NUMERIKUS MÓDSZEREK XII. GYAKORLAT. 12a Numerikus Integrálás: Simpson+Trapéz formulák. Alapötletek:

Átírás

1 NUMERIKUS MÓDSZEREK XII. GYAKORLAT a Numerikus Integrálás: Simpson+Trapéz formulák Alapötletek: ) a f x x a Lx x ) Ekvidisztáns alappontrendszer a x x n, x k x k h Memo: a f x x a Lx x n i a n f x i l i x x i n f x i li a x x i f x i w i Lagrange előállítása: ázispolinomok lineáris kominációja Javaslat LagrBasej_, x_list, var_ : j var xk xj xk k Lengthx k j var xk xj xk Lengthx LagrInterpx_List, f_list, var_ : fj LagrBasej, x, var j Trapéz (formula) LagrInterpa,, fa, f, x f a x fa x a a LagrInterpa,, fa, f, x x a a fa f Simpson (formula) LagrInterpa, a,, fa, fm, f, x f a x a x a a fm a x x fa a x x a a a a a a

2 nummethodsss00ex.n LagrInterpa, a,, fa, fm, f, x x a a fa f 4 fm 6 Feladat Végezzük el az alái lépésket, ha a x x, és a 0 x x határozott integrált közelítjük! fx_ : x; gx_ : E^x^; a,, ; a, 0, ; 0 x x határozott integrált közelítése ga Plotgx, x, a,, Filling Axis g PlotLagrInterpa,, ga, g, x, x, a,, Filling Axis, FillingStyle Red

3 nummethodsss00ex.n gc Plotgx, LagrInterpa,, ga, g, x, x, a,, Filling Axis Newton- Leiniz gx x a Π Erf N Beépített numerikus integrálás NIntegrategx, x, a, Interpolációs polinom kiintegrálásra LagrInterpa,, ga, g, x x a 4 N.083 a ; 3; gx_ x; Trapéz formula direkt alkalmazása a ga g 5 88

4 4 nummethodsss00ex.n Integrategx, x, a, N a ga 4 ga g N Adjuk meg g integráljának közelítését a Simpson formulácval is! Adjuk meg az elsô, x közelítéseit is! x Pontossági rend Pontossági rend: Ellenõrizzük, hogy a trapéz formula esetén r=! polylist, x, x ; T polylist x a a, a a3 3, 3 3 T Tale a a n n, n, 0, Expand a, a T T 0, 0, a3 6 a a3, a a 3 a 3 6 Pontossági rend: Ellenõrizzük, hogy a Simpson formula esetén r=3! polylist, x, x, x 3, x 4 ; T polylist x a a, a a3, 3 3 a4, a5 5, 4 5 5

5 nummethodsss00ex.n T Tale a a n 4 a n n, n, 0, 4 Expand 6 a, a T T 0, 0, 0, 0, a3, 3 3 a4, 3 4 a5 0 a4 a3 a 3 a a5, 4 4 a4 a3 a 3 a Hiaecslés Numerikus Integrálás: Newton-Cotes formulák Alapötletek: ) a f x x a Lx x ) Ekvidisztáns alappontrendszer a x 0 x n, x k x k h Memo: a f x x a Lx x n i 0 a f x i l i x x n i 0 f x i li a x x n i 0 f x i Ω i Lagrange előállítása: ázispolinomok lineáris kominációja LagrBasej_, x_list, var_ : j var xk xj xk k Lengthx k j var xk xj xk Lengthx LagrInterpx_List, y_list, var_ : yj LagrBasej, x, var j 0 Zárt NC formulák x 0 a, x n, h a n EDPointssp_, n_, h_ : Talesp i h, i, 0, n FPointsf_, n_ : TaleToExpressionStringJoinToStringf, ToStringi, i, n EDPointsa, 5, h a, a h, a h, a 3 h, a 4 h FPointsf, 5 f, f, f3, f4, f5

6 6 nummethodsss00ex.n FactorIntegrateLagrInterpEDPointsa,, h, FPointsf,, x, x, a, a h f f h TaleForm TaleFactorIntegrateLagrInterpEDPointsa, n, h, FPointsf, n, x, x, a, a n h, n,, f f h f 4 f f3 h f 3 f 3 f3 f4 h 7 f 3 f f3 3 f4 7 f5 h 9 f 75 f 50 f3 50 f4 75 f5 9 f6 h 4 f 6 f 7 f3 7 f4 7 f5 6 f6 4 f7 h 7 75 f3577 f33 f3989 f4989 f533 f63577 f775 f8 h f5888 f98 f f44540 f f698 f75888 f8989 f9 h f857 f05 74 f080 f f45778 f55778 f f7080 f85 74 f9 h c Simpson-szaá ly Simpson súlyfgv. (Weights for Simpson method) h3 f 4 f f 3 4 f m f m, h=(-a)/m ClearWS; WS, _ ; WSn_, m_ ; n m ; WSn_?OddQ, _ : ; WSn_?EvenQ, _ : 4; m= (rezzuntervallumok száma), ez visszadja a Simpson formulát (alapeset): itt vannak a súlyok WS, WS, 4 WS3, Ez az elsô nemtriv. alkalmazás SumWSk, 4 Fk, k, 5 F 4 F F3 4 F4 F5 SumWSk, 0 Fk, k, F 4 F F3 4 F4 F5 4 F6 F7 4 F8 F9 4 F0 F

7 nummethodsss00ex.n 5 x határozott integrált közelítése (f primitiválható) x Clearx fx_ x; fx x 5 6 SumWSk, f 4 k, k, N SumWSk, 4 F 4 k 4, k, 5 F 4 F F3 4 F4 F5 SumWSk, 0 F 4 k 0, k, F 4 F 7 5 F F F 4 F3 F F 9 5 F 5 4 F 3 5 F5 m=0, h=4/0 alappontok: x k 4 k 0; k,,, m 0; h 4 0 ; m F 4 k 0 WSk, m k F 4 F 7 5 F F 3 7 F 4 F3 F F 9 5 m h 3 f 4 k 0 WSk, m k N.6008 NLog F 5 4 F 3 5 F5 5 fx x Log5

8 8 nummethodsss00ex.n Megjegyzés. m növelésével hia csökkenthetõ! 80 a5 f IV Ξ m 4