Lineáris kódok. sorvektor. W q az n dimenziós s altere. 3. tétel. t tel. Legyen K [n,k,d] kód k d (k 1). Ekkor d(k)=w(k)

Átírás

1 Defiíci ció. Legye S=F q. Ekkor S az F q test feletti vektortér. r. K lieáris kód, k ha K az S k-dimeziós s altere. [,k] q vagy [,k,d] q. Jelölések: F u eseté u oszlopvektor, u T (, k ) q sorvektor. W q az dimeziós s tér t r k-dimezik dimeziós s altere. 3. tétel. t tel. Legye K [,k,d] kód k d (k ). Ekkor d(k)=w(k) Bizoyítás. Legye d=d(k), w=w(k). Ekkor u, v K, melyre d(u, v)=d. A kód k d lieáris, így a két k t vektor külöbsk bsége is kódszk dszó: u v=u K. w(u )=d, így va d súlys lyú vektor K-ba, K ezért w d. w w=w(k) miatt u K: w(u)=w, d(u,)=w, ezért d w. d d=w 27. május m 3. Lieáris kódok Hibajavító kódok 2.

2 Defiíci ció. a, b skalár (belsı) szorzata F q a és b ortogoálisak lisak,, ha (a,( b)=. ( a, b ) = a T b = a i i = bi a öortogoális,, ha (a,( a)=. (, k ) W q ortogoális altere midazo vektoraiak a halmaza, melyek mide vektorára ra merılegesek: 4. tétel. t tel. (, ) az ( k) -dimeziós altere. W q k (, k ) W q F q F q (, k ) W q (, k ) (, k W q = W q 27. május m 3. ) Hibajavító kódok 2. 2

3 Defiíci ció. (, k ) Legye W q [,k] kód k d (>k). A kód k geerátorm tormátrixa trixa a (, k ) W q mátrix. egy bázisb zisáak elemeibıl, l, mit sorvektorokból álló G A kód k d (parit( paritás-)elleırzı mátrixa a W (, k ) q egy bázisb zisáak elemeibıl, l, mit sorvektorokból álló H mátrix. m Megjegyzés. Egy kódak k általába több t geerátorm tormátrixa trixa és s több t paritáselle selleırzı mátrixa is lehet. 27. május m 3. Hibajavító kódok 2. 3

4 5. tétel. t tel. Legye az F q fölötti [,k] kód k d geerátorm tormátrixa trixa G, elleırz rzı mátrixa H.. Ekkor G (k ) )-es, k ragú,, H (( k) k) ) )-es, k k ragú F q fölötti mátrix. m 2. H GH T =. 3. v F q akkor és s csak akkor kódszk dszó,, ha H v=. H Bizoyítás.. G (k ) )-es, k ragú,, H (( k) k) ) )-es, k k ragú mátrix: Következméye a defiíci cióak. 2. H G T =: A szorzás s sorá H egy-egy soráak a skalárszorzat rszorzatát képezzük k G egy-egy sorával. Mide skalárszorzat eredméye, mert H sorvektorai merılegesek G mide egyes sorvektorára. ra. A H GH T szorzat egy csupa -ból álló ( k)xk méretm rető mátrix. 27. május m 3. Hibajavító kódok 2. 4

5 3. Legye v F q kódszó.. Ekkor merıleges H mide sorára, ra, tehát t H v H v eredméye ( k) elemő ullvektor. F q Fordítva: Ha v em kódszk dszó,, akkor em merıleges H mide sorára, ra, s így a H v H v szorzat eredméye sem ullvektor. 27. május m 3. Hibajavító kódok 2. 5

6 Kódolás s lieáris kóddal: k Legye K [,k] q kód. A kódszavak k az dimeziós s tér t r k dimeziós s alteréek szavai, és s az altér r bármely b bázisa b alkalmas geerátorm tormátrix trix képzk pzésére. Közleméyszavakhoz kódszavakat k redelük: k: egy rögzr gzített G geerátorm tormátrixszal trixszal dolgozuk. A k közleméyszavak k hosszú vektorok, az F q elemei. u v F q k F q egy lehetséges közlemk zleméyszó és s u T G=v T. vektor az u kódja. A kódolk dolás s sémája: s közleméyszavak kódszavak k F q F q k u F q u T G=v v F q u v 27. május m 3. Hibajavító kódok 2. 6

7 8. példa. p Az 6. példa p kétszeres k ismétl tlés s kódja k lieáris kód, k geerátorm tormátrixa trixa G=(I k I k ). (I k kxk méretm rető egységm gmátrix) A háromszoros h ismétl tlés s kódja k szité lieáris, geerátorm tormátrixa trixa G=(I k I k I k ). Hasolóa a lieáris a paritáselle selleırzı kód d is, geerátorm tormátrixa trixa G=(I k I). ( I csupa -esb esbıl álló oszlopvektor.) 27. május m 3. Hibajavító kódok 2. 7

8 9. példa. p Az alábbi kódok k esetébe állapítsuk meg a miimális távolst volságot, a hibajelzı,, illetve hibajavító képességet, valamit azt, hogy melyik lieáris, a lieárisokak pedig adjuk meg a geerátorm tormátrixát. t. a. Legye k=3, =4, és s az üzeetekhez az alábbi szabállyal redeljük k hozzá a kódszavakat. k (α, α 2, α 3 ) (α, α 2, α 3, α +α 2 +α 3 +) d=2, mert ha az üzeetbe egy jelet megváltoztatuk, a kódszk dszóba két t jel változik. v d d-= hibajelzı és s = hibajavító. 2 A kód k d em lieáris, mert példp ldául a vektor em kódszk dszó. 27. május m 3. Hibajavító kódok 2. 8

9 b. Legye k=3, =5, és s az üzeetekhez az alábbi szabállyal redeljük hozzá a kódszavakat. k (α, α 2, α 3 ) (α, α 2, α 3, α, α 2 +α 3 ) d=2, mert ha az üzeetbe egy jelet megváltoztatuk, a kódszk dszóba két k jel változik. v d-= hibajelzı d 2 = hibajavító. A kód k d lieáris G = 27. május m 3. Hibajavító kódok 2. 9

10 c. k=3, =5, és s az üzeetekhez az alábbi szabállyal redeljük hozzá a kódszavakat. k (α, α 2, α 3 ) (α, α 2, α 3, α, max (α( 2, α 3 )) d=, mert va egymást stól l távolst volságra lévıl két t kódszk dszó. Például ( ) és s ( ). A kód k d d-= d hibajelzı és s hibajavító. A kód k d em lieáris, mert va két k t olya kódszk dszó,, amelyek összege em kódszk dszó,, s így az összeadás (valamit a kivoás s is) kivezet a kódszavak k halmazából. l. Például u T = ( ) és u 2T = ( ) kódszavak, k de u T + u 2T = ( ) em kódszk dszó. 27. május m 3. Hibajavító kódok 2.

11 6. tétel. t tel. Ha egy [,k] kód k d geerátorm tormátrixa trixa G=(I k P) 27. május m 3. k k (k ( k) alakú,, akkor a H = ( P( T I -k ) mátrix m a kód k d elleırz rzı mátrixa. ( k) k) ( k) k) k (P tetszıleges mátrix m.) Bizoyítás. Elég g belátuk azt, hogy H GH T =. Blokkokéti ti szorzással ssal a következıt t kapjuk: ( T ) I k T T P I = P + P = k Megjegyzés. Hasolóa a igaz az is, hogy ha egy [,k] kód k d elleırz rzı mátrixa H = (I -k R) alakú,, ahol R tetszıleges (( k) k) k) méretm rető mátrix, akkor a G=( R T I k ) mátrix m megfelel geerátorm tormátrixak. trixak. A kételemő test fölött f P P helyett P is irható,, mert F 2 -be =. P T Hibajavító kódok 2.

12 . példa. p Adjuk meg a 9. példp ldába szereplı lieáris kód k d elleırz rzı mátrixát t a G = geerátorm tormátrix trix felhaszálásával. Az elızı tételt telt alkalmazzuk. H = 27. május m 3. Hibajavító kódok 2. 2

13 7. tétel. t tel. Egy [,k,d] kód k d H elleırz rzı mátrixába va d lieárisa összefüggı oszlop, de bármely b d-él d l kevesebb oszlop lieárisa függetle. f Bizoyítás. Egy [,k,d] kód k d H elleırz rzı mátrixába va d lieárisa összefüggı oszlop: a következk vetkezı módo lehet ilyet találi: li: d=d(k)=w(k) miatt u K: w(u)=d. u ba d helye em ulla érték áll, a többi t helye ulla. H u=: H oszlopaiak vesszük k a lieáris kombiáci cióit, it, és u elemei az együtthat tthatók. A lieáris kombiáci cióba potosa d számú együtthat ttható külöbözik ullától. l. A megfelelı d oszlop H-ba H lieárisa összefüggı. 27. május m 3. Hibajavító kódok 2. 3

14 H-ba bármely b d-él d l kevesebb oszlop lieárisa függetle: f Legye <d <d és s tegyük k fel, hogy H-ba H va d összefüggı oszlop. Így va H oszlopaiak olya lieáris kombiáci ciója, amelybe ez a d oszlop em mid ullával szorzódik, a többi t együtthat ttható azoba mid ulla, s az eredméy a ullvektor. Az együtthat tthatókból l készk szítsük egy u vektort. Egyrészt H uh =, emiatt u kódvektor. Másrészt szt w(u )=d, így a kód k d súlya s és s ezzel együtt a távolsága kisebb lee d-él, d ami elletmodás. Beláttuk, hogy mide d-él d l kevesebb oszlop lieárisa függetle H-ba. H 27. május m 3. Hibajavító kódok 2. 4

15 . példa. p Adjuk meg a. példp ldába szereplı lieáris kód k H = elleırz rzı mátrixáak segíts tségével a kód k d távolst volságát és hibajelzı,, valamit hibajavító képességét Az elleırz rzı mátrixba va két k összefüggı oszlop (a 2. és s a 3.), bármely b oszlop ömagába lieárisa függetle f (em szerepel köztk ztük k a ullvektor), Így d=2, -hibajelz hibajelzı és s -hibajav hibajavító a kód. k (Más s meggodolással a 7.b példp ldába ugyaezt kaptuk.) 27. május m 3. Hibajavító kódok 2. 5

16 8. tétel. t tel. (Sigleto korlát) [,k,d] kódba k d d k+. Bizoyítás. H ragja k, emiatt H-ba H a függetle f oszlopok száma k. Elızı tétel tel szerit H-ba H bármelyik b d d oszlop lieárisa függetle. Így d k d k+ Defiíci ció. Az [,k,d] kód k maximális távolst volságú,, ha d=-k+. Jelölése: MDS kód. k (S: szeparábilis). 27. május m 3. Hibajavító kódok 2. 6

17 G 3. példa. p Egy biáris kód k d geerátorm tormátrixa trixa G. Adjuk meg a kód k d paritáselle selleırzı mátrixát és s a távolst volságát Bázistraszformáció a sorvektoroko: ugyaaak az altérek másik m bázisb zisát kapjuk, ugyaaz a mátrix m lehet az elleırz rzı mátrix. Az. sort adjuk a 2.-hoz. = permutáci ció 27. május m 3. H 2 = G = permutáci ció G 2 Hibajavító kódok 2. 7 = H = = H

18 H = = H A kód k d távolst volsága d=2, mert H-ba H va két k összefüggı oszlop (3. 7. ), de midegyik oszlop ömagába függetle. f 27. május m 3. Hibajavító kódok 2. 8