I. Problémafelvetés. A valós számsorozat téma megalapozása

Átírás

1 Iduktív foglomlkotás, tételek megsejtése, szitézissel vló bizoyítás vlós számsoroztok témáb Vigé Dr. Lecsés Áges I. Problémfelvetés felsokttás els félévébe középiskolából felsokttásb kerül hllgtók z lízis els témkörekét vlós számsoroztokkl tlálkozk. Ebbe témáb kell tehát megvlósíti vlmiféle "átmeetet" kétféle okttási szit számos külöbsége között. felsokttás eldási zömmel ismeretközlk: foglmkt, tételeket és zok bizoyítását úgymod "elmgyrázzuk", elmodjuk, ledjuk; mjd gykorlto éháy példávl "megvilágítjuk". Eldásomb rövide ismertetek egy kísérletileg igzolt htékoybb didktiki megoldást. kísérletbe foglmk bevezetése jobbár iduktív, ritkább deduktív úto törtét; tételeket hllgtókkl "fedeztettem fel" mjd bizoyítás strtégiáj is zömmel szitézis volt. Így vált biztosíthtóvá zökkemetes átmeet felsfokú tulmáyokb megszokott szisztémához; így vált vlós számsoroztok tém hllgtók "sjátjává", mely z lízis további fejezeteit lpozz meg. (Úgy mit: függvéy htárérték, differeciálszámítás, vlós számsorok és függvéysorok, Riem-itegrál.) vlós számsoroztok tém mtemtik-didktiki elemzésérl 004-es eldásomb ( vlós számsoroztok tításák módszerti problémái címmel) szóltm. z eldásb ismertettem tém órtervezetét is, vlmit tém tárgylás sorá rövide beszéltem megvlósítás részleteirl. (evezetese sorozt foglm, megdás, szemléltetése, sorozt függvéyti tuljdosági (mootoitás, korlátosság, kovergeci, divergeci), ezek kpcsolti (sorozt kovergeci szükséges feltétele, eleged feltétele, Cuchy-kritérium), htárátmeeti szbályok, evezetes soroztok.) Jele eldásomb ebbl két mometumot rgdok ki, egy foglomlkotást (kovergeci), és két tétel felfedeztetése utá (kovergeci szükséges feltétele, eleged feltétele) ezek bizoyítását, melyet részletezek. II. vlós számsorozt tém meglpozás z egész vlós számsorozt témát tpsztlti yg vizsgált lpozt meg. Egy soroztkészletet állítottm össze, mely sok, középiskolából jól ismert soroztot trtlmzott (számti, mérti). = =, = + h () () =, = + h () =, = h (4) =, = h () = () = (7) = (8) =, = h > (9) π lsó közelít törtjei

2 (0) = ( ) () = () = ( ) () (4) + = + = + ( ) hllgtók feldt z volt, hogy számítsák ki soroztok els öt és tizedik elemét, szemléltessék grfikoo, számegyeese, mjd figyeljék meg vlós függvéyekél tult függvéytuljdoságokt! Mjd hlmzábráb írják be megfelel helyre soroztok sorszámát!. ábr soroztok függvéyti tuljdoságik összehsolításávl, soroztok eek lpjá vló csoportosításávl korlátosság, mootoitás, kovergeci szemléletes jeletéséhez jutottuk. hrmdik ábr foglmk viszoyák szemléltetése révé tételek (kovergeci szükséges feltétele, eleged feltétele) felfedezését segítette el. III. sorozt-kovergeci foglmák kilkítás mtemtik-didktikáb foglom-kilkítás három féle módo törtéik: iduktív, deduktív és kostruktív úto. z iduktív úto törté foglomkilkítás sorá optimális tpsztlti ygot gyjtük, ezeket vizsgált tárgyává téve ( foglmt meghtározó ismérvek kiemelése, foglom trtlmák feltárás) bsztrkcióvl jutuk foglomhoz, és lkotjuk meg defiíciót. Ez z út z öálló hllgtói muk révé logiki képességek fejlesztéséhez jeletse hozzájárul. foglomkilkítás deduktív úto úgy törtéik, hogy kimodjuk defiíciót, ezt követi z elemzés és foglom kokretizálás, példákkl vló illusztrálás.

3 Kostruktív módo vló foglomlkotás sorá foglom éháy reprezetálásák dott feltételek melletti elállítás utá áltláosítjuk z eljárást, és lkotjuk meg defiíciót. Bármilye módo is vezetük be egy foglmt, zt midig kell, hogy kövesse foglmk megersítése, rögzítése. Erre többféle lehetség v, mit például: külöböz defiiálási lehetségek megvilágítás; külöböz defiíciók ekvivleciáják megmuttás; defiíció következméyeiek levoás; példák és ellepéldák dás; állítások igz-hmis volták eldötése. sorozt-kovergeci foglmák kilkítás iduktív úto. sorozt kovergeci (mit áltláb z lízis foglmi) foglm összetett, boyolult. soroztkészlet vizsgáltkor szemléletbl észrevetetjük htárérték létezését ((4), (), (7), (9), (), (), (4)), és tpsztltból megfoglmzttjuk, hogy övekedésével soroztelemek tetszlegese közel kerülek htárértékhez. Megfoglmzzuk úgy is, hogy htárérték körül bárhogy is jelölük ki egy yílt itervllumot, egy köryezetet, elég gy -ek eseté soroztelemek ebbe yílt itervllumb vk, eze köryezete kívül legfeljebb véges sok számú soroztelem v. Szereték ezt tpsztltot potos mtemtiki formáb ötei! + Ezek utá motivációs feldtkét precízebb vizsgált tárgyává tettük () = és (4) + ( ) = + soroztokt következ lépésekbe:. Legye ε =! Jelölje ki ill. - ε sugrú köryezetét!. Számolj ki soroztok els 4 elemét! Jelölje be sorozt zo tgjit, melyek ill. - dott köryezetébe esek!. Htározz meg zt z számot, melyre > eseté < ill. ( ) <! Összefogllv: ε = -höz úgy, hogy h >, kkor < ill. ( ) <. Mjd lóg feldt ε =, ε = -re, mjd tetszleges ε > 0-r következtek Ezek utá példákból elvotkozttv hllgtók lkották meg precíz ( ε, -es) defiíciót, és bevezettük szokásos jelölést. foglom elmélyítésére gykorlto több feldt következett. Megbeszéltük külöböz defiiálási lehetségeket ( htárérték bármely köryezeté kívül véges sok elem v), defiíció következméyét (z -hoz vló kovergálás ekvivles z sorozt 0- hoz vló kovergálásávl), kovergeciávl kpcsoltos állítások igz-hmis voltát dötöttük el és idokoltuk (például: lim = és >0, kkor soroztk végtele sok tgj pozitív.) IV. sorozt-kovergeci szükséges feltétele, eleged feltétele mtemtiki tételek foglmk közti kpcsoltokt modják ki. Ezeket is tári közlés helyett megkíséreljük felfedezteti, mjd sejtésüket igzoli, bizoyíti, rossz sejtés eseté cáfoli. Bizoyítás sorá logik szbályi szerit következtetük feltételekbl z állításr, kpcsoltot teremtük közöttük. bizoyítást is érdemes hllgtó godolkodásák fejlesztése érdekébe felfedezteti, logiki utt felderítei. Elemezteti

4 érdemes, hogy mi feltétel, mi koklúzió, mit kée beláti hhoz, hogy koklúzió igz legye, esetleg lklmzhtó-e vlmilye korább bizoyított tétel, foglom, hol és hogy hszálhtók fel feltételek. H így járuk el, ez fejleszti bizoyítási igéyt, öbizlmt d hllgtók, mivel természetes úto tlál rá bizoyításr. z egyszer logiki sémák sokrét lklmzás révé godolkodás fejldik. mtemtik-didktik háromféle bizoyítási strtégiát külöböztet meg: szitézis, lízis, em teljes lízis. ( tételek szerkezete: B ) Bizoyítás szitézissel (céliráyos okoskodás) strtégi léyege, hogy feltételekbl xiómák, korább bizoyított tételek és defiíciók felhszálásávl szükséges feltételek lácoltá át véges sok lépésbe jutuk következméyhez. ( B ) strtégi kulcskérdése: mi következik ebbl? Bizoyítás lízissel (fordított iráyú okoskodás) strtégi léyege, hogy B következméybl iduluk ki, hhoz keresük eleged feltételt, mibl következik B, mjd véges sok lépésbe folyttjuk godoltmeetet ddig, míg ilye eleged feltételek soroztá keresztül z feltételhez jutuk. ( B B B B ) strtégi kulcskérdése: mibl következik ez? em teljes lízis: z elz kett kombiációj. soroztkészlet hlmzos ábráj hszos függvéyti tuljdoságok közti kpcsoltok, tételek felfedeztetésére.. ábr Krikáztssuk be kovergeseket! Észrevetetjük, hogy koverges soroztok vlódi részhlmzát képezik korlátos soroztokk. Tehát mide koverges sorozt korlátos, zz kovergeci szükséges feltétele korlátosság. megfordítás em igz, v oly sorozt (pl-ul (0)-es), mely korlátos, de em koverges. Próbáljuk bizoyíti, hogy h z sorozt koverges (), kkor bizoyítást szitézis strtégiávl (céliráyos okoskodássl) próbáljuk végrehjti! Mi feltétel? : koverges Mi z állítás? B: korlátos Mit kée beláti hhoz, hogy koklúzió (B) igz legye? zt, hogy K, k szám úgy, hogy -re k K. korlátos (B)! 4

5 Iduljuk ki feltételbl! Mit jelet z, hogy koverges? V oly D szám, hogy ε > 0 -hoz úgy, hogy > eseté D < ε Ezzel ekvivles: ε > 0 -hoz, h > D ε < D + ε. Céluk: megmutti, hogy -re -t bekorlátozhtjuk! Mi következik -bl? H z ε > 0 -r igz, kkor ε = -re is igz, zz ε = -hez is úgy, hogy > eseté D < < D +.. ábr soroztelemek egy részét bekorlátoztuk. -ál gyobb idex soroztelemek D, D + yílt itervllumb vk. Fordítsuk figyelmüket kimrdókr! ( ) 4 D ε = sugrú köryezeté kívül legfeljebb z:,,,, zz db soroztelem v. H k-k ill. K-k ezek és D-, ill. D+, tehát + db véges sok szám közül legkisebbet ill. leggyobbt válsztjuk (véges sok között midig v), kkor K között v. k = mi,,,, D Tehát { } K = mx {,,,, D + } kkor B Tehát z -re legye! k K (ez éppe korlátosság defiíciój). sorozt korlátos. Még egyszer céliráyos okoskodás lépéseit végigjárv: kovergeci foglmák felhszálás kovergeci-foglom ekvivles átfoglmzás kovergeci-foglom lklmzás ε = eseté kovergeci-foglom köryezetbl kimrdó elemekkel 4 -re k és 4 k,k válsztás (kimrdó elemek, D, ill. D + + db-ból legkisebb és leggyobb kiválsztás). z összes soroztelemre k K. B Korlátosság foglmák lklmzás. Térjük vissz hlmzos ábrár! Vetessük észre, hogy mooto és korlátos soroztok metszethlmzáb lév összes sorozt koverges, tehát úgy tik, hogy mootoitás és korlátosság együtt már biztosítj sorozt kovergeciáját, eleged feltétele kovergeciák. Vetessük zt is észre, hogy eek tételek megfordítás sem igz. H egy sorozt koverges, kkor em biztos, hogy mooto (ellepéld () és (4)). kovergeci eleged feltételéek bizoyítását is szitézis (céliráyos okoskodás) strtégiájávl célszer hllgtókkl együtt elvégezi, de ez már ehezebb, ige ers tári iráyítás szükséges hozzá!

6 bizoyítás két lépésbe törtéik, külö véve mooto övekv ill. csökke esetet! Mooto öv esetbe célszer észreveteti, hogy htárérték fels korlátok közül legkisebb, zz fels htár, mooto csökke esetbe z lsó htár! ézzük meg mooto övekv esetet! Tegyük fel, hogy z sorozt mooto övekv és felülrl korlátos () és bizoyítsuk be, hogy ekkor koverges és htárértéke z fels htár M (B)! mooto övekv () és felshtár M(). Ez feltétel. B koverges és htárértéke M. Ez z állítás. Mit kée beláti, hogy B koklúzió igz legye? zt, hogy ε > 0 -hoz úgy, hogy h >, kkor M < ε. Ez ehéz lesz! Ezt kell összeszitetizáli, tudv z két feltételét. Iduljuk ki bból, hogy -ek M fels htár ()! Ez zt jeleti, hogy -re M és ez z M legkisebb fels korlátok közül, tehát áláál kisebb bármely szám már em fels korlát! koklúzióhoz kellε > 0 szám is! Legyeε > 0 tetszleges! z M ε < M, tehát M ε már em fels korlát. M ε em fels korlát, kkor v oly soroztelem, mi ál gyobb, legye ez z - edik! Tehát, hogy M ε <. 4 Hszáljuk ki másik feltételt is, () M > M ε ( ) ( ) Foglljuk össze z eddigieket, és hszáljuk ki, hogy M < M + ε! M ε < M < M + ε ε > 0 tetszleges, > -re mooto! kkor > eseté Tehát ε > 0 -hoz, h > M ε < < M + ε, zz M < ε, mi éppe koklúzió. = B céliráyos okoskodás lépései tehát: fels korlát foglm () feltételbl. fels htár foglmák felhszálás. fels htár foglmák felhszálás. mooto övekedés foglmák felhszálás () feltételbl. 4 eddigi eredméyek összefogllás. 4 B kovergeci foglmák összeszitetizálás.