Variációk egy egyenlőtlenség kapcsán

Átírás

1 Variációk egy egyelőtleség kapcsá Tuzso Zoltá, Székelyudvarhely Mit a régebbi, mit az újabb alteratív taköyvekbe valamit számos feladatgyűjteméybe, a matematikai idukció taítása fejezetbe megtalálható a következő feladat:. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely természetes szám eseté igaz a következő + (v.ö.: [], [], [3]) A feladat egymagába em rejteget semmilye ehézséget, matematikai idukcióval (rövide M.i.) köye megoldható, hisze esetbe yilvávalóa igaz, és a M.i. szerit elegedő 3 + ha belátjuk, hogy + ( )( 3) ( ) 3 ami igaz állítás. A feladatra ellebe létezik egy agyo egyszerű és ötletes direkt bizoyítás is (v.ö. [3]): k k k,,..., + és összeszorozva ezeket az egyelőtleségeket { } (k )(k ) ( k) értékekre összeszorozva éppe a kért egyelőtleség égyzete adódik. Midezek mellett az egyelőtleség bal oldalá álló kifejezés még sok számos egyelőtleségbe megtalálható, és mit láti fogjuk, a feti egyelőtleség jóval mélyebb gyökerekkel redelkezik mit ahogya az első látásra godolák. A továbbiakba éppe ezekre a kapcsolatokra foguk rávilágítai, és eljutuk az egyelőtleség természetes köryezetéhez is, ahoa származik. A kifejezések köyebb kezelhetősége kedvéért vezessük be a következő jelöléseket: ) ( )!! és ( )!! ahol a dupla felkiáltójelt ezúttal faktor-faktor szóval olvassuk ki. Legye továbbá: (!! ( )!! Az előbbi feladat kapcsá még a következő feladattal is találkozuk:. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely természetes szám eseté igaz a következő Az első látásra a feladat triviálisak tűhet, hisze az + yilvávaló egyelőtleség alapjá az. feladat élesebb (szigorúbb) egyelőtleséget fejez ki mit ez utóbbi. Midez elleére, a feladatak megva a maga érdekessége (v.ö. [] ) hisze ha a M.i. módszerével akarák bebizoyítai, akkor az. példa eseté is elleőrizedő lépés ( ) + ( + ) +. vagyis 0 hamis állításhoz juták. A []-be is kihagsúlyozzák, hogy a M.i. módszere alkalmazásakor találkozhatuk olya esetekkel is, amikor egy szigorúbb (élesebb) egyelőtleség bizoyítását sikerese elvégezhetjük, ellebe egy kevésbé szigorú egyelőtleség bizoyítására a M.i. em alkalmas. A. feladat bizoyítását természetese az. feladat bizoyítása által kapjuk meg (tehát előbb egy kevésbé éles egyelőtleséget bizoyítuk), majd felhaszáljuk a trazitivítást (a lácszabályt), miszerit + yilvávalóa igaz. Az előző feladatok kapcsá természetese merült fel az az elvárás, hogy az kifejezésre az előbbiekél élesebb (szigorúbb) egyelőtleségeket kapjuk. Íme egy ilye 3. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely természetes szám eseté igaz a következő 3 + (v.ö.: [3], [5] )

2 A feladat bizoyítása köyedé megy a M.i. -val, hisze elegedő elleőrizi a következő egyelőtleséget: ami a 0 yilvávaló egyelőtleséghez vezet. Természetese merül fel a kérdés, hogy az kifejezésre létezik-e jobb felső becslés és ez bizoyítható-e a M.i.-val. ek a megválaszolását későbbre halasszuk, hisze akkor már több más iformáció birtokába leszük. llebe most egy olya természetes elvárásra próbáluk választ adi, amely az kifejezés alsó korlátaiak megállapítására iráyul.. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely természetes szám eseté igaz a következő ( + 5. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely természetes szám eseté igaz a következő ( zúttal is köye belátható, hogy az utóbbi egyelőtleség az élesebb (szigorúbb), hisze yilvávalóa igaz, hogy: +. Az. feladat érdekességéből taulva azoal fel is merül a kérdés, hogy melyik feladat bizoyítható a M.i.- val? zúttal ics semmi meglepetés, midkettő igazolható a M.i.-val. Az 5. feladat igazolása végett, a M.i. alapjá elegedő elleőrizi, hogy + + ( + ) ( + ) 0 ami igaz állítás. Az idők folyamá a matematikusok rájöttek, hogy a M.i.-val em lehet léyegese áttörő eredméyt bizoyítai, így más, szebbél szebb bizoyítási módszerek kerültek elő. 6. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely természetes szám eseté igaz a következő egyelőtleséglác: ( (v.ö.: [5], [6] ) Hamar rájöhetük arra, hogy a baloldali egyelőtleséget az 5. feladatba M.i.-val bizoyítottuk, a jobboldali egyelőtleség a. feladat, amit az. feladat és a trazitivítással ugyacsak M.i.-val bizoyítottuk. zúttal a M.i. módszerétől külöböző módszerrel bizoyítuk! is igaz. ek az ismételt alkalma- a a + k Köye belátható, hogy ha 0 a b és k0 akkor b b + k 3 5 zásával (k értékre) kapjuk, hogy juk, hogy + vagyis (persze az Teljese hasolóa hogy ahoa kap- is bizoyított). ahoa hasolóa kapjuk, vagyis (itt már em gyegítettük az egyelőtleséget). 7. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely természetes szám eseté igaz a következő egyelőtleséglác: 3 (v.ö.: [], [7] ) zúttal is belátható, hogy a külalaki redezéstől eltekitve a baloldali egyelőtleség ugyacsak a M.i.-val bizoyított 5. feladat egyelőtlesége, ellebe a jobboldali egyelőtleség az eddigiekél másabb jellegű. Az A. O. Gelfod orosz matematikus bizoyítása roppat ötletes és egyszerű:

3 3 5 (... 6 ( ) k egész szám eseté alapjá, (k (k ) ( k) adódik. Másfelől, a 3 5 (... 6 ( (k k ezért ( ) (k (k + ) ( k) ( k) ( k) ( ( 3)... 6 ( ) ( ). De mide ahoa az egyelőtleség 3 ahoa az 3 egyelőtleség adódik. A bizoyított megközelítések kellőe erősek, hisze a igaz a következő becslés: 3 [ ; ) és ez utóbbi megközelítőleg egy 0,37 hosszúságú itervallum, ami azt jeleti, hogy a becslések valóba élesek. Midezek elleére, a 3. és az 5. feladat összevoásából a következő egyelőtleséglác jobboldali becslése élesebb korlátot ad, mit az előbbi becslés: 8. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely természetes szám eseté igaz a következő egyelőtleséglác: 3 3 A baloldali egyelőtleség a 3. feladat, a jobboldali egyelőtleség pedig az 5. feladat gyegítéséből származik, hisze és vegyük észre, hogy és megva az az érdekessége is, hogy a. feladathoz hasolóa a 8. feladat jobboldali egyelőtlesége ezúttal sem bizoyítható M.i.-val. Az idők sorá természetese merült fel olya ( a) és ( b ) sorozatok keresése, amelyekre a b és ez a közös határérték véges szám. ahol b úgy, hogy lim a lim léggé hosszas számolásokkal, de elemi módszerekkel a [8]-ba megtaláluk egy választ: 9. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely természetes szám eseté igaz a következő: si és y tg si továbbá ismeretes, hogy lim 0 Így a dupla egyelőtleség alapjá azoal adódik, hogy lim y lim 0 tg. ami megközelítőleg 0,56 és mit látható agyo közel áll a 7. és a 8. feladat egyelőtleségei alapjá kapott 3 [ ; 3 3 ) [ ; ) becslésekhez. zek alapjá most már köyebbe belátható, hogy miért ics sok esély arra, hogy eseté a 7. és 8. feladat korlátait elemi módszerekkel léyegese élesíthessük. Természetese, ha lemodaák az kikötésről, és pl. az feltételre cserélék, akkor az alsó korlátot pl. a alakba keresve, ebbe az esetbe a

4 legjobb a érték 3 9 3,555 és ha az feltételt tovább gyegíteék, számítógépes programmal elleőrizhető, hogy ez az a álladó agyo lassa csökkee. Ugyailye helyzettel álluk szembe, ha a jobboldali, felső korlátot próbálák élesítei. Nyilvávalóa a és 3 + sorozatok alakját (a függvéy képletét) is változtathaták, de az előbbiekbe, a határértékkel bizoyítottak alapjá láthatjuk, hogy elemi módszerekkel léyegre törő lépést em teheték. A matematikai aalízis eszközeivel megfogalmazhatjuk és bizoyíthatjuk a tárgyalt témakörbe az egyik legjobb dupla egyelőtleséget, ami em más mit a Wallis-formula bizoyításáál a leggyakrabba haszált dupla egyelőtleség. 0. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely természetes szám eseté igaz a következő ( egyelőtleséglác: + A bizoyítás fotosabb lépéseit a [9], [0], [], [3], [] alapjá mutatjuk be. Vezessük be a következő jelölést: módo, a M.i. módszerével levezethetők a következő eredméyek: I Im si m d. A parciális itegrálási módszerrel rekurzív 0 illetve I Továbbá mivel mide [0, ] és N * eseté igaz, hogy si + si si amit a [0, ] itervallumo itegrálva, és az előbbiek szerit behelyettesítve az I +, I, I értékeit, rövid számolások utá éppe a 0. feladat egyelőtleségeit kapjuk. A 0. feladat alapjá a híres Wallis formula a következő: lim A Wallis formuláak több alakja is va, például: lim. (!! si d ( )!! 0, vagy ( )!! ( i) vagyis lim ( )!! + i ( i )( i + és ez végtele szorzat ) z a felírás a számak csupá egyik előállítási formájába: lehetősége, számos más érdekes előállítási lehetőséget a webcíme találuk. Érdemes megjegyezük, hogy a 0. feladat egyelőtlesége így is írható: ( )!! ( + ) (!! ( )!! ( θ) (!! ami aszimptotikus megközelítéskét a következő alakba írható: + ahol 0 θ. Létezik eél fiomabb aszimptotikus megközelí- tés is (v.ö. [], []) miszerit θ, ami a következő egyelőtleséglácból adódik: 3. feladat: Mutassuk meg, hogy bármely természetes szám eseté igaz a következő egyelőtleséglác: ( ) + ( )!! (!! ( ) 3 + (v.ö. []).

5 Mit az egyelőtleséglác mit aak a agyszerű bizoyítása Dr. Tóth Lászlótól, a Pécsi Tudomáyegyetem Természettudomáyi Karáak taszékvezető docesétől szármatik: legye ( )!! ( )!! ( ) +, és egyelőtlesége alapjá azoal látható, hogy lim y ( )!! ( )!! ( ) y y lim y. A 0. feladat dupla. Továbbá egyszerű számolásokkal azoal igazolható, hogy + és. És mivel egy koverges és szigorúa csökkeő (övekvő) sorozat általáos tagja kisebb (agyobb) mit a határértéke, azért az egyelőtleséglác máris bizoyított. Befejezésül megjegyezzük, hogy a Wallis-formula a matematikába agy fotossággal redelkező! lim e úgyevezett Stirlig-formula bizoyításáak egyik fotos lácszemét képezi. Szakirodalom: [] C. Nastasescu, C. Nita, S. Popa: Matematika Taköyv a X. osztály számára, Algebra, DP Bucuresti 990, 8. oldal, 5.c feladat. [] C. Nastasescu, C. Nita, I. Chitescu, D. Mihalca: Matematika a IX. osztály számára, DP Bucuresti 00, 56. oldal, 5.c feladat. [3] L. Paaitopol, V. Badila, M. Lascu: gyelőtleségek (Adrás Szilárd fordítása), GIL Kiadó, Zilag 996, 76. oldal 5.6 feladat. [] Probleme de matematica traduse di revista sovietica KVANT, vol. I., problemele - 00 (Selectat si tradus de Lector Uiv. Dr. Horea Baea), DP Bucuresti 983, 8-9. oldal M3. feladat. [5] D. O. Skljarszkis, N. N. Csekov, I. M. Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből, Aritmetika és Algebra., Typote Kiadó 000, 7. oldal. feladat. [6] I. Cucuruzeau: Probleme de aritmetica si teoria umerelor, DP Bucuresti 976, 73. oldal, V. 5. feladat. [7] Titus Popescu: Matematica de vacata, ditura Sport Turism, Bucuresti 986, 6 oldal és 390. oldal 39. feladat. [8] A. M. Iaglom, I. M. Iglom: Probleme eelemetare tratate elemetar, ditura Techica, Bucuresti (95-be kiadott orosz yelvű köyv fordítása), 338. oldal, 5. feladat. [9] Lia Arama, Teodor Moroza: Probleme de calcul diferetial si itegral, DP Bucuresti 978, 37. oldal, VI feladatok. [0] L. Paaitopol, M.. Paaitopol, M. Lascu: Iductia matematica, ditura GIL, Zalau 997, 5. oldal 3. feladat. [] Császár Ákos: Valós aalízis I., Taköyvkiadó, Budapest 983, oldalak. [] Matematikai Lapok /99,. oldal, 55. feladat (Tóth László javasolta) [3] D. Flodor, M. Dociu: Algebra si aaliza matematica, culegere de probleme, vol. II., DP Bucuresti 979, 387. feladat, -. oldalak. [] N. D. Kazarioff: Aalitic Iequalities, Holt New York 96, 7-8. old, old