/2017 tanév, I. félév 81 / 125

Valószín ségelmélet. Pap Gyula

Valószín ségelmélet. Pap Gyula Valószín ségelmélet Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem, Bolyai Intézet, Sztochasztika Tanszék papgy@math.u-szeged.hu 1 Mértékelméleti el készítés 1.1 Deníció. Legyen Ω nemüres halmaz. Az Ω bizonyos részhalmazaiból

Részletesebben

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik

Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Mérhetőség, σ-algebrák, Lebesgue Stieltjes-integrál, véletlen változók és eloszlásfüggvényeik Az A halmazrendszer σ-algebra az Ω alaphalmazon, ha Ω A; A A A c A; A i A, i N, i N A i A. Az A halmazrendszer

Részletesebben

Készítette: Fegyverneki Sándor

Készítette: Fegyverneki Sándor VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y

Részletesebben

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás

Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Matematikai statisztika gyakorlat Valószínűségi változók. Várható érték és szórás Valószínűségi változók 2016. március 7-11. 1 / 13 Valószínűségi változók Legyen a (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy X :

Részletesebben

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk

egyenletesen, és c olyan színű golyót teszünk az urnába, amilyen színűt húztunk. Bizonyítsuk Valószínűségszámítás 8. feladatsor 2015. november 26. 1. Bizonyítsuk be, hogy az alábbi folyamatok mindegyike martingál. a S n, Sn 2 n, Y n = t n 1+ 1 t 2 Sn, t Fn = σ S 1,..., S n, 0 < t < 1 rögzített,

Részletesebben

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat.

A következő feladat célja az, hogy egyszerű módon konstruáljunk Poisson folyamatokat. Poisson folyamatok, exponenciális eloszlások Azt mondjuk, hogy a ξ valószínűségi változó Poisson eloszlású λ, 0 < λ

Részletesebben

Bevezetés. Valószínűségszámítás 2 előadás III. alk. matematikus szak. Irodalom. Egyéb info., számonkérés. Cél. Alapfogalmak (ismétlés)

Bevezetés. Valószínűségszámítás 2 előadás III. alk. matematikus szak. Irodalom. Egyéb info., számonkérés. Cél. Alapfogalmak (ismétlés) Valószínűségszámítás 2 előaás III. alk. matematikus szak 2016/2017 1. félév Zempléni Anrás Bevezetés Iroalom, követelmények A félév célja Alapfogalmak mértékelméleti alapon Kapcsolóás a val.szám. 1-hez

Részletesebben

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma:

e (t µ) 2 f (t) = 1 F (t) = 1 Normális eloszlás negyedik centrális momentuma: Normális eloszlás ξ valószínűségi változó normális eloszlású. ξ N ( µ, σ 2) Paraméterei: µ: várható érték, σ 2 : szórásnégyzet (µ tetszőleges, σ 2 tetszőleges pozitív valós szám) Normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 3 III. VÉLETLEN VEKTOROK 1. A KÉTDIMENZIÓs VÉLETLEN VEKTOR Definíció: Az leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha Definíció:

Részletesebben

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O

4. Az A és B események egymást kizáró eseményeknek vagy idegen (diszjunkt)eseményeknek nevezzük, ha AB=O 1. Mit nevezünk elemi eseménynek és eseménytérnek? A kísérlet lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Az adott kísélethez tartozó elemi események halmazát eseménytérnek nevezzük, jele: X 2.

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Elméleti összefoglaló a Valószín ségszámítás kurzushoz Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet kimeneteleinek

Részletesebben

Gyakorló feladatok a Valószín ségelmélet kurzushoz

Gyakorló feladatok a Valószín ségelmélet kurzushoz Gyakorló feladatok a Valószín ségelmélet kurzushoz 1 Mértékelméleti ismétlés 2 2 Generált σ-algebrák, függetlenség 3 3 A Kolmogorov 01 törvény és a BorelCantelli-lemmák 5 4 Folytonos eloszlások konvolúciója

Részletesebben

A fontosabb definíciók

A fontosabb definíciók A legfontosabb definíciókat jelöli. A fontosabb definíciók [Descartes szorzat] Az A és B halmazok Descartes szorzatán az A és B elemeiből képezett összes (a, b) a A, b B rendezett párok halmazát értjük,

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása A csoport Definiálja az alábbi fogalmakat!. Egy eseménynek egy másik eseményre vonatkozó feltételes valószínűsége. ( pont) Az A esemény feltételes valószínűsége

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 2 II. A valószínűségi VÁLTOZÓ És JELLEMZÉsE 1. Valószínűségi VÁLTOZÓ Definíció: Az leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha

Részletesebben

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel:

x, x R, x rögzített esetén esemény. : ( ) x Valószínűségi Változó: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Feltételes valószínűség: Teljes valószínűség Tétele: Bayes Tétel: Valószínűségi változó általános fogalma: A : R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha : ( ) x, x R, x rögzített esetén esemény.

Részletesebben

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás)

Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Abszolút folytonos valószín ségi változó (4. el adás) Deníció (Abszolút folytonosság és s r ségfüggvény) Az X valószín ségi változó abszolút folytonos, ha van olyan f : R R függvény, melyre P(X t) = t

Részletesebben

Valószínűségszámítás

Valószínűségszámítás Valószínűségszámítás Pap Gyula Szegedi Tudományegyetem 2010/2011 tanév, II. félév Pap Gyula (SZE) Valószínűségszámítás 2010/2011 tanév, II. félév 1 / 122 Ajánlott irodalom: RÉNYI ALFRÉD Valószínűségszámítás

Részletesebben

Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés

Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Matematikai statisztika I. témakör: Valószínűségszámítási ismétlés Elek Péter 1. Valószínűségi változók és eloszlások 1.1. Egyváltozós eset Ismétlés: valószínűség fogalma Valószínűségekre vonatkozó axiómák

Részletesebben

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy

1/1. Házi feladat. 1. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy /. Házi feladat. Legyen p és q igaz vagy hamis matematikai kifejezés. Mutassuk meg, hogy mindig igaz. (p (( p) q)) (( p) ( q)). Igazoljuk, hogy minden A, B és C halmazra A \ (B C) = (A \ B) (A \ C) teljesül.

Részletesebben

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján

Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Sorozatok, sorok, függvények határértéke és folytonossága Leindler Schipp - Analízis I. könyve + jegyzetek, kidolgozások alapján Számsorozatok, vektorsorozatok konvergenciája Def.: Számsorozatok értelmezése:

Részletesebben

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének.

minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének mondjuk, f(x 0 )-at pedig az (abszolút) maximumértékének. Függvények határértéke és folytonossága Egy f: D R R függvényt korlátosnak nevezünk, ha a függvényértékek halmaza korlátos. Ha f(x) f(x 0 ) teljesül minden x D esetén, akkor x 0 -at a függvény maximumhelyének

Részletesebben

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva

f(x) vagy f(x) a (x x 0 )-t használjuk. lim melyekre Mivel itt ɛ > 0 tetszőlegesen kicsi, így a a = 0, a = a, ami ellentmondás, bizonyítva 6. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 6.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0

1. Házi feladat. Határidő: I. Legyen f : R R, f(x) = x 2, valamint. d : R + 0 R+ 0 I. Legyen f : R R, f(x) = 1 1 + x 2, valamint 1. Házi feladat d : R + 0 R+ 0 R (x, y) f(x) f(y). 1. Igazoljuk, hogy (R + 0, d) metrikus tér. 2. Adjuk meg az x {0, 3} pontok és r {1, 2} esetén a B r (x)

Részletesebben

Barczy Mátyás és Pap Gyula

Barczy Mátyás és Pap Gyula Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák könyvtár Barczy Mátyás és Pap Gyula mobidiák könyvtár SOROZATSZERKESZTŐ Fazekas Iván Barczy Mátyás és Pap Gyula Debreceni Egyetem Oktatási segédanyag mobidiák könyvtár

Részletesebben

Analízis I. beugró vizsgakérdések

Analízis I. beugró vizsgakérdések Analízis I. beugró vizsgakérdések Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v1.7 Forrás: Dr. Weisz Ferenc: Prog. Mat. 2006-2007 definíciók

Részletesebben

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5

Backhausz Ágnes 1. Bevezetés A valószínűség elemi tulajdonságai... 5 Valószínűségszámítás Földtudomány BSc szak, 2016/2017. őszi félév Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. A Kolmogorov-féle valószínűségi mező 3 2.1. Klasszikus valószínűségi

Részletesebben

Valószín ségszámítás és statisztika

Valószín ségszámítás és statisztika Valószín ségszámítás és statisztika Informatika BSc, esti tagozat Backhausz Ágnes agnes@cs.elte.hu 2016/2017. tavaszi félév Bevezetés Célok: véletlen folyamatok modellezése; kísérletekb l, felmérésekb

Részletesebben

Centrális határeloszlás-tétel

Centrális határeloszlás-tétel 13. fejezet Centrális határeloszlás-tétel A valószínűségszámítás legfontosabb állításai azok, amelyek független valószínűségi változók normalizált összegeire vonatkoznak. A legfontosabb ilyen tételek a

Részletesebben

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül

ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az eredmény. A kérdés a következő: Mikor mondhatjuk azt, hogy bizonyos események közül A Borel Cantelli lemma és annak általánosítása. A valószínűségszámítás egyik fontos eredménye a Borel Cantelli lemma. Először informálisan ismertetem, hogy milyen probléma vizsgálatában jelent meg ez az

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. május 15. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

(Independence, dependence, random variables)

(Independence, dependence, random variables) Két valószínűségi változó együttes vizsgálata Feltételes eloszlások Két diszkrét változó együttes eloszlása a lehetséges értékpárok és a hozzájuk tartozó valószínűségek (táblázat) Példa: Egy urna 3 fehér,

Részletesebben

Valószínűségszámítás összefoglaló

Valószínűségszámítás összefoglaló Statisztikai módszerek BMEGEVGAT Készítette: Halász Gábor Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Hidrodinamikai Rendszerek Tanszék, Budapest, Műegyetem rkp. 3. D ép. 334. Tel:

Részletesebben

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk

Fraktálok. Kontrakciók Affin leképezések. Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék. TARTALOMJEGYZÉK Kontrakciók Affin transzformációk Fraktálok Kontrakciók Affin leképezések Czirbusz Sándor ELTE IK, Komputeralgebra Tanszék TARTALOMJEGYZÉK 1 of 71 A Lipschitz tulajdonság ÁTMÉRŐ, PONT ÉS HALMAZ TÁVOLSÁGA Definíció Az (S, ρ) metrikus tér

Részletesebben

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz

Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz Elméleti összefoglaló a Sztochasztika alapjai kurzushoz 1. dolgozat Véletlen kísérletek, események valószín sége Deníció. Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeit kimeneteleknek nevezzük. A kísérlet

Részletesebben

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n

Számsorok. 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) n=1 = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az. a n Számsorok 1. Definíció. Legyen adott valós számoknak egy (a n ) = (a 1, a 2,..., a n,...) végtelen sorozata. Az végtelen összeget végtelen számsornak (sornak) nevezzük. Az a n számot a sor n-edik tagjának

Részletesebben

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1

Statisztika - bevezetés Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc 1 Statisztika - bevezetés 00.04.05. Méréselmélet PE MIK MI_BSc VI_BSc Bevezetés Véletlen jelenség fogalma jelenséget okok bizonyos rendszere hozza létre ha mindegyik figyelembe vehető egyértelmű leírás általában

Részletesebben

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem.

Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Eseményalgebra. Esemény: minden amirl a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelmen hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei.

Részletesebben

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.

1. Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel. . Példa. A gamma függvény és a Fubini-tétel.. Az x exp x + t )) függvény az x, t tartományon folytonos, és nem negatív, ezért alkalmazható rá a Fubini-tétel. I x exp x + t )) dxdt + t dt π 4. [ exp x +

Részletesebben

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka

Alapfogalmak, valós számok Sorozatok, határérték Függvények határértéke, folytonosság A differenciálszámítás Függvénydiszkusszió Otthoni munka Pintér Miklós miklos.pinter@uni-corvinus.hu Ősz Alapfogalmak Halmazok Definíció Legyen A egy tetszőleges halmaz, ekkor x A (x / A) jelentése: x (nem) eleme A-nak. A B (A B) jelentése: A (valódi) részhalmaza

Részletesebben

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9.

CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis. 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis Becslések, határeloszlás tételek Székely Balázs 2011. november 9. CHT& NSZT Hoeffding NET mom. stabilis 1 CHT és NSZT 2 Hoeffding-egyenlőtlenség Alkalmazása: Beengedés

Részletesebben

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák:

1. Absztrakt terek 1. (x, y) x + y X és (λ, x) λx X. műveletek értelmezve vannak, és amelyekre teljesülnek a következő axiómák: 1. Absztrakt terek 1 1. Absztrakt terek 1.1. Lineáris terek 1.1. Definíció. Az X halmazt lineáris térnek vagy vektortérnek nevezzük a valós számtest (komplex számtest) felett, ha bármely x, y X elemekre

Részletesebben

Eloszlások jellemzése. Momentumok. Medián és kvantilis. Karakterisztikus függvény

Eloszlások jellemzése. Momentumok. Medián és kvantilis. Karakterisztikus függvény Karakterisztikus függvény Eloszlások jellemzése Momentumok Karakterisztikus függvény Medián és kvantilis Medián Kvantilis Módusz Hogyan lehetne általánosítani a generátorfüggvényt folytonos okra? Karakterisztikus

Részletesebben

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1

Funkcionálanalízis. n=1. n=1. x n y n. n=1 Funkcionálanalízis 2011/12 tavaszi félév - 2. előadás 1.4. Lényeges alap-terek, példák Sorozat terek (Folytatás.) C: konvergens sorozatok tere. A tér pontjai sorozatok: x = (x n ). Ezen belül C 0 a nullsorozatok

Részletesebben

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév

Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 2013/14. tavaszi félév Matematika A3 Valószínűségszámítás, 5. gyakorlat 013/14. tavaszi félév 1. Folytonos eloszlások Eloszlásfüggvény és sűrűségfüggvény Egy valószínűségi változó, illetve egy eloszlás eloszlásfüggvényének egy

Részletesebben

Boros Zoltán február

Boros Zoltán február Többváltozós függvények differenciál- és integrálszámítása (2 3. előadás) Boros Zoltán 209. február 9 26.. Vektorváltozós függvények differenciálhatósága és iránymenti deriváltjai A továbbiakban D R n

Részletesebben

Matematika alapjai; Feladatok

Matematika alapjai; Feladatok Matematika alapjai; Feladatok 1. Hét 1. Tekintsük a,, \ műveleteket. Melyek lesznek a.) kommutativok b.) asszociativak c.) disztributívak-e a, műveletek? Melyik melyikre? 2. Fejezzük ki a műveletet a \

Részletesebben

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok

VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER október 15. Irodalom. További ajánlott feladatok VEKTORTEREK I. VEKTORTÉR, ALTÉR, GENERÁTORRENDSZER 2004. október 15. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak az előadáson, másrészt megtalálják

Részletesebben

A Matematika I. előadás részletes tematikája

A Matematika I. előadás részletes tematikája A Matematika I. előadás részletes tematikája 2005/6, I. félév 1. Halmazok és relációk 1.1 Műveletek halmazokkal Definíciók, fogalmak: halmaz, elem, üres halmaz, halmazok egyenlősége, részhalmaz, halmazok

Részletesebben

Metrikus terek, többváltozós függvények

Metrikus terek, többváltozós függvények Metrikus terek, többváltozós függvények 2003.10.15 Készítette: Dr. Toledo Rodolfo és Dr. Blahota István 1. Metrikus terek, metrika tulajdonságai 1.1. A valós, komplex, racionális, természetes és egész

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK:

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 24.2.9. Matematika I. NÉV:... FELADATOK:. A tanult módon vizsgáljuk az a = 3, a n = 3a n 2 (n > ) rekurzív sorozatot. pt 2n 2 + e 2. Definíció szerint és formálisan is igazoljuk, hogy lim =. pt n 3 + n

Részletesebben

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex

A sorozat fogalma. függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet. az értékkészlet a komplex számok halmaza, akkor komplex A sorozat fogalma Definíció. A természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket sorozatoknak nevezzük. Amennyiben az értékkészlet a valós számok halmaza, valós számsorozatról beszélünk, mígha az

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

f(x) a (x x 0 )-t használjuk.

f(x) a (x x 0 )-t használjuk. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5.1 Függvény határértéke Egy D R halmaz torlódási pontjainak halmazát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D (a D halmaz torlódási

Részletesebben

Tómács Tibor. Mérték és integrál. (X, A, µ) mértéktér, f n : X hető függvények minden n N f 2..., akkor. lim

Tómács Tibor. Mérték és integrál. (X, A, µ) mértéktér, f n : X hető függvények minden n N f 2..., akkor. lim Tómács Tibor Mérték és integrál X, A, µ mértéktér, f n : X hető függvények minden n N f 2..., akkor lim f n dµ = lim f n dµ. Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Mérték és integrál Eger, 2016.

Részletesebben

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter

Debreceni Egyetem. Kalkulus I. Gselmann Eszter Debreceni Egyetem Természettudományi és Technológiai Kar Kalkulus I. Gselmann Eszter Debrecen, 2011 A matematikában a gondolat, ami számít. (Szofja Vasziljevna Kovalevszkaja) Tartalomjegyzék 1. Halmazok,

Részletesebben

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Matematika I. NÉV:... FELADATOK: 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon. 215.12.8. Matematika I. NÉV:... 1. Lineáris transzformációk segítségével ábrázoljuk az f(x) = ln(2 3x) függvényt. 7pt 2. Határozzuk meg az f(x) = 2x 3 + 2x 2 2x + 1 függvény szélsőértékeit a [ 2, 2] halmazon.

Részletesebben

Valószín ségelmélet házi feladatok

Valószín ségelmélet házi feladatok Valószín ségelmélet házi feladatok Minden héten 3-4 házi feladatot adok ki. A megoldásokat a következ órán kell beadni, és kés bb már nem lehet pótolni. Csak az mehet vizsgázni, aki a 13 hét során kiadott

Részletesebben

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév

Analízis II. Analízis II. Beugrók. Készítette: Szánthó József. kiezafiu kukac gmail.com. 2009/ félév Analízis II. Analízis II. Beugrók Készítette: Szánthó József kiezafiu kukac gmail.com 2009/20 10 1.félév Analízis II. Beugrók Függvények folytonossága: 1. Mikor nevez egy függvényt egyenletesen folytonosnak?

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei A valószínűségszámítás elemei Kísérletsorozatban az esemény relatív gyakorisága: k/n, ahol k az esemény bekövetkezésének abszolút gyakorisága, n a kísérletek száma. Pl. Jelenség: kockadobás Megfigyelés:

Részletesebben

Analízis I. Vizsgatételsor

Analízis I. Vizsgatételsor Analízis I. Vizsgatételsor Programtervező Informatikus szak 2008-2009. 2. félév Készítette: Szabó Zoltán SZZNACI.ELTE zotyo@bolyaimk.hu v.0.6 RC 004 Forrás: Oláh Gábor: ANALÍZIS I.-II. VIZSGATÉTELSOR 2006-2007-/2

Részletesebben

Gyakorló feladatok I.

Gyakorló feladatok I. Gyakorló feladatok I. a Matematika Aa Vektorüggvények tárgyhoz (D D5 kurzusok) Összeállította: Szili László Ajánlott irodalmak:. G.B. Thomas, M.D. Weir, J. Hass, F.R. Giordano: Thomas-féle KALKULUS I.,

Részletesebben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben

Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára. Analízis R d -ben Optimalizálási eljárások GYAKORLAT, MSc hallgatók számára Analízis R d -ben Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2012. február 8 1. Konvex függvények Definíció. f : D R konvex, ha dom(f) := D R n konvex és tetszőleges

Részletesebben

A valószínűségszámítás elemei

A valószínűségszámítás elemei Alapfogalmak BIOSTATISZTIKA ÉS INFORMATIKA A valószínűségszámítás elemei Jelenség: minden, ami lényegében azonos feltételek mellett megismételhető, amivel kapcsolatban megfigyeléseket lehet végezni, lehet

Részletesebben

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás

előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 13-14. előadás Diszkrét idejű tömegkiszolgálási modellek Poisson-folyamat Folytonos idejű Markov-láncok Folytonos idejű sorbanállás 2016. november 28. és december 5. 13-14. előadás 1 / 35 Bevezetés A diszkrét

Részletesebben

Biomatematika 2 Orvosi biometria

Biomatematika 2 Orvosi biometria Biomatematika 2 Orvosi biometria 2017.02.13. Populáció és minta jellemző adatai Hibaszámítás Valószínűség 1 Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza)

Részletesebben

Markov-láncok stacionárius eloszlása

Markov-láncok stacionárius eloszlása Markov-láncok stacionárius eloszlása Adatbányászat és Keresés Csoport, MTA SZTAKI dms.sztaki.hu Kiss Tamás 2013. április 11. Tartalom Markov láncok definíciója, jellemzése Visszatérési idők Stacionárius

Részletesebben

1. Kombinatorikai bevezetés

1. Kombinatorikai bevezetés 1. Kombinatorikai bevezetés 1.1. Permutációk Adott n különböző elem ismétlés nélküli permutációján az elemek egy meghatározott sorrendjét értjük. Az n különböző elem összes permutációinak számát P n -nel

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.15. Esemény Egy kísérlet vagy megfigyelés (vagy mérés) lehetséges eredményeinek összessége (halmaza) alkotja az eseményteret. Esemény: az eseménytér részhalmazai.

Részletesebben

Val osz ın usegsz am ıt as jegyzet Buzga Viktor March 21, 2011

Val osz ın usegsz am ıt as jegyzet Buzga Viktor March 21, 2011 Valószínűsegszámítás jegyzet Buzga Viktor March 21, 2011 Contents 1 Bevezető 3 I Valószínűségszámítás 4 2 Valószínűségi alapfogalmak 5 3 Kolmogorov-féle valószínűségi mező 7 4 Klasszikus valószínűségi

Részletesebben

Sztochasztikus modellezés

Sztochasztikus modellezés Sztochasztikus modellezés Szerzı: Dr. Raisz Péter Dr. Fegyverneki Sándor Lektor: Dr. Kálovics Ferenc Tartalomjegyzék 1. Valószínűség-számítási alapok 5 1.1. Eseménytér, műveletek eseményekkel..............

Részletesebben

Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat

Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Az adatokból információkat Mi az adat? Az adat elemi ismeret. Tények, fogalmak olyan megjelenési formája, amely alkalmas emberi eszközökkel történő értelmezésre, feldolgozásra, továbbításra. Az adatokból gondolkodás vagy gépi feldolgozás

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással,

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat, megoldással, levelező képzés Definiálja az alábbi fogalmakat! 1. Kvadratikus mátrix invertálhatósága és inverze. (4 pont) Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak

Részletesebben

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva?

2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve trigonometrikus alakban vannak megadva? = komolyabb bizonyítás (jeleshez) Ellenőrző kérdések 2006 ősz 1. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát! 2. Hogyan számíthatjuk ki két komplex szám szorzatát, ha azok a+bi alakban, illetve

Részletesebben

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ

Megoldások. ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4; 2, 3) normális eloszlású P (ξ Megoldások Harmadik fejezet gyakorlatai 3.. gyakorlat megoldása ξ jelölje az első meghibásodásig eltelt időt. Akkor ξ N(6, 4;, 3 normális eloszlású P (ξ 8 ξ 5 feltételes valószínűségét (.3. alapján számoljuk.

Részletesebben

1. hét. 1. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A. (b) A \ B \ A \ B = A \ B \ A \ B. 2. Fejezzük ki

1. hét. 1. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A. (b) A \ B \ A \ B = A \ B \ A \ B. 2. Fejezzük ki . hét. Teljesülnek-e az alábbi egyenl½oségek? (a) A n B = B n A (b) A \ B \ A \ B = A \ B \. Fejezzük ki (a) A \ B -t a n és [ m½uveletével! A \ B (b) A [ B -t a \ m½uveletével és az A; B halmazra vonatkozó

Részletesebben

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor

1. Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor . Számsorok, hatványsorok, Taylor-sor, Fourier-sor Vizsgálja meg a következő végtelen sorokat konvergencia szempontjából. Tétel. (Cauchy-féle belső konvergenciakritérium) A a n végtelen sor akkor és csakis

Részletesebben

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható

18. Valószín ségszámítás. (Valószín ségeloszlások, függetlenség. Valószín ségi változók várható 8. Valószí ségszámítás. (Valószí ségeloszlások, függetleség. Valószí ségi változók várható értéke, magasabb mometumok. Kovergeciafajták, kapcsolataik. Borel-Catelli lemmák. Nagy számok gyege törvéyei.

Részletesebben

[Biomatematika 2] Orvosi biometria

[Biomatematika 2] Orvosi biometria [Biomatematika 2] Orvosi biometria 2016.02.22. Valószínűségi változó Véletlentől függő számértékeket (értékek sokasága) felvevő változókat valószínűségi változóknak nevezzük(jelölés: ξ, η, x). (pl. x =

Részletesebben

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK

ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK ANALÍZIS III. ELMÉLETI KÉRDÉSEK Szerkesztette: Balogh Tamás 2014. március 17. Ha hibát találsz, kérlek jelezd a info@baloghtamas.hu e-mail címen! Ez a Mű a Creative Commons Nevezd meg! - Ne add el! - Így

Részletesebben

Matematikai statisztika Tómács Tibor

Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Tómács Tibor Publication date 2011 Szerzői jog 2011 Hallgatói Információs Központ Copyright 2011, Educatio Kht., Hallgatói Információs Központ

Részletesebben

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al: Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x

Részletesebben

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim

4. SOROK. a n. a k (n N) a n = s, azaz. a n := lim Példák.. Geometriai sor. A aq n = a + aq + aq 2 +... 4. SOROK 4. Definíció, konvergencia, divergencia, összeg Definíció. Egy ( ) (szám)sorozat elemeit az összeadás jelével összekapcsolva kapott a + a 2

Részletesebben

1 Feltételes várható érték. Példák E[X Y]-ra. 3 feltételes várható érték. 4 Martingálok. 5 Hivatkozások. F X Y (x y) P(X < x Y [y, y + y))

1 Feltételes várható érték. Példák E[X Y]-ra. 3 feltételes várható érték. 4 Martingálok. 5 Hivatkozások. F X Y (x y) P(X < x Y [y, y + y)) Feltételes várható érték Sztochasztikus folyamatok Simon Károly Ez az előadás Rick Durrett Essentials of Stochastic processes könyvére épül Department of Stochastics Institute of Mathematics Technical

Részletesebben

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév

Kalkulus II. Beugró kérdések és válaszok 2012/2013 as tanév II. félév Klkulus II. Beugró kérdések és válszok 2012/2013 s tnév II. félév 1. Legyen ], b[ R nemüres, nyílt intervllum, f :], b[ R függvény. Hogyn vn értelmezve z f függvény primitív függvénye? Válsz. Legyen ],

Részletesebben

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10

Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, június 10 Gazdasági matematika II. vizsgadolgozat megoldása, 204. június 0 A dolgozatírásnál íróeszközön kívül más segédeszköz nem használható. A dolgozat időtartama: 90 perc. Ha a dolgozat első részéből szerzett

Részletesebben

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek

Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek Az november 23-i szeminárium témája Rövid összefoglaló Miért fontos számunkra az előző gyakorlaton tárgyalt lineáris algebrai ismeretek felfrissítése? Tekintsünk ξ 1,..., ξ k valószínűségi változókat,

Részletesebben

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek Algebra Tanszék B U D A P E S T I M Ű S Z A K I M A T E M A T I K A É S G A Z D A S Á G T U D O M Á N Y I I N T É Z E T E G Y E

Részletesebben

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1

Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 Programtervező informatikus I. évfolyam Analízis 1 2012-2013. tanév, 2. félév Tételek, definíciók (az alábbi anyag csupán az előadásokon készített jegyzetek mellékletéül szolgál) 1. Mit jelent az asszociativitás

Részletesebben

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport)

MATEMATIKA 2. dolgozat megoldása (A csoport) MATEMATIKA. dolgozat megoldása (A csoport). Definiálja az alábbi fogalmakat: (egyváltozós) függvény folytonossága, differenciálhatósága, (többváltozós függvény) iránymenti deriváltja. (3x8 pont). Az f

Részletesebben

Tómács Tibor. Matematikai statisztika

Tómács Tibor. Matematikai statisztika Tómács Tibor Matematikai statisztika Eszterházy Károly Főiskola Matematikai és Informatikai Intézet Tómács Tibor Matematikai statisztika Eger, 01 Szerző: Dr. Tómács Tibor főiskolai docens Eszterházy Károly

Részletesebben

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató

TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató BGF PÉNZÜGYI ÉS SZÁMVITELI KAR Módszertani Intézeti Tanszéki Osztály TANTÁRGYI PROGRAM Matematikai alapok II. útmutató 2013/2014. tanév II. félév Tantárgyi program Tantárgy megnevezése Tantárgy jellege/típusa:

Részletesebben

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx.

Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. 1. Archimedesz tétele. Minden x > 0 és y 0 valós számpárhoz létezik olyan n természetes szám, hogy y nx. Legyen y > 0, nx > y akkor és csak akkor ha n > b/a. Ekkor elég megmutatni, hogy létezik minden

Részletesebben

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás

Biometria az orvosi gyakorlatban. Számítógépes döntéstámogatás SZDT-01 p. 1/23 Biometria az orvosi gyakorlatban Számítógépes döntéstámogatás Werner Ágnes Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék e-mail: werner.agnes@virt.uni-pannon.hu Gyakorlat SZDT-01 p.

Részletesebben

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Matematika I Vektorok, egyenesek, síkok a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számítjuk

Részletesebben

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI statisztika 10 X. SZIMULÁCIÓ 1. VÉLETLEN számok A véletlen számok fontos szerepet játszanak a véletlen helyzetek generálásában (pénzérme, dobókocka,

Részletesebben

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!

Megoldások MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be! MATEMATIKA II. VIZSGA (VK) NBT. NG. NMH. SZAKOS HALLGATÓK RÉSZÉRE (Kérjük, hogy a megfelelő szakot jelölje be!) 2016. JANUÁR 21. Elérhető pontszám: 50 pont Megoldások 1. 6. 2. 7. 3. 8. 4. 9. 5. Össz.:

Részletesebben

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében?

12. Mikor nevezünk egy részhalmazt nyíltnak, illetve zártnak a valós számok körében? Ellenörző Kérdések 1. Mit jelent az, hogy egy f : A B függvény injektív, szürjektív, illetve bijektív? 2. Mikor nevezünk egy függvényt invertálhatónak? 3. Definiálja a komplex szám és műveleteinek fogalmát!

Részletesebben