Diszkrét matematika II. feladatok

Méret: px
Mutatás kezdődik a ... oldaltól:

Download "Diszkrét matematika II. feladatok"

Átírás

1 Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot. Hány összefüggő, illetve reguláris van közöttük? 2. Hány olyan, páronként nem izomorf gráf van, amelyben a) két-két másod-, harmad- és negyedfokú csúcs van, másfokszám nem fordul elő; b) három-három másod-, harmad- és negyedfokú csúcs van, másfokszám nem fordul elő? 3. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden pont foka különböző? 4. Van-e olyan társaság, ahol minden embernek különböző számú ismerőse van? 5. Van-e olyan 9-pontú gráf (tetszőleges, illetve egyszerű), melyben a pontok foka rendre a)7,7,7,6,6,6,5,5,5; b) 6,6,5,4,4,3,2,2,1? 6. És olyan 8-pontú egyszerű, melyben a fokszámok 6,6,6,6,3,3,2,2? 7. Mutasd meg, hogy tetszőleges gráfban a páratlan fokú pontok száma páros! 8. A bergengóc nyelvben kétbetűs szavak vannak. Ezek közül 5 szót leírtunk egy lapra és azokat a szavakat kötöttük össze, amikben van azonos betű. Melyik ábrát nem kaphattuk, ha a pöttyök a leírt szavakat jelölik? (Mj: Zrínyi Ilona Matematikaverseny, 3. osztály) 9. * Rajzold le a következő gráfot! Egy kör kerületén vegyünk fel öt pontot! A gráf csúcsai a pontok által meghatározott ( 5 2) húr lesz. Két csúcsot akkor kötünk össze a gráfban, ha a nekik megfelelő húroknak nincs közös végpontjuk. Ezt hívják Petersen-gráfnak. Milyen C n gráfok részgráfjai a Petersen-gráfnak? 10. Hány olyan 3, illetve 4 csúcsú gráf van, amely izomorf a komplementerével? 11. Rajzolj a komplementerével izomorf 5, illetve 6 csúcsú gráfot. 12. Mutasd meg, hogy tetszőleges páratlan hosszúságú zárt séta tartalmaz kört. Igaz-e ez páros hosszúságúra? 13. Mutasd meg, hogy ha egy gráf minden pontja legalább másodfokú, akkor a gráfban van kör! 14. Igaz-e, hogy ha egy gráf bármely két pontja között van séta, akkor út is van? 15. Mutasd meg, hogy ha a-ból vezet út b-be, és b-ből c-be, akkor a-ból is vezet c-be! 16. Hat versenyző körmérkőzést játszik. Bizonyítsd be, hogy bármely időpontban van három olyan versenyző, akik már mind játszottak egymással, vagy három olyan, hogy egyik sem játszott a másik kettővel. 1

2 17. Mutasd meg, hogy ha egy 2n-pontú gráf minden pontjának foka legalább n, akkor a gráf összefüggő! Mi történik, ha n 1-fokú pontokat is megengedünk? 18. Igaz-e, hogy vagy G, vagy a komplementere biztosan összefüggő? 19. Rajzold le az összes (páronkánt nem izomorf) 3, 4 és 5 csúcsú fát. 20. Hány olyan 8 csúcsú fa van, amiben pontosan 2 db harmadfokú csúcs van? 21. * Jelöljük egy fa elsőfokú pontjanak számát f 1 -gyel, a kettőnél nagyobb fokúak számát pedig c-vel. Mutasd meg, hogy ha legalább két pontja van a gráfnak, akkor f 1 c Igazold, hogy egy összefüggő véges gráfban bármely két leghosszabb útnak van közös pontja! 23. Mutasd meg, hogy egy véges fában az összes leghosszabb út egy ponton megy át! 24. Mely fák izomorfak a komplementerükkel? 25. * Az n hosszúságú 0-1 sorozatok legyenek egy gráf csúcsai. A gráfban két csúcs pontosan akkor van összekötve, ha a megfelelő sorozatok pontosan egy helyen különböznek. Rajzold fel a gráfokat n = 2 és 3 esetén. Legalább hány élet kell a gréfból törölni, hogy ne legyen a maradékban kör? 26. Lerajzolhatóak-e a ceruza felemelése nélkül az alábbi gráfok úgy, hogy minden élet pontosan egyszer húzunk be (=van-e Euler vonala/köre)? 27. Van-e olyan egyszerű gráf, amelyben van Euler-kör, páros sok csúcsa és páratlan sok éle van? 28. Igazold, hogy minden összefüggő gráfban van olyan séta, amely a gráf minden élét pontosan kétszer tartalmazza. Igaz-e ez zárt sétára? 29. * Mutasd meg, hogy ha egy gráf minden pontjának foka 4, akkor élei színezhetőek piros és kék színekkel úgy, hogy minden csúcshoz két-két piros és kék él illeszkedjen! 30. Van-e az alábbi gráfoknak Hamilton köre (útja)? 31. Bejárható-e a 9 9-es sakktábla lóugrással úgy, hogy a kiindulási mezőre érjünk vissza? 2

3 32. Mutasd meg, hogy ha egy gráfban van Hamilton-kör, akkor bárhogy töröljük egyetlen élét, a maradék gráf összefüggő. 33. Mutasd meg, hogy minden n 5-re igaz, hogy (a) létezik olyan n csúcsú G gráf, hogy G is és G is tartalmaz Hamilton-kört; (b) létezik olyan n csúcsú G gráf, hogy sem G sem G nem tartalmaz Hamilton-kört. 34. Egy hotelba 100 fős társaság érkezik, akik közül kezdetben bármely két ember jóban van egymással. Esténként egyetlen nagy kerek asztal köré ül le mindenki. Sajnos egy vacsora alatt az egymás mellé került emberek örökre összevesznek egymással. A társaság minden vacsora előtt úgy ül le, hogy a szomszédjaival jóban legyen. Ha ez lehetetlen, akkor minden résztvevő aznap este hazamegy. Mutasd meg, hogy legalább 25 éjszakát a hotelben tölt a társaság! 35. * Mutasd meg, hogy egy dominócsomagból kirakható kör. 36. * Mutasd meg, hogy a Petersen-gráfban nincs Hamilton-kör, de bárhogy töröljük egyetlen csúcsát, a maradékban már lesz. 37. * Bizonyítsd be, hogy amennyiben egy gráfban található k pont, melyeket elhagyva a gráf több, mint k komponensre esik szét, akkor a gráfnak nincs Hamilton-köre! 38. * Bizonyítsd be, hogy ha egy véges összefüggő gráf K köréből valamelyik élt eltörölve a gráf egy leghosszabb útját kapjuk, akkor K Hamilton-köre a gráfnak! 39. * Legyen n 3 pozitív egész, és G egy n pontú egyszerű, összefüggő gráf. Bizonyítsd be, hogy ha G minden csúcsának foka legalább n 2, akkor G-nek van Hamilton-köre! 40. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3 csúcsú, 4 élű, hurokmentes irányított gráfot, amelynek van olyan csúcs, aminek a kifoka és a befoka is Hány páronkánt nem izomorf 4 csúcsú, 3 élű egyszerű irányított gráf létezik? 42. Mutasd meg, hogy bármely hurokmentes irányítatlan gráfnak van olyan irányítása, ami nem tartalmaz irányított kört. 43. Mutasd meg, hogy egy körmérkőzéses pingpongverseny résztvevői sorbaállíthatóak úgy, hogy mindenki legyőzte a közvetlenül mögötte állót! (Azt nem követeljük meg, hogy az összes mögötte állót le kellett volna győznie.) 44. Legalább mekkora egy 64 levelű irányított fa magassága, ha minden csúcsnak maximum 4 gyereke lehet? Legfeljebb mekkora lehet a magassága? 45. Egy 9 tagú társaságban mindenki átad öt másik embernek forintot. Igaz-e, bárhogyan történik az elosztás, lesz két ember, akinek ugyanannyival változott pénze? 46. * Jellemezd véges halmazokon az ekvivalencia-relációk gráfjait. 47. * Bizonyítsd be, hogy bármely véges, hurokmentes gráf irányítható úgy, hogy a keletkező gráf nem tartalmaz irányított kört. 48. Melyik gráfot tudod lerajzolni úgy, hogy az élei ne messék egymást: (a) egy kocka éleinek hálózata; (b) teljes n-szög n = 3, 4, 5,..; (c) három-ház-három-kút : páros gráf 3-3 ponttal (házak, kutak), minden ház összekötve minden kúttal; (d) a Petersen-gráf. 49. Hány éle van egy n-pontú síkgráfnak, ha minden lapja (a végtelen lap is) háromszög? 50. Mutasd meg, hogy egy n 3 pontú síkbarajzolható gráfnak legfeljebb 3n 6 éle lehet! 51. Bizonyítsd be, hogy ha egy G gráf pontszáma legalább 11, akkor vagy G, vagy a komplementere nem síkbarajzolható! 52. Rajzolj egy olyan 8-pontú síkgráfot, aminek a komplementere is síkgráf! 53. Mutasd meg, hogy egy egyszerű síkbarajzolható gráfban nem lehet minden pont foka legalább 6! 3

4 54. Legfeljebb hány éle lehet egy síkbarajzolható gráfnak, ha minden köre legalább k hosszú? 55. Egy nemzetközi konferencián öt különböző ország egy-egy résztvevője ül. Bizonyítsd be, hogy van közöttük legalább kettő, akiknek az országa nem szomszédos! 56. * Mutasd meg, hogy egy síkbarajzolható gráf lapjai pontosan akkor színezhetőek két színnel úgy, hogy a szomszédos lapok különböző színűek legyenek, ha a gráfnak van Euler-körsétája! 57. Mi az alábbi fák Prüfer kódja? 58. Egy 4 levelű teljes bináris fa csúcsait címkézzük a gyökértől kezdve szintenként lefelé növekvő sorrendben. Mi lesz ennek a fának a Prüfer kódja? 59. * Rajzolj olyan fát, melynek a Prüfer kódja: (a) ; (b) 11342; (c) 12345; (d) Polinomok 1. Add meg Z 72 felett a 8x és a 18x + 36 polinomok szorzatát! 2. * Határozd meg H felett az f = (3 + 2i j + 5k)x 2 (2 3i + k) és a g = 2ix (4 5k) polinomokra fg gf-et. 3. Határozd meg a Z feletti 3x 8 + 5x 6 11x 3 + 7x 2 15x + 8 és 16x 7 13x 6 + 6x 3 13x + 21 polinomok szorzatában a 0-ad, 9-ed, 14-ed, 15-öd és 20-ad fokú tag együtthatójút! Oldd meg ugyanezt Z 24 felett is! Mennyi lesz ekkor a szorzatpolinom foka? 4. Osszd el az f(x) polinomot g(x)-szel maradékosan Q, Z 7 és Z 6 felett, ha lehet a) f(x) = 42x 4 7x 3 +13x 2 +43x 12, g(x) = x 2 x+1; b) f(x) = x 3 3x 2 x 1, g(x) = 3x 2 2x+1; c) f(x) = 5x 4 + 2x 3, g(x) = 2x 2 3x + 4; d) f(x) = x 3, g(x) = 2x + 3; e) f(x) = x 2 + 3x 2, g(x) = 6x 4 + 5x 2 3x + 2; f) f(x) = x 3 + x 2 + 3x + 2, g(x) = 2x Legyen f(x) = x 5 + x 4 15x x 2 + 2x 3 és g(x) = x 2 + 4x 5. Osszuk el maradékosan f-et a g-vel Q és Z 3 felett! 6. Hogyan kell megválasztani a p, q, m értékeket, hogy az x 3 + px + q polinom C felett osztható legyen az x 2 + mx 1 polinommal? 7. Határozd meg a és b értékét úgy, hogy x 4 + 3x 2 + ax + b osztható legyen x 2 2ax + 2-vel Z, Q, R, illetve C felett! 8. Határozd meg az alábbi Q[x]-beli polinomok legnagyobb közös osztóját: a) (x 1) 3 (x + 2) 2 (x 3)(x 4) és (x 1) 5 (x + 2)(x 5); b) x m 1 és x n 1; c) x m + 1 és x n Ha lehet, oldd meg az u, v ismeretlen polinomokra nézve R[x]-ben a következő egyenleteket: a) (3x 3 2x 2 + x + 2)u + (x 2 x + 1)v = 1; b) (x 4 x 3 4x 2 + 4x + 1)u + (x 2 x + 1)v = x. 10. Ha lehet, oldd meg az u, v ismeretlen polinomokra nézve Z 2 [x]-ben a következő egyenleteket: a) (x 5 + x 2 + 1)u + (x 4 + x 2 + x)v = 1; b) (x 4 + 1)u + (x 3 + x 2 + x + 1)v = x 3 + x

5 11. Az x c-vel való maradékos osztás segítségével határozd meg az alábbi C[x]-beli polinomok helyettesítési értékét az adott helyen: a) x 4 3x 3 + 6x 2 10x + 16, c = 4; b) x 5 + (1 + 2i)x 4 (1 + 3i)x 2 + 7, c = 2 i; c) x 4 3ix 3 4x 2 + 5ix 1, c = 1 + 2i. 12. Keresd meg az f(x) = x 4 3x 3 + x + 6 polinom helyettesítési értékét a 3, 1, 2, 2 helyeken! 13. Határozd meg az alábbi maradékos osztások hányadosát és maradékát a Horner-módszer segítségével: f(x) = 3x 5 + 2x 2 7x + 2 a) g(x) = x 3, R = Z; b) g(x) = x + 2, R = Z; c) g(x) = x 1/2, R = Q; d) g(x) = x 3, R = Z 3 ; e) g(x) = x 3, R = Z Határozd meg az alábbi maradékos osztások hányadosát és maradékát a Horner-módszer segítségével: a) f(x) = 4x 3 + x 2, g(x) = x i; b) f(x) = x 3 x 2 x, g(x) = x 1 + 2i. 15. Határozd meg a p értékét úgy, hogy az f(x) = x 5 + 3x 4 + 5x + p polinom osztható legyen x 2-vel! 16. Az x c-vel való ismételt maradékos osztás segítségével írjuk fel a következő C[x]-beli polinomokat x c hatványai segítségével: a) x 4 + 2x 3 3x 2 4x + 1, c = 1; b) x 5, c = Hányszoros gyöke 2 az x 5 5x 4 + 7x 3 2x 2 + 4x 8 Z[x] polinomnak? 18. Határozd meg az a együtthatót úgy, hogy 1 legalább kétszeres gyöke legyen az x 5 ax 2 ax + 1 R[x] polinomnak. 19. Keresd meg a következő C[x]-beli polinomok többszörös gyökeit: a) x 6 6x 4 4x 3 + 9x x + 4; b) x 5 10x 3 20x 2 15x Add meg az alábbi C[x]-beli polinomokhoz olyan polinomot, amelynek ugyanazok a gyökei, de egyszeresek: a) x 6 15x 4 + 8x x 2 72x + 27; b) x 5 6x x 3 24x x Hány másodfokú reducibilis főpolinom van Z 7 felett? 22. Felbontható-e Z 3 felett az x 7 + 2x 4 + x 2 + 2x + 2 polinom? 23. A Z 2 gyűrű felett a) állapítsd meg, hogy irreducibilisek-e az x 4 + 1, x 3 + x 2 + 1, illetve x 4 + x + 1 polinomok; b) add meg az összes, legfeljebb harmadfokú irreducibilis polinomot; c) bontsd irreducibilis polinomok szorzatára az x polinomot. 24. Döntsd el, hogy Z[x]-ben a megadott halmazok ideált alkotnak-e, és ha igen, határozd meg a faktorgyűrűt: a) polinomok, amelyek konstans tagja páros; b) polinomok, amelyek elsőfokú tagjának együtthatója páros. 25. A 3x 4 5x 3 + 3x 2 + 4x 2 polinom egyik gyöke 1 + i. Határozd meg a többi gyökét. 26. Add meg a következő polinomok irreducibilis felbontását C, illetve R felett: a) x 6 27; b) x ; c) x 8 16; d) x ; e) x 10 x 5 + 1; f) x 22 + x 11 6; g) x 4 + 4x 3 + 4x 2 + 1; h) x 2n + x n + 1; i) x 2n 2x n Határozd meg a 4x 6 8x 5 3x 4 11x x x + 8 polinom racionális többszörös gyökeit és ezek multiplicitását. 28. Bontsd fel a következő polinomokat irreducibilis polinomok szorzatára Z és Q felett: a) 3x 5 + 2x 3 12x x + 14; b) 20x x x Mik az f(x) = 40x x + 15 polinom racionális gyökei? 30. Keresd meg a következő egész együtthatós polinomok racionális gyökeit: a) x 4 2x 3 8x x 24; b) x 4 + 4x 3 2x 2 12x + 9; c) 10x 4 13x x 2 18x Igazold, hogy az alábbi polinomok irreducibilisek Z[x]-ben: a) x 4 8x x 2 6x + 2; b) x 5 12x x 12; c) x 4 x 3 + 2x

6 Kódolás 1. Legyen adott egy hétbetűs ábécé a következő valószínűségekkel: A (12.5%), B(12.5%), C(6.25%), D(25%), E(12.5%), F(6.25%), G(25%). Számítsuk ki az entrópiát. 2. Legyen adott egy kétbetűs ábécé (X, Y). Az X valószínűségét jelölje p. Számítsuk ki az entrópiát. Tekintsük a kétbetűs szavakat: XX, XY, YX, YY. Mik lesznek ezek előfordulási valószínűségei? Számítsuk ki az entrópiát erre a négybetűs ábécére is. Milyen kapcsolatban van az eredetivel? 3. Tekintsük az alábbi bináris kódolást: , , , a) Mekkora a és az kódszavak távolsága? b) Mekkora a kód távolsága? c)* Mutasd meg, hogy a kód csoportkód Z 5 2-ben! d) Mennyi az kódszó súlya? e) Mennyi a kód súlya? f Add meg a kódszóhoz legfeljebb 1 távolságra levő Z 5 2-beli szavak halmazát! g) A szót mire dekódoljuk minimális távolságú dekódolással? 4. Az alábbi bináris kódok esetében állapítsd meg a kód távolságát, hibajelző és hibajavító képességét, hogy lineáris-e, valamint a lineárisoknál add meg a szokásos bázisban a generátormátrixot és egy ellenőrzőmátrixot: a) (c 1, c 2, c 3 ) (c 1, c 2, c 3, c 1 + c 2 + c 3 + 1); b) (c 1, c 2, c 3 ) (c 1, c 2, c 3, c 1, c 2 + c 3 ); c) (c 1, c 2, c 3 ) (c 1, c 2, c 3, c 1, 1 c 2 c 3 ). 5. Legyen K az ötelemű test (0,1,2,3,4 az elemek). A test elemei legyenek a kódolandó ábécé jelei. Kódoljuk úgy a 3 betűs szavakat, hogy egy negyedik betűvel egészítjük ki őket: (a, b, c) (a, b, c, a+b+c). Hibajavító vagy hibejelző kódot kapunk? Mennyi a kód távolsága? 6. Legyen K ismét az ötelemű test. A test elemei legyenek a kódolandó ábécé jelei. Kódoljuk úgy a 3 betűs szavakat, hogy egy negyedik és ötödik betűvel egészítjük ki őket: (a, b, c) (a, b, c, a + b + c, a + 2b + 3c). Hibajavító vagy hibejelző kódot kapunk? Mennyi a kód távolsága? Mi lesz a következő szavak dekódolása? a) (3, 2, 4, 4, 4); b) (1, 0, 4, 0, 2); c) (1, 1, 1, 2, 3); d) (0, 3, 3, 2, 1); e) (0, 0, 0, 1, 4); f) (1, 2, 3, 0, 0). 7. Az előző példában található kód lineáris kód. Konstruáljunk hozzá ellenőrző mátrixot. 8. Tekintsük a következő bináris lineáris kódok generátormátrixait: G 1 = ; G 2 = ; G 3 = Add meg mindegyiknek valamelyik ellenőrző-mátrixát, majd ennek felhasználásával a kódtávolságot! 9. Legyenek egy ötbetűs ábécében a valószínűségek 0.15, 0.15, 0.2, 0.25, Írjuk fel a bináris és ternáris Huffman-kódot. Mennyi az átlagos kódhossz? 10. Adott eloszlásokhoz határozzuk meg a Huffman-kódot a négyelemű ábécé fölött. Hasonlítsuk össze az átlagos kódhosszat az entrópiával! a) 0,2; 0,2; 0,19; 0,12; 0,11; 0,09; 0,09; b) 0,4; 0,2; 0,2; 0,1; 0,1; c) 0,34; 0,18; 0,17; 0,16; 0, Képezzük az n = 7 hosszú CRC kódot g(x) = x 3 +x 2 +1 generátorpolinommal. Mi lesz a következő üzenetek kódja: a) 0001 b) 0011 c) 0111 d) 1000 e) 1011 f) 1110 g) 1111? 12. Képezzük az n = 7 hosszú CRC kódot g(x) generátorpolinomokkal: a) g(x) = x 3 + x + 1 b) g(x) = x + 1 c) g(x) = x 6 + x 5 + x 4 + x 3 + x 2 + x + 1. Add meg a kódszavak halmazát, a minimális távolságot és a paritásellenőrző polinomot! 6

7 Algebra A D n diédercsoport a síknak egy szabályos n oldalú sokszögét önmagába vivő egybevágósági transzformációkból áll, művelet a transzformációk egymás utáni végrehajtása. Ha ϕ a 2π/n-nel való forgatást, τ pedig egy szimmetriatengelyre való tükrözést jelöl, akkor D n elemei A számolás szabályai: {e, ϕ, ϕ 2,..., ϕ n 1, τ, τϕ, τϕ 2,..., τϕ n 1 }. ϕ n = τ 2 = e, ϕ k τ = τϕ n k. Belátható, hogy D n a fenti művelettel csoportot alkot. 13. Írjuk fel D 2 és D 3 műveleti tábláját. Határozzuk meg a két csoport részcsoportjait és a részcsoportok rendjét. 14. A D 5 diédercsoport minden részhalmazára határozd meg az általa generált részcsoportot. 15. Normálosztó-e a) Z-ben 3Z; b) D 6 -ban a 120 -os forgatás által generált részcsoport; c) D 6 -ban a 180 -os forgatás és egy tükrözés által generált részcsoport. 16. Tekintsük a racionális számok (Q, +, ) gyűrűjét. Bizonyítsuk be, hogy a páros egészek a racionális számok gyűrűjének részgyűrűjét alkotják, de nem ideálját! 17. Lássuk be, hogy a páros számok (2Z) az egészek részgyűrűjét, sőt ideálját alkotják! Határozzuk meg a Z/2Z maradékosztály gyűrűt! 18. Bizonyítsd be, hogy Z 12 -nek a 0,3,6,9 osztályai egy részgyűrűt alkotnak. Ideál, illetve főideál-e? Ha ideál, akkor a faktrogyűrű test-e? 19. Döntsd el, hogy a Gauss-egészek gyűrűjében az alábbi halmazok ideált alkotnak-e, és ha igen, határozd meg a faktorgyűrűt: a) Z; b) 2Z + 2iZ; c) 4Z + 6iZ. {( ) } {( ) } a b a b 20. Legyen R = : a, b, c, d Z és I = : a, b, c, d 2Z. Mutasd meg, hogy I ideál c d c d R-ben! Hány elemű az R/I faktorgyűrű? 21. Az következő faktorgyűrűk közül melyek izomorfak: Z 4 /( 0), Z 8 /( 4), Z 16 /( 4), 2Z 16 /( 8), Z/(4), 4Z/(16)? 7

Diszkrét matematika II. feladatok

Diszkrét matematika II. feladatok Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1.1. Könnyebb 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot! 2. Van-e olyan (legalább kétpontú) gráf, melyben minden

Részletesebben

Diszkrét matematika II. feladatok

Diszkrét matematika II. feladatok Diszkrét matematika II. feladatok 1. Gráfelmélet 1. Rajzold le az összes, páronként nem izomorf 3, 4, illetve 5 csúcsú egyszerű gráfot. Hány összefüggő, illetve reguláris van közöttük? 2. Van-e olyan (legalább

Részletesebben

Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból

Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból Alapfogalmak a Diszkrét matematika II. tárgyból (A szakirány, 2015-2016 tavaszi félév) A számonkérés során ezeknek a definícióknak, tételkimondásoknak az alapos megértését is számon kérjük. A példakérdések

Részletesebben

FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest

FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ. ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest FELADATOK A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY III. FÉLÉVÉHEZ ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-07-25 A 2. és a 4. fejezet feladatai megoldva megtalálhatók a Testb vítés, véges testek;

Részletesebben

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz

Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz Diszkrét matematika 2 (C) vizsgaanyag, 2012 tavasz A vizsga menete: a vizsga írásbeli és szóbeli részből áll. Az írásbeli beugrón az alábbi kérdések közül szerepel összesen 12 darab, mindegyik egy pontot

Részletesebben

Diszkrét matematika alapfogalmak

Diszkrét matematika alapfogalmak 2014 tavaszi félév Diszkrét matematika alapfogalmak 1 GRÁFOK 1.1 GRÁFÁBRÁZOLÁSOK 1.1.1 Adjacenciamátrix (szomszédsági mátrix) Szomszédok felsorolása, csak egyszerű gráfok esetén használható 1.1.2 Incidenciamátrix

Részletesebben

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi . Adott a mátri, determináns determináns, ahol,, d Számítsd ki:. b) Igazold, hogy a b c. Adott a az 6 0 egyenlet megoldásai. a). c) Számítsd ki a d determináns értékét. d c a b determináns, ahol abc,,.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. november 23. 1. Diszkrét matematika 2. 9. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. november 23. Diszkrét matematika

Részletesebben

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós

Polinomok (el adásvázlat, április 15.) Maróti Miklós Polinomok (el adásvázlat, 2008 április 15) Maróti Miklós Ennek az el adásnak a megértéséhez a következ fogalmakat kell tudni: gy r, gy r additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja, egységelemes

Részletesebben

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós

Polinomok (előadásvázlat, október 21.) Maróti Miklós Polinomok (előadásvázlat, 2012 október 21) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: gyűrű, gyűrű additív csoportja, zéruseleme, és multiplikatív félcsoportja,

Részletesebben

1. Gráfok alapfogalmai

1. Gráfok alapfogalmai 1. Gráfok alapfogalmai Definiáld az irányítatlan gráf fogalmát! Definiáld az illeszkedik és a végpontja fogalmakat! Definiáld az illeszkedési relációt! Definiáld a véges/végtelen gráf fogalmát! Definiáld

Részletesebben

SzA II. gyakorlat, szeptember 18.

SzA II. gyakorlat, szeptember 18. SzA II. gyakorlat, 015. szeptember 18. Barátkozás a gráfokkal Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Az előre megszámozott (címkézett) n darab pont közé hányféleképp húzhatunk be éleket úgy, hogy egyszerű gráfhoz

Részletesebben

MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak

MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA. 1. Csoportelméleti alapfogalmak MTN714: BEVEZETÉS AZ ABSZTRAKT ALGEBRÁBA 1. Csoportelméleti alapfogalmak 1.1. Feladat. Csoportot alkotnak-e az alábbi halmazok a megadott műveletre nézve? (1) (Z 2 ; ), (2) (Z 2 ; +), (3) (R \ { 1}; ),

Részletesebben

DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ

DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ DISZKRÉT MATEMATIKA 2 KIDOLGOZOTT TÉTELSOR 1. RÉSZ B szakirány 2014 június Tartalom 1. Fák definíciója ekvivalens jellemzései... 3 2. Hamilton-kör Euler-vonal... 4 3. Feszítőfa és vágás... 6 4. Címkézett

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu Komputeralgebra Tanszék 2015. tavasz Gráfelmélet Diszkrét

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 4. előadás Eulerséta: Olyan séta, mely a gráf minden élét pontosan egyszer tartalmazza. Tétel: egy összefüggő gráf. Ha minden

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás március 24. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. március 24. Irreducibilitás 3.33. Definíció. A p T [x] polinom irreducibilis, ha legalább elsőfokú, és csak úgy bontható két polinom szorzatára, hogy az

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. Mérai László előadása alapján Készítette: Nagy Krisztián 1. előadás Gráfok halmaza, gráf, ahol a csúcsok halmaza, az élek illesztkedés reláció: illesztkedik az élre, ha ( -él illesztkedik

Részletesebben

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G)

Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) Algoritmuselmélet gyakorlat (MMN111G) 2014. január 14. 1. Gyakorlat 1.1. Feladat. Adott K testre rendre K[x] és K(x) jelöli a K feletti polinomok és racionális törtfüggvények halmazát. Mutassuk meg, hogy

Részletesebben

1. feladatsor Komplex számok

1. feladatsor Komplex számok . feladatsor Komplex számok.. Feladat. Kanonikus alakban számolva határozzuk meg az alábbi műveletek eredményét. (a) i 0 ; i 8 ; (b) + 4i; 3 i (c) ( + 5i)( 6i); (d) i 3+i ; (e) 3i ; (f) ( +3i)(8+i) ( 4

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása Példa 223 = 7 31+6. Visszaszorzunk Kivonunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a,b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q,r Z, hogy a = bq +

Részletesebben

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét.

Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a) Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. Zárthelyi feladatok megoldásai tanulságokkal Csikvári Péter 1. a Számítsuk ki a 2i + 3j + 6k kvaternió inverzét. b Köbgyöktelenítsük a nevezőt az alábbi törtben: 1 3 3. Megoldás: a Egy q = a + bi + cj

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós

Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012. november 14.) Maróti Miklós Hibajavító kódolás (előadásvázlat, 2012 november 14) Maróti Miklós Ennek az előadásnak a megértéséhez a következő fogalmakat kell tudni: test, monoid, vektortér, dimenzió, mátrixok Az előadáshoz ajánlott

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.

Részletesebben

Az állítást nem bizonyítjuk, de a létezést a Paley-féle konstrukció mutatja: legyen H a

Az állítást nem bizonyítjuk, de a létezést a Paley-féle konstrukció mutatja: legyen H a . Blokkrendszerek Definíció. Egy (H, H), H H halmazrendszer t (v, k, λ)-blokkrendszer, ha H = v, B H : B = k, és H minden t elemű részhalmazát H-nak pontosan λ eleme tartalmazza. H elemeit blokkoknak nevezzük.

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak

Gráfelméleti alapfogalmak 1 Gráfelméleti alapfogalmak Gráf (angol graph= rajz): pontokból és vonalakból álló alakzat. pontok a gráf csúcsai, a vonalak a gráf élei. GRÁ Irányítatlan gráf Vegyes gráf Irányított gráf G H Izolált pont

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.

Részletesebben

Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei

Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei Számítástudomány alapjai Megoldások 7. gyakorlat Síkgráfok, dualitás, gyenge izomorfia, Whitney-tételei 90. A konvex poliéder egyes lapjait határoló élek száma legyen k! Egy konvex poliéder egy tetszőleges

Részletesebben

FELADATOK 1 A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY II. FÉLÉVÉHEZ (PROGRAMTERVEZŽ ÉS INFORMATIKUS BSC SZAKON)

FELADATOK 1 A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY II. FÉLÉVÉHEZ (PROGRAMTERVEZŽ ÉS INFORMATIKUS BSC SZAKON) FELADATOK 1 A BEVEZETŽ FEJEZETEK A MATEMATIKÁBA TÁRGY II. FÉLÉVÉHEZ (PROGRAMTERVEZŽ ÉS INFORMATIKUS BSC SZAKON) ÖSSZEÁLLÍTOTTA: LÁNG CSABÁNÉ ELTE IK Budapest 2007-02-04 A 2. fejezet feladatai megoldva

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam

Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Gyakorló feladatok javítóvizsgára szakközépiskola matematika 9. évfolyam Halmazok:. Adott két halmaz: A = kétjegyű pozitív, 4-gyel osztható számok B = 0-nél nagyobb, de 0-nál nem nagyobb pozitív egész

Részletesebben

1. tétel - Gráfok alapfogalmai

1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. tétel - Gráfok alapfogalmai 1. irányítatlan gráf fogalma A G (irányítatlan) gráf egy (Φ, E, V) hátmas, ahol E az élek halmaza, V a csúcsok (pontok) halmaza, Φ: E {V-beli rendezetlen párok} illeszkedési

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

1. Gráfelmélet alapfogalmai

1. Gráfelmélet alapfogalmai 1. Gráfelmélet alapfogalmai Definíció: A gráf pontok és az őket összekötő élek együttese. Megjegyzés: A gráf pontjait szögpontoknak, illetve csúcsoknak is nevezzük. Ha a gráf élei irányítottak, irányított

Részletesebben

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS)

Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) Matematika szigorlat - konzultációs szeminárium Azoknak, akik másodszorra vagy többedszerre veszik fel a Matematika szigorlat (NAMMS1SAND) tárgyat. Bevezetés a számításelméletbe (MS1 BS) FŐBB TÉMAKÖRÖK

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 207. tavasz. Diszkrét matematika 2.C szakirány 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 207.

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

SzA X/XI. gyakorlat, november 14/19.

SzA X/XI. gyakorlat, november 14/19. SzA X/XI. gyakorlat, 2013. november 14/19. Színezünk és rajzolunk Drótos Márton drotos@cs.bme.hu 1. Mennyi a következő gráfok kromatikus száma: C 4, C 5, K 2,4, alábbi 2 gráf χ(c 4 ) = 2, páros hosszú

Részletesebben

Gráfelmélet Megoldások

Gráfelmélet Megoldások Gráfelmélet Megoldások 1) a) Döntse el az alábbi négy állítás közül melyik igaz és melyik hamis! Válaszát írja a táblázatba! A: Egy 6 pontot tartalmazó teljes gráfnak 15 éle van B: Ha egy teljes gráfnak

Részletesebben

Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:

Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal: Gyakorló feladatok 9.évf.. Mennyi az összes részhalmaza az A a c; d; e; f halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Legyen U ;;;;;6;7;8;9, A ;;6;7; és B ;;8. Add meg a következő halmazokat és ábrázold

Részletesebben

ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom

ELTE IK Esti képzés tavaszi félév. Tartalom Diszkrét Matematika 2 vizsgaanyag ELTE IK Esti képzés 2017. tavaszi félév Tartalom 1. Számfogalom bővítése, homomorfizmusok... 2 2. Csoportok... 9 3. Részcsoport... 11 4. Generátum... 14 5. Mellékosztály,

Részletesebben

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I. 2005.márc.11. A csoport 1. Egy egyenesre esnek-e az A (2, 5, 1), B (5, 17, 7) és C (3, 9, 3) pontok? 5 pont Megoldás: Nem, mert AB (3, 12,

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. A szakirány 11. előadás Ligeti Péter turul@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ turul Nagy hálózatok Nagy hálózatok jellemzése Internet, kapcsolati hálók, biológiai hálózatok,... globális

Részletesebben

Gráfelméleti feladatok programozóknak

Gráfelméleti feladatok programozóknak Gráfelméleti feladatok programozóknak Nagy-György Judit 1. Lehet-e egy gráf fokszámsorozata 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6? 2. Lehet-e egyszer gráf fokszámsorozata (a) 3, 3, 4, 4, 6? (b) 0, 1, 2, 2, 2,

Részletesebben

LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások

LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI. Példák és megoldások LÁNG CSABÁNÉ POLINOMOK ALAPJAI Példák és megoldások Lektorálta Ócsai Katalin c Láng Csabáné, 008 ELTE IK Budapest 008-11-08. javított kiadás Tartalomjegyzék 1. El szó..................................

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.

Részletesebben

Diszkrét matematika 1. estis képzés

Diszkrét matematika 1. estis képzés Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2010.03.2. 1. Jelölje B n azt a gráfot, melynek csúcsai az n hosszúságú 0 1 sorozatok, két sorozat akkor és csak akkor van összekötve éllel, ha pontosan egy vagy két helyen különböznek. Adjuk

Részletesebben

Feladatok MATEMATIKÁBÓL

Feladatok MATEMATIKÁBÓL Feladatok MATEMATIKÁBÓL a 12. évfolyam számára III. 1. Számítsuk ki a következő hatványok értékét! 2. Írjuk fel gyökjelekkel a következő hatványokat! 3. Az ötnek hányadik hatványa a következő kifejezés?

Részletesebben

Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz tavasz

Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz tavasz Az eddig leadott anyag Diszkrét matematika II tárgyhoz 2011. tavasz A (+)-szal jelzett tételek bizonyítással együtt, a (-)-szal anélkül értendők! A tételek esetleges neve, vagy száma a fóliákkal van szinkronban,

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. tavasz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2016.

Részletesebben

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott Vektorterek =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott 40. Alteret alkotnak-e a valós R 5 vektortérben a megadott részhalmazok? Ha igen, akkor hány dimenziósak? (a) L = { (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) x 1 = x 5,

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2015. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 3. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2015.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. szeptember 21. 1. Diszkrét matematika 2. 2. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. szeptember 21. Gráfelmélet

Részletesebben

Síkbarajzolható gráfok Április 26.

Síkbarajzolható gráfok Április 26. Síkbarajzolható gráfok 2017. Április 26. Síkgráfok Egy gráf síkgráf=síkba rajzolható gráf, ha lerajzolható úgy a síkba, hogy élei csak a szögpontokban metszik egymást. Ha egy gráf lerajzolható a síkba,

Részletesebben

Séta, út, vonal, kör

Séta, út, vonal, kör KOMBINATORIKA GYAKORLAT osztatlan matematika tanár hallgatók számára Séta, út, vonal, kör Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2014. 1. Feladat. Legyen G egy gráf. Az a, b pontokra azt mondjuk, hogy a-ból elérhető

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 11. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF

EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF Összefoglaló Gráfok / EGYSZERŰ, NEM IRÁNYÍTOTT (IRÁNYÍTATLAN) GRÁF Adott a G = (V, E) gráf ahol a V a csomópontok, E az élek halmaza E = {(x, y) x, y V, x y (nincs hurokél) és (x, y) = (y, x)) Jelölések:

Részletesebben

Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3

Euler tétel következménye 1:ha G összefüggő síkgráf és legalább 3 pontja van, akkor: e 3 Síkgráfok Kuratowski-tétel: egy gráf akkor és csak akkor síkba rajzolható gráf, ha nincs olyan részgráfja, ami a K 5 -el, vagy a K 3,3 -altopologikusan izomorf (homeomorf). Euler síkgráfokra vonatkozó

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 7. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 10. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

1. Polinomok számelmélete

1. Polinomok számelmélete 1. Polinomok számelmélete Oszthatóság, egységek. Emlékeztető Legyen R a C, R, Q, Z egyike. Azt mondjuk, hogy (1) a g R[x] polinom osztója f R[x]-nek R[x]-ben, ha létezik olyan h R[x] polinom, hogy f (x)

Részletesebben

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18 Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök

Részletesebben

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27.

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < 2015. szeptember 27. Matematika 10 Másodfokú egyenletek Juhász László matematika és fizika szakos középiskolai tanár > o < 2015. szeptember 27. copyright: c Juhász László Ennek a könyvnek a használatát szerzői jog védi. A

Részletesebben

Érdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel)

Érdemes egy n*n-es táblázatban (sorok-lányok, oszlopok-fiúk) ábrázolni a két színnel, mely éleket húztuk be (pirossal, kékkel) Kombi/2 Egy bizonyos bulin n lány és n fiú vesz részt. Minden fiú pontosan a darab lányt és minden lány pontosan b darab fiút kedvel. Milyen (a,b) számpárok esetén létezik biztosan olyan fiúlány pár, akik

Részletesebben

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14.

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 14. Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 14. Többhatározatlanú polinomok 4.3. Definíció. Adott T test feletti n-határozatlanú monomnak nevezzük az ax k 1 1 xk n n alakú formális kifejezéseket,

Részletesebben

Hatvány, gyök, normálalak

Hatvány, gyök, normálalak Hatvány, gyök, normálalak 1. Számítsd ki a következő hatványok pontos értékét! 3 5 3 3 1 4 3 3 4 1 7 3 3 75 100 3 0,8 ( ) 6 3 1 3 5 3 1 3 0 999. 3. Számológép használata nélkül számítsd ki a következő

Részletesebben

1. A maradékos osztás

1. A maradékos osztás 1. A maradékos osztás Egész számok osztása. 223 = 7 31 + 6. Visszaszorzunk 223 : 7 = 31 21 13 7 6 Állítás (számelméletből) Minden a, b Z esetén, ahol b 0, létezik olyan q, r Z, hogy a = bq + r és r < b.

Részletesebben

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...

10. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:... 1. Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:........................................... (1) (1 3) = (3 1). (hamis) () (1 ) = ( 1). (igaz). Feladat. Döntse el, hogy igaz vagy hamis. Név:...........................................

Részletesebben

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat 8.2. Gyűrűk Fogalmak, definíciók: Gyűrű, kommutatív gyűrű, integritási tartomány, test Az (R, +, ) algebrai struktúra gyűrű, ha + és R-en binér műveletek, valamint I. (R, +) Abel-csoport, II. (R, ) félcsoport,

Részletesebben

Egy negyedikes felvételi feladattól az egyetemi matematikáig

Egy negyedikes felvételi feladattól az egyetemi matematikáig Egy negyedikes felvételi feladattól az egyetemi matematikáig Tassy Gergely Veres Péter Gimnázium, Budapest ELTE Matematikatanár-délután Kombinatorika és gráfelmélet a középiskolában 2015. február 18. I.

Részletesebben

Gráfelméleti alapfogalmak

Gráfelméleti alapfogalmak KOMBINATORIKA GYAKORLAT osztatlan matematika tanár hallgatók számára Gráfelméleti alapfogalmak Gyakorlatvezetõ: Hajnal Péter 2014. 1. Feladat. Az alábbiakban egy-egy egyszerű gráfot definiálunk. Rajzoljuk

Részletesebben

1. A Horner-elrendezés

1. A Horner-elrendezés 1. A Horner-elrendezés A polinomok műveleti tulajdonságai Polinomokkal a szokásos módon számolhatunk: Tétel (K2.1.6, HF ellenőrizni) Tetszőleges f,g,h polinomokra érvényesek az alábbiak. (1) (f +g)+h =

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.C szakirány

Diszkrét matematika 2.C szakirány Diszkrét matematika 2.C szakirány 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 2.C szakirány 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék 2017.

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2018. március 9. 1. Diszkrét matematika 2. 4. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Komputeralgebra Tanszék 2018. március 9. Gráfelmélet Diszkrét

Részletesebben

Az egyszerűsítés utáni alak:

Az egyszerűsítés utáni alak: 1. gyszerűsítse a következő törtet, ahol b 6. 2 b 36 b 6 Az egyszerűsítés utáni alak: 2. A 2, 4 és 5 számjegyek mindegyikének felhasználásával elkészítjük az összes, különböző számjegyekből álló háromjegyű

Részletesebben

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a

Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg 1) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a Feladatok, amelyek gráfokkal oldhatók meg ) A königsbergi hidak problémája (Euler-féle probléma) a b d c A megfelelő gráf: d a b c ) Egy szórakoztató feladat (Hamilton-féle probléma) Helyezzük el az,,,...,

Részletesebben

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles

0-49 pont: elégtelen, pont: elégséges, pont: közepes, pont: jó, pont: jeles Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2013. jan. 10. Név: Neptun kód: Idő: 180 perc Elm.: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. Fel. össz.: Össz.: Oszt.: Az elérhető pontszám 40 (elmélet) + 60 (feladatok)

Részletesebben

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.

Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt. Matematika szigorlat, Mérnök informatikus szak I. 2009. máj. 12. Név: Nept. kód: Idő: 1. f. 2. f. 3. f. 4. f. 5. f. 6. f. Össz.: Oszt.: 180 perc 0-49 pont: elégtelen, 50-61 pont: elégséges, 62-73 pont:

Részletesebben

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) Matematika A2c gyakorlat Vegyészmérnöki, Biomérnöki, Környezetmérnöki szakok, 2017/18 ősz 1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás) 1. Valós vektorterek-e a következő

Részletesebben

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy

Nagy Gábor  compalg.inf.elte.hu/ nagy Diszkrét matematika 3. estis képzés 2018. ősz 1. Diszkrét matematika 3. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( )

MM CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT ( ) MM4122-1 CSOPORTELMÉLET GYAKORLAT (2008.12.01.) 1. Ismétlés szeptember 1.szeptember 8. 1.1. Feladat. Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyek igazak és melyek (1) Az A 6 csoportnak van 6-odrend

Részletesebben

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia

2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia 2012. október 2 és 4. Dr. Vincze Szilvia Tartalomjegyzék 1.) Az egyváltozós valós függvény fogalma, műveletek 2.) Zérushely, polinomok zérushelye 3.) Korlátosság 4.) Monotonitás 5.) Szélsőérték 6.) Konvex

Részletesebben

Diszkrét matematika 2.

Diszkrét matematika 2. Diszkrét matematika 2. 2019. május 3. 1. Diszkrét matematika 2. 10. előadás Fancsali Szabolcs Levente nudniq@cs.elte.hu www.cs.elte.hu/ nudniq Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2019. május

Részletesebben

1. Egész együtthatós polinomok

1. Egész együtthatós polinomok 1. Egész együtthatós polinomok Oszthatóság egész számmal Emlékeztető (K3.1.3): Ha f,g Z[x], akkor f g akkor és csak akkor, ha van olyan h Z[x], hogy g = fh. Állítás (K3.1.6) Az f(x) Z[x] akkor és csak

Részletesebben

1. zárthelyi,

1. zárthelyi, 1. zárthelyi, 2009.10.20. 1. Írjuk fel a tér P = (0,2,4) és Q = (6, 2,2) pontjait összekötő szakasz felezőmerőleges síkjának egyenletét. 2. Tekintsük az x + 2y + 3z = 14, a 2x + 6y + 10z = 24 és a 4x+2y

Részletesebben

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.

1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet. 1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2016. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben

Ramsey-féle problémák

Ramsey-féle problémák FEJEZET 8 Ramsey-féle problémák "Az intelligens eljárást az jellemzi, hogy még a látszólag megközelíthetetlen célhoz is utat nyit, megfelelő segédproblémát talál ki és először azt oldja meg." Pólya György:

Részletesebben

Polinomok maradékos osztása

Polinomok maradékos osztása 14. előadás: Racionális törtfüggvények integrálása Szabó Szilárd Polinomok maradékos osztása Legyenek P, Q valós együtthatós polinomok valamely x határozatlanban. Feltesszük, hogy deg(q) > 0. Tétel Létezik

Részletesebben

1. Szerencsére elmúlt a veszély, pánikra semmi ok. Luke Skywalker ugyan kivont lézerkarddal ment órára a jediképzőben, de a birodalmi gárda

1. Szerencsére elmúlt a veszély, pánikra semmi ok. Luke Skywalker ugyan kivont lézerkarddal ment órára a jediképzőben, de a birodalmi gárda 1. ZH 2012. X. 11. 15 Mobiltelefon még kikapcsolt állapotban sem lehet a padon vagy a hallgató kezében. Minden egyes feladat helyes megoldása 10 pontot ér. A dolgozatok értékelése: 0-23 pont: 1, 24-32

Részletesebben

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Diszkrét matematika 2. estis képzés Diszkrét matematika 2. estis képzés 2018. tavasz 1. Diszkrét matematika 2. estis képzés 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Komputeralgebra Tanszék

Részletesebben