INFORMATIKAI KAR. Simon Péter. egyetemi jegyzet

Átírás

1 EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Fejezetek a valós függvénytanból egyetemi jegyzet Budapest, 27

2 2 A jegyzet a 27. évi ELTE IK Jegyzettámogatási pályázat keretében készült. Lektorálta: Dr. Weisz Ferenc egyetemi tanár.

3 Tartalomjegyzék Előszó 5. Differenciálhatóság 7.. Bevezetés Regularitás Borel-mértékek deriválása Megjegyzések Abszolút folytonosság Előzmények Abszolút folytonos függvények Integráltételek Megjegyzések Maximálfüggvények Hardy Littlewood-maximálfüggvény Maximáltételek Megjegyzések Interpoláció Operátorok interpolációja Calderon Zygmund-felbontás Megjegyzések Duális terek A duális tér fogalma Megjegyzések Tárgymutató 33 3

4 4

5 Előszó Ez a tankönyv egy válogatást tartalmaz az analízis azon fejezeteiből, amelyek az Eötvös Loránd Tudományegyetemen az alkalmazott matematikus MSC képzés, ill. a programtervező informatikus szak doktori speciálelőadásainak egy részét képezik. Az itt tárgyalt eredmények alapja és kiindulópontja mértékelméleti indíttatású, nevezetesen a Borel-mértékek differenciálhatósága. Ennek alapján aztán a valós függvénytan néhány alapvető fontosságú tétele kerül sorra, mint pl. a monoton függvények majdnem mindenütt való differenciálhatósága, az abszolút folytonosság és a differenciálhatóság kapcsolata, klasszikus integráltételek stb. A Hardy Littlewood-maximálfüggvények korlátossági tulajdonságai kapcsán szóba kerül az operátorsorozat konvergenciájának és a szóban forgó sorozat maximáloperátorának a kapcsolata. Ez is indokolja azt, hogy röviden tárgyaljuk operátorok interpolációs tulajdonságait, valamint integrálható függvények tereinek a duálisait. Az idevágó bizonyítási technikák közül áttekintjük az ún. Calderon Zygmund-felbontást. A számos megjegyzésben szó van olyan területekről is, mint pl. a Fourier-sorokkal kapcsolatos néhány konvergencia-tétel vagy a martingálok, Lorentz-terek, Orlicz-terek stb. A tárgyalás során a szokásos bevezető analízis előadások anyagának az ismeretén túl feltételezzük, hogy az Olvasó elsajátította már a mérték- és integrálelmélet alapjait. Ez utóbbival kapcsolatban mind tartalmilag, terminológiailag, mind pedig a jelölések vonatkozásában támaszkodunk a szerző által írt Mérték és integrál egyetemi tankönyvre. A témakör iránt érdeklődőknek néhány további, az alábbiakban felsorolt művet ajánlunk, amelyek a fentiekben esetenként hivatkozás nélküli eredmények forrását illetően is eligazítást nyújtanak: H. Bauer: Measure and integration theory. (Translated from the German by Robert B. Burckel.) De Gruyter Studies in Mathematics, 26, Walter de Gruyter, Berlin, 2. C. Bennett R. Sharpley: Interpolation of Operators. Academic Press (London), 988. J. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer-Lehrbuch, 27. L. Grafakos: Classical Fourier Analysis. Springer, 28. E. Hewitt K. Stromberg: Real and abstract analysis. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York,

6 6 ELŐSZÓ Járai Antal: Mérték és integrál. Felsőoktatási tankönyv. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 22. Laczkovich Miklós: Valós függvénytan. Egyetemi jegyzet. ELTE, Budapest, 995. Simon Péter: Mérték és integrál. Egyetemi jegyzet. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 26. Simon Péter Weisz Ferenc: Válogatott fejezetek az analízisből. ELTE IK, Budapest, 27. E.M. Stein R. Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration and Hilbert spaces. Princeton Lectures in Analysis, Princeton University Press, 25. Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest, 965. A. C. Zaanen: Continuity, Integration and Fourier Theory. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York-London-Paris-Tokyo, 989. Budapest, 27. szeptember.

7 . fejezet Differenciálhatóság.. Bevezetés Az elemi analízisben tanultak szerint, ha I R egy (nem elfajuló) intervallum, f : I R pedig folytonos függvény, akkor bármely a I esetén a klasszikus Riemann -integrál révén az x F(x) := f(t)dt (x I) a utasítással értelmezett integrálfüggvény differenciálható és F = f. Az is jól ismert, hogy itt az f folytonossága lényeges, mert pl. az (x < ) I := R, a :=, f(x) := (x ) választással az f nem folytonos (a -ban) és (x < ) F(x) := x (x ), tehát az F integrálfüggvény nem differenciálható a -ban. Világos ugyanakkor, hogy minden x R mellett F D{x} és F (x) = f(x). Legyen most I := [a, b] kompakt intervallum, f : [a, b] R Georg Friedrich Bernhard Riemann (Breselenz, 826. IX. 7. Selasca, 866. VII. 2.) 7

8 8 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG pedig Lebesgue 2 -integrálható. Értelmezzük a fentiekkel analóg módon az F-et: x F(x) := f dλ := f dλ (x [a, b]), a ahol a λ szimbólum jelöli az R számegyenesen a Lebesgue-mértéket. Ekkor bármely esetén [a,x] x, y [a, b], x < y F(y) F(x) y x = λ f([x, y]) λ([x, y]), hacsak a λ f az f, mint súlyfüggvény által meghatározott mértéket jelenti: λ f (A) := A f dλ Ha tehát F D{x}, akkor létezik (és véges) a (A [a, b], az A Borel3 -mérhető). λ f ([x, y]) lim y x λ([x, y]) (= F (x)) határérték. Ez az észrevétel vezet el aztán egy sokkal általánosabb fogalomalkotáshoz, nevezetesen Borel-mértékek differenciálhatóságához. Általában, ha adott az (X, Ω, µ) mértéktér 4, az f : X R pedig olyan (Ω-)mérhető függvény 5, amelynek létezik a µ mérték szerinti integrálja, akkor valamely A Ω halmaz esetén fdµ A jelöli az f függvénynek az A halmazon vett integrálját (azaz az fχ A függvény 6 integrálját). Az A := X esetben egyszerűen fdµ-t írunk. Esetenként használni fogjuk az f(x)dµ(x) vagy A f(x)dµ(x) 2 Henri Léon Lebesgue (Beauvais, 875. VI. 28. Párizs, 94. VII. 26.) 3 Félix Edouard Justin Émile Borel (Aveyron, 87. I. 7. Párizs, 956. II. 3.) 4 Feltesszük, hogy X, az Ω az X bizonyos részhalmazaiból álló szigma-algebra, a µ : Ω [, + ] pedig mérték. 5 Tehát tetszőleges U R := R {, + } Borel-halmaz esetén f [U] Ω. 6 A χ A szimbólum az A X halmaz karakterisztikus függvényét jelöli: χ A (x) := (x A) és χ A (x) := (x X \ A).

9 .2. REGULARITÁS 9 vagy ha nem okoz félreértést az f(x) dx, ill. A f(x) dx jelölést is. Az L p (X), esetleg L p (µ) vagy időnként egyszerűen csak L p ( < p + ) szimbólum a szokásos L p -teret fogja jelenteni a µ mértékre vonatkozóan Regularitás A továbbiakban < N N mindig egy rögzített természetes számot jelent, B-vel pedig az R N -beli Borel-mérhető halmazok szigma-algebráját fogjuk jelölni. Emlékeztetünk arra, hogy B = σ (T ) = σ (K) = σ (C), ahol 8 T := {A P(R N ) : az A nyílt}, K := {A P(R N ) : az A kompakt}, C := {A P(R N ) : az A zárt} és σ (X) jelenti az X P(R N ) halmazrendszert lefedő A P(R N ) szigma-algebrák metszetét 9. Ha x R N és r >, akkor K r (x) := {y R N : x y 2 < r} az x vektor r sugarú (euklideszi) környezete. Tekintsünk egy µ : B [, + ] mértéket, amelyről feltesszük, hogy bármely kompakt K B halmaz esetén µ(k) < +. 7 L p := {f : X R : az f mérhető és f p < + }, ahol az itt szereplő bármely mérhető f : X R függvényre f p := ( f p dµ) /p (p < + ) és f := inf{α : f(x) α (µ m.m. x X)}. 8 Egy Y halmaz esetén P(Y ) jelöli az Y hatványhalmazát, azaz az Y összes részhalmaza által alkotott halmazrendszert. 9 Az R N -beli topológiai alapfogalmakat az x 2 := N i= x i 2 (x = (x,..., x N ) R N ) (euklideszi) norma szerint értjük a továbbiakban is.

10 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Speciálisan tetszőleges x R N és r > esetén a K r (x) = {y R N : x y 2 r} R N lezárás korlátos és zárt, azaz kompakt halmaz. Ezért K r (x) K r (x) miatt Legyen a következő leképezés: µ(k r (x)) µ(k r (x)) < +. µ : P(R N ) [, + ] Nem nehéz belátni, hogy a µ minden A T halmazra µ (A) := inf {µ(g) : G T, A G} (A P(R N )). leképezés külső mérték. Az is eléggé nyilvánvaló, hogy µ (A) = µ(a). Legyen az Ω a µ -mérhető A P(R N ) halmazok halmazrendszere, azaz A Ω akkor és csak akkor igaz, ha Legyen továbbá µ (B) µ (B A) + µ (B \ A) (B P(R N )). µ : Ω [, + ] a µ leszűkítése az Ω-ra. Ekkor a Caratheodory 2 -tétel miatt az Ω szigma-algebra, a µ pedig (teljes) mérték 3. Mutassuk meg, hogy Ehhez elég belátni azt, hogy T Ω. ( ) µ(a) µ(a B)+µ (A\B) (A, B T, µ(a) < + ). A := A B C B az A RN halmaz lezártja. Tehát µ ( ) =, µ (A) µ (B) (A, B P(X), A B) (monotonitás) és µ ( n= A n) n= µ (A n ) (A n P(X) (n N)) (szigma-szubadditivitás). 2 Constantin Caratheodory (Berlin, 873. IX. 3. München, 95. II. 2.) 3 Ha az A Ω halmaz -mértékű, azaz µ(a) =, akkor egyúttal tetszőleges B A részhalmazra B Ω (és így µ(b) = ).

11 .2. REGULARITÁS Valóban, feltételezve, hogy a ( ) egyenlőtlenség igaz, legyen B T és bizonyítsuk be, hogy µ (T) µ (T B) + µ (T \ B) (T P(R N )). Nyilván feltehető, hogy µ (T) < +. Ekkor viszont a µ értelmezése miatt bármely ε > számhoz van olyan G T, hogy T G és µ(g) < µ (T) + ε. Ezért (a ( ) feltételt a G halmazra alkalmazva) µ (T) + ε µ(g B) + µ (G \ B) = µ (G B) + µ (G \ B) µ (T B) + µ (T \ B). (Felhasználtuk azt, hogy T B G B és T \ B G \ B, valamint azt, hogy a µ monoton.) Mivel itt az ε > tetszőleges volt, ezért a µ (T) µ (T B) + µ (T \ B) becslésnek is teljesülnie kell, azaz a B valóban µ -mérhető. Most lássuk be azt, hogy a ( ) igaz. Vegyünk ehhez kompakt halmazokat úgy, hogy a ( )-beli B halmazra K n R N, K n K n+ (n N) B = K n n= teljesüljön 4. Ekkor (mivel a µ mérték) tetszőleges A T, µ(a) < + mellett Ugyanakkor és ( ) µ(a) = µ(a B) + µ(a \ B) = µ(a B) + µ (A \ K n ). n= µ(a \ K n ) µ(a) < + A \ K n+ A \ K n (n N), 4 Jól ismert, hogy B = i= K r i (x i ) (alkalmas x i B, r i > (i N) választással). Legyen i N esetén < r ik < r i (k N) olyan, hogy lim k r ik = r i és G ik := {x R N : x x i 2 r ik } (k N). Ekkor K n := n i= n k= G ik (n N) megfelelő.

12 2 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG ezért a µ mérték félig folytonossága 5 alapján Tehát (hiszen A \ K n T, tehát és miatt ( ) µ (A \ K n ) n= = lim n µ(a \ K n ). µ(a) = µ(a B) + lim n µ(a \ K n ) = µ(a B) + lim n µ (A \ K n ) µ(a B) + µ (A \ B) µ(a \ K n ) = µ (A \ K n ) (n N) A \ B A \ K n µ (A \ B) µ (A \ K n ) (n N).) A most belátott T Ω relációból következően B Ω is igaz. Ha az A B kompakt halmaz, akkor van olyan B T, amelyre A B és a B kompakt 6. Így µ(a) µ(b) = µ (B) = µ(b) µ(b) < +. Innen rögtön adódik az is, hogy a µ, µ mindegyike szigma-véges, ui. alkalmas kompakt halmazokkal 7 R N = K n R N (n N) n= K n. Bizonyítsuk be, hogy bármely B-beli A halmazra µ(a) = µ(a). 5 Tegyük fel, hogy az U n B (n N) halmazokra U n+ U n (n N) és valamilyen m N esetén µ(u m ) < +. Ekkor µ( n= U n) = lim n µ(u n ). 6 Az A halmaz kompakt lévén korlátos, így valamilyen r > esetén A K r () =: B. A B halmaz B lezártja korlátos és zárt az R N -ben, azaz kompakt. 7 Pl. K n := K n+ () = {x R N : x 2 n + } (n N).

13 .2. REGULARITÁS 3 Az előbbi szigma-végesség, továbbá a mértékek kiterjesztésének az egyértelműségére vonatkozó ismert tétel miatt ehhez elég azt belátni, hogy tetszőleges balról zárt és jobbról nyílt I R N intervallumra µ(i) = µ(i). Ez viszont következik abból, hogy ha az (I n ) : N T nyílt intervallumoknak egy olyan sorozata, amelyre I n+ I n (n N) és 8 I = I n, n= akkor µ(i) = lim n µ(i n ) = lim n µ(i n ) = µ(i). A fentiek alapján már nem nehéz igazolni az alábbi regularitási tulajdonságot:.2.. Tétel. Az előbbi µ mértékre tetszőleges A B halmaz esetén ( ) µ(a) = inf{µ(g) : G T, A G} = sup{µ(c) : C K, C A}. Bizonyítás. Legyen A B, akkor a tétel megfogalmazása előtt mondottakra tekintettel µ(a) = µ(a) = µ (A) = inf {µ(g) : G T, A G}. Így a ( )-beli infimummal megfogalmazott külső regularitás nyilvánvaló. A ( )-beli szuprémummal kifejezett belső regularitás bizonyításához tegyük fel először azt, hogy az A B halmaz korlátos és olyan környezet (nyílt gömb), amelyre G = K r (x) (x R N, r > ) A G. 8 Ha pl. I = [a, b) (alkalmas a, b R N vektorokkal), akkor legyen I n := (a /(n+), b) (n N), ahol a = (a,..., a N ) esetén a /(n + ) := (a /(n + ),..., a N /(n + )).

14 4 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Ekkor µ(a) µ(g) < + és a G \ A halmazra alkalmazva a már belátott külső regularitást azt kapjuk, hogy Ez azt jelenti, hogy µ(g) µ(a) = µ(g \ A) = inf{µ(b) : B T, G \ A B} = inf{µ(b) : B T, G \ A B G} = inf{µ(g \ C) : C C, C A} = inf{µ(g) µ(c) : C C, C A} = µ(g) sup{µ(c) : C C, C A}. µ(a) = sup{µ(c) : C C, C A}. Az itt szereplő zárt C A halmazok ugyanazok, mint a C A feltételnek eleget tevő kompakt halmazok, hiszen az A korlátos. Ezért a belső regularitást korlátos A halmazokra beláttuk. Innen nem korlátos A B esetén már a szokásos módszerrel adódik a belső regularitás. Ui. nyilván A = (A K n+ ()) =: A n, ahol A n B, az A n korlátos, n= n= A n A n+ (n N). Utóbbi miatt µ(a) = lim µ(a n ) = sup µ(a n ). n Ha µ(a) = +, akkor minden < q R számra alkalmas n N mellett µ(a n ) > q. Viszont (a korlátos A n halmazra alkalmazva a már belátott belső regularitást) van olyan C K, amellyel C A n és µ(c) > q. Itt C A, ezért n N sup{µ(c) : C K, C A} = + = µ(a). A µ(a) < + esetben akármilyen ε > számhoz megadható olyan n N, hogy µ(a) ε < µ(a n ) µ(a),

15 .2. REGULARITÁS 5 valamint (az előbbiekkel analóg módon) van olyan C K, C A n, amellyel Tehát µ(a) ε < µ(c) ( µ(a n ) µ(a)). sup{µ(c) : C K, C A} = µ(a). A továbbiakban a µ : B [, + ] mértéket Borel-mértéknek nevezzük, ha tetszőleges kompakt K B halmazra µ(k) < +. Tehát minden Borel-mérték a fenti értelemben reguláris. Világos, hogy az előzőek értelemszerű módosításával analóg módon kapjuk a µ mérték regularitását is: µ(a) = inf{µ(g) : G T, A G} = sup{µ(c) : C K, C A} (A Ω). Legyen valamely Z R N halmazra µ (Z) := sup{µ(c) : C K, C Z} (a Z halmaz belső mértéke). Nyilván µ (Z) µ (Z), hiszen C K, G T, C Z G esetén µ(c) µ(g), ezért µ (Z) µ(g). Így egyúttal µ (Z) µ (Z) is teljesül. A µ regularitása alapján továbbá µ (A) = µ (A) = µ(a) (A Ω). Nem nehéz belátni, hogy ez utóbbinak (némi megszorítással) a megfordítása is igaz:

16 6 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG.2.2. Tétel. Ha A R N és µ (A) = µ (A) < +, akkor A Ω. Bizonyítás. Ha < n N, akkor megadhatók olyan B n K, A n T halmazok, amelyekre és az jelölést használva B n A A n α := µ (A) = µ (A) α n < µ(b n) α µ(a n ) < α + n igaz. Mivel és (nyilvánvaló módon) n n B n := B k K, Ã n := A k T k= k= B n A Ãn, µ(b n ) µ( B n ) α, µ(a n ) µ(ãn) α, ezért (a B n -et B n -ra, az A n -et Ãn-ra cserélve) az is feltehető a fentiekben, hogy B n B n+, A n+ A n ( < n N). Tekintsük az halmazokat. Ekkor és Tehát U := B n, V := A n n= n= U, V B, U A V µ(u) = µ(u) = lim n µ(b n ) = α = lim n µ(a n ) = µ(v ) = µ(v ). Mivel a µ mérték teljes, ezért µ(v \ U) = µ(v ) µ(u) =. A \ U V \ U

17 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 7 miatt Így A \ U Ω. A = (A \ U) U Ω. Legyen az Ω az R N -beli Lebesgue-mérhető halmazok szigma-algebrája, a λ pedig továbbra is az R N -beli Lebesgue-mérték: λ : Ω [, + ]. Világos, hogy a λ mérték B-re való λ B leszűkítése Borel-mérték, így a λ B reguláris. Ha a fentiekben a µ helyébe a most mondott λ B leszűkítést írjuk, akkor (könnyen megmutathatóan) a µ külső mérték a λ Lebesgue-féle külső mértékkel esik egybe: { } µ (A) = λ (A) = inf λ(a n ) : A n I N (n N), A A n n= n= (inf := + ), ahol I N P(R N ) az ún. elemi halmazok gyűrűje 9. Következésképpen ekkor Ω = Ω és µ = λ, tehát a λ is reguláris. Ezért pl. valamely A R N halmaz a külső regularitás miatt pontosan akkor nulla mértékű Lebesgue-mérhető halmaz, ha bármely ε > számhoz van olyan T T, amellyel A T és λ(t) < ε..3. Borel-mértékek deriválása Legyen a µ Borel-mérték. Azt fogjuk mondani, hogy a µ differenciálható (vagy más szóval deriválható) az x R N pontban, ha létezik a µ (x) := lim r µ(k r (x)) λ(k r (x)) véges határérték, a µ mérték x-beli deriváltja 2. 9 Az I N halmazrendszer minden eleme véges sok, páronként diszjunkt, balról zárt és jobbról nyílt R N -beli intervallum egyesítése. 2 Tehát µ (x) [, + ).

18 8 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG A µ mérték x-beli differenciálhatóságát a µ D{x} szimbólummal fogjuk jelölni. Ha pl. az f : R R monoton növő folytonos függvény differenciálható egy x R pontban, a µ (nyilván Borelmérték) pedig az f által meghatározott Lebesgue Stieltjes 2 -mérték, akkor (ld..4. vi) megjegyzés) µ(k r (x)) λ(k r (x)) azaz µ D{x} és µ (x) = f (x). = f(x + r) f(x r) 2r f (x) (r ),.3.. Tétel. Legyen a µ : B [, + ] tetszőleges Borel-mérték és Ekkor van olyan A B, µ(a) =. B A, λ(b) = halmaz, hogy a µ mérték minden x A \ B pontban differenciálható és µ (x) =. Bizonyítás. Szükségünk lesz az alábbi (önmagában is érdekes) segédtételre, amit Vitali 22 - kiválasztási lemmaként fogunk a későbbiekben idézni:.3.. Lemma. Legyen J tetszőleges (index)halmaz, (alkalmas választással), és tekintsük az halmazt 23. Ekkor tetszőleges U j := K rj (x j ) (j J ) x j R N, < r j R (j J ) U := U j j J c < λ(u) számhoz van olyan véges J J halmaz, amellyel az alábbiak igazak: U j U k = (j, k J, j k) 2 Thomas Jan Stieltjes (Zwolle, Overijssel, 856. XII. 29. Toulouse, 894. XII. 3.) 22 Giuseppe Vitali (Ravenna, 875. VIII. 26. Bologna, 932. II. 29.) 23 Mivel minden U j (j J ) halmaz nyílt, ezért az egyesítésük is nyílt. Így az U (Borel-halmaz lévén) Lebesgue-mérhető.

19 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 9 és Ha λ(u) = + és akkor megfelelő indexekkel és λ(u j ) > c j J 3. N sup{r j : j J } < +, j k J (k N) U ji U jk = (i, k N, i k) λ(u jk ) = +. k= Bizonyítás. A λ mérték regularitási tulajdonsága (ld..2.) miatt bármely c < λ(u) számhoz megadható olyan K U kompakt halmaz, hogy λ(u) λ(k) > c. Mivel az {U j : j J } halmazrendszer egy nyílt lefedése a K-nak, ezért létezik olyan véges J J halmaz, amellyel Legyen j J olyan index, amelyre K j J U j. r j = max{r j : j J }. Ha J 2 := {j J : U j U j = } és j J \ J 2 (azaz U j U j ), akkor egyszerű geometriai megfontolás 24 alapján nyilván igaz, hogy U j K 3rj (x j ) =: Ũj. 24 x U j, v U j U j = x x j 2 x x j 2 + x j v 2 + v x j 2 < 2r j + r j 3r j = x K 3rj (x j ).

20 2 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Ezért K Ũj ( Ha itt J 2, akkor legyen j 2 J 2 olyan, hogy és Mivel (ahol értelemszerűen ) U j. j J 2 r j2 = max{r j : j J 2 } J 3 := {j J 2 : U j U j2 = }. K Ũj Ũj2 ( j J 3 U j Ũ j2 := K 3rj2 (x j2 )), ezért a fenti eljárást folytatva véges sok lépés után kapunk egy n N természetes számot úgy, hogy alkalmas j,..., j n J indexekkel Innen (ld..4. ii) megjegyzés) tehát a választás eleget tesz a lemma kívánalmainak. Most tegyük fel azt, hogy λ(u) = + és Legyen a j J olyan index, amellyel n K Ũ ji. j= n c < λ(k) λ(ũj i ) = 3 N n λ(u ji ), i= i= J := {j,..., j n } α := sup{r j : j J } < +. r j α 2. ) Ha j J és akkor α r j miatt U j U j, r j 2r j

21 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 2 és így 25 U j = K (x rj j) K (x 5rj j). Tehát ha minden j J mellett U j U j teljesülne, akkor U = U j K 5rj (x j ). Ez viszont nyilván nem lehet, hiszen ebben az esetben λ(u) λ(k 5rj (x j )) < +, ami ellentmond a λ(u) = + feltételnek. Ezért van olyan j J index, hogy U j U j =, legyen J := {j J : U j U j = } és α := sup{r j : j J }. Válasszuk a j J indexet úgy, hogy 26 j J Ha valamilyen k N számra a r j α 2. indexeket már definiáltuk, akkor legyen j,..., j k J J k+ := {j J : U j U ji = (i =,..., k)} és a α k+ := sup{r j : j J k+ }, j k+ J k+ 25 Legyen z U j U j, ekkor tetszőleges y U j elemre y x j 2 y x j 2 + x j z 2 + z x j 2 < 2r j + r j 5r j, más szóval y K 5rj (x j ). 26 Nyilván α α, így egyúttal α < +.

22 22 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG pedig olyan index, amelyre r jk+ α k+ 2. Gondoljuk meg, hogy ha egy k N mellett J k+ = volna, akkor minden j J esetén valamilyen i =,..., k választással U j U ji. Legyen mindjárt az i a legkisebb ilyen index. A fentiek szerint i. Más szóval ezért Ekkor az előbbiekhez hasonlóan Tehát amiből következne, ami nem igaz. U j U jl = (l =,..., i ), r ji α i 2 r j 2. U j K 5rji (x ji ). U = k U j K 5rl (x l ), j J l= k λ(u) λ(k 5rl (x l )) < + l= Így minden i N esetén kapjuk a j i J indexekkel a konstrukció alapján nyilván páronként diszjunkt U ji gömböket. Lássuk be, hogy λ(u ji ) = +. i= Különben (ld..4. ii) megjegyzés), ha ez az összeg véges lenne, akkor λ(u ji ) = λ(k rji (x ji )) = i= i= π N/2 rj Γ( + N/2) N i < +. i= Innen lim r j i i = adódik. Következésképpen bármely j J mellett valamilyen i N indexszel r ji+ < r j 2,

23 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 23 legyen egyben ez az i a lehető legkisebb. Tehát r ji r j 2 és a már fentebb is követett gondolatmenettel alkalmas l =,..., i esetén Mindezt összegezve és így U j K 5rjl (x jl ). U K 5rji (x ji ) i= λ(u) λ(k 5rji (x ji )) = πn/2 5 N rj i= Γ( + N/2) N i < +, i= ami ismét csak ellentmond a λ(u) = + feltételezésnek 27. Most már minden készen áll ahhoz, hogy bebizonyíthassuk az.3.. Tételt. Ehhez megmutatjuk, hogy alkalmas, a tételben jelzett B halmazzal µ(k r (x)) lim r λ(k r (x)) = (x A \ B). Legyen ehhez x R N esetén Φ x (r) := µ(k r(x)) λ(k r (x)) ( < r < + ) és ϕ(x) := lim sup Φ x (r). r Ha valamilyen x R N helyen ϕ(x) =, akkor miatt azaz létezik a lim inf r lim inf r Φ x (r) lim sup Φ x (r) = r Φ x (r) = lim sup Φ x (r) =, r lim Φ x(r) = r 27 A sup{r j : j J } < + feltétel nélkül az.3.. Lemma második állítása nem igaz. Legyen ui. J := {n N : n }, valamint U j := K j () (j J ). Mivel U j U k (j, k J, j k), ezért az U j -k közül kiválasztott bármely páronként diszjunkt halmazokból álló halmazrendszer egy elemű, és ennek az egyetlen halmaznak a Lebesgue-mértéke véges.

24 24 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG határérték. Más szóval µ D{x} és µ (x) =. Elegendő tehát azt belátni, hogy λ({ϕ > } A) =, ekkor ui. a B := {ϕ > } A halmaz megfelel az állításunknak. Mivel B = <q Q {ϕ > q} A, ezért azt fogjuk megmutatni, hogy minden < q R számra λ(a q ) =, ahol A q := {ϕ > q} A. Valóban, µ(a) =, így a µ regularitása (ld..2.. Tétel) alapján bármely ε > mellett van olyan G R N nyílt halmaz, amelyre a következők igazak: A G és µ(g) < ε. Ha x A q, akkor x A és ϕ(x) > q, azaz valamilyen r x > számmal Φ x (r x ) = µ(k r x (x)) λ(k rx (x)) > q és Legyen ekkor K rx (x) G. U := K rx (x), x A q A q U G. A Vitali-kiválasztási lemma (ld..3.. Lemma) miatt minden c < λ(u) esetén van olyan n N és x,..., x n A q, hogy és K rxj (x j ) K rxl (x l ) = (j l =,..., n) n j= λ(k rxj (x j )) > c 3 N.

25 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 25 Tehát azt mondhatjuk, hogy c < 3 N n λ(k rxj (x j )) < 3N n j= q µ(k rxj (x j )) = j= 3 N n q µ( K rxj (x j ) ) 3N q µ(g) < 3N q ε, j= amiből λ(u) 3N q ε következik. Így λ (Aq) = inf{λ(v ) : V R N nyílt, Aq V } = (az A q Lebesgue-féle külső mértéke), ezért az A q halmaz Lebesgue-mérhető, továbbá λ(a q ) =..3.. Következmény. Bármely, a λ-ra nézve szinguláris µ : B [, + ] Borelmértékre igaz, hogy µ (x) = (λ m.m. x R N ). Bizonyítás. A szingularitási feltétel miatt ui. van olyan A B halmaz, hogy µ(a) = λ(r N \ A) =. Az előző.3.. Tétel alapján egy alkalmas B A halmazzal λ(b) =, µ (x) = (x A \ B). Ugyanakkor valamint λ(b (R N \ A)) =, µ (x) = (x R N \ (B (R N \ A))). Mindez azt jelenti, amit állítottunk.

26 26 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG.3.2. Tétel. Tegyük fel, hogy az f : R N [, + ] Lebesgue-mérhető függvény a λ mérték szerint lokálisan integrálható 28. Legyen Ekkor λ f (A) := A f dλ (A B). λ f (x) = f(x) (λ m.m. x RN ). Bizonyítás. Elöljáróban jegyezzük meg, hogy a λ f mérték Borel-mérték, hiszen az f lokális integrálhatósága miatt bármely K R N kompakt halmazra Valamely < r R esetén legyen 29 λ f (K) = K f dλ < +. A r := {f r} = A r A r2, B r := {f < r} = B r B r2, ahol 3 Ar, Br B és λ(ar2) = λ(br2) =. Ekkor A r B r = és R N = A r B r. Vezessük be a µ r (H) := (f r) dλ (H B) H A r előírással definiált µ r (nyilván) Borel-mértéket. Ha H B és λ(h) < +, akkor λ f (H) = H (f r) dλ + rλ(h) = (f r) dλ + (f r) dλ + rλ(h). H A r H B r Mivel H B r (f r) dλ, 28 Tehát bármely kompakt K R N halmazra fdλ < K Ha f, g : R N R és {, >,, <, =, }, akkor {f r} := {x R N : f(x) r} (r R). Hasonlóan, {f g} := {x R N : f(x) g(x)}. 3 Emlékeztetünk arra, hogy tetszőleges Lebesgue-mérhető A R N halmaz előállítható A = A A 2 alakban, ahol az A ( A) Borel-mérhető (A B), az A 2 pedig olyan részhalmaza az A-nak, amelyre λ(a 2 ) =.

27 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 27 ezért Továbbá így az.3.. Tétel szerint ahol egy alkalmas halmaz. Legyen amikor is λ(m) =. Ha akkor λ f (H) µ r (H) + rλ(h). µ r (B r ) = (f r) dλ =, B r A r µ r (x) = (x B r \ M r ), M r B r, λ(m r ) = M := tehát µ r (x) =. Továbbá ρ > esetén más szóval Itt amiből <r Q (M r B r2 ), x R N \ M és f(x) < r Q, x B r \ M r, λ f (K ρ (x)) µ r (K ρ (x)) + rλ(k ρ (x)), λ f (K ρ (x)) λ(k ρ (x)) µ r(k ρ (x)) λ(k ρ (x)) + r. µ r (K ρ (x)) lim ρ λ(k ρ (x)) = µ r (x) =, lim sup ρ λ f (K ρ (x)) λ(k ρ (x)) r következik. Itt az r tetszőleges, az f(x)-nél nagyobb racionális szám, így (r-ben infimumot véve) λ f (K ρ (x)) lim sup ρ λ(k ρ (x)) f(x) adódik. Ha f(x) =, akkor lim sup ρ λ f (K ρ (x)) λ(k ρ (x)) =,

28 28 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG ezért Másképp fogalmazva tehát λ f D{x} és λ f (K ρ (x)) lim ρ λ(k ρ (x)) =. λ f (x) = = f(x). Legyen most < r R és µ r (H) := (r f) dλ H B r Ekkor a µ r is Borel-mérték és esetén (Figyelembe vettük, hogy Mivel λ f (H) = H B, λ(h) < + H (H B). (f r) dλ + rλ(h) = (f r) dλ + (f r) dλ + rλ(h) rλ(h) µ r (H). H A r H B r H A r (f r) dλ.) µ r (A r ) = (r f) dλ =, A r B r ezért a fentiekkel analóg módon megadható olyan halmaz, amellyel Tekintsük az halmazt, ekkor λ( M) =. Ha M r A r, λ( M r ) = µ r (x) = (x A r \ M r ). M := <r Q ( M r A r2 ) x R N \ M, f(x) > és a < r Q számmal akkor f(x) r, x A r \ M r,

29 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 29 ezért és Innen következik, ahol µ r(x) = λ f (K ρ (x)) rλ(k ρ (x)) µ r (K ρ (x)) λ f (K ρ (x)) λ(k ρ (x)) r µ r(k ρ (x)) λ(k ρ (x)) µ r (K ρ (x)) lim ρ λ(k ρ (x)) = µ r (x) =. ( < ρ R). Így amiből rögtön adódik. Ha tehát lim inf ρ lim inf ρ λ f (K ρ (x)) λ(k ρ (x)) r, λ f (K ρ (x)) λ(k ρ (x)) f(x) x R N \ (M M) és < f(x) < +, akkor a fentiek szerint lim inf ρ λ f (K ρ (x)) λ(k ρ (x)) = lim sup ρ λ f (K ρ (x)) λ(k ρ (x)) = f(x). Más szóval létezik a határérték: λ f D{x} és λ f (x) = f(x). λ f (K ρ (x)) lim ρ λ(k ρ (x)) = f(x) A tétel feltételei szerint tetszőleges K R N kompakt halmazzal K f dλ < +. Ezért amiből f(x) < + (λ m.m. x K), f(x) < + (λ m.m. x R N )

30 3 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG nyilván következik 3. Így egybevetve a fentieket az állításunkat beláttuk. A jól ismert Radon 32 Nikodym 33 -tétel alapján kapjuk az alábbi következményt:.3.2. Következmény. Tegyük fel, hogy a µ : B [, + ] Borel-mérték abszolút folytonos a λ-ra nézve, azaz alkalmas f függvénnyel µ = λ f. Ekkor µ (x) = f(x) (λ m.m. x R N ). Az itt megjelenő f függvényt a µ mérték Radon Nikodym-deriváltjának is nevezik Következmény. Bármely µ : B [, + ] Borel-mérték λ m.m. x R N helyen deriválható. Bizonyítás. A Lebesgue-felbontás alapján µ = µ + µ 2 írható, ahol a µ mérték szinguláris, a µ 2 mérték pedig abszolút folytonos a λ-ra nézve. Ezért az.3..,.3.2. Következmények alapján λ m.m. x R N esetén létezik a µ(k r (x)) lim r λ(k r (x)) = lim µ (K r (x)) r λ(k r (x)) + lim µ 2 (K r (x)) r λ(k r (x)) = µ (x) + µ 2(x) = µ 2(x) (véges) határérték, azaz µ D{x} (és µ (x) = µ 2(x)). Az előjeles Borel-mértékek µ : B (, + ] µ = ν ν 2 Jordan 35 -felbontására gondolva 36 az előző állítás igaz marad az ilyen mértékekre is Következmény. Ha a µ : B [, + ] Borel-mértékre µ (x) = (λ m.m. x R N ), akkor a µ szinguláris a λ mértékre vonatkozóan. 3 Legyen ui. K := K n () ( < n N). Ekkor valamilyen V n K n (), λ(v n ) = (n N) halmazzal f(x) < (x K n () \ V n ). Ha V := n= V n, akkor λ(v ) = és f(x) < + (x R N \ V ). 32 Johann Radon (Decin, 887. XII. 6. Bécs, 956. V. 25.) 33 Otton Marcin Nikodym (Zablotow, 887. VIII. 3. Utica, 974. V. 4.) 34 Használatos minderre az f = dµ szimbólum is. dλ 35 Marie Ennemond Camille Jordan (Lyon, 838. I. 5. Párizs, 922. I. 22.) 36 Amikor is minden K R N kompakt halmazra µ(k) R, a ν, ν 2 mértékek pedig Borel-mértékek.

31 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 3 Bizonyítás. Ui. ismét az előbbi µ = µ + µ 2 Lebesgue-felbontást alkalmazva (ahol tehát a µ szinguláris, a µ 2 pedig abszolút folytonos mérték a λ szerint) azt mondhatjuk (ld..3.. Következmény), hogy Továbbá (ld Következmény) ahol µ 2 = λ f. Mivel ezért µ (x) = (λ m.m. x RN ). µ 2(x) = f(x) (λ m.m. x R N ), = µ (x) = µ (x) + µ 2 (x) (λ m.m. x RN ), µ 2 (x) = f(x) = (λ m.m. x RN ). Innen µ 2 =, azaz µ = µ következik, és így a µ valóban szinguláris a λ-ra nézve. Ha figyelembe vesszük a szinguláris mértékek deriválhatóságáról szóló korábbi állításunkat (ld..3.. Következmény), akkor azt kapjuk, hogy tetszőleges µ : B [, + ] Borel-mérték esetén a µ akkor és csak akkor szinguláris a λ-ra nézve, ha µ (x) = (λ m.m. x R N ). A következő tétel megfogalmazása előtt vezessük be az alábbi fogalmat: az (E n ) : N B halmazsorozatról akkor mondjuk, hogy regulárisan tart az x-hez (valamilyen x R N esetén), ha van pozitív számoknak egy olyan sorozata, amelyre továbbá (r n ) : N (, + ) lim n r n = és E n K rn (x) inf Mindezt a következőképpen fogjuk jelölni: (n N), { } λ(en ) λ (K rn (x)) : n N >. (E n ) x.

32 32 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Nem nehéz meggondolni, hogy a reguláris konvergencia definíciójában a K rn (x) (n N) halmazok helyettesíthetők olyan K rn (x n ) (n N, x n R N ) gömbökkel, amelyekre 37 x K rn(x n ) (n N) és valamint lim r n =, ill. E n K rn (x n ) (n N), n inf { } λ(en ) λ (K rn (x n )) : n N >. Világos, hogy a λ mérték monotonitása miatt a fenti definícióban λ(e n ) λ (K rn (x)) (n N). Tehát (E n ) x akkor és csak akkor igaz, ha van olyan, a fenti definícióban jelzett (r n ) sorozat, hogy E n K rn (x) (n N) és alkalmas c > konstanssal cλ (K rn (x)) λ(e n ) λ (K rn (x)) (n N). Így nyilvánvaló, hogy tetszőleges x R N pont és (r n ) pozitív nullasorozat esetén (K rn (x)) x. Például az N := esetben legyen x R, az E n (n N) pedig nem elfajuló korlátos intervallum, x E n (n N), és tegyük fel, hogy 38 lim E n =. n 37 Az (E n ) x reguláris konvergencia szempontjából közömbös, hogy (egy vagy több, akár minden) n N esetén x E n vagy x / E n. 38 E n := λ(e n ) (n N).

33 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 33 Ekkor (E n ) x. Ui. az r n := 2 sup{ x y : y E n } (n N) jelöléssel E n K rn (x) = (x r n, x + r n ) és < r n 2 E n (n N), következésképpen Továbbá ezért Fordítva, ha lim r n =. n K rn (x) = 2r n 4 E n (n N), E n K rn (x) E n 4 E n 4 I n (x) (n N) (n N). az x-et tartalmazó (valódi) korlátos intervallum és (I n (x)) x, akkor Ekkor ui. ahol Tehát lim I n(x) =. n I n (x) K rn (x) amiből a mondottak már nyilvánvalóak. lim r n =. n (n N), I n (x) K rn (x) = 2r n (n ), Hasonlóan kapjuk tetszőleges N N és x R N tartalmazó S n R N (n N) gömbökre Legyen ugyanakkor x R esetén és tekintsük most az x n, y n végpontú lim λ(s n) = = (S n ) x. n x x n < y n (n N) J n (x) (n N) mellett, hogy minden, az x-et

34 34 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG intervallumokat. Nem nehéz meggondolni, hogy akkor és csak akkor igaz, ha (J n (x)) x lim n y n = x és inf { y n x n y n x : n N} =: q >. Ha ui. ez utóbbi feltételek teljesülnek, akkor pl. az r n := 2(y n x) (n N) választással az (r n ) (pozitív) nullasorozat és nyilván J n (x) (x r n, x + r n ) = K rn (x) (n N). Továbbá Így (J n (x)) x. J n (x) K rn (x) = y n x n 2r n = y n x n 4(y n x) q 4 (n N). Ha viszont a (J n (x)) x reguláris konvergenciát tételezzük fel, akkor J n (x) K rn (x) (n N), ahol az (r n ) nullasorozat és Mivel ezért Továbbá inf { } { λ(jn (x)) λ(k rn (x)) : n N yn x n = inf 2r n Speciálisan (az előbbi jelölésekkel) y n x r n (n N), lim (y n x) = = lim y n = x. n n y n x n y n x y n x n r n 2α (n N). lim y n = x n } : n N =: α >. esetén az ((x, y n )), ([x, y n )), ((x, y n ]), ([x, y n ])

35 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 35 intervallumsorozatok regulárisan tartanak az x-hez. Nyilván a fentivel analóg állítás fogalmazható meg az x n < y n x (n N) esetben is Tétel. Tetszőleges µ : B [, + ] Borel-mértékről a következőket mondhatjuk: λ m.m. x R N helyen az x-hez regulárisan tartó minden B-beli Borelhalmazokból álló (E n ) sorozatra µ(e n ) lim n λ(e n ) = µ (x). Bizonyítás. Előzetesen jegyezzük meg, hogy ha x R N, a µ pedig a tételben szereplő Borel-mérték, akkor a µ D{x}, µ (x) = feltételezés azzal ekvivalens, hogy az állításban említett (E n ) x sorozatokra ( ) µ(e n ) lim n λ(e n ) =. Valóban, a most mondott ekvivalencia egyik iránya triviális: ha ( ) igaz, az (r n ) pedig (pozitív számokból álló) nullasorozat, akkor (K rn (x)) x miatt (a ( ) egyenlőségben az választással) E n := K rn (x) (n N) µ(k rn (x)) lim n λ(k rn (x)) = adódik. Innen viszont a határértékre vonatkozó átviteli elv alapján azaz µ D{x} és µ (x) = következik. µ(k r (x)) lim r λ(k r (x)) =, Fordítva, ha ez utóbbi teljesül és (E n ) x, akkor a reguláris konvergencia definíciója alapján egy alkalmas (r n ) (pozítív) nullasorozattal és egy q > számmal E n K rn (x), λ(e n ) λ(k rn (x)) q (n N).

36 36 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Ezért ahol az átviteli elv szerint Így létezik a határérték is. µ(e n) λ(e n ) µ(k r n (x)) λ(e n ) q µ(k r n (x)) λ(k rn (x)) (n N), µ(k rn (x)) lim n λ(k rn (x)) = lim µ(k r (x)) r λ(k r (x)) = µ (x) =. µ(e n ) lim n λ(e n ) = Mindezt figyelembe véve az.3.. Következmény miatt minden, a λ-ra nézve szinguláris Borel-mértékre igaz az.3.3. Tétel. Most tegyük fel azt, hogy a szóban forgó µ mérték abszolút folytonos a λ-ra vonatkozóan. Ekkor az.3.2. Tétel bizonyításában használt jelölésekkel λ f (E n ) λ(e n ) µ r(e n ) λ(e n ) + r (n N), ahol az f függvény a µ Radon-Nikodym-deriváltja, x R N \ M és f(x) < r Q, továbbá (E n ) x. Emlékeztetünk arra, hogy itt amiből az eddigiekre tekintettel lim sup n µ r (x) =, λ f (E n ) λ(e n ) lim µ r (E n ) n λ(e n ) + r = r, és így következik. Az f(x) = esetben ezért létezik a lim sup n lim sup n λ f (E n ) λ(e n ) f(x) λ f (E n ) λ(e n ) =, λ f (E n ) lim n λ(e n ) = = f(x)

37 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 37 határérték. Ha tehát még is igaz, akkor µ = λ f D{x} és µ (x) = f(x) λ f (E n ) lim n λ(e n ) = µ (x). Analóg módon kapjuk azt is (továbbra is az.3.2. Tétel bizonyításának a jelöléseit alkalmazva), hogy x R N \ M, f(x) >, (E n ) x esetén Ha tehát akkor más szóval létezik a határérték. Mivel lim inf n λ f (E n ) λ(e n ) f(x). x R N \ (M M) és < f(x) < +, lim inf n λ f (E n ) λ(e n ) = lim sup n λ f (E n ) lim n λ(e n ) = f(x) λ f (E n ) λ(e n ) = f(x), f(x) < + (λ m.m. x R N ) és az.3.2. Tétel miatt (ld Következmény) µ (x) = λ f(x) = f(x) (λ m.m. x R N ), ezért az állításunkat a λ-ra nézve abszolút folytonos µ Borel-mértékekre is beláttuk. A fentiekből a µ = µ + µ 2 felbontás miatt (ahol a µ mérték szinguláris, a µ 2 pedig abszolút folytonos a λ-ra nézve) az.3.3. Következményt figyelembe véve a tétel már következik. az Az.3.2. Tételt és az.3.3. Tételt szem előtt tartva a következőket mondhatjuk: legyen f : R N [, + ]

38 38 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG lokálisan Lebesgue-integrálható függvény. Ekkor Lebesgue-értelemben vett majdnem minden x R N helyen tetszőleges (E n ) x esetén lim n f dλ = f(x). λ(e n ) E n Speciálisan bármilyen pozitív (r n ) nullasorozattal lim n f dλ = f(x) (λ m.m. x R N ). λ(k rn (x)) K rn (x) Innen (az átviteli elvet alkalmazva) rögtön következik az is, hogy lim r f dλ = f(x) (λ m.m. x R N ). λ(k r (x)) K r(x) Világos, hogy a most mondottakban az f függvény nemnegativitása nem játszik szerepet. Ha ui. f : R N R lokálisan Lebesgue-integrálható 39, akkor az integrálközepekre vonatkozó előző állítások minden további nélkül érvényben maradnak. Mindez nyilván következik a szokásos felbontásból 4. f = f + f A fontosságára való tekintettel emeljük ki külön állításként is a most kapott eredményt. Nevezetesen, igaz az.3.4. Tétel. Bármely lokálisan (Lebesgue-) integrálható f : R N R függvényre lim r f dλ = f(x) (λ m.m. x R N ). λ(k r (x)) K r(x) A továbbiakban (mintegy az.3.3. Tétel következményeként) a valós függvénytan egyik meghatározó, Lebesgue-tól származó tételét tárgyaljuk. 39 Tehát az f Lebesgue-mérhető, és tetszőleges K R N kompakt halmazra K f dλ < +. 4 Ahol tehát f + (x) := max{f(x), } (x R N ), f := f + f.

39 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA Tétel. Tetszőleges monoton növő f : R R függvény λ m.m. x R pontban differenciálható. Bizonyítás. Legyen a µ az f függvény által meghatározott Lebesgue Stieltjes-mérték az R-beli Borel-halmazok B rendszerén. Ekkor a µ nyilván Borel-mérték 4, ami (ld Következmény) λ m.m. differenciálható. Ezért, továbbá az.3.3. Tétel és az f monotonitása miatt van olyan A R halmaz, hogy 42 λ(a) =, f C{x} (x R \ A) és tetszőleges (E n ) x esetén µ(e n ) lim n λ(e n ) = µ (x) (x R \ A). Ugyanakkor bármely ilyen x és választással Tehát µ ([x, x n )) λ ([x, x n )) = f(x n ) f(x ) x n x x < x n x (n ) ([x, x n )) x, ([x, x n ]) x. = f(x n ) f(x) x n x f(x n) f(x) x n x Mivel f(x n + ) f(x) x n x = µ ([x, x n]) λ ([x, x n ]) µ (x) µ ([x, x n )) λ ([x, x n )) µ (x) (n ) is igaz, ezért mindez azt jelenti, hogy létezik a f(y) f(x) lim = µ (x) y x+ y x (n ). 4 Legyen a K R kompakt halmaz, ekkor alkalmas a, b R végpontokkal K [a, b). Következésképpen µ(k) µ([a, b)) = f(b ) f(a ). 42 Emlékeztetünk arra, hogy az f függvény legfeljebb megszámlálható sok helyen nem folytonos.

40 4 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG jobb oldali határérték. Ugyanígy kapjuk azt is, hogy létezik a f(y) f(x) lim y x y x bal oldali határérték is. Következésképpen létezik a határérték, röviden szólva f D{x}. f(y) f(x) lim y x y x = µ (x) = µ (x) Külön is felhívjuk a figyelmet arra, hogy a bizonyításból kiderülően f (x) = µ (x) (λ m.m. x R). A most mondottak hátterének a megvilágításához tekintsük az alábbi két példát. Legyen először (x < ) f(x) := x (x ), továbbá [, /n] ( < n N páros) [a n, b n ] := I n := [ /n, /n] (n N páratlan). Világos, hogy az (I n ) intervallumsorozat regulárisan tart a -hoz. Ha a µ Borel-mérték az f által meghatározott Lebesgue Stieltjes-mérték, akkor µ(i n ) λ(i n ) = f(b n) f(a n ) = b n a n ( < n N páros) /2 (n N páratlan). Következésképpen a (µ(i n )/λ(i n )) sorozat divergens. Ugyanakkor µ(k r ()) λ(k r ()) = f(r) f( r) 2r = 2 (r > ), tehát létezik a határérték 43. µ(k r ()) lim r λ(k r ()) = 2 43 Röviden: µ D{} (de f / D{}). Tehát az.3.3. Tételben a helyettesíthető azzal, hogy µ D{x}. λ m.m. x RN feltétel nem

41 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 4 A következő példához 44 legyen < a, b := a + a 2 és tekintsük az l(x) := b + 4(x a) (x R), valamint a g(x) := x + x 2 ( x R) függvényt 46. Az itt szereplő mindkét függvény szigorúan monoton növő, a g (szigorúan) konvex és l(x) < g(x) ( < x R). Világos, hogy egyértelműen létezik olyan ã (, a), amelyre fennáll az l(ã) = ã egyenlőség 47. Az is nyilvánvaló, hogy egy szintén egyértelműen létező < a < ã mellett g(a ) = ã teljesül 48. Ha már most a :=, ã := ã, akkor valamilyen n N esetén az a n, ã n ismeretében a fentiekben az a := a n, b := g(a n ) választással kapjuk az a n+ := a, ã n+ := ã 44 Járai Antal 45 ötlete nyomán. 45 Járai Antal (Biharkeresztes, 95. VIII. 25. ) 46 A szokásos derékszögű koordinátarendszerben az l az (a, b) R 2 ponton átmenő 4 meredekségű egyenes, a g pedig egy parabolaív. 47 Az ã az előbb említett egyenesnek az {(u, v) R 2 : u = v} szögfelező egyenessel való metszéspont- jának az első koordinátája. 48 Ahol tehát az a az (ã, ã) R 2 ponton átmenő vízszintes egyenes és a parabolaív metszéspontjának az első koordinátája.

42 42 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG helyeket. Nem nehéz meggondolni, hogy < a n+ < ã n < a n (n N) és lim a n =. n Az így definiált (a n ), (ã n ) sorozatokkal vegyük az I n := [ã n, a n ], J n := [a n+, ã n ] (n N) intervallumokat és definiáljuk az f : R R monoton növő, folytonos függvényt 49 a következőképpen: x (x ) g(a n+ ) (x J n (n N)) f(x) := g(a n ) + 4(x a n ) (x I n (n N)) 2 (x > ). Könnyű meggondolni 5, hogy f D{} és f () =. Ha A n := I k, B n := J k k=n k=n (n N), akkor 5 λ(a n ) = I k = (f(a k ) f(ã k )) = 4 k=n k=n tehát Mivel g(a n ) g() 4 = a n + a 2 n 4 a n 4 < λ(a n) < a n 2 (n N), (n N). λ(a n ) + λ(b n ) = ( I k + J k ) = a n k=n (n N), 49 Vízszintes, ill. 4 meredekségű szakaszokból álló töröttvonal. 5 Világos, hogy lim x (f(x) f())/x = lim x x/x =. Továbbá x f(x) g(x) ( x ) miatt = x/x (f(x) f())/x (g(x) g())/x = + x (x > ), így lim x + (f(x) f())/x =. Tehát létezik a lim x (f(x) f())/x = határérték is. 5 Pl. háromszögek hasonlóságából fakadóan.

43 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 43 ezért egyúttal a n 2 < λ(b n) < 3a n 4 (n N). Mindezek alapján a Borel-halmazokból álló (A n ), (B n ) sorozatok regulárisan tartanak a nulláhhoz. Ui. a K n := K an () = ( a n, a n ) (n N) intervallumokkal és ill. (ahol ld. fent lim n a n = ). A n, B n K n (n N) λ(a n ) λ(k n ) = λ(a n) 2a n > 8 λ(b n ) λ(k n ) = λ(b n) > 2a n 4 (n N), (n N) Jelöljük µ-vel az f függvény által meghatározott Lebesgue Stieltjes-mértéket, amikor is µ(a n ) = (f(a k ) f(ã k )) = g(a n ) g() = a n + a 2 n (n N) k=n és Tehát míg µ(b n ) = (f(ã k ) f(a k+ )) = k=n µ(b n ) λ(b n ) (n ), (n N). µ(a n ) λ(a n ) = a n + a 2 n λ(a n ) 2 an + a 2 n a n = 2 + 2a n > 2 (n ). Így a szóban forgó f függvényre a C n := A n B n (n páros) (n páratlan) (n N) Borel-halmazokkal a ( ) µ(cn ) λ(c n )

44 44 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG sorozatnak nincs határértéke, bár a (C n ) halmazsorozat nyilvánvalóan regulárisan tart a nullához 52. A monoton függvények majdnem mindenütt való differenciálhatósága központi szerepet játszik a monoton függvények által meghatározott függvénysorok tagonkénti differenciálhatóságára vonatkozó alábbi Fubini 53 -tételben Tétel. Tekintsük a kompakt [a, b] R intervallumon értelmezett monoton növő f n : [a, b] R (n N) függvényeket. Tegyük fel, hogy létezik az f := f n : [a, b] R n= összegfüggvény 54. Ekkor f (x) = f n (x) n= (λ m.m. x [a, b]). Bizonyítás. Világos, hogy az f függvény is monoton növő, ezért (ld Tétel) λ m.m. x [a, b] esetén az f differenciálható az x-ben. Továbbá f (x) = µ (x) (λ m.m. x [a, b]), ahol a µ mérték az f által meghatározott Lebesgue Stieltjes-mérték. Ha n N és µ n jelöli az f n által generált Lebesgue Stieltjes-mértéket, akkor könnyen beláthatóan 55 µ = µ n. n= 52 Mivel f D{}, ezért µ D{}. Tehát az.3.3. Tételben a λ m.m. x R N feltétel (még az illető pontban differenciálható monoton függvény által meghatározott) Lebesgue Stieltjes mérték esetén sem helyettesíthető azzal, hogy µ D{x}. 53 Guido Fubini (Venice, 879. I. 9. New York, 943. VI. 6.) 54 Tehát f(x) = n= f n(x) R (x [a, b]). 55 Elég azt belátni, hogy tetszőleges x, y [a, b], x < y végpontokra µ([x, y)) = f(y ) f(x ) = n= µ n([x, y)) = hogy f(t ) = n=(f n(y ) f n (x )) (ahol f(a ) := f(a)). Mindez nyilván következik abból, n= f n(t ) (t (a, b]). Legyen ehhez t (a, b], ekkor f(t ) = sup{f(z) : a z < t}. Az itt szereplő z helyeken f(z) = n= f n(z) n= sup{f n(u) : a u < t} = n= f n(t ). Így f(t ) n= f n(t ). Ugyanakkor feltehető, hogy f n (n N), ui. különben cseréljük ki az f n -et az f n f(a) különbségre. Ekkor nyilván M n= f n(z) f(z) f(t ) (M N, a z < t). Tehát M n= sup{f n(z) : a z < t} = M n= f n(t ) f(t ) (M N), amiből n= f n(t ) = M lim M n= f n(t ) f(t ), azaz (az előbbi fordított irányú becslésre tekintettel) a jelzett egyenlőség már következik.

45 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 45 Mivel itt f n (x) = µ n (x) (λ m.m. x [a, b], n N), ezért az állításunk speciális esete a következő (szintén Fubinitől származó) tételnek Tétel. Legyenek a µ n : B [, + ] (n N) Borel-mértékek olyanok, hogy a µ := µ n n= összeg is Borel-mérték a B-n 56. Ekkor µ (x) = µ n(x) (λ m.m. x R N ). n= Bizonyítás. Az alábbi lépésekben jutunk el az állításunk igazolásához. o Lássuk be először is azt, hogy µ n (x) µ (x) (λ m.m. x R N ). n= Az.3.3. Tétel alapján ui. vannak olyan M, M n R N (n N) halmazok, hogy továbbá és Ha λ(m ) = λ(m n ) = (n N), µ D{x} (x R N \ M ) µ n D{x} (x R N \ M n, n N). M := ( ) M n M, n= 56 Az világos, hogy a µ mérték. (Ebből a szempontból közömbös, hogy a µ n -ek éppen Borel-mértékek is.) A µ Borel-mérték voltához tehát azt tettük fel, hogy tetszőleges A R N kompakt halmazra a n= µ n(a) összeg véges.

46 46 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG akkor λ(m) = és µ, µ n D{x} (x R N \ M, n N). Legyen ν m := m µ i (m N). i= Ekkor minden m N esetén ν m : B [, + ] Borel-mérték és A nyilvánvaló egyenlőtlenség miatt m ν m (x) = µ i (x) (x RN \ M). i= ν m (A) µ(a) (A B) ν m (K r (x)) λ(k r (x)) µ(k r(x)) λ(k r (x)) ( < r R, x R N \ M), tehát ν m(x) ν m (K r (x)) = lim r λ(k r (x)) lim µ(k r (x)) r λ(k r (x)) = µ (x) (x R N \ M, m N). Azt kaptuk ezzel, hogy m µ i(x) = lim µ m i(x) = lim m ν m(x) µ (x) i= i= (x R N \ M). 2 o Most megmutatjuk, hogy tetszőleges < s N mellett van olyan halmaz, hogy Valóban, B s K s (), λ(b s ) = µ i (x) = µ (x) (x K s () \ B s ). i= µ i (K s ()) = µ (K s ()) µ(k s ()) < +, i= mivel a K s () halmaz (korlátos és zárt lévén) kompakt. Ezért lim (µ(k s()) ν n (K s ())) =. n

47 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 47 Ha tehát σ n (A) := µ (A K s ()) ν n (A K s ()) (A B, n N), akkor egyrészt a σ n minden (n N) mellett Borel-mérték, másrészt lim σ n(k s ()) =. n Így minden k N számhoz van olyan n k N index, amellyel σ nk (K s ()) < 2 k. Nyilván az is feltehető, hogy itt az (n k ) sorozat indexsorozat, azaz n k+ > n k (k N). A σ := mértékre σ (K s ()) = σ nk k= σ nk (K s ()) 2 k < +, k= k= amiből adódóan a σ Borel-mérték 57. Így o alapján σ n k (x) σ (x) (λ m.m. x R N ). k= Van tehát olyan B R N halmaz, hogy λ(b) = és az előbbi egyenlőtlenség minden x R N \ B helyen teljesül. Legyen B s := B K s (), ekkor λ(b s ) =. Ha x K s () \ B s, akkor alkalmasan választott r > mellett K r (x) K s () ( < r < r ), következésképpen σ nk (K r (x)) λ(k r (x)) = µ(k r(x)) λ(k r (x)) ν n k (K r (x)) λ(k r (x)) (k N, < r < r ). 57 Hiszen bármely A B kompakt halmazra σ(a) = σ(a K s ()) σ(k s ()) < +.

48 48 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Ez azt jelenti, hogy (r határátmenettel) σ n k (x) = µ (x) ν n k (x) (k N, x K s () \ B s ). Minden ilyen x esetén amiből σ n k (x) σ (x) < +, k= σ n k (x) = µ (x) ν n k (x) (k ) adódik. Ezért a (ν n k (x)) sorozat (monoton nőve) konvergál a µ (x) deriválthoz. Mivel a (ν n (x)) sorozat is nyilván monoton növő, ezért egyúttal ν n (x) µ (x) (n ). Összefoglalva tehát azt írhatjuk, hogy µ k (x) = µ (x) (x K s () \ B s, < s N). k= 3 o Nyilván így minden pontban Világos, hogy R N = K s (), s= x R N \ ( ) B s s= µ k(x) = µ (x). k= λ ( ) B s =, s= ami az.3.7. Tétel bizonyítását jelenti. Az.3.6. Tétel segítségével lássuk be az alábbi, ún. Lebesgue-féle sűrűségi tételt:

49 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA Tétel. Legyen E R, x E és valamely x I R nem elfajuló korlátos intervallum esetén E I (x) := λ (E I) I (ahol λ a Lebesgue-féle külső mérték az R-en). Ekkor lim I E I (x) = (λ m.m. x E). Bizonyítás. Nyilván feltehető, hogy az E halmaz korlátos, pl. valamilyen kompakt [a, b] intervallummal E (a, b). Legyen f(x) := λ (E [a, x]) (x [a, b]). Ekkor az f függvény nyilván nemnegatív. Monoton növő is, ui. x, y [a, b], x < y esetén és a λ monoton: E [a, x] E [a, y] λ (E [a, x]) λ (E [a, y]). Mutassuk meg, hogy ( ) f (x) = (λ m.m. x E). Valóban, a λ értelmezése (ld..3.) szerint minden n N indexhez van olyan I nk (a, b) (k N) nyílt intervallumokból álló sorozat, hogy E E n := I nk k= és δ n := I nk < λ (E) + 2 n. k=

50 5 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG Tehát (δ n λ (E)) < 2 n < +. n= n= Legyen n N és f n (x) := λ (E n [a, x]) (x [a, b]), valamint F n := f n f. Ekkor (az f-hez hasonlóan) az f n is monoton növő és minden n N, x, y [a, b], x < y esetén F n (y) F n (x) = f n (y) f n (x) (f(y) f(x)) = λ (E n [x, y]) λ (E [x, y]) (n N). Ui. E E n miatt E [x, y] E n [x, y], következésképpen λ (E [x, y]) λ (E n [x, y]). (Felhasználtuk a λ külső mérték alábbi tulajdonságát is: ha A [α, β], B [γ, δ] és β γ, akkor 58 λ (A B) = λ (A) + λ (B)). Tehát az F n is monoton növő, továbbá F n (a) =, F n (b) = λ (E n ) λ (E) δ n λ (E) (n N). Ezért F(x) := F n (x) F n (b) (δ n λ (E)) < + (x [a, b]), n= n= n= így a fenti.3.6. Tétel alapján 58 A λ szubadditivitása alapján λ (A B) λ (A) + λ (B). Ha az I n R (n N) intervallumokkal A B n= I n, akkor A n= (I n [α, β]) és B n= (I n [γ, δ]). Ezért λ (A) + λ (B) n= ( I n [α, β] + I n [γ, δ] ) n= I n. Innen (az I n -ek szerint infimumot véve) már világos, hogy λ (A) + λ (B) λ (A B), tehát az előbbi fordított irányú egyenlőtlenséget is figyelembe véve valóban λ (A B) = λ (A) + λ (B).

51 .3. BOREL-MÉRTÉKEK DERIVÁLÁSA 5 F n (x) = F (x) < + n= Minden ilyen x-re ebből következően (λ m.m. x [a, b]). és egyúttal λ m.m. x [a, b] helyen F n (x) (n ) f n (x) f (x) (n ). Ha itt még x E is igaz, akkor bármely n N indexre x E n, következésképpen f n(x) = (ui. az x belső pontja az E n -nek, így [x, x + h] E n és f n (x + h) f n (x) h = λ (E n [x, x + h]) h = λ ([x, x + h]) h =, hacsak < h elég kicsi ). Tehát f (x) = lim n f n (x) = (λ m.m. x E). Legyen x E, f D{x}, h, l > és I := (x h, x + l] [a, b]. Ekkor (az előbbiekhez hasonlóan) E I (x) = λ (E ([a, x + l] \ [a, x h]) h + l = λ (E [a, x + l]) λ (E [a, x h]) h + l f(x + l) f(x h) h + l = f (x) (h + l ), amiből a tétel állítása a ( ) egyenlőség alapján következik. A bevezetőben (ld...) már említett integrálfüggvény differenciálhatóságát vizsgáljuk a következő, szintén Lebesgue-től származó állításban A Lebesgue-féle integrálfogalom egyik emblematikus tétele.

52 52 FEJEZET. DIFFERENCIÁLHATÓSÁG.3.9. Tétel. Tekintsük az [a, b] R kompakt intervallumon értelmezett f L [a, b] Lebesgue-integrálható függvényt és legyen F(x) := x a fdλ (x [a, b]) az f által meghatározott integrálfüggvény 6. Ekkor λ m.m. x [a, b] helyen az F függvény differenciálható és F (x) = f(x). Bizonyítás. Lássuk be először is azt, hogy az F függvény folytonos. Legyen ehhez ε > és x, y [a, b], x < y. Ekkor F(x) F(y) y x f dλ ahol (egyelőre tetszőleges m N mellett) y x f m dλ + m (f(x) > m) f m (x) := f(x) ( f(x) m) y x f f m dλ, (x [a, b]). Világos, hogy lim f m(x) = f(x) m és f m (x) min{m, f(x)} f(x) (x [a, b]), ezért a Lebesgue-féle konvergenciatétel értelmében y x f f m dλ b Válasszuk most már az < m-et úgy, hogy b a a f f m dλ (m ). f f m dλ < ε, 6 Az F(x) := F(b) (b < x R) és F(x) := F(a) = (a > x R), ill. az f(x) := (x R \ [a, b]) megállapodással az F és az f tekinthető az R-en értelmezett függvénynek, ahol az F nyilván monoton növő.