Minimum kérdések a Lineáris algebra vizsga beugró részéhez. Az R n vektortér

Átírás

1 Miiu kérdések Lieáris lger vizsg eugró részéhez z R vektortér. Lieáris koiáció, triviális lieáris koiáció fogl Legyeek,,, k -dieziós vektorok és λ, λ,, λ k sklárok. Ekkor λ + λ + + λ k k R vektort z,, k vektorok λ,, λ k sklárokkl vett lieáris koiációják evezzük. H lieáris koiáció z összes sklár ull, kkor triviális lieáris koiációról eszélük. Triviális lieáris koiáció eredéye (árilye,, k vektorok eseté) idig ullvektor.. Lieáris függetleség, lieáris összefüggőség fogl z,, k R vektorokt lieáris függetleekek evezzük, h előlük csk triviális lieáris koiációvl (csup ull együtthtóvl) állíthtó elő ullvektor. z,, k R vektorokt lieáris összefüggőekek hívjuk, h előlük e triviális lieáris koiációvl is előállíthtó ullvektor. 3. Vektorhlz rgják fogl z {,, k } R vektorhlz rgj r, h vektorok közül kiválszthtó r dr lieáris függetle vektor, de árely r + dr vektor ár lieáris összefüggő. 4. Geerátorredszer, ázis fogl Legye G R egy vektorhlz. G geerátorredszer z R vektortére, h G eleeiől lieáris koiációvl z R vektortér árely vektor előállíthtó. Legye B R egy vektorhlz, ely lieáris függetle és geerátorredszer. Ekkor B-t z R vektortér egy ázisák hívjuk. 5. ltér fogl H R vektorhlzt ltérek hívjuk z R vektortére, h árely, H vektorok és árely λr eseté + H és λ H is teljesül. (H zárt vektorűveletekre.)

2 Mátriok. Mátri trszpoáltják fogl z -es átri trszpoáltjá zt z es átriot értjük, elyek (i,j)-edik elee egyelő z átri (j,i)-edik eleével. Jel.: T ( trszpoált átriot z eredeti átriól sorok és oszlopok felcserélésével kpjuk.). Speciális átriok (égyzetes, digoális, egységátri, szietrikus, ullátri) fogl Négyzetes átri: -es átri Digoális átri: oly égyzetes átri, elyek főátló kívüli eleei id ullák. Egységátri: oly digoális átri, elyek főátlójá egyesek állk. Szietrikus átri: oly =( ij ) égyzetes átri, elye ij = ji i,j =,,. Nullátri: oly átri, elyek ide elee ull. 3. Mátriűveletek (összedás, sklárrl vló szorzás, átriszorzás) defiíciój Mátriok összedás: Legye = ( ij ) és B = ( ij ) két zoos éretű átri. Ekkor és B összege: + B = ( ij + ij ) Mátri sklárrl vló szorzás: Legye = ( ij ) és λr. Ekkor z átri λ-szoros: λ = (λ ij ) Mátriok szorzás: Legyeek = ( ij ) és B = ( jk ) p átriok. Ekkor z és B átriok szorzt z C p-s átri, elyek (i,k)-dik elee: c ik = i k + i k + + i k Két átri összeszorozhtóságák feltétele, hogy z első átri oszlopik szá egegyezze ásodik átri sorik száávl. 4. Mátri rgják fogl Egy átri oszloprgjá z oszlopvektoriól álló vektorhlz rgját értjük, íg egy átri sorrgjá sorvektoriól álló vektorhlz rgját értjük

3 Igzolhtó, hogy árely átri eseté sor- és oszloprg egegyezik. Ezt közös értéket rövide átri rgják evezzük: r() = r s () = r o () 5. Négyzetes átri ivertálhtóság, z iverz átri fogl Legye egy -es égyzetes átri. -t ivertálhtók evezzük, h v oly X -es átri, elyre X = X = E. Ekkor X-t z átri iverzéek hívjuk és - -gyel jelöljük. 6. Mi szükséges és elégséges feltétele k, hogy egy égyzetes átri ivertálhtó legye? z -es átri ivertálhtó r () =. z -es átri ivertálhtó det() Részátri fogl Legye = ( ij ) -es átri. z átri ij elehez trtozó részátriá zt z (-)(-)- es átriot értjük, elyet z átriól k i-edik sorát és j-edik oszlopát elhgyv kpuk. Jel.: ij. 8. Négyzetes átri deteriásák fogl () Legye = [ ] -es átri. Ekkor deteriás: det () =. () Legye = ( ij ) -es átri, hol. Ekkor deteriás: (első sor szeriti kifejtés) j det( ) ( ) j det( 9. Isertesse sziguláris és esziguláris átriok jellezőit! Sziguláris átriokr z lái állítások ekvivlesek: j j ) oszlopvektorok lieáris összefüggőek r( ) ( átri e teljes rgú) e ivertálhtó det() = 0 Nesziguláris átriokr z lái állítások ekvivlesek: oszlopvektorok lieáris függetleek r( ) = ( átri teljes rgú) ivertálhtó det() 0

4 Lieáris egyeletredszerek. Írj fel lieáris egyeletredszerek áltláos lkját részletes forá, vektoregyelet forájá, illetve átrios írásóddl! Részletes lk: Vektoregyelet for: hol: Mátrios for: hol:. Hoogé és ihoogé egyeletredszer fogl z = lieáris egyeletredszert hoogéek evezzük, h = o. z = lieáris egyeletredszert ihoogéek evezzük, h o. 3. Mi lieáris egyeletredszerek egoldhtóságák szükséges és elégséges feltétele? z = li. egyeletredszer egoldhtó r () = r ([,]), hol [,] z egyeletredszer kiővített átri:,,,,., ) (

5 4. Mit tuduk egy hoogé lieáris egyeletredszer egoldásvektorik szááról? z = o hoogé lieáris egyeletredszer idig egoldhtó, z = o egoldásvektort triviális egoldásk evezzük. z = o hoogé li. egyeletredszerek csk triviális egoldásvektor v r() =, hol z iseretleek szá. z = o hoogé li. egyeletredszerek végtele sok egoldásvektor v r() <, hol z iseretleek szá. 5. Mit tuduk egy ihoogé lieáris egyeletredszer egoldásvektorik szááról? z = ihoogé li. egyeletredszer e oldhtó eg r () < r ([,]). z = ihoogé li. egyeletredszerek egy dr egoldásvektor v r() = r ([,]) =, hol z iseretleek szá. z = ihoogé li. egyeletredszerek végtele sok egoldásvektor v r() = r ([,]) <, hol z iseretleek szá. 6. Isertesse Crer szályt! Tekitsük z = li. egyeletredszert, hol z együtthtóátri égyzetes: = [ ]. Legye D = det(), D = det([ ]), D = det([ ]), D = det([ ]). Ekkor: D k = D k, k =,,.

6 Lieáris leképezések. Lieáris leképezés, lieáris trszforáció fogl z : R R típusú fv.-t lieáris leképezések evezzük, h árely, y R, R eseté: y y dditív hoogé H speciális =, kkor lieáris trszforációról eszélük.. Mgtér, képtér fogl Legye : R R lieáris leképezés. z leképezés gtere oly R -eli vektorokól áll, elyekhez z R ullvektorát redeli: ker Lieáris leképezés képtere: képvektorok hlz: 3. Lieáris leképezés átriák fogl R Legye : R R lieáris leképezés, e,,e koikus ázis R -e. z li. leképezés (koikus ázisokr votkozó) átriá zt z -es átriot értjük, elyek oszlopvektori z (e ),, (e ) képvektorok. Jel.: M(), 4. Mi szükséges és elégséges feltétele egy lieáris leképezés ijektivitásák? o i ( ) R R z : R R lieáris leképezés ijektív (ivertálhtó) ker() = o}. 5. Lieáris trszforáció sjátértékéek, sjátvektorák fogl z lieáris trszforáció sjátértékéek evezzük R száot, h v oly vr, vo vektor, elyre ( v) v teljesül. Ekkor vr vektort sjátértékhez trtozó sjátvektork evezzük. 6. Négyzetes átri sjátértékéek, sjátvektorák fogl Legye -es átri. z átri sjátértékéek evezzük R száot, h v oly v -es oszlopvektor, hol vo, és elyre v = v teljesül. Ekkor v oszlopvektort sjátértékhez trtozó sjátvektork evezzük.

7 7. Krkterisztikus polio, krkterisztikus egyelet fgl Legye -es átri. z égyzetes átri krkterisztikus poliojá P() = det(e) polioot, krkterisztikus egyeleté P() = det(e) = 0 egyeletet értjük. Lieáris trszforáció krkterisztikus poliojá átriák krkterisztikus polioját értjük. Lieáris trszforáció krkterisztikus egyeleté átriák krkterisztikus egyeletét értjük.

8 Skláris szorztos terek. Skláris szorzt fogl R -e Legye = (,,, ) és = (,,, ) két R -eli vektor. Ekkor z és vektorok skláris szorztá (sklárszorztá) z lái száot értjük: Jelölés:,, Vektor oráják és egységre orált vektork fogl Legye R. Ekkor z vektor oráj (hossz): Jelölés:, Egy R vektort egységre oráltk (egységvektork) evezük, h = 3. Ortogoális vektorok, ortogoális vektorhlz, ortoorált vektorhlz fogl Legye és két R -eli vektor. z és vektorokt ortogoáliskk evezzük, h skláris szorztuk ull. Egy H R vektorhlz ortogoális, h párokét ortogoális, ullvektortól külööző vektorok lkotják. Egy H R vektorhlz ortoorált, h ortogoális és vektori egységre oráltk. 4. Vektorhlz ortogoális kopleeteréek fogl Legye S R, S., z R vektort S-re ortogoálisk hívjuk, h ortogoális z S vektorhlz ide vektorár. z S vektorhlz ortogoális kopleetere z S-re ortogoális vektorok összessége: S = { R árely s S eseté, s = 0}. 5. ltérre votkozó ortogoális projekció fogl Legye H ltér z R vektortére. Tekitsük következő leképezést: : R R, h,

9 hol = h + h és h H, h H. feti leképezést H ltérre vló ortogoális projekciók (erőleges vetítések) evezzük. () vektort z vektor H ltérre eső ortogoális vetületvektorák hívjuk.

10 sztrkt vektorterek. sztrkt vektortér fogl Legye V egy hlz, egy test (pl. vlós vgy kople szátest), és legyeek dottk + : V V V és : V V űveletek. Tegyük fel, hogy árely,, c V, λ, eseté V: ( + ) + c = + ( + c ) (sszocitivitás) V: + = + (kouttivitás) V3: Létezik oly ov ele, hogy árely V eseté + o =. (ullele létezése) V4: Bárely V eseté létezik oly V, hogy + = o, hol =(-), z elletettje. (elletett létezése) V5: (λ+μ) = λ + μ V6: λ ( + ) = λ + λ V7: λ (μ ) = (λμ) V8: = Ekkor V-t test feletti vektortérek, V eleeit vektorokk, eleeit sklárokk hívjuk. =R eseté vlós vektortérről, =C eseté kople vektortérről eszélük.. sztrkt vektorterek közti lieáris leképezés fogl Legyeek V és W zoos test ( ) feletti vektorterek. z : V W leképezést lieárisk evezzük, h árely,y V és eseté (+y)= ()+ (y) ()= () dditív hoogé 3. Lieáris izoorfizus és izoorf vektorterek fogl ijektív lieáris leképezéseket lieáris izoorfizusokk evezzük. V és W vektorterek izoorfk, h létezik : V W lieáris izoorfizus. Jel.: V W