ACTA CAROLUS ROBERTUS

Átírás

1 ACTA CAROLUS ROBERTUS Károly Róbert Főiskol tudomáyos közleméyei Alpítv: 3 (

2 ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 ( Mtemtik szekció KOMPLETTEN POZITÍV LEKÉPEZÉSEK ÉS R V KADISON EGY SEJTÉSE Összefogllás KOVÁCS ISTVÁN BÉLA Múlt évbe z operátor tér komplette korlátos leképez foglmát jártuk körül zz zt vizsgáltuk hogy dhtó meg lklms orm sorozt egy lieáris tér vektoriból lkotott égyzetes mátrixoko Ez évbe egy C*-lgebr elemeiből lkotott mátrixok kvtálásávl fogllkozuk H A egy C*-lgebr M (A z oly x -es mátrixok tere melyek elemei A-ból vlók kkor M (A is termzetes módo C*- lgebr pozitív elemekkel Defiiáljuk C*-lgebrák komplette pozitív leképezeit bemuttuk éháy példát Megvizsgáljuk pozitivitás komplette pozitív tuljdoság vlmit komplett korlátosság viszoyát mjd bemuttuk éháy komplette pozitív leképezekre votkozó tételt Végül éháy z operátor tér struktúrából szármzó többlet iformációt kihszáló tétel segítségével két ekvivles megfoglmzását ismertetjük Kdiso egyik C*-lgebrák lgebr homomorfizmusir votkozó sejtéek Kulcsszvk: C*-lgebr komplette pozitív operátor deriváció Abstrct Completely positive mps d cojecture of Kdiso s Lst yer we hve itroduced opertor spces d completely bouded mps tht is we ivestigted how c sequece of orms be defied o mtrices costructed from the vectors of lier spce This yer we qutize mtrices with etries from C*- lgebr If A is C*-lgebr the M (A is gi C*-lgebr i turl wy with positive elemets We defie the completely positive mps of C*-lgebrs d list some exmples We ispect the reltioship betwee complete positivity d complete boudedess d quote further theorems o completelypositive mps Filly with the help of some theorems usig the extr iformtio ecoded i the opertor spce structure we show two equivlet forms of Kdiso s cojecture o bouded lgebr homomorphisms of C*-lgebrs Key words: C*-lgebr completely positive opertor derivtio Bevezet Múlt évbe bevezettük z operátor tér foglmát X Bch tér; A M X A 5

3 Komplette pozitív leképezek R V Kdiso egy sejte Adjuk meg orm soroztot X M T S B MmX X -e = 3 hogy teljesítse A B T T M m C mx A B xiómákt hol M m C A A M Ekkor bsztrkt operátor tér Legye H Hilbert tér korlátos operátorok tere k M kb( H BH termzetese ormált kokrét operátor tér X Leképezek: operátor : x x Y : bsztrkt operátor terek : X Y lieáris M X Y x x (x (x M z operátor ormákr ézve komplette korlátos cb h cb = (x (x sup sup vlódi ormát cb ormáják evezzük (CB(XY Bch tér h Y teljes (CB(XY áltláb em zárt (B(XY Ilyekor -b komplett izometri h izometrikus mide idexre Pozitív elemek C*-lgebráb A egy C*-lgebr h Bch lgebr zz (A teljes b b lgebr teljesül mide A-beli b elempárr Ivolutórikus zz dott * : A A kojugált lieáris leképez hogy (b* = b** ** = továbbá Megjegyz: Ilyekor lgebrákkl fogllkozuk teljesül A következőkbe csk egység elemes C*- A pozitív h * kkor h = bb* vlmely b A -r ( R Ekvivlese: potos 6

4 ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 ( Mtemtik szekció Reprezetációk ( ( : A redez trtó: h = bb* kkor Tétel Mide C*-lgebr reprezetálhtó -b *-izomorfizmus h lgebr izomorfizmus ( (b (b A pozitív elemek újbb jellemze: potos kkor h h H -r Dekompoíció: H b b kombiációjkét i(c A kkor c b ic hh mide hol b c ödjugáltk Továbbá zz bármely elem felírtó 4 pozitív elem C*-lgebrák mit operátor terek Legye A egy C*-lgebr izomorfizmus ekkor : M A M B(H M A - defiiálhtó orm mellyel A M C*-lgebr Tétel: (B Aupetit Egység elemes C*-lgebr ormáj egyértelmű ( M A potos egy ormávl C*-lgebr (A Komplette pozitív leképezek : A *- is *-izomorfimus tehát e kokrét operátor tér Legyeek A B C*-lgebrák : A B lieáris operátor Jeletse : M M B ( zt leképezt melyet defiiál pozitív h A pozitív elemeit B pozitív elemeire képezi komplette pozitív h mide -re Például egy : A B *-homomorfizmus komplette pozitív Lemm: M A pozitív elemei felírhtók legfeljebb drb A = A*A = 7

5 Komplette pozitív leképezek R V Kdiso egy sejte lkú mátrix összegekét Most már i j ( i ( j A komplett korlátosság komplett pozitivitás viszoy Tétel: (Russo Dye A B egység elemes C*-lgebrák : A B pozitív leképez Ekkor: (e Mivel M A egység eleme e e e ezért e e cb e = (e (e (e = (e = Példák 3 Schur szorzt M Legye b b M Rögzített M idukálj Tétel: M b b M Schur szorztuk S : M M S b b leképezt következő tuljdosági ekvivlesek: pozitív M -be S b : M M pozitív operátor S c : M M komplette pozitív 4 Tétel: Legye A C*-lgebr áltl A f H f pozitív kkor komplette pozitív 8

6 ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 ( Mtemtik szekció 5 Tétel: H V operátor tér : V C(X cb korlátos operátor kkor H V C*-lgebr pozitív kkor komplette pozitív 6 Tétel: (Stiesprig H B C*-lgebr : C(X komplette pozitív B pozitív kkor 7 Tétel: (Choi H B C*-lgebr : M E B lieáris leképez továbbá mátrixegységek M -be kkor következő tuljdoságok ekvivlesek: komplette pozitív b pozitív c E E pozitív (B M -be 8 Egy pozitív leképez mi em komplette pozitív A trszpoálás t : Bl Bl pozitív de mivel em komplette korlátos így em lehet komplette pozitív sem b c t : t c d b d Kokrét: : M M AA H em -pozitív: pozitív leképez hisze h H H t M -be kkor t(aa A A AA E A E E E t H mátrixr Azob t t E (A E E E 9

7 Komplette pozitív leképezek R V Kdiso egy sejte t (A Arveso kiterjeszti tétele Defiíció: (E Effros A C*-lgebr ödjugált ltere A-k S A operátor redszer h e S S Arveso kiterjeszti tétele : Legye A C*-lgebr S pedig operátor redszer A-b Legye továbbá : S egy komplette pozitív operátor Ekkor -ek létezik komplette pozitív kiterjeszte A-r Következméy: (Arveso Legye A C*-lgebr e M lieáris ltere A-k Legye cb továbbá : M komplett kotrkció (zz mely megőrzi z egység elemet Ekkor -ek létezik komplette pozitív kiterjeszte A-r Lemm: : M M M M -r ( b ( (b jól defiiált egyértelmű kiterjeszte Tehát e M M operátor redszer melyre -ek lemm szerit v komplette pozitív kiterjeszte Egy lklmzás McAsey Muhly tétele : Legye A felső háromszög mátrixok lgebráj M E -be pedig mátrixegységek Bármely lgebr homomorfizmus : A E mely teljesíti feltételeket komplette kotrktív Legye ugyis ( E E h i j (E E A bizoyítás zt muttj meg hogy komplette pozitív m mi m I m projekciók összegük I Ekkor H ji h E ii j i ortogoális 3

8 ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 ( Mtemtik szekció Wittstock Tételei Lemm: Legyeek A B C*-lgebrák jelölje e midkettő egység elemét! Legye továbbá V operátor tér A-b (ltér : V B lieáris leképez Defiiáljuk S M (A Tekitsük operátor redszert S e b : S M(B : e b : e C e e (b H komplett kotrkció kkor komplette pozitív bv ( e áltl leképezt Wittstock kiterjeszti tétele: Legye V z A C*-lgebr ltere legye : V komplette korlátos Ekkor létezik -ek oly oly : A kiterjeszte hogy cb Lemm: A C*-lgebr : A komplette korlátos Ekkor létezek : A komplette korlátos leképezek úgy hogy cb cb cb c H komplett kotrkció kkor : M c cb (A B H b ( d (c b IH d (c (b (d (b I H komplette pozitív komplette pozitív Következméy : A Stiesprig reprezetációs tétel egy változt: Legye A C*- lgebr : A komplette korlátos Ekkor létezik K Hilbert tér egy : A B(K reprezetáció (*-homomorfizmus továbbá V V : H K operátorok V V ( V ( V melyekkel cb H továbbá kkor V V válszthtó izometriák cb 3

9 Komplette pozitív leképezek R V Kdiso egy sejte Következméy : Wittstock felbotási tétele: Legye A C*-lgebr : A komplette korlátos Ekkor létezik : A hogy cb cb továbbá Re Im mid pozitív operátorok Ilyekor Re Re i Im Im pozitív operátor lieáris kombiációjkét előáll égy Sejtek ekvivleciáj Kdiso egyik sejte: Legye A C*-lgebr H : A korlátos lgebr homomorfizmus kkor hsoló egy *-homomorfizmushoz egység elemes Lemm: A operátor lgebr : A egység elemes komplette korlátos lgebr homomorfizmus Ekkor létezik K Hilbert tér S: H K ivertálhtó operátor vlmit : A B(K komplette kotrktív lgebr homomorfizmus hogy ( S( S S S cb mi R R : Ilyekor cb ( R( R Hgerup tétele: Legye A C*-lgebr : A korlátos egység elemes lgebr homomorfizmus Ekkor hsoló egy *-homomorfizmushoz potos kkor h komplette korlátos Tehát Kdiso sejte potos zo homomorfizmusi komplette korlátosk C*-lgebrákr igz melyek lgebr Derivációk: Legye A C*-lgebr Egy : A lieáris leképez deriváció h ( b ( (b ( (b vlmely : A *-homomorfizmussl Rigrose (97 tétele szerit derivációk korlátosk Rögzítsük x -t! Legye ( ( x x( Az így defiiált deriváció Az ilye derivációkt belső derivációkk evezzük Vk-e em belső derivációk? Tekitsük : A B(H H ( ( ( ( leképezt! 3

10 ACTA CAROLUS ROBERTUS 3 ( Mtemtik szekció Egyszerűe kiszámolhtó hogy lgebr homomorfizmus potos kkor h deriváció Lemm: belső deriváció potos kkor h hsoló egy *-homomorfizmushoz Következméy Christese tétele: H : A deriváció : A egység elemes *-homomorfizmussl kkor belső deriváció potos kkor h komplette korlátos (potos kkor h komplette korlátos H A C*-lgebrár igz Kdiso sejte deriváció kkor korlátos lgebr homomorfizmus tehát komplette korlátos Christese tétele szerit ekkor belső deriváció Kirchberg tétele (996: H A C*-lgebr mide derivációj belső kkor A korlátos homomorfizmusi hsolók egy *-homomorfizmushoz ( így komplette korlátosk Tehát Kdiso sejte potos zokr C*-lgebrákr igz melyek mide derivációj belső Hivtkozott források: Ver P( : Completely Bouded Mps d Opertor Algebrs Cmbridge Studies i Advced Mthemtics 78 Cmbridge Uiversity Press Cmbridge Szerző: Kovács Istvá Bél PhD doces BGF-PSZK Módszerti Tszéki Osztály kovcsistv@pszfbbgfhu 33