Num. Math. 12. Numerikus Integrálás: Gauss-kvadratú ra. Általánosított kvadratúra probléma: a. Most csak azzal foglakozunk, amikor Ω=1, [a,b]=[-1,1].

Átírás

1 Num. Math. Numerikus Integrálás: Gauss-kvadratú ra Általánosított kvadratúra probléma: a b f x Ω x x Most csak azzal foglakozunk, amikor Ω=, [a,b]=[-,]. Nem ekvidisztáns alappontrendszer, n pont esetén [-,]-en minden(!) (n-)-ed fokú polinomra pontos. n=, -adfokú n=, -ö dfokú stb. b Hogyan kapjuk a pontokat és a súlyokat? a f x x n i f x i w i Alappontok: Ortogonális polinomrendszer elemeinek gyökei Súlyok: - n= {,}(nem kell tudni általánosan) Ha f g f x gx x, akkor OPR elemei az un. Legendre polinomok.. Legendre polinom, pl. n=: / (x^-) Határozatlan együtthatók módszere a formulák meghatározozására Kísérlet a súlyok és az osztópontok meghatározására a pontossági rendre vonatkozó feltételbôl n=: osztópontok a,b n=: osztópontok a,b,c In[8]:= In[9]:= In[]:= Out[]= In[]:= Cleara, b, wa, wb; sopexpr_, var_ : wa expr. var a expr. var b wb t Tablesopx^n, x, n,, wa wb, a wa b wb, a wa b wb, a wa b wb t TableIntegratex^n, x,,, n,, Out[]=,,, In[]:= ThreadEqualt, t Out[]= wa wb, a wa b wb, a wa b wb, a wa b wb

2 nummethodsx.nb In[]:= SolveThreadEqualt, t Out[]= wa, wb, b, a, wa, wb, b, a In[]:= In[]:= Out[]= In[6]:= sopexpr_, var_ : wa expr. var a expr. var b wb expr. var c wc t Tablesopx^n, x, n,, wa wb wc, a wa b wb c wc, a wa b wb c wc, a wa b wb c wc, a wa b wb c wc, a wa b wb c wc t TableIntegratex^n, x,,, n,, Out[6]=,,,,, SolveThreadEqualt, t Out[7]= wa 9, wb 8 9, wc 9, c, b, a Megjegyzés. Az osztópontok permutációtól eltekintve egyértelmû. Kísérlet (határozatlan együtthatók módszere ortogonális polinomok meghatározására): Speciális eset. a=-,b=, Ρ=, n= qx_ : c c x c x c x ; q ortogonális,x,x^ polinomokra: qx x, c c Solve, c qx x x, qx x x c, c c Solve::svars : Equations may not give solutions for all "solve" variables. c, c, c c qx. c, c, c c. c x x Ez a köbös Legendre polinom:

3 nummethodsx.nb LegendreP, x x x? LegendreP LegendrePn, x gives the Legendre polynomial P n x. LegendrePn, m, x gives the associated Legendre polynomial P n m x. LegendreP, x x A Legendre polinomok ortogonális rendszert alkotnak Az ortogonalitás ellenõrzése L L IntegrateLegendreP, x LegendreP, P, x,, TableFormTablei, LegendrePi, x, i,, x x x x 8 x x 8 x 7 x 6 x 6 x x x 6 6 x x 69 x 9 x x 69 x x 6 6 x 8 8 x 6 x 8 8 x 7 x 7 x x x 9 9 x x x Ortogonalitás TableFormTableIntegrateLegendrePi, x LegendrePj, x, x,,, i,,, j,, 7 9 Mintapontok: a Legendre polinomok gyökei

4 nummethodsx.nb SolveLegendreP, x x, x, x r Sortx. SolveLegendreP, x, Less,, A súlyok meghatározása a pontossági rend alapján. plist, x, x, x, x, x ; w w, w, w; Table Sumwi plistj. x ri, i, Integrateplistj, x,,, j, 6 w w w, w w, w w, w w, 9 w 9 w, 9 w 9 w Solve w 9, w 9, w 8 9 Itt vannak a súlyok általában x i P ' x i ^): In[8]:= In[9]:= Out[9]= In[]:= Weighti_, n_, var_ : Modulexi Sortvar. SolveLegendrePn, var, Lessi, xi^ DLegendrePn, var, var. var xi^ SimplifyWeight,, x 9 SimplifyTableWeighti, n, x, n,, i,, n Out[]=,,, 9, 8 9, 9, 6 6, 6 8, 6 8, 6 6, 8 7, 7, 9 9, 7, Feladat Hasonlítsuk össze a trapézszabályt, az n=-hö z tartozó Gauss kvadratúrát és az integrál pontos értékét, ha, f[x]=x^+x^- fx_ : x x ;

5 nummethodsx.nb fx x p Integratefx, x x x x p. x p. x f f Nem pontos SolveLegendreP, x x, x f Sqrt f Sqrt A Gauss kvadratúra pontos értéket ad, a formula pontossági rendje, vagyis köbös polinomokra a hiba! fx_ : x ; f 6 f Sqrt f Sqrt 9 fx x Feladat Ellenõrizzük az integrál értékét, ha n=, f[x]=x^-x+

6 6 nummethodsx.nb Integratex^ x, x,, fx_ x^ x ; 9 fsqrt 8 9 f 9 fsqrt Simplify Feladat Mutassuk meg, hogy van egy és csak egy olyan másodfokú p polinom, ami ortogonális az p= és a p=x polinomokra, továbbá p[]=. Ortogonalizáljuk az {,x,x^,...} polinomrendszert, ha p q px qx x qx_ : c c x c x^; q c c c x x qx x c c qx x x c Solvec c c, c c, c c, c, c LegendreP, x x Javaslat (Gram-Schmidt) Pelem_, l_ : Module, Lengthl loc elem i elem li x li x li; Simplify loc. x loc

7 nummethodsx.nb 7 Px, x Px^,, x x Px^,, x, x^ x x LegendreP, x x x Px^,, x, x^, x x 8 x x LegendreP, x 8 x x L Px^,, x, x^, x x, 8 x x 8 x 7 x 6 x True L x^ x