Közelítő és szimbolikus számítások haladóknak. 9. előadás Numerikus integrálás, Gauss-kvadratúra

Átírás

1 Közelítő és szimolikus számítások hldókk 9. elődás Numerikus itegrálás, Guss-kvdrtúr

2 Numerikus itegrálás

3 Numerikus itegrálás Newto-Leiiz szály def I f f d F F Htározott Riem-itegrálok umerikus módszerekkel vló közelítése 3

4 Korá tult foglmk Kvdrtúr-formul súlyozott összeg Iterolációs kvdrtúr-formul megkhtó z lotjir felírt Lgrge-féle iterolációs oliom kiitegrálásávl Newto-Cotes formul f d f i ekvidisztás módo válsztuk lotokt Q w i f i 4

5 Korá tult foglmk Nyitott formul htárok em lotok Zárt formul htárok is lotok Éritő-formul Tréz-formul 5 f f f I f f I

6 Kvdrtúr-formul redje Q Defiíció. A kvdrtúr-formul redje z r szám, h Q ármely legfelje r-ed fokú def oliomr otos 0 R I Q, de létezik oly r-ed fokú q oliom, mire már em otos, tehát q 0. Q R A feti defiíciót átfoglmzhtjuk: A red r, r h Q otos z,,,..., htváyfüggvéyekre, de em otos r -re. 6

7 A red meghtározás Az átfoglmzott defiíció ljá red meghtározásához csk véges sok legfelje oliomot kell megvizsgáli. H z lotokt és súlyokt ismeretleek tekitjük, kkor egy r egyeletől álló változós emlieáris egyeletredszert kell megvizsgáli. 7

8 A red meghtározás 8 r r r r d w w w d w w w d w w w M Sejtés: r

9 Felső korlát Q Tétel. A lotos kvdrtúr-formul redje legfelje - lehet. Bizoyítás. Tekitsük q ω -ed fokú oliomot, holω... ω d I q Q q wi i 0 < ω Tehát erre már em otos formul.. i 0 9

10 Péld Htározzuk meg z és lotokhoz trtozó mimális otosságú formulát! Tekitsük z lái egyeletredszert! Eek egyetle megoldás trézformulához vezet: 0 d w w d w w w w f f f Q

11 Guss-kvdrtúr

12 Súlyfüggvéy Tekitsük z lái itegrált! ρ A umerikus közelítést továr is I f Q f w f I f f ρ d rögzített, emegtív itegrálhtó ú. súlyfüggvéy lkú kvdrtúr-formulávl végezzük, mi elicit módo súlyfüggvéyt em trtlmzz. i i i

13 Súlyfüggvéy Oly súlyfüggvéyekkel fogllkozuk, melyek teljesítik következő feltételeket: ρ 0 és ρ -ek legfelje véges sok zérushelye v [,]-e ρ folytoos [,]-e 3

14 Alklmzások H sok oly függvéy itegrálját kell kiszámíti, melyek közös téyezőt trtlmzk érdemes közös téyezőt súlyfüggvéyek vei. Vlószíűségszámítási feldtok Fiziki, kémii jellegű rolémák Korá tuljdokée ρ seciális esettel dolgoztuk. 4

15 f Az iterolációs kvdrtúr formulákr áltláosítások ρ d Súlyok: Q f i w L ρ d i def i f i L i ρ d Hsoló átlkíthtók z iterolációs kvdrtúr-formulákr votkozó számos lvető tétel kélet hiár, redre, st. 5

16 Guss-kvdrtúr Htározzuk meg, hogy melyek legjo kvdrtúr-formulák, melyekek mimális redjük. Defiíció. Adott [,] itervllumhoz és ρ súlyfüggvéyhez trtozó mimális redű kvdrtúr-formulákt Guss-féle kvdrtúrformulákk evezzük. 6

17 Mikor lehet red mimális? Tétel. Az [,] itervllumhoz és ρ súlyfüggvéyhez trtozó lotos Q iterolációs kvdrtúr-formul redje kkor és csk kkor -, h ármely legfelje --ed fokú oliomr ω ρ d 0. 7

18 Bizoyítás Szükségesség A ω oliom fokszám legfelje -, így otos rá formul: ω ρ d i w i i ω i 0. 8

19 Bizoyítás Elegedőség Legye g egy tetszőleges legfelje -- ed fokú oliom. Végezzük el egy euklideszi osztást g -e ω -szel: g q ω r hol q, r. 9

20 Bizoyítás Az elői osztást felhszálv: g ω ρ d q ω ρ d r ρ d 0 r Q. Q g 0

21 Ortogolitás Defiíció. Az f, g C[, ] függvéyekek z [,] itervllumhoz és ρ súlyfüggvéyhez trtozó első szorztát z def [ f, g] f g ρ d itegrálll értelmezzük. Az f és g függvéyek ortogoálisk, h [ f, g] 0.

22 C [, ] A euklideszi tér Megmutthtó, hogy z elői defiíció szerelő formul vló első szorztot defiiál. A kott euklideszi teret, így jelöljük: C [, ]. Az egyszerűség kedvéért em tütetjük fel külö súlyfüggvéyt, és első szorzt felírásáál elhgyjuk z rgumetumot: f ] -t íruk [ f, g ] helyett. [, g

23 Az előző tétel átfoglmzás Tétel. Az [,] itervllumhoz és ρ súlyfüggvéyhez trtozó tetszőleges lotos Q iterolációs kvdrtúr-formul redje kkor és csk kkor -, h z lotjir felírt ω -ed fokú oliom ortogoális ármely legfelje --ed fokú oliomr. Megjegyzés. Fotos szeree v oliomokól álló P, ] C [, ] ltérek. [ 3

24 Ortogoális oliomredszer Defiíció. Rögzített [,] itervllumhoz és ρ súlyfüggvéyhez trtozó ortogoális oliomredszere oliomok oly 0,,...,,... soroztát értjük, hol [, ] ρ d i i 0, h i. 4

25 Ortogoális oliomredszer Ortogoális oliomredszert tekitve { 0,,...,,...} P [, ] tér ázis, vgyis mide --ed fokú q P [, ] oliom egyértelműe felírhtó így: q i0 α. ortogoális mide legfelje --ed fokú q oliomr. i i 5

26 Ortogoális oliomredszer létezése rekurzió ortogoális oliomredszert htároz meg, hol tetszőleges [,] itervllumot és súlyfüggvéyt véve. 6 0, 0 γ β, ], [ ], [ 0,, ], [ ], [ def def γ γ β ρ

27 Ortogoális oliomredszer uicitásáról H { } és { q } zoos itervllumhoz és súlyfüggvéyhez trtozó ortogoális oliomredszerek, kkor megdhtó oly { α } számsorozt, hogy q α, mide természetes számr. 7

28 Ortogoális oliomok gyökeiek eloszlásáról A { } ortogoális oliomredszer eleméek i gyökeire igz, hogy i gyökök vlósk, egyszeresek és z, itervllum vk. gyökei szétválsztják gyökeit, < < < < <... < < c gyökök mideütt sűrű vk,-e, végtele sok gyök v mide részitervllum. < 8

29 Guss-kvdrtúrák Mimális redű kvdrtúr-formulát kuk, h oliom zérushelyeihez trtozó iterolációs kvdrtúr-formulát vesszük. A Guss-kvdrtúrák tuljdoságit következő tétele foglljuk össze. 9

30 Guss-kvdrtúrák Tetszőleges [,] itervllum és ρ súlyfüggvéy eseté Guss-kvdrtúr egyértelműe létezik és redje - lotji oliom gyökei, súlyit z lái itegrálok dják: Q c súlyok ozitívk.,..., def w i ρ d i i 30

31 A Guss-kvdrtúr súlyi A Guss-kvdrtúr súlyit úgy is megkhtjuk, hogy z lotokt ehelyettesítjük z ortogoális oliomok és megoldjuk z lái lieáris egyeletredszert 0 i : [ 0, 0], h i 0 ω j i j 0, h i j 3

32 Megjegyzés Kidolgozhtók Guss-formuláko luló kvdrtúrszályok is, de hszáltuk ehézkes, mert súlyok értéke áltlá függ z itegrálási itervllumtól. Hszáli lehet ρ súlyfüggvéyhez trtozó Legedre-Guss fomulákt. 3

33 33 Péld Vezessük le [0,] itervllumhoz és súlyfüggvéyhez trtozó Gusskvdrtúr formulát lot eseté. ρ 0, 0 γ β, ], [ ], [ 0,, ], [ ], [ def def γ γ β 0 β γ β

34 Péld [,],] [ 0 0 d d β 5 3 d d w 3 0 ρ f f Q

35 Péld 3 si 0 Az itegrál otos értéke: ρ π π 3 8π d A súlyfüggvéyhez trtozó 5 lotos Guss-kvdrtúrávl vló közelítés eredméye:

36 Gykorló feldtok 36

37 Gykorló feldtok Vezesse le [0,] itervllumhoz és ρ súlyfüggvéyhez trtozó Gussféle kvdrtúr formulát 3 lot eseté. 37

38 Gykorló feldtok Mutss meg, hogy ω d otos kkor lesz miimális, h z U, U,..., U 0 rekurzióvl defiiált -edik másodfjú Cseisev-oliom zérushelyeit vesszük lotokk. U U 38

39 Gykorló feldt Közelítse [0,] itervllumhoz és z zoos súlyfüggvéyhez trtozó 5 lotos Guss-kvdrtúrávl z lái itegrált. 0 3 siπ d 39

40 Irodlomjegyzék Joh H. Mthews, Numericl Methods for Mthemtics, Sciece, d Egieerig, Secod Editio, Pretice Hll, Eglewood Cliffs, 99. Mihálykó Cs Virágh Jáos, Közelítő és szimolikus számítások. Feldtgyűjteméy, Tyote, 0. Virágh Jáos, Numerikus mtemtik, JATEPress, Szeged,