EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z n HALMAZON. egyenletrendszer megoldása a Z

Átírás

1 Az érettségi vizsgára előkészülő taulók figyelmébe! EGYENLETEK ÉS EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA A Z HALMAZON a x + b y c 5. Az egyeletredszer megoldása a Z halmazo (3. rész) a x + b y c A hivatkozások köyítése céljából a címbe szereplő egyeletredszert jelöljük (E)-vel. Ebbe a részbe az (E) egyeletredszer megoldását a determiások módszerével mutatjuk be. A következőkbe a kiküszöbölés módszerek a lépéseit követve, így járuk el: Az (E) egyeletredszer első egyeletét b -pal, a második egyeletet (- b )-pal szorozva és az így adódott egyeleteket összeadva kapjuk, hogy: ( a b a b ) x ( b c b c ) (i) Hasolóa a -vel illetve (- Vezessük be a következő jelöléseket: a b a b, x a )-el szorozva kapjuk, hogy ( a b a b ) y ( c a c a ) (ii). b c b c, y c a c a (iii) Ezekkel a jelölésekkel az (i) és (ii) egyeletek a következők: x x és y y (i-ii). Máris kihagsúlyozzuk, hogy a számolások sorá em zártuk ki a, x, y {} lehetőséget sem (tehát ezek előfordulását is letárgyaljuk), továbbá a b, - b, a, - számokkal való beszorzás miatt a 3. részbe leírtak alapjá (MatLap 4/9) idege gyököket is kaphatuk, tehát a továbbiakba ezt is szem előtt kell tartauk. Az (i-ii) egyeletek a z b alakú egyeletek amelyek a megoldásáról részletese az. részbe írtuk (MatLap /9) ahol láttuk, hogy a megoldhatóság az (a, ) d b feltételtől függ, ezért a szóbaforgó egyeletredszer megoldását a következő esetekre botjuk le: I. eset:, és eek kereté belül: ) Ha (, ) illetve ) Ha (, ) d II. eset:, és eek kereté belül: ) Ha x y illetve ) Ha x y A továbbiakba tehát az (E) egyeletredszer megoldását égy esetbe kell vizsgáluk. A köyebb áttekithetőség és a jobb érthetőség végett midezt példák segítségével szemléltetjük. Ezeket és a példák sorszámát is az előző 4. részből vesszük át (MatLap 5/9). I.) eset: és (, ) 9. tétel. A (, ) feltétel mellett az (E) egyeletredszerek potosa egy megoldása va (vagyis kompatibilis és határozott) és a megoldásokat az x x és y y képletekkel kapjuk meg, a, x, y értékei az (iii) összefüggéssel számíthatók ki, ahol a a iverze. Bizoyítás: Legye ( x, y) az (E) egyeletredszer egy megoldása (ha va). Az előbbiekbe leírt kiküszöbölési módszerre épülő számolások alapjá ezek az értékek teljesítik az (i-ii) egyeletredszert is, vagyis x x és y y alapjá, mivel (, ) (ami azt jeleti, hogy ivertálható a egyelet midegyikéek potosa egy-egy megoldás va, és ezek: x x. Az. részbe bemutatott. tétel Z -be), ezért ez utóbbi két és y y.

2 Mivel az (E) egyeletredszerből az (i-ii) egyeletredszerhez úgy jutottuk el, hogy egyeleteket beszoroztuk, ezért a 3. részbe leírtak alapjá idege gyököket hozhattuk be, tehát lehetséges, hogy az előző képlettel kiszámított ( x, y) megoldás éppe idege gyök. A továbbiakba bebizoyítjuk, hogy ezek az értékek teljesítik az eredeti (E) egyeletredszert, ami azt jeleti, hogy az így kapott megoldás em idege gyök, haem téyleges megoldás. Valóba, redre felírhatók a következő számolások: a x + b y a x + b y a ( c b c b ) + b ( a c c a) ( a b a b ) c + ( a b c a b c ) ( a b a b ) c + c c. Teljese hasolóa bizoyítjuk, hogy az előbbi ( x, y ) megoldás teljesíti az (E) egyeletredszer második egyeletét is. Tehát az x x és y y megoldások az (E) egyeletredszerek egyetle megoldása, vagyis a (, ) feltétellel, az (E) egyeletredszer ú.. Cramer egyeletredszer, kompatibilis és határozott. Megjegyzések: ) Vezessük be a következő jelöléseket: A egyeletredszer mátrixegyelet alakja A X B. a a b, X b x y, B c. Így az (E) c Mivel det(a), ezért az A mátrix ivertálható (legye az iverz mártixa A ), akkor x y X A B b b ( a b a b ) b b B ( a b a b ) c x a a a a c y ahoa a mátrixok egyelősége alapjá x x és y y adódik, vagyis éppe a már kapott eredméy. A (, ) feltételre itt is szükség volt, mivel éppe az utóbbi mátrixba a is bejö a számolásokba (hisze a Z -be számoluk, ahol csak + és műveletek vaak). Ez a bizoyítás, az előbbi tétel egy második bizoyítását képezi. ) Az éppe bemutatott megoldási módszer, a és (, ) feltételek mellett, m egyeletből álló és m ismeretlet tartalmazó lieáris egyeletredszer eseté is ugyaígy alkalmazható a Z -be, és a redszer ezúttal is kompatibilis és határozott, vagyis Cramer egyeletredszer (v.ö. [6] és [7] ). 3) A és (, ) feltételek mellett, mit az (E) egyeletredszert, mit az m egyeletből álló m ismeretlees lieáris egyeletredszert a taköyvekbe is leírt,a mátrixok átalakításá (elemi traszfotmációko) alapuló Gauss-féle módszerrel is megoldhatjuk (v.ö. [6]).. példa: Oldjuk meg Z7 -be a x + 3 y 4 és 4 x + y 5 egyeletredszert. 5. példa: Oldjuk meg Z8 -ba a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert. 9. példa: Oldjuk meg Z6 -ba a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert. A felsorolt három példa léyegébe csak abba külöbözik egymástól, hogy az első esetbe mide együttható ivertálható, a második esetbe csak bizoyos együtthatók ivertálhatók, a harmadik esetbe pedig egyik együttható sem ivertálható az illető ( Z,+,.) be.

3 Az előző részbe láthattuk, hogy mid a három példa eseté potosa egyetle (x, y) megoldás létezett. Erre a magyarázat az, hogy midhárom esetbe és (, ), ezért a 9. tétel értelmébe Cramer-típusú, kompatibilis és határozott egyeletredszerről va szó, amelyek megoldásait az (i-ii) összefüggések származtatják. Az. példa eseté 6 és (6, 7) ezért létezik és 6, így x x 6 és y y 6 6. Az 5. példa eseté 5 és (5, 8) ezért 5 és az x x illetve y y összefüggések alapjá x és y 7 adódik. A 9. példa eseté 5 és (5,6) ezért 5 és x és y 5 adódik. I.) eset: és (, ) d Ebe az esetbe a (, ) d miatt em ivertálható a Z -be, tehát az előbbiekbe bemutatott módszer egyike sem alkalmazható. Ellebe, az. részbe bizoyított. tétel alapjá, az x x és fogalmazhatjuk meg: y y (i-ii) egyeletek megoldásáról a következőket a) Ameyibe a d (, ) x vagy d (, ) y valamelyike (vagy midkettő) hamis, akkor az (i-ii) egyeletek valamelyikéek ics megoldása Z -be, így az (E) egyeletredszer sem oldható meg a Z -be... példa: Oldjuk meg Z5 -be a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert. 6.. példa: Oldjuk meg Z -be a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert... példa: Oldjuk meg Z -ba a 9 x + y 3 és 3 x + 4 y egyeletredszert. A felsorolt három példa léyegébe csak abba külöbözik egymástól, hogy az első esetbe mide együttható ivertálható, a második esetbe csak bizoyos együtthatók ivertálhatók, a harmadik esetbe pedig egyik együttható sem ivertálható az illető ( Z,+,.) be. Az előző részbe láttuk, hogy a egyik egyeletredszerek sem volt megoldása. Ezt azoal beláthatjuk, hisze számolásokkal köye meggyőződhetük arról, hogy mid a három esetbe és (, ) d is feáll, de ugyaakkor a d x és d y em midegyike igaz. Eek elleőrzését az érdeklődő Olvasó köye elvégezheti. b) Ameyibe a d (, ) x és d (, ) y igaz állítások, úgy mid a két egyelet megoldható Z -be, és az egyeletek midegyikéek éppe d számú megoldása va, de ez em jeleti azt, hogy az (E) egyeletredszerek d d számú megoldása va, ugyais a kiküszöbölés sorá, ahogya az (i-ii) egyeletekhez jutottuk, a beszorzások sorá idege gyököket hozhattuk be amikek száma az modulótól függ. Gyakorlatilag így járuk el: megoldjuk a x x és y y és egyeleteket úgy, ahogya az. rész. tételébe olvashatjuk, vagyis a megoldások a következők: p q x x +, y y + ahol d (, ) és p, q {,,,, d }, továbbá x és y az d d egyeletekek egy-egy sajátos megoldása.

4 Ezeket a megoldásokat visszahelyettesítjük az (E) egyeletredszerbe és így eldöthetjük, melyek az idege gyökök, és melyek a téyleges megoldások... példa: Oldjuk meg Z5 -be a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert. 6.. példa: Oldjuk meg Z -be a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert... példa: Oldjuk meg Z6 -ba a x + 3 y 3 és 4 x + y 4 egyeletredszert A felsorolt három példa léyegébe csak abba külöbözik egymástól, hogy az első esetbe mide együttható ivertálható, a második esetbe csak bizoyos együtthatók ivertálhatók, a harmadik esetbe pedig egyik együttható sem ivertálható az illető ( Z,+,.) be. Az előző részbe láttuk, hogy a három egyeletredszer megoldásaiak a száma redre 5 (a Z5 -be), 5 (a Z -be) illetve (a Z6 -ba). A x x és y y egyeletpárok eze három példa eseté redre a következők: (5 x és 5 y a Z5 -be), ( 5 x és 5 y 5 a Z -be), ( 4 x és 4 y a Z6 -ba). Belátható, hogy mid a három esetbe teljesülek a megoldás létezéséhez szükséges d (, ) x és d (, ) y feltételek. Mideesetbe egy-egy a x b illetve c y d alakú egyeletet kell megoldauk amiről az. részbe olvashatuk (MatLap /9). A megoldás kellemetleebb részét ellebe az képezi, hogy midhárom feladat eseté külö-külö kapjuk meg az x illetve y megoldásokat (em pedig egy x és y közötti összefüggés yomá, mit például a helyettesítési módszer eseté) és elleőrizi kell, hogy mely (x, y) számpár elégíti ki az egyeletredszert, hisze a módszerél haszált beszorzások sorá idege gyökök is bekerülhetek. (Az Olvasó erről köye meggyőződhet, ha megoldja ez előző három egyeletpárt). Általába az elleőrzési folyamat hosszadalmas szokott lei, ezért ha egy megoldadó feladat éppe ebbe a típusba tartozik, akkor gyakorlati szempotból érdemes előbb egy másik, em a determiásoko alapuló megoldással próbálkozi (lást a 4. részbe, MatLap 5/9), mert a megoldások számát előre em midig határozhatjuk meg. II.) eset: és x y Ebbe az esetbe a x x és y y (i-ii) egyeletek x x és y y alakot öltik, és ameyibe a x y feltétel em teljesül (márpedig x y ), úgy egy a elletmodáshoz jutuk, tehát ebbe az esetbe sem az (i-ii) egyeletredszerek és ebből kifolyólag az (E) egyeletredszerek sics megoldása a Z -be. 3. példa: Oldjuk meg Z5 -be a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert. 7. példa: Oldjuk meg Z8 -ba a x + 3 y és 4 x + y 6 egyeletredszert.. példa: Oldjuk meg Z6 -ba a x + 4 y és 4 x + y egyeletredszert. A felsorolt három példa léyegébe csak abba külöbözik egymástól, hogy az első esetbe mide együttható ivertálható, a második esetbe csak bizoyos együtthatók ivertálhatók, a harmadik esetbe pedig egyik együttható sem ivertálható az illető ( Z,+,.) be. Az előző részbe láttuk, hogy a egyik egyeletredszerek sem volt megoldása. Ezt azoal beláthatjuk, hisze számolásokkal köye meggyőződhetük arról, hogy midhárom

5 esetbe és ugyaakkor x Olvasóra bízzuk. y. Az egyszerű számolások elvégzését az érdeklődő II.) eset: x y Ebbe az esetbe tehát feállak a következő összefüggések: a b a b (), b c b c (), c a c a (3) Ilye feltételek mellett a következő általáos érvéyű eredméyt fogalmazzuk meg:. tétel. Ameyibe a megoldadó (E) egyeletredszer eseté x y, továbbá az a, a, b, b, c, c számok közül legalább egyik ivertálható a Z -be, akkor létezik vagy olya p Z * szám amelyre a p a, b p b, c p c vagy olya q Z * szám amelyre a q a, b q b, c q c. Bizoyítás: Két esetet külöböztetük meg aszerit, hogy a legalább egy ivertálható elem az a, a, b, b együtthatók, vagy a c, c szabad tagok közül való. Az első esetbe, az általáosság csorbítása élkül feltételezhető, hogy pl. a ivertálható, és legye szorzás szeriti szimmetrikusa) ezért az ()-es összefüggés alapjá b összefüggés alapjá pedig c pedig a a c ( a a ) ( a a ), ezért p a a a b az iverze (a ( a a ) és a (3)-as, továbbá a szimmetrikus elem értelmezése alapjá választás éppe megfelel. Továbbá, ameyibe a c, c valamelyike ivertálható feltételezhető, hogy ez éppe a c szám, ekkor ()-es összefüggés alapjá b b értelmezéséből c a ( c c ), a (3)-as összefüggés alapjá pedig a ( c c ) c ( c c ) adódik, tehát q c c éppe megfelel., és az iverz elem Megjegyzések:.) Érdemes felfigyeli arra, hogy a tétel bármelyik ivertálható együttható eseté megadja a szóbaforgó p illetve q szorzó meghatározásáak a módját is! Természetese ilye szorzó több is adódhat, de például egy a a egyelőség miatt egybe is eshetek..) Köye belátható, hogy akár egyetle ivertálható együttható vagy szabad tag létezése eseté létezik olya p Z * vagy q Z * amelyre feáll a következő egyelőségek valamelyike: a x + b y c p ( a x + b y c ) vagy a x + b y c q ( a x + b y c ). 3.) Vegyük észre, hogy a bizoyított eredméy teljese hasoló ahhoz az esethez, amikor az egyeletredszert az R-e tekiteék, és feállak a x y feltételek. Ekkor mit ismeretes az egyeletredszert alkotó két egyelet megfelelő együtthatói aráyosak, vagyis a a b b c c és a közös aráysor értékét p-vel jelölve, valóba a p a, b p b, c p c ami éppe a q a, b q b, c q c alakra is hozható.

6 . tétel. Ameyibe a megoldadó egyeletredszer eseté x y, továbbá az a, a, b, b, c, c számok közül legalább egyik ivertálható a Z -be, akkor az egyeletredszer összes megoldását vagy az a x + b y c vagy az a x + b y c egyelet megoldásai adják aszerit hogy létezik vagy olya p Z * vagy olya q Z *, amelyekre feáll az a p a, b p b, c p c vagy az a q a, b q b, c q c összefüggések valamelyike. Bizoyítás: Feltételezzük, hogy például az a p a, b p b, c p c összefüggések állak fe. Ekkor a megoldadó egyeletredszer két egyelete p ( a x + b y c) illetve a x + b y c. A (p, ) esetbe gyökvesztés élkül egyszerűsíthetük p -pal, így a két egyeletek azoos számú megoldása va. Ellekező esetbe az a x + b y c egyeletek va kevesebb megoldása vagyis mideképpe elegedő csak ezt megoldai. Teljese hasolóa járuk el az a q a, b q b, c q c esetbe is. Megjegyzés: Ameyibe prímszám, úgy a ( Z, +, ) struktúra kommutatív test, így a kivételével mide a Z ivertálható, sajátos esetbe az a, a, b, b, c, c számok is, ezért ebbe az esetbe érvéyes az előző két tétel eredméye! 4. példa: Oldjuk meg Z5 -be a 3 x + y 4 és x + 3 y egyeletredszert. 8. példa: Oldjuk meg Z8 -ba a x + 3 y és 4 x + y 6 egyeletredszert.. példa: Oldjuk meg Z6 -ba a x + 4 y 4 és 4 x + y egyeletredszert. A felsorolt három példa léyegébe abba külöbözik egymástól, hogy az első esetbe mide együttható ivertálható, a második esetbe csak bizoyos együtthatók ivertálhatók, a harmadik esetbe pedig egyik együttható sem ivertálható az illető ( Z,+,.) be. Ezúttal azoba ez az ivertálhatósági tulajdoság sokkal fotosabb mit eddig! A 4. példa eseté mivel midegyik együttható ivertálható, ezért a. tétel alapjá mivel a a b b c c 4 és a a b b c c 4 így többféleképpe is azt kaptuk, hogy p q 4, vagyis x + 3 y 4 ( 3 x + y 4 ) de ugyaakkor az is igaz, hogy 3 x + y 4 4 ( x + 3 y ), tehát a. tétel értelmébe elegedő megoldai az egyeletredszer egyik egyeletét (ez bármelyik lehet), ahoa megkapjuk a 4. részbe is kapott 5 megoldást (MatLap 5/9). A 8. példa eseté a az egységeleme kívül a Z8 -ba csak a 3 ivertálható, így a. tétel alapjá b b 3 q, vagyis 4 x + y 6 6 ( x + 3 y ), így a. tétel értelmébe csupá a x + 3 y egyeletet kell megoldai. (v.ö. MatLap 3/9) A. példa eseté, már az előző részbe (MatLap 5/9) kimutattuk, hogy bármelyik egyelet a másikak éppe az 5 -pal való beszorzottja, és mivel (5, 6) ezért gyökvesztés

7 élkül egyszerűsítve 5 -pal, a két egyelet egybeesik. Tehát elegedő az eredeti egyeletek közül bármelyiket megoldai. Ebbe az esetbe a meglepő téy csupá az lehet, hogy sem az együtthatók sem a szabad tagok közül egyik sem ivertálható, és mégis létezett a p, sőt a q szorzó is amiről a. tételbe írtuk. Ellebe ez em mide esetbe következik be! 3. példa: Oldjuk meg Z36 -ba a x + y és 3 x + 8 y 3 egyeletredszert. Megoldás: Érdemes felfigyeli arra, hogy ebbe az esetbe a x y feltételek úgy teljesülek, hogy a b a b b c b c, így a. tételhez hasoló eredméy bizoyítására em sok az esély. Ha megpróbálák a p szorzó keresését, akkor eek egyidőbe teljesíteie kellee a 3 p, a 8 p 6 ( 3 p - ) és a 3 p feltételeket. Köye belátható, hogy ezek teljesüléséhez szükséges és elegedő, hogy 3 p legye. Ellebe a (3, 36) 3 hamis állítás alapjá eek az egyeletek ics megoldása a Z36 -ba (v.ö. MatLap /9). Hasolóa látható be, hogy a q létezése a p 3 egyelet megoldásához vezet, amely szité megoldhatatla a Z36 -ba. Ellebe vegyük észre, hogy az egyeletredszer egyeletei így is írhatók: ( x + 6 y ) és 3( x + 6 y ). Ez arra hívja fel a figyelmet, hogy ezúttal létezek olya p, q Z 36 (em ivertálható) számok amelyekre egyidőbe feállak a p a q a, p b q b, p c q c összefüggések (p-q). Továbbá ha a két módosított egyelet megfelelő oldalait összeadjuk, akkor az 5( x + 6 y ) egyelethez jutuk, és az (5, 36) alapjá gyökvesztés élkül egyszerűsítve 5 -pal, így x + 6 y x + 3 y ahol y Z 36 mide értéket felvehet, és x + 3 y. Sajálatos módo sem bizoyítai, sem cáfoli em sikerült azt, hogy a em ivertálható együtthatók és em ivertálható szabad tagok eseté szükségszerűe feáll-e vagy em a (p-q) összefüggés (ami egyébkét a p illetve q esetbe a. tétel feltételeit adja). Szakirodalom: [] C. Nita, T. Spircu: Probleme de structuri algebrice, Editura Techica, Bucuresti 974., oldalak. [] Floreti Smaradache: Iteger algorithms to solve liear eguatios as systems, Ed. Scietifique, Casablaca, 984. (Ugyaez megjelet a Gamma XXIX-XXX, X. évfolyam, 987 Októbet - számába is). [3] Adrás Szilárd és szerzőtársai: Megoldások a XII. osztályos taköyv feladataihoz, Státus Kiadó, Csíkszereda, 5, 88. ; oldalak. [4] Farkas Miklós: Algebra, taköyv a XII. osztályok számára M, Erdélyi Taköyvtaács. [5] Io D. Io és szerzőtársai: Matematika: Taköyv a XII. osztály számára M, Ábel Kiadó (a Sigma kiadóál megjelet taköyv fordítása). [6] Kacsó Ferec: Algebra, Taköyv a XI. osztály számára, Klozsvár-6, old. [7] Thomas Koshy: Elemetary Number Theory with Applicatios, Secod editio, Academic Press 7, old.