2010/2011 es tanév II. féléves tematika

Átírás

1 2 február 9 Dr Vincze Szilvi 2/2 es tnév II féléves temtik Mátrix foglm, speciális mátrixok Műveletek mátrixokkl, mátrix inverze 2 A determináns foglm és tuljdonsági 3 Lineáris egyenletrendszerek és megoldási módszereik 4 Egyenletrendszerek megoldás Guss eliminációvl, Crmer szbály 5 Vektorterek, lineáris kombináció, lineáris függetlenség, generátorrendszer, bázis, rng, komptibilitás foglm 6 Elemi bázistrnszformáció 7 A bázistrnszformáció és lklmzási: lineáris függőség, rng, komptibilitás meghtározás, lineáris egyenletrendszerek megoldás, mátrix invertálás 8 Lineáris leképzések Az n dimenziós Euklideszi tér foglm Többváltozós függvények Szélsőérték, htárérték, folytonosság, prciális derivált foglm 9 Többváltozós függvények feltétel nélküli és feltételes szélsőértéke Bevezetés lineáris progrmozásb Kombintorik Permutáció, vriációk és kombinációk Binomiális tétel 2 Eseménylgebr Vlószínűség foglm, lptételei Klsszikus vlószínűségszámítás Geometrii vlószínűség 3 Feltételes vlószínűség, teljes vlószínűség tétele, Byes tétel 4 Vlószínűségi változók és jellemzőik Várhtó érték és szórás, vlószínűségeloszlás, eloszlás és sűrűségfüggvény Korreláció

2 Trtlomjegyzék ) A mátrix foglm 2) A mátrix trnszponáltj 3) Speciális mátrixok 4) Műveletek mátrixokkl Mátrixok összedás Mátrixok sklárrl vló szorzás Mátrixok lineáris kombinációj Mátrix szorzás mátrixszl 5) Mátrixok inverze

3 Miért fontosk mátrixok? A gykorltbn np mint np sok számdttl kell dolgoznunk Az áttekinthetőség kedvéért ezeket z dtokt célszerű tábláztb rendezni Tntárgyk Mtemtik Kémi Élelmiszertech Növénytn Miért fontosk mátrixok? Lényeges, hogy melyik szám melyik helyen áll!

4 Mátrix definíciój Helyezzünk el n x m elemet egy olyn tégllp lkú tábláztb, melynek n sor és m oszlop vn; z i edik sor és j edik oszlop közös elemét jelöljük ij vel; táblázt elemeit szögletes vgy kerek zárójellel foglljuk egybe Az így szerkesztett tábláztot mátrixnk nevezzük: 2 m m A = ( ij) = n n2 nm Mátrix definíciój 2 m m A = ( ij) ij = n n2 nm Az ij elem esetén z i indexet (i=,,n) sorindexnek, j indexet (j=,,m) oszlopindexnek nevezzük 2 H zt is fel krjuk tűntetni, hogy mátrixnk n sor és m oszlop vn, zt így tesszük: A nxm = ( ij ) nxm 3 A mátrix elemei lehetnek vlós számok, függvények, vektorok, h mást nem mondunk továbbikbn olyn mátrixokról beszélünk, melynek z elemei vlós számok

5 Mátrix trnszponáltj H z A = n n2 m 2m mátrix sorit és oszlopit felcseréljük egymássl, z A mátrix trnszponáltját kpjuk mit A T vel (vgy A * gl) jelölünk: A T = nm 2 m m n n2 nm Speciális mátrixok Kvdrtikus mátrix Kvdrtikus vgy négyzetes mátrix: hol sorok szám megegyezik z oszlopok számávl: A = n MELLÉKÁTLÓ n2 n 2n nn FŐÁTLÓ

6 Speciális mátrixok Digonálmátrix Digonálmátrix vgy átlósmátrix z olyn kvdrtikus mátrix, melynek csk főátlójábn vn tól különböző elem A = 22 nn Speciális mátrixok Egységmátrix Egységmátrix: z digonálmátrix, melynek főátlójábn minden eleme A =

7 Speciális mátrixok Háromszög mátrixok Az olyn négyzetes mátrixot, melynek főátlój ltt vgy felett csup áll felső, ill lsó háromszögmátrixnk nevezzük C = D = Speciális mátrixok Nullmátrix Az olyn mátrixot, melynek minden eleme zérusmátrixnk, vgy nullmátrixnk nevezzzük o n + m =

8 Speciális mátrixok Oszlopmátrix Oszlopmátrix (oszlopvektor): z olyn mátrix, melynek egyetlen oszlop vn A = 2 nx = n Speciális mátrixok Sormátrix Sormátrix (sorvektor): z olyn mátrix, melynek egyetlen sor vn B ( b b b ) b xm = 2 m =

9 Definíciók Két mátrix zonos típusú, h mindkettő n x m es, vgyis mindkettőben ugynnnyi sor és ugynnnyi oszlop vn 2Két mátrix pontosn kkor egyenlő egymássl, h zonos típusúk és megfelelő helyeken álló elemek rendre megegyeznek Mátrixok összedás Az összedás művelete csk zonos típusú mátrixok körében értelmezett Az A nxm =( ij ) és B nxm =(b ij ) mátrixok összegén zt C nxm =(c ij ) mátrixot értjük, melynek minden elemére: c ij = ij + b ij; i =,, n; j =,, m

10 Mátrixok összedásánk tuljdonsági Minden A, B zonos típusú mátrix esetén A + B = B + A, zz kommuttív Minden A, B, C zonos típusú mátrix esetén: (A + B) + C = A + (B + C), zz sszocitív 3 Minden A mátrix esetén: A + O = A, hol O z A vl megegyező típusú nullmátrix 4 Minden A mátrix esetén létezik ( A) vl jelölt A vl zonos típusú mátrix úgy, hogy A + ( A) = O Mátrix szorzás sklárrl Legyen A nxm =( ij ) mátrix és λ R dott A λ A mátrixon zt B nxm = (b ij ) mátrixot értjük, melynek minden elemére: b ij = λ ij; i =,, n; j =,, m

11 Sklárrl vló szorzás tuljdonsági Minden A mátrix és λ R esetén: λ A = A λ 2Minden A mátrix és λ, μ R esetén (λ μ) A = λ ( μ A ) 3 Minden A, B mátrix és λ, μ R esetén: (λ+μ) A = λ A + μ A és λ (A+B) = λ A + λ B 4 Minden A mátrix esetén A = A 5 Minden A mátrix esetén A = O, hol O ugynolyn típusú nullmátrix, mint A Mátrixok lineáris kombinációj H z A, A 2,, A n zonos típusú mátrixokt rendre megszorozzuk k, k 2,,k n vlós számokkl és szorztokt összedjuk, kkor z így kpott k A + k 2 A k n A n = L mátrixot z dott mátrixok lineáris kombinációjánk nevezzük

12 Mátrix szorzás mátrixszl Az n x m típusú A = ( ij ) és z m x p típusú B = (b ij ) mátrixok A B szorztán zt z n x p típusú C mátrixot értjük, melynek minden c ij elemére: c ij = b + 2 b2 + + i j i j im hol i =,2,, n és j =,2,, p b mj = m k= Megjegyzés: Az A = ( ij ) mátrixnk B = (b ij ) mátrixszl vló A B szorztát csk kkor értelmezzük, h z A mátrixnk ugynnnyi oszlop vn, mint hány sor B mátrixnk ik b kj Péld: mátrix szorzás mátrixszl Végezzük el z lábbi mátrixok szorztát: 2 2 A = 2 2 és B = 5 2 2

13 Mátrix szorzás tuljdonsági Vn olyn A és B mátrix, hogy A B és B A is elvégezhető, de A B B A, vgyis nem kommuttív 2Minden A, B és C mátrix esetén, mikor műveletek elvégezhetők: (A + B) C = A C + B C és A (B + C) = A B + A C, zz disztributív 3Minden olyn A mátrixr és E egységmátrixr, hol szorzások elvégezhetőek: A E = E A = A 4 Minden olyn A mátrix és O nullmátrix esetén, hol szorzás elvégezhető, teljesül, hogy A O = O és O A = O Mátrix inverze Az A (n x n) es mátrix inverze z z A gyel jelölt (n x n) es mátrix, melyre: A A = A A = E Nem minden kvdrtikus mátrixnk vn inverze!

14 Péld: mátrix inverze Htározzuk meg z lábbi mátrix inverzét: 2 A = 2

15 Kifejtési tétel Az n x n es mátrix determinánsát következő módon htározhtjuk meg: 2 n 2 22 n2 n 2n nn = n ik k= A ik = n i= ik A ik Determináns meghtározás kifejtési tétellel hol z első esetben kifejtés z i edik sor szerint (i=,2,, n), másodikbn k dik oszlop szerint (k=,2,, n) történt, és hol z A ik z i edik sor k dik eleméhez trtozó lgebri ldetermináns, minek z értékét úgy kpjuk, hogy z eredeti mátrix i edik sorát és k dik oszlopát elhgyjuk és kpott (n )x(n ) es mátrix determinánsánk értékét szorozzuk ( ) i+k vl Azz A ik = ( ) i+k D ik, hol D ik tehát egy (n )x(n ) es mátrix determináns, mi z ik elemhez trtozó ldeterminánsnk mondunk

16 Péld: determináns meghtározás Adj meg z lábbi mátrix determinánsát! 2 A = 2 A determinánsfüggvény néhány tuljdonság A determináns értéke nem változik, h mátrixot trnszponáljuk, zz: A = A T 2A determináns értéke c szeresére változik, h mátrix vlmelyik soránk, vgy oszlopánk minden elemét megszorozzuk c vel (zz determinánsfüggvény homogén) 3H egy mátrix vlmelyik sorábn, vgy oszlopábn csk elem áll, kkor determináns értéke

17 A determinánsfüggvény néhány tuljdonság 4H egy mátrixbn felcserélünk két oszlopot (vgy két sort), kkor determináns értéke ( ) szeresére változik 5H egy mátrixbn két oszlop (vgy sor) megegyezik, kkor determináns értéke 6H egy mátrix vlmely oszlop (vgy sor) egy másik oszlop (vgy sor) sklárszoros, kkor determináns értéke A determinánsfüggvény néhány tuljdonság 7H egy mátrix vlmely oszlopához (vgy sorához) egy másik oszlop (vgy sor) sklárszorosát djuk, kkor determináns értéke nem változik 8 Az egységmátrix determináns 9Minden felső háromszögmátrix, ill minden lsóháromszögmátrix determináns megegyezik főátlóbn lévő elemek szorztávl

18 Determinánsr vontkozó megjegyzések H z A mátrixnk létezik z A gyel jelölt inverze, kkor A = / A Kvdrtikus mátrixnk kkor és csk kkor vn inverze, h determináns nem null Inverz mátrix Az A kvdrtikus mátrix inverze b bn A = bn bnn hol b ij = A A ji és A ij j edik sor i edik eleméhez trtozó lgebri ldetermináns

19 Péld: inverz mátrix meghtározás Adj meg z lábbi mátrix inverzét! A = 2 2